地球化学背景值

地球化学背景值（通用4篇）

地球化学背景值 篇1

确定地球化学背景值与异常下限的方法有很多种。早期采用简单的统计方法求平均值与标准偏差;用直方图法确定的众值或中位数作为地球化学背景值。以后又发展到用概率格纸法求背景值与异常下限等。随着对地球化学背景认识的加深, 采用求趋势面或求移动平均值等方法来确定背景值和异常下限值, 20世纪70年代以来, 多元回归法、稳健多元线性回归分析法、克立格法、马氏距离识别离散点群法等多种方法常作来研究地球化学的背景值和异常下限值。

考虑到方法的实用性、有效性、易操作, 通过几种方法在工作区的试验对比, 迭代法确定的背景值及异常下限较低, 更有利于突出弱异常。因此, 工作区背景值和异常下限值的计算方法多选用迭代法。

迭代法处理的步骤:a.计算全区各元素原始数据的均值 (X1) 和标准偏差 (Sd1) ;b.按X1+n Sd1的条件剔除一批高值后获得一个新数据集, 再计算此数据集的均值 (X2) 和标准偏差 (Sd2) ;c.重复第二步, 直至无特高值点存在, 求出最终数据集的均值 (X) 和标准偏差 (Sd) , 则X做为背景值C0, X+n Sd (n根据情况选1.5或2, 3) 做为异常下限Ca。

采用迭代法求出某工作区各地球化学元素特征值及各参数 (见表1) 。

上述只是给定了一种计算异常下限的一种计算方法, 计算出的异常下限值只是个参考值, 在实际应用的过程中, 需要对数据处理结果做具体分析, 最终根据实际情况确定背景值和异常下限值。例如:

在1:20万区域化探中, 由于一般取水系沉积物, 样品经过了充分的均一化, 方差较小, 数据基本为正态分布, 剔除不了几个野值, 此时计算下限与实际使用值变化不是很大 (当然1:20万或1:25万由于区域较大, 各分区中元素背景不一, 异常下限是不同的, 应该适当考虑分区, 分别确定异常下限) 。

1:5万相对样点较密, 部分可能涉及矿区, 数据变化较大, 此时必须考虑剔除野值, 保证数据为正态分布。

1:1万等数据以土壤或岩石为主, 此时主要在矿区工作, 数据高的达矿体边界品位, 低得很低, 在剔除野值, 保证数据为正态分布后, 剩余数据计算的异常下限明显偏低, 有时导致2/3区域都为异常, 曾经有个工作区, 做过1:1万岩石测量, 经计算Au异常下限为30PPb, 最后使用值为80PPb。矿区化探异常下限的确定需根据实际情况。

异常下限使用值的确定应考虑异常在地球化学图面上的分布:

a.异常占总体地球化学图面的15%左右;

b.保证异常的连续性 (不出现较多的星点状异常) 。

在异常下限确定后, 一般以异常下限的1、2、4 (8) 倍划分为外、中、内带, 它是推断是否矿致异常的基础, 一般矿致异常都有明显分带, 而地层引起的异常一般只出现高背景, 也即无分带现象。

综上所述, 异常下限值是一个相对值, 不同人给出的异常下限值可能不同, 要结合数据自身特点和异常形态综合考虑。化探数据是以多元素或多变量为特征的。化探数据处理既研究元素之间的相互关系, 又研究样品之间的相互关系。分析结果是将数据按变量或按样品划分成若干类, 使各类内部性质相似而各类之间性质相异。在特定情况下地球化学数据可能只反映单一的地质过程, 这样的化探数据是所谓“来自一个母体”的。一般情况是几种地质过程作用在同一地区, 他们相互重叠或部分重叠, 这反映在地球化学数据上就具有“多个母体”的特征。化探数据处理需要鉴别和分离这些母体, 即对化探数据值进行分解, 确定出不同母体的影响在数据中所产生的分量。在确定和分离地球化学母体时常常涉及化学元素的分布形式, 如正态分布或对数正态分布等。

地球化学元素的异常下限值确定是地球化学中重要的问题之一, 目前还没有一个令人完全满意的计算方法, 传统的化探异常下限值计算是基于元素的地球化学分布呈正态分布或元素含量在空间上呈连续的变化这一假设为基础的, 而事实上地球化学元素含量的空间分布是极其复杂的, 研究表明, 地球化学景观可能是一个具有低维吸引子的混沌系统。

摘要：针对地球化学背景值及异常下限确定方法展开了论述。

关键词：地球化学背景值,异常下限,方法

探求向量背景下最值问题的突破口 篇2

一、从基本定义、基本公式入手

从向量的基本定义、基本运算法则及基本公式入手,思路1是把向量问题转化为代数或三角问题,思路2是简化已知向量等式(不等式)和待求最值的式子.

例1 (2010年全国高中数学联赛吉林省预赛试题)已知圆O的半径为1,半径OA,OB的夹角为φ(0<φ<π),φ为常数,点C为圆上动点,若(x,y∈R),则x+y的最大值为______.

解析:由题意得,,

于是,.

思路1:(利用基本不等式)1=x2+y2+2xycosφ=(x+y)2-2xy+2xycosφ=(x+y)2-2xy(1-cosφ)≥(x+y)2-2(1-cosφ)·,

所以.

当且仅当时,x+y取得最大值.

思路2:(利用判别式法)令x+y=t,则y=t-x代入1=x2+y2+2xycosφ化简整理,得(2-2cosφ)x2+(2tcosφ-2t)x+t2-1=0,

故x+y的最大值为.

点评:(1)该题的“原型”是2009年高考安徽卷理科第14题,如出一辙,其解答思想方法完全一样.(2)本题正是从向量数量积的基本定义和向量的基本运算法则入手,在已知向量等式两边同时平方,把向量问题转化为1=x2+y2+2xycosφ代数问题,运用基本不等式或判别式求得结果.

例2 (2011年高考辽宁卷·理10)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为()

解析:由(a-c)·(b-c)≤0,得a·b-a·c-b·c+c2≤0.

因为a·b=0及c2=1,所以a·c+b·c≥1.

于是选(B).

点评:从最基本的运算出发,将(a-c)·(b-c)展开并对a+b-c模的计算进行转化,便能将题中的其他条件充分利用,从而将问题解决.

二、从坐标入手

因为向量可以用坐标表示,所以通过建立平面直角坐标系,把向量转化为坐标,就把向量问题转化为代数问题,接下来的工作就是去解决代数问题.

例3 (2011年高考天津卷·理14文14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为______.

解析:以点D为原点,分别以DA、DC所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系,如图1所示.

不妨设DC=t,DP-=x∈[0,t],易得D(0,0)、A(2,0)、B(1,t)、C(0,t)、P(0,x),则=(2,-x),,故,

所以,

当时,取得最小值5.

点评:本题联想到向量的另一种表示形式——坐标表示,则的计算就显得明快,易于入手,进而大大减少思维的过程.这种将平面图形问题转化为有关点的坐标的代数问题来研究求解的方法称之为坐标法,应引起我们的高度重视.

例4上述例2.

解析:因为a·b=0⇔a⊥b,所以想到分别以a,b所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,如图2示,则依题意可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),且x2+y2=1,于是(a-c)·(b-c)≤0⇔x+y≥1,所以,当且仅当x+y=1时,|a+b-c|取得最大值1.故选(B).

点评:此解法与例2的解法各有千秋,两者都值得重视.

三、从图形入手

向量是沟通代数与几何的重要工具,它集数与形于一身,既有代数的抽象性,又有几何的直观性,因而向量是几何研究的一个有力工具.恰当地将抽象的向量语言转化为图形语言,通过图形的直观性去观察、分析,就可以寻找到解决问题的突破口,这种方法称为图解法,这种思路是破解向量背景下最值问题的一种有效途径.

例5 (2010年高考浙江卷·理16)已知平面向量α、β(α≠0,β≠0)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则|α|的最大值是______.

解析:如图3所示,记,则.

由α与β-α的夹角为120°,得∠OAB=60°,

在△OAB中,由正弦定理,得.

故,所以当∠OBA=90°时,OA取得最大值,即|α|的最大值为.

点评:(1)本题由β-α联想到向量减法的几何意义,恰当地将条件转化为图形语言,将向量问题转化为三角问题,借助解三角形的方法来处理,有效地建立了向量与三角的联系,使问题变得清晰明了.(2)此题解法较多,笔者认为上述解法直观、简捷,容易被学生接受,值得我们一线教师重视.

例6 (2011年高考大纲全国卷·理12)设a,b,c满足|a|=|b|=1,,=60°,则|c|的最大值等于()

解析:如图4所示,设,则.

由|a|=|b|=1及,得∠AOB=120°.又由=60°,知∠ACB=60°.

因此∠AOB与∠ACB互补,所以O、A、C、B四点共圆,根据图形可得当OC为该圆的直径时,|c|最大.

此时,∠OAC=∠OBC=90°,又OA=OB=1,所以Rt△OAC≌Rt△OBC,得∠AOC=∠BOC=60°.

于是.故选(A).

点评:(1)该题的“原型”是2008年高考浙江卷理科第9题:已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是()

地球化学背景值 篇3

红外弱小目标的检测一直是红外监视告警系统中的关键技术之一。探测的红外目标因成像距离远、面积小而缺乏形状和结构特征,且由于复杂的红外图像背景而呈现低信噪比、低对比度等特点。若想要很好地检测出此类红外弱小目标,则必须对图像进行预处理,最有效的办法就是对复杂的红外背景进行大幅抑制,然后进行阈值分割检测出目标位置,所以能否高性能地抑制背景决定了后续目标虚检、漏检的概率。

目前,红外图像的背景抑制技术取得了很大的发展,常用的方法包括空域和频域滤波、小波域滤波、SVD滤波、数学形态滤波等方法[1,2,3,4,5,6,7,8],各种方法都有自己的特点,能实现一定的背景抑制。一般的空域和频域滤波能够实现简单的背景抑制,但对红外图像中背景起伏比较大且目标局部信噪比较低时,目标可能当作背景被抑制掉,或者不能完全平滑掉背景边缘;采用小波域等多尺度多分辨率滤波能够得到很好的结果,但算法相对复杂,不能取得很好的时效性;单一的SVD滤波和数学形态滤波等会在背景抑制后使目标的强度被弱化,使得目标与残留背景的对比度变低,后续目标检测时选的目标点过多,误检的机率变大。

因此本文结合红外图像中背景、目标和噪声的特点,提出了一种将改进的SVD和Tophat相结合的红外图像背景抑制算法。首先通过奇异值分解对红外图像进行非线性增强,以提高目标与目标周围背景的对比度,然后再利用形态学滤波中的Tophat变换进行滤波达到背景抑制的目的。该方法不仅能抑制强起伏背景,而且能够增强目标信号,从而达到较好的检测数值指标和视觉效果。

1 基于奇异值分解的红外图像增强

1.1 奇异值分解[9]

设数值矩阵A是M × N的复矩阵,且A的秩为r≤min(M,N),则存在正交(或酉)矩阵UM×M和矩阵VN × N,使得A的SVD可表示为:

式中:,是r阶对角矩阵,Σ = diag(σ1,σ2,…,σr),σi>0(i=1,2,…,r)为矩阵A的非零奇异值;UM × M=[U1,U2,···,UM] 称为A的左奇异矩阵,由M阶列向Ui=[U1i,U2i,···,UMi]T, i = 1,2,⋯,M构成;VN × N=[V1,V2,…,VN]称为A的右奇异矩阵,由N阶列向Vi=[V1i,V2i,…,VNi]T,i = 1,2,…,N构成;AAT的正交单位特征向量组成U,特征值组成 ΓΤΓ,AΤA的正交单位特征向量组成V,特征值与AAT相同,因此式(1)可以改写为:

由式(2)可以得出:用r个非零奇异值对应的r个分量的线性和可实现对矩阵A的重构。

由奇异值分解的性质可以得知,如果对二维红外图像进行SVD分解,则奇异值矩阵中奇异值的大小反映了图像能量的分布。如图1 所示,图1(a)是一幅大小为128×128的真实云天背景的红外场景图像,其中添加信噪比不大于2 的弱小目标;图1(b)为图像对应的奇异值曲线图。通过图1(b)可以得知,图像矩阵的奇异值在前10~20个序号之间急剧下降,后续几乎为零,所以图像的大量信息主要集中在前面十几个较大的奇异值中。

根据图1(b)的奇异值曲线图分别采用前15 个和前100 个奇异值重构的图像,如图1(c)和(e)所示,图1(d)和(f)分别为对应的灰度三维图。从图中信息可以看出,当采用奇异值矩阵中前15 个奇异值重构图像时,重构后的图像就已经携带了大量的图像信息,主要表现为图像的背景等低频分量;当重构图像采用的奇异值增加到100 个时,重构图像变得清晰,增添了图像的细节信息,也就是对应图像的高频分量。因此,选取不同数量的奇异值对图像进行重构,可以得到不同的结果。

1.2 改进奇异值分解的红外图像增强

将奇异值分解用在红外图像背景抑制方面,主要是通过选取有效的奇异值来重构图像的低频背景信息,然后用原始图像减去重构图像就可以实现背景的抑制。但此种方法存在目标强度变弱,对高频信息抑制有限等情况,特别是在复杂红外背景中更是不利于后续目标的分割。因此,本文提出先将红外图像进行增强,然后再背景抑制。

图像增强的方法有很多,本文根据红外图像中目标、背景和杂波的关系,背景主要是低频成分,目标和杂波及其图像轮廓等是高频部分,目的是要增强目标的强度,就是要对图像的高频分量进行增强。而将原图像进行奇异值分解后,根据奇异值分解的性质,目标和杂波及其图像轮廓等高频部分信息主要集中在后续小的奇异值上,因而采用对奇异值进行对数变换的方式来实现。

对数变换是一种常用的非线性变换,对图像奇异值进行对数变换,对数曲线在奇异值比较低的地方斜率大,奇异值较大的地方斜率比较低,因而通过对数变换提升了红外图像在较暗区域的对比度,因而能增强显示出暗部的细节,同时也增强目标信号的能量。对图像奇异值采用对数变换的形式可表达为:

式中:σi是图像的奇异值;λi为变换后的奇异值;k为常数,可以根据输入图像适当调整。由于k值相当于是对非线性变换后再作线性增强,所以当目标灰度值较低时为进一步增大目标能量可以选取大的k值。由于k值的增大也会增强其他的高频分量,所以会影响后续的背景抑制程度,根据本文多次实验比较,在强起伏背景下建议选取3 左右。图2 给出了图1 采用k= 5 和k = 10时的增强结果。

2 改进的奇异值分解和形态滤波相结合的弱小目标背景抑制

2.1 形态学Tophat滤波的背景抑制

Tophat变换称为高帽变换,它是灰度形态学的一种处理方法。该变换使用上部平坦的柱体或平行六面体(像一顶高帽)作为结构元素。图像的高帽变换可以记为:

它是将原图像与进行形态学开运算后的图像相减得到的残差图像[10]。开运算指的是先对图像进行腐蚀然后再膨胀:

通过开运算可以去掉图像上那些与结构元素的形态相吻合的“高帽”结构。通过SVD非线性增强后的红外弱小目标图像的目标点已经远比周围的背景像素要亮,因此可以认为目标点是红外图像的“高帽”,因而通过开运算实现了红外图像背景的预测,再用原图像减去开运算后的图像就可以得到背景抑制后的图像。

2.2 基于改进的奇异值分解和形态滤波的弱小目标背景抑制算法的实现

由于采用对数非线性增强后的红外图像对背景的轮廓等高频分量同时也进行了增强,所以如果继续选取部分奇异值进行重构来抑制背景,抑制后的背景会保留很多轮廓细节,因而本文采用改进的奇异值分解和形态滤波Tophat相结合的弱小目标背景抑制算法进行背景抑制。

本文算法具体实现步骤如下:

(1)读入包含红外弱小目标图像A;

(2)对图像A的数值矩阵进行奇异值分解,[U,Σ,V]= SVD(A), 得到奇异值矩阵:Σ =diag(σ1,σ2,…,σr),σi>0(i=1,2,…,r);

(3)对奇异值σi采用式(3)进行对数变换,得到优化后的奇异值矩阵;

(4)利用 λi构成的奇异值矩阵重构增强后的红外图像;

(5)对增强后的红外图像作Tophat变换,最终得到背景抑制后的目标图像。

3 实验结果与分析

采用128 pixel×128 pixel的云天背景的红外图像,256 灰度级,信杂比为1.5 左右,对比度约为8%。给出了两组采用本文方法进行背景抑制处理的结果,并将其与SVD和Tophat滤波的抑制结果进行了比较。

3.1 参数指标

图像背景抑制结果的好坏通常采用以下几个参数来衡量。它们分别是:

图像信杂比:SCR = |Gt- Gb|/σbc

图像信杂比增益:ISCR = SCRout/SCRin

图像对比度:CR=|Gt-Gb|/|Gt+Gb|×100%

图像对比度增益:ICR=CRout/CRin

图像背景抑制因子:BSF =σin/σout

式中:Gt,Gb代表目标的灰度均值和目标周围一定区域内的灰度均值;σbc是背景的均方差;σin和 σout分别为输入图像的均方差和输出图像的均方差。

3.2 实验结果

为了比较本文算法的优势,特选取两幅不同信杂比和不同对比度的弱小目标图片进行验证。实验结果如图3,图4 所示。两幅图中的目标仅占几个像元,呈现为点状,没有任何结构与形状特征,且图片背景为天空背景,具有强烈起伏的云层,所以两幅图片的性噪比都不高。第一幅图片的目标点处于白云之上,和周围背景相比,强度略高于背景。第二幅图片的目标恰好处于云层的边缘,目标给强烈起伏的云层干扰了,造成目标及周围背景的对比度很低。

将两幅图片分别采用SVD方法和Tophat变换进行实验,然后与本文的方法进行对比,本文奇异值图像增强选择参数k=3,图3(b1)和图4(b1)为SVD方法进行背景抑制,采用文献[8]中提到的偏差指数来选择重构的奇异值个数。图3(c1)和图4(c1)为直接将图像用Tophat变换进行处理的结果。图3(d1)和图4(d1)为本文所提方法处理的结果。为了更加直观地观察处理结果,给出了每种方法处理的结果对应的三维视图,如图3(b2),图3(c2),图3(d2)和图4(b2),图4(c2),图4(d2)所示。评价指标参数值如表1 所示。

3.3 结果分析

由实验结果可以看出,经SVD方法处理后,图像背景能够得到一定的抑制,但目标的强度明显减弱,如果进一步加大抑制,将会使目标变得更加的微弱,不利于后续目标的分割。采用Tophat变换直接处理虽然也能进行背景抑制,但在目标与背景对比度不高的情况下会有一定的误差。从第二幅图用Tophat变换处理的三维结果来看,处于图片背景的边缘也留有一定的强度,它会严重影响后续目标的检测,并且从大量的仿真实验验证得出,Tophat变换只针对信噪比较高的场景有良好的效果。而采用本文的方法处理都能很好地对复杂背景进行抑制,不但云层被平滑掉,连云层的边界也能很好的平滑掉,使得图像的信杂比和对比度得到很大改善,并且用表1 中的评价指标参数值也可以推断出本文的算法具有一定的实用价值。

4 结论

针对复杂背景中红外弱小目标检测的背景抑制问题,利用奇异值分解的方法实现对红外图像的非线性增强,然后将其与Tophat变换相结合,提出了一种新的红外弱小目标背景抑制算法。将算法利用真实红外场景序列图像进行验证,结果证明了该方法抑制背景的有效性。该算法在对比度增益和信杂比增益以及背景抑制程度上都明显优于单一的SVD和Tophat变换,因而可以将该算法作为红外弱小目标检测的理论依据之一,具有一定的实用性。

摘要：红外弱小目标的复杂背景抑制一直是弱小目标检测与跟踪的一个难点。提出一种改进的奇异值分解和形态滤波Tophat变换相结合的红外弱小目标背景抑制算法。首先通过奇异值分解得到原红外图像的奇异值矩阵和左右奇异矩阵,然后通过对奇异值进行对数非线性变换,利用优化后的奇异值矩阵进行重构得到增强对比度的红外图像,最后利用形态滤波中的Tophat变换进行滤波达到背景抑制的目的。实验结果表明,该算法能够很好地实现红外弱小目标图像的背景抑制,并能使目标信号得到保存和增强。

关键词：红外图像,目标检测,背景抑制,奇异值分解,形态滤波

参考文献

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[9]张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社,2004:341-400.

地球化学背景值 篇4

灰色预测模型是灰色系统理论的重要组成部分,它主要是基于现有的信息通过序列的累加生成揭示系统的发展规律趋势,其具有小样本、贫信息的特点[1,2,3]。自从邓聚龙教授提出灰色预测模型以来,专家、学者从模型扩展、模型应用等方面展开研究,得到了许多重要的理论和实际应用成果[2,3]。目前的灰色预测模型主要有GM(1,1)、GM(1,N)、GM(2,1)、DGM(1,1)、GM(r,h)和灰色Verhulst模型等,而灰色Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程,为更有效地解决人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等具有饱和状态的过程的实际问题,一些专家学者分别拓展和优化了灰色Verhulst模型。其中,党耀国,刘思峰,刘斌利用新信息优先原理,以x(1)(n)为灰色预测模型的初始条件,构建了灰色Ver-hulst模型,大大提高了传统灰色Verhulst模型的精度[4];梁庆卫,宋保维,贾跃针对鱼雷研制费用的累积曲线呈近似的s形状,他们给予灰色系统的思想与方法,构建了鱼雷研制费用灰色Verhulst模型[5];偶昌宝等和刘玉成分别针对在预测建筑物沉降存在的问题,对灰色Verhulst模型进行改进,提出不等时距灰色Verhulst模型[6,7];刘威,徐伟针对具有饱和状态的过程的数据,利用最小一乘准则统一模型参数估计和精度检验的准则,并基于群体智能算法———粒子群算法来求解新的预测公式的最小一乘参数[8];何文章,吴爱弟从参数估计方法的角度利用线性规划对灰色Verhulst模型进行了改进,并取得较好的模拟预测效果[9];王正新等对非齐次指数函数作倒数生成,提出了无偏灰色Verhulst模型,完全消除了该模型自身所固有的偏差[10];李军亮,肖新平,廖锐全在灰色Ver-hulst模型和等间隔GM(1,1)幂模型基础上提出含有幂指数的非等间距灰色Verhulst模型,并利用粒子群算法求解幂指数,克服了灰色Verhulst模型的缺陷[11];王正新等对灰色Verhulst模型分别从初值与灰导数进行改进,构建了新的灰色Verhulst模型,与传统灰色Verhulst模型具有更好的模拟效果[12];熊萍萍等针对非等间距灰色Verhulst模型,通过对传统灰色Verhulst模型背景值的误差来源进行分析,提出利用最小二乘法求解时间序列响应函数的参数c,并给出了非等间距灰色Verhulst模型的建模方法[13,14];杨德岭等针对预测系统为区间灰数情形的建模问题,利用灰数和灰度的思想和方法,构建了区间灰色Verhulst模型[15]。

纵观目前灰色Verhulst模型的相关研究,其大多是从初值或者背景值单角度利用最小二乘法、遗传算法、线性规划等方法对模型进行优化,而将两者进行同时考虑对模型进行优化的文献鲜见。鉴于此,针对灰色Verhulst模型的优化问题,利用倒数变换和最小偏差优化模型求解背景值参数与初值参数,并以案例验证了优化的模型能够有效提高预测精度和模拟精度。

2 灰色Verhulst模型

定义1[2,3]设X(0)= {x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}为原始非负数据序列,X(0)的一阶累加生成序列为X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)},X(1)的紧邻均值生成序列为Z(1)= {z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)},则称

根据式(1)利用最小二乘法,估计出参数a,b的值,得

为灰色Verhulst模型的白化方程。

3 基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型

由定理1即式(4)可知,灰色Verhulst模型的模拟与预测精度取决于参数a,b以及初值的选取,鉴于此,我们认为提高灰色Verhulst模型的模拟与预测精度,应该从背景值和初值两个方面着手对模型进行优化处理,求解模型参数。

3.1 基于背景值优化的灰色Verhulst模型

由式(2)可只知,a,b的取值取决于背景值z(1)(k),而z(1)(k)的构造方式直接影响到灰色Verhulst模型的模拟和预测精度。为减少背景值造成预测模型的误差,首先需要明确灰色Verhulst模型的背景值误差来源,进而才能对其采取有针对性的措施手段优化模型。对式(3),在区间[k-1,k]上求积分可得

即

并将其表示在坐标轴内,用梯形的面积来代替曲线x(1)(t)在区间[k - 1,k]上与t轴所围成的面积,而阴影部分就是由背景值所造成的误差,k-1如图1所示。

比较式(5)与式(1)知,背景值所造成的误差来源实质上就是灰色Verhulst模型的背景值的。为了消除由背景值z(1)(k)构造所产生的误差,需要优化背景值。

为基于背景值优化的灰色Verhulst模型。

为方便叙述,背景值优化的灰色Verhulst模型中的参数,仍记为(a,b)T=(BΤB)-1BΤY,其中,B=

根据式(3)可设方程解为

①参数C,D,A的求解

首先将X(1)作倒数变换,得倒数变换序列Y(1)={y(1)(1),y(1)(2),…,y(1)(n)},则

由于序列X(1)递增,故序列Y(1)递减。此时,对Y(1)作一次反向累减生成,得到一次反向累减生成序列

由于则Y(0)为Y(1)的一次反向累减生成序列,则可知

又由y(0)(k)=DeCk(1-eC),根据式(8)可得:

又由y(0)(n)=y(1)(n)=A+DeCn,根据式(8)和式(9)分离变量可得:

②背景值z珔(1)(k)和μ(k)的求解

作变量替换,令y=A+DeCt,由t∈[k-1,k],可得y∈[A+DeC(k-1),A+DeCk],且,则有

同理,可得

③参数a,b的求解

为估计式(6)中的参数a,b,必须首先利用倒数变换方法先求解出参数C,D,A,并将其代入求得,进而根据最小二乘法得可获得基于背景值优化的灰色Verhulst模型参数

3.2 初值优化的灰色Verhulst模型

除了背景值的构造方式会影响灰色Verhulst模型模拟与预测精度,初值条件的选取也是一个重要原因。这是由于传统的灰色Verhulst模型都是建立在拟合曲线过点(1,x(1)(1))的基础之上,而事实上,最优的拟合曲线并不一定经过历史数据中的某一点。为了获得最优的拟合曲线,提高模型的建模精度,这里需要对模型的初值进行优化。不妨设

利用最小二乘法,根据的误差平方和最小,可建立一个无约束条件的优化模型,如下所示

式(14)是关于c的一元二次函数,因此一定存在极小值。令,即可求得唯一驻点。经计算得到

最终将式(15)代入式(13)就可得到^x(1)(k)。

3.3 基于背景值和初值优化的灰色Verhulst的建模步骤

Step1:将X(0)作一次累加生成序列得X(1),并将X(1)做倒数变换,得倒数变换序列Y(1),对Y(1)作一次反向累减生成,得到Y(0);

Step2:利用背景值优化,分别求得参数C,D,A,并将C,D,A代入(k)和μ(k),利用最小二乘法求a,b;

Step3:优化初值,构建无约束优化模型,求导获得参数c;

Step5:最后对序列X(1)和原始序列X(0)进行模拟预测,求解其相对误差和平均相对误差。

4 应用实例

以全国高速公路2001~2011年事故死亡人数为原始数据(见表1)。由于原始数据本身呈S的过程,而灰色Verhulst模型主要用于描述具有饱和状态的过程,所以可以用灰色Verhulst模型进行预测。为更好地说明本文方法能够更高的模拟和预测模型精度,本文将所构建的基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型(记为模型3)与文献[2]、文献[3]传统灰色Verhulst模型(记为模型1)和文献[14]所构建的灰色Verhulst优化模型(记为模型2)进行对比分析。

(单位:万)

设X(1)为原始数据X(0)一次累积生成序列,即X(0)为X(1)的1-IAGO,其数据见表1,在建模中,文中采用序列前8个数据作为模拟数据,后2个数据作为预测数据。对X(1)序列l利用Matlab 7.0编程求解模型参数,可分别建立模型1、模型2和基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型。

模型1的时间响应函数为:

模型2的时间响应函数为:

模型3即基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型的时间响应函数为:

这三种模型对序列X(1)的模拟值和相对误差见表2、预测值和相对误差见表3。

由表2和表3可知,灰色Verhulst模型和文献[14]所构建的灰色Verhulst优化模型模拟精度分别为0.14211和0.12534,本文所构建的基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型为0.016545,显然模型2的模拟精度大于模型1的模拟精度,而本文的模拟精度远远高于文献[2]、文献[3]和文献[14]所构建的灰色Verhulst优化模型,这是由于传统灰色Verhulst模型忽视了背景值和初值对模型模拟精度和预测精度的影响,尽管模型2 对传统灰色Verhulst模型的背景值进行了一定程度上的优化,但是其忽视了初值对模型的影响。同时本文所构建优化模型的一步、二步预测误差均小于文献[2]、文献[3]和文献[14]所构建的灰色Verhulst优化模型的预测误差,结果表明,基于背景值和初值优化的灰色Verhulst模型具有更高的模拟和预测精度,通过背景值和初值优化能够更有效地挖掘原始数据发展规律。

5 结论