迭代增强

迭代增强（共4篇）

迭代增强 篇1

0 引言

随着CT在临床诊断中的应用日益增加, 患者受到电离辐射损伤的风险越来越大, 这一问题已经受到了广大医生和患者的普遍关注[1]。肠道CT扫描范围大 (从膈顶至耻骨联合下) 、期相多 (至少包括动脉期和门静脉期) , 且部分疾病或术后患者需要反复多次扫描, 使其辐射剂量更大。因此, 进行肠道CT检查时采用低剂量扫描非常必要。传统的降低CT扫描辐射剂量的方法主要是调整扫描参数, 如自动调节管电流或管电压、增大螺距等[2,3]。但是当管电压或管电流降低时, 图像质量就会下降。迭代重建 (iterative reconstruction, IR) 算法因在图像重建中能选择性地识别并去除噪声, 因而能在降低扫描参数的情况下减少图像噪声, 改善图像质量, 已被广泛应用于多种CT。本研究旨在通过评价图像质量和辐射剂量, 探讨将IR应用于肠道低剂量CT增强扫描的可行性。

1 资料和方法

1.1 水模预实验确定最佳低剂量CT扫描参数

取一个直径25.2 cm的圆柱形CT水模, 先后用常规肠道CT扫描条件及多个低剂量CT扫描条件进行扫描。常规扫描参数:管电压120 k V, 参考管电量350 m As;图像重建算法:滤过反投影 (filtered back projection, FBP) , 重建核:B30f。低剂量扫描参数:管电压均为100k V, 参考管电量分别设为500、450、400、350、300、250、200 m As;图像重建算法:均采用正弦图确定迭代重建 (sinogram affirmed iterative reconstruction, SAFIRE) (Siemens Healthcare) , 重建核:I30f。2种扫描其余参数相同:螺距1.0, 扫描层厚0.6 cm, 重建层厚1.5 cm, 重建间隔1.2 cm。

扫描后分别测量各组图像噪声, 测量时同一组图像内连续取5个层面, 每个层面内均匀分布5个大小约为1 cm2的兴趣区 (region of interest, ROI) 。结果发现2个低剂量组的图像噪声接近于常规剂量组, 2个低剂量组的图像噪声分别为100 k V、350 m As组: (12.97±2.40) HU, 100 k V、300 m As组: (14.28±2.47) HU;常规剂量组图像噪声为 (13.64±2.17) HU。经2个独立样本t检验统计分析, 2个低剂量组与常规剂量组相比, 差异均无统计学意义 (P>0.05) (如图1所示) 。其余各组图像噪声与常规剂量组相比差异均有统计学意义 (P<0.05) 。因此, 本研究选取其中辐射剂量较低的一组参数作为临床实验中低剂量组的扫描参数。

注:图内上部数值为图像噪声 (±s, HU) , 下部数值为主要扫描和重建参数

1.2 临床实验

1.2.1 患者资料

选择本院2013年6月至10月因某些临床指征拟行肠道CT增强扫描的患者80例, 其中男39例、女41例, 平均年龄51.0岁 (16~84岁) , 临床病症主要有腹痛、腹泻、腹胀、消化道出血等。所有患者随机纳入常规剂量组 (40例) 和低剂量组 (40例) 。患者入组标准为体质量指数 (BMI) <25 kg/m2, 对碘造影剂过敏、肾功能不全及无法配合闭气者被排除入组。所有患者均签署了知情同意书。

1.2.2 患者肠道准备、图像采集

检查前1 d嘱患者进流质饮食, 晚饭后用开水约1 500 m L泡服番泻叶6~10 g, 腹泻清肠。检查前约1.5 h内分5次口服2.5%等渗甘露醇2 000 m L, 使肠道充盈, 扫描前10 min肌注山莨菪碱10~20 mg, 以减少肠蠕动。所有检查均使用双源CT扫描仪 (SOMATOM Definition Flash;Siemens Medical Solutions, Forchheim, Germany) 。扫描时患者取仰卧位, 双臂上举, 头侧先进, 扫描范围均由膈顶至耻骨联合下缘水平。扫描参数详见表1。造影剂总量约65~75 m L, 均使用高压注射器以2.5~3.0 m L/s的流速经肘前静脉注入, 于开始注入对比剂后60~75 s行门静脉期扫描。

1.2.3 主观图像质量评价

所有2组图像的主观质量均由2位高年资放射科医师在不知道扫描参数和重建算法的前提下在工作站 (syngo MMWP VE 36A, Siemens Healthcare) 上盲法评估。观察的图像包括轴位图像、冠状位和矢状位重建图像, 观察的脏器包括胃、十二指肠、空回肠、结直肠等消化道, 以及腹主动脉、肠系膜上动静脉和门静脉等血管, 还有肝、胆、胰、脾和双肾等实质器官。所用窗宽均为300 HU, 窗位均为40 HU。主观图像质量计分根据图像清晰度、对比度、边缘锐利度等, 采用5分法进行评价[4]。计分标准:1分:噪声或伪影太大, 不能诊断;2分:噪声较大或伪影明显, 使图像质量较差, 无法明确诊断;3分:有轻度噪声或伪影, 但不影响诊断;4分:轻微的噪声或伪影, 可满足诊断;5分:没有任何伪影, 图像质量好。图像质量计分≥3分即认为是具诊断性图像质量。2位阅片者意见不一致时协商解决。

1.2.4 客观图像质量评价

将圆形兴趣区分别置于肝右叶、椎旁肌肉、膀胱、皮下脂肪、腹主动脉及门静脉 (主干) 进行测量。在门静脉和皮下脂肪ROI大小约为0.50 cm2, 其余测量点ROI大小均约为1.00 cm2。以所测兴趣区的CT值的标准差 (standard deviation, SD) 作为图像噪声。每次测量均进行3次, 取其平均值做记录。测量时尽量避开纤维、坏死、囊变、出血区域或伪影, 选择组织密度均匀部位作为测量点。信噪比 (signal-to-noise ratio, SNR) 计算方法为:SNR=兴趣区CT值/噪声;对比噪声比 (contrast-to-noise ratio, CNR) 计算方法为:CNR= (兴趣区CT值-椎旁肌肉CT值) /背景噪声。计算门静脉、腹主动脉的CNR时要求门静脉主干、腹主动脉、椎旁肌肉及腹部前方空气的ROI在同一层面, 并以后者作为背景噪声。肝脏ROI在右肾上极层面选择。

1.2.5 辐射剂量评估

分别记录每位患者的容积CT剂量指数 (volume CT dose index, CTDIvol) 、剂量长度乘积 (dose-length product, DLP) , 计算有效剂量 (effective dose, ED) , 比较常规剂量组与低剂量组CT扫描的辐射剂量。ED (m Sv) =DLP (m Gy·cm) ×κ, 其中κ值为剂量转换因子, 腹部及盆腔的κ值为0.015 m Sv·m Gy-1·cm-1[5]。

1.2.6 统计学分析

数据分析采用SPSS 19.0统计软件。比较常规剂量组和低剂量组主观图像质量评分采用MannWhitney U检验, 比较2组患者的年龄、BMI、图像噪声、SNR、CNR、CTDIvol、DLP和ED时, 均采用Levene方差分析和2个独立样本t检验。以P<0.05认为差异有统计学意义。

2 结果

2.1 患者一般资料

所有患者均顺利完成扫描和测量。2组患者在年龄、BMI及扫描范围方面的差异均无统计学意义 (P>0.05) , 详见表1。

2.2 主观图像质量评价结果

常规组平均图像质量计分为 (4.7±0.5) 分, 其中5分的34例 (85%) , 4分的6例 (15%) ;低剂量组平均图像质量计分为 (4.6±0.6) 分, 其中5分的31例 (77.5%) , 4分的9例 (22.5%) 。2组图像质量主观评分差异无统计学意义 (P>0.05) (如图2所示) 。

如图2所示, 常规组与低剂量组胃壁、肠壁及各脏器均显示清晰, 图像质量无明显差别。

2.3 客观图像质量评价结果

低剂量组与常规组CT图像相比:肝右叶、椎旁肌肉、膀胱、皮下脂肪、腹主动脉及门静脉的SD和SNR、腹主动脉及门静脉的CNR均略有增加, 但差异均无统计学意义 (P>0.05) (见表2) 。

2.4 辐射剂量

2组辐射剂量对比, 差异有统计学意义 (P<0.001) , 低剂量组与常规剂量组相比, CTDIvol、DLP、ED分别减少约42.2%、43.0%、43.0% (见表3) 。

3 讨论

CT是肠道炎症性和肿瘤性病变最重要的影像学检查方法之一, 在疾病的诊断和疗效评估中均具有很大的价值, 但它却存在电离辐射这一固有的问题。研究和探索各种低剂量检查方法是CT进一步发展的必然趋势。

注:患者1, 男, 50岁, BMI 18.5 kg/m2, 常规扫描, FBP重建;患者2, 女, 40岁, BMI 20.76 kg/m2, 低剂量扫描, SAFIRE迭代重建

注:a表示2个独立样本t检验

注:a表示2个独立样本t检验

合理使用低剂量 (as low as reasonably achiev able, ALARA) 原则指出, CT低剂量技术的使用和研究要在保证获得良好的CT图像质量、满足临床诊断需要的前提下, 尽可能地降低受检者的辐射剂量[6], 即在降低辐射剂量与保证图像质量之间找到一个平衡点。因此, 本研究首先进行了水模预实验, 以选择最佳扫描条件。既避免了直接以患者作为试验对象时造成的额外辐射, 满足了医学研究的伦理要求, 也提高了临床实验效能。与多数文献[7,8]相同, 本研究也以BMI作为个体化扫描条件的参考指标。行肠道CT检查的多为体型一般或消瘦的患者, 体型肥胖者较少, 故本研究只以BMI<25 kg/m2的患者作为研究对象。

降低管电压和管电流是减少CT辐射剂量的常用方法, 当管电压和管电流降低时会使到达探测器的X线光子数减少, 导致图像噪声增加、质量下降, 严重时甚至会影响诊断。因此, 仅仅通过降低管电压和管电流来减少辐射剂量具有一定的限度。近年来, 人们研究的重点已经从单纯改变扫描条件转移到了改进图像重建技术方面。目前, 应用最广泛的CT图像重建方法是滤过反投影 (FBP) , 该方法假设所得到的投射数据内没有噪声, 这对于非超重患者和常规扫描条件的情况是适当的, 但对于用常规条件扫描过度肥胖患者或降低条件扫描普通患者的情况, FBP重建会产生多噪声、多伪影的图像。最新的迭代重建技术则利用矩阵代数, 通过一定的数学模型选择性地识别并去除图像噪声[9]和伪影[10], 可以在较低辐射剂量条件下获得与常规剂量FBP重建具有相似质量的CT图像[11,12,13]。与FBP相比, 迭代重建的速度一般较慢, 西门子二代双源CT配置的SAFIRE迭代重建能以20幅/s的速度重建图像, 可以在CT日常工作流程中使用[14]。SAFIRE设置了5个不同的强度值作为确定噪声模型的参数, 强度值为1时图像噪声最大, 强度值为5时图像噪声最小。本研究采用了厂商推荐的中等水平强度参数—3[15]。

本研究为国内较早将SAFIRE迭代重建应用于肠道低剂量CT增强扫描, 在辐射剂量与常规扫描条件相比减少约43%的情况下保证了图像质量, 为减少肠道CT增强扫描的辐射剂量探索了新的方法。对于患有克罗恩病和溃疡性结肠炎等慢性非特异性肠道炎性病变、需要多次复查的患者意义更大。本研究中低剂量组平均CTDIvol降低至7.76 m Gy, 平均ED降低至5.31 m Sv, 与Luís S Guimar觔es等[16]进行的半常规剂量80 k V、425 m As扫描, SAFIRE迭代重建的CT肠道造影检查研究中所达到的辐射剂量水平相近, 但图像质量相对更好。Ravi K Kaza[17]等用管电压80 k V、管电流200~575 m A加30%自适应统计迭代 (ASIR) 使CTDIvol和ED分别降至平均6.15 m Gy和4.6 m Sv, 虽然辐射剂量降低程度较本研究显著, 但是图像质量也较差。王艳等[18]应用管电压120 k V、固定管电量时150、100 m As加ASIR迭代重建, CTDIvol最低降至8.59 m Gy, 且图像噪声也较大。总体上, 本研究结果在降低辐射剂量和保证图像质量之间找到了较好的平衡, 研究结果在临床可行性较大。

本初步研究还存在一些局限性。首先, 仅用一个迭代重建参数 (3) 评估了SAFIRE对CT图像质量的影响, 没有与其他重建参数下的图像质量进行比较。其次, 本实验仅对图像质量本身进行了分析, 没有分析图像质量对临床诊断的影响。这些问题值得进一步研究。

4 结语

综上所述, 将SAFIRE迭代重建技术应用于肠道低剂量CT增强扫描能够在显著减少辐射剂量的同时, 获得与常规剂量FBP重建相近的图像质量, 满足临床需要, 对于降低肠道CT检查患者的辐射损伤风险将起到很大的作用。

迭代增强 篇2

1 资料与方法

1.1 研究对象

收集2015年2月—2016年2月郑州大学第一附属医院行能谱CT胸部双期增强扫描的患者60例,其中男36例,女24例;年龄25~67岁,平均(55.4±5.8)岁,体重指数(BMI)为(23.6±1.2)kg/m2。12例发现肺部占位,病变直径0.6~25.4 mm;14例显示肺部炎症;11例表现为慢性支气管炎、肺气肿;其余23例均未见肿块或其他病变。排除标准:(1)年龄<18岁;(2)妊娠期或哺乳期妇女;(3)全身状况欠佳或合并严重心、肝、肾功能不全患者;(4)心血管系统病变。将60例患者分为研究组和对照组,每组30例。研究组男16例,女14例;平均年龄(54.19±3.37)岁;BMI(25.13±1.38)kg/m2。对照组男20例,女10例;平均年龄(53.93±3.79)岁;BMI(24.43±1.42)kg/m2。两组患者的性别、年龄、BMI比较差异无统计学意义(P>0.05)。所有患者检查前均签署知情同意书。

1.2 仪器与方法

研究组采用GE HD750 CT(宝石能谱CT)扫描。扫描前去除患者身上金属质地的物品,并进行屏气训练。扫描时患者双上肢上举过头顶。扫描范围自胸廓入口至双肺底。扫描参数:管电压为80~140 k Vp(0.5 ms瞬时切换),管电流为自动毫安秒,螺距0.984∶1。层间距5 mm、层厚5 mm。对比剂应用非离子型造影剂碘海醇(350 mg I/ml),采用双筒高压注射器经肘静脉以3 ml/s注射,剂量1.5 ml/kg;监测主动脉弓CT值达到100 HU时触发扫描,延迟30 s开始动脉期扫描,动脉期结束后延迟60 s开始静脉期扫描。对照组采用常规胸部增强CT扫描模式,管电压设定为120 k Vp,其余参数均同研究组。

1.3 图像后处理及评估

1.3.1 图像后处理及分组

由1名有5年放射诊断经验的放射科主治医师采用Health Care AW 4.4工作站进行图像分析与测量。采用GSI Viewer软件将研究组层厚和层间距为1.25 mm的两期图像进行分析处理,重建出140 k Vp常规混合能量图像和40~140 ke V单能量图像,间隔1 ke V。感兴趣区(ROI)分别置于主肺动脉窗层面、气管分叉层面、右肺动脉层面、左右房室层面的降主动脉。采用滤波反投影(filtered back projection,FBP)技术和ASIR分别对研究组和对照组的图像进行重建,ASIR选取50%[3]。将重建后的图像数据传至GE AW4.6后处理工作站。研究组得到VMS-FBP(A组)和VMS-ASIR(B组)图像。对照组获得120 k Vp-FBP(C组)和120 k Vp-ASIR(D组)图像。分别选取70~80 mm2的圆形或椭圆形区域为ROI的测量范围。ROI的大小、形状和位置在不同组别图像的测定中保持一致。

1.3.2 图像客观评分

由1名有5年放射诊断经验的放射科医师在后处理软件上测量每个ROI的CT值,计算其均数及标准差(SD),测量3次取平均值。计算4组图像的SNR和CNR。SNR=CT值/噪声。CNR=(CT值-CT值背景肌肉)/SD值背景肌肉,其中同层面背部肌肉的SD值代表图像噪声值。

1.3.3 图像主观评分

由2位具有影像学诊断经验的医师进行图像主观评分,意见不一致时经协商解决。主要观察纵隔、大血管、胸膜、胸壁、肺段及亚段支气管,评分标准如下[4]:图像主观评分:肺纹理及支气管等解剖细节显示清晰,无明显噪声和伪影为5分(优异);肺纹理及支气管等解剖细节显示较清晰,噪声和伪影增多为4分(良好);肺纹理及支气管等解剖细节欠清晰,噪声和伪影较明显但可接受为3分(中等);肺纹理及支气管等解剖细节辨识困难,噪声和伪影很明显为2分(较差);肺纹理及支气管等解剖细节无法辨识,噪声和伪影极明显为1分(极差)。3分以上者可满足诊断要求。

图像噪声评分:图像清晰细腻,无明显噪声为5分(优异);图像尚清晰,噪声稍有增加为4分(良好);图像显示欠清晰,噪声存在但尚可接受为3分(中等);图像模糊,噪声明显,识别困难为2分(较差);图像模糊,噪声极其明显,图像无法辨别为1分(极差)。

解剖细节评分:病灶显示清晰,边缘锐利,细小解剖结构可清晰辨认为5分(优异);病灶显示尚清晰,边缘较锐利,细小解剖结构尚能辨认为4分(良好);病灶显示欠清晰,边缘欠锐利,细小解剖结构显示欠佳但尚可接受为3分(中等);病灶可见但显示不清,边缘模糊,细小解剖结构识别困难为2分(较差);病灶无法辨别,边缘极其模糊,细小解剖结构不能识别为1分(极差)。

图像伪影评分:图像无伪影或几乎无伪影为5分(优异);图像伪影较轻,对结构的显示影响较小为4分(良好);图像伪影一般,对结构的显示有一定的影响为3分(中等);图像伪影较重,严重影响结构的显示为2分(较差);图像伪影很重,无法用于诊断为1分(极差)。

1.4 辐射剂量比较

通过自动计算得到4组图像的容积CT剂量指数(computed tomography dose index,CTDIvol)及剂量长度乘积(dose length product,DLP),有效射线剂量(effective dose,ED)=k×DLP,k值取0.014(欧盟委员会推荐)。

1.5 统计学方法

采用SPSS 19.0软件。采用成组资料t检验比较患者的年龄、身高、体重、BMI和辐射剂量;采用单因素方差分析比较4组重建后图像的客观评价指标,两两比较采用LSD法;采用秩和检验比较4组重建后图像的主观评分。P<0.05表示差异有统计学意义。

2 结果

2.1 辐射剂量比较

研究组和对照组患者的CTDIvol、DLP及ED比较,差异均有统计学意义(P<0.001),其中研究组患者的ED较对照组下降约36.01%,见表1。

2.2 最佳单能量水平

应用GSI软件获得双期最佳CNR的VMS图像,同时得到不同患者最佳单能量ke V值,位于56~66 ke V,均数为(63.58±2.64)ke V,中位数为63.50 ke V。

2.3 图像质量主观评价

在CT增强动脉期及静脉期,4组图像噪声评分、解剖细节评分、图像伪影评分及总体图像质量评分比较差异均有统计学意义(P<0.01),其中B组高于其他3组(P<0.05),A组高于C组及D组(P<0.05),C组及D组间比较差异无统计学意义(P>0.05)。在动脉期和静脉期,B组总体图像质量评分较A组、C组和D组分别增加了0.97%和1.95%、20.87%和11.46%、11.65%和6.83%。见表2。

2.4 图像客观评分

在动脉期及静脉期,4组图像的CNR和SNR差异均有统计学意义(P<0.05)。B组的SNR和CNR均优于A、C、D组(P<0.05),A组优于C、D组(P<0.05),D组优于C组(P<0.05)。见图1~3。

图1 4组胸部增强CT图像在动脉期和静脉期不同解剖部位的腹主动脉SNR和CNR比较(P<0.05)。A.动脉期腹主动脉SNR比较;B.动脉期腹主动脉CNR比较;C.静脉期腹主动脉SNR比较;D.静脉期腹主动脉CNR比较

图2男,46岁。胸部CT扫描采用120 k Vp常规扫描模式。采用100%FBP重建静脉期纵隔窗(A)及肺窗(B)图像,此时图像噪声及伪影明显,支气管及肺纹理显示欠清晰;采用50%ASIR重建静脉期纵隔窗(C)及肺窗(D)图像,此时图像噪声依然存在,但可接受,支气管及肺纹理显示较清晰

3 讨论

在获得优质图像质量的同时降低更多的辐射剂量成为广大CT科研人员的关注热点[4]。为了有效降低CT辐射剂量,医学工作者尝试通过优化扫描程序、降低管电压和管电流、扩大螺距等多种方法。目前,高端CT重建算法的改进能够抑制或消除噪声,提高图像CNR,如GE公司的ASIR技术、Philips公司的i DOSE技术和Siemens公司的SAFIRE技术等。这些模型均可将原始数据中的噪声投射到图像中,通过迭代算法来增加图像清晰度,这样重建后的图像能够在适当减低扫描剂量的前提下,满足临床诊断要求。

图3女,51岁。胸部CT扫描采用单能量70 ke V能谱扫描模式。采用100%FBP重建静脉期纵隔窗(A)及肺窗(B)图像,此时图像噪声及伪影减少,支气管及肺纹理显示较好;采用70 ke V联合50%ASIR重建静脉期纵隔窗(C)及肺窗(D)图像,此时无明显图像噪声及伪影,支气管及肺纹理显示清晰

能谱CT采用自适应迭代重建技术,该技术具有选择性去除噪声的能力,使其能在较低剂量检查的情况下获得较好的图像质量。既往研究结果显示,ASIR权重设置在40%~60%时图像质量最高,且在胸、腹部扫描中设定为50%时,图像质量无明显降低,而辐射剂量减少超过50%[5,6,7]。合理地调整重建图像的权重值和恰当地降低扫描条件是应用ASIR的2个重要标准[8]。本研究中,采用50%ASIR重建后的图像对比FBP图像,均具有较高的SNR和CNR,等于或高于FBP重建图像质量的同时可将辐射剂量降低约36.01%,这与前期的实验结果[9]吻合。

能谱CT通过双能量成像获得的基物质密度数据来得出40~140 ke V的单能量图像,本研究发现,采用能谱CT扫描的研究组,整体图像质量和CNR均较常规120 k Vp扫描的对照组高,提示能谱成像能有效校正图像的硬化伪影,改善图像CT值,从而得到高清图像[10]。董江宁等[11]研究发现,根据组织器官、病变的性质和类型、患者年龄以及病变在人体内的位置不同,显示病灶的最佳单能量水平会呈现差异。Lv等[12]提出,随着能量水平的升高,噪声值逐渐减低,70 ke V单能量图像的噪声最低,且能够维持较高的图像质量评分,图像质量优于常规能量图像。柴亚如等[13]发现,能谱70 ke V单能量成像联合ASIR技术与常规扫描相比可降低辐射剂量,并为肝癌病灶显示提供良好的图像质量。与柴亚如等[13]的研究不同,随着能谱软件系统的升级,本研究使用基于个体循环差异的最佳单能量图像与50%ASIR进行重建,由此得到的胸部CT图像单能量范围更广。本研究发现,胸部双期增强扫描以不同层面的降主动脉为ROI,最佳CNR的VMS图像对应的ke V值位于56~66 ke V,平均(63.58±2.64)ke V。B组的图像CNR和主观评分均较其他组高,由此获得的图像既发挥了最佳单能量图像高对比度、分辨率的特点,又体现了ASIR高清、低剂量的优势。

本研究发现,B组在主肺动脉窗层面、气管分叉层面、右肺动脉层面、左右房室层面降主动脉的CT值、SNR和CNR均高于其他3组,且B组的图像质量评分优于A、C、D组,这反映出单能量联合ASIR成像在图像质量方面具有极大的优势,既体现出了最佳单能量成像增强碘汇聚能力而提高图像对比度的优势,又展现出ASIR重建方式降低图像噪声并维持良好的图像质量的特点。

迭代增强 篇3

考虑求解线性代数方程组

Ax=b (1)

式 (1) 中, A是N阶非奇阵, b, x是N维向量。

设式 (1) 的一个相容定常迭代法为

x (n+1) =Gx (n) +h, n≥0 (2)

式 (2) 中, G是依赖于A的N阶阵, h 是依赖于A和b的N维向量。

使基本迭代式 (2) 加速收敛的一种常用方法是Chebyshev多项式加速法, 也称Chebyshev半迭代法[5], 下文简称CSI方法, 其计算公式为三项递推形式。

式 (3) 其中, 实数α和β分别为G 的最小和最大特征值的估计值,

$\begin{array}{l}\rho {}_1=1‚\rho {}_2=\frac{2z{}^2}{2z{}^2-1},\rho {}_{n+1}=\frac{4z{}^2}{4z{}^2-\rho {}_n},n\ge 2(4)\\ z=\frac{2-\alpha -\beta }{\beta -\alpha }(5)\end{array}$

式 (3) 为二步非定常迭代, 对式 (3) 加以变形, 可得到等价的一步非定常迭代格式

v (n) =G*nv (n-1) +h*n, n≥1。

其中,

文献[1,2,3]对CSI方法的收敛性作了讨论, 得到一些结果, 在讨论中, 利用了一关键性条件[4]:

当$1\notin \left[\alpha ‚\beta \right]$时, $\underset{n\to \infty }{{\displaystyle lim}}\rho {}_n=\rho \equiv \frac{2}{1+\sqrt{1-\sigma {}^2}}$,

其中$\sigma =z{}^{-1}=\frac{\beta -\alpha }{2-\alpha -\beta }$ (7)

受此启发, 在CSI方法中, 用ρ代替ρn, 便得到一种二步定常迭代法, 简称SCSI方法[5]。

式 (8) 也可写成等价的一步定常迭代格式

vn=G*vn-1+h*, n≥1

其中, $v{}_n=\left[u{}_{n-1}^{\text{Τ}},u{}_n^{\text{Τ}}\right]{}^{\text{Τ}},h{}^{*}=q{}^{-1}\rho \left[0,2h{}^{\text{Τ}}\right]{}^{\text{Τ}}$,

2G*和G1特征值之间的关系

引理1[6] 实系数二次方程x2-bx+c=0的两个根r1和r2的模小于1的充要条件是$\left|c\right|<1$和$\left|b\right|<1+c$

引理2 如果G1的特征值为实数, 则S (G*) <1的充要条件是S (G1) <1。

证明由Williamson定理, 知G*的特征值λ由矩阵族, 其中, η∈SG 1的所有特征值组成的即满足

λ2-ρηλ+ρ-1=0 (10)

由引理1, 知道方程 (10) 根模小于1的充要条件是:$\left|\rho -1\right|<1$和$\left|\rho \eta \right|<1+\left(\rho -1\right)$, 此即$\left|\eta \right|<1$, 证毕。

引理3[5] 若矩阵A是相容次序的, 则行列式

的值与α无关, 此处α≠0, 而β为任意数, E和F分别是严格下三角和严格上三角矩阵, D是对角矩阵, 且A=D+E+F。

定理 设G是相容次序的, 则

(1) 若η≠0是G1的p重特征值, 则-η也是G1的p重特征值;

(2) 对于G1的特征值η, 使G*的特征值λ满足

的充要条件是存在G1的某个特征值η, 使λ满足

λ2+ρ-1=λη; (13)

(3) 若λ 是G*的特征值, 则存在G1的一个特征值η, 满足式 (12) 和式 (12) ;

(4) 对于G1的特征值η, 若λ满足式 (12) 和式 (13) 之一, 则λ是G*的一个特征值。

证明 (1) 因G是相容次序的, 所以G1-I也是相容次序的, 由引理3, 在式 (11) 中取β=-η, α分别取为1和-1, 则可得

det (G1-ηI) =det (-G-ηI) = (-1) ndet (G1+ηI) 。

由此可知, G1的特征多项式可以写为

其中ηi (i=1, ..., l) 是G1的非零特征值, 则结论成立。

(2) 若η是G1的特征值, λ满足式 (12) , 则λ显然也满足式 (13) 。反之, 若η是G1的特征值, λ满足式 (13) , 则λ显然也满足式 (12) 或满足

λ2+ρ-1=-λη。

但由 (1) 可知, -η也是G1的特征值, 则结论成立。

(3) 对任意数λ成立

det (G*-λI) =det (λ (λI-G1) - (1-ρ) I) (14)

若λ≠0, 有

$\begin{array}{l}\det (G{}^{*}-\lambda {\rm I})=\det (\lambda (\lambda {\rm I}-G{}_1)-(1-\rho ){\rm I})=\\ \lambda {}^n\det (\lambda {\rm I}-G{}_1-\frac{1-\rho }{\lambda }{\rm I})=\\ \lambda {}^n\det ((\lambda -\frac{1-\rho }{\lambda }){\rm I}-G{}_1)(15)\end{array}$

因而, 若λ≠0是G*的特征值, 则$\lambda -\frac{1-\rho }{\lambda }$是G1的特征值;若λ=0是G*的特征值, 则由式 (14) 可知必有ρ=1, 于是式 (13) 对任何λ都成立。因此, 不管G*的特征值λ是否为0, 结论都成立。

(4) 现设η是G1的一个特征值, 若λ≠0满足式 (13) , 则由式 (15) 可得det (G*-λI) =0。

故λ 是G*的特征值;λ≠0满足式 (12) 由 (2) 可得$\lambda -\frac{1-\rho }{\lambda }$是G1的特征值, 再从式 (15) 又推得det (G*-λI) =0, 故λ 是G*的特征值。最后, 若λ=0满足式 (12) 和式 (13) , 则必成立ρ=1, 由式 (14) 可得到det (G*) =0, 故λ=0是G*的特征值。结论成立。

参考文献

[1]雷秀仁.切比雪夫半迭代的收敛性.数学研究与评论, 1989; (5) :277—280

[2]林建华, 郭广报.半迭代方法的收敛性.厦门大学学报, 2007; (1) :14—17

[3]Buledza AV.Current issues in the development of the theory of itera-tive methods with chebyshev ccceleration.Cybernetics and Systems Analysis, 1992;7, 489—656

[4]Young D M.Iterative solution of large linear systems.New York London:Academic Press, 1971

CORDIC迭代算法研究 篇4

CORDIC[1,2]主要应用于直角坐标与极坐标的数值相互转换,其在特征值,快速傅里叶运算[3]的定点运算[4,5]有重要意义。CORDIC迭代算法的基本原理如图1所示:

初始向量V0逆时针旋转角度θ后得到向量V1,则V0与V1存在数学关系(1):

在实际的工程应用中,所有浮点数据都需要转化为二进制数据在计算机处理,为方便运算取每一次旋转的角度θi正切值为2的倍数,即θi=tan-1(2-i),则迭代运算式可以表示为公式(2):

其中di表示矢量旋转的方向,取-1表示朝逆时针方向旋转,取1表示朝顺时针方向旋转。很多研究已经证明,对于迭代次数大于6的CORDIC运算,基本收敛于一个常数,这样上式的运算在计算机处理中就可以用简单的加法和移位来实现了。简写迭代公式并引入角度分量可以得到公式(3):

其中i=0,1……N-1,N为最大迭代循环数;arctan(2-i)=θ(i),迭代完成后需要在X,Y上分别乘上KN。整个旋转过程可以表示为一系列与旋转角度集相关的角度不断偏摆,从而不断逼近所需旋转角度的循环迭代过程。这样CORDIC算法基本上可以实现数学运算中所需的函数运算。

2 两种模式迭代算法

CORDIC算法最初主要用于平面直角坐标系(X,Y)和极坐标系(R,θ)之间的自由坐标变换,其迭代算法有两种操作模式:旋转模式迭代[6]和向量模式迭代[7]。旋转模式为将极坐标数据转换为直角坐标数据,而向量模式则将直角坐标的数据转换为极坐标数据。

2.1 旋转模式

旋转模式下,设定初始值(X0,Y0)=(R,0),Z0=θ,dn=sign(Zn),,当N→∞时,Zn→0。经过n次迭代后的三个累加器结果

由等式(4)得到极坐标系(R,θ)到平面直角坐标(X,Y)的转换。由于迭代只支持第一象限的转换,为支持四个象限的矢量都能转换到平面直角坐标,需要将初值转换到第一象限。其原则是根据表1进行初值变换,转换到第一象限。

旋转模式迭代流程如图2:首先设置好初始值,随后更新迭代次数n,根据公式更新Xn,Yn,dn以及Zn的值,这里更新Zn的值需要查表法来计算。接着可以根据Zn的值与门限阀值比较,如果Zn小于或者等于门限阀值,则停止迭代。当然这里也可以设置迭代次数,当迭代次数达到设置的值后,强行停止迭代。完成迭代后,Xn与Yn分别乘以Kn,更新得到极坐标对应的数据。

2.2 向量模式

向量模式是将平面直角坐标的数转换为极坐标的数,在向量模式下,首先设定初始值(X0,Y0),Z0=0,,当N→∞时,Yn→0。经过n次迭代后的三个累加器结果

由此得到平面直角坐标(X,Y)到极坐标系(R,θ)的转换。向量模式算法实现流程如图3,同样为在向量模式下支持四个象限的平面直角坐标都能转换到极坐标,当X0<0,需要多重复两次i=0的迭代运算。开始迭代流程如下:首先设置好初始值,随后更新迭代次数n,根据公式更新Xn,Yn,dn以及Zn的值,同样这里更新Zn的值需要查表法来计算。与旋转模式一样在这里更新Zn的值需要查表法来计算。但与旋转模式不一样,向量模式里迭代次数是根据Yn的值与门限阀值比较,如果Yn小于或者等于门限阀值,则停止迭代。当然这里也可以设置迭代次数,当迭代次数达到设置的值后,强行停止迭代。完成迭代后,Xn与Yn分别乘以Kn,更新得到直角坐标对应的数据。

3 仿真与结论分析

在进行CORDIC定点算法仿真前,首先需要建立一个查找表如2(LUT)存储角度值θ(i)。下表以定点位宽N=14为例,在旋转模式下进行不同迭代次数仿真。

CORDIC为移位相加算法,每一次迭代需要两次移位(2-i),一次查找表(查θ(i)),三次加法(di为符号系数)。

对CORDIC算法来说,一个粗略的精度估计为:K位精度需要K次迭代[8]。图4对不同迭代结果的误差进行了对比。从仿真结果可发现,14位精度的定点运算,迭代10次到12次,运算误差都在千分之一以上。而迭代14次或者15次,误差基本都在千分之一以下,且迭代14次与15次性能大部分点重合。因此在保证CORDIC定点性能前提下,最小迭代次数可以选择与精度位数相同的次数进行迭代。

4 结束语

从算法流程可知,快速傅里叶蝶形算法中旋转因子计算中,ROM不直接存储旋转因子的值,而是存储少量的单位旋转角度值,再通过CORDIC流水线循环迭代,得到所需的旋转角度值θ;无需复数乘法器,每步运算可分解为简单的移位、相加来完成;为了保证CORDIC计算精度,需要考虑旋转因子位宽与迭代次数关系,如果迭代次数多大,影响CORDIC运算的复杂度,次数不足,则影响CORDIC运算的精度。本文仿真验证了迭代次数与位宽的关系。当然后续也可以利用门限阀值对迭代性能做进一步研究。

摘要：在实际的工程应用中,经常需要计算角度的三角函数运算,比如计算流水线型快速傅里叶变换处理器蝶形运算中的旋转因子,采用CORDIC迭代加法器,性能与直接采用乘法器相比性能损失很小,但可以大大节约数字面积。CORDIC的定点化运算中,迭代次数是算法的重要指标之一,其关系到算法的复杂度及计算误差。算法迭代次数与要求的数据精度相关,该文将实现CORDIC算法的旋转模式,利用迭代不同次数得到的值与精确值的误差进行比较来确定CORDIC算法需要进行的迭代次数。这样在节约计算量的同时,保证计算精度不受较大影响,从而在节约计算量的前提下保证CORDIC算法的性能。

关键词：CORDIC,定点化算法,旋转模式,向量模式

参考文献

[1]Andraka R.A Survey of Cordic Algorithms for FPGA BasedComputers[C].Proceedings of the ACM/SIGDA 6th Internation-al Symposium on Field Programmable Gate Arrays(FPGA'98),1998.

[2]耿丹.CORDIC算法研究与实现[J].论文与技术报告:2007(S1):39-40.

[3]彭清兵,李方军.基于CORDIC算法的FFT处理器设计[J].工程应用技术与实现,2011(23):208-209.

[4]孙明革,陈靖.CORDIC算法在定点DSP中的应用[J].吉林化工学院学报,2012(5):61-62.

[5]Martin Uhlmann,Keshab K P.A high-speed CORDIC algo-rithm and architecture for DSP application[J].IEEE,2005,52:1-5.

[6]Granado J,Torralba A,Chavez J,et al.Optimization ofCORDIC cells in the backward circular rotation mode[J].AEU-International Journal of Electronics and Communications,2007,61:337-340

[7]王建军,徐力,安鹏.基于CORDIC的频偏估计幅角计算算法[J].技术与方法,2014(7):77-78.