正交各向异性矩形板（精选3篇）
正交各向异性矩形板 篇1
引言
许多工程实际问题都是抽象为搁置在弹性地基上的矩形板问题。代表性的工程如机场跑道面板、建筑物基础及其各种试验台。随着复合材料的广泛应用, 一些呈现正交各向异性的结构在实际工程中应用越来越广泛。因此, 研究弹性地基上的正交各向异性矩形板弯曲问题有重要的实际意义。
在分析地基板时, 常用的地基模型有Winkler模型、双参数模型和弹性半空间模型。而Winkler模型和双参数模型均需要对地基反力作出假设, 具有一定的局限性, 相对的弹性半空间模型则取消了地基反力的假设, 得到的解更加合理和精确。现有的研究, 要么采用Winkler弹性模型或双参数弹性模型;要么对地基反力做一些假设, 要么不能全部满足板的边界条件[2]等;要么用数值方法或半解析方法。现有很多大型商用软件可以求取弹性地基上的矩形板问题的数值解[3], 但是在许多情况下这个问题的解析解还是很有必要研究的。文献[4]研究了弹性半空间地基上四边自由矩形板的弯曲解析解, 但是均假定矩形板的材料是各向同性的, 而有关弹性半空间地基上正交各向异性矩形板的问题的解析解国内外研究甚少。
利用弹性半空间受任意竖向荷载作用下的静力积分变换解, 采用Fourier双三角正弦级数和单三角正弦级数, 分析了弹性半空间地基上四边自由正交各向异性矩形板的弯曲问题, 得出弹性半空间地基上四边自由正交各向异性矩形板受任意竖向荷载作用下的弯曲解析解。
1 控制微分方程及其一般解
弹性半空间地基上正交各向异性矩形板, 受垂直于板面横向力q (x, y) 作用, 地基作用于板的竖向反力为F (x, y) 时的控制微分方程, 若取x、y坐标轴同板的主方向平行时, 则有
式中, Dx、Dy分别为沿x、y方向的抗弯刚度, 它们同x、y方向的弹性模量Ex、Ey, 泊松比vx、vy和板的厚度h等的关系, 见文献[5]。
H=Dxvy+2Dxy为折算刚度, Dxy为抗扭刚度。
板的内力可以用挠度函数表示为
边界条件可表示为
根据控制微分方程 (1) , 可将其解表示成
其中w1, w2, w3为方程的齐次解;w0为特解。
这里 相应地将板面上的已知外荷载q (x, y) 和地基反力F (x, y) 也展为
将 (6) 、 (7) 代入方程 (1) , 比较系数, 得到
设矩形板四个角点的挠度分别为woo, wao, wob, wab;由式w3=Kxy+Lx+My+N得
讨论Ym (y) :
(1) H2
(2) H2=DxDy时, Ym (y) =A1mchεmy+B1mεmychεmy+
(3) H2>DxDy时, Ym (y) =A1mchθmy+B1mshθmy+
Xn (x) 与Ym (y) 类似, 这里不予列出。
为了简化计算, 设沿x=0, a;y=0, b各边的挠度均表示成带有补充项的正弦级数, 法向弯矩也表示成正弦级数, 即:
由文献[6]知:
(1) H2
(2) H2=DxDy时
(3) H2>DxDy时
以上三种情形, D12=Dxvy, w2分别与w1类似, 不予列出。
当弹性半空间地基上四边自由正交各向异性矩形板仅承受任意对称分布载荷q (x, y) 作用时, 由弯矩边界条件可知:En=Fn=Gm=Hm=0;由对称性知, woo=wao, wob=wab, 所以由式 (9) 知:K=L=M=0;同样由对称性可知:An=Bn, Cm=Dm。以下仅讨论H2=DxDy情形, H2
这样在式 (19) 、 (20) 、 (21) 中就只剩下待定系数Cm, An, N, Cmn。
2 求解方程的建立
方程的一般解为 (4) 式
同它们相应的内力素分别为Qx (1) 、Qx (2) 、Qx (3) 、Qx (0) 等等。利用剩下的剪力边界条件及角点条件, 令:在x=0边界上
在y=0边界上
在点 (0, 0) :
式 (25) 中, 进行了如下变换
其中
而1Θmn (2) 、1Θmn (3) 、1Θmn (4) 也有类似形式, 不予列出。
Qy与Qx类似, 这里不予列出。
若地基反力F (x, y) 已知, 由式 (8) 、 (22) ~ (24) 这四组方程可联立求解各待定系数Cm, An, N, Cmn, 各系数求得之后代回式 (4) 中得挠度, 进一步可求得弯矩等内力。若地基反力F (x, y) 未知, 先对F (x, y) 进行双重Fourier变换
再由 (7) 、 (35) 式得
由文献[4]知弹性半空间体受任意竖向荷载作用下的积分变换解为
式中, q12=ξ2+η2
将w|z=0看成是区域 (0≤x≤a, 0≤y≤b) 上的函数, 当然可将其展成双重正弦级数:
利用式 (37) 、 (39) , wzmn可以表示为
将板的挠度式也展成同样形式的双重正弦级数, 由于矩形薄板的挠度与弹性地基表面的竖向位移相等, 因此其对应项的系数也相等, 于是得以下变形协调方程:
式 (8) 、 (22) ~ (24) 以及 (41) 这5组方程, 即为弹性地基上矩形薄板弯曲的控制方程。联立求解各待定系数Cmn、Qmn、Cm, An, N。设m和n分别取最大M和N, 则共有2MN+M+N+1个方程, 用以解相同数目的未知数。各系数求得之后代回式 (4) , 得板的挠度, 进一步可求得弯矩内力值。
3数值算例
考虑一支承在弹性半空间上, 边长a=4m。厚度h=0.2m的弹性方薄板的弯曲。假设板与地基之间为光滑接触。地基泊松比为0.4, 弹性模量为343MPa。板的泊松比0.167, 弹性模量E=34300MPa。板上作用均布荷载q=0.98MPa, 采用本文的方法 (M=N=39) 、文献[4]的方法、四节点等参元的计算结果列于表1。
图1、图2分别是用本文方法所得到的矩形板的挠曲面图以及沿矩形板中心线和边界线的挠度, 图3、图4是弯矩Mx的三维图形及二维曲线。
由以上结果与文献[3]的结果对比可知, 本文的方法是切实可行的。
4结论
利用弹性半空间受任意竖向荷载作用下的静力积分变换解, 采用Fourier双三角正弦级数和单三角正弦级数, 分析了弹性半空间地基上四边自由正交各向异性矩形板的弯曲问题, 得出弹性半空间地基上四边自由正交各向异性矩形板受任意竖向荷载作用下的弯曲解析解, 包括板的挠度、内力。不仅弥补了数值法的一些不足, 同时取消了Winkler地基模型或双参数地基模型的假设, 从而得到板的内力更合理、更精确的分布规律。同样的, 也可利用挠度表达式的一般格式求解弹性半空间地基上任意边界条件下的正交各向异性矩形板受任意竖向荷载作用下的弯曲解析解。
参考文献
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正交各向异性矩形板 篇2
关键词：正交各向异性板,各向同性板,等效,相似性
引言
现浇混凝土空心板通过空心管减小了中性轴附近的混凝土,对强度和刚度影响较小而自重减轻20%～55%,因此近些年广泛应用在大跨度楼板中[1,2],空心管在板内的单向排列形成了板的宏观正交各向异性[2],如何计算具有宏观正交各向异形板的内力和变形成了空心板设计的关键问题.
正交各向异性板已经有许多很成熟的求解方法,如四边简支矩形板,目前常用的经典计算方法是纳维提出的求解各向同性板的二重三角级数解法推广到正交各向异性板[3],但是要通过级数求解也是很复杂的,而对于不是简支的边界条件,或者形状不是矩形,求解将更为复杂;有研究者提出了虚拟梁法[4],用等效的井子梁来模拟板的正交各向异性,但是,要通过复杂的有限元方法才可以计算出结果,并且井子梁网格要足够的密,否则将减弱板的抗扭刚度;有研究者提出了加权参数配点法求解积分方程来计算正交各向异性板变形[5],但是计算仍然需要通过双三角级数求解,也有研究者提出了状态空间法解正交各向异性板[6],文献[7]用彼得洛夫-伽辽金法分析各向异性板屈曲问题,这些方法都不便于工程技术人员的应用.
像浇现浇混凝土空心板一样,有一类正交异性板上、下外表面是平整的,其正交各向异性是由于内部存在正交各向异性的结构形成的,如双向不同配筋的混凝土板、日常生活中的木板、胶合板、采用纤维加强的复合板等,这种板刚度之间存在关系式D3=[2,8],也就是,本文从正交各向异性板挠曲面的偏微分方程出发,通过简单的变换将这类正交各向异性板等效为一块各向同性板,得到了这类板的简单计算方法.经过分析得到:各向同性板任意点的挠度就是原正交各向异性板对应点的挠度,各点内力存在简单的对应关系,规则形状的各向同性板的挠度和内力都可以通过手册查到,因此,本文的方法将为工程技术人员提供极大的方便,特别是为现浇混凝土空心楼盖结构的设计计算.
1 等效各向同性板和挠度计算
正交各向异性板存在如下挠度偏微分方程
其中,为抗弯主刚度;D3=μ1D2+2Dk=μ2D1+2Dk为有效抗扭刚度;为抗扭主刚度.
对于上、下表面平整的板,存在:G12=,即,取参数k=D2/D1,这也是等效过程中唯一的参数.等效各向同性板的力学常数为
等效各向同性板的几何尺寸变换
根据上述的等效性得到
到
令q(x1,,y1)=q1(x,y),将式(2)和D1,D2,D3代入式(1)得
式(3)说明:几何尺寸,弹性模量为E=E1,泊松比为的各向同性板在载荷q1(x1,y1)=g(x,y)下的挠度曲面w1(x1,y1)与几何尺寸x,y,弹性模量为E1,E2,泊松比为μ1,μ2的正交各向异性板在载荷q(x,y)下的挠度曲面w(x,y)满足w(x,y)=w1(x1,y1),也就是说等效后的各向同性板的挠度曲面w1(x1,y1)与原始尺寸的正交各向异性板的挠度曲面w(x,y)是相似的,挠度最大值相同,x向不变,只是沿y向伸缩了正交各向异性板点(x,y)与等效的各向同性板点具有相同的变形.
2 内力等效和计算
正交各向异性板点(x,y)与等效的各向同性板点的内力对应关系
板的平衡方程
由式(4)～(7)得
式(8)说明:如果等效的各向同性板的内力满足了平衡方程(8),按式(4)～(6)计算出的正交各向异性板的内力一定满足正交各向异性板的平衡方程(7),其实,这点也是直接根据板的挠曲面方程得到的.
通过上述的等效,正交各向异性和各向同性板存在着简单的相似关系:变形和Mx1,相似比为1,My相似比为,Mxy相似比为,
内力和变形计算的方便之处在于工程应用,各种边界条件下各种尺寸板的内力Mx1,My1,Mx1y1和变形w可以很容易通过手册和表格查到,这样就可以通过各向同性板的内力结合式(4)～(6)计算出正交各向异性板的内力,挠度不变.
3 算例
有一正交各向异性矩形板,跨度为a×b=8m×10m,AB=CD=a=8m,BC=AD=b=10m,见图1,板厚为200mm,受均布载q=10kN/m2,弹性常数E1=Ex=3×1010 N/m2,E2=Ey=2.4×1010 N/m2,μ1=μx=0.25,μ2=μy=0.20.
可以得到等效需要的唯一参数k
等效成的各向同性板
载荷q=10kN/m2不变.
利用ADINA软件分别对3种边界条件下的正交异性板和等效成的各向同性板进行了内力和变形分析,纵横均分为40份共1600个单元,计算结果见表1,各向同性板的My,My0和Mxy是通过公式(5),(6)由My1,My10和Mx1y1计算出来的正交各向异性板内力,其中AD嵌固情况的挠度和x向弯矩计算结果见图2和图3.
根据图2最大挠度分别为7.799 mm和7.805 mm,两者相差0.08%;根据图3,各向同性板支座Mx10=62107 (N-m/m),正交各向异性板Mx0=62115 (N-m/m),相差0.01%;各向同性板My1=18608 (N-m/m),根据式(5)(N-m/m),正交各向异性板计算出My=16651 (N-m/m),相差0.05%;各向同性板Mx1y1=21928 (N-m/m),根据式(6)(N-m/m),正交各向异性板计算出Mxy=20 758 (N-m/m),相差0.1%.
根据前面的理论分析:力和变形的等效关系是严密的,不存在近似,因此,表1产生的差别是由于有限元的计算误差造成.
4 结论
对于上、下表面平整的等厚度正交各向异性板,宏观剪切模量满足,也就是刚度,这时可以将正交各向异性板等效为各向同性板计算分析.
(1)本文给出了各向同性板和正交各向异性板之间的简单的等效关系,只需要一个参数k=Ey/Ex;
(2)正交各向异性板和等效各向同性板在对应点上有完全相同的挠度;
(3)正交各向异性板和等效各向同性板在对应点上内力存在简单的对应关系:,可以方便计算.
参考文献
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正交各向异性矩形板 篇3
正交异性钢桥面板是指用纵横向相互垂直的加劲肋(纵肋和横隔板)连同桥面盖板所组成的共同承受车轮荷载的结构,其中纵肋起连续梁的作用,横梁在横向支撑各纵肋[1]正交异性钢桥面板发展早期纵肋截面采用开口形式,虽然形状简单,制作连接容易,但抗扭抗弯刚度小,逐渐发展为采用闭口形式,抗扭抗弯刚度,压屈强度提高[2,3],经济性能好,现代钢桥设计中多采用闭口形式截面正交异性钢桥面板,但构造复杂,其局部峰值应力与纵肋的构造刚度和布置形式等有关[4,5]。
为深入探讨不同纵肋截面形式对该连接构造受力性能的影响,基于某钢桥足尺的有限元模型,选取几种不同的纵肋截面形式,分析车轮作用下该连接构造的应力分布,根据结果推荐相对较优的钢桥面板布置形式。
1 纵肋截面形式的影响
1.1 模型的结构参数
某大跨径桥梁正交异性钢桥面板足尺模型试件:主要由盖板、纵肋和横隔板焊接形成,包括了钢桥面板的主要构造。保持纵肋上开口300mm,高度280mm与倒角半径不变,足尺模型纵向尺寸为1800mm,横向为3600mm,横隔板和下翼缘采用0345B级钢。盖板厚为14mm,下翼缘板厚12mm,横隔板厚为1 0mm,纵向闭口加劲肋尺寸为300mm×280mm×8mm,纵肋中心距为600mm。
对不同纵肋截面形式下的横隔板受力进行分析,纵肋截面型式分别为U型截面、V型截面和梯形截面三种闭合形式,将这三种纵肋截面依次编号为Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ。
对不同纵肋截面形式下的横隔板受力进行分析,保持纵肋上开口300mm,高度280mm与倒角半径不变。纵肋截面型式分别为U型截面、V型截面和梯形截面三种闭合形式,将这三种纵肋截面依次编号为Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ。其构造和尺寸如图1所示。
1.2 边界条件及荷载工况
模拟两个面积为200×300mm的简支支座作为模型的边界条件,分布在模型横断面两端,采用简支的方式约束。
根据中国标准荷载(JTG＿B01-2003)规范的CH-CL车型。选择2×140kN的单轴荷载作为模型的荷载工况,接触面积模拟车轮与路面的接触面积为600mm×200mm2加载面积,净距1 200mm。加载位置关于模型中心线对称,分别位于肋2和肋5内侧腹板正上方。
采用仿真软件建立计算模型,见图2 (限于篇幅的原因,本文只展示出U型截面的有限元模型)。
1.3 模型结果的影响分析
为了分析三种纵肋截面对正交异性钢桥面板受力的影响,表1从三个模型的计算结果中收集了不同加劲肋截面形式下,桥面板、横隔梁和纵肋三部分相应的应力级值。从表1的数据显示出,横隔板的受力极值较桥面板和纵肋的明显大。
从图3的比较趋势来看,Ⅱ截面在桥面板、横隔板和纵肋上相对应的应力极值都比其他两种截面小,所以基本判断Ⅱ截面较另外两种截面合理一些。Ⅰ截面在各连接构造上的应力极值都明显比Ⅱ截面大。从应力极值的大小及分布来看,纵肋截面形式直接影响到横隔板和纵肋的应力分布,主要是因为纵肋截面形式影响着正交异性钢桥面板内部力的传递。图3—c中Ⅲ截面P3的突变,主要是梯形截面拐角处不平滑,而导致应力集中的现象出现在纵肋的拐角处。各截面桥面板相对应的应力极值的变化不太明显,其主要是由于桥面板直接承载着模拟的车轮荷载。而且从图4各截面横隔板的应力云图可以明显看出,横隔板的应力极值点主要分布在构件模型弯剪耦合段,即就是加载部位附近且与肋2和肋5外侧连接的横隔板交接处附近。
注:P1表示最大主应力;P3表示最小主应力;|σX|max表示X方向上应力绝对值的最大值;|σY|max表示Y方向上应力绝对值的最大值。
2 结语
通过对三个模型的应力极值分布进行分析,得出以下结论。
(1) V型截面在三种截面中,对于正交异性钢桥面板内部力的传递和应力的分布方面最有利。
(2)梯形截面的拐角处是正交异性板应力集中的敏感区域,构造上要格外优化处理。
(3)正交异性钢桥面板的应力极值点主要分布在构件模型弯剪耦合段。
参考文献
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