11.3多边形及其内角和 教案(通用3篇)
11.3多边形及其内角和 教案 篇1
11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
[教学目标]
1.了解多边形及有关概念,理解正多边形及其有关概念. 2.区别凸多边形与凹多边形. [教学重点、难点] 1.重点:
(1)了解多边形及其有关概念,理解正多边形及其有关概念.(2)区别凸多边形和凹多边形. 2.难点:
多边形定义的准确理解. [教学过程]
一、新课讲授
投影:图形见课本P84图7.3一l.
你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗? 上面三图中让同学边看、边议.
在同学议论的基础上,老师给以总结,这些线段围成的图形有何特性?(1)它们在同一平面内.
(2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的.
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形,那么什么叫做多边形呢? 提问:三角形的定义.
你能仿照三角形的定义给多边形定义吗?
1.在平面内,由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形.
如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做n边形.(一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形.)
2.多边形的边、顶点、内角和外角.
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
3.多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 让学生画出五边形的所有对角线. 4.凸多边形与凹多边形
看投影:图形见课本P85.7.3—6.
在图(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形,今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形.
5.正多边形
由正方形的特征出发,得出正多边形的概念. 各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.
11.3.2 多边形的内角和
[教学目标] 1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.
2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算. [教学重点、难点] 1.重点:
(1)多边形的内角和公式.(2)多边形的外角和公式. 2.难点:多边形的内角和定理的推导. [教学过程]
一、探究
1.我们知道三角形的内角和为180°.
2.我们还知道,正方形的四个角都等于90°,那么它的内角和为360°,同样长方形的内角和也是360°.
3.正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°,那么一般的四边形的内角和为多少呢?
画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果. 从中你得到什么结论?
同学们进行量一量,算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识,是否成为定理要进行推导.
二、思考几个问题
1.从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?
2.从五边形一个顶点出发可以引几条对角线?它们将五边形分成几个三角形?那么这五边形的内角和为多少度? 3.从n边形的一个顶点出发,可以引几条对角线?它们将n边形分成几个三角形?n边形的内角和等于多少度?
综上所述,你能得到多边形内角和公式吗? 设多边形的边数为n,则
n边形的内角和等于(n一2)·180°.
想一想:要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成,就是把一个多边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗?你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗?
由同学动手并推导在与同伴交流后,老师归纳:(以五边形为例)
分法一:在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形.其五个三角形内角和为5×180°,而∠1,∠2,∠3,∠4,∠5不是五边形的内角应减去,∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=(5—2)×180°=540°.
如果五边形变成n边形,用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角,即可得:n边形内角和=n×l80°一2×180°=(n一2)×180°.
A 1O2E3B54
分法二:在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形,而∠
1、∠
2、∠
3、∠4不是五边形的内角,应舍去.
∴五边形的内角和为(5—1)×180°一180°=(5—2)×180°
用同样的办法,也可以把n边形分成(n一1)个三角形,把不是n边形内角的∠AOB舍去,即可得n边形的内角和为(n一2)×180°. CDEDA 12O
三、例题 34CB
例1如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系? 已知:四边形ABCD的∠A+∠C=180°.求:∠B与∠D的关系.
分析:本题要求∠B与∠D的关系,由于已知∠A+∠C=180°,所以可以从四边形的内角和入手,就可得到完满的答案. BCA
解:如图,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×360°=180°,∴∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C)=180°
这就是说:如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.
例2如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少? DA 6B21F5C3ED4
已知:∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角. 求:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
分析:关于外角问题我们马上就会联想到平角,这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°.由于六边形的内角和为(6—2)×180°=720°.
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
解:∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°. ∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°. 由于六边形的内角和为(6—2)×180°=720° ∴它的外角和为6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形.(n为不小于3的正整数)同样也可以得到其外角和等于360°.即 多边形的外角和等于360°.
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.
对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°.
如下图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°. A BCDFE
11.3多边形及其内角和 教案 篇2
一、设疑激思:多种算法不可或缺
《标准 》提出:“要鼓励与提倡解决问题策略的多样化。 ”的确, “条条大道通罗马”, 数学问题的解决不只是一个路径, 而是在举一反三中总结多种方法。 教师的责任就在于引领孩子们让孩子在习得知识的同时收获方法、手段和智慧。
比如, 在《多边形及其内角和》的教学中, 教师可以先抛出这样的问题:“大家都知道三角形的内角和是180度, 那么四边形的内角和你知道吗? ”然后引领学生在独立探索的基础上, 经过分组交流与研讨后, 汇总以下多种方法:
1.通过量角器量出四个角的度数, 得出内角和是360度。
2.把两个三角形纸板组合成一个四边形, 得出两个三角形内角和相加是360度。
同样的, 教师引导学生对五边形进行分析, 交流, 总结:
1. 把五边形分成三个三角形, 那么3 个180 度的和是540度。
2.从五边形内部一点出发, 把五边形分成五个三角形, 然后用5个180度的和减去一个周角360度, 结果得540度。
3.从五边形一边上任意一点出发把五边形分成四个三角形, 然后用4个180度的和减去一个平角180度, 结果得540度。
4.把五边形分成一个三角形和一个四边形, 然后用180度加上360度, 结果得540度。
在此基础上, 引领学生举一反三, 类比四边形、五边形的讨论方法继续探索六边形, 十边形内角和。 事实证明, 鼓励多种算法, 必能使“所有学生都能主动参与, 提出各自解决问题的策略”, 并在多样化的解法中受到锻炼和提升。
二、引申思考:循序渐进不可或缺
好的数学学习都应当楔入学生的学习机理, 也就是要做到循序渐进, 螺旋上升, 要突出层次性, 要有明晰的层次感和递进感。 所谓“爬上树摘到果子”, 正是基于数学的这一特点而提出的, 以此给予给予孩子们更多成功的喜悦。
仍然以《多边形及其内角和》的教学为例, 可以设计以下问题:
1.多边形内角和与三角形内角和的关系?
2.多边形的边数与内角和的关系?
3.从多边形一个顶点引的对角线分三角形的个数与多边形边数的关系?
这些问题的顺序决不能捣乱, 教师应该引领学生有次序地讨论, 然后进行交流, 学生会发现这样的规律:四边形内角和是2个180度的和, 五边形内角和是3个180度的和, 以此类推, 六边形内角和是4个180度的和, 十边形内角和是8个180度的和。 随后学生总结出, 多边形的边数每增加1, 内角和增加180度。 最终, 师生总结出, 一个n边形从一个顶点引出的对角线分三角形的个数与边数n存在 (n-2) 的关系, 也就是说, 多边形内角和公式为180 (n-2) 。
可见, 引领孩子们逐级递进、螺旋上升, 数学知识之间必将“由根生干, 由干生枝, 由枝生叶”。 换句话说, 数学活动一定要从有益于学生的能力发展、思维发展、身心发展的角度, 安排好知识点的顺序, 如此才能做到学科逻辑和学生心理逻辑的沟通, 才能让学习深深楔入学生的认知规律中, 收到事倍功半, 举一反三之效。
三、实际运用:拓展延伸不可或缺
简单的一道题, 如果运用转化思想解决数学问题, 用数形结合的思想解决问题, 则必定能够增强学生学习数学的应用能力。 所以, 引导孩子们解决问题时进一步拓展, 在实际运用中洞开孩子们的多重视域, 应该成为数学教师的经常性工作。
例如, 《多边形及其内角和》的教学进行到结尾, 可以进行以下拓展:
1.口答:八边形内角和是多少? 九边形、十边形的内角和呢?
2.抢答: 一个多边形的内角和等于1260 度, 它是几边形?一个多边形的内角和是1440度, 且每个内角都相等, 则每个内角的度数是多少呢?
3.讨论回答: 一个多边形的内角和比四边形的内角和多540度, 并且这个多边形的各个内角都相等, 这个多边形每个内角等于多少度?
虽然是几道口答题和简答题, 但这几道题对于拓展孩子们的视域, 对于鼓励学生探究更有意思更有趣味的数学王国, 有很好的引领作用。 的确, 好的教学不只是谢幕, 不只是圆满, 而是有新的起点, 新的延伸和新的索引, 教学的增量必将换来学生收获上的“增量”。 而这, 不正是数学学习所孜孜追求的境界吗?
新课程视角下, 好的数学课堂应当是注重多种算法, 提倡循序渐进和拓展延伸的课堂。 而这一切, 取决于教师。 优秀的教师都善于设疑激思, 善于引申思考、 善于引领学生走得更远, 正所谓:“有了远方也就有了人生的高度。 ”数学教师就应该带领孩子们开辟“柳暗花明又一村”, 走到数学王国的更远处和更高处, 如此, 孩子们必将发现另一片天地, 数学王国必将“看红装素裹, 分外妖娆”。
摘要:新的课程视角下, 好的数学课堂应当是注重多种算法, 提倡循序渐进和拓展延伸的课堂。而这一切, 取决于教师。优秀的教师都善于设疑激思, 善于引申思考, 善于引领学生走得更远。
“多边形及其内角和”检测题 篇3
1. 从n边形的一个顶点出发,可以引条对角线,从而将n边形分成个三角形,所以n边形的内角和等于.
2. 连接多边形中不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的,n边形共有条对角线.
3. 过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形,则这个多边形的边数为.
4. 如果一个多边形的内角和等于其外角和,那么这个多边形是边形.
5. 一个多边形的内角和与外角和之比为7 ∶ 2,则这个多边形的边数为.
6. 在多边形中,小于108°的内角最多可以有个.
二、选择题
7. 如果多边形的边数增加1,则多边形的内角和增加().
A. 90°B. 108°C. 180°D. 270°
8. 随着多边形边数的增加,它的外角和将().
A. 增加 B. 减少
C. 不变D. 无法确定
9. 下列多边形是正多边形的为().
A. 各边都相等的多边形
B. 有一个外角为 60°且各边都相等的多边形
C. 各个内角都相等的四边形
D. 每个内角都是108°且各边都相等的多边形
10. 一个长方形截去一个角后得到().
A. 三角形B. 四边形
C. 五边形D. 三角形或五边形
11. 一个多边形的内角和与外角和之差为1 080°,则这个多边形是().
A. 十边形 B. 九边形
C. 八边形 D. 六边形
12. 一个多边形的所有外角中,钝角最多可以有().
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
三、解答题
13. 在四边形ABCD中,如果∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1 ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4,求∠A、∠B、∠C、∠D的大小.
14. 正多边形的一个外角等于72°,求这个正多边形的内角和.
15. 小颖在求一个多边形的内角和时,求得的内角和为1 125°.后来小颖发现少加了一个内角,少加的这个内角是多少度?她求的是几边形的内角和?
一、填空题
1. 从n边形的一个顶点出发,可以引条对角线,从而将n边形分成个三角形,所以n边形的内角和等于.
2. 连接多边形中不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的,n边形共有条对角线.
3. 过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形,则这个多边形的边数为.
4. 如果一个多边形的内角和等于其外角和,那么这个多边形是边形.
5. 一个多边形的内角和与外角和之比为7 ∶ 2,则这个多边形的边数为.
6. 在多边形中,小于108°的内角最多可以有个.
二、选择题
7. 如果多边形的边数增加1,则多边形的内角和增加().
A. 90°B. 108°C. 180°D. 270°
8. 随着多边形边数的增加,它的外角和将().
A. 增加 B. 减少
C. 不变D. 无法确定
9. 下列多边形是正多边形的为().
A. 各边都相等的多边形
B. 有一个外角为 60°且各边都相等的多边形
C. 各个内角都相等的四边形
D. 每个内角都是108°且各边都相等的多边形
10. 一个长方形截去一个角后得到().
A. 三角形B. 四边形
C. 五边形D. 三角形或五边形
11. 一个多边形的内角和与外角和之差为1 080°,则这个多边形是().
A. 十边形 B. 九边形
C. 八边形 D. 六边形
12. 一个多边形的所有外角中,钝角最多可以有().
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
三、解答题
13. 在四边形ABCD中,如果∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1 ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4,求∠A、∠B、∠C、∠D的大小.
14. 正多边形的一个外角等于72°,求这个正多边形的内角和.
15. 小颖在求一个多边形的内角和时,求得的内角和为1 125°.后来小颖发现少加了一个内角,少加的这个内角是多少度?她求的是几边形的内角和?
16. 如图1,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,BE与DF有怎样的位置关系?为什么?
17. 如图2,在六边形ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,你能判断AB+BC与FE+DE的关系吗?
(答案在本期找)
16. 如图1,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,BE与DF有怎样的位置关系?为什么?
17. 如图2,在六边形ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,你能判断AB+BC与FE+DE的关系吗?
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