运动正解

运动正解（通用10篇）

运动正解 篇1

0 引言

6-3 Stewart并联机构是6-6 Stewart并联机构的一种典型特例,其动平台铰链点的连线是一个三角形,静平台铰链点的连线仍然是六边形[1]。所谓的运动学正解问题就是已知驱动杆的杆长,求解动平台相对于静平台的位置与姿态变量。

多年以来,这类机构的运动学正解问题引起了众多学者的广泛关注。文献[1-2]提出了一种解析化方法,将这类并联机构的运动学正解问题表达为一个一元十六次的代数方程。文献[3-4]也将这一问题表达成一个一元十六次的代数方程,但是方法过于复杂。文献[5]利用四面体原理研究这一问题,提出一种封闭解法,但是正解方程不是位姿变量的显式表达形式。很多学者试图运用数值方法解决这一问题,也取得了一些进展[6,7,8]。

本文在文献[2,9]的基础上,通过分析动平台位姿变量之间的耦合关系,增加有用的信息,得到了用于解决这一问题的11个相容方程。在此基础上,反复使用正交补方法进行消元,逐步降低变量的次数,最终可以将6-3 Stewart并联机构运动学正解问题表达为一个一元八次方程。本文所提出的方法对于所有的动静平台顶点平面布置的6-3 Stewart并联机构都是适用的。

1 基本方程及线性消元

为了问题研究的方便,动静坐标系的坐标原点设置如图1所示,其中Z′轴与Z轴分别垂直于动静平台平面。动平台的顶点坐标在动坐标系中可以表示为

由于动平台是三角形的,故顶点1与顶点2重合,顶点3与顶点4重合,顶点5与顶点6重合。静平台顶点坐标在静坐标系可以表示为

动静坐标系之间的旋转矩阵R采用方向余弦矩阵描述:

旋转矩阵共有9个元素,但是只有3个是独立的,其他6个元素存在如下3个约束条件:

动坐标系的原点在静坐标系中的坐标用矢量P=[x y z]T描述,则各杆的杆长就可以表示为

由于动静平台均为平面布置,故式(7)中不含nx、ny、nz。这样运动学正解只需要求解9个未知数即可。为了研究方便,在以下分析过程中引入两个中间变量w1和w2。

位置矢量P=[x y z]T的模,即矢量长度的平方为

根据式(8)、旋转矩阵的正交以及归一化特性进行化简之后,有

其中,Ai、Bi、Ci、Di、Ei为常数,具体表达式分别为

式(9)为由6个含有9个未知数的代数方程组成的方程组。选择其中的3个未知数lx、ly、my作为基本变量,则其余的6个未知数Pp、w1、w2、x、y和mx就可以用这3个基本变量来线性表示:

由式(12)就可以解得Pp、w1、w2、x、y和mx关于lx、ly、my的表达式。

2 位置姿态变量的耦合关系

2.1 位姿变量的耦合关系

根据旋转矩阵的正交性、归一性,从式(4)~(6)、式(8)知,3个未知数z、lz、mz有如下关系:

由式(10)可知:

由式(11)可知:

将式(13)~式(18)代入到如下6个恒等式中就可以得到只含有变量lx、ly、my的方程组:

Zhang等[9]在他们的著作中提出了这6个恒等式。研究发现,在此基础上还有另外一些信息是可以利用的,同时这对于运动学正解问题的研究是有帮助的,下面将对这一点进行阐述分析。

2.2 耦合关系的附加方程

动平台位置矢量在静坐标系中用P表示,在动坐标系中用W表示,它们之间有如下关系:

经过研究可以发现,w1、w2的物理意义就是矢量W的前两个分量。由式(20)可以得到一组对应关系:

可解得

同时根据矢量长度不变性有:

根据旋转矩阵的正交性、归一性,可以得到如下3个关系:

利用式(24)~式(29),就有以下6个等的式存在:

eq6和eq12展开后完全一样,所以应舍去一个,在此舍去eq12。增加的5个方程对解决Stewart型并联机构的运动学正解问题是有帮助的,这一点可以在后面的分析中得到验证。

3 正交补消元过程

3.1 正交补消元

将eq1~eq11这11个方程中的my作为保留变量,消去ly和lx,最后得到关于my的代数方程。具体的方法是用1、ly、lx分别乘以eq1~eq11,就可以得到33个方程式。

为了利用正交补进行消元,将ly和lx的不同组合进行如下排列:

将所得到33个方程简写为

其中,M1在理论上是my的4次多项式,但是对于6-3 Stewart并联机构,4次项可能不出现;M2、M3是my的2次多项式和1次多项式;M4是常数项。如果把系数矩阵M1、M2、M3、M4按my的幂展开,式(32)就有:

通过利用正交补的方法消去λ4、λ3、λ2、my3λ1以及my4λ1就可以得到一个关于λ1的线性方程组:

式中,N12为my2的系数组成的矩阵;N11为my的系数组成的矩阵;N10为常数项组成的矩阵。

R11×6),其阶数随着具体问题的不同而有所变化。任取Ms的6行组成一个方阵,记为M,因为方程组有非零解,所以其行列式为零,即

由于Ms的行数大于列数,所以可以解得多个一元高次的代数方程。这些代数方程的次数可能是高于8的,但是次数高于8次的项系数是非常小的,大多数情况下可以把这些项直接舍去。为了求解的精确性,可以多取几个这样的方程,将这些高于8次的项解出来代入到剩余的方程中,就可以得到所需要的一元八次方程。

3.2 其他分量的求解

在解得my之后,lx、ly就可以由式(34)唯一确定;Pp、w1、w2、x、y、mx可以由式(12)中的相应关系式解得;z、lz、mz则分别由下列3个式子求得:

最后剩余的三个变量nx、ny、nz则分别由下列3个式子求得:

由以上分析可以看出,共有16种位形与一组杆长条件对应。

4 算例

本节通过一个计算实例来验证本文方法的正确性。动静平台的顶点坐标如表1所示。由于动静平台的顶点均为平面布置,所以Z分量均为零。

预先给出一组反解。其旋转矩阵为

位置矢量P=[2 3 15]T。经过反解计算得到对应的杆长:l1=16.3313,l2=14.3936,l3=15.0360,l4=14.2424,l5=17.7981,l6=18.4852。

应用本文提出的方法进行运动学正解的求解,可以得到多个一元八次代数方程。图2中给出了其中的8个一元八次方程所对应的线条曲线。其中一个曲线所对应的方程为

这些一元高次方程都是同解的,它们的解均为

可见它们在[-1,1]之间有两个共同的零点它们共同的实数根是:-0.32和-0.448 491,其中-0.32是开始设置的结果。其他位置和姿态变量的计算结果如表2所示。经过计算发现,所有的16组位形都满足杆长约束,从而反映了所提出的方法和计算的结果是完全正确的。

5 结语

在前人研究成果的基础上,结合独立研究的成果对6-3 Stewart并联机构的运动学正解问题进行了研究。充分利用旋转矩阵的正交性、归一性,增加了有用信息,即增加了5个相容方程;运用正交补的方法进行消元,可得到若干个一元八次方程。

本文的方法对于所有类型的6-3 Stewart并联机构都是适用的。本文方法的另一个优点是最终的一元高次方程是关于位姿变量的函数,这是一种显式表达,不需要再进行转换处理。将此类问题的运动学正解表达为一元八次代数方程,相比于以前表示为16次的代数方程,是一个突破。这不仅有助于此类机构运动学的研究,还将推动此类机构工作空间等基本问题的研究。

参考文献

[1]黄真,孔令富,方跃法.并联机器人机构学理论及控制[M].北京:机械工业出版社,1997.

[2]黄真,赵永生,赵铁石.高等空间机构学[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]Nanua P,Waldron K J,Murthy V.Direct KinematicSolution of a Stewart Platform[J].IEEE Transactionson Robotics and Automation,1990,6(4):438-444.

[4]Ak ali.ID,Mutlu H.A Novel Approach in the DirectKinematics of Stewart Platform Mechanisms with Pla-nar Platforms[J].ASME Journal of Mechanical De-sign,2006,128(1):252-263.

[5]Song S K,Kwon D S.New Closed-form Direct Kine-matic Solution of the 3-6 Stewart-gough Platform U-sing the Tetrahedron Approach[C]//Proceedings of theInternational Conference on Control,Automation andSystems.Jeju,Korea,2001:484-487.

[6]Yurt S N,Anli E,Ozkol I.Forward KinematicsAnalysis of the 6-3 SPM by Using Neural Networks[J].Meccanica,2009,42(2):187-196.

[7]Ku D M.Forward Kinematic Analysis of a 6-3 TypeStewart Platform Mechanism[J].Proceedings of theInstitution of Mechanical Engineers,Part K:Journal ofMulti-body Dynamics,2000,214(4):233-241.

[8]Yee C S,Lim K B.Forward Kinematics Solution ofStewart Platform Using Neural Networks[J].Neuro-computing,1997,16(4):333-349.

[9]Zhang C D,Song S M.Forward Position Analysis ofNearly General Stewart Platforms[J].ASME Journalof Mechanical Design,1994,116(1):54-60.

增收“正解” 篇2

从微观企业看，中小企业密集的浙江温州上半年规模以上工业企业60.43%出现减产停产，而前5个月这些企业在利润下降19%的情况下，应缴税金总额仍增长1.9%。温州市上半年公共财政预算收入166.7亿元，同比增长1.9%，其中，税收收入148.1亿元，同比减少0.1%，非税收收入18.6亿元，同比增长20.7%。而与此同时，当前结构性减税力度越来越大，但是，企业主普遍反映没有感觉到纳税有明显减少，包括个人纳税减费都没有明显下降。至此，“过头税”的存在似乎已成定局。

后土地时代调控

由于中国经济的发展模式和税制特点，税收收入对经济增速回落的反应更加敏感。财政部10月22日发布数据显示，今年前三季度税收收入增速总体大幅回落，一些地方的非税收入在税收收入增长“失速”的情况下大增，有的地方非税收入高出税收收入40多个百分点。各地政府都感受到近年来少有的财政压力，多地甚至将非税收入尤其是罚没收入作为财政“增收挖潜”的重要途径。

在此情况下，“后土地财政”时代，地方政府如何破解财政吃紧困境尤为重要。因不少地方政府对土地财政高度依赖，财政增速放缓与土地相关的税费减少有很大关系。2012年，来自省级及主要城市的亿级投资规划层出不穷，被视为地方版“4万亿”计划。但这次中央未再以扩张性的财政支出拉动经济，加之对房地产市场严格的调控措施，卡住了土地财政之路。分析地方政府的行为模式不难发现，当宏观经济政策转向经济增长时，土地成为其首选的财政政策。但是，只要中央坚持房地产调控，把挤出房地产市场中的投资与投机成分当作长期任务来抓，这种土地经济便不可持续，只会转化成产能过剩与资源浪费。在后土地经济时代里，该怎样解决最现实的财政增收问题？

答案就是让地方政府不再依赖土地财政，必须要让其有新的财政收入，新的经济增长点。对于地方政府而言，“稳增长”就是“稳投资”，而在后土地经济时代，“稳投资”更是“稳民间投资”。

首先，将过去政府筹资投资转变为以民间投资为主。投资这驾马车不但不能下降而且可适度加快，但要转变投资方式，将过去政府主导的投资转变为市场主导；将过去政府筹资投资转变为以民间投资为主。政府在把控投资这驾马车中，要做的就是创造宽松的投资环境，比如：高效、廉洁、公平公正的机制，服务于投资企业，让企业心甘情愿投资。

其次，谨防“非税收收入”伤害民营经济。税收因经济下行增长乏力、财政收入增幅显著下滑而增长“失速”，非税收入却上紧了发条，加速发动。这种非税收入的高速增长在减轻财政压力的同时，却大幅增加了企业的痛感。虽然非税收入占财政收入比重不大，但非税收入高速增长是不正常现象，应当关注这个问题。

因此，地方政府要稳住民间投资，所要做的是创造适合民间投资的市场环境，贯彻实施民间投资“新36条”，约束政府权力，避免行政力量对微观经济的干扰。只要民间资本的权益能够得到保障，投资项目也足够吸引人，“稳增长”就不会再成为难题，这也是中央“稳增长”与“调结构”两大宏观经济政策主线的交汇所在。

实体为王

最后，振兴经济化解地方债务危机必须扶持实体企业。

目前地方债务的偿还逻辑进入了一个困境：为了避免出现违约风险，则必须确保地方政府的土地收益，而为了防止房地产泡沫，又不能放松对房地产的调控。中国地方债务风险的最终化解，一方面在制度上要尽快解决分税制的体制问题；另一方面，在偿债的来源上，要尽快摆脱对土地财政的依赖。对土地财政的过度依赖，恰恰说明地方经济本身缺乏造血功能，实体产业和中小企业等无法为地方财政提供收入来源，地方只能依赖卖地生存，而这显然是一个恶性循环。解决地方债务最好的选择是果断摆脱其对土地财政的依赖，转变经济发展方式，而绝不是相反。

地方政府可以建立产业基金来调动民间资本，引导全国以及全世界的某一个行业的优秀企业到地方来，形成某个行业的产业集群，在一个城市把某个行业做成世界一流的产业。这种新的经济增长方式形成后，地方政府必然不会再依赖土地财政了。

经济结构调整非一日之功，不经历改革阵痛，不可能顺利渡过难关。实现国富民强，最基本的路径就是发展实体经济，不断创造社会财富。对此，各级地方政府应该优化投资环境，扶持各类民营企业、特别是小微企业，让实体经济日益勃兴。而不是绞尽脑汁，投机取巧，奉行“拿来主义”，依仗卖地、罚款、收房产税支撑起地方财政。

“寡妇起彷徨”正解 篇3

《孔雀东南飞》的结局是:“两家求合葬, 合葬华山傍。东西植松柏, 左右种梧桐。枝枝相覆盖, 叶叶相交通。中有双飞鸟, 自名为鸳鸯, 仰头相向鸣, 夜夜达五更。行人驻足听, 寡妇起彷徨。多谢后世人, 戒之慎勿忘!”这是一个浪漫主义的结尾, 寄托了人们追求爱情自由、生活幸福的美好愿望, 让人们对美好爱情和幸福婚姻存有希望。如果将“寡妇”理解为“死了丈夫的妇人”, 显然背离了文章的主题。再说诗歌的情节是刘兰芝与焦仲卿双双殉情, 解释成“丧夫的妇人”也非常牵强。因此此种解释不够恰当。那么“寡妇”应作何解释呢?

我们先来看一下“寡”的释义:

1.寡妇最早见于《孟子·梁惠王》:“老而无夫曰寡。”最初的意思应该为:老而无夫的妇人。

2.寡, 少也。 (《说文》)

例如: (1) 曹操比于袁绍, 则名微而众寡。 (《三国志·诸葛亮》) (2) 不患寡而患不均。 (《论语·季氏》)

3.寡, 独也。 (《广雅·释诂三》)

例如: (1) 生成及彊而寡。 (《左传·襄公二十七年》) (2) 南面称寡。 (《吕氏春秋·士容》)

4.死了丈夫。 (《现代汉语词典》)

根据“寡”的这些义项, 我们是否能得到关于“寡妇”的相关释义呢?首先, 根据《现代汉语词典》的解释———“死了丈夫”这一含义, 我们知道, “寡妇”是指死了丈夫而又未改嫁的妇女, 当然这也是为我们所熟知的解释。那么, 根据《广雅·释诂》对“寡”的解释, 我们能否认为, 寡妇, 是指因某种原因而孤独、独处的妇女呢?也就是独守闺房的妇人。我们来看看能否从古诗文中找到证据。

汉朝袁康《越绝书》记载:“勾践将伐吴, 徙寡妇致独山上, 以为死士示, 得专一。”三国时陈琳的《饮马长城窟行》一诗中有“边城多健儿, 内舍多寡妇。作书与内舍, 便嫁莫留住”句。元无名氏《渔樵记》第二折:“你既与了我休书, 我和你便是各别世人。你知道么, 疾风暴雨, 不入寡妇之门, 你若再上我门来, 我挝了你这厮脸。”根据句义理解, 我们明白这几句中的“寡妇”很明显是指, 因丈夫在外而饱受孤单郁闷内心孤独的妇女。

我们还可以从句式从对应词项中找到些许证据。很明显文句“行人驻足听, 寡妇起彷徨”中, “行人”与“寡妇”是相对应的。在古代, “行人”一般指出行之人和出征之人。杜甫《兵车行》:“车辚辚, 马萧萧, 行人弓箭各在腰。”句中的行人, 指出征之人。唐张籍的《秋思》:“复恐匆匆说不尽, 行人临发又开封。”杜牧《清明》:“清明时节雨纷纷, 路上行人欲断魂。”句中之“行人”即指出门在外的远行之人。还有, “行人无限秋风思, 隔水青山似故乡。” (戴叔伦《题稚川山水》) 。《孔雀东南飞》中的“行人”听见鸳鸯深情地鸣叫, 想起了远在家乡的妻子, 不禁停下来仔细聆听。因此, 与行人相对的“寡妇”也应是因听到鸳鸯双双唱和从而产生对远在异乡丈夫 (行人) 的深深思念之情的孤独的妇女。

由以上分析我们可以得出结论, 《孔雀东南飞》中“寡妇起彷徨”句中“寡妇”应是指因丈夫在外而饱受孤单与孤独的妇人, 而不是指丈夫死去未改嫁的妇人。

正解“无糖食品” 篇4

什么是无糖食品

我们先来了解一下“无糖食品”的概念。无糖食品的关键在“糖”的定义上。糖可以专门指白糖，也可以指各种有甜味的、能够在人体内转变成为葡萄糖的食品成分，比如麦芽糖、果糖、果葡糖浆等。可是饼干、面包、米饭等碳水化合物，其本身就可以说是“糖”，因为它们进入人体后，会被消化吸收转化为葡萄糖，同样会对体重和血糖产生影响。所以严格来讲，不含糖的食品是不存在的。

国家标准规定，无糖食品是指固体或液体食品中，每100克或100毫升的含糖量不高于0.5克的食品。在现有技术下，食品原料中的糖分不可能完全去除，即便真正符合国际通用概念的无糖食品，也只是含糖量相对很低罢了。

目前销售的很多无糖食品都含有糖醇等替代品，按照欧洲国家的通用概念，这是符合规范的，无糖食品只是不能含有蔗糖和来自于淀粉水解物的糖，但它会含有相当于糖的替代物，一般为糖醇或低聚糖等不升高血糖的甜味剂。

无糖食品去伪存真

无糖食品是否像很多商家宣传的那样有益无害，在食用之前有必要先来一次去伪存真。

1.无糖食品能降血糖吗：这是一定要弄清的问题。现在市场上出售的一些无糖食品，有的公然宣称该食品能起到降血糖、降血脂的作用，其实这种说法是在哗众取宠，欺骗消费者，尤其会严重影响老年人的身体健康。无糖食品只是帮我们减少了糖分的摄入，对人体自身原有的血糖高低根本起不到降低或控制的作用。严格意义上说，只有药品才能控制或降低血糖的高低，仅靠摄取无糖食品是不可取的。老年人绝不能因为某种食品标记“无糖”就放纵自己，多吃这些本来营养价值不高的食物，反而会影响自己的健康。

2.无糖食品能减肥吗：除了糖尿病人，想减肥的人群也往往是无糖食品的主要消费者。一些人为了减肥而只吃无糖食品，不吃会转化为葡萄糖的碳水化合物，其实这并不科学。因为容易产生饱腹感的碳水化合物吃少了，进食其他食物的比例自然就会增加，肥胖的几率反而更大。

无糖食品配料中的木糖醇虽然不会被人体吸收，不会引起血糖的升高，但是也应适量摄取。美国一项最新研究显示，长期大量饮用无糖或低热量饮料的人，比普通人发胖的速度更快。此外，大量食用木糖醇还容易引起腹泻等不良反应。

如何挑选无糖食品

首先，要选择那些值得信赖的大厂家生产的无糖产品，这样的厂家在生产时，一般会根据营养专家的意见给予科学配比，操作也比较规范。

其次，不要只看商品上是否标注有“无糖”的字样，还要看商品背面的配料表，看里面是否含有糊精、麦芽糖、淀粉糖浆和玉米糖浆。可优先选择含有低聚糖和糖醇的产品，尽量少选择含有“阿斯巴甜”、“甜蜜素”、“安塞蜜”等甜味剂的产品。要特别注意的是，有很多所谓的“无糖”食品只是没有添加蔗糖，或是把口味由甜变咸而已。

还有一种现象：有的食品上虽然标注了“无蔗糖”，但其配料表上却标有白砂糖或葡萄糖，其实这都是一回事，只是叫法不同。我们在购买时，千万不要被这种换汤不换药的文字游戏所蒙骗。

（摘自《健身科学》）（责编 悬塔塔）

一道错解题的六种正解 篇5

(1)f(x）在其定义域上的单调函数；

(2）在f(x）的定义域内存在区间[a,b]，使得f(x）在[a,b]上的值域是[a,b]，那么称函数f(x）为“自强”函数．

若函数是“自强”函数，求实数t的取值范围．

错题易判断函数在其定义域上是增函数．

设在函数f(x）的定义域内存在区间[a,b]，使得f(x）在[a,b]上的值域是[a,b]，则

由此可知，a,b是方程的两个不同的实根，且

设g(x)=x2-(2t+2)x+t2+1，则依题意，得二次函数g(x）的图像在在与x轴有两个不同的交点．于是，

解之得t>0.

故实数t的取值范围是（0，+∞）．

以上解题过程从表面上看似乎很严谨，但结果却是错误的．错误之处出在忽视了x-t≥0这个隐含条件，这个隐含条件确实十分隐蔽，很容易被忽略．为防止错误，首先要充分挖掘题目中的隐含条件，锁定2x-1≥0，且x-t≥0，然后再考虑做其他工作．下面笔者给出6种正确解法，供读者参考．

正解1（数形结合用根的分布求解）

下面讨论与t的大小．

这时，g(x）的图像在[t，+∞）上与x轴有两个不同的交点，于是

这时，g(x）的图像在上与x轴有两个不同的交点，于是

解之得t>0．此时，

故实数t的取值范围是

正解2（数形结合用韦达定理求解）令则故关于m的方程m2-2m+1-2t=0有两个不同的非负实数根，则

故实数t的取值范围是

正解3（数形结合用导数求解）关于x的方程上有两个不同实根在区间上，函数的图像与u(x)=-t的图像有两个不同的交点．

下面利用导数去确定函数的图像的走向．

因为由h′（x)>0,得由h′（x)<0，得x>1.

所以函数h(x）在上单增，在[1，+∞）上单减．h(x）的模拟图像，如图1.

观察图像可知，

故实数t的取值范围是

正解4（分离变量用数形结合求解）移项即所以则问题转化为直线y=t与函数的图像在区间[0，+∞）上有两个不同交点，如图2.

观察图像可知，

故实数t的取值范围是

正解5（数形结合用Δ求解）移项即由

得x2-(2t+2)x+t2+1=0,

令Δ=0，可得t=0.

又经过点且斜率为1的直线方程为2x-2y-1=0，如图3.

观察图像可知，

故实数t的取值范围是

正解6（数形结合用导数求解）令

一类半线性椭圆方程正解存在性 篇6

半线性椭圆方程的研究早已引起人们的关注, 其中关于正解的研究就是一个重要的课题.近年来在这个领域的研究十分活跃, 吸引了许多著名学者的关注, 其中包括H.Brezis, L.Nirenberg等等.本节中研究半线性椭圆方程

其中ΩA={x∈Rn, |x|≥A}, f (x, u) 是局部Hölder连续的, g (|x|) 是连续可微分的.我们将采用上解和下解方法证明其正解的存在性.

2.预备知识

引理1 (见[1]) 若在ΩA={x∈Rn, |x|≥A}内方程 (1) 存在非负下解w (x) 和正上解v (x) 使得$w(x)\le v(x)‚x\in \overline{\text{Ω}}{}_A$, 则方程 (1) 存在解u (x) 满足$w(x)\le u(x)\le v(x),x\in \overline{\text{Ω}}{}_A$.特别地, 在SA={x||x|=A}上u (x) =v (x) .

为证明方程 (1) 正解的存在性, 我们考虑如下常微分方程的正解存在性.

假设存在k (x) 使得

引理2 (见[2]) 设M>0, 若 (3) 成立且对任意u∈X有∫∞atF (t, u, u′) dt≤M, 则方程 (2) 存在唯一正解y0, 使得$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}y{}_0={\rm M},0\le y^{\prime }{}_0(t)\le \frac{y{}_0(t)}{t}$, 其中X={u∈C1;0≤u≤M, u′≥0}.

3.主要结论

为建立正解的存在性准则, 我们先做如下假设:

H1:φ (u) ≤f (x, u) ≤a (|x|) ω (u) , 其中φ (-u) =-φ (u) , a:[0, ∞) →[0, ∞) 是连续的, ω:[0, ∞) →[0, ∞) 是连续可微的.

H2:f (x, 0) =0, x∈ΩA.

定理 若H1, H2成立, ∫∞ar (a (r) +|g (r) |) dr<∞, 则方程 (1) 存在正解u, 且$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}u=0.$

证明 令y (r) =y (|x|) =u (x) , 则方程 (1) 等价于

由假设H1知

作变换$r=\beta (s)=\left(\frac{s}{n-2}\right){}^{\frac{1}{n-2}}‚h(s)=sy(\beta (s))‚s>0$,

则不等式 (3) 转化为

由ω:[0, ∞) →[0, ∞) 是连续可微的, 所以$\omega \left(\frac{h(s)}{s}\right)\le C\left(\frac{h(s)}{s}-0\right)$, 其中C为常数.

若∫∞ar (a (r) +|g (r) |) dr<∞, 则由引理2知存在$v(x)=\frac{h(s)}{s}$是方程 (1) 的上解, $\underset{|x|\to \infty }{{\displaystyle \lim }}v(x)=0$.由假设H2知, 常数解w=0是方程 (1) 的下解.所以由引理1知方程 (1) 在$\overline{\text{Ω}}{}_A$内存在非负解u (x) , 满足w (x) ≤u (x) ≤v (x) .根据假设H1知△ (-u) +g (|x|) x·ᐁ (-u) +φ (-u) =f (x, u) -φ (u) ≥0, 而椭圆方程的强大值原理告诉我们-u不能在ΩA取得极大值, 所以-u在ΩA内是负的, 即在ΩA内-u=0没有零点.这说明u (x) 是方程 (1) 的正解, 且有$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}u=0.$

注 文章采用了[1]中的方法证明, 但本文f (x, u) 可以取负值.

参考文献

[1]E S Noussair, C A Swanson.Positive solutions of quasilinear elliptic equations in exterior domains.J Math Anal Appl, 1980, 75:121-133.

一类捕食-食饵模型正解的存在性 篇7

近年来, 由于捕食-食饵模型在生态学中的广泛应用, 吸引了国内外众多学者的关注, 对于捕食-食饵模型的研究已经有了很多结果。在研究捕食-食饵模型的过程中, 生物学家通过对一些具体的问题的观察研究, 不断改进模型, 使得模型更加符合实际意义。例如文献[1]研究了一类具有Monod-Haldane响应函数的捕食-食饵模型, 文献[2]研究了一类具有Holling-II响应函数的捕食-食饵模型。很多学者在研究捕食-食饵模型时, 取捕食者的密度干扰项的系数为常数, 但是在文献[3]中, Turchin等人通过对具体问题的研究发现, 一些捕食者的密度干扰项的系数和食饵有关, 一般与食饵密度成反比因此在本文中, 主要研究下列捕食-食饵模型

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=u(a-u-\frac{cv}{1+mu+kv}),x\in \text{Ω},t>0,\\ \frac{\partial v}{\partial t}-\Delta v=v(b-\frac{v}{1+u{}^2}+\frac{du}{1+mu+kv}),x\in \text{Ω},t>0,\\ \frac{\partial u}{\partial n}+u=0,\frac{\partial v}{\partial n}+v=0,x\in \partial \text{Ω},t>0,\\ u(x,0)=u{}_0(x)\ge 0,v(x,0)=v{}_0(x)\ge 0,x\in \text{Ω}。\end{array}\\ (1)\end{array}$

式 (1) 中, Δ为Laplace算子, u (x, t) , v (x, t) 分别表示食饵和捕食者的种群密度, Ω为Rn中的有界开区域, 且边界∂Ω充分光滑。a, b, c, d, m, k都是正常数, a, b分别表示u和v的出生率, c表示单位捕食者对食饵的捕获率, d表示转化系数。$\frac{uv}{1+mu+kv}$为Beddingtor-DeAngelis响应函数, 关于Beddingtor-DeAngelis响应函数的生物背景及其各参数的生物意义可参见文献[4,5]。$\frac{v{}^2}{1+u{}^2}$表示捕食者的密度干扰项, 与食饵密度成反比, 能更好地反映捕食者与食饵之间的关系, u0 (x) 和v0 (x) 表示非负有界的初始条件。

问题 (1) 对应的平衡态问题如下

$\{\begin{array}{cccc}-\Delta u=u(a-u-\frac{cv}{1+mu+kv}),& x\in \text{Ω},& & \\ -\Delta v=v(b-\frac{v}{1+u{}^2}+\frac{du}{1+mu+kv}),& x\in \text{Ω},& & \\ \frac{\partial u}{\partial n}+u=0,\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\frac{\partial v}{\partial n}+v=0,& x\in \partial \text{Ω}。& & \end{array}(2)$

对于问题 (2) 的解 (u, v) , 若在Ω中u>0, v>0, 称它为正解, 相应的 (0, 0) 称为平凡解, 如果 (u, v) 中只有一个分量为0, 称之为半平凡解。现主要研究问题 (2) 正解的存在性和半平凡解的稳定性情况, 问题 (1) 正解的一致持续性。主要采用的方法为计算不动点的指数以及特征值的一些性质。

1 预备知识

考察下列特征值问题

$\{\begin{array}{ccc}-\Delta \phi +q(x)\phi =\lambda \phi ,& x\in \text{Ω}& \\ \frac{\partial \phi }{\partial n}+\phi =0,& x\in \partial \text{Ω}& \end{array}(3)$

引理1[6] 设q (x) ∈Cα (Ω) , 则 (3) 式的所有特征值满足:λ1 (q) <λ2 (q) ≤λ3 (q) ≤ …→∞, 相应的特征函数为φ1, φ2, …, λi (q) (i≥1) 关于q (x) 是连续的, 其主特征值λ1 (q) 是单重的, 而且有如下的比较定理, 若q1≤q2, 则λi (q1) ≤λi (q2) (i≥1) ;若又有q1不恒等于q2, 则λi (q1) <λi (q2) (i≥1) 。记λ1=λ1 (0) , 相应的特征函数不妨记为φ1>0。记r (T) 是Banach空间上的线性算子T的谱半径。

引理2[7] 设q (x) ∈Cα (Ω) , P是使得

-q (x) +P>0的正实数, 那么有以下结论:

(1) 若λ1 (q (x) ) <0, 则r[ (-Δ+P) -1×

(-q (x) +P) ]>1;

(2) 若λ1 (q (x) ) >0, 则r[ (-Δ+P) -1×

(-q (x) +P) ]<1;

(3) 若λ1 (q (x) ) =0, 则r[ (-Δ+P) -1×

(-q (x) +P) ]=1。

不动点理论:设X是Banach空间, W⊂X为闭凸子集, 若对任意α≥0, 有αW⊂W, 则称W为楔。进而, 若W∩ (-W) ={0}, 则楔W被称为锥。设y∈W, 定义楔Wy:={x∈X|存在α>0, , 使得y+αx∈W}, Sy:$=\{x\in \overline{W}{}_y|-x\in \overline{W}{}_y\}$。设T是X上的紧线性算子, 且满足${\rm T}(\overline{W}{}_y)\subset \overline{W}{}_y$, 若存在t∈ (0, 1) , v≡0, 使得ω-tTω∈Sy, 则称T具有性质α。在本文中引用记号的具体意义见文献[8,9]。

引理3[10] 设W是X中的一个楔, T:→W的紧映射, 且有不动点y0∈W, 使得Ty0=y0, 设L=T′ (y0) (Fréchet导数) , 则L:$\overline{W}{}_{y{}_0}\to \overline{W}{}_{y{}_0}$, 若I-L在$\overline{W}{}_{y{}_0}$上可逆, 并且:L是线性化算子, 线性化算子将自身映到自身。

(1) L在$\overline{W}{}_{y{}_0}$上具有性质α, 则indexW (T, y0) =0;

(2) L在$\overline{W}{}_{y{}_0}$上不具有性质α, 则indexW (T, y0) = (-1) β, 其中β为L大于1的特征值的代数重数之和。

考虑下列单个方程

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=uf(x,u),x\in \text{Ω}\\ \frac{\partial u}{\partial n}+u=0,x\in \partial \text{Ω}\end{array}(4)$

式 (4) 中, f (x, u) 在$\overline{\text{Ω}}\times [0,+\infty )\to R$满足:

(H1) f (x, u) 是关于x的Cα函数, 0<α<1;

(H2) f (x, u) 是关于u的C1函数, 且对于任意的 (x, u) :$\overline{\text{Ω}}\times [0,+\infty )‚f{}_u(x,u)<0$;

(H3) 存在常数C>0, 使得当$(x,u)\in \overline{\text{Ω}}\times [0,+\infty )$时, f (x, u) ≤0。

引理4[7] 如果f (x, u) 满足条件 (H1) —条件 (H3) , 那么以下结论成立

(1) 若λ1 (-f (x, 0) ) ≥0, 则问题 (4) 没有正解, 且平凡解u=0是全局渐近稳定的。

(2) 若λ1 (-f (x, 0) ) <0, 则问题 (4) 存在唯一正解, 且是全局渐近稳定的, 此时平凡解是不稳定的。

2 正平衡解的存在性

当a>λ1时, 令Θa是下列问题的唯一正解

$\{\begin{array}{l}-\Delta \Theta =\Theta (a-\Theta ),x\in \text{Ω},\\ \frac{\partial \Theta }{\partial n}+\Theta =0,x\in \partial \text{Ω}。\end{array}$

易知Θa关于a是连续且单调递增的, 并且当a→λ1时, Θa→0。当a>λ1时, $\left(\Theta {}_a,0\right)$是问题 (2) 的半平凡解, 当b>λ1时, $\left(0,\Theta {}_b\right)$是问题 (2) 的半平凡解。

首先给出问题 (2) 正解的先验估计。

引理5 若$\left(u\left(x\right),v\left(x\right)\right)$是问题 (2) 的非负解, 则u (x) ≤Θa≤a, v (x) ≤h:$=(1+a{}^2)\left(b+\frac{ad}{1+ma}\right)$。

该引理可以用最大值原理和上下解的方法证明, 这里省去证明过程。

引入下列记号:

$C{}_0(\overline{\Omega })$:$=\left\{u\in C(\overline{\Omega }),\text{且}\frac{\partial u}{\partial n}+u|{}_{\partial \Omega }=0\right\};$

E:$=C{}_0(\overline{\Omega })♁C{}_0(\overline{\Omega });$

K:$=\left\{\text{u}\in \text{C}{}_0\left(\overline{\text{Ω}}\right)|\text{u}\left(\text{x}\right)\ge 0,\text{x}\in \overline{\text{Ω}}\right\};$

D:$=\left\{\left(\text{u},\text{v}\right)\in \text{E}|\text{u}\le \text{a}+1,\text{v}\le \text{h}+1\right\};$

W:=K⊕K;

D′:=intD∩W。

定理1 若a≤λ1, 则问题 (2) 没有正解;若a≤λ1且b≤λ1, 则问题 (2) 没有非负非零解。

证明 设$\left(u,v\right)$是问题 (2) 的一个正解, 则$\left(u,v\right)$满足

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=u(a-u-\frac{cv}{1+mu+kv}),x\in \text{Ω}；\\ \frac{\partial u}{\partial n}+u=0,x\in \partial \text{Ω}。\end{array}$

根据引理1知, $a=\lambda {}_1\left(u+\frac{cv}{1+mu+kv}\right)$, 由特征值的比较原理知a>λ1, 与已知条件矛盾。所以当a≤λ1时, 问题 (2) 没有正解, 其非负解只能是$\left(0,v\right)$的形式。

若v不恒等于0, 易知v>0。若$v>0,\left(0,v\right)$是问题 (2) 的解, 从而满足

$\{\begin{array}{l}-\Delta v=v(b-v),x\in \text{Ω}；\\ \frac{\partial v}{\partial n}+v=0,x\in \partial \text{Ω}。\end{array}$

因此有b=λ1 (v) , 故b>λ1, 与已知条件矛盾, 从而v≡0。所以当a≤λ1且b≤λ1时, 问题 (2) 的非负解只有零解。证毕。

设实数P充分大, 使得

$\max \left\{2a+ch,b+h+\frac{ad}{1+ma}\right\}<{\rm P}$。任意$\mu \in \left[0,1\right]$, 定义算子:$A{}_{\mu }(u,v)=(-\Delta +{\rm P}){}^{-1}\left(\mu u(a-u-\frac{cv}{1+mu+kv}\right)+{\rm P}u,\mu v\left(b-\frac{v}{1+u{}^2}+\frac{du}{1+mu+kv}\right)+{\rm P}v)‚A$:=A1。

由极大值原理知$\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}$是紧线性正算子, 且A的不动点就是问题 (2) 的古典解, 从而问题 (2) 等价于A (u, v) = (u, v) 。

引理6 (1) 若a>λ1或b>λ1, 则$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,0\right)\right)=0$。

(2) 若a<λ1且b<λ1, 则$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,0\right)\right)=1$。

证明 (1) 仅证明a>λ1的情况, 对于b>λ1的情况可以类似地证明。

$W{}_{\left(0,0\right)}={\rm K}\oplus {\rm K}‚S{}_{\left(0,0\right)}=\left\{0\right\}\oplus \left\{0\right\}‚\overline{W}{}_{\left(0,0\right)}＼S{}_{\left(0,0\right)}=\left({\rm K}\oplus {\rm K}\right)\left\{\left(0,0\right)\right\}$。

对于任意的$\left(u,v\right)\in \overline{W}{}_{\left(0,0\right)}‚A^{\prime }{}_{\left(0,0\right)}\left(u,v\right)=\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(au+{\rm P}u,bv+{\rm P}v\right)$。

$i)a>\lambda {}_1,b\ne \lambda {}_1$

对于任意的$\left(\xi ,\eta \right)\in \overline{W}{}_{\left(0,0\right)}$, 若$A^{\prime }{}_{\left(0,0\right)}\left(\xi ,\eta \right)=\left(\xi ,\eta \right)$, 则有-Δξ=aξ, -Δη=bη。因为a>λ1, b≠λ1, 所以ξ=0, η=0。故$A^{\prime }{}_{\left(0,0\right)}$在$\overline{W}{}_{\left(0,0\right)}$上可逆。

因为a>λ1, 根据引理2知, r ( (-Δ+P) -1 (a+P) ) >1, 由Krein-Rutman定理知, r ( (-Δ+P) -1 (a+P) ) 是算子$\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(a+{\rm P}\right)$的主特征值, 相应的特征函数为Φ1>0, 令$t{}_0=\frac{1}{r\left(\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(a+{\rm P}\right)\right)}$, 则$0<t{}_0<1‚\left(\Phi {}_1,0\right)\in \overline{W}{}_{\left(0,0\right)}＼S{}_{\left(0,0\right)}$且$\left({\rm I}-t{}_0{A}^{\prime }{}_{\left(0,0\right)}\right)\left(\text{Φ}{}_1,0\right)\in S{}_{\left(0,0\right)}$。故$A^{\prime }{}_{\left(0,0\right)}$在$\overline{W}{}_{\left(0,0\right)}$上具有性质α。

因此, 根据引理3知, $\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,0\right)\right)=0$。

$ii)a>\lambda {}_1,b=\lambda {}_1$

设$t\in \left[0,1\right]$, 定义同伦映射

$\begin{array}{l}A{}_t\left(u,v\right)=\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}(u\left(a-u-\frac{cv}{1+mu+kv}\right)+\\ {\rm P}u,v\left(b-t-\frac{v}{1+u{}^2}+\frac{du}{1+mu+kv}\right)+{\rm P}v)\end{array}$

显然有A0=A, 且$\left(0,0\right)$是At的不动点。因为当$t\in \left(0,1\right],b-t<\lambda {}_1$, 所以由$i)$有$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A{}_t,\left(0,0\right)\right)=0$。由度的同伦不变性有, $\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,0\right)\right)=\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A{}_t,\left(0,0\right)\right)=0$。

(2) 若a<λ1且b<λ1, 易知$A^{\prime }{}_{\left(0,0\right)}$在$\overline{W}{}_{\left(0,0\right)}$上不具有性质α, 且$r\left(\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(a+{\rm P}\right)\right)<1‚r\left(\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(b+{\rm P}\right)\right)<1$, 而$A^{\prime }{}_{\left(0,0\right)}$的特征值为算子$\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(a+{\rm P}\right)$和$\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(b+{\rm P}\right)$的特征值的并, 因此, $A^{\prime }{}_{\left(0,0\right)}$没有大于1的特征值。根据引理3知, $\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,0\right)\right)=1$。证毕。

根据引理6的结论 (2) 和同伦映射, 有下面的引理。

引理$7\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,D^{\prime }\right)=1$。

引理8 设a>λ1,

(1) 当$b>\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$时, 则

$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(\Theta {}_a,0\right)\right)=0$。

(2) 当$b<\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$时, 则

$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(\Theta {}_a,0\right)\right)=1$。

$\begin{array}{l}\text{证}\text{明}W{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}=C(\overline{\text{Ω}})\oplus {\rm K}‚S{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}=C(\overline{\text{Ω}})\oplus \left\{0\right\}‚\\ \overline{W}{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}S{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}=C(\overline{\text{Ω}})\oplus ({\rm K}\{0\})。\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{对}\text{于}\text{任}\text{意}\text{的}\left(u,v\right)\in \overline{W}{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}‚\\ A^{\prime }{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}\left(u,v\right)=\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\times \\ (u(a-2\Theta {}_a+{\rm P})-v\frac{c\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a},v\left(b+\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}+{\rm P}\right))。\end{array}$

对于任意的$\left(\xi ,\eta \right)\in \overline{W}{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}$, 若

$A^{\prime }{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}\left(\xi ,\eta \right)=\left(\xi ,\eta \right)$, 则有$-\Delta \xi =(a-2\Theta {}_a)\times \xi -\frac{c\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\eta ‚-\Delta \eta =\left(b+\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)\eta$。因为$\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)\ne b$, 所以, η=0。从而-Δξ= (a-2Θa) ξ, 又因为λ1 (-a+Θa) =0, 所以由特征值的比较原理知, λ1 (-a+2Θa) >λ1 (-a+Θa) , 即λ1 (-a+2Θa) >0, 所以ξ=0。故${\rm I}-A^{\prime }{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}$在$\overline{W}{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}$上可逆。

(1) 因为$b>\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$, 根据引理2知, $r\left(\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(b+\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}+{\rm P}\right)\right)>1$, 由Krein-Rutman定理知,

$\begin{array}{l}r\left(\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(b+\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}+{\rm P}\right)\right)\text{是}\text{算}\text{子}\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\times \\ \left(b+\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}+{\rm P}\right)\end{array}$

的主特征值, 相应的特征函数φ1>0, 令$t{}_1=\frac{1}{r\left(\left(-\Delta +{\rm P}\right){}^{-1}\left(b+\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}+{\rm P}\right)\right)}$, 则$0<t{}_1<1‚\left(0,\phi {}_1\right)\in \overline{W}{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}＼S{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}$

且$\left({\rm I}-t{}_0{A}^{\prime }{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}\right)\left(0,\phi {}_1\right)\in S{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}$。

因此, 根据引理3知, $\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(\Theta {}_a,0\right)\right)=0$。

$(2)b<\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$, 易证$A^{\prime }{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}$在$\overline{W}{}_{\left(\Theta {}_a,0\right)}$上不具有性质α, 并且没有大于1的特征值, 所以$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(\Theta {}_a,0\right)\right)=1$。证毕。

类似引理8的证明, 有下面引理。

引理9 设b>λ1,

(1) 当$a>\lambda {}_1\left(\frac{c\Theta {}_b}{1+k\Theta {}_b}\right)$时, 则$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,\Theta {}_b\right)\right)=0$。

(2) 当$a<\lambda {}_1\left(\frac{c\Theta {}_b}{1+k\Theta {}_b}\right)$时, 则$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,\Theta {}_b\right)\right)=1$。

定理2 (1) 若$a>\lambda {}_1,\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)<b\le \lambda {}_1$, 则问题 (2) 至少存在一个正解。

(2) 若$b>\lambda {}_1‚a>\lambda {}_1\left(\frac{c\Theta {}_b}{1+k\Theta {}_b}\right)$, 则问题 (2) 至少存在一个正解。

证明 (1) 因为b≤λ1, 所以只需要计算 (0, 0) 处和 (Θa, 0) 处的指数。

若$a>\lambda {}_1‚b>\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$, 根据引理6和引理8知,

$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,0\right)\right)+\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}$${}_W\left(A,\left(\Theta {}_a,0\right)\right)=0$, 而$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,D^{\prime }\right)=1$, 从而在D′中问题 (2) 至少存在一个正解。

(2) 当$b>\lambda {}_1‚a>\lambda {}_1\left(\frac{c\Theta {}_b}{1+k\Theta {}_b}\right)$时, 根据引理6—引理9知, $\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,0\right)\right)+\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}$${}_W\left(A,\left(\Theta {}_a,0\right)\right)+\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,\left(0,\Theta {}_b\right)\right)=0$, 而$\text{i}\text{n}\text{d}\text{e}\text{x}{}_W\left(A,D^{\prime }\right)=1$, 从而在D′中问题 (2) 至少存在一个正解。证毕。

3 解的一致持续性

3.1 半平凡解的稳定性

定理3 设$\lambda {}_1-\frac{ad}{1+ma}<b<\lambda {}_1$, 则存在α>λ1, 满足$b=\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_{\alpha }}{1+m\Theta {}_{\alpha }}\right)$, 使得当λ1<a<α时, 半平凡解 (Θa, 0) 是线性稳定的;当a>α时, 半平凡解 (Θa, 0) 是不稳定的。

证明 当a≥λ1时, $\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$连续且关于a是递减的。当a=λ1时, $\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)=\lambda {}_1$, 当a>λ1时, $\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)>\lambda {}_1-\frac{ad}{1+ma}$, 而$\lambda {}_1-\frac{ad}{1+ma}<b<\lambda {}_1$, 故存在α>λ1, 满足$b=\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_{\alpha }}{1+m\Theta {}_{\alpha }}\right)$。

当λ1<a<α时, 由Θa关于a的单调递增性可知, Θa<Θα, 从而$b=\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_{\alpha }}{1+m\Theta {}_{\alpha }}\right)<\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$, 即$\lambda {}_1\left(-b-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)>0$。令L (Θa, 0) 是方程 (2) 在 (Θa, 0) 处的线性化算子, 则

由于$\lambda {}_1(-a+2\Theta {}_a)>0‚\lambda {}_1\left(-b-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)>0$, 而L (Θa, 0) 的特征值为算子-Δ-a+2Θa和$-\Delta -b-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}$的特征值的并, 设λ*为L (Θa, 0) 实部最小的特征值, 则

$\begin{array}{l}\lambda {}^{*}=\min \{\lambda {}_1(-a+2\Theta {}_a),\begin{array}{l}\\ \end{array}\\ \lambda {}_1\left(-b-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)\}>0\end{array}$

。因此, 半平凡解 (Θa, 0) 是线性稳定的。

当a>α时, 因为$b=\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_{\alpha }}{1+m\Theta {}_{\alpha }}\right)>\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$, 所以$\lambda {}_1\left(-b-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)<0$, 不妨设其对应的特征函数为χ>0。由于λ1 (-a+2Θa) >0,

因此, 算子$\left(-\Delta -a+2\Theta {}_a-\lambda {}_1\left(-b-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)\right)$是可逆的。故$\lambda {}_1\left(-b-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$是L (Θa, 0) 的一个特征值, 相应的特征函数为 (ψ, χ) , 其中$\psi =\left(-\Delta -a+2\Theta {}_a-\lambda {}_1\left(-b-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)\right){}^{-1}\left(-\frac{c\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$。故算子L (Θa, 0) 存在小于0的特征值。因此, 半平凡解 (Θa, 0) 是线性不稳定的, 故 (Θa, 0) 是不稳定的。证毕。

类似定理3的证明, 有下列定理。

定理4 当a>λ1且b>λ1时, 半平凡解 (Θa, 0) 是不稳定的。

定理5 当b>λ1且$a>\lambda {}_1\left(\frac{c\Theta {}_b}{1+k\Theta {}_b}\right)$时, 半平凡解 (0, Θb) 是不稳定的。

3.2 半平凡解的渐近性

$f(u,v)=u\left(a-u-\frac{cv}{1+mu+kv}\right)‚g(u,v)=$

$v\left(b-\frac{v}{1+u{}^2}+\frac{du}{1+mu+kv}\right)$。显然, f (u, v) 和g (u, v) 在有界区域[u, $\overline{u}]\times$[v, $\overline{v}]$上满足Lipschitz条件。

令U和VU分别是下列方程的解

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{\partial U}{\partial t}-\Delta U=U(a-U),x\in \text{Ω},t>0\\ \frac{\partial U}{\partial n}+U=0,x\in \partial \text{Ω},t>0\\ U(x,0)=u{}_0(x)\ge 0,x\in \text{Ω}\end{array}(5)\\ \{\begin{array}{l}\frac{\partial V{}_U}{\partial t}-\Delta V{}_U=V{}_U\left(b-\frac{V{}_U}{1+U{}^2}+\frac{dU}{1+mU+kV{}_U}\right),\\ x\in \text{Ω},t>0\\ \frac{\partial V{}_U}{\partial n}+V{}_U=0,x\in \partial \text{Ω},t>0\\ V{}_U(x,0)=v{}_0(x)\ge 0,x\in \text{Ω}\end{array}(6)\end{array}$

引理10[7] 令 (u (x, 0) , v (x, 0) ) = (u0 (x) , v0 (x) ) ≥ (0, 0) , 那么问题 (1) 存在整体解 (u, v) 满足 (0, 0) ≤ (u, v) ≤ (U, VU) ( (x, t) ∈Ω× (0, +∞) ) 。若u0不恒等于0, v0不恒等于0, 则有 (u, v) >0。

定理6 令 (u, v) 是问题 (1) 的正解,

1) 若a≤λ1, b<λ1, 当t→+∞时, 有 (u, v) → (0, 0) 。

2) 若$a>\lambda {}_1‚b<\lambda {}_1\left(-\frac{d\Theta {}_a}{1+m\Theta {}_a}\right)$, 当t→+∞时, 有 (u, v) → (Θa, 0) 。

3) 若a≤λ1, b>λ1, 当t→+∞时, 有 (u, v) → (0, Θb) 。

证明 1) 设 (u, v) 是问题 (1) 的正解, U是问题 (5) 的唯一解。当 (x, t) ∈Ω× (0, +∞) 时,

$\frac{\partial U}{\partial t}-\Delta U=U(a-U)\ge U\left(a-U-\frac{cv}{1+mU+kv}\right)$, 因而有0≤u (x, t) ≤U (x, t) 。若a≤λ1, 根据引理4知, 当t→+∞时, U (x, t) 一致趋于0。故当t→+∞时, u (x, t) 一致趋于0。因此, 给定ε>0, 存在Tε≥0, 使得当t≥Tε时, 有u (x, t) ≤ε, 不妨取ε充分小, 使得$\lambda {}_1\left(-\frac{d\epsilon }{1+m\epsilon }\right)\ge b$, 即$\lambda {}_1\left(-b-\frac{d\epsilon }{1+m\epsilon }\right)\ge 0$。因而对于任意的t≥Tε, 有

$\frac{\partial v}{\partial t}-\Delta v=v\left(b-\frac{v}{1+u{}^2}+\frac{du}{1+mu+kv}\right)\le v\left(b-\frac{v}{1+\epsilon {}^2}+\frac{d\epsilon }{1+m\epsilon +kv}\right)$。

令Vε为下列问题的正解

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial V{}_{\epsilon }}{\partial t}-\Delta V{}_{\epsilon }=V{}_{\epsilon }\left(b-\frac{V{}_{\epsilon }}{1+\epsilon {}^2}+\frac{d\epsilon }{1+m\epsilon +kV{}_{\epsilon }}\right),x\in \text{Ω},t>{\rm T}{}_{\epsilon },\\ \frac{\partial V{}_{\epsilon }}{\partial n}+V{}_{\epsilon }=0,x\in \partial \text{Ω},t>{\rm T}{}_{\epsilon },\\ V{}_{\epsilon }(x,{\rm T}{}_{\epsilon })=v(x,{\rm T}{}_{\epsilon }),x\in \text{Ω}。\end{array}$

由比较原理知, ∀t≥Tε, 有0≤v (x, t) ≤Vε (x, t) 。因为$\lambda {}_1\left(-b-\frac{d\epsilon }{1+m\epsilon }\right)\ge 0$, 所以根据引理4知, 当t→+∞时, 有Vε (x, t) →0, 因而当t→+∞时, v (x, t) →0。故当t→+∞时, 有 (u, v) → (0, 0) 。

2) 根据1) 的证明, 有0≤u (x, t) ≤U (x, t) 。若a>λ1, 根据引理4知, 当t→+∞时, 有U (x, t) →Θa (x) 。

取ε>0, 不妨取其充分小, 使得$b\le \lambda {}_1\left(-\frac{d(\Theta {}_a+\epsilon )}{1+m(\Theta {}_a+\epsilon )}\right)‚a>\lambda {}_1(\epsilon )$, 即

$\lambda {}_1\left(-b-\frac{d(\Theta {}_a+\epsilon )}{1+m(\Theta {}_a+\epsilon )}\right)\ge 0‚\lambda {}_1(-a+\epsilon )<0$, 且存在Tε≥0, 满足

∀t≥Tε, u (x, t) ≤Θa (x) +ε (7)

由于$\frac{\partial v}{\partial t}-\Delta v=v\left(b-\frac{v}{1+u{}^2}+\frac{du}{1+mu+kv}\right)\le v\left(b-\frac{v}{1+(\Theta {}_a+\epsilon ){}^2}+\frac{d(\Theta {}_a+\epsilon )}{1+m(\Theta {}_a+\epsilon )+kv}\right)$。类似1) 的证明有, 当t→+∞时, 有v (x, t) →0。故存在Tε ′≥0, 使得当t≥Tε ′时, 有$\frac{cv}{1+mu+kv}\le \epsilon$。因而当t≥Tε ′时, $\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=u\left(a-u-\frac{cv}{1+mu+kv}\right)\ge u(a-u-\epsilon )$。

令Uε为下列问题的正解

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial U{}_{\epsilon }}{\partial t}-\Delta U{}_{\epsilon }=U{}_{\epsilon }(a-\epsilon -U{}_{\epsilon }),x\in \text{Ω},t>{\rm T}{}_{\epsilon }´,\\ \frac{\partial U{}_{\epsilon }}{\partial n}+U{}_{\epsilon }=0,x\in \partial \text{Ω},t>{\rm T}{}_{\epsilon }´,\\ U{}_{\epsilon }(x,{\rm T}{}_{\epsilon }´)=u(x,{\rm T}{}_{\epsilon }´),x\in \text{Ω}。\end{array}$

由比较原理知,

∀t≥Tε ′, u (x, t) ≥Uε (x, t) (8)

当ε→0时, 有Uε (x, t) →U (x, t) , 其中U (x, t) 是问题 (5) 的解。由式 (7) 和式 (8) 知, 当t→+∞时, 有u (x, t) →Θa。所以, 当t→+∞时, 有 (u, v) → (Θa, 0) 。

3) 类似2) 的证明, 这里省略。证毕。

3.3 正解的一致持续性

由文献[11]可知问题 (1) 的解在$C{}^{+}(\overline{\text{Ω}})\times C{}^{+}(\overline{\text{Ω}})$上产生了一个半动力系统, 其中$C{}^{+}(\overline{\text{Ω}})$是带有L∞范数的非负连续函数集合。定义映射P (t) : (u0, v0) → (u (t) , v (t) ) (t≥0) , (u0, v0) 为对应于问题 (1) 的初值, 算子P (t) 是紧的[12]。

定理7 如果$b>\lambda {}_1‚a>\lambda {}_1\left(\frac{c\Theta {}_b}{1+k\Theta {}_b}\right)$, 那么问题 (1) 的解是一致持续的。

证明 令$Y{}_0=\{(u,v)\in C{}^{+}(\overline{\text{Ω}})\times C{}^{+}(\overline{\text{Ω}})|u(x)>0,v(y)>0,\forall x,y\in \text{Ω}\}$。显然Y0是一个开集, 并且关于半动力系统P (t) 是不变集, ∂Y0也是不变的。问题 (1) 在∂Y0上的解为 (Θa, 0) , (0, Θb) 和 (0, 0) 。而 (Θa, 0) 吸引着$\{(u,0)|u\ge 0,\text{且}u\text{不}\text{恒}\text{为}0\}‚(0,\Theta {}_b)$吸引着$\{(0,v)|v\ge 0,\text{且}v\text{不}\text{恒}\text{为}0\}$, 所以在边界上P (t) 的ω-极限集ω (∂Y0) 包含了M1= (Θa, 0) , M2= (0, Θb) 和M3= (0, 0) 。令M={M1, M2, M3}≡{ (Θa, 0) , (0, Θb) , (0, 0) }, 则M是ω (∂Y0) 的一个覆盖, 并且易知M是非循环的。下面只需证明Mi的稳定集W+i (Mi) 与Y0不相交, 即W+i (Mi) ∩Y0=Ø (i=1, 2, 3) 和ω (∂Y0) 孤立即可。

假设W+1 (M1) ∩Y0≠Ø, 即存在 (u0, v0) ∈Y0。令u (x, t) 和v (x, t) 是问题 (1) 的正解, 且满足$u(x,0)=u{}_0‚v(x,0)=v{}_0‚\underset{t\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}u\left(x,t\right)=\Theta {}_a‚\underset{t\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}v\left(x,t\right)=0$。

令V (x, t) 是下列问题的解

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial t}-\Delta V=V(b-V),x\in \text{Ω},t>0,\\ \frac{\partial V}{\partial n}+V=0,x\in \partial \text{Ω},t>0,\\ V(x,0)=v{}_0(x)\ge 0,x\in \text{Ω}。\end{array}$

由比较原理知, $v(x,t)\ge V(x,t)(x\in \overline{\text{Ω}},t>0)$。因为b>λ1, 所以$\underset{t\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}V\left(x,t\right)=\Theta {}_b$。令$r{}_0=\min \Theta {}_b(x)(x\in \overline{\text{Ω}})$, 显然r0>0。取$0<\epsilon <\frac{1}{2}r{}_0$, 则存在t2>0, 使得$V(x,t)\ge \Theta {}_b-\epsilon >\frac{1}{2}r{}_0(x\in \text{Ω},t\ge t{}_2)$, 而v (x, t) ≥V (x, t) , 所以有$v(x,t)>\frac{1}{2}r{}_0$, 这与$\underset{t\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}v\left(x,t\right)=0$矛盾。因此, W+1 (M1) ∩Y0=Ø。

类似地可以证明W+i (Mi) ∩Y0=Ø (i=2, 3) 。因此, M是ω (∂Y0) 的一个孤立覆盖。进而由文献[12]中的持续性定理可得当$b>\lambda {}_1‚a>\lambda {}_1\left(\frac{c\Theta {}_b}{1+k\Theta {}_b}\right)$时, 问题 (1) 的解是一致持续的, 即u和v共存。证毕。

摘要：研究了一类捕食-食饵模型, 其中捕食者的密度干扰项的系数与食饵密度有关。首先, 利用Leray-Schauder度理论, 通过计算不动点的指数, 结合特征值的比较原理得出了正平衡解存在的充分条件;然后, 利用Turing理论, 讨论了该模型半平凡解的稳定性情况;最后讨论了解的渐近行为, 运用半动力系统的一致持续理论给出了正解一致持续的充分条件。

关键词：平衡解,不动点指数,稳定性,一致持续

参考文献

[1] Ko W, Ryu K.Coexistence states of a predator-prey system with non-monotonic functional response.Nonlinear Anal (Real World Appl) , 2007;8 (3) :769—786

[2] Yi F Q, Wei J, Shi J P.Bifurcation and spatiotemporal patterns in ahomogeneous diffusive predator-prey system.J Differential Equations, 2009;247 (5) :1944—1977

[3] Turchin P, Batzli G O.Availability of food and the population dy-namics of arvicoline rodents.Ecology, 2001;82 (6) :1521—1534

[4] Beddington J R.Mutual interference between parasites or predatorsand its effect on searching efficiency.J Animal Ecol, 1975;44 (1) :331—340

[5] DeAngelis D L, Goldstein R A, O′Neill R V.Amodel for trophic in-teraction.Ecology, 1975;56:881—892

[6]叶其孝, 李正元.反应扩散方程引论.北京:科学出版社, 1990

[7] Ryu K, Ahn I.Positive solutions for ratio-dependent predator-preyinteraction system.J Differential Equations, 2005;218 (1) :117—135

[8] Dancer E N.On positive solutions of some pairs of differential equa-tions.Trans Amer Math Soc, 1984;284:729—743

[9]李艳玲, 马逸尘.具有饱和项的互惠模型正解的存在性.西安交通大学学报, 2003;37:650—656

[10] Dancer E N.On the indices of fixed points of mapping in cones andapplications.J Math Anal Appl, 1983;91:131—151

[11] Hsu S B, Waltman P.On a system of reaction-diffusion equations a-rising from competition in an unstirred Chemostat.SIAM J ApplMath, 1993;53:1026—1044

运动正解 篇8

脉冲积分方程是近年来发展起来的积分方程的一个重要分支, 率先应用生物学和医学的数学模型。文献[1]利用不动点指数理论研究了Fredholm脉冲积分方程 (即下面的方程 (1) ) , 当H (t, s, x) 及Ik (x) 在无穷远处满足次线性条件时, 两个正解的存在性。本文拟在一定条件下利用锥拉压不动点定理考虑如下方程 (1) 两个正解的存在性。其中, 本文用H (t, s, x) 的控制函数 (见下文 (H3) ) 及$\frac{\parallel h{}_2(x)\parallel }{\parallel x\parallel }$和$\frac{\parallel {\rm I}{}_k(x)\parallel }{\parallel x\parallel }$的上极限 (见下文 (H4) ) 来代替文献[1]超线性及次线性条件, 两者是互不相容的。

本文考虑如下Fredholm脉冲积分方程

$x(t)={\displaystyle {\int }_J{\rm H}}(t,s,x(s))\text{d}s+{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a}{}_k{\rm I}{}_k(x(t{}_k))$ (1)

式 (1) 中J=[t0, t0+a], t0<t1<…<tk<…tm<t0+a, H∈C[J×J×P, P], , ak∈R+。IK∈C[P, P], (k=1, 2, …, m) , P为Banach空间E中的锥, N为正规常数。PC[J, E]={x:J→E|x (t) 在t≠tk时连续, t=tk左连续右极限存在}。规定其范数为$\parallel x\parallel {}_{pc}=\underset{t\in J}{{\displaystyle \sup }}\parallel x(t)\parallel$。显然PC[J, E]是一个Bannch空间, PC[J, P]={x∈PC[J, E]:x (t) ≥θ, t∈J}是PC[J, E]的锥。

方程 (1) 的正解是指x∈PC[J, P], x满足方程 (1) 且不恒为θ。

规定a*k=ak, (k=1, 2…, m) , Pr={x∈P:‖x‖≤r}, P*r={x∈PC[J, P]:‖x‖PC≤r}。

定义算子A如下:

$(Ax)(t)={\displaystyle {\int }_J{\rm H}}(t,s,x(s))\text{d}s+{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a}{}_k{\rm I}{}_k(x(t{}_k))$ (1) ′

式 (1) ′中x∈PC[J, P]。

1 预备知识及引理

为了方便, 先给出以下假设条件。

(H1) 对任意的r>0, H (t, s, x) 在J×J×Pr上有界且关于t一致连续;存在非负常数τr及σ${}_r^{(k)}$, 使得$2a\tau {}_r+{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a}{}_k^{*}\sigma {}_r^{(k)}<1$。