波利亚解题表（精选8篇）
波利亚解题表 篇1
我们发现在多边形面积教学中, 一些教师不知道教材为什么这样编写, 也不知道如何引导学生思考, 学生对教师给出的推导方法觉得很突然, 为什么教师只讲通过一种方法得到的计算公式, 不讲其他方法得到的公式, 学生对此也很茫然。如:平行四边形面积计算公式和三角形面积计算公式推导, 为什么要把这些图形放在方格子纸上?为什么要先用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形, 再来求三角形的面积?梯形面积计算公式的推导为什么又不用数格子呢?算出一个梯形面积的方法很多, 为什么只讲通过“扩拼法”得到的公式, 不讲用其他方法得到的梯形面积计算公式?……其实, 这些问题, 波利亚的怎样解题表给了我们很好的答案。那么波利亚的怎样解题表是什么样子?波利亚的怎样解题表与多边形面积教学之间到底存在什么关联?如何用波利亚的怎样解题表指导多边形面积的教学, 让公式推导的过程更加自然呢?下面就这些问题谈谈笔者的粗浅认识。
一、波利亚的怎样解题表
乔治·波利亚是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者。他十分重视解题在数学学习中的作用, 并对解题方法进行了多年的研究和实践, 绘制出一张风靡世界的解题表, 以下就是波利亚的怎样解题表:
第一, 你必须弄清问题 (弄清问题) 。
(1) 未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数, 条件是否充分?或者它是否不充分?或者它是多余的?或者是矛盾的?
(2) 要张图, 引入适当的符号。
(3) 把条件的各个部分分开, 你能否把它们写下来?
第二, 找出已知数与未知数之间的关系;如果找不出直接的联系, 你可能不得不考虑辅助问题;你应该最终得出一个求解的计划 (拟定计划) 。
(1) 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?
(2) 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?
(3) 看着未知数, 试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题。
(4) 这里有一个与你现在的问题有关, 且早已解决的问题, 你能不能利用它? (你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?) 为了能利用它, 你是否应该引入某些辅助元素?
(5) 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?
(6) 回到定义去。
(7) 如果你不能解决所提出的问题, 可先解决一个与此有关的问题, 你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分, 这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适于确定未知数的其他数据?如果需要的话, 你能不能改变未知数或数据, 或者二者都改变, 以使新未知数和新数据彼此更接近?
(8) 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?
(9) 你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
第三, 实行你的计划 (实现计划) 。
(1) 实现你的求解计划, 检验每一步骤。
(2) 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
第四, 验算所得到的解 (回顾) 。
(1) 你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?
(2) 你能不能把这个结果或方法用于其他的问题?
二、回到定义去———“数方格”是测量 (估计) 图形面积的基本方法
“回到定义去”在数学解题中是一项重要的思维活动, 波利亚将这一重要思维活动列在“解题表”的显著位置。当我们没有办法来解决一个问题时, 回到定义可能是我们唯一能做的事情。
在平行四边形面积公式教学时, 学生已经知道一个图形由6个1平方厘米的正方形拼成, 那么这个图形的面积就是6平方厘米, 学生也知道用这种方法 (回到定义去) 可以测量 (估算) 出不规则图形的面积。
苏教版五年级上册是通过第12页的例2, 来引入教学的。
在教学中, 我们是不是可以这样改:教师先给出一个平行四边形, 再引导学生用数格子的方法 (回到定义去) 来数出平行四边形的面积, 这样的引导让学生感觉到很自然, 然后把这个平行四边形放在透明方格纸下, 也就会出现象例2这样的图形。这时候, 教师不要急着提问“你能把例2的平行四边形转化成长方形吗?”并让学生想办法得出它的面积, 而应在学生用不满一个算半格的方法得出平行四边形的面积后, 提醒学生:这种方法得出的面积可能不精确, 能不能有精确的方法得到它的面积?这样就会激发学生的探究欲。为什么要拼成长方形?不是教材要求把它拼成长方形我们就剪拼成长方形。如果可能直接得到平行四边形面积计算公式 (事实上, 这样的公式是有的) , 那么还要转化做什么呢?剪拼成长方形得到准确的结果应该是发自学生内心的需要。
这样的引入也可以适用于圆面积的引入, 台湾地区的小学教材创设了学生熟悉的“数方格”, 估计出圆的面积, 并且给出了具体的操作办法, “先算这个圆形的1/4是多少, 再乘以4就算出来了”。这样的引入基于学生的已有经验, 遵循了学生的认知发展规律, 对于唤起他们对圆面积计算方法的探究欲望, 起到了积极的作用。
如何找到好的方法, 准确求出平行四边形等其他图形的面积, 就是学生接下来要考虑的问题。
三、特殊化———获得解题思路的好方法
特殊化是与一般化相对而言的一种合情推理形式, 它是从对象的一个给定集合转而考虑其中较小集合。数学发现和问题求解时, 进行特殊化可能得到启发。正如波利亚所强调的, 注意到特殊情况的观察, 能够导致一般性的数学结果, 也可以启发出一般性的证明方法。
回到三角形面积的计算教学, 我们已经解决了为什么要把三角形放在正方形的小方格中, 通过数格子让学生自主发现推导公式的方法。接下来的问题是怎样放?放哪一种三角形?事实证明:应先考虑一种特殊的三角形———直角三角形, 因为要精确求出图1中直角三角形的面积, 学生最容易想到, 先求一个长为6, 宽为4的长方形面积, 然后再除以2, 便得到这个三角形的面积。教师提问:组成这个长方形的另一部分是一个什么图形?它和所给直角三角形有什么关系?如果学生还不能确信, 可以让他们把另一个三角形剪下来, 拼一拼, 进一步验证自己的结论。
接下来就自然引入到:通过两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形求出直角三角形的准确面积, 那么图2中钝角三角形和图3中锐角三角形又能通过拼成什么图形来求出它们的面积?
最后归纳出:无论哪一种三角形, 都可以通过用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形, 三角形的底是平行四边形的底, 三角形的高是平行四边形的高, 三角形的面积等于所拼平行四边形面积的一半。
澳门地区的小学教材也是通过从特殊情况入手, 引入圆面积的教学:一张正方形纸, 对角折数次, 剪一刀, 展开来就是一张近似圆形的纸, 折痕之间的一点是圆心。随着折的次数愈多, 剪成的圆形愈接近圆形。这个圆形的面积, 可以看成是这些等腰三角形的面积的和。
学生在学习过程中积累了更多的解题经验以后, 再遇到一个新问题时, 教师应该引导启发学生选择正确、合理的思路去解决它, 如果解题遇阻, 至少应该想到一种最接近的方法 (可能不能仅仅停留在回到定义去或者特殊化) 去试验它。那么如何启发呢?
四、启发法———波利亚解题思想的精髓
学生学习了三角形和平行四边形面积计算公式以后, 接着就学习梯形面积计算公式了。面对一个从未接触的问题, 如何启发学生比较自然地产生解题的“念头”, 是摆在教师面前的第一要务。波利亚的怎样解题表的精髓就是启发我们去联想。联想什么?怎样联想?让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧:“……这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题, 你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它, 你是否应该引入某些辅助元素?……”“求平行四边形面积公式所用的方法是:割拼法。三角形面积公式所用的方法是:扩拼法。教师提醒学生:你能利用这些方法吗?”让学生有解决这个问题的两个念头:用割拼法和扩拼法。有了这两个“念头”, 下面就让学生去试一试。笔者在前些年观摩了南通市崇川区青年教师教学比赛, 所有五年级的老师都上梯形面积的计算这节课, 我发现, 一些老师只讲“扩拼法”, 而对“割拼法”重视不够, 当学生把梯形一边剪下一个直角三角形拼到梯形另一侧, 发现不能拼成一个长方形。教师因为知道这个方法对一般梯形不适用, 如果讲了会把学生带上歧途, 所以对讲这种方法的学生不管不顾。事实上, 老师的这种做法是不可取的。波利亚《怎样解题》这本书中指出:也许有些念头会把你引入歧途, 但这并不可怕, 在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后会突然闪出一个好念头, 最糟糕的是没有任何念头, 还笨头呆脑地干等着某个念头的降临。学生可能正因为这种割拼法不行, 从而想到其他剪拼法。比如:第一, 在梯形的另一边也剪下一个直角三角形, 把两边的直角三角形拼成一个三角形, 如图4所示。第二, 沿梯形对角线剪开, 转化成求两个三角形的面积, 如图5所示。第三, 把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形, 再求出它们面积的和, 从而得到梯形的面积, 如图6所示。
可能还有更多种不同的剪拼方法, 通过这些方法都求出了梯形的面积, 也能得到梯形的面积计算公式, 但绝大多数教师只讲通过“扩拼法”得到的梯形面积计算公式, 即梯形面积 =1/2 (上底 + 下底) ×高, 也只要求记住这个公式。为什么不讲用其他方法得到的梯形面积计算公式, 比如通过图6我们可以得到梯形的面积 =1/2 (下底 - 上底) ×高 + 上底×高, 也不要求学生死记住它?为了让学生理解其中的道理, 就离不开对解题过程的回顾与反思。
五、回顾———解题不可缺少的一个环节
在多边形面积公式推导过程中, 教师都忽视了一个重要环节———回顾。我们还是以上面讨论的问题为例:梯形面积 =1/2 (上底 + 下底) ×高, 为什么不能讲梯形的面积=1/2 (下底-上底) ×高+上底×高?可能有些老师说:第二个公式可以化为第一个公式, 因为学生没有学过如何化简, 所以不能讲第二个公式, 这是一个理由, 但不是我们不去回顾的理由。我们可以引导学生从以下两个方面去回顾:一、两个公式哪一个公式更简单, 学生一看就知道了。二、哪一个公式, 你能一下子说出为什么有这个公式。学生肯定会一下子说出:两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形, (上底 + 下底) 等于这个平行四边形的底, (上底 + 下底) ×高等于这个平行四边形的面积, 而所求梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。通过这样的回顾既让学生回忆了解题方法, 又记住了这个公式, 何乐而不为。通过以上的回顾, 也给出了为什么只要求学生记住梯形面积 =1/2 (上底 + 下底) ×高的理由, 这样的教学过程就更加自然了。
引导学生形成良好的解题反思习惯, 让他们的解题能力和思维品质在更深和更高层次得到有效提高和升华, 这应该是每一位数学教师所追求的目标。
总之, 波利亚的怎样解题表教会了我们如何思考, 教师的教学应该自然地展示思考过程, 帮助学生自己再发现所教的内容, 发展学生自己的能力, 学生学会不断地自我提问、不断地自我建议, 驱使自己主动地去分析问题与解决问题, 不断丰富自己解决问题的能力。
波利亚解题表 篇2
谈数学学习的习惯培养
沈 斌
摘要：运用波利亚的“怎样解题”表来指导数学教学，揭示解题过程的思维训练全貌, 暴露数学学习核心问题的本质，以增进教学效果，同时, 在解题的过程中，也使学生的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高解题能力，而且养成有益的思维习惯，进而形成了良好的数学学习习惯，而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。
关键词：怎样解题表职业中学学习习惯
正文：
一、中等职业学校学生学习现状
当前的职校数学教学面临着一种困境，学生生源质量差且参差不齐，经常听到有教师怨言：“这些学生怎么教呵！”学生基础比较差这是事实，是不是学生智质差？不是，学生也聪明，活泼好动，究其原因是职业中学学生大多,数学学习习惯不好，学习被动等，他们不懂得怎样去思考问题, 怎样将己知未知联系起来, 甚至搞不清已知是什么,总之他们不会学习或者说解题不知从何入手。对于教师而言，面对着一个班级里有许多学习目的不明确、学习习惯不好、基础不扎实的学生，如何上好课的确是一大难题，如果沿用传统的课堂教学目标和模式，其结果只能造成师生互怨。
二、波利亚《怎样解题》的启示
美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表。这张表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程。
波利亚把他本人数十年的教学与科研经验集中具体地表现在他的”怎样解题”表上。在这张表中, 他按照逻辑思维的顺序和出现可能性大小的顺序搜集了一系列公式化了的指导性意见, 提出的方式也十分灵活, 有时用建议的口气, 有时则用引导性问题的办法, 尽量顺乎自然, 使学生感到这些意见真是说到他们的心坎上了, 这就是他们自己所要说的话。波利亚说: “教师最重要的任务之一是帮助学生”。“教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤”。波利亚的《怎样解题》教学思想使我受到启示，在课堂教学中尝试“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤，使学生逐步养成了良好的数学学习习惯。
三、在职校数学教学中应用《怎样解题》思想培养学生学习习惯
(一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯
审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前
提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。数学教师在通常的教学过程中应时时提醒学生这样尽力去做, 那么我们的学生不管他对每一道题目是否审的清楚, 但一定可以在这种过程中培养起先弄清问题,分析已知条件的习惯。
例 如果一条直线平行于一个平面,那么垂直于这条直线的平面必垂直于这个平面.讲解第一步、弄清问题:
你要求证的是什么?
要求证的是平面与平面垂直.已知些什么?
一条直线平行于一个平面, 另一个平面垂直于这条直线.可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗?
已知: 直线a∥平面α, 直
求证:平面α⊥平面β.效果：通过以上的审题和分析
了题意并数学化，同时大脑中有了
(二)通过探求解题方法,培
习惯
在波利亚的解题表中，拟定计划是关键环节，“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过程。“拟定计划”的过程其实就是不断变换问题的过程，把复杂的问题向简单的问题转化，陌生的问题向熟悉的问题转化，最终把待解决的问题化归为已解决的或易解决的问题，这样在探索解题思路的过程中自然而然地培养了学生拟定解题计划的习惯。学生有了计划, 就不会拉下已知条件, 就会考虑解题的优先顺序，有清晰的目标，就可以通过计划的实施来实现解题的目标。
讲解第二步、拟定计划:
怎样证明两个平面垂直?
要证明平面α⊥平面β, 只要在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可。
怎样找到另一个平面的垂线呢？
由直线a⊥平面β, 根据直线和直线平行的性质定理, 只要在平面α内找到一条和直线a平行的直线, 这直线必定垂直于平面β。
怎样在平面α内找到这条直线呢？
而由直线和平面平行的性质定理可知, 只须过直线a任意作一个平面γ和平面α相交于直线b, 则交线b⊥平面β, 由此可证明结论成立.解题计划：直线a∥平面α，可找平面α内的直线b，a∥b可得直线b⊥平面β，b⊥平面β且平面α经过直线b结论可得证。
(三)通过实现解题计划,培养学生将计划付诸实现的习惯
想出一个计划,产生一个求解的念头是不容易的,要成功,需要有许多条件,如已有的知识、良好的思维习惯等。我们要把来之不易的好计划好念头付诸实现，在解题计划的实现过程中我们必须充 a线a⊥平面β.已知条件，使学生弄清一个立体模型.养学生拟定解题计划的实细节并耐心地检查每一个细节，直到每一点都完全清楚，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。在这个过程中教师要注意培养学生的耐心和恒心，要时时提醒学生自己解题的计划是什么?按照解题计划坚持让学生检查每一步骤,这对职业中学的学生而言尤其重要,因他们的关键是踏踏实实的做每一件事情，将计划执行到底。
讲解第三步、实现计划:
证明:过直线a任作一个
直线b
直线a∥平面α a∥直线a⊥平面β
b⊥平面β a平面γ, 和平面α相交于而平面α过直线b，则平面α⊥平面β.检查：直线和平面平行的性质定理，直线和直线平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理，三个定理清晰保证每步成立。
(四)通过解题回顾, 培养学生主动回顾反思的习惯
即使是相当好的学生, 当他得到问题的解答, 并且很干净利落地写下论证后, 就会合上书本, 找点别的事来干干。这样做, 他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。
培养学生对自己的解题过程进行回顾反思的习惯，提高学生的思维自我评介水平，这是提高学习效率，培养数学能力的有效的方法。解题是学好数学的必由之路，养成对自己的解题过程进行回顾反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。如果在获得正确答案后就此终止,不对解题过程进行回顾和反思，那么解题活动就有可能停留在经验水平上,事倍功半；如果在每一次解题以后都以对自己的思路作自我评价，探讨成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，并促使学生的思维进入理性认识阶段，事半功倍，同时可能会产生创新的好念头。因此，为了提高数学学习效率，必须加强正确的解题思想教育，使学生养成回顾反思的习惯。
讲解第四步、回顾:
回顾解题过程可以看到, 解题首先要弄清题意, 从中捕捉有用的信息, 同时又要及时提取记忆中的有关知识, 来拟定出一个成功的计划。此题我们在思维策略上是二层次解决问题, 首先根据直线和平面平行的性质定理找到直线b, 然后根据直线和直线平行的性质定理及平面与平面垂直的判定定理得证。
四、教师应更新教育观念 ,摆出良好姿态
数学家乔治·波利亚在他的《怎样解题》一书中自始至终体现出对学生的关怀和设身处地地为学生考虑的思想。因此，我们职业学校的教师应转变教育思想,树立起为学生服务观念, 摆出良好姿态面对我们的学生，我们要相信每个学生都是有能力学好的。给予学生更多的人文关怀，教师在整个教学过程中应从学生的角度出发，考虑学生的学习感受，特别对于基础差的学生，更不能带有偏见、抱怨和漠然的态度，应尊重他们受教育的权利，设计出符合学生特点的课堂教学，更好地为学生服务。本着这样一种观念，就会创造出一种让学生处处感到被信任的氛围，没有怀疑，只有理解，其结果则会培养学生的自觉意识，增强自律能力，逐步养成良好的学习习惯。这就要求教师要做到：
1、要热爱学生，这是达到民主和谐的基础，没有爱就没有教育.2、要建立平等的师生关系，教师要放
下架子，把自己当作学生中的一员，使自己成为既是学生学习的指导者，又是合作者，积极参与学生的讨论、交流，经常用商量的口吻进行教学。
3、要正视学生的潜能，承认学生能主动发展，视教学过程为学生的发现、创造的过程，而不仅是知识获得的过程。
参考文献：
G.波利亚著<<怎样解题>>阎育苏译
<<数学解题思维策略>>刘云章 赵雄辉 编
从<<怎样解题>>谈例题教学何双谊高中数学教与学2004 年第12期
<<波利亚的怎样解题表>>罗增儒
波利亚解题理论下的解题思维教学 篇3
中图分类号：G712 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-068-01
教学过程中，会遇到这样的情况：遇到一个经过变形的题目，学生百思不得其解，经过老师讲解，学生恍然大悟，觉得自己完全可以想出。但学生又为什么没有想到呢？
与高中教学相比，初中知识点相对较少，课时比较宽裕。在课程内容教学过程中，为了达到数学学习的结果性目标。老师更愿意向学生提供现成的解题过程，并加以适当的解释，要求学生进行模仿，希望他们再次遇到类似的问题，能够通过类比进行正确的解题。却在教学过程中忽略了新课程标准所提出的过程性目标，能做到授之以渔，却难做到授之以渔。
在进入高中后，新知识点、新题型呈几何型增多，甚至进入社会后，遇到新的问题时，他们更需要通过自己思考和创新来解决问题。
为回答“一个好的解题方法是如何想出来的”这个令人困惑的问题。波利亚专门研究了解题思维过程。他分析的思维解题过程主要分为：“了解问题”、“拟定计划”、“实现计划”、“回顾”。
下面结合波利亚的解题理论和三角形证明中例题来尝试展示笔者在教学过程中的解题的思维过程。
例：如图，在 中， 作AB的垂直平分线，交AB与点D，交AC于点E，连接BE平分 证明这一结论。你有几种方法？
根据思维导图，实现三总解题方法。并且提示学生在实现计划的过程中，检验每一步，确保每一步的正确性。
第四：回顾
带领学生再次回顾解题思维导图，检验推理的正确性。把本题的解题方法和结果尝试用到解决类似的题目中去。
在习题教学前，教师要进行备课，一定会先将习题自己独立做一遍。在思考的过程中，思维出现的暂时错误也可以作为教学内容，将自己思考时候出现的错误结合学生学情，寻找合适的方法展示出来，目的在于示意学生，问题的解决不会总是一路平坦的，会出现思维障碍和思路无法进行下去。遇到思维障碍，需要结合自己已有知识体系再次读题，是否有遗漏题目中的条件和隐藏。当思路无法进行下去，鼓励学生再换个思路。交给学生解题方法，培养学生专研精神，减少学生的畏难情绪，授之以渔。
参考文献：
[1] 张大均.教育心理学 [M].人民教育出版社，2011：32
[2] 张奠宙.数学教育概论[M].高等教育出版社，2009：295
波利亚与“怎样解题” 篇4
关键词：解题方法,数学问题,规律,程序
波利亚曾经教过中学, 长期从事大学数学教学工作。在漫长的岁月中, 他的精湛的教学艺术与杰出的数学研究相结合, 产生了他特有的丰富的数学教育思想。波利亚数学教育思想有两个基点: 其一是关于对数学科学的认识, 其二是关于对数学学习的认识。其中他的《怎样解题》产生深刻影响。
一、怎样解题
1. 理解题目
未知量是什么? 已知数据是什么? 条件是什么? 满足条件是否可能? 要确定未知量, 条件是否充分? 或者它是否不充分? 或者是多余的? 或者是矛盾的? 画张图, 引入适当的符号。把条件的各个部分分开, 能否把它们写下来?
2. 找出已知数与求知数之间的联系
如果找不出直接的联系, 可能不得不考虑辅助问题, 应最终得出一个求解的计划。
拟订计划: 你以前见过它吗? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 是否知道与此有关的问题? 是否知道一个可能用得上的定理? 观察未知量。试想出一个具有相同未知量或相似未知量的熟悉的问题。能应用它吗? 能不能利用它? 能利用它的结果吗? 为了能利用它, 是否应引入某些辅助元素? 能不能重新叙述这个问题? 能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去。
如果不能解决所提出的问题, 可先解决一个与此有关的问题。能不能想出一个更容易着手的有关问题? 一个更普遍的问题? 一个更特殊的问题? 一个类比的问题? 能否解决这个问题的一部分? 仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分, 这样对于未知能确定到什么程度? 它会怎样变化? 你能不能从已知数据导出某些有用的东西?
3. 执行方案
执行解题方案, 检验每一步骤。能否清楚地看出这一步是正确的? 你能否证明这一步是正确的?
4. 检查已经得到的解答
回顾: 能否检验这个结果? 你能否用别的方法导出这个结果? 你能不能把这结果或方法用于其他的问题?
二、例子
例题: 已知长方体的长、宽和高, 求它的对角线长度。
第一步: 理解题目。
教师和学生之间的对话可以像下面这样开始:
“未知量是什么?”“这个长方体的对角线的长度。”
“已知数据是什么?”“此长方体的长、宽和高。”
“引入适当的符号。用哪个字母表示未知量?”“x。”
“你选哪些字母来表示长、宽和高?”“a, b, c。”
“联系a、b、c与x的条件是什么?”“x是长为a、宽为b和高为c的长方体的对角线长度。”
“这是一个合理的题目吗? 我的意思是, 条件是否足以确定未知量?”“是的。如果我们已知a、b、c, 我们就知道了长方体, 如果长方体被确定, 其对角线也就被确定了。”
第二步: 拟定方案。
“你们知道一道与它有关的题目吗?”“观察未知量。你们是否知道有哪一道题目和这一道题目有相同的未知量?”“那么, 未知量是什么?”“长方体的对角线。”“你们知道有什么题目和这一题目有相同的未知量吗?”“不知道, 我们从来没碰到过关于长方体的对角线的题目。”“你们知道有什么题目和这一题目有相似的未知量吗?”“你们看, 对角线是一条线段, 是一条直线的一部分。难道你们从未做过未知量是一条线段长度的题目吗?”“我们当然做过这样的题目。比如说求一个直角三角形的一条边。”“很好。这里有一道题目和你们的题目有关而且以前解过。你们能利用它吗?”“非常幸运的是, 你们能想起一道与你们现在要解的题目有关, 并且你们以前曾经解答过的题目。你们想要在这里应用它吗?”“往这儿看, 你们所记得的题目是关于一个三角形的。在你们现在的图形里有没有三角形呢?”引入一个直角三角形, 图中用阴影强调指出。
“我认为在图中把那个三角形画出来是一个很好的主意。你们现在有了一个三角形, 但是你们有没有找到未知量呢?”“未知量就是这个三角形的斜边, 我们可以用勾股定理把它计算出来。”
“如果两条直角边都是已知的, 你们是会计算的, 但是它们是否已知呢?”“其中一条直角边是给定的, 就是c。至于另外一条, 我想也不难求出。对了, 这条直角边又是另一个直角三角形的斜边。”“太棒了! 现在我知道你们已经有了一个方案了。”
第三步: 执行方案。
学生有了解题思路。他发现了一个直角三角形, 这个直角三角形的斜边就是要求的未知量x, 它的一条直角边是已知的高度c, 另一条边是长方体一个面上的对角线。也许必须激励学生引入其他合适的符号。他应引入y来标记另一条直角边, 也就是长方体一个面上的对角线, 这个面的两条边长分别为a和b。这样, 在引入了另一个求未知量y的辅助题目后, 他解题的思路就更清晰了。最后, 在先后对两个直角三角形分别进行计算后, 他可以得到:
第四步: 回顾。
你能检验这个结果吗? “你用到所有的已知数据了吗?”“所有三个已知量a、b、c都在你的对角线公式中出现了吗?”“假如a、b、c互换, 表达式时候保持不变?”
三、对《怎样解题》的评价
正如著名数学家范·德·瓦尔所说: “每个大学生, 每个学者, 特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书。”
参考文献
[1]百度百科.
[2]维基百科.
[3]G·波利亚著.涂泓, 冯承天译.怎样解题.上海:上海科技教育出版社, 2011.
波利亚教我们怎样解题 篇5
-------送给渴望学好数学的同学
乔治·波利亚，美籍匈牙利人，是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师。波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。学知识，先学方法。他的这些解题的方法，对我启发很大!所以特意摘录给同学们看看，希望大家也能从中受到启发。
第一步：你必须弄清问题。
1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？
2.画张图，将已知标上。
3.引入适当的符号。
4.把条件的各个部分分开。
第二步：找出已知与未知的联系。
1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？
2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？
3.回到定义去。
4.你能否解决问题的一部分？
5.你是否利用了所有的条件？
第三步：写出你的想法。
1.勇敢地写出你的方法。
2.你能否说出你所写的每一步的理由？
第四步：回顾。
1.你能否一眼就看出结论？
2.你能否用别的方法导出这个结论？
波利亚解题表 篇6
自古以来我国就是数学解题的王国,解题训练是我国数学教育的鲜明特色. 解题之所以受到如此的重视,是因为它对学生而言具有重要的意义,具体而言可以分为外部意义和内部意义两个方面.
1. 外部意义主要体现在它是学生应对考试的法宝. 随着新课程改革的实行,“以人为本”的素质教育的呼声越来越高,以人为本的思想主张减轻学生负担,还学生自由. 但这里的以人为本并不是我们很多学生和家长所理解的那样,认为学生做题越少越好,而是要注重提高学生的解题技巧和策略. 如今,考试仍然是压在学生头上的大山,为了拿到好的分数,学生还是要拼命地练题. 这样解题策略就尤为重要,只有真正地提高了学生的解题策略,才会在尽量减少学生练题负担的同时让学生拿到理想的分数.
2. 内部意义主要体现在它有助于学生数学思维能力的形成. 这种能力不仅对学生今后解题有益,而且可以使学生的整体数学学习能力得到提高. 如果将解题简单地理解为一种程序性知识,认为只要记住足够多的知识点,将每种题型都练到练熟,就可以在考试中得心应手,那么就大错特错了. 这种题海战术对于应对简单题也许管用,但是对于那些需要复杂操作技能的难题,解题策略和过程性知识就显得尤为重要了.
二、波利亚“怎样解题表”的简介
说明:他将解题过程大体上分为四步. 一、理解题目:主要是找到已知量、条件和所求这三个部分;二、拟订方案:主要是找出已知量和未知量之间的联系,并进一步制订初步的解题计划,在这里波利亚重点提出了在解题时要注意题目与以前做过的相关题目之间的联系;三、执行方案:是将第二步计划的方案付诸实践,并检验每一步是否正确;四、回顾:这一步是在整个题目做完之后对解题的每一步骤的反思,这种反思不仅是对解题具体过程的回顾,还要重新梳理整个题目解答过程中的思路,总结解题中的经验和教训,这样学生就会在思维的更高层次上进行再概括,促使思维进入理性认识阶段,由会一题到会一类,达到事半功倍的效果.
三、波利亚“怎样解题表”解题策略的评价
所谓解题策略,就是解题者为了提高解题的效果和效率有目的、有意识地制定的有关解题过程的复杂的方案. 而波利亚提出的这一套解题策略对于数学解题无疑是非常有效的,他的策略主要体现在分步实施和不断反问两个方面.
1. 分步实施的策略. 分步实施的策略实质上是解题者对解题过程的一种计划. 他将解题的过程分为四步,每一步都有相应的任务,这样做的好处是可操作性强. 具体地分为四步,这样学生在解题之前,就会条件反射式地想到“四”这个数字,然后回忆每一步要完成哪些任务. 另外,这四步虽然各有其不同任务,但是它们在逻辑上具有整体性、顺序性和连续性的特点. 整体性体现在四个步骤之间并不是孤立存在的,而是相互紧密联系的有机整体. 顺序性体现在四个步骤是按照一定顺序进行的,前一步是后一步的前提条件,每一步都具有严密的逻辑顺序. 连续性体现在每一步都是相互联系的,它们环环相扣,缺少了其中任何一步都难以成功解题.
波利亚解题表 篇7
乔治·波利亚(George Polya)是著名数学家、教育家，数学解题方法论的开拓者，一生发表过两百多篇学术论文和许多专著。其中在数学教育方面的著作有《怎样解题》(How to Solve It)、《数学的发现》(Mathematical Discovery)、《数学与猜想》(Mathematics and Plausible Reasoning)等。从这些书中可发现他所开创的解题精神，以及他在数学教育领域内有着极其精深的造诣。这些书的出版不仅对美国的中学数学教育具有重要的指导意义，而且轰动了整个数学教育界，至今仍畅销不绝，它们都是深受欢迎的数学教育经典著作。特别是《怎样解题》一中列出的“怎样解题表”概括了人类解决数学问题的一般规律，以及解题中的探索启发式程序，是波利亚几十年来对数学问题解决的研究结晶。此书自出版以来，被至少译成17种语言文字，发行量已超过100万册，它的面世被誉为“问题解决的一个转折点”。波利亚成为当代的数学问题解决的先躯，“波利亚风格”、“波利亚方式”成为数学教师的专门用语而广为流传，久而久之，人们形成了这样一种观念：“数学教育中的问题解决意味着按照波利亚的方式解决问题。”
作为一名数学家，波利亚在众多的数学分支及计算数学、应用数学中都颇有建树;作为一名数学教育大师，波利亚有着丰富的数学教育思想和精湛的教学艺术。他善于把抽象的数学研究与教学实践结合起来。他一生大部分时间从事高等数学教育，有丰富的教学经验，讲课生动，独树特色。曾培养出大批负有声望的科学家，如冯·诺依曼等。我国聆听过波利亚讲课的老一辈数学家，至今对他的授课技巧钦佩不已[1]。
波利亚的数学教育思想有两点哲学认识论基础：其一，数学具有二重性，它既是一门欧几里得式的严谨的演绎科学，但在创造过程中又是一门实验性的归纳科学，与自然科学没有什么两样。其二，生物发生律也适用于数学教学，即人类的后代学习数学与人类祖先认识数学的历史是相似的。具体地说，在课程设计及其教学时，“生物发生律”可以决定教什么内容与理论，可以预见到用什么样的先后顺序和适当方法来讲授这些内容和理论，他尤其提倡应让学生尽可能多地发现一些事实，提出猜想，走前人认识数学的路。“要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家”[2]。
二、数学教育思想的现代解读
（一）合情推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程[4]。猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种思维方法，归纳与类比首先都包含有猜想的成分，所以，我们在教学中提到的猜想、归纳与类比等都属于合情推理的范畴。严格地说，除数学和论证逻辑外，我们所有的知识都是由一些猜想所构成的。我们借论证推理来肯定我们的数学知识，而借合情推理来为我们的猜想提供依据。一个数学上的证明是论证推理，而物理学家的归纳论证，律师的案情论证，历史学家的史料论证等都属于合情推理之列。
“对数学可能存在着许多不同的看法，我担心对许多学生来说数学好像是一套死板的解题法……对一些教师来说，数学是一套严格的证明系统……对于积极搞研究的数学家来说，数学往往像是猜想游戏……数学教学中必须有猜想的地位，教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试，教学不应该压制学生中间的发明萌芽……”[2]。波利亚认为，合情推理有利于培养学生创造性解决问题的能力，激发学生探索、发现新结论。因此，数学的目标应培养学生的思维，引导其独立思考、解决问题的能力，通过合情推理，培养学生的创造力，同时通过逻辑证明(论证)培养学生一定的演绎推理能力。
《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》在其前言部分强调：“通过数学课程的学习发展学生的数感……应用意识与推理能力。”推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、合情推理等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例，等等。《标准》在总体目标之一“数学思考”中也指出：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”由波利亚对合情推理的重视可见，《标准》对于合情推理的强调并非无源之水，而是有历史基础的。可见，波利亚的数学教育理论与我们新课标的理念“不谋而合”，因为合情推理的实质是发现与创新，所以合情推理能力的培养在发展学生创新精神的过程中有着巨大的价值。
从国际数学课程改革的特点也可看出，其在处理中小学数学思想方法方面有两种基本思路：第一，主要通过纯数学知识的学习，逐步使学生掌握数学的思想和方法;第二，通过解决实际问题，使学生形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法，如实验、猜测、合情推理等。两者相比而言，后者更多的是一般的思考方法，具有更广泛的应用性。许多发达国家倾向于第二种基本思路。
我国学生的数学学习恰恰忽视了合情推理，忽视了数学学习过程中猜测的力量。这就导致我国学生“数学能力发展不全面，尤其缺乏创新精神与实践能力”[4]。长期以来，人们对数学能力的理解也主要停留在逻辑思维能力的层面上，而逻辑思维有时恰恰阻碍了学生的创新发现。随着时代的发展，这种数学能力观的局限性越来越明显。现代社会要求公民具有的数学素养使数学能力具有内验观察、合情推理、预测猜想、探究创造等丰富内容。
波利亚指出：“在学校惯常的课程中还没有一门能提供类似的机会来学习合情推理。我要向各年级对数学有兴趣的学生提出：我们应该学习证明法，也应该学习猜想法。数学的创造过程是与任何其他的知识的创造过程一样的。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明;但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”[5]只要数学的学习过程稍稍能反映出数学的发明过程，那么猜想就应当占有适当的位置。可见，合情推理在数学教育中的重要地位，以及这一数学教育思想在当代的现实意义。
案例：观察算式34+43=77, 51+15=66, 26+62=88，你发现了什么?
[可能的猜想：个位数字与十位数字互换前后的两个两位数的和是个位数字与十位数字相同的一个两位数;所得的两位数能被11整除……]
验证：74+47=121，原来的猜想成立吗?
再继续验证，结论仍然成立吗?
[以上是进行合情推理的过程。]
问题：能否证明结论是正确的呢?
方法1：对所有的两位数一一加以验证，但是既繁复又费时。
方法2：若a, b表示一个两位数两个数位上的数字，则(a×10+b)+(b×10+a)=11a+11b=11×(a+b)，于是“所得的两位数能被11整除”的猜想得到证实。这样的过程，是一个经历观察、猜想、归纳、证明的过程，既有合情推理又有演绎推理的过程。
（二）问题解决
波利亚受他的老师的影响，以及他自己发现意愿的驱使，从中学开始就对问题解决有兴趣。他认为数学能力就是指解决问题的才智，而数学课程与数学教学的重要目的之一就是发展学生的解决问题的能力。他认为在数学课上进行解题教学，有利于培养学生的数学思维能力。寻求证明的能力，审断论据的能力，流利地使用数学语言的能力，以及在具体情境中辨认数学概念的能力，有机会发展学生的思维方式和得法的工作习惯，而这些东西正是一般文化修养的主要组成部分。
为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是由他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题表”。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，波利亚对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划”[5]。
波利亚的“怎样解题表”的精髓是启发、联想。“你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数!试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题，你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方式重新叙述它……”[5]他把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见、摸得着。
（三）教师培训
波利亚从1953年退休以后，主要从事教师培训工作，他的3本著作在一定意义上是为了教师的进修和提高而写的，其中许多内容是他自己的培训实践经验的科学总结。因此，他的3本著作是我们教师进修的极好教材。对教师的培训问题，波利亚关注的是“数学专业课程问题”和“‘教学法’课程问题”。
波利亚非常重视作为教师应有的数学专业素质，他提出：“教师要掌握两个方面的东西———知识和技巧。技巧是运用知识的能力。数学中的技巧更为重要，或者说比只占有知识更为重要得多。数学上的技巧就是做题的能力，给出证明的能力，审断论据的能力，流利地运用数学语言的能力，以及在具体情况下辨认数学概念的能力，等等。”“数学中的技巧更为重要，或者说比只占有知识更为重要得多。”他又指出：“大家都要求中学阶段应该不仅给学生数学知识，还要培养技能、技巧、独立作业能力、独到见解和创造能力。然而却没有人向数学教师要求这些优良的品质和能力，这难道不奇怪吗?”[6]波利亚这是在批评当时美国的“官方”和教师的状况，如果反思我国教师解题能力的现状，我们也许会受到些许的启发。对我国在职教师培训，在很大程度上要依赖于培训者的素养。正如波利亚所说：“只有那些既有数学研究工作经验又有教学实际经验的讲师才能担任教学法课的教学工作。”[6]
波利亚在教学实践的基础上，经过思维加工，归纳提炼出“一套见解”，他称之为“教师十诫”[6]。前4条是教师搞好教学的“充分必要条件”：(1)要对自己所教课程有兴趣;(2)要“熟知自己的科目”;(3)要清楚学生的学习过程;(4)要了解学生实际。(5)—(7)条是讲教学目的的，着重强调培养学生的“解题能力”、“猜想能力”和“证明能力”。(8)是说解题教学中要让学生获得“一些可能用于解今后题目的特征”;(9)—(10)条是强调“在现有条件下留给学生尽可能多的自由余地，让他们发挥其首创精神和积极性”[7]。波利亚的“教师十诫”是他给数学教师上课所体现的“教学法”的思想和内容，实质是他的教学经验的系统总结和理论提升，也可以说是波利亚数学教学思想的精髓和体系。
我认为，这10条是一个数学教师所必备的基本素质，我们要高度关注这样一些观点，如：“如果教师厌烦自己的科目，那么全班也肯定会厌烦这门课”，所以“把兴趣放在首位”;“数学是进行论证推理的好学校”，“让他们学会猜想问题”，“让他们学会证明问题”;“不要把你的全部秘诀一古脑儿倒给学生”，要“启发问题，而不要填鸭式硬塞给学生”，等等。
教师在教学中要关注学生的经验，从经验出发，引导学生积极主动地思考;不断提升自身的理论素养与教学技能。教师应该是学生走进数学殿堂的引路人。
参考文献
[1]贺贤孝.波利亚的生平及其数学教育思想[J].数学通报, 1996, (9) .
[2]波利亚著.李心灿译.数学与猜想[M].北京:科学出版社, 2001.
[4]杨慧娟, 杜鹏.新课标下重析波利亚的合情推理思想[J].数学通报, 2006, (2) .
[5]波利亚著.阎育苏译.怎样解题[M].北京:科学出版社, 1982.
[6]波利亚著.欧阳绛译.数学的发现[M].北京:科学出版社, 1982.
波利亚解题表 篇8
在近几年的高考中, 数学应用性问题是一个亮点.各地的试卷中出现了许多体现知识交汇, 突出考查数学思想方法, 背景新颖、立意巧妙的应用性试题.这些试题有利于全面考查同学们多方面的数学能力.但在考试中, 这些题同学们大多完成的不理想.分析原因, 主要有以下几点:
1) 背景不熟悉, 产生畏难情绪.应用性问题的立意是考查考生灵活应用所学知识和方法解决实际问题的能力.高考应用性问题为体现背景公平, 往往设置一个很新颖的背景.这些背景虽然来源于生产、生活.但因同学们接触社会较少, 对此往往感到很陌生, 从而产生畏难情绪, 有的甚至干脆放弃.
2) 读题存在问题, 导致失误.解答应用性问题要求同学们能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能够对提供的信息资料进行归纳、整理和分类, 从而将实际问题抽象为数学问题.应用性问题往往文字较多, 又涉及到许多新的名词、新定义、新的关系式、图表、图像等, 这些都会增加同学们理解上的困难, 容易导致错解.
3) 语言转化能力不强.应用性问题考查的一个重要方面是数学语言的考查, 包括普通语言和数学语言的阅读理解能力的考查, 普通语言的考查要求将日常生活或一般问题中的普通语言转化为严谨的数学语言.应用性试题要求学生从文字、图像、表格中找到变量之间的依存关系, 进而转化为中学数学中熟悉的函数、不等式、三角、数列等求解.语言转化能力不强, 将直接影响学生对应用题的解答.
4) 数学建模能力培养不够.数学应用问题的考查大致可分为以下几个层次:①现成公式的直接运用;②利用给定的数学模型对应用性问题进行定量分析;③通过对实际问题中的一些次要变量进行控制, 对保留下来的变量关系比较清楚的实际问题建立数学模型求解;④对原始的实际问题进行提炼加工, 建立数学模型求解.高考一般以②③两个层次的考查为主.不可否认, 应用题的考查客观上拉开了考生的分数差距.但往往由于我们在实际教学中重视不够, 只是在考前进行一段不长时间的专题训练, 导致同学们数学建模能力不够, 使应用题答题不理想.
5) 计算能力不强, 解答应用题时涉及到的一些运算不能很好地完成.
如2006年湖南高考理科数学第20题:
对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度 (含污物体清洁度的定义为:
(Ⅰ) 分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少?
(Ⅱ) 若采用方案乙.当a为某定值时, 如何安排第二次清洗的用水量, 使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少用水量多少的影响.
该题渗透节约意识, 体现了可持续发展理念.命题时从学生熟悉的清洗问题入手, 贴近学生的生活实际, 并且已给出数学模型, 利用现成的数学模型对一个熟悉的应用问题进行定量分析, 从考查知识点的角度看应该是一个难得的好题.但从实际考试结果来看, 学生的解答普遍不好, 14分的总分全省平均分只有1.68分, 难度系数为0.12, 全省考生中满分只有220人, 0分的学生却有近12万人.
波利亚在谈到解题教学时提出:“教师最重要的任务之一是帮助学生.对学生的帮助最好是顺其自然.”“当教师在全班同学面前解题时, ……应当站在学生的角度, 这样做以后, 学生将学到比任何具体的数学知识更为重要的东西.”波利亚将解答一道题分为4步:了解问题—拟定计划—实现计划—回顾.教学实践告诉我们:将波利亚的解题教学思想应用于数学应用题教学, 能取得较为理想的教学效果.以下我结合2006年湖南高考20题的讲解来探求波利亚解题思想在课堂教学中的应用:
第一步:了解问题
波利亚提出:了解问题, 包括了解未知数是什么?已知数是什么?在解答应用性问题时, 教师在讲解应用性问题时, 为使同学们对问题有较为透彻的了解, 应提倡多读题, 应用性问题一般文字、条件较多, 了解问题时应尽可能地将条件的各个部分分开写下来.
如上题, 在组织学生认真读题之后, 学生应能完整准确地叙述好以下几点:
清洁度
开始时:物体=1, 清洁物=0.8, 故清洁度=0.8.
一次清洗后:清洁物=0.8+x, 所有物=1+x, 清洁度
二次清洗后:清洁物=y+ac, 所有物=y+a, 清洁度
本题第一问要比较两种清洁方式的用水量, 第二问探讨第一次清洗后总质量与第二次用水量之间的关系.
经过这样的分析以后, 可以讲学生初步完成了一个实际问题向一个纯数学问题的过渡.
第二步:拟定计划
拟定计划是解题过程中最为重要的一步.在讲解例题时, 引导学生拟定计划可包含以下几步:
①引导学生回顾过去遇到的相似的问题, 过去的解题经验是解答数学题最为宝贵的财富.如本题较多用数学语言叙述, 尽管已经给出了一个新数学模型, 要在较短时间内理解它, 运用它仍会有一定的困难.若能联想到化学中的“浓度模型”, 则可较好克服“理解障碍”.
②本题第一问比较用水量的大小, 一般可考虑用不等式中比较大小的方法.
③本题第二问中要求出a与第二次清洗后的用水量之间的关系, 容易联想到建立a与y之间的函数, 利用函数的单调性等性质求解.
需要指出的是, 从了解问题到设想出初步的解题计划, 教师要适时地站在学生的角度提出帮助.设想的解题计划也不会是一成不变的, 应培养学生在解题的过程中学会调整自已的解题计划, 训练学生解决解题障碍的能力.
第三步:实现计划, 完成解答
解 (Ⅰ) 设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z, 由题设有:
(Ⅱ) 设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y, 类似 (Ⅰ) 得
于是
当a为定值时,
当且仅当
将
故
当1≤a≤3时,
有了前两步的扎实基础, 将设想的解题计划在试卷上完整的体现出来, 应该不会是一件太困难的事.在讲解这一步时, 应告诉学生认真、规范地完成解答.并经常检查, 确保每一步都是正确的.
第四步:回顾反思
对大多数同学来讲, 完成解答之后就会认为大功告成.波利亚解题思想认为:一个好的老师要告诉学生:没有任何问题是可以解决得十全十美的.通过回顾所完成的解答, 通过重新考虑、检查得出结果的过程, 总结解答此题的解题经验, 考虑修改个别条件等使问题得到引伸与拓展, 同学们可以巩固他们的知识, 提升他们的解题能力.
如本例中, 完成解答并检查后, 可提出以下的几个问题:
①是否有其它的解答;如可用二次函数的单调性求解.
②若总用水量一定, 如何安排清洗效果最好.
③若改变清洁度的要求, 当清洁度在什么范围时采用第一种方案好一些?
④你还有其它改变条件或设问方式的想法吗?
对于应用性问题的教学, 我们既不能轻视它, 又不可能采用题海来进行强化训练.必须在讲解每一道应用性例题时, 注意提炼一般解题方法, 引导学生探求应用性问题的解题规律, 从而培养学生良好的思维习惯, 使学生学会从数学角度理解实际问题, 并运用数学方法加以解决.达到充分挖掘出典型例题的教学价值, 使学生解答应用题的能力得以提升.