矩形问题

2024-06-20

矩形问题（共12篇）

矩形问题篇1

在图形变换中, 折叠类型的题目在中考中频频出现, 此类题对识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。同学们对此类问题的解答通常普遍感觉较难, 得分情况很不理想。解决这类问题的关键在于:首先要把握折叠的变化规律。即:弄清折叠前后哪些量变了, 哪些量没有变, 折叠后又有哪些条件可利用。其次要把握折叠的实质, 抓住图形之间最本质的位置关系, 充分挖掘图形的几何性质, 利用全等三角形, 勾股定理等知识, 将其中的基本数量关系用方程的形式表达出来, 由此入手解决问题。基于此, 笔者希望通过下面的举例分析阐述, 希望能让同学们对解决折叠问题有所帮助。

在矩形折叠中求度数问题, 往往是比较常见的, 通常表现在图形折叠后各对应边与折痕之间的夹角关系中。

例1 (2005武汉市) 将矩形ABCD沿AE折叠, 得到如图1所示的图形, 已知∠CED′=60°, 则∠AED的大小是 () 。

故应选A.

这一类矩形折叠中度数计算问题, 多数都要用到折叠前、后图形中对应边与折痕之间的夹角相等这一特点。同时还要用到三角形内角和定理、平角的定义以及矩形四个角都是直角这一性质等知识点。

在矩形折叠中求线段长的问题对学生来说真正能搞清楚的不多, 同学们通常感到无从下手, 最主要的原因是没弄清图形折叠前、折叠后各线段之间的对应关系、位置关系。其实图形在折叠前与折叠后是关于折痕成轴对称的, 如果选用直角三角形中的勾股定理来求解就可以化繁为简, 化难为易。

例2 (2006南京市) 已知矩形纸片子ABCD, AB=2、AD=1.将纸片折叠, 使顶点A与边CD上的点E重合。如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G, 如图2所示, 求DE的长;

分析:在矩形ABCD中, ∠D=90°, 又因为△EFG是△AFG沿FG折叠而得, 所以有EF=AF, 而AD=1.所以有利用勾股定理得:DF 2+DE 2=EF 2, 从而可求得DE的长。

解: (1) 在矩形ABCD中,

根据轴对称的性质得:

在Rt△DEF中.

通过此题的解答过程可以发现, 它就是一个单纯的线段长的计算问题。勾股定理的正确运用使此题变得简单。因此要求同学们对所学的几何基础知识不断加深理解、巩固、掌握, 最终能灵活运用, 真正使学习达到事半功倍的效果。

在矩形折叠中求重叠部分面积问题, 首先要注意重叠部分图形的形状。一般情况, 重叠部分图形大多数为直角三角形和等腰三角形, 要解决这一问题的关键是求重叠部分图形的底或高, 最后用三角形面积计算公式即可。

例3如图3, 折叠长方形ABCD的一边, 点D落在BC边上的点F处, 点E在边DC上, 若AB=8㎝, BC=10㎝, 求■AEF的面积。

分析:由于长方形ABCD沿AE折叠, 于是得到■AFE与■ADE全等, 因为■ADE是直角三角形, AB=8cm, 只要求出DE的值, 便可以求出■ADE的面积, 那么■AEF的面积也就解得了。

解:设EC=x, 则DE=8-x, 而EF=8-x, 由于长方形ABCD沿AE折叠后, △ABF是直角三角形, AF=AD=10cm, AB=8cm, 所以BF=6cm.

于是FC=4㎝, 在Rt△ECF中, EC 2+CF 2=EF 2,

即:x2+42= (8-x) 2, 解得x=3.

所以F=5cm.

这类有关矩形折叠中面积的计算问题, 充分渗透了数形结合的数学思想方法、方程和方程组的数学思想方法。同时也用到了勾股定理、三角形的全等、矩形的面积及三角形的面积计算。

总之, 在矩形中折叠问题的实例还很多, 这里仅仅从三个方面来阐述, 意在希望同学们对此类问题的学习, 起到一个触类旁通、举一反三的作用。另一方面, 从矩形折叠问题中所考查的知识点和数学思想方法上看, 它涉及了三角形全等、勾股定理、一元一次方程的解法等知识点, 渗透了数形结合与分类整合等数学思想方法, 考查了同学们的思维能力、运算能力、实践能力和创新意识, 具有一定的思维深度。如果同学们对上面所提及的折叠问题搞清楚弄明白了, 那么对同学们来说既掌握了解答题目的方法, 又对相关知识点得到了复习巩固和迁移运用。

矩形问题篇2

黄金矩形课件

学习目标

1、知道并了解黄金矩形的定义。

2、能发现生活中的黄金矩形，并了解黄金矩形在生活中的应用。

3、通过对黄金矩形的了解与认识，体会生活中“美”的缘由，提高学生对数学学习的兴趣和应用意识。

4、能够通过阅读理解，折出黄金矩形，并交流讨论出这种折法的原因，发现规律，提高数学学习的综合能力。

5、认识且能画出黄金螺旋，了解其在生活中的应用，提升学生对“美”的认识。 6、在整个课堂环境中，培养学生创造力、团队协作及人际交往能力。

教学实施

一、准备工作

教学形式：合作与讨论贯穿学生学习的整个过程

协调与提供脚手架则贯穿教师指导的整个过程

学习准备：长方形纸片;作图工具;

二、教学过程

(一)复习

(引入)

师：你还记得东方明珠的奥秘吗? 生：黄金比。

师：哪些地方是它的黄金分割点? 生：大小球。

师：上节课我们认识了什么是黄金比，你能说一说吗?

(二)进一步体会生活中的黄金分割

师：当一个物体的两部分之间的比大致符合黄金比——0.618:1时，会给人一种优美的视觉感受，所以许多建筑作品是按黄金比设计的。【学生活动1】讨论交流

1)你知道断臂维纳斯之美吗?(艺术创作) 2)你知道金字塔的奥秘吗? (建筑艺术)

3)你知道人体中还有哪些黄金分割点吗?(人体美学)

(三)引出课题

师：如何用黄金比来解释名画，比如《蒙娜丽莎的微笑》《拾穗者》等名画呢?我们这节课继续对黄金比做进一步研究。

(四)认识黄金矩形

1、探索概念

【学生活动2】从以下矩形中，请你选出最匀称的2个矩形

算一算：你们认为比较匀称的矩形，它的长与宽的比值是多少?

师：我们称这一类矩形为黄金矩形。你能给出黄金矩形的定义吗?

【学生活动3】若矩形的宽与长的比等于(√5-1)/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形(又称根号矩形)。

2、生活中的黄金矩形

师：你认识这个建筑吗?(希腊-雅典-帕德农神庙)它是古代欧洲摇篮的文明，建于公元前5世纪，当时数学发达的.年代。

【学生活动4】寻找帕德农神庙的奥秘。

师：除了伟大的历史建筑以外，在我们身边，有没有黄金矩形呢?请你找一找。

【学生活动5】寻找身边的黄金矩形。

Eg，交通卡，作业本，书本，课桌，橡皮，黑板，门，电视屏??

(五)探究黄金矩形的画法：

【学生活动6】折一个黄金矩形。阅读，讨论，完成，验证，介绍。

证明这个折法的正确性吗?

【学生活动7】在一个黄金矩形中，还有没有其他的黄金矩形呢?请验证。从中你能得到什么结论?

结论：若在一个黄金矩形内以其宽为边长，截取掉一个正方形，那么剩下的小矩形仍然是黄金矩形。

问：给你一个黄金矩形，你能画出多少黄金矩形?

介绍：依次无限截取下去，将这些正方形内的1/4圆弧连接起来，会构成一个平滑的螺旋，即黄金螺旋。

【学生活动8】找一找《蒙娜丽莎的微笑》中的黄金矩形。

【学生活动9】请参考刚才的折法，用尺规画一个边长为2cm的黄金矩形。

课堂中的管理与评价

1、终结性评价与过程性评价相结合 2、自评与互评相结合

① 教师关注每个小组、每个学生的课堂表现与参与;

一类矩形翻折问题的解法举例篇3

例1 如图1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为______.

【分析】矩形翻折图形中，要把握住“两点一线”，“两点”就是重合的两点，“一线”即为对称轴. 一般地，重合的部分有“等腰”，不重合的部分考虑勾股定理.

解：设AF=x，则BF=8-x，易证FC=AF=x，

在Rt△BFC中，CF2=BF2+BC2，

∴x2=（8-x）2+42. 解得x=5.

∴S△AFC=AF·BC=×5×4=10.

变式如图2，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，把矩形纸片折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.

求：DE、EF的长.

解：设DE=x，由翻折知，A′D=AB=4，

A′E=AE=8-x.

∵∠A′=∠A=90°，

∴DE2=A′E2+A′D2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5.

由翻折知∠BFE=∠DFE，∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE.

∴∠DFE=∠DEF. ∴DE=DF.

∵DC=AB=DA′，∴Rt△A′DE≌Rt△CDF.

∴BF=DF=DE=5.

在矩形CDGF中，DG=CF=3，∴EG=2.

∴EF===2.

例2 如图3所示，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=______.

【分析】要求AD的长，只要在Rt△ACF中利用勾股定理求得BC的长即可，CF易知，故关键求BF的长，这由翻折和全等即求得A′B与A′F的长.

解：如图4所示，连接EF，△A′BE由△ABE翻折所得，又因为E为AD的中点，所以A′B=AB=1，AE=A′E=DE，易知Rt△A′EF

≌Rt△DEF.

又因为F为CD的中点，所以A′F=DF=CF=CD=.

在Rt△BCF中，BF=A′B+A′F=，所以BC===.

所以AD的长为.

评注：矩形翻折后会出现全等三角形、直角三角形，产生相等的线段和角，再利用勾股定理来求线段的长度.

变式如图5所示，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部. 将AF延长交边BC于点G. 若=，则=______（用含k的代数式表示）.

【分析】把AD、AB用含k的代数式表示.

解：设CG=1，BG=k.

∵△AEF由△AED翻折所得，E是DC的中点，

∴EF=DE=EC，AF=AD=BC=k+1.

连接EG，易证△EFG≌△ECG，∴GF

=CG=1.

∴AG=AF+FG=k+2.

∵∠B=90°，∴AG2=BG2+AB2.

∴AB==2.

∴==.

评注：本题采用赋值法，有利于线段长度的计算.

例3 如图6所示，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

（1）求证：CM=CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值.

解：（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM.在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；

（2）过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC.

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，

∴===3.

∴MC=3ND=3HC，MH=2HC.

设DN=x，则HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，

DC==2x，

∴HN=2x.

在Rt△MNH中，

MN==2x.

∴==2.

反此例函数图像中矩形的问题篇4

解: 延长BA与y轴交于E

∵AB∥x轴,点C、D在x轴上,

四边形ABCD是矩形

∴四边形AEOD、四边形BEOC是矩形

∵点A在双曲线y =1/x的图象上

∴矩形AEOD的面积 = AD×AE = 1

∵点B在双曲线y =3/x的图象上

∴矩形BEOC的面积 = BC×BE = 3

∴矩形ABCD的面积 = 矩形BEOC的面积 - 矩形AEOD的面积 =3 - 1 = 2.

例2如图,点A、B是双曲线y =3/x图象上的点,分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段,若阴影部分面积为1,求S1+ S2.

解: ∵ AG⊥y 轴 AH⊥x 轴

BE⊥y 轴 BF⊥x 轴

∴四边形AHOG、BFOE是矩形

∵点A、B在y =3/x的图象上

∴矩形AHOG的面积 = 矩形BFOE的面积= 3

即: S1+ 1 = 3; S2+ 1 = 3

∴ S1+ S2+ 2 = 6

则: S1+ S2= 4.

例3如图为双曲线y =1/x图象的第一象限,点A为图象上的一个动点,过A分别作AB⊥x轴、AC⊥y轴,垂足分别为B、C,求四边形OBAC周长的最小值。

解: 因为AB⊥x轴、AC⊥y轴,所以: 四边形OBAC是矩形

设A点的横坐标为a

∵点A在y =1/x图象上的一点

∴点A的纵坐标为1/a

即: A点的坐标为( a、1/a)

矩形OBAC的周长 = 2( a +1/a)

∵A点在第一象限移动; 当a > 0时,a +1/a≥2

∴四边形OBAC周长的最小值为4.

例4如图双曲线y =k/x( k > 0) 过矩形OABC边AB的中点F,交BC于点E,且四边形OEBF的面积为2,求k

解: 过E作EG⊥x轴于G

∴四边形OGEC是矩形

∴ S△OCE= S△OGE

∵E、F在双曲线y =k/x的图象上

∴ S△OAF= S△OGE

即: S△OCE= S△OAF

设矩形OABC的长OA = x、宽AB = y

则: 矩形OABC的面积 = xy

∵F是AB的中点,∴AF =y/2

即: x ×y/2= 2,则: OA × AF = 2

∵F在双曲线y =k/x的图象上

∴ k = OA × AF = 2.

例5已知如图,双曲线y =2/X的图像有点P1、P2、P3、P4,它们的横坐标依次为1、2、3、4,分别过这些点作x轴、y轴的垂线,图中所成的阴影部份的面积从左到右依次为S1、S2、S3,求S1+ S2+ S3,

分析与解答,将S2、S3向左平移

则: S1+ S2+ S3= S矩形P1HEF

∵S矩形P1HOA= S矩形P4FOD= 2

∵点P1、P2、P3、P4,它们的横坐标依次为1、2、3、4

∴ OA = AB = BC = CD

则: S矩形EFOA=1/4S矩形P4FOD=1/4S矩形P1HOA=1/2

《矩形》说课稿篇5

现代数学教育观认为,数学教学过程就在学生已有的认知水平和知识经验的基础上，引导学生通过实践探索、交流等多种活动理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法的过程。因此学生应成为学习活动的主体，教师应成为学习得组织者、合作者与引导者。基于这一理念我准备从教材分析、目标分析、教法与学法分析、教学过程分析四个大方面进行说课。一：教材分析：

（一）、教材内容的地位和作用：

本节课是在学生已经学习了平行四边形和菱形性质的基础上进行的，它既是前面所学平行四边形、菱形性质的运用，也是后面继续学习正方形和梯形以及以后初三年级更深一步学习矩形的重要前提，起到承上启下的作用，是本章内容的一个重点。同时，矩形又是人们日常生活中最常见的应用最广泛的一种几何图形，使学生体会到几何知识来源于实际又作用于实际的辨证关系。

（二）、学情分析：

由于学生的理解能力和思维特征和生理特征，学生好动性，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，所以在教学中应抓住学生这一生理心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。二：目标分析：

（一）教学目标

新课标要求教学目标的制定要使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能，学会应用数学的思维方式去观察分析问题，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。“和谐高效、思维对话”新理念要求我们设计目标时既让学生“学会”（知识与技能），又让学生“会学”（过程与方法），还要让学生“乐学”（情感态度价值观），依据这些理念，结合学生的认知水平我制定本节课的教学目标如下：

1.知识与技能：经历探索经历探索矩形的概念和性质的过程，理解矩形与平行四边形和菱形的区别与联系。初步应用矩形的性质来合理推理来解决简单问题，渗透转化的思想。让学生经历真正的“做数学”和“学数学”的过程，发展学生思维能力，激发想象力和创造潜能。

2.过程与方法：经历、体验、探索矩形概念、性质的过程，渗透从一般到特殊、类比的数学思想，培养学生归纳和和初步的演绎推理能力，进一步培养学生的逻辑推理能力。

3.情感态度价值观：兴趣是学生最好的老师，为此本节课我将通过动手操作、观察比较、合作交流，激发学生的学习兴趣，向学生渗透数学是应用数学的思想，让学生知道数学来源于实践，培养学生对数学的学习兴趣,形成正确的价值观和积极的人生态度。

（二）教学重点和难点：

重点：矩形的概念、性质、及简单应用

由于学生学刚接触平行四边形的有关知识、学习程度较浅，独立思考和探究的能力不强，我结合本节的教学内容确定教学难点：

难点：矩形性质的应用，尤其是有条理地书写解题过程

三、教法与学法：

孔子说“学而不思则罔,思而不学则殆。”这句话就准确的表达了学与思之间的关系，而创设问题情境恰恰能引导学生积极思考的十分有效途径。因此围绕本节目标和重难点我将对学生提出一系列的问题，让学生在学习中思考，在思考中学习。

由于学生的理解能力和思维特征，他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点，许多学生容易造成知识遗忘。为此教学中积极利用几何画板、视频展台、板书和练习中的图形，以及小组合作的方式向学生提供更多的活动机会和空间，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得充足的体验和发展，从而培养学生的数形结合的思想。

同时为使课堂生动、有趣、和谐、高效，特将整节课以观察、思考、合作、讨论贯穿于整个教学环节之中，采用自主探究、小组合作的教学法和师生互动、思维对话式教学模式，注意师生之间的情感交流，并教给学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。

四、教学过程：

为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了六个教学环节：

（一）、创设情境，引出课题。

我用多媒体展示生活中的和谐对称的物体，问学生物体的侧面是什么图形；学生观察、回答，引出课题。

（设计意图：用生活中的物体展示长方形（即矩形），激发学生兴趣，让学生直观感受生活中物体的美，体会数学源于生活，充分体现课标理念——数学应向生活回归，向学生经验回归，人人学有价值的数学。同时为形成矩形概念打下基础。）

（二）观察思考，提出概念。

我出示平行四边形木架进行变化，提出问题1：变化后是什么图形；学生通过观察后回答是平行四边形；

接下来，我提出问题2：平行四边形的一个内角变为多少度时，木架变成了刚才多媒体展示的物体的侧面形状；

通过我的引导和学生的观察，学生容易得出为直角时是矩形，然后让学生说一说矩形概念；

我再进行规范，让学生在书上进行批注并齐读书上概念2次，强调矩形的概念有两方面的涵义，它既是矩形的定义，又是以后学习中矩形的一种识别方法。

（设计意图：诱发学生学习动机有两种，即感性认识和理性思考，让学生动手操作，学生兴趣肯定很高；阅读是理解的基础，数学教学同样需要阅读，让学生齐读，这样有利于学生理解和记忆。）

（三）、合作研讨，探究新知：

这一环节我主要设计了三个层次的研讨活动：

1、判断对错：1）平行四边形是矩形。

2）有一个角是90度的四边形是矩形。

3）矩形是平行四边形。

学生先独立思考验证、操作2、3分钟后，前后四人小组，共同观察、讨论、猜想、验证。

（设计意图：利用判断题和关系图，让学生在合作交流的基础上得出矩形与平行四边形的区别与联系，知道矩形是特殊的平行四边形，使学生认识特殊与一般的辩证关系，为矩形具有平行四边形的性质做好铺垫。体现生生之间的思维对话，把课堂的时间还给学生。）

2、提出问题。生活中，侧面是矩形形状的物体给人以美的感觉，肯定矩形具有很多独特性质，让我们利用手中的矩形纸片一起来探究矩形的性质。学生先独立思考、操作2、3分钟后，前后四人小组，共同观察、讨论、猜想、验证。我将参与部分小组的讨论，引导学生用迁移的思想从平行四边形的性质类比出矩形的性质。

（设计意图：“有困难，老师才引导。”学生不仅能主动获取知识，体验探索的快乐，而且能不断丰富数学活动经验，学会探索，学会学习。体现师生之间的思维对话，把习得的过程和课堂的空间更好的还给学生。）

3、拓展提高。让学生体验探索课本例题1，鼓励学生合作交流，启发引导学生尝试有勾股定理这个模型探究。鼓励探究出的学生到讲台给其他学生展示自己的思路和步骤，由其他学生评价。

（设计意图：本环节的学生讲题过程中教师对学生寄予的期望，会对学生产生极大的激励作用，教师的期望和爱心可激发学生的潜质，使其得以充分发挥，使学生通过实现自我参照来体验成功，正确认识自己的能力，改变对学习无能为力的心理状态，进而引发学习的激情。）

通过以上三层次的研讨活动，加深学生对知识的理解，突出重点，突破难点，顺利达成教学目标2、3。

（四）、巩固练习，体验成功：

在这一环节我将依据本节目标和重难点设计两种层次的练习，一种是围绕矩形性质基础知识的训练，一种是围绕性质的推理论证的基本技能训练。这样的设计，可以同时让不同层次的学生体验成功的喜悦，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，从而使学生真正成为学习的主体。本环节采用学生板演、学生讲解、学生批改、小组评价、教师点拨归纳等形式，进一步把课堂的时间和空间还给学生。通过探索、合作、归纳让学生进一步加深对数形结合、分类思想的理解和渗透，很自然的攻克本节课的难点。

（五）、个人小结，注重参与：

为巩固本节的教学重点让学生独立完成：学生重点从我学会了什么、我是怎么学的、我学的怎么样、我还想知道点什么等方面来总结，同时引导学生对教材内容中例题的编写，以及和本节前后内容对比贯穿，体现了以人为本的教育理念，避免使总结流于形式，体现师生与教材之间的思维对话，把评价的权利和提问的权利还给学生。

（六）布置作业，引导预习：

1、分必做题和选做题，既让大多数同学巩固基础知识和基本技能，又因材施教照顾学有余力的学生。2布置提前预习下一节课《矩形的判定方法》来引导学生养成预习的学习习惯，同时形成良好的学习习惯和提前准备、积极向上的生活习惯。

总之，在教学过程中，我会始终注意体现新课标要求的：学生是学习的主人，把时间和空间还给学生，让学生通过自主、探究、合作学习来主动发现结论，实现师生互动，注重思维发展和能力培养。通过这样的教学实践不仅体现了“和谐高效，思维对话”的新课改理念，同时做到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，体验成功，增强学好数学的自信心。

《矩形、正方形》测试题篇6

——希尔伯特(德国数学家,1862-1943)

一､填空题(每小题4分,共32分)

1.的平行四边形是矩形,对角线的平行四边形是正方形.

2. 正方形的边长为2,则它的对角线长为 ,面积为 .

3. 在矩形ABCD中,O是BD中点,∠AOD=90°.矩形ABCD的周长是20 cm,则AB的长为 .

4. 矩形的两条对角线的夹角为120°,短边长为4 cm,则矩形的对角线长为 .

5. 如图1,在正方形ABCD中,EF⊥GH.若EF=10,则GH= .

6. 如图2,在矩形ABCD中,AC､BD相交于点O,OE⊥BC于E,且OE=3 cm,∠CAB=60°,则矩形ABCD的面积为 .

7. 如图3,在矩形ABCD中,E是BC中点,∠BAE=30°,AE=2,则AC等于 .

8. 如图4,正方形ABCD的边长为4.E为BC上一点,BE=1.F为AB上一点,AF=2.P为AC上一动点,则当PF+PE为最小值时,PF+PE= .

二､选择题(每小题4分,共24分)

9. 下列说法中正确的是()

A. 有一个角是直角的四边形是矩形

B. 两条对角线相等的四边形是矩形

C. 两条对角线垂直的四边形是矩形

D. 4个角都是直角的四边形是矩形

10. 如图5,将边长为2的等边△ABC沿BC向右平移1个单位,得到△DEF,则四边形ABFD的周长是()

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

11. 如图6,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=10 cm,AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,则四边形AEFD的面积为()

A. 20 cm2 B. 24 cm2

C. 26 cm2 D. 28 cm2

12. 如图7,在正方形ABCD中,E为DC边上一点,连接BE.将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF.若∠BEC=60°,则∠EFD的大小为()

A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°

13. 如图8,矩形纸片ABCD中,AB=6,E为AD边上一点.将纸片沿BE折叠后,点A落在CD边上的F点处.若∠CBF=∠EBF,则BC边的长为()

A.B. 2 C. 3 D. +1

14. 如图9,正方形ABCD的面积为1,M为AD的中点,AC､BM交于G点.则阴影部分的面积是()

A.B.C.D.

三､解答题(每题11分,共44分)

15. 如图10,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE交AB于点F.若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,求AE的长.

16. 如图11,矩形ABCD中,AB=4,BC=8.将矩形沿AC折叠,点D落在D′处,AD′交BC于E.求重叠部分△AEC的面积.

17. 如图12,E是正方形ABCD的边BC的中点.EF⊥AE,CF平分∠DCG.

(1)试说明AE=EF的理由.

(2)将上述条件中的“E为BC的中点”改为“E为BC上异于B､C的任一点”,其余条件不变,则结论“AE=EF”还会成立吗?

18. 如图13,在△ABC中,AB=AC.AD⊥BC,垂足为点D.AN是△ABC外角∠CAM的平分线.CE⊥AN,垂足为点E.

(1)试说明四边形ADCE为矩形.

(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?请给予说明.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

三角形内接矩形的最大面积问题篇7

我们知道, 如果四边形的四个顶点都在三角形的边上, 那么就称这个四边形为此三角形的内接四边形, 特别的, 当四边形是矩形时, 就称此四边形为三角形的内接矩形.将这一实际问题转化成数学问题就是三角形内接矩形的边长满足什么条件时, 矩形的面积最大, 最大面积与该三角形的面积有什么关系?

三角形内接矩形最大面积问题的求解, 是代数、几何数形结合的典型, 用到了相似三角形的性质、二次函数的性质、三角形面积公式等基本的数学知识.这是一个典型的最优化问题, 解决这类最大面积问题往往需要构建二次函数模型, 进而利用二次函数求最值的有关知识加以解决.

要正确解决这个问题, 我们首先来看特殊的三角形———直角三角形的情形.

【情形一】如图2所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 在△ABC内部作一个矩形DEFC, 其中CD、CF分别在两直角边AC和BC上, 设BC=a、AC=b、AB=c、CF=x, 矩形DCFE的面积为y, 当x取何值时, y的值最大?最大值是多少?

解:由CF=x, 得FB=a-x.

在Rt△EFB中, ,

结论:当直角三角形内接矩形的两边长分别等于直角三角形两直角边长的一半时, 内接矩形的面积最大, 最大面积等于直角三角形面积的一半.

【情形二】如图3所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 在△ABC内部作一个矩形DEFG, 其中DG在斜边AB上, 点E、F分别在两直角边AC、BC上, 设BC=a、AC=b、AB=c、DG=x, 矩形DEFG的面积为y, 当x取何值时, y的值最大?最大值是多少?

解:由四边形DEFG是矩形, 得到EF=DG=x, ∠EFC=∠B,

在Rt△ECF中, cos∠EFC=

∴CF=x·cos∠EFC, 即CF=x·cosB.

∴FB=a-CF=a-x·cosB.

在Rt△FGB中,

∴FG= (a-xcosB) sinB.

∴y=DG·FG=x· (a-xcosB) sinB.

又∵在Rt△ABC中, sinB=, cosB=,

∴y=x· (a-a cx) ,

即y=-+.

∴当x=时,

结论:当直角三角形内接矩形的一边长等于该直角三角形斜边长的一半时, 内接矩形的面积最大, 最大面积等于该直角三角形面积的一半.

下面再来看一般三角形的情形.

如图4所示, 在三角形ABC的内部作一个矩形DEFG, 其中EF在边BC上, 点D、G分别在边AB、AC上, 设BC=a、AC=b、AB=c、EF=x, 矩形DEFG的面积为y, 当x取何值时, y的值最大?最大值是多少?

解:过点A作AM⊥BC, 垂足为M, 交DG于点N, 设AM=h,

由题可知△ADG∽△ABC,

则有

即FG= (a-x) ,

∴y=x (a-x) ,

即y=-x2+hx.

∴当x=时,

结论:当三角形内接矩形的一边长等于它所对的该三角形的边长的一半时, 内接矩形的面积最大, 最大面积等于该三角形面积的一半.

综合上述情况可得:三角形内接矩形的一边长等于它所对的该三角形的边长的一半时, 内接矩形的面积最大, 最大面积等于该三角形面积的一半.

矩形问题篇8

关键词：离散粒子群优化算法,排样,矩形件

0 引言

矩形件排样问题指在给定的矩形板材上排放所需要的矩形件,即将n个矩形零件{P1,P2 ,…,Pn}排放在板材P中,使得板材P的利用率最高,并满足三个约束条件:(1)任何两个零件互不重叠;(2)任何一个零件不能超出板材边界;(3)满足一定工艺要求。矩形件排样问题广泛存在于国民经济许多行业中,但该问题在理论上是属于NP完全问题,所以研究该问题具有重要的理论和实用价值[1,2,3]。

用智能优化算法求解矩形件排样问题时,一般可以将其分解为两个子问题:(1)排样序列:所有矩形件编号的任一排列;(2)近似排样算法:将所有矩形排入板材的规则。本文用离散粒子群优化算法构造排样序列,用“改进的最低水平线搜索算法”作为近似排样算法,将排样序列按近似排样算法转换为排样图,通过排样图可计算板材的利用率。

1 粒子群优化算法

1.1 基本粒子群优化算法

粒子群优化算法PSO(Particle Swarm Optimization)是一种进化计算技术,由Kennedy等于1995年提出[4],现已广泛应用于函数优化等领域[4,5,6]。在PSO算法中,粒子群在一个n维空间中搜索,每个粒子所处的位置都表示问题的一个解。粒子通过按一定的规则不断调整自己的位置X来搜索新解。设每个粒子自己搜索到的最好解为个体极值Pi,整个粒子群经历过的最好位置为全局极值Pg,每个粒子的速度为Vi(t),则:

Vi(t+1)=WVi(t)+C1R1(Pi-Xi(t))+C2R2(Pg-Xi(t)) (1)

Xi(t+1)=Xi(t)+Vi(t+1) (2)

其中t表示第t次搜索,W为惯性权重,Vi(t)表示第i个粒子的速度,C1∈(0,1),C2∈(0,1)为调节Pi和Pg相对重要性的参数。基本PSO算法的步骤描述如下:(1)随机初始化粒子的位置和速度;(2)计算每个粒子的适应度值;(3)对每个粒子,比较Xi(t)和Pi的适应度值,如果更好,更新Pi;(4)对每个粒子,比较Xi(t)和Pg的适应度值,如果更好,更新Pg;(5)根据公式(1)和式(2)调整粒子的速度和位置;(6)满足终止条件,则终止,否则转步骤(2)。

1.2 离散粒子群优化算法

粒子群优化算法目前已提出多种PSO改进算法,文献[5,6]采用离散PSO算法解决旅行商问题,取得了较好的结果。本文定义求解矩形件排样问题的离散PSO算法如下:

(1) 粒子位置:定义一个矩形件正整数编号序列X=(N1,N2,…,Nn)为一个位置,例如:X=(3,2,1,4)表示先排放3号矩形件,接着放2号1号,最后放4号矩形件。

(2) 置换子:假设某个粒子k的位置为Xk,定义置换子(Ik,Jk)的操作为交换Xk中值为Ik和Jk的位置,则Xk+1=Xk+(Ik,Jk),其中Xk+1为经过置换操作后得到的新的位置。例如:Xk=(1,2,5,3,4),(Ik,Jk)=(1,2),则Xk+1=(2,1,5,3,4)。

(3) 置换序列:一个或多个置换子的有序队列就是置换序列,置换序列意味着这个交换序中的所有置换子依次作用于该位置上。例如:(1,2,5,3,4)+{(1,2),(2,3)}={(1,2,5,3,4)+(1,2)}+(2,3)=(2,1,5,3,4)+(2,3)=(3,1,5,2,4)。

(4) 粒子速度:速度表示一个置换序列,其中置换子的个数为速度的长度。

(5) 粒子位置与位置的减法操作,结果为一个置换序列,例如:A=(1,2,3,4,5),B=(2,3,1,4,5),由于A(1)≠B(1),第一个置换子为(A(1),B(1))=(1,2),更新B=B+(1,2)=(1,3,2,4,5);A(2)≠B(2),第二个置换子为(A(2),B(2))=(2,3),更新B=B+(2,3)=(1,2,3,4,5),A=B;最后得到一个置换序列:{(1,2),(2,3)}。

(6) 粒子位置与速度的加法操作,表示一组置换序列依次作用于某个粒子位置,得到的结果是一新位置。

(7) 粒子速度与速度的加法操作,表示把第二个速度的置换序列的列表连接到第一个速度的置换序列的列表末尾。

(8) 粒子速度与实数的乘法操作,对实数C∈(0,1),假设速度V的长度为K,乘法操作是截取置换序列,使得新的速度的长度等于C×K(取整数)。

按上述操作重新构造速度和位置算式:

Vi(t+1)=WVi(t)⊕C1(Pi-Xi(t))⊕C2(Pg-Xi(t)) (3)

Xi(t+1)=Xi(t)+Vi(t+1) (4)

避免在算法的运行过程中产生的速度的长度太长,有必要对速度的长度做一定的限制。在算法中:W,C1和C2都是区间[0,1]内的实数,W=1且C1+C2≤1。设L为粒子初始速度长度,在公式(3)中:A=Pi-Xi(t),B=Pg-Xi(t),若|A|>L,则从A的前面取L个置换子作为速度A,使|A|=L;若|B|>L,则从B的前面取L个置换子作为速度B,使|B|=L。在执行完公式(4)后,若|Vi(t+1)|>L,则截取Vi(t+1)后面的L个置换子作为速度,使|Vi(t+1)|=L。

2 应用离散粒子群优化算法求解矩形件排样问题

2.1 近似排样算法

本文改进了文献[3]中的“最低水平线搜索法”来排放零件,称“改进的最低水平线搜索法”。对于一个给定的矩形件排样序列P1,P2,…,Pn,用“改进的最低水平线搜索算法”进行排样具体步骤如下:

(1) 设置初始最高轮廓线为板材最下面的底边;

(2)每当要排入一个矩形件时就在最高轮廓线上集中选取最低的一段水平线,有若干段,则选取最左边的那段:①若该段线的宽度大于要排入矩形件的宽度或长度,则将该矩形件放置在此位置,同时更新矩形件的最高轮廓线;②否则,在排样序列上往后搜索一定数量的矩形件,搜索时将最低水平线的宽度与矩形件的宽度和长度进行比较,再在其中选择一个最大尺寸(宽度或长度)可以排入的矩形件,同时互换这两个矩形件的位置。如果没有满足排放条件的矩形件,则将最低水平线提升至与之相邻且高度较低的一段平齐,同时更新矩形件的最高轮廓线。重复(2),直至能排入该矩形件。重复上述过程,直至所有矩形件排放完毕。

2.2 离散粒子群优化算法求解矩形件排样问题

本文做如下定义:(1)适应度值F:矩形排样得到高度H的倒数,即F=1/H。(2)终止条件:当迭代次数达到一个最大值或排样高度值比某一已知的高度小。算法步骤描述如下:

(1) 初始化粒子群:给群体中的每个粒子赋一个随机的初始位置和一个长度为L的初始速度,设定参数W,C1和C2的值,令代数t=1。

(2) 用“改进的最低水平线搜索算法”计算粒子i的适应度值,如果找到更好的解,则更新Pi;如果解Pi比Pg好,则更新Pg。

(3) 判断是否满足终止条件,若满足则转步骤(6);否则转步骤(4)。

(4) 根据粒子i位置Xi(t),计算其下一个位置Xi(t+1)操作如下:①计算A=Pi-Xi(t),若|A|>L,则从A的前面取L个置换子作为速度A,使|A|=L。②计算B=Pg-Xi(t),若|B|>L,则从B的前面取L个置换子作为速度B,使|B|=L。③根据公式(3)计算速度Vi(t+1)。④根据公式(4)计算新解Xi(t+1)。⑤执行完公式(4)后,若|Vi(t+1)|>L,就截取Vi(t+1)后面的L个置换子作为新的速度,使|Vi(t+1)|=L。

(5) 令t=t+1,转步骤(2)。

(6)显示求出的结果并画出排样图。

3 算例分析

为测试算法的性能,本文对文献[1]中的两个算例进行了求解,本文算法参数设置如下:选取粒子群群种大小为20,C1=0.6,C2=0.4,|V|=7,W=1,改进的最低水平线搜索算法向后搜索长度为10。(电脑配置为:CPU奔腾Ⅳ2.00G,内存为256M)。

算例1 将一个15×40的大矩形分成25个小矩形。现以40为定宽、高度不限的板材为例,用本文算法求最小排样高度。文献[1]用遗传算法求解得到的最小排样高度为17,文献[2,3]用遗传算法求解得到最小排样高度为16;用本文算法求解,在第23代终止时得到最小排样高度为16,排样所用时间为0.061000秒,排样结果如图1所示。

算例2 将一个15×40的大矩形分成50个小矩形。现以40为定宽、高度不限的板材为例,用本文算法求最小排样高度。文献[1]用遗传算法求解得到的最小排样高度为17,文献[2,3]用遗传算法求解得到最小排样高度为16;用本文算法求解,在第56代终止时得到最小排样高度为16,排样所用时间为0.156000秒,排样结果如图2所示。

4 结论

研究矩形件排样问题具有重要的理论和实用价值,粒子群优化算法是一种新型的仿生进化计算技术,研究如何将该算法应用于求解实际问题有很大的实用价值。基于上述考虑,本文以粒子群优化算法为基础,提出了一种基于离散粒子群优化算法求解矩形件排样问题的新算法,并通过实验测试,验证了算法的有效性。

参考文献

[1]Stefan Jokobs.On genetic algorithms for the packing of polygons[J].European Journal of Operations,1996,88:165-181.

[2]贾志欣,殷国富,罗阳.二维不规则零件排样问题的遗传算法求解[J].计算机辅助设计与图形学学报,2002,12(5):467-470.

[3]龚志辉.基于遗传算法的矩形件优化排样系统研究[D].长沙:湖南大学,2003.

[4]Kennedy J,Eberhart R C.Particle Swarmoptimization[J].Proceedingsof IEEE International Conference on Neural Networks,IEEE servicecenter,Piscataway,NJ,1995(4):1942-1948.

[5]Clerc M.Discrete Particle SwarmOptimization—Illustrated by the Trav-eling Salesman Problem[J].http://www.mauriceclerc.net.

矩形问题篇9

一、情境再现

在职高数学教材中,讲到《函数的实际应用举例》一节时,有一个必不可少的例题,即高等教育出版社出版的《数学》第59页例3: 某人计划靠墙围一块矩形养鸡场,他已备足了10 m长的竹篱笆,问矩形的长和宽各是多少时,场地的面积最大? 最大面积是多少?

在此题中,我们利用一元二次函数求最值得到当长为5m,宽为2. 5 m时围成的矩形有最大面积为12. 5 cm2. 那么,此题就此欣然结束,还是值得深究呢?

二、探究过程

为四个小组设计了以下几个配套练习:

练习一: 用长为10 m的竹篱笆围一个矩形,问长和宽各为多少时,场地的面积最大? 最大面积是多少( 如图1) ?

练习二: 用长为10 m的竹篱笆围一个“日”字形的场地,问长和宽各为多少时,场地的面积最大? 最大面积是多少( 如图2) ?

练习三: 用长为10 m的竹篱笆围一个“目”字形的场地,问长和宽各为多少时,场地的面积最大? 最大面积是多少( 如图3) ?

练习四: 用长为10 m的竹篱笆围一个“目”字形的场地( 其中一面靠墙) ,问长和宽各为多少时,场地的面积最大?最大面积是多少( 如图4) ?

各组长把小组讨论的结果填入表格:

三、推理论证

1. 观察、猜想是发现问题的手段

教师引导学生探究,在此类问题中面积取得最大值有没有规律可循. 当组长们齐心协力完成上述表格后,学生可轻而易举地猜出,只有当“用在全部长上的总材料”和“用在全部宽上的总材料”相等时才有最大的面积.

2. 证明、推理是解决问题的必须

假设要用10 m的材料围成如下一个图形( 有n条长、m条宽) ,设长为x m,则宽为,当长x =5/nm,宽为5/m时,有最大的面积为

此时,用在全部长上的总材料是n×5/n=5m,用在全部宽上的总材料是m×5/m=5m,即“用在全部长上的总材料”和“用在全部宽上的总材料”相等时面积才取得最大值.

四、反思与建议

探究的主体必须是全体学生,而大部分职高生主动探究的能力欠佳,甚至没有任何探究的经历,必须有教师为其开道铺路,指引探索的方向与方法.

1. 为学生提供一个探究的内容

在上述案例中,从课本的例题出发,结合课后的随堂练习,并补充了若干类似题型,让不同层次的学生或模仿、或独立摸索、或集体探讨,都有一个亲历思考的过程和一个触手可及的结论.

2. 为学生提供一个探究的切入点

要让探究有所“发现”,这是从量到质的飞跃. 这个量的积累过程同样离不开教师的引导,需要教师恰到好处地给学生一个切入点.

3. 鼓励学生二次探究

在案例结束后,有学生对上述举例提出了异议: 万一墙不够长可怎么办? 即矩形的靠墙一边比墙长( 如图) ,要完全利用这面墙,那这个结论还适用吗? 这样的学生难能可贵,这样的机会教师要牢牢把握,或单独交流,或集体探讨,最终一定要给出一个说法.

4. 教师要提升对探究的认识

矩形固体料仓篇10

1 工艺条件

所有的工艺参数包括设计温度, 设计压力, 料仓材质, 磨蚀及腐蚀裕量, 充装介质的密度, 颗粒度, 安息角, 介质与壳体的磨擦系数及磨擦角等均由工艺专业提供。

2 选材

设备的选材除应满足设计要求外, 还要考虑其经济型。应尽量考虑优选用价格低廉并且刚性较好的碳钢材料。

3 设计计算

3.1 锥形料仓的分段

为使仓内料松散固体物料能够自动流出, 料仓无论横截面是圆形还是方形其底部均为锥体, 并且锥体部分的半顶角θ的大小与物料与壳体的摩擦系数及摩擦角有决定性的关系。半顶角θ一般由工艺提供。如图1, 整个设备就是一个截面为矩形的锥形容器。

为了准确的计算风载荷及地震载荷, 将料仓在高度方向等间距截面划分, 每一段就是一个小的矩形锥体。将每个截面及划分后的锥体从上到下分别按顺序编号, 如图1。并且在每个截面及竖向同等间距设置加强筋。

设定料仓壳体的名义厚度及加强筋的规格, 按照NB/T47003.2-2009依次计算每段锥体的容积, 操作质量, 重心, 地震力, 地震弯矩及任意截面处的最大弯矩等。

3.2 分析液体及固体物料对容器壁的作用力

固体料仓是储存固体松散物料的容器, 它是区别于储存气体, 液体的容器。气体充满于所储存的容器内, 以自身的压力对整个容器壁产生作用力。液体盛装在容器内, 以液柱静压力对不同高度的壁面产生不同的作用力。而松散的固体物料在自然状态下有堆积形态, 对物料面以下的容器壁产生垂直压力, 水平压力, 在物料流动的情况下对壁面还产生摩擦力。对于矩形容器的壁面其作用力也是如此。这里重点对固体松散物料及液体介质对容器壳壁的作用力作分析及对比。

NB/T 47003.2-2009《固体料仓》中固体物料对圆形容器的锥体壁有垂直压应力pvi-i, 水平压应力phi-i及法向压应力pni-i三种作用力。固体物料对圆形容器直筒壁有垂直压应力pvi-i, 水平压应力phi-i及摩擦力Ffi-i。实际上固体物料对容器壳体的作用力跟设备横截面的形状没有关系。固体物料对该料仓的斜壁板A及直壁板B在任意截面i-i的作用力如图2所示, 物料对斜壁板的法向作用力pni-i以及对直壁板的水平压应力phi-i决定设备壳体的材料和厚度以及加强筋的材料和规格是否满足强度及刚度要求。

而对于充装液体的矩形容器, 任意截面介质的作用力就是其界面以上部分液体的液柱静压力ρghi-i, 且对同一截面各个方向的力都是一样的, 其设计计算见NB/T47003.1-2009《钢制焊接常压容器》第8章矩形容器。

3.3 固体物料对矩形壳体作用力的计算及应力校核

如图三, 将该料仓每个矩形截面的对角线作为该截面的当量直径DHi-i, 代替N B/T4 70 03.2计算中的Dii-i及Dz|, 计算任意截面固体物料对斜壁板的垂直压应力pvi-i, 水平压应力phi-i及法向压应力pni-i。对直壁板的垂直压应力pvi-i, 水平压应力phi-i及摩擦力Ffi-i。并根据设定的壳体壁厚, 按照NB/T47003.2校核各个截面的各个应力, 如不合格, 调整壳体厚度, 重新计算直至合格。

3.4 按NB/T47003.1矩形容器计算壳体壁厚, 加强圈的惯性矩及绕度

将固体物料对斜壁板的法向作用力pni-i以及对直壁板的水平压应力phi-i代替NB/T47003.1第8章矩形容器各计算公式中的ρghi-i, 分别计算斜壁板A及直壁板B在各个截面处的载荷, 惯性矩, 壁板的计算厚度, 绕度。替换后各计算公式见表1。

若设定的壁板厚度及加强筋规格能同时满足要求, 停止计算。否则重新设定, 重新计算, 直至满足要求。因为当量直径DH只是设定的直径, 按其计算的固体物料对壳体壁的作用力存在一定的偏差。最终确定的壁板厚度及加强圈的规格在计算中应留有较大的裕量。

加强圈惯性矩的计算可参考机械设计手册, 也可参照HG 20582-1998带刚性环耳式支座的设计及计算中刚性环组合截面惯性矩的计算方法。

另外, 由于该料仓与钢梁的预埋件相焊, 悬挂在空中。最大操作状态下料仓与预埋件的焊缝剪切力必须小于料仓与钢梁操作条件下许用应力小值的0.6倍。

4 结构设计

除料仓锥体的半顶角要保证物料能够自动流出之外, 还要考虑在料仓的壁面上设置吹扫口。对于易燃介质, 如果采用气体吹扫时必须采用惰性气体。最长用的是氮气。

另外, 为了尽量减少物料在壳体内挂料滞留, 壳内所有焊缝应为连续焊。接管与壳体内壁齐平, 壳体内部所有角焊缝应打磨圆角, 呈圆滑过渡。加强筋尽量设备在壳体外表面。

5 制造

由于该料仓壳体的外表面横向及竖向均有加强筋。必须保证加强筋的横竖筋之间无间隙, 互相咬合。保证加强作用。还有, 对于加强筋与壳体的焊接中应采取一定的措施避免较大的焊接变形, 如均匀焊接, 对称焊接, 焊接中采取较低的线能量等。

注:表1中其余各符号的说明同NB/T47003.1第8章。

摘要：结合圆形固体料仓及矩形容器的设计标准及原理, 分析比较矩形固体料仓及液体矩形容器的结构及受力状况, 提出矩形固体料仓的计算方法。并指出料仓在结构设计, 制造中应该注意的一些问题。

关键词：矩形固体料仓,设计计算

参考文献

[1]HG 20582-1998, 钢制化工容器强度计算规定.

[2]NB/T47003.1-2009, 钢制焊接常压容器.

[3]NB/T47003.2-2009, 固体料仓.

矩形问题篇11

关键词:矩形光束激光发射系统仿真分析 Zemax

中图分类号:O43文献标识码:A文章编号:1007-3973(2010)06-097-02

1引言

非相干光线在传播过程中彼此间不产生影响,这种情况我们称之为几何光学,几何光学的光线追迹对光学系统设计及光线传播是一种有着广泛应用的技术。一般来说,经过评价函数检验能够满足衍射要求的系统可以认为即是符合要求的。但是,几何光学是是光线传播的不完善的描述,显而易见这种光线追迹方式并不能完成所有的建模任务,衍射计算仅发生在从出瞳到像面的后一个阶段,发生在镜头之间和孔径上的衍射则被忽略。对于成像系统,这样简单的建模已经足够,但对于激光扩束系统是远远不够的,尤其在激光束传播到远场时的情况更是与此相差甚远。因此本文通过Zemax的物理光学原理来对此扩束系统进行分析,这种分析主要通过衍射来计算波前,它考虑的衍射将不仅仅是在出瞳上,而是以每个面上的衍射传播为基础,同时考虑镜头孔径、焦点附近小孔衍射的像差移动等影响,符合真实波前传播。

2发射光学系统及矩形光束的建立

图1所示为建立的反射式激光扩束系统,该系统采用主镜为椭球面和次镜为球面的组合,主镜口径200 mm,次镜口镜60 mm,主次镜间距299.4 mm,通过微调主次镜的间距来实现发散角及输出光斑的调节。

Zemax能够模拟精确的基模高斯光束,并能给出在实际的衍射条件下基模激光束的束腰和发散角等详细变化情况。然而系统所采用的10.6m激光器输出激光束是一个空心的矩形光束。用Zemax来模拟这样的空心矩形光束,可以结合ABCD矩阵以及自定义孔径的方法来模拟的均匀空心矩形光束,如图2所示为模拟的光束及能量分布情况,由于孔径边缘衍射的影响,使得光束边缘能量较实际光束要高。该输入光束总功率200 W,最高功率密度0.2258 W/mm2,尺寸为48€?6 mm,此光束的传播仍然可以认为其符合高斯光束的传播规律,光束的参数仍然可以用高斯光束的参数来表征,以最大光束半径即对角线尺寸来表示光腰,具体参数:光腰半径为4.4736 mm,光腰距扩束系统光阑(次镜)处为34377 mm,光阑处光束半径为30 mm,远场发散角近似为1.51 mrad,瑞利距离即准直距离为5931.4 mm。

3光束传输仿真

发射距离分别为100 m和30 km时输出光斑分布如图3所示。光束在传输过程中遵循相同的衍射和高斯传输规律,不同的是,矩形光束由于孔径和光学元件边缘衍射等因素的影响,与理想光束相比,传输过程中的光斑变得更不规则,能量分布情况也更加多变。

矩形水池的设计要点探索篇12

地下式敞口水池是指池顶标高与地面一致或高出地面的高度不超过300mm无顶盖的水池类型。设计时主要考虑是池壁和底板内力计算。

(一) 设计思路。

一是初步确定池壁底端厚度及基础底板厚度;二是根据工艺需求及结构选型选定基础的宽度及伸出池壁以外悬挑宽度;三是按选定的池壁及基础截面验算稳定性;四是计算池壁和基础的内力及配筋, 并验算裂缝。

(二) 荷载分类。

水池设计可能出现的荷载:各部分的自重、池壁内外的压力、池底上的液体压力、地基反力、地下水浮力、地震作用、温度作用及产生的附加应力。

1. 池壁荷载。

作用在池壁上的荷载可分为池内水压力、池外土压力和地下水压力。

2. 池底荷载。

池底荷载指水池自重引起的地基反力或地下水浮力。当地基不是太软弱时, 可以测定由水池自重引起的地基反力为均匀分布。计算时可以采取水池总重除以池底面积。

3. 温、湿度荷载。

温度应力和湿度应力是导致混凝土池壁产生裂缝的主要原因, 设计上除采取构造措施外, 对于冬夏季或早晚温、湿差大的地区, 尚应考虑温、湿度荷载所产生的内力。

(三) 荷载组合。

水池强度计算时, 需考虑试水阶段和使用阶段。主要有四种荷载组合:一是结构自重+池内满水压力 (试水阶段) 。二是结构自重+内外液体压力 (有时无内液体压力) +外土压力+活荷载 (或雪荷载) 。三是结构自重+内液体压力+温差, 当冬季温差的绝对值大于夏季湿差的绝对值时该组合最不利。四是结构自重+内液体压力+湿差, 当夏季湿差的绝对值大于冬季温差的绝对值时该组合最不利。第1组合为基本组合, 第3、4组合用于冬夏季或早晚温、湿差大的地区, 并且没采区任何保温措施的水池。

(四) 矩形水池截面设计。

1. 水池基础设计。

钢筋混凝土水池基础一般采用筏板基础, 即水池的底板作为基础, 基础底板下铺设100厚C15素混凝土垫层。

根据地勘报告在设计说明中说明地基承载力特征值fak, 基础底面 (基础垫层底面) 进入持力层不小于300mm。如果地基土不满足设计承载力, 出现以下劣质地质时要对地基进行处理, 而不是加厚水池底板。一是地基土为软弱泥土, 含水率过高, 流动性较强;二是地基地下有较大的地下水;三是地基底下有软弱夹层。

2. 抗倾覆验算。

池内满水, 水池周围土压力为有利荷载时, 抗倾覆按下式验算:

式中:0.9———池壁和基础的自重分项系数;αwaB———GBK和GWK作用中心至A点的水平距离;MAP和MA———对A点的抗倾覆力矩和倾覆力矩。

3. 抗滑移验算。

当水池被贯通的伸缩缝分割成若干区段, 且采用分离式底板, 底板和池壁基础之间设有分离缝, 按下式验算池壁的抗滑移稳定性。

4. 抗裂验算。

水池计算, 若水池深度比较深, 池壁的弯距比较大, 则池壁配筋是以裂缝来控制, 而非以强度控制。对于一般不出现裂缝的池壁, 按δf=0.2mm取值, 配筋就以此大小起控制作用了。若水池深度比较浅时, 池壁的弯距比较小, 池壁配筋是以强度来控制, 裂缝一般能满足。

5. 池壁内力计算。

浅池池壁在内外水压及土压力作用下, 主要为竖向传力。

浅池池壁计算模型为:顶端自由、底端固定边界条件的悬臂构件计算模型。构造上保证底端有足够的嵌固力。

侧压力引起的M、V, 计算公式如下:

(1) 底端剪力:

(2) 底端弯矩:

浅池池壁配筋可采用14@200, 在距池底1/3高度处附加14@200的钢筋, 可以控制裂缝。水池顶端宜在内外两侧配置不少于3根的水平加强筋, 间距≤10cm, 直径不小于池壁受力筋且≥16mm。

(五) 基本构造要求。

1. 材料要求。

水池混凝土强度等级不小于C25, 水池外露时, 应考虑混凝土的抗冻等级。混凝土不得采用氯盐作为防冻、早强的掺合料。池壁、底板的受力钢筋宜采用小直径钢筋和较密的间距。受力钢筋每米宽度内不宜小于4根, 且不宜超过10根。钢筋采用HRB335和RRB400级钢筋。水池各部位的钢筋间距应在100~250mm范围内。钢筋混凝土水池的抗渗, 宜以混凝土本身的密实性满足抗渗要求。混凝土抗渗等级Si要满足以下要求:一是Hi/t (最大作用水头与混凝土壁、板厚度之比) <10, 抗渗等级采用S4;二是10≤Hi/t≤30, 抗渗等级采用S6;三是Hi/t>30, 抗渗等级采用S8。相应混凝土的骨料应选择良好级配;水灰比不应大于0.50。

2. 壁厚、底板厚度。

钢筋混凝土水池构筑物, 其壁厚不宜小于200mm, 壁厚b=h/10~1/15 (经验值) ;底板不宜小于300mm, 底板t=1.2~1.5b选取 (经验值) 。

3. 裂缝。

现浇钢筋混凝土水池最容易在角隅处出现裂缝, 因此需要在池壁转角处、池壁与底板相交处设置“暗梁”、“暗柱”。

4. 变形缝。

水池的变形缝 (伸缩缝和沉降缝) 应做成贯通式, 在同一剖面上连同顶板、底板一起断开。伸缩缝宽度≥20mm, 沉降缝宽度≥30mm。伸缩缝的设置:超过20米需设置伸缩缝。

5. 混凝土水池受力钢筋混凝土保护层最小厚度 (a, 单位mm) 所适应的构建类别及工作环境规定。

一是a≥30:适用于墙、板构件与水、土接触或处高温时;二是t≥35:适用于墙、板与污水接触, 梁、柱与水、土接触或处高温时;三是t≥40:适用于梁、柱与污水接触, 有垫层的下层筋基础、底板;四是t≥70:适用于无垫层的下层筋基础、底板。

二、结语

在进行市政水池设计的过程中, 只有根据场地条件、地勘资料、工艺要求, 选择正确而合理的结构形式, 建立正确的计算模型, 采取切合实际的构造措施, 才能设计出经济、合理、抗渗性能高的水池结构。

参考文献

[1].给水排水工程钢筋混凝土水池结构设计规程.CECS138:2002