带限信号（精选3篇）
带限信号 篇1
狄拉克流信号是数字通信中经常会用到的一种非带限信号[1], 本文以该信号为例, 从空间变换的角度研究了一种基于奇异值分解的非带限信号采样算法, 该算法在处理狄拉克流及其相关的一类非带限信号时是非常有效的, 并具有计算量小、信号恢复精确率高和抗噪声能力强等特点。
一、奇异值分解
奇异值分解是线性代数中非常重要的一种矩阵分解。该理论的诞生已经有百余年的历史, 随着信息工程的需求和计算机技术发展, 它被广泛地应用到统计分析、信号与图像处理、系统理论和控制等领域中[2]。
二、基于奇异值分解的非带限信号采样算法
下面通过对一种非带限信号——周期狄拉克流的分析来推导基于奇异值分解的非带限信号采样算法。
设x (t) 是周期为τ的狄拉克流信号, 其表达式为:
式中Ck为狄拉克流的权值, tk为狄拉克流的位置, 则x (t) 的傅里叶变换为
对该狄拉克流信号x (t) , 取hB (t) =Bsinc (Bt) 作为采样核, 经过采样核后得到采样值yn, n=0, 1, ..., N-1, 则采样值yn是原信号x (t) 的一个充分的描述。
利用yn重建原信号x (t) 的过程如下。
(1) 通过yn确定x (t) 的傅里叶变换X[m], |m|≤M;
式中HB是hB (t) 的傅里叶变换。
(2) 利用X[m]构建Hankel矩阵X, 然后对其进行奇异值分解, 求得狄拉克流的K个位置信息
利用X[m]构建一个P×Q (P, Q≥K) 维的Hankel矩阵, 矩阵X的秩为rank (X) =K, 因此通过对Hankel矩阵X的秩的判别, 可以确定出每周期内狄拉克流信号的个数K。
根据奇异值分解的理论, X可以被分解成如下形式
其中US、SS和VS是矩阵X的K个最大奇异值分解三对组阵, 它们包含了有用信号的主要信息;Un、Sn和Vn是矩阵X的小奇异值分解三对组阵, 对于含有噪声的信号, 其加性噪声主要集中在这些小奇异值项上。
假设φ=diag (Zk) k×k, φh=φH, 显然矩阵US和VS都满足平移不变空间特性, 即
(3) 求取狄拉克流的K个权值
三、结论
本文以周期狄拉克流信号为例, 研究了一种基于奇异值分解的非带限信号采样与重建算法。它突破了Shannon采样定理中Nyquist率的限制, 是传统采样定理的一个非常有益的补充, 在宽带通信领域尤其是超宽带通信中有着广阔的应用前景。
摘要：本文借助奇异值分解技术, 研究了对狄拉克流这类特殊非带限信号的采样与重建算法。先对信号的采样点进行离散傅里叶变换, 并用生成的系数形成Hankel矩阵, 然后对Hankel矩阵进行奇异值分解, 求取狄拉克流的位置信息, 再解范德蒙方程组求得狄拉克流的权信息, 重建出原信号。该算法具有计算量小、信号恢复精确率高和抗噪声能力强的特点。
关键词：奇异值分解,非带限信号,狄拉克流,采样,重建
参考文献
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带限信号 篇2
众所周知, 香农采样理论被广泛用于信号重构。然而, 当处理稀疏带限信号时 (比如传感器采集的信号, 精确追踪定位信号等) , 该采样方式将会十分低效。
为了解决这个问题, 我们引入了一种新的采样方法, 名为随机调制系统。我们定义K为离散的频率数, W为带宽, 那么按照本文的算法, 每秒仅用O (Klog (W/K) ) 次即可重构出信号。这种采样方式远远高于奈奎斯特的W hz/s。
该随机调制系统包含三个部分:解调, 低通滤波与低速率采样。首先, 我们对输入的连续时间信号与随机数发生器做线性乘积。然后, 我们用低通滤波器来处理伪影。最后, 滤波后的信号将按照1/R每秒的速率进行采样。
事实上, 随机调制系统本质是一个线性系统, 他可以把连续信号映射为离散信号。重构信号的核心问题是解决一个L0泛数问题。尽管L0问题是NP-困难的, 我们可以把它转化为L1泛数问题。该问题可由迭代加权最小方差[3], 对偶内点法[4]或正交匹配追踪法[5]来解。
本文将建立随机调制系统的线性模型。之后我们将分别比较对偶内点法 (PDIP) , 简化的对偶内点法 (SPDIP) , 不稳定路径追踪法 (SDPT3) 和正交匹配追踪法 (OMP) 。
2 系统设计[2]
2.1 信号的属性
本文仅考虑具备如下三条属性的信号:
(1) 带限信号:最大频率有整数边界。
(2) 频率域稀疏:和带限信号比, 我们希望非零元素数量要很少。
(3) 周期性:该信号必须在时域是周期的。这样的话, 我们可以做傅里叶级数延展。
2.2 随机解调器结构图
如图1中所示, 随机数发生器等同于ADC按同等的概率随机产生+1或-1的值。
其输出结果为:
在此之后, 连续信号f (t) 将会与该随机数产生器线性相乘:
该系统的最后两个模块为积分器和采样器, 作用相当于ADC和低通滤波器。
这里m范围如下:
低通滤波器的本质是一个累加器, 它会把调制后的信号按1/r秒的间隔相加。这里Ym序列将会作为输出。值得注意的是本系统的采样率R远远小于奈奎斯特采样率W。
3 解调器的矩阵模型
在理想的情况下, 随机调制系统是线性的。
3.1 平均信号xn与它的矩阵表达式
为了构建这个线性系统, 我们首先定义在1/W秒内的平均信号:
根据连续时间域的傅里叶级数, f (t) 可以表示如下:
这里,
平均信号xn表示如下:
设尺寸为W*W的离散傅里叶变换矩阵F为:
那么, 离散的平均信号可以被如下线性表达式表示:
3.2 解调器的矩阵表达式
我们首先考虑作用在f (t) 上的随机解调器, 它其实是一个具有W元素的对角矩阵:
我们假设采样率为R, 同时W可被R整除。之后, 积分器作用在于yn, 它是W/R个连续被调制信号的和。因此积分器表达式相当于H, 定义如下:
比如当W=8, R=2时。H表达式为:
最终, 解调器的线性模型如下:
3.3 L1范数凸优化问题陈述
从之前的章节, 我们已经获得了调制系统的表达式。那么之后的问题就是从y=As中估计出稀疏的s。恢复信号s的问题可以转化如下:
这里L0范数即统计出向量中的非零元素的个数。这个问题是NP困难的。解决这个问题有两类方法。包括凸松弛法即采用L1范数来替代L0范数:
该问题可由内点法来解。
对于非凸方法, 贪婪算法比如正交投影追踪法 (OMP) 可以解决此类问题。
3.4 信号重构
当所有基调信号被准确估计后, 信号复原算法如下:
因为在仿真中, 我们采用的是离散信号, 所以其离散复原算法如下:
最终f (t) 信号被复原如下:
3.5 复原定理
定理1 (随机信号复原定理) :假定采样率为:
同时, R整除W, C为正数。y=As是从调制器采集到的信息。那么信号估测值s赞与信号值s不相等的概率仅为O (W-1) 。证明请见[2]。
4 L1范数最小化问题
本章节, 我们重点讨论如何用凸优化中的内点法解决L1范数问题。
4.1 线性规划
我们需要解决下述问题:
如果x值均为正数, 那么这个问题实际上是个线性规划问题:
当x包含负数时, 为使得目标函数处处可导, 我们作如下变换:
同时:
我们定义新的矩阵如下:
这样的话, 本问题仍可转化一个线性规划问题:
总之, 无论x是正是负, 他均可被转化为下面的线性规划问题:
4.2 主对偶内点法[4]
主问题表达式为:
那么对偶问题为:
当存在一个满足上述主对偶等式的点时, 我们有:
当时, 存在优化的解。此时, 上述等式将满足如下方程组:
4.2.1 搜索方向
搜索方向根据牛顿法计算如下:
该方向可以定义为:
通过行列消元法其封闭解如下:
最终有:
这里r4与P定义为:
4.2.2 线性搜索与更新
4.2.3 主对偶内点法
之前2部分讲述了如何计算搜索方向的解析表达式。那么整个算法如下:
4.3 简化的主对偶内点法
在[6]中, 我们找到了主对偶内点法的简化算法 (SPDIP) 。与主对偶内点法的区别在于, 初值的选取是由下面的判据来决定的:
这里的初始值必须在可行集之内。我们定义, 那么初始点判据如下:
所有算法如下:
4.4 基于不稳定路径追踪的主对偶内点法
基于不稳定路径的主对偶内点法是在上述几种方法的基础上而完成的, 它的特点在于: (1) 具备预测与纠错步骤。 (2) 考虑对角块结构与稀疏性。 (3) 支持复数。 (4) 对称算子有四个搜索方向:AHO, HKM, NT和GT。有兴趣的读者可参见[7]。
5 重建结果的比较
本章我们将比较以下四种方法:主对偶内点法 (PDIP) , 简化的主对偶内点法 (SPDIP) , 基于不稳定路径追踪的主对偶内点法 (SDPT3) 和正交匹配追踪法 (OMP) 。
5.1 PDIP的重构结果
采样参数为:W=1000HZ, T=1S, R=25HZ。
(a) 输入的复氏级数 (b) 重构后的复氏级数
图5.1展示了原始与复原谱。很明显, 只有2个调的强度被复原出来。
因为复原谱未被准确估计, 时域的差值信号非常大。
5.2 SPDIP复原结果
SDPIP在强度恢复上略好于PDIP, 但从复原谱来看仍有很多非零元素。
5.3 SDPT3复原结果
本实验中:W=1000HZ, T=1S, R=25HZ。从如下的结果来看, SDPT3方法复原效果非常好, 所有的谱都被成功复原出来。
(a) 原始信号 (b) 重构信号 (c) 差值信号
(a) 输入谱 (b) 重构谱
(a) 原始信号 (b) 重构信号 (c) 差值信号
(a) 输入谱 (b) 重构谱
重构的时域信号也基本无误差, 这点可以由差值信号观测出来。
5.4 OMP复原结果
最终我们将展示基于贪婪算法的信号复原结果。本例中R=100HZ。
复原谱结果如下, 该实验结果较为合理, 谱的频域位置基本被完好复原, 但强度有3-4个调略有误差。总体误差比SDPT3大些, 但是好于其它2种方法。
6 结论
本文首先介绍了随机调制系统在采样上较奈奎斯特系统的优势。之后我们采用矩阵分析理论, 建立了该调制系统的线性模型。并发现了该系统的稀疏解为L1范数问题。之后我们提出了基于凸优化的内点法来解决L1范数问题。根据我们的实验, 基于不稳定路径追踪的内点法在信号复原精度和采样率上超过了传统的贪婪算法以及其它的内点法。因此, 我们提出的算法可以用更少的采样来获取更高的信号重建精度。
(a) 原始信号 (b) 重构信号 (c) 差值信号
(a) 输入谱 (b) 重构谱
(a) 原始信号 (b) 重构信号 (c差值信号
摘要：在信号复原领域, 以奈奎斯特采样率为基准的采样方法往往并不高效。这种状况通常发生在信号本身相对于带宽仅包含有限频率的时候[1]。近年来一些新的采样系统应运而生。本文介绍了一种新的高效采样系统——随机调制系统[2]。该系统比奈奎斯特采样系统更有效, 仅需要非常少的样本来复原信号。但这种系统的解法一般采样贪婪算法, 该算法无法获取更高的重构精度和更少的采样。为了解决这个问题, 本文提出了一种基于凸优化的复原算法——对偶内点算法。实验证明, 本文的对偶内点算法不但比贪婪算法更高效, 同时在复原信号上也更为精确。
关键词：压缩感知,信号复原,稀疏估计,对偶内点法,正交匹配追踪
参考文献
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[6]Renato D.C.Monterio, “interior path following primal dual algorithms art 1 linear programming, ”mathematical programming, 1989.
带限信号 篇3
MSK信号具有包络恒定、相位连续,且能量主要集中于主瓣等特性。MSK扩频调制与基于数字相关器解调相结合的传输体制［1］,在突发扩频系统中得到了成功应用。
和常规的相位调制方式( 如BPSK) 而言,MSK信号的功率谱更为紧凑,其主旁瓣的功率谱密度的对比可达20 d B以上,且99% 的信号能量分布在1.17 / Tc的带宽范围之内。
然而,在实际应用中,为了进一步消减相邻信道中的带外辐射( 通常要求带外辐射比带内辐射低40 ~ 80 d B) ,仍需要对扩频调制信号进行进一步带限滤波处理,将信号频谱限制在设定的频带内。与此同时,需要减小带限处理导致的传输信号码间串扰( ISI) 。
文中针对多种带限滤波设计技术［2－4］进行了研究。通过理论模型和仿真验证论述了各滤波器的设计原理以及关键参数对滤波器的影响。从带外抑制效果、占用资源和处理时延以及系统传输误码性能等方面对处理效果进行了对比。分析结果对于工程设计时选择合理的带限滤波技术,具有指导意义。
1 MSK扩频调制信号模型
MSK调制信号是相位连续FSK调制的一种特例,信号频率的偏移满足在一个码元期间内相位偏移量恰好为±π/2。其调制原理可简述为具有正/余弦函数加权的同相和正交支路信号合成的结果,如图1 所示。
图1 中,Tc代表扩频码片的时间周期。假定载波为fc,则调制输出的信号可表示为:
式中,Ik和Qk( 分别取值 ± 1) 为相互正交的2 个调制支路上的码片。为方便分析,通常假设各码片统计独立且具有相等的产生概率0.5,则信号的功率谱谱密度PMSK( f) 可表示为［5］:
其功率谱的旁瓣拖尾以近似1 /f4的规律滚降。
2 带限滤波器设计方法及原理
简而言之,升余弦滚降滤波是最经典的带限滤波方法。而高斯滤波可产生效率特别高的高斯脉冲波形,代价是性能有所下降。等波纹奈奎斯特滤波则可以更少的资源达到与升余弦滤波类似的性能。
2.1 升余弦滚降滤波器
当矩形脉冲通过带限信道时,脉冲会在时间上扩展,每个符号的脉冲将扩展到相邻符号的码元内,从而形成ISI。奈奎斯特指出,只要把通信系统( 包括发射机、信道和接收机) 的整个响应设计成在接收机端每个抽样时刻只对当前的符号有响应,而对其他符号的响应全等于零,则码间串扰的影响就能完全被抵消［6，7］。
无线通信中最常用的带限滤波器是升余弦滤波器,能满足奈奎斯特准则,即抽样时刻ISI为0。滤波器的传递函数为:
时域冲击响应表示为:
式中,滚降因子 α 对滤波器设计具有重要影响。α 增加则占用带宽增加,冲击响应在相邻符号间隔内时间旁瓣减小,这意味着可以减小对定时抖动的敏感度。
应用于数字通信系统时,升余弦滤波器通常利用窗函数法对式( 4) 所示的理想冲击响应进行截短,以FIR的形式实现。
2.2 等波纹奈奎斯特滤波器
奈奎斯特滤波器又称为1 /L带滤波器,其幅频响应的截止频率等于 π/L,而冲击响应每隔L个抽样取值为0。等波纹奈奎斯特滤波器在很多场合可以代替升余弦滤波器,且需要资源更少。
典型的滤波器设计不仅应考虑通带、阻带及理想增益等参数,还应包括与期望传递函数之间的偏差( 即纹波)［8－10］。等纹波FIR滤波器非常有效地符合这些设计要求,且其设计协议最小化了与理想传递函数之间的最大偏差( 纹波误差) 。
利用等波纹最佳逼近法设计FIR奈奎斯特滤波器,其数学模型的建立和算法的推导是比较复杂的。篇幅所限,本文只对基本原则进行简略描述。假定设计滤波器的幅频特性为Hd( w) ,实际得到的滤波器的幅频特性为H( w) ,等波纹最佳逼近法是根据设计要求,导出一组条件,使H ( w) 最好地迫近Hd( w) ,即使整个迫近频率区域上的迫近误差绝对值
取最小。
等纹波算法通常都采用Parks-Mcclellan迭代方法来实现。可以利用该方法生成一符合设计公差方案的Chebyshev多项式,且该多项式有最小的长度。对于低通而言,多项式的长度,也就是滤波器的长度可以根据下面的公式来计算:
式中,εp为通频带纹波; εs为抑止频带纹波。
利用等波纹法设计滤波器可以明确地指定阻带和通带边缘参数,其过渡带宽可借助升余弦滚降系数 α 的概念计算得出
式中,Nupsm为过采样倍数。
由于滤波器在通带和阻带的误差是均匀分布( 等波纹性) 的,只需要更少的滤波器阶数,便可获得与常用窗函数法相同的滤波指标。
换而言之,当滤波器阶数相同时,等波纹滤波器则可使通带更平坦,阻带最小衰减更大。对数字滤波器的设计而言,阶数的降低意味着硬件资源的节省和处理时延的减小,适合于要求低滤波时延的应用系统。
2.3 高斯滤波器
在实际通信系统中,并不是所有的带限滤波都遵循奈奎斯特准则。高斯带限滤波便不满足奈奎斯特准则要求在相邻符号的峰值为零,并有截短的传递函数。其传递函数平滑且没有零点,函数形状强烈依赖于3 d B带宽Bt与码长Ts之积［11，12］。
高斯滤波器的连续时间冲击响应可表示为:
式函中数,表参示数为a: 定义为。传递
可以看出,滤波器时域冲击响应和传递函数均依赖于参数a,a增加则高斯滤波器占用的带宽减少,冲击响应脉冲展宽,相邻符号间的串扰ISI增加。
对式( 8) 所示的理想冲击响应进行抽样并截短,便可通过数字FIR结构实现滤波器,这种处理产生的近似误差主要包括截短误差和混叠误差2 种。前者源自以有限时长的冲击响应来近似无限时长的冲击响应。混叠误差则来源于数字采样速率有限,然而式( 9) 中描述的频率响应实际上并不局限于某个带宽内。
3 滤波器仿真及性能分析
假定对传输系统发射的MSK信号进行带限滤波,要求带限滤波器的阻带衰减达到60 d B,分别选择升余弦滚降滤波器、等波纹奈奎斯特滤波器和高斯滤波器3 种方式,采用低通型FIR数字滤波器进行实现。
带限滤波数字处理的过采样率选为8,基带信号成形的滤波器滚降因子选为 α = 0.75。则升余弦滚降滤波器阶数需要88 阶; 等波纹奈奎斯特滤波器阶数需要40 阶,其过渡频带宽为0.187 5; 高斯滤波器的阶数需要24 阶,其关键参数“带宽—码宽积”( 即参数a) 选为移动通信系统中常用的BtTs= 0.3。各种滤波器冲击响应的仿真结果如图2 所示。
滤波器的频率响应决定了滤波处理输出信号的功率谱密度形状,经各种滤波器处理后的信号的功率谱密度如图3 所示,并且与不进行任何带限滤波处理的MSK信号功率谱密度进行的对比。
滤波器阶数的多少决定了运算资源的需求量,处理每个输入样本值所需要的乘法器和加法器数量如表1 所示。可见,等波纹滤波器需要的资源不足升余弦滤波器的一半,高斯滤波器需要的资源则更少,不足升余弦滤波器的1 /3。
一般而言,带限滤波的特性应具有2 个要素: 一是阻带衰减应足够高; 二是滤波处理造成的符号间串扰应尽可能小。
仿真结果表明,升余弦滤波和等波纹滤波能够满足上面的2 点要求,高斯滤波则只满足其中的第一点要求。
由图3 可知,升余弦滤波和等波纹奈奎斯特滤波相比,达到相同的带外抑制指标时,后者所需的资源不到前者的一半。但等波纹滤波的阻带部分起伏较大,而升余弦滤波进入阻带后依然较稳定的持续下降。
高斯滤波可以最少占用资源实现带外抑制要求,但由于高斯滤波器不满足消除ISI的奈奎斯特准则,会导致传输系统的误码性能相对较差,这个问题接下来将进行讨论。
此外,如果需要加快高斯滤波器的带外抑制下降速度,可以减小滤波器的带宽—码宽积。例如,带宽—码宽积由0.3 变为0.195 时,滤波器带外抑制的阻带边缘位置与升余弦滤波和等波纹滤波相近。但代价是,一方面滤波器的阶数会由24 阶增至40 阶左右( 与等波纹滤波器相近) ; 另一方面传输系统的误码性能会进一步损伤。
不同的带限滤波器不仅在运算资源和处理时延方向有差异,并且系统传输误码性能也不相同。采用不同的带限滤波器时,系统传输的误码性能,如图4所示。假定接收端采用非相干解调方式。
由图4 可以看出,采用升余弦滤波和等波纹滤波的系统传输误码性能基本一致,而高斯滤波的性能相对较差。如上所述,通过降低高斯滤波器的带宽—码宽积可以加快滤波器带外抑制的下降速度。图4 中还给出了高斯滤波器的时延—带宽积由0.3变为0.195 时,系统传输的误码性能。可见时延—带宽积0.195 时误码性能进一步下降,原因在于减小占用频谱会造成ISI增加,误码性能进一步恶化。
需要指出,应用中为实现对信号的最佳接收,常用一对匹配的根升余弦滤波器,分别置于发射和接收端。与此类似,等波纹奈奎斯特滤波器也可以用一对匹配的收发滤波器来等效,发端为最小相位滤波器,而收端为最大相位滤波器。
不过,对于相同的滤波阻带衰减指标要求( 如60 d B) 而言,采用匹配滤波器会导致滤波器阶数的急剧增加。篇幅所限,文中不再对此进行详细讨论。
4 结束语
对于无线信号传输而言,为了充分利用频带资源,在有限的频带范围内容纳更多的传输信道,需要尽量消减传输信号在相邻信道中的形成的带外辐射。经典的升余弦滤波器和等波纹奈奎斯特滤波器均可满足奈奎斯特准则要求,但等波纹滤波器可以更少占用资源和处理时延达到相同的指标要求。高斯滤波器不满足消除ISI的奈奎斯特准则,需要在占用带宽和ISI之间进行折衷,但它适于使用非线性RF放大器以及不能精确地保持传输脉冲波形不变的调制技术。
摘要：针对MSK扩频调制信号的带限滤波问题,对升余弦滚降滤波、等波纹奈奎斯特滤波和高斯滤波技术进行研究。采用了理论模型结合仿真验证的方式,对各种带限处理的带外抑制效果、占用资源和处理时延以及系统传输误码率等多方面的性能进行了分析。仿真表明,和升余弦滚降滤波相比,高斯滤波的运算资源很少但误码率性能差,而等波纹奈奎斯特滤波则可以相对较少地运算资源,实现与升余弦滚降滤波相接近的传输性能。因此,工程应用中应在传输性能和实现代价之间权衡取舍,以获得合适的处理效果。
关键词：MSK扩频调制,带限滤波,等波纹奈奎斯特滤波器,高斯滤波器
参考文献
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