波利亚怎样解题（通用8篇）
波利亚怎样解题 篇1
从波利亚《怎样解题》
谈数学学习的习惯培养
沈 斌
摘要：运用波利亚的“怎样解题”表来指导数学教学，揭示解题过程的思维训练全貌, 暴露数学学习核心问题的本质，以增进教学效果，同时, 在解题的过程中，也使学生的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高解题能力，而且养成有益的思维习惯，进而形成了良好的数学学习习惯，而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。
关键词：怎样解题表职业中学学习习惯
正文：
一、中等职业学校学生学习现状
当前的职校数学教学面临着一种困境，学生生源质量差且参差不齐，经常听到有教师怨言：“这些学生怎么教呵！”学生基础比较差这是事实，是不是学生智质差？不是，学生也聪明，活泼好动，究其原因是职业中学学生大多,数学学习习惯不好，学习被动等，他们不懂得怎样去思考问题, 怎样将己知未知联系起来, 甚至搞不清已知是什么,总之他们不会学习或者说解题不知从何入手。对于教师而言，面对着一个班级里有许多学习目的不明确、学习习惯不好、基础不扎实的学生，如何上好课的确是一大难题，如果沿用传统的课堂教学目标和模式，其结果只能造成师生互怨。
二、波利亚《怎样解题》的启示
美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表。这张表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程。
波利亚把他本人数十年的教学与科研经验集中具体地表现在他的”怎样解题”表上。在这张表中, 他按照逻辑思维的顺序和出现可能性大小的顺序搜集了一系列公式化了的指导性意见, 提出的方式也十分灵活, 有时用建议的口气, 有时则用引导性问题的办法, 尽量顺乎自然, 使学生感到这些意见真是说到他们的心坎上了, 这就是他们自己所要说的话。波利亚说: “教师最重要的任务之一是帮助学生”。“教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤”。波利亚的《怎样解题》教学思想使我受到启示，在课堂教学中尝试“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤，使学生逐步养成了良好的数学学习习惯。
三、在职校数学教学中应用《怎样解题》思想培养学生学习习惯
(一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯
审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前
提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。数学教师在通常的教学过程中应时时提醒学生这样尽力去做, 那么我们的学生不管他对每一道题目是否审的清楚, 但一定可以在这种过程中培养起先弄清问题,分析已知条件的习惯。
例 如果一条直线平行于一个平面,那么垂直于这条直线的平面必垂直于这个平面.讲解第一步、弄清问题:
你要求证的是什么?
要求证的是平面与平面垂直.已知些什么?
一条直线平行于一个平面, 另一个平面垂直于这条直线.可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗?
已知: 直线a∥平面α, 直
求证:平面α⊥平面β.效果：通过以上的审题和分析
了题意并数学化，同时大脑中有了
(二)通过探求解题方法,培
习惯
在波利亚的解题表中，拟定计划是关键环节，“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过程。“拟定计划”的过程其实就是不断变换问题的过程，把复杂的问题向简单的问题转化，陌生的问题向熟悉的问题转化，最终把待解决的问题化归为已解决的或易解决的问题，这样在探索解题思路的过程中自然而然地培养了学生拟定解题计划的习惯。学生有了计划, 就不会拉下已知条件, 就会考虑解题的优先顺序，有清晰的目标，就可以通过计划的实施来实现解题的目标。
讲解第二步、拟定计划:
怎样证明两个平面垂直?
要证明平面α⊥平面β, 只要在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可。
怎样找到另一个平面的垂线呢？
由直线a⊥平面β, 根据直线和直线平行的性质定理, 只要在平面α内找到一条和直线a平行的直线, 这直线必定垂直于平面β。
怎样在平面α内找到这条直线呢？
而由直线和平面平行的性质定理可知, 只须过直线a任意作一个平面γ和平面α相交于直线b, 则交线b⊥平面β, 由此可证明结论成立.解题计划：直线a∥平面α，可找平面α内的直线b，a∥b可得直线b⊥平面β，b⊥平面β且平面α经过直线b结论可得证。
(三)通过实现解题计划,培养学生将计划付诸实现的习惯
想出一个计划,产生一个求解的念头是不容易的,要成功,需要有许多条件,如已有的知识、良好的思维习惯等。我们要把来之不易的好计划好念头付诸实现，在解题计划的实现过程中我们必须充 a线a⊥平面β.已知条件，使学生弄清一个立体模型.养学生拟定解题计划的实细节并耐心地检查每一个细节，直到每一点都完全清楚，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。在这个过程中教师要注意培养学生的耐心和恒心，要时时提醒学生自己解题的计划是什么?按照解题计划坚持让学生检查每一步骤,这对职业中学的学生而言尤其重要,因他们的关键是踏踏实实的做每一件事情，将计划执行到底。
讲解第三步、实现计划:
证明:过直线a任作一个
直线b
直线a∥平面α a∥直线a⊥平面β
b⊥平面β a平面γ, 和平面α相交于而平面α过直线b，则平面α⊥平面β.检查：直线和平面平行的性质定理，直线和直线平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理，三个定理清晰保证每步成立。
(四)通过解题回顾, 培养学生主动回顾反思的习惯
即使是相当好的学生, 当他得到问题的解答, 并且很干净利落地写下论证后, 就会合上书本, 找点别的事来干干。这样做, 他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。
培养学生对自己的解题过程进行回顾反思的习惯，提高学生的思维自我评介水平，这是提高学习效率，培养数学能力的有效的方法。解题是学好数学的必由之路，养成对自己的解题过程进行回顾反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。如果在获得正确答案后就此终止,不对解题过程进行回顾和反思，那么解题活动就有可能停留在经验水平上,事倍功半；如果在每一次解题以后都以对自己的思路作自我评价，探讨成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，并促使学生的思维进入理性认识阶段，事半功倍，同时可能会产生创新的好念头。因此，为了提高数学学习效率，必须加强正确的解题思想教育，使学生养成回顾反思的习惯。
讲解第四步、回顾:
回顾解题过程可以看到, 解题首先要弄清题意, 从中捕捉有用的信息, 同时又要及时提取记忆中的有关知识, 来拟定出一个成功的计划。此题我们在思维策略上是二层次解决问题, 首先根据直线和平面平行的性质定理找到直线b, 然后根据直线和直线平行的性质定理及平面与平面垂直的判定定理得证。
四、教师应更新教育观念 ,摆出良好姿态
数学家乔治·波利亚在他的《怎样解题》一书中自始至终体现出对学生的关怀和设身处地地为学生考虑的思想。因此，我们职业学校的教师应转变教育思想,树立起为学生服务观念, 摆出良好姿态面对我们的学生，我们要相信每个学生都是有能力学好的。给予学生更多的人文关怀，教师在整个教学过程中应从学生的角度出发，考虑学生的学习感受，特别对于基础差的学生，更不能带有偏见、抱怨和漠然的态度，应尊重他们受教育的权利，设计出符合学生特点的课堂教学，更好地为学生服务。本着这样一种观念，就会创造出一种让学生处处感到被信任的氛围，没有怀疑，只有理解，其结果则会培养学生的自觉意识，增强自律能力，逐步养成良好的学习习惯。这就要求教师要做到：
1、要热爱学生，这是达到民主和谐的基础，没有爱就没有教育.2、要建立平等的师生关系，教师要放
下架子，把自己当作学生中的一员，使自己成为既是学生学习的指导者，又是合作者，积极参与学生的讨论、交流，经常用商量的口吻进行教学。
3、要正视学生的潜能，承认学生能主动发展，视教学过程为学生的发现、创造的过程，而不仅是知识获得的过程。
参考文献：
G.波利亚著<<怎样解题>>阎育苏译
<<数学解题思维策略>>刘云章 赵雄辉 编
从<<怎样解题>>谈例题教学何双谊高中数学教与学2004 年第12期
<<波利亚的怎样解题表>>罗增儒
罗新兵中学数学教学参考2004 年第4期
波利亚怎样解题 篇2
关键词：解题方法,数学问题,规律,程序
波利亚曾经教过中学, 长期从事大学数学教学工作。在漫长的岁月中, 他的精湛的教学艺术与杰出的数学研究相结合, 产生了他特有的丰富的数学教育思想。波利亚数学教育思想有两个基点: 其一是关于对数学科学的认识, 其二是关于对数学学习的认识。其中他的《怎样解题》产生深刻影响。
一、怎样解题
1. 理解题目
未知量是什么? 已知数据是什么? 条件是什么? 满足条件是否可能? 要确定未知量, 条件是否充分? 或者它是否不充分? 或者是多余的? 或者是矛盾的? 画张图, 引入适当的符号。把条件的各个部分分开, 能否把它们写下来?
2. 找出已知数与求知数之间的联系
如果找不出直接的联系, 可能不得不考虑辅助问题, 应最终得出一个求解的计划。
拟订计划: 你以前见过它吗? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 是否知道与此有关的问题? 是否知道一个可能用得上的定理? 观察未知量。试想出一个具有相同未知量或相似未知量的熟悉的问题。能应用它吗? 能不能利用它? 能利用它的结果吗? 为了能利用它, 是否应引入某些辅助元素? 能不能重新叙述这个问题? 能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去。
如果不能解决所提出的问题, 可先解决一个与此有关的问题。能不能想出一个更容易着手的有关问题? 一个更普遍的问题? 一个更特殊的问题? 一个类比的问题? 能否解决这个问题的一部分? 仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分, 这样对于未知能确定到什么程度? 它会怎样变化? 你能不能从已知数据导出某些有用的东西?
3. 执行方案
执行解题方案, 检验每一步骤。能否清楚地看出这一步是正确的? 你能否证明这一步是正确的?
4. 检查已经得到的解答
回顾: 能否检验这个结果? 你能否用别的方法导出这个结果? 你能不能把这结果或方法用于其他的问题?
二、例子
例题: 已知长方体的长、宽和高, 求它的对角线长度。
第一步: 理解题目。
教师和学生之间的对话可以像下面这样开始:
“未知量是什么?”“这个长方体的对角线的长度。”
“已知数据是什么?”“此长方体的长、宽和高。”
“引入适当的符号。用哪个字母表示未知量?”“x。”
“你选哪些字母来表示长、宽和高?”“a, b, c。”
“联系a、b、c与x的条件是什么?”“x是长为a、宽为b和高为c的长方体的对角线长度。”
“这是一个合理的题目吗? 我的意思是, 条件是否足以确定未知量?”“是的。如果我们已知a、b、c, 我们就知道了长方体, 如果长方体被确定, 其对角线也就被确定了。”
第二步: 拟定方案。
“你们知道一道与它有关的题目吗?”“观察未知量。你们是否知道有哪一道题目和这一道题目有相同的未知量?”“那么, 未知量是什么?”“长方体的对角线。”“你们知道有什么题目和这一题目有相同的未知量吗?”“不知道, 我们从来没碰到过关于长方体的对角线的题目。”“你们知道有什么题目和这一题目有相似的未知量吗?”“你们看, 对角线是一条线段, 是一条直线的一部分。难道你们从未做过未知量是一条线段长度的题目吗?”“我们当然做过这样的题目。比如说求一个直角三角形的一条边。”“很好。这里有一道题目和你们的题目有关而且以前解过。你们能利用它吗?”“非常幸运的是, 你们能想起一道与你们现在要解的题目有关, 并且你们以前曾经解答过的题目。你们想要在这里应用它吗?”“往这儿看, 你们所记得的题目是关于一个三角形的。在你们现在的图形里有没有三角形呢?”引入一个直角三角形, 图中用阴影强调指出。
“我认为在图中把那个三角形画出来是一个很好的主意。你们现在有了一个三角形, 但是你们有没有找到未知量呢?”“未知量就是这个三角形的斜边, 我们可以用勾股定理把它计算出来。”
“如果两条直角边都是已知的, 你们是会计算的, 但是它们是否已知呢?”“其中一条直角边是给定的, 就是c。至于另外一条, 我想也不难求出。对了, 这条直角边又是另一个直角三角形的斜边。”“太棒了! 现在我知道你们已经有了一个方案了。”
第三步: 执行方案。
学生有了解题思路。他发现了一个直角三角形, 这个直角三角形的斜边就是要求的未知量x, 它的一条直角边是已知的高度c, 另一条边是长方体一个面上的对角线。也许必须激励学生引入其他合适的符号。他应引入y来标记另一条直角边, 也就是长方体一个面上的对角线, 这个面的两条边长分别为a和b。这样, 在引入了另一个求未知量y的辅助题目后, 他解题的思路就更清晰了。最后, 在先后对两个直角三角形分别进行计算后, 他可以得到:
第四步: 回顾。
你能检验这个结果吗? “你用到所有的已知数据了吗?”“所有三个已知量a、b、c都在你的对角线公式中出现了吗?”“假如a、b、c互换, 表达式时候保持不变?”
三、对《怎样解题》的评价
正如著名数学家范·德·瓦尔所说: “每个大学生, 每个学者, 特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书。”
参考文献
[1]百度百科.
[2]维基百科.
[3]G·波利亚著.涂泓, 冯承天译.怎样解题.上海:上海科技教育出版社, 2011.
波利亚的“怎样解题表” 篇3
波利亚于1905年进入布达佩斯大学就读，并在那里获得博士学位.1940年他移居美国，并在斯坦福大学任教，直到退休.
无论在学习期间还是在任教期间，波利亚始终不忘少年时学数学所遇到的困惑.1944年8月，波利亚终于将他的研究成果公布于世，这就是名著《怎样解题》.直到今天，该书仍被各国数学教育界奉为经典.
“怎样解题表”就是《怎样解题》一书的精华.波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤.他相信，解题时只要按这四个步骤去做，必能成功.同学们如果能在平时的学习中不断实践和体会该表，也会发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”
怎样解题表
第一步：你必须弄清问题.
1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2.画张图，将已知标上.3.引入适当的符号.4.把条件的各个部分分开.
第二步：找出已知与未知的联系.
1.你能否把问题转化成一个相似的、熟悉的问题？2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？3.回到定义去. 4.你能否解决问题的一部分？5.你是否利用了所有的条件？
第三步：写出你的方法.
1.勇敢地写出你的方法.2.你能否说出你所写的每一步的理由？
第四步：回顾.
波利亚解题辨析论文 篇4
来源莲山
课件 w ww.5 y kj.Co m来源 徐利治先生早就指出，我们要培养一大批波利亚型的数学家，要按照波利亚思想改革数学教 材 和教学方法．目前，从理论研究方面来看，已出现“超越波利亚”的苗头，但从中学数学教 学的现状来看，离波利亚的想法还存在很大差距；对于很多学校，波利亚思想还没有“进入 校门”，其主要原因是，很多中学同志买不到波利亚的著作，对波利亚的数学教育思想缺乏 认识．为此，徐利治先生前年来宁讲学期间再次强调，为了搞好中学素质教育，我们还要加 大力度传播波利亚思想．
有些中学同志讲，我们没有办法，要提高学生应试能力，不得不搞题海战术，“题海”是 客 观存在，无法回避，波利亚也是强调解题训练的．的确，“题海”是客观存在，波利亚也强 调解题训练，他说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练．”但波利亚的解题训 练与题海战术有很大区别．
一、训练的目的不同
“题海战术”的目的明显表现为应考．而波利亚强调解题训练的目的在于提高学生的数学 素质．波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面．对于数学，能力比起仅仅具有 一些知识来重要得多．因此，“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传 授知识”．波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾 越的鸿沟．他说：“一个重大的发现可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现．”要想有重大的发现，就必须重视平时的解题．
数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面，在 创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．波利亚指出，通过研究解题方法，我 们可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学”． 因此，波利亚 把 “解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．这种思想得到了国际数 学教育界的广泛赞同．1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位，美 国数学教师联合会理事会把解题提到了“80年代学校数学的核心”这一高度．
波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中，该书的中心思想就是谈解题过程 中 怎样诱发灵感．书的一开始就是一张“怎样解题表”，在“表”中收集了一些典型的问题与 建 议．波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用 的 智力活动．他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上 就是 试图诱发灵感的“智力活动表”．正如波利亚在书中所写：“我们的表实际上是一个在解题 中典型有用的智力活动表．”“表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问 题和建议都与它有关．”
“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾．波利亚说：“ 弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回 顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它．”波利亚所讲的好念头，就是指灵感．
《怎样解题》书中有一部分内容叫“探索法小词典”，从篇幅上看，它占全书的 4/5．“探索法小辞典”的主要内容就是配合“怎样解题表”，对解题 过程中典型有用的智力活动做进一步解释．
全书的字里行间，处处给人一个强烈的感觉：波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展 智力活动，提高数学才能．
二、训练的方式不同
“题海战术”是让学生做大量的题，熟悉题型及其解法．波利亚反对让学生做大量的题，他认为，一个数学教师，如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼 杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内 容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各 个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地．比如，“证明 是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目，前者通 向实数的精确概念，而后者是通向数论的门户，打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好 题目之中．
过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术 问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法．然而，“学生熟悉了解答个别 类型问题的特殊方法之后，有可能只限于掌握一种千篇一律的死板方法而并不具备独立解 决新问题的本领．”波利亚的《怎样解题》就弥补了这一空白，这本书给出了求解数学问题 的一般方法．今天人们公认，在数学解题研究方面，波利亚是一面旗帜，他做出了划时代的 贡献．
“怎样解题表”中的指导性意见，具有普适性．不仅适用于“不太能独立工作”的人，而 且适用于那些能独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且可适用于其他学科．例如，未知 数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题(代数的 或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的)，我们提出这些问题都会取得良好效果． 波利亚解题训练的方式是引导学生按照“表”中的问题和建议思考问题，探索解题途径．试 图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律．这与“题海战术”的“题型＋解法”的训练方式 是绝然不同的．
波利亚高度重视解题过程中的合情推理．数学中的合情推理是多种多样的，而归纳和类比 是两种用途最广的特殊合情推理，拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是 归纳与类比．”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视，并注意到更广泛的合情推理 ；他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，还指出了其中的教学意义和教学方法 ．
波利亚反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推量、需要猜想的话，数学教 学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试．对于一个想以 数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；对于一 般学生来说，他也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活的需要．
怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法．波利亚说，教学中最重要的就是 选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去 独立实践，在实践中发展合情推理能力．波利亚欣赏苏格拉底的名言：“思想应当诞生在学 生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事．”他指出，教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想．
“学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数学教学最富有吸引力，切莫错过时机”．波利亚指出，要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间互相讨论和启发，教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示，不能硬把他们赶上事先预备好的道路，这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题 的能力．
这种训练方式与“题型＋解法”的做法也是完全不同的．
三、能力培养的效果不同
应该承认，“题海战术”对提高学生的能力也有一定的积极作用，但经验表明，“题海战 术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，所谓“高分低能”症正是如此产生的 ．
在数学学科中，能力指的是什么?波利亚说：“这就是解决问题的才智——我们这里所指 的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性 和创造精神．”波利亚致力于培养学生的独立探索能力．从教育心理学角度看，“怎样解题 表”的确是十分可取的，利用这张表教师可行之有效地指导学生自学，发展学生独立思考和 进行创造性活动的能力．如果我们提出一个“波利亚探索法”的话，那么“波利亚探索法” 的主要特点就是变更问题，诱发灵感．在波利亚看来，解题过程就是不断变更问题的过程． 事实上，“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”．如，你知道 与 它有关的问题吗?你能不能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题?你是否见过形式稍微 有不同样 的题目?你能改述这题目吗?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易着 手的有关问题，一个更普遍的题，一个更特殊的题，一个类似的题?你能否解决这道题的一 部分 ?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其他数据?你能改 变未知数，或已知数，必要时改变两者，使新未知数和新的已知数更加互相接近吗?
波利亚说：“如果不‘变化问题’，我们几乎不能有什么进展．”“变更问题”是《怎样 解题》一书的主旋律．书中多次强调了“变更问题”的几种特殊手段．例如“回到定义去”，“分解与重新组合”，“引入辅助元”，“普遍化、特殊化及类比”．
这里只谈谈“回到定义”．波利亚说，“回到定义”是一项重要的智力活动．回到定义是 为了“掌握那些专业术语后面数学对象间的实际关系”．面对一个数学题，“如果我们只知 道概念的定义，别无其他，我们就不得不回到定义”．
《怎样解题》书中，有个精彩的实例：
已知抛物线的焦点Ｆ，准线ｄ和一直线l，求作此抛物线与已知直线的交点．
观察题意可见，眼下的情况就是“只知道概念的定义，别无其他”，因此，我们不得不回 到定义．考虑到抛物线的定义，原问题就变化为：
在直线ｌ上求一点，使它和已知点Ｆ及已知直线ｄ等距离．
这是第一次变化，解析几何题变成了平面几何题．这道平面几何题本身也是一道有意义的 题．
“你能不能用不同的方法重新叙述它?”
这道题可以换个说法叙述为：
在直线ｌ上求一点，以它为圆心作圆与直线ｄ相切且通过点Ｆ．
这是第二次变化．
所作的圆要满足两个条件．“你能否解决这问题的一部分?”可以，先放弃一个条件，第 三次变化问题．
（下略）
“怎样解题表”风靡全球．经验证明，适当使用表中的问题与建议，对培养学生的探索力 是有益的．
“题海”是客观存在，我们应研究对付“题海”的战术．波利亚的“表”虽不如阿里巴巴 的金钥匙，但却切实可行，给出了探索解题途径的可操作机制，被人们公认为“指导学生在 题海游泳”的“行动纲领”．著名的现代数学家瓦尔登早就说过：“每个大学生，每个学者，特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书《怎样解题》．”
文 章
来源莲山
怎样解题 篇5
目录
内容简介
作者简介
目录
怎样解题表
编辑本段内容简介这本经久不衰的畅销书出自一位著名数学家的手笔，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。
编辑本段作者简介波利亚(男)（George Polya，1887—1985），著名美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。1912年获布达佩斯大学博士学位。1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。1976年当选美国国家科学院院士。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，在这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。
编辑本段目录第一部分 在教室里
目的1.帮助学生
2.问题，建议，思维活动
3.普遍性
4.常识
5.教师和学生，模仿和实践
主要部分，主要问题
6.四个阶段
7.理解题目
8.例子
9.拟订方案
10.例子
11.执行方案
12.例子
编辑本段怎样解题表“怎样解题表”就是《怎样解题》一书的精华，该表被波利亚排在该书的正文之前，并且在书中再三提到该表。实际上，该书就是“怎样解题表”的详细解释。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。同学们如果能在平时的做题中不断实践和体会该表，必能很快就会发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”
第一，你必须弄清问题
弄清问题
未知数是什么？
已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？
条件是什么？
满足条件是否可能？
要确定未知数，条件是否充分？
或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
画张图。
引入适当的符号。
把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？
第二，找出已知数与求知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。
你应该最终得出一个求解的计划。
拟定计划
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？
看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？
第三，实行你的计划。
实现计划
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？
第四，验算所得到的解。
回顾反思
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？你能不能把这结果或方法用于其它的问题？
《怎样解题》表是波利亚在分解解题的思维过程得到的，看似很平常的解题步骤或方法，其实却已包含几代人的智慧结晶和经验总结。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计
划”和“回顾反思”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程进行分解，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，易于操作。波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”。波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？„„”波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程，实际上是他解决和研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学，特别是研究解题方法时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。回过头来想一想，我们会发现自己在解决问题时的确或多或少地经历了这样一个过程。
我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到这些问题罢了。在解决实际问题时，我们可能又忽略许多解决问题的方法和细节。因此我们需要控制自己的思路，用顽强的意志不断地模仿解决问题的步骤和方法，争取达到灵活运用和创造性地解决问题的程度。按波利亚提出的这些问题和建议去寻找解法，在解题的过程中，必将使自己的思维受到良好的训练，久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。
******************
生活中，碰到一个的问题的时候，我们如何解决？首先我们明确要解决的问题，然后搜集相关情报或者已有的资源，考虑问题关键因素之间的内在规律，接着尝试一些可行的方案，最后选择其中最优的办法实践，最后问题得以解决。对于数学解题来说：首先我们明确未知量，然后明确已知量，确定条件，接着尝试一些可行的方案，最终得到可以获得未知量的方案，解出题目。
然而这里有一个模糊的地方，解决问题最关键的一步——想出可行的方案，是如何办到的？当我们对未知、已知、条件都已经了如指掌之后还是想不出任何的方案，这个时候解题面临本质的智力困难的时候，是如何从无到有思考出可能的方案供我们尝试的？
这个问题更有画面感的描述是：数学课，老师出了一道几何题，先让大家试解，无人能解。然后老师开始讲题，前面的步骤1、2、3大家都会也都想到了，这时老师添加了一条辅助线，引出步骤4，问题得解，大家豁然开朗。然而，解题的关键步骤3到4是如何思考到的呢，老师为何就想到做这一条辅助线呢？
《怎样解题》就是在回答以上问题。
书中有一个例子可以形象的问答这个问题：
一个原始人站在一条小溪前，他想要越过这条小溪，但溪水经过昨天一夜，已经涨了上来；因此他面临一个问题：如何越过这条小溪。渡溪成了这道题目的研究对象，是原始题目中的X。这个人可能会回忆起，他以前曾经踏着一颗倒下的树度过了另外一条溪流。于是他四处寻找一颗合适的树，就构成了他新的未知量Y。他找不到合适的树，但是沿着溪流有大量的树木在岸上，他希望其中有一个树会倒下来。于是他开始想如何使一棵树横倒在溪流上？这样又产生了一个新的未知量Z。这一连串的念头就是分析。如果这个人成功的完成了分析，他可能就成了桥和斧子的发明者。
而这个分析问题的过程，正包含了普遍的解决问题中本质智力困难的方法。首先思考我们是否面临过同样或者类似的问题，即使没有，我们可以尝试想更简单的相关问题，可以是更普遍化的问题、更特殊化的问题，甚至只是问题中的一小部分问题。或者干脆来变化我们遇到的问题的已知情况，观察未知情况如何跟随变化；或者变化未知量；或者同时变化已知未知量，来观察问题如何变化。正是这样一个分解和重构问题的过程，使得我们逐渐逾越了问题的核心部分，得出了疑似可行的方案。然后我们验证疑似可行的方案，如果其中确有可行的，问题得解。如果没有，我们将重复以上的过程。
以上是我理解的《怎样解题》的主旨。
当然原著对分解和重构问题的过程做了更为细致、严谨的分析和探讨，并配以精妙的数学题示例来演示各种细节。作为一本数学方法著作，更难能可贵的是，波利亚颇为人性化的阐释了解题过程中的非智力因素——情感的作用。在书中的第三部分—探索法小词典中，“决心、希望、成功”“潜意识活动”“进展”三个词条都严谨、科学的阐述了情感是如何作用于我们解题过程的。
“决心会随着希望与无望、满意与沮丧而产生波动。如果我们认为答案即将来临，就很容易继续干下去，当我们看不到有什么克服困难的出路时，要坚持不懈就会很难。”“有超常天赋的人主要的优势也许在于一种常超的心理感受力。由于具有极度敏感的感受力，他能感觉到进展的细微标志，或者注意到这些标志的缺乏。”这些非智力因素对于我们解决生活和工作中的问题尤其重要，我们需要敏感的觉察来自情感脑的反馈，并加以利用，来帮助解决问题。举例来说，生活中碰到一个很复杂问题，在长期解决问题的过程中，有一段时间可能解决问题时没有明显的反馈给我们标志，最后我们沮丧的放弃了解决问题。然而很有可能的是，这个过程真是解决问题的关键期，实际上也是有标志出现的，只是当时的我们还不理解这些标志。由此可见非智力因素之于解决问题的重要性，我们需要能理解并加以利用。
第三部分的最后，波利亚还举出一个心理学试验：用一个缺了一条边的正方形围栏围住一只动物（狗、黑猩猩、母鸡、人类婴儿），在围栏的另一侧放上一个被试很想要的物体（对动物来说是食物，对人类婴儿来说是有趣的玩具），然后观察他们各自的行为。发现，狗在扒着围栏吠了几声发现无法通过的时候，不久便学会了从围栏的缺口的那一边绕出去，人类婴儿很快就学会了绕过障碍，而黑猩猩也学得很快（黑猩猩是和人类最近的灵长类亲属）。
“母鸡的行为就像那些面临问题的时候浑浑噩噩的人，试了一次又一次，最后靠一些运气碰巧成功，而不去深究成功的原因。但我们甚至也不应责怪母鸡的笨拙。要转过身从目标跑开，不一直盯着目标前进，不沿着直接的道路到达目标，确实有一定困难。母鸡的困难和我们的困难具有明显的类似性。”最后一句话貌似有些哲理，是全书严谨行文之中唯一有些文艺的一句。`
怎样解题读后感 篇6
特别是《怎样解题》一书，书中给出了“怎样解题”表，按这张表的程序去思考，可以使学生“不仅试图去弄清楚这个或那个问题的解答，而且要了解这个解答的出发点与方法”。(见第一版序言)，这对于解题有困难的学生来说，是有很大帮助的。
用“怎样解题”表提供的思考程序，我们对初二上学期15名数学“学困生”进行实验，经过半年时间，绝大多数同学都有显著提高(我们这里谈“学困生”的，是指数学成绩落后，智力水平正常的学生)。
“怎样解题”表共分四个大部分：弄清问题;拟定计划;实现计划;回顾。对于第一部分，即未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?等学生是容易分清的。而对于第四部分，除“你能否检验这个论证?”外，其余的问题大部分学生不容易做到，故我们的重点在二、三部分。结合“学困生”的特点，我们主要在下述的三个方面有所侧重。
一、回到基础，强化类比
在“拟定计划”中，大部分学生对于“你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?”都回答不上来，因为这部分学生的基础太差了，要想实现波利亚的程序，就必须首先回到基础，教师帮助学生把基本问题弄清楚。例如，在讲列方程解应用题时，应该不厌烦地把小学阶段就应该掌握的倍数关系、行程关系等再交待给学生，然后再按彼利亚的解题程序启发学生想下去。
回到基础只是补上知识的缺欠，其真正目的在于强化类比，在《数学的发现》第一卷的序言中，波利亚说：“解题是一种实践性技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它。”模仿即是类比。
而“拟定计划”中的许多揭示语言，实际上都是让学生去学会类比，故我们在实验中，更强调对学生的类比能力的培养。
二、同学讨论，教师点评
这种讨论并不是盲目的，效果好坏关键看教师设计的讨论题目与程序，看其是否符合波利亚的基本观点，而且应该是在教师的启发下进行的，每讨论之前都有5名同学做重点准备，做核心发言人。
让学生讲出来很重要，教师可以通过学生的讲述而发现波利亚解题程序的贯彻情况，是否每一步都真正理解了?理解是否有偏差?主要差在哪里?及时地将他们引向正确的思路。
在讨论中，一个学生的任何一点微小的进步，教师都应该及时发现、及时表扬，增强他们的学习信心。前面两点做法对保证“拟定计划”和“实现计划”是缺一不可的。在“你能否检验这个论证?”这个问题上，对好学生而言，是轻而易举的，但对差生而言，却是很难做到的，故在教学中还应当做到下面的一点。
三、学习习惯的规范
学习成绩差的学生，往往其非智力因素起主要作用，大部分同学都注意力不集中、马虎严重，教师应根据不同学生制订不同的调整方案，帮助他们分析马虎的原因及克服马虎的正确方法，制订若干小目标，让他们感到不是可望而不可及的。
应用波利亚的解题程序来转化“学困生”，仅仅按照“怎样解题”表去一步步实施是不够的，教师必须读懂作者在文章开始时提到的几本书，弄清波利亚得出的每一个问题的原因，然后根据实际情况，进行取舍，补充，活学活用。
波利亚“解题理论”及启示 篇7
乔治·波利亚(1887—1985)美籍匈牙利人，20世纪杰出的数学家，年轻时期于布达佩斯、维也纳、格廷根、巴黎等地攻读数学、物理、哲学。1912年于布达佩斯大学获哲学博士学位，1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教，1940年移居美国，自1942年起一直担任美国斯坦福大学教授。波利亚十分热心教育，重视从小培养学生的理解能力和解题能力。他致力于解题研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这一令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究结果写成《怎样解题》一书。
1. 波利亚“解题表”的主要思想
《怎样解题》的中心思想即谈解题过程中怎样诱发灵感，具体核心部分就是他分解解题的思维过程得到的“怎样解题表”，这张表给出了一个完整的解题过程一般包含的四大步骤[1]。
1.1 弄清问题。
弄清问题即审题，是解题的基础。因为只有正确理解了题意，才能正确地树立解题的思维方法，找出解题途径。在这一步，解题者必须了解问题的文字叙述，弄清题目的已知条件是什么，未知条件是什么，题目要求的是什么。然后通过观察、分析、画图等把文字、图形、符号等发出的信息正确的接收下来，把条件的各个部分分开，充分挖掘题设的内涵，判清题型，审清问题。
1.2 拟订计划。
拟订计划即探索解题的途径，这是解题的关键环节。当我们审清了问题之后，熟悉的问题有一定的解题套路，不需要太多的思考，而对于不熟悉的题目，千万不要急于动笔演算，而是要在头脑中从整体上设计好一个解题思路，稍进一步的问题，需要有一点变化。正如波利亚表中所说：你是否见过形式上稍有不同的题目?你是否知道与此有关的题目?是否知道用得上的定义、定理、公式等?是否可以引进辅助元素?是否可以先解一个有关的或较容易的、较一般的题目?
总之，一个正确的解题思路的形成过程是复杂的，它涉及解题者的知识因素、解题经验和解题能力。不过，从思维角度看，都是按照由果索因或由因导果而进行的。
1.3 实现计划。
解题的核心即实现计划，就是根据所探索的思路付诸行动。在解题过程中，这一步是相对容易的。如果计划拟订完善，实现计划往往是做一些机械性的计算。但计划往往是不完善的，所以往往又需要回到上一步，出现一些反复。另外，计算或操作过程中也会存在某些困难，甚至会遇到难以逾越的困难，这时原来的计划就必须推翻重来，此时所需要的主要就是解题者的耐心。解题方案给出了一个解题的总体框架，我们必须耐心地对每一步进行严格推导和计算，确保每一步的细节都是正确的，必须考虑问题的所有条件，步步有理有据、简明、规范地把解决问题的全过程完整地表达出来。
1.4 检验回顾。
检验回顾是解题的魅力所在。这一步相当于我们平日解题所说的“验算”，但比单纯的验算内容更丰富，意义更深邃。它不只是简单地核对答案，判断解题是否正确，进而找出错误并予以纠正，而是要用多种方法，从不同的角度去获得正确的结果，重要的是对解题结果或方法进行迁移思考，总结解题经验，扩大解题成果。正如波利亚所说：“这是领会方法的最佳时机”，“当解题者完成了他的任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探索他刚才克服困难的实质。他可以对自己提出许多有用的问题：关键在哪里?重要的困难是什么?什么地方我们可以完成得更好些?我为什么没有觉察到这一点?要看出这一点，我必须具备那些知识?应该从什么角度去考虑?这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用?”
2. 波利亚“解题理论”对数学教学的启示
2.1 借助“解题理论”，培养学生良好的解题习惯[2]。
在数学学习中，学生的各种数学能力最终体现在他的解题能力上，而良好的解题习惯是走向成功的桥梁。那么，如何培养学生良好的解题习惯呢?我认为可从以下几点做起。
2.1.1 应培养良好的审题习惯。
学生解题出错或解题感到困难，通常都是由于不认真审题或审题不清，未弄清题意造成的，相当一部分学生在拿到题目后，匆匆浏览完题目后就急于解题，直到解不下去才回头重读题目，发现竟是由于粗心看错了题目条件。要培养良好的审题的习惯，可分以下几步走：第一，通读题目，明确题意;第二，注意挖掘隐含条件;第三，边审边记，边做边审。
2.1.2 注意培养一题多解，一题多变的思维习惯。
一题多解就是对同一道题目分别从不同角度对问题进行分析，求解。这培养了学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，如：已知，求证a2+b2=1，可以运用代数法、三角法、复数法、几何法、基本不等式、引进二次函数等多种方法进行求解。一题多变就是指同一题目经过适当变化，变换为与原题目内容不同，但解法相同或形似的题目，这有利于扩大学生的视野，深化知识，举一反三，触类旁通。如：若p是△ABC的内心，∠BPC=100°，求∠A的度数。把题目中的“内心”改为“外心”再求∠A的度数。
2.1.3 养成解题后反思的好习惯。
“学而不思则罔，思而不学则殆”。即使是相当优秀的学生，当他们得到问题的解答，并且条理分明，干净利落地写出论证后，也会合上书本，找点别的事来做。这种做法，其实错过了解题的一个重要而有益的阶段，即通过回顾完整的解题过程来巩固所学知识，培养解题能力。解题是学好数学的必由之路，做题的目的就是为了运用所学知识解决实际问题，提高数学素养。因此，养成对自己解题过程进行回顾和反思的习惯是具有正确解题思想的体现，是提高学习效率，培养数学能力的有效方法。做题后的反思，不仅仅是简单的回顾或检验，更重要的是要对解题思路和解题途径进行反思，反思本题所包括的知识点，运用的方法，找出哪些是容易出错的地方。另外，也要注意对一节一章的方法进行反思，积累总结知识经验，提炼解题方法，揭示其中蕴含的数学思想与规律。
2.2 培养学生创造性思维，激发学生探索意识。
2.2.1 波利亚关于创造性思维培养的认识[3]。
波利亚认为：“任何学问都包括知识和能力两个方面。对于数学，能力比起仅仅具有一些知识要重要得多，因此，学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。”波利亚发现, 在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾越的鸿沟。他说：“一个重大的发现，可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现，想有重大的发现，就必须重视平时的解题。”
数学有两个侧面：一方面，已严格提出来的数学是一门系统的演绎科学。另一方面，再创造过程中的数学看起来却像是一门实验性的归纳科学。波利亚提出，通过研究解题方法，我们可以看到数学的第二个侧面，也就是“处于发现过程中的数学”。因此，波利亚把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动，而“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”。波利亚把教会学生解题看做是教会学生思考，培养他们独立探索能力的一条主要而有效的途径。事实上，现成的结论和真理并不是最重要的，重要的是人类得出结论，发现真理的过程和方法。因此，在教学中，我们必须确立这样的观念：只有用创造来教会创造，用创造力来激发创造力，只有用发展变化使学生适应并实现发展变化，使学生懂得创造和超越已有的东西不仅是可能的，而且是必要的。用这样的观念来设计整个教学过程，我们才能真正实现创造性教学的目标。
2.2.2 应注意培养学生的合情推理能力[4]。
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，试验和实践的结论，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种思维方法，归纳和类比都含有猜想的成分。所以，我们在教学中提到的猜想、归纳和类比等都属于合情推理的范畴。
我国传统的“传授—接受”的教学模式，教师照本宣科，学生循规蹈矩，学生的学习积极性和主动性受到极大的限制，根本无法做到引导学生去探索，猜想，无法培养他们的创造性思维，这种教学模式在一定程度上掩盖了数学创造性思维活动的本质，严重束缚了学生的数学直觉和数学猜想，不利于创造型人才的培养。因此，波利亚在自己的教学过程中，历来强调展现“数学的发现可能是如何产生”的过程。他指出：“数学可以被看做一门证实的科学，但这只是数学的一个方面，完成了教学理论，用最终形式表现出来，像是仅仅由证实构成的纯粹证实似的。”但是，数学知识的创造需要猜想，在一个定理被证明成立之前，往往要通过猜想发现这个定理的内容，并不断检验、修改、完善所提出的猜想，还要推测证明的思路，这些都需要运用合情推理的方法。在教学中，如果通过论证推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理就可以培养学生的创新思维能力、创新想象能力、创新实践能力、求异精神和冒险精神，即培养学生的创新能力和创新精神。因此，波利亚建议：“只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理，需要猜想的话，数学教学中就必须有猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。”
怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的方法。波利亚说，教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后在让学生模仿范例去独立实践，在实践中发展合情推理能力。波利亚指出, 在具体的教学中，教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想。还要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间相互讨论和启发，教师只在学生受阻时给些方向性的提示，不能把学生赶上事先预备好的道路，这样学生才能体验到猜想发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题的能力。合情推理是创新的萌芽，它不仅是一种重要的推理形式，更是解决问题的一种方法。合情推理对于发展学生的创造性思维有着无法估量的作用。
总之，探索意识是学习的起点，又是学习的归宿。通过探索发现，对数学对象的本质所洞察，有所概括，这样就形成了更高层次的探索与发现，从而又可以进行更高层次的创造性思维活动。但是学生探索意识的培养有赖于教师的教学方式，如果教师在教学中努力进行“探索与发现”的设计和启发，那么就会使学生有意识地进行“探索与发现”的思考，潜移默化地培养起学生的探索意识和创造性思维。
2.3 借助“解题理论”，开发学生的数学元认知。
数学元认知是指解题者对于所从事的解题活动(包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等)的自我意识、自我分析(包括评估)和自我调整。波利亚“怎样解题”表中的大量提示性问题，不是问别人，而是问自己，实质是解题者的自我诘问、自我反省，是元认知。“弄清题意”是对自己思维趋向的提示，是地道的元认知活动;“拟订计划”是解题的中心环节，波利亚试图用一系列提示语来诱发一个“好念头”，这一系列的提示语在拟订计划的过程中起着统摄作用，统领着解题者的解题思路，循着这些元认知的提示，解题者一步步地向目标靠近;“实现计划”也是元认知活动;“回顾”是培养解题者的题感，是一种解题的元认知体验。可见，波利亚的“解题表”本身就是一个完整的数学元认知。一方面，教师通过比较自然的帮助，促使学生自己想出一个好念头，学生得到的是比任何具体的数学知识更重要的东西———元认知知识。另一方面，学习者运用波利亚的提示语，不仅能够有效地提高解题能力，发展智力，而且能通过自己的体验和体会，逐渐养成良好的学习习惯，并迁移到其他的认知活动中去，提高自己各方面的素质和能力。
2.4 利用波利亚解题思想，推动数学素质教育[6]。
徐利治先生曾倡导：“我们要培养和造就一批波利亚型的数学工作者，要按照波利亚的思想改革数学教材和教法。”这为数学教育改革提供了理论依据。因此，用波利亚的解题思想指导教学实践，无疑会大力推动数学素质教育。
2.4.1 波利亚的解题思想为数学解题教学提供方法论。
从根本上来说，数学教育改革的关键在于教师的观念、决心和业务水平。数学素质教育的目标是提高学生的数学素质，其先决条件是转变教学模式，使广大数学教师从题海中解脱出来。波利亚强调，解题训练的目的是引导学生开展智力活动，提高数学才能。波利亚反对让学生做大量的题，他认为，“一个教师，如果把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展”。因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生在这道题目的过程中，如同通过一道大门进入一个崭新的天地。
过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法。而波利亚的《怎样解题》弥补了这一空白，他给出了求解数学问题的一般方法。“怎样解题”表中的指导性意见，具有普遍使用性，不仅适用于“不太独立工作”的人，而且适用于那些能独立解题的人;不仅适用于数学学科，而且适用于其他学科。
波利亚解题训练的方式是引导学生按照“怎样解题”表中的问题和建议思考问题，探索解题途径，试图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律，这与传统的题海战术的解题训练方式是截然不同的。
波利亚解题思想与题海战术有着本质区别，前者堪称为解题教学的行动纲领。数学教育工作者应深刻领会波利亚的解题思想，从一个全新的角度审视解题教学的目标、内容和方法，特别是教学观念的转变势在必得。大搞题海战术，反复的搞模拟考试的做法必须改变，这是与波利亚解题思想与数学素质教育背道而驰的。
2.4.2 波利亚解题思想为中学数学思想方法的教学提供理论模式。
数学素质教育强调数学思想方法的教学。早在20世纪40年代，波利亚就尝试着把“数学方法论”应用于数学教学，他的成功实践为中学数学思想方法的教学提供了理论模式。波利亚观为，解题的过程就是不断变更问题、诱发灵感的过程，就中学数学而言，解题就是要不断创设问题情境，激发学生的灵感思维。如何发觉灵感，波利亚解题思想具体指明了对于数学解题活动有着重要启示作用的思维模式或解题策略：笛卡尔模式、递归模式、迭加模式、合情推理模式、分解和组合、一般和特殊化、画图法、考虑相关问题、变更问题等。中学数学中主要的数学思想方法有：函数和方程思想、转化和化归、综合和分析、归纳和类比、演绎和特殊化、数形结合、分类讨论等与波利亚的解题思维模式或解题策略如出一辙。需要指出的是，波利亚解题思想所呈现的模式并不一定以明显的方式呈现于数学教材，在多数情况下隐含于数学知识和解题过程中，需要教师提炼和概括。
3. 结语
波利亚的“怎样解题”理论启示我们：数学教育应着眼于探索创造，强调获取知识的过程与方法，它的根本意义在于培养学生的数学素质，既培养他们良好的思维习惯，使他们学会学习的技巧，领会数学的精神实质和基本结构，又提供给用于其他学科的推理方法，体现一种“变化导向的教育观”。
参考文献
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波利亚怎样解题 篇8
新课程理念强调以人为本，希望每位学生都能够获得全面的、和谐的发展。事实上，目前普通高中存在着大量的数学学习困难生（以下简称数困生），数学学习困难很大程度影响了他们自身的成长和未来的发展。因此，从实践层面探索转化数困生的途径有着非常重要的意义。
毫无疑问，学习数学的关键在于解题。笔者通过对数困生的观察研究发现，解题能力差、毫无章法、无解题的策略意识是导致他们学习数学困难的最核心因素。怎样解题？怎样有思想的解题？对于解题理论的研究和教学首推美国当代数学教育家乔治·波利亚，他的研究工作给我们提供了理论和实践两个层面的指导。笔者利用波利亚解题思想在转化数困生的实践方面，作了一点有益的探索，以期能为转化数困生提供一条新的途径。
二、波利亚解题与教学思想简介
1.波利亚的解题思想
波利亚的重要数学著作有《怎样解题》《不等式》《数学的发现》《数学与猜想》等等，但他的解题思想集中体现在他的《怎样解题》一书中，解题的流程如下图所示：
为了更清楚地展现解题的思维过程，波利亚又把每个环节分成若干个小的问题，部分重要的问题分别如下：
（1）已知是什么？
（2）未知是什么？
（3）题目要求你干什么？
（4）可否画一个图形？
（5）可否引入符号，实现数学化？
（6）你能否一眼看出结果？
（7）是否见过形式上稍有不同的题目？
（8）你是否知道与此有关的题目，是否知道用得上的定义、定理公式？
（9）有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目，你能利用它吗？
（10）已知条件A，B，C……可否转化？可否建立一个等式或不等式？
（11）你能否引入辅助元素？
（12）如果你不能解这个题，可先解一个有关的题，你能否想出一个较易下手的、较一般的、特殊的，类似的题？
（13）把你想好的解题过程具体地用术语、符号、图形，式子表述出来。
（14）修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案。
（15）解题要求是：严密具有逻辑性。
（16）你能拟定其他解题方案吗？
（17）你能在别的问题中利用它吗？你能用它的结果吗？你能用它的方法吗？
（18）你能找到什么方法检验你的结果吗？
由此可见，解题表主要由四个环节构成，其中弄清题意是关键，拟定计划是核心，检验回顾是解题中不可缺少的重要条件。由此可见，波利亚特别强调解题前和解题后的工作，这与我们仅强调解题过程（执行计划）有很大的差异。
2.波利亚的解题教学思想
波利亚主张教师在解题教学过程中要教会学生思考和培养学生的创新精神，倡导“探索式”教学。从《怎样解题》中可见波利亚还十分注重对学生“反思性思维能力”的培养，倡导解题过程中数学方法的教学，他主张对解题结论的应用，从而激发学生的想象力。波利亚强调在解题过程中调动学生的“主动性”，创造解题教学的“最近发展区”极为重要，他认为适当的题目可以培养学生良好的情感和态度，可以调动学生的非智力因素。
关于学生的解题训练，波利亚反对数学教学中让学生用大量的时间操练一些常规运算。他认为学生用大量的时间操练常规运算会扼杀学生的兴趣，阻碍学生智力的发展，错失教育良机。相反，如果用和学生的知识相称的题目来激起学习的好奇心，并且用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么就能培养学生独立思考问题的兴趣，并教会学生某些方法。他认为在一个易受到外界影响的年龄段，这样的经历可能会培养出对智力思考的爱好，并对思想和性格留下终生的影响。
三、研究的方法及过程
为了研究的方便，经学校同意，笔者随机选择高三（5）班和高三（6）班的部分数困生作实验研究，这是两个选修“物理生物”的普通班级，学校同类型的平行班级还有（3）班、（4）班、（7）班、（8）班等。
1.数困生的界定
为了统计和研究的方便，我们把数困生界定为“多次数学考试得分不足理科班平均成绩一半的学生。”这个界定的科学性尽管有待商榷，但这个标准确实很低，并且易于操作，以下的统计数据都遵照此标准。为了预防实验班新的数困生的产生，在进行波利亚思想解题实验时，根据9月份的市高三调研考试和之前的高二期末成绩，把标准提高到“数学得分不足理科班成绩的三分之二”，并排除个别特殊的学生，于是两个班共有15人参加实验。
2.师生的理论学习
目前波利亚的解题思想在国内中学的数学教学中，还没有被教师广泛的认可和接受，学生更是闻所未闻。为了确保实验中能够深刻领会，不曲解、不偏离波利亚的解题思想，笔者安排了两个月的师生理论学习时间。2014年9月为自我学习阶段，在这一个月内，笔者除了仔细研读前期收集的波利亚的最主要的解题类著作《怎样解题》《数学与猜想》外，还学习了别人研究波利亚解题思想的著作和论文，如刘云章教授的《数学钥匙思维策略：波利亚著作选讲》、柳成行的《乔治·波利亚的解题思维理论》等。2014年10月份，笔者主要利用课余时间如午自修和夜自修等时间，带领数困生学习波利亚的解题思想，并结合解题的实例说明，让每位数困生能够牢记解题的四个环节和每个环节中思考的着眼点。
3.探索实践方法
正式的实验阶段从2014年的11月始到2015年的5月底，除去寒假，正好为期半年。大体分为三个阶段：教师引导阶段、强化应用阶段和自觉应用阶段。endprint
从2014年11月始到12月末为教师引导阶段。在前期对波利亚解题理论学习的基础上，由教师利用课外的时间，对参加实验的学生进行专门解题策略引导。在这个阶段，主要是以老师讲解例题，学生模仿为主，为使四个环节更具操作性、更加具体，对这四个环节作进一步细化，如下表所示：
2015年1月和2月为强化应用阶段。由于这样的解题过程需要大量的时间，所以对参加实验的学生的数学作业区别对待，在完成必要教学任务的作业外，尽可能地减少作业量，追加典型的能够用波利亚思想解题的作业，并单独印制试卷，在每题的答题区，印制好每个环节需要思考的问题，并要求学生逐步填写，而不仅仅是完成解题，每天晚上完成1到2个这样的问题。
2015年的3月和4月为自觉应用阶段。通过前两个阶段的训练，大部分参与实验的学生能够自觉地按解题流程进行解题。值得一提的是在2015年5月的四大市第二次模拟考试中，参加实验的同学在中等难度题（第9到16题）上平均得分与班级其他同学平均得分基本相当。有力地说明实验确实起到了一定的效果。
四、数据的收集与分析
为了跟踪检验实验的有效性，我们选取了最接近实验前的三次考试数困生人数，和开展实验后的三次考试数困生人数（见表1）。除了2014年10月检测之外，均为市级以上的考试，无论是试卷信度、考试组织还是阅卷都具有较强的权威性。
由于高三开始时按照高二的期末成绩进行了均匀分班，所以数困生人数非常平均，均为5人。接下来9月和10月考试数困生人数有了一定的变化，从表中数据可见，开展实验后实验班的数困生数量明显减少，我们使用SPSS15.0进行单因素方差分析（One-Way ANOVA），得到实验前和实验后的数困生平均人数差异的F值，见表2。
就实验前因变量而言，F值不显著（F=0.056，p>.05），就实验后的因变量而言，F值显著（F=18.059，p>.05）。这说明进行实验后各班数困生人数发生了显著的变化，我们的实验是卓有成效的。
五、研究的结果及教学改进
这次实验结果有力地说明了只要采用科学的、适当的途径，是能够实现数困生转化的。因此，对已经形成的数困生采取有效的补救措施。改进课堂教学迫在眉睫，我们可以从以下几个方面入手：
1.教给学生审题的方法，提高学生审题能力
认真审题是提高解题效率和保证解题有效性的关键，通过审题充分理清题目的条件和所求，边读题边翻译，将条件转化成图形语言或符号语言。弄清题目属于哪种题型，有什么通法或找到问题的突破口，挖掘出与所求相关的信息或隐含条件，进行联系和疏通，使问题迎刃而解。我们在教学中要给予学生足够的审题时间，教会学生审题的方法，千万不能越俎代庖。
2.解题力求找到问题的源头
解题时学生对问题中的有些条件无从“翻译”，或偏离方向越做越复杂，最终放弃，非常可惜。“问渠哪得清如许，为有源头活水来。”学生进行审题后难于驾驭的问题，我们要积极引导，提供正确的步骤和方法，促使学生有效探究，力求找到问题的源头，层层推进，及时疏通，在不断尝试中找到解题的切入口，这一系列思维过程无不伴随着学生最基本的思考。
3.对学生的"不同意见 "要热处理
我们在课堂上讲解题目时，可能有学生会对解法持有“不同意见”，从而打乱了我们所谓的教学计划。这时我们千万不能做辛勤的园丁，拿着把大剪子急切地修剪着，导致学生的思维就如笼中鸟，生怕自己的答案不标准，却也难于理解自己究竟错在哪里。相反，我们要及时为学生的“不同意见”及时调整教学计划，开启绿色通道，可能这些学生的意见是有限制性和偏差的，我们不妨和学生一起用发展的理念讨论要不要全盘接受，慢慢思考培养什么，舍弃什么，可以作什么改进，从不同的视角感悟我们可以留下些什么。
（施莉莉，吴江高级中学，215200）