自适应波束形成算法

2024-09-30

自适应波束形成算法（精选7篇）

自适应波束形成算法篇1

0 引言

自适应数字波束形成算法是智能天线研究当中的一项重要课题。目前的自适应数字波束形成算法种类繁多,大致可分为非盲算法、盲算法和半盲算法3类,这3种算法各有优缺点。本文所研究的算法属于非盲算法当中的一种:采样矩阵求逆(Sample Matrix Invert)算法,简称SMI算法。该算法是对采样协方差矩阵直接进行求逆而得到最优收敛权值。它能克服协方差矩阵特征值分散对加权矢量收敛速度的影响,因而收敛速度快。有关SMI的详细论述可参考文献[1,2]。

本文针对这一算法进一步提出2项改进。第1项改进,在相同输入信噪比情况下提高了信号输出信干噪比和期望信号的主瓣增益,同时得到了在小输入信噪比情况下较好的旁瓣效果;第2项改进,由于传统的SMI算法无法对相干信号源进行区分,导致输入信号相干时,SMI算法无法分辨期望信号和干扰信号,以至于同时放大或抑制了期望信号和干扰信号,本文通过引入解相关原理和归一化处理,实现了对相干信号的解相关,能够使SMI算法在相干信号源条件下正常工作。此外,由于SMI算法的自身特点:大输入信噪比条件下导致的采样协方差矩阵呈现病态,从而使输出信干噪比降低,输出阵列方向图恶化,权值不收敛等特点,引入对角加载技术,改善了该算法的这一弊病。

1 传统的SMI算法

由文献[3]知道,根据最大信干噪比准则,SMI算法保证给定方向信号增益,同时使阵列天线输出总功率最小,从而达到抑制干扰的目的。其最优权计算公式为:

wopt=μRxx-1a(θd)。 (1)

式中,μ为常数;Rxx为输入信号的采样协方差矩阵;a(θd)为期望信号的导向矢量。在实际的计算中,Rxx可以表示为:

$R_{x x} = \frac{1}{Ν_{2} - Ν_{1} + 1} \sum_{i = Ν_{1}}^{Ν_{2}} x (i) x^{Η} (i)$ 。 (2)

式中,x(i)为输入信号,N1和N2分别为采样间隔的下界和上界。

2 改进的SMI算法

2.1 利用信号空间分解方法得到的改进

传统的SMI算法的最优权值是直接对采样协方差矩阵求逆来计算的,如果对采样协方差矩阵先进行信号空间分解,将Rxx分解为信号子空间和噪声子空间,再对2个子空间进行加权,就可以得到新的采样协方差矩阵。

假设有N个相互独立的输入信号,天线阵元数为M,则可将采样协方差矩阵分解为2个相互正交的子空间矩阵,即:

$R_{x x} = \sum_{i = 1}^{Ν} λ_{i} e_{i} e_{i}^{Η} + \sum_{i = Κ + 1}^{Μ} λ_{i} e_{i} e_{i}^{Η}$ , (3)

式中,λi为该子空间内的特征值,ei为该子空间内的特征向量。式中等号右边第1项为信号子空间,第2项为噪声子空间。如果对信号子空间引入一个加权因子α,则上述表达式可改写为:

$R_{x x}^{´} = α \sum_{i = 1}^{Ν} λ_{i} e_{i} e_{i}^{Η} + \sum_{i = Κ + 1}^{Μ} λ_{i} e_{i} e_{i}^{Η}$ , (4)

式中,-1≤α≤1且α≠0。

改进后的SMI算法最优权值计算公式为:

wopt=μR $_{x x}^{´ - 1}$ a(θd)。 (5)

经MATLAB仿真表明,改进后的SMI算法,当α因子取介于-1和1之间的非零值时,可以有效地改善输出期望信号方向图的主瓣增益和输出信干噪比;同时在小输入信噪比情况下,可改善方向图旁瓣的零陷深度,且不损失自由度。

2.2 相干信号源条件下的SMI算法

传统的SMI算法在输入信号源相干的条件下将会失效,算法会将所有相干源看作一个信号处理,原因是信号子空间出现了秩缺失。如果能将输入信号进行解相干,就可以保证信号子空间的秩不出现亏损。本文采用了解相关原理,可将相关度高的信号解相关以降低信号之间的相关度。

从文献[5]中可知解相关原理如下。首先建立向量分解图,如图1。图中,投影系数:

$\cos (θ) = \frac{V_{1} \cdot V_{2}}{\sqrt{(V_{1} \cdot V_{1}) (V_{2} \cdot V_{2})}}$ , (6)

故V1在V2上面的投影为:

$V_{12} = \sqrt{(V_{1} \cdot V_{2})} \cos (θ) e_{v_{2}} = c_{12} V_{2}$ , (7)

式中, $c_{12} = \frac{V_{1} \cdot V_{2}}{V_{2} \cdot V_{2}}$ ,所以

V3=V1-c12V2, (8)

可以看出V3是最佳的逼近向量。

在SMI算法当中,可以定义一个与投影系数相仿的相关系数ρ,有:

$ρ (n) = \frac{x^{Τ} (n) x (n - 1)}{x^{Τ} (n - 1) x (n - 1)}$ , (9)

式中,ρ(n)是输入信号x(n)和x(n-1)在采样时刻n的相关系数,ρ(n)越大,x(n)和x(n-1)之间的关联性就越强。可以看出,ρ(n )x(n)可以用来表示x(n)和x(n-1)之间相关的部分。若从x(n)中减去相关部分即可实现解相关。假设有2个阵列输入信号x(n)和y(n)是相关信号,只要对其中的x(n)使用式(10)即可对它们解相关:

z(n)=x(n)-ρ(n)x(n-1), (10)

z(n)即为新的x(n),它与y(n)同时输入阵列后,SMI算法便可以区分开这2个信号。

因此,实现解相关后的输入信号就可以利用SMI算法提取期望信号并抑制掉干扰信号。

3 计算机仿真

3.1 信号空间分解改进算法与传统算法的对比

假设采用天线阵元数M=10的直线阵列,信源为N=3个远场窄带辐射点源(-60°、60°处信号为干扰信号,45°处为期望信号),各阵元信道噪声均为均值为0,方差为σ2的高斯白噪声,各阵元之间彼此独立且与信号之间相互独立,信号数小于阵元数(N<M)。

所有仿真图中,实线“—”代表α=1,即传统SMI算法;虚线“…”表示α=0.5;长划线“--”表示α=0.2。

图2为输入信噪比SNR=5 dB的条件下,不同α因子时的阵列输出功率增益方向图。仿真表明,当α分别为-1、-0.5、-0.2时亦同。所以可知,α因子绝对值越小,阵列输出主瓣增益就越大。

如果定义阵列输出期望信号功率与输入期望信号功率之比为二者的增益比,则从图3也可以看出,α因子越小,输出期望信号与输入期望信号增益比也越大,说明改进后的算法可以实现提高期望信号主瓣增益的作用。

从图4看出,改进后的SMI算法,其输出信干噪比也比传统SMI算法提升了大约10 dB左右。这时,当α=0.5和α=0.2条件下的输出信干噪比在输入信噪比小于12 dB时区别不大,在输入信噪比大于12 dB以后,α=0.2条件下的输出信干噪比比α=0.5条件下的又略大5～6 dB。

由于SMI算法是直接对采样协方差矩阵求逆,所以当大输入信噪比的情况下,会导致协方差矩阵呈病态,出现秩缺失。以至于无法正确进行求逆运算,所以会出现如图4当中信噪比突然下降的现象。通过人为引入一定的噪声,即采用对角加载技术(参考文献[6]),就可以解决这一问题。本文在仿真时加载量L=0.01,所得到的输出信干噪比如图5所示。

3.2 相干信号源条件下的SMI算法仿真

假设采用M=10阵元的直线阵列,信源为N=3个远场窄带辐射点源(-60°、60°处信号为干扰信号,45°处为期望信号),各阵元信道噪声均为均值为0,方差为σ2的高斯白噪声,信源为相干信号(-60°与45°处信号相干),信号数小于阵元数(N<M)。

图6所示是解相关前的阵列输出方向图,输入信噪比为5 dB。可以看出,-60°与45°方向的2个信号被当成一个信号来处理了,也就是说-60°处的干扰信号也被当成期望信号放大而非抑制掉。显然,传统SMI算法无法在相干信源下正常工作。

图7所示是通过预处理解相关后的阵列输出信号方向图,输入信噪比仍为5 dB。可以看出,-60°处的干扰信号被抑制掉,从而使SMI算法能够在相干信源下正常工作。

4 结束语

本文针对传统的自适应波束形成算法SMI算法做了2项改进。通过将采样协方差矩阵进行信号子空间分解,再对其加权的方法,使SMI算法能够加大阵列输出期望信号的主瓣增益,提高输出信干噪比,缺点是主瓣增益加大的同时,也使旁瓣增益有所提高;通过将相干信源进行预处理解相干,使得SMI算法也可以在输入为相干信源的情况下正常工作,但本文通过仿真发现,预处理后的SMI算法只能在输入信噪比SNR≥3.7 dB的条件下才能很好地解相干,过小的输入信噪比条件下仍然无法得到较好的效果,因此仍然需要进一步改进。

摘要：采样矩阵求逆(SMI)算法是自适应算法中的一个分类。由于该算法需要知道接收信号的波达方向角度,因此属于非盲算法。在现有采样矩阵求逆算法的基础上进行了2项改进,提出了对协方差矩阵进行信号子空间分解再加权的方法,有效改善了输出期望信号的主瓣增益和输出信干噪比;同时针对传统SMI算法无法应用于相干信号源的情况做了进一步改进,通过对相干信号进行解相关,解决了这一问题。

关键词：波束形成,SMI(采样矩阵求逆),解相关,协方差矩阵

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自适应波束形成算法篇2

关键词：自适应波束形成,QR分解,GR算法,MGS算法,FPGA

1 前言

自适应波束形成技术是阵列信号处理的一个重要分支, 它通过各阵元 (传感器) 加权进行空域滤波, 达到增强有用信号, 抑制干扰的目的。

递推最小二乘算法 (Recursive Least Square, RLS) 和采样矩阵求逆算法 (Sample Matrix Inverse, SMI) 属于自适应波束形成算法, 实现时需要对矩阵进行逆运算。如果矩阵的阶数较大, 硬件实现其逆运算非常困难。通常采用先对矩阵QR分解, 再解方程的方法来替代矩阵的直接求逆。

用于QR分解的基本方法有三种:GramSchmidt正交、Givens rotation (GR) 和Householder变换。后来一些新的算法被提出, 不过大部分都是在上述三种方法的基础上进行的一些改动, 比如Squared Givens rotation算法 (SGR) [1]、Modified Gram-Schmidt算法 (MGS) [2]。

文献[3]和[4]研究了基于GR方法的传统QRD-SMI算法, 但是没有在FPGA上实现。

文献[5]-[9]研究了基于上述方法的QR分解及其硬件实现情况。但是要求逆的矩阵都是确定已知的, 不能直接对接收端的采样矩阵进行处理, 应用环境也大多是MIMO-OFDM系统。

不同QR分解方法, 硬件实现后的性能不同, 适用的环境也不同。因此在硬件实现时, 需要提前了解算法的硬件性能以便选择合适的算法应用在当前环境中。本文研究了常用于复数QR分解的GR和MGS算法的FPGA实现方法, 并对两种算法的硬件性能, 包括计算误差、硬件资源消耗等进行了对比分析。

2 系统模型、算法原理和硬件实现

2.1 系统模型

对于阵列信号处理问题, 阵列输出信号x (t) 可以表示为以下形式:

其中A为信号导向矢量矩阵, s (t) 包括发送端信号和回波信道中的干扰信号, μ (t) 为加性高斯白噪声。

假设阵列天线的阵元个数为M, 在接收端N次采样后得到N行M列 (N>M) 的输出数据矩阵X (n) , n=1, 2, …, N。即

假定A为列满秩阵, X (n) 的自相关矩阵RX的无偏估计可由简单的时间采样平均来得到, 即

基于线性约束最小方差的SMI的最优权值计算公式为

其中μ为任意比例常数, θd为期望信号的波达方向角, a (θd) 为已知的期望信号的导向矢量。

基于最小均方误差的RLS的最优权值计算公式为

满足使式 (2) 最小的w即为最优权值。Λ为加权矩阵如下式, 其中λ为遗忘因子, 规定0<λ<1。

2.2 QR分解SMI算法

由式 (1) 知, 要求最优权值需要对求逆。硬件实现时转化为对进行QR分解, 进而转化为对输入矩阵X (n) 的进行QR分解[3]。

2.2.1 Givens旋转和Systolic阵列结构

数据矩阵的QR分解的硬件实现主要分为两部分:边界单元和内部单元。边界单元主要用来产生内部单元旋转的Givens因子c和s, 内部单元则是根据外部单元传递过来的Givens因子进行旋转。算法步骤如下:

*边界单元运算:

若输入数据xin=0, 则c=1, s=0, x=x;

若输入数据xin≠0, 则

*内部单元运算:xout=cxin-sx, x=s*xin+cx。

为了避开除法运算, 当xin≠0时, 外部单元的运算式可以改写为:其中j表示虚部符号。

外部单元的硬件实现分为两部分: (1) 使用两次Cordic变换:第一次Cordic变换实现输入数据的求模运算, 得到输入数据的模值|xin|和旋转角θ, 第二次Cordic变换来求得x'和旋转角φ; (2) 求得旋转角θ和φ的正余弦, 并计算s。

内部单元计算相对简单, 根据外部单元传递过来的c和s, 执行四次复数乘法和两次复数加法求得xout和x。

对于一个4×4的自相关矩阵, 要完成其QR分解, 需要4个外部单元, 6个内部单元。使用脉动阵[10]实现的模型图如图1所示。

2.2.2 硬件仿真

硬件芯片为Xilinx的Kintex-7 XC7K325T, 使用Xilinx的ISE自带的仿真软件进行仿真。编程语言采用的是VHDL, 并结合MATLAB的输出结果进行比较。

硬件仿真时, 使用MATLAB-M文件编程模拟信号源, 产生N行M列的叠加有高斯白噪声的接收端信号矩阵, N=200, M=4。矩阵每个元素的长度为24位, 包括1位符号位。通过VHDL I/O接口文件将数据输入到ISE程序中, 运行一段时间后得到输出如下图2 (已用亮框标出) 。

根据脉动阵的特性依次取得输出端口对应时刻的值, 由此构成的上三角阵An (十六进制) 为:

2.3 QRD-MGS算法及其硬件实现

QRD-MGS算法进行QR分解的步骤如图3。图3中, ‖·‖表示求欧式范数。单下标i、j表示对应矩阵的第i行和第j列。X为中间过度矩阵。

硬件设计采用文献[9]给出的方法。

3 误差分析和资源消耗

3.1 GR算法的误差分析和资源消耗

误差计算公式如式 (4) 所示:

式中分别为矩阵An和An_mat的元素, k为矩阵元素的总数。

误差百分数的公式如式 (5) 所示:

为了使自相关矩阵值越接近RX, 仿真时我们尽可能增大采样次数。

输入数据宽度为24位时, 运用 (4) 式和 (5) 式求得采样点数分别为N=200, N=800, N=1600, N=3200时的误差情况 (十进制) , 见表1。表2则为该输入数据宽度下的硬件资源消耗情况。

观察表1, 同样的输入数据宽度下, 误差随着采样点数的增加而增大。这是因为每一次定点运算, 数据被截断成固定的长度, 这种因截断造成的误差在多次运算中得到累加。

要获得更多的采样点数, 又想减少运算过程中数据的截断或者溢出, 就需要提高运算数据的宽度, 但是输入数据宽度的增加又使得硬件的资源消耗增加。表3和表4中关于GR算法的部分则表明在相同的采样点数下, 输入数据宽度越大, 系统的误差越小, 但是硬件资源的消耗越大。

3.2 两种算法的硬件性能对比

本文引用了文献[9]对QRD-MGS算法的FP-GA实现的研究结果。比较了两种算法在相同采样点数下, 矩阵维度为4×4时, 输入数据宽度分别为14位和19位时的误差情况和硬件资源消耗, 如表3和表4。

观察表3, 在同样的数据宽度和采样点数下, 两种算法的误差值是差不多的。这与QRD-MGS算法与GR算法结果数值上相等的结论是一致的[6]。

观察表4, GR算法的硬件消耗相对较多:DSP48的消耗主要集中在乘法器上, BRAM的消耗则是集中在正弦函数发生器DDS上。

QRD-MGS算法用了除法器, 除法器的时延与处理数据的宽度成正比, 当除法器处理的数据宽度很大时, 大时延使得整个硬件系统实时性较差。4×4的矩阵, 输入数据宽度为14位时, QRD-MGS算法的时延为670个系统时钟周期, GR算法为80个系统时钟周期。

4 结论

在Xilinx的Kintex-7系列的XC7K325T芯片上实现了两种QR分解的算法:QRD-GR和QRD-MGS。分析了两种算法的误差、时延情况和硬件资源消耗。在相同精度的前提下, QRD-MGS的实时性要比QRD-GR差一些, 但是硬件资源消耗更小。因此在要求对数据能实时处理的系统中, GR算法更适用。

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自适应波束形成算法篇3

早期的电磁兼容现场测量采用分时测量方法, 即先将EUT关闭进行扫描产生电磁环境曲线, 选出幅值较高或比较敏感的频率点写入电磁环境列表。其次打开EUT, 再进行测试并将结果记录下来, 此时记录的是包含了电磁环境和EUT发射的信号。最后对混合信号分析, 剔除与电磁环境电平相同的频率点。分时测量存在测量时间的不同、环境噪声不同的问题。随着自适应滤波的发展, 参考文献[1]提出了虚拟暗室, 并且在2005年获得了专利。美国军方采用了以该专利为基础的CASSPER系统。加拿大容向科技的CASSPER系统是基于时域的自适应滤波。参考文献[2]对时域的虚拟暗室作了实验, 证明该系统在背景噪声中含有与EUT信号幅度值相同或相近成分时, 测试效果不理想。虚拟暗室在使用时受到诸多的限制, 如参考通道不能有EUT的辐射信号, 环境不能含有与EUT设备同频的信号等, 这些都限制了其应用。参考文献[3]提出了基于波束形成的干扰对消的方法, 该方法不需要参考通道依然具有良好的滤波效果。参考文献[4-5]提出了基于空域滤波的电磁辐射测量方法, 但该方法在处理相干信号时较慢, 且会出现伪峰导致波达方向估计误差从而导致滤波性能下降。

本文根据空域滤波原理, 在多维空间谱估计算法上引入空间平滑算法, 再根据波束形成技术对干扰信号形成空域滤波, 改善虚拟暗室在现场中的不足。本文介绍了空域滤波原理并仿真验证方法的有效性。其能有效改善虚拟暗室在同频信号下的测量和去除相干信号的性能。

1 基本原理

1.1 波达方向估计

MUSIC算法在估计相干信源时, Rs秩亏损使得信号特征向量扩展到噪声特征向量中, 继而导致信号空间和噪声空间不正交, 最终波达方向估计出现误差。空间平滑技术是对副相干或者强相干信号的有效处理方法。

将M个阵元的线性均匀阵列分成相互交错的p个子阵。其中每个子阵包含的m个阵元满足M=m+p-1。信号源个数为N。如图1所示, 取第一个子阵为参考子阵, 那么每个子阵的输出矢量为:

对第k个子阵, 有:

其中:

那么该子阵的数据协方差矩阵为:

其中, Am是参考矩阵的导向矢量矩阵, Rs为信号协方差矩阵, Rs=E{ssH}。

前向空间平滑技术是通过求各个子阵协方差矩阵的均值来实现的, 即取前向平滑修正的协方差矩阵为:

当满足m>N且p>N时, 前向空间平滑数据协方差矩阵Rf是满秩的。即可以通过特征分解求得相应的信号子空间和噪声子空间, 进而求出干扰信号和EUT辐射信号的来向。

1.2 阵列信号的波束形成

在获得辐射信号的波达方向后, 利用MVDR准则确定各阵元的加权系数使阵列主波束指向辐射信号。其在干扰信号的来向上形成零点, 且在最大程度上保证被测信号的完整性, 最大化抑制干扰信号。MVDR在期望信号来向上增益为1。以M阵元的线阵为例, xi (t) 表示第i个阵元接收到的信号, ωi表示对应的加权值, 则波束形成的输出功率为:

式中:W=[ω1, ω2, …, ωM]T是权矢量;X (t) 是阵列输入矢量, 此时阵列输出功率为:

式中R=E{X (t) XH (t) }是阵列输入协方差矩阵。

在波束形成器输出功率中, 信号不仅在来波方向上有贡献, 且在对波束宽度内的其他方向也有贡献。MVDR准则的波束形成就是在保持EUT辐射信号波达方向能量不变的前提下, 使干扰信号和噪声功率在波束宽度内最小化。实际上是一个约束最佳化问题的解:

式中:α (θ) 为指定方向的方向矢量。

通过式 (7) 的求解可得出MVDR波束形成器的输出功率:

2 仿真结果

本节对方法的有效性进行仿真验证。设接收阵列为一元线性阵列, 有M个阵元, 阵元间距为d。取M=8, d=200 mm。设空间中有3个不同信号, 其中一个为EUT的单频辐射信号, 一个为EUT辐射信号经地面反射的干扰信号, 第3个是环境中存在的干扰信号。所使用的均为窄带信号, 其数学形式为:

其中A0=2A1=A2, f0=400 MHz, f1=200 MHz。信号的来向分别为40°、-20°、60°, 信噪比和干噪比均为10 d B。

2.1 EUT和干扰信号来向仿真

要对背景噪声在EUT信号来向上进行波束形成, 必须先测得信号来向和各个干扰信号的波达方向, 经典MUSIC算法是对阵列信号测向的有效算法。仿真如图2所示, 在测量EUT辐射信号和相干信号时出现了较严重的偏差。对不相干信号的估计较准确, 但相干信号的波达方向就分辨不出来。

使用基于空间平滑技术的MUSIC算法估计波达方向, 仿真结果如图3所示。其较为准确地测量了EUT辐射信号和相干干扰信号的来向, 但是空间平滑技术是以牺牲分辨率为代价估计信号波达方向的。本文暂用空间平滑技术来估计EUT信号和干扰信号的波达方向。

2.2 MVDR准则的波束形成仿真

图4是基于MVDR的波束形成图, 本实验仿真的干扰和EUT辐射信号均为单频窄带信号。如图所示此时波束在干扰来向形成了精确的位置零点。在保证期望信号不失真的情况下波束对于背景噪声中不相干的窄带干扰信号有60 d B的抑制效果, 对于相干窄带干扰信号的抑制效果同样也达到了50 d B以上。

图5和图6分别是阵列接收信号和根据MVDR准则恢复出的EUT辐射信号, 虽然干扰信号含有较强的与EUT辐射信号同频的信号, 但此法仍然较好地恢复出了EUT辐射信号。对于阵元接收到的加性噪声, 该算法使得噪声下降了20 d B。

本文提出了一种解决现场电磁兼容测量的相关信号干扰的方法。将阵列信号处理运用到电磁兼容现场测量中, 相较于基于双通道的虚拟暗室, 其能较好地剔除背景噪声中与EUT辐射相干的信号。仿真验证其可获得与屏蔽暗室测试结果相一致的效果。可用来测量大型系统的电磁屏蔽效能、定位干扰源等, 具有良好的工程运用前景。由于本文的干扰和辐射信号均为窄带信号, 下步将根据阵列信号处理的先进知识对干扰和辐射进行分析使此方法适用于更复杂的环境。

摘要：在复杂的电磁环境中对电子设备进行现场测量时最大的问题是背景噪声的滤除。提出基于阵列信号处理的电磁兼容现场测量方法。利用空间平滑算法进行辐射信号的精确DOA (波达方向) 估计, 再依据最小方差无失真响应MVDR (Minimum Variance Distortionless Response) 准则进行波束形成, 从而对接收到的信号实现空域滤波。仿真结果证明, 该算法能有效滤除背景噪声中的同频相干信号, 提高现场电磁辐射测量的精度。

关键词：现场EMC测量,空间平滑算法,MVDR,波束形成

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自适应波束形成算法篇4

当相控阵雷达处于强有源干扰环境时,即使干扰信号从天线的旁瓣进入,也远大于从主瓣进入的目标信号,使得雷达无法正常工作[1]。采用自适应波束形成技术可以实现空域滤波[2],在干扰方向形成零陷,有效对消干扰。数字阵列雷达接收和发射均采用数字波束形成技术[3],具有很大的自由度,使得自适应波束形成技术能够方便应用于工程中。目前,常用的自适应波束形成算法有:自适应旁瓣对消(ASLC)和自适应-自适应波束形成(A-ADBF)。自适应旁瓣对消工程实现较容易,但其引入辅助通道增益必须和天线副瓣增益相当,当天线阵面较大时,选取一个天线阵元做为辅助通道则增益不足,而且这种算法自适应方向图在除干扰外其它方向旁瓣较高,不满足低旁瓣要求。自适应-自适应波束形成是一种性能稳健的算法,其性能接近理想滤波器,因而得到广泛使用。

文献[4]讨论了自适应数字波束形成在工程中的关键技术,提出主要需要解决运算资源与算法性能之间的矛盾。运算量小的算法稳健性较差,稳健性好的算法运算量又较大。文献[5]和文献[6]提出了利用FPGA+DSP的处理架构实现常规波束形成和自适应旁瓣对消。对于自适应-自适应波束形成,运算量更大,实现也更加困难。本文对FPGA+DSP处理架构进行了优化,使之能够实现自适应-自适应波束形成算法。DSP用于干扰协方差矩阵估计、矩阵求逆等运算,保证了运算精度,FPGA用于实现FIR滤波器结构,提高了实时性。将这种架构用于雷达信号处理机中,实测的运算速度能够满足系统指标要求。

1 自适应-自适应波束形成原理

自适应-自适应方法是一种波束空间自适应方法,其原理框图如图1所示,所有阵元加不同的权系数形成多个波束,自适应滤波可以看作阵元方向图为各波束方向图的自适应阵列。这种方法需要事先估计出干扰方向和干扰数目,形成指向干扰的若干个辅助波束,再形成指向期望方向主波束。干扰波束和主波束一起进行自适应滤波。

假设阵列输出为X(t),在期望方向形成的主波束对应的加权矢量应为:

假设有M个干扰,在干扰方向形成M个辅助波束的加权矢量应为

则包括主波束在内M+1个波束输出记为

则最优权向量为

自适应-自适应方法有效实现了降维,而且其性能比较稳健,算法收敛所需的快拍数也比全阵面少,比较适合工程应用。

2 DSP实现方法

由自适应-自适应波束形成算法可以看出,自适应处理可以分为自适应权计算和滤波运算两部分。在用DSP实现的方法中,这两个步骤都有DSP完成。首先,当发射触发到来时,各个阵列通道的数字回波经过数字波束形成系统形成一个主波束和若干个干扰波束数据。多波束数据通过DSP链路口进入DSP内部存储器,整个重复周期数据收集完后,再选取该周期末尾数据做为采样快拍估计干扰协方差矩阵,计算自适应权,计算完成后再对整个重复周期的数据从头开始进行滤波运算(即加权求和)。这种方法的缺点是:当同时有多个主波束或者脉冲重复周期较长时,DSP内部存储器资源有限,必须采用外部存储器,这时,DSP读写速度变慢,且多个主波束带来运算量成倍增加,该处理方法无法满足实时性要求。

3 FPGA+DSP实现方法

在工程中一般采用FPGA+DSP硬件处理平台完成DBF,该平台具备高数据传输速率,高并行运算能力等特点。DSP有浮点运算动态范围大的优点,用以完成干扰协方差矩阵求逆等复杂运算,计算自适应权值。FPGA适合完成大量并行乘累加算法,用以完成滤波运算。若采用该平台实现自适应-自适应波束形成,则能大大提高实时性,同时也可以和DBF一体化设计节省硬件成本。

具体工作流程如下,接收DBF在发射触发到来之前的休止期形成指向期望方向和干扰方向波束,FPGA产生中断信号通知DSP,DSP通过链路口以DMA方式从FPGA读取各个波束数据,做为采样快拍计算自适应权。同时FPGA中的波束数据缓存一段时间(此缓存可以利用FPGA外部存储器实现以节省内部存储空间),直至DSP计算自适应权完成。DSP计算完成的自适应权转换成定点数后通过DSP总线写入FPGA,在FPGA用FIR滤波器结构即可实现滤波运算。总的运算结果有效数据仅剩下主波束,且只是相对输入数据有一段延迟,因此该方法实时性很好。

4 测试结果

测试方法如下,假设天线阵列由64×64个矩形排列的阵元组成,阵元水平间距和垂直间距均为0.51倍波长,有三个干扰源,方向分别为0°0,-25°0、0°0,-18°0、0°0,-21°0和,期望波束指向为0°0,0°0,三个干扰源输入干噪比均为30d B。如图2所示为FPGA实测的自适应方向图。

可以看出,FPGA运算能够在干扰方向形成零点,有效抑制干扰,工程应用中能够满足实际需求。

5 结论

自适应-自适应波束形成算法(A-ADBF)性能稳健,能够有效抑制干扰。针对其运算量相对较大,工程实现困难的特点,本文提出一种有效的工程实现方法,该方法基于FPGA+DSP的硬件处理平台,发挥了DSP运算精度高和FPGA运算速度快的优点,易于实现且实时性好。在硬件平台上的实测结果表明,该方法能够有效抑制干扰,同时能够满足雷达系统对实时性的要求。

摘要：在相控阵雷达中常采用自适应波束形成算法来有效对消天线旁瓣干扰。但是,阵元级算法运算量巨大,在工程中必须采用降维算法。其中,波束空间降维算法A-ADBF应用较为广泛,该算法性能稳健,有效抑制干扰的同时又降低了运算量。本文针对该算法在工程中采用DSP运算速度较慢的缺点,提出了一种FPGA+DSP的工程实现方案,有效降低了运算时间。

关键词：自适应波束形成,FPGA,DSP

参考文献

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[3]王永良,丁前军,李荣锋.自适应阵列处理[M].北京:清华大学出版社,2009.

[4]徐伟.自适应波束形成算法工程应用中的关键技术研究[J].火控雷达技术,2012,41(1):39-42.

[5]刘志英,万卫华.基于FPGA+DSP的数字波束形成的实现[J].甘肃科技,2007,23(10):27-29.

一种改进的自适应波束赋形算法篇5

随着人们对无线通信需求的不断增加,巨大的通信需求量与有限的频谱资源之间的矛盾越来越突出。如何高效地利用频谱资源,在保证通信质量的基础上大规模地提高系统容量的问题成了通信界急需解决的重要课题。而智能天线技术利用信号的空间特征,在保证一定的通信质量的前提下,能够提高覆盖范围,增加系统容量。因此智能天线已成为通讯领域研究的一个重要方向。自适应波束形成算法是智能天线的核心内容[1]。在几类常见的自适应波束形成算法中,最小均方(LMS)算法因结构简单,易于实现,能稳定收敛而得到广泛应用,但它也存在收敛速度受限的缺点:固定步长因子无法解决收敛速度和稳态误差之间的矛盾[2,3]。因此,需要提出改进的最小均方算法来解决这一问题。

1 传统LMS算法

LMS算法是为了求解自适应波束形成的最佳权系数而提出的一种在实际工程上应用的算法。LMS的核心思想是在搜索权系数时,用平方误差代替均方误差,以便实现。

LMS算法用如下的梯度估计值:

$\hat{\tilde{Ν}}_{ω} ξ = \hat{\tilde{Ν}}_{ω} E {| e (n) |^{2}} = \tilde{Ν}_{ω} | e (n) |^{2}$ , (1)

即它用瞬时输出误差功率的梯度 $\tilde{Ν}_{ω} | e (n) |^{2}$ 作为均方误差梯度 $\hat{\tilde{Ν}}_{ω} E {| e (n) |^{2}}$ 的估计值。现在

ω(n+1)=ω(n)-μᐁω|e(n)|2, (2)

又因为:

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-ωHx(n),

从而可得:

ᐁω|e(n)|2=-2e*(n)x(n)。 (3)

将式(3)代入式(2),即得LMS算法的递推公式:

ω(n+1)=ω(n)+2μe*(n)x(n)。 (4)

LMS算法的最大优点是它没有交叉项,因而可以方便地写成纯量方程组[4,5]:

ωi(n+1)=ωi(n)+2μe*(n)xi(n)i=1,2,…,M。 (5)

图1给出了实现式(5)算法的控制电路的方框图。从中不难看出LMS算法每次叠代仅需要M+1次乘法和M次加法,因而运算处理相当简单。

2 改进的LMS算法

失调量是衡量LMS算法性能的一个重要指标,它反映了自适应算法最终的收敛的均方误差与维纳滤波解所产生的一个最小均方误差相比所产生的偏离程度的一个定性测量[6]。

当前在对失调量方面的研究中,人们研究的重点集中在LMS算法的失调系数:

δ=(ξ-ξmin)/ξmin,

通过确立失调量与步长μ的约束关系建立方程,然后以设定失调量的方式求解近似步长μ,建立用近似步长μ表示步长的μ迭代公式,再根据约束关系确定μ的取值范围。

LMS算法的失调系数δ=μTrRxx=MPin。当输入功率变化时,失调系数即过剩误差(ξ-ξmin)将变化。

若使LMS算法的μ值随输入功率Pin成反比变化,则过剩误差将保持不变。或者说若选:

μ(n)=δ/(μTrRxx),

则可保证LMS算法的过剩误差为给定值[7]。因为:

TrRxx=TrE{x(n)xH(n)}=E{Tr[x(n)xH(n)]}=E{xH(n)x(n)},

所以,若取:

$μ (n) = \hat{μ} / (x^{Η} (n) x (n))$ ,

即可达到上述要求。此处 $\hat{μ}$ 为控制步长的常数。此时LMS算法公式成为:

$ω (n + 1) = ω (n) + 2 \hat{μ} e^{*} (n) x (n) / (x^{Η} (n) x (n))$ , (6)

这就是归一化LMS算法的递推公式。

在实际应用中,xH(n)x(n)即输入信号功率可能很小,从而式(6)不稳定,因而通常采用如下的递推公式作为归一化LMS算法:

$ω (n + 1) = ω (n) + 2 \hat{μ} e^{*} (n) x (n) / (x^{Η} (n) x (n) + ψ)$ , (7)

式中,ψ为一正常数。

归一化LMS算法的流程如下:

参量: $\hat{μ} =$ 步长因子, $0 < \hat{μ} < 1, ψ$ 为正常数。

初始条件:ω(0)=0

运算:对n=1,2,…

① 取得x(n),d(n),x(n)由一阶AR模型产生并可表示为:x(n)=ax(n-1)+ν(n),这里ν(n)是方差为σ2的零均值高斯白噪声,a取0.99;

② 滤波y(n)=ωH(n)x(n);

③ 误差估计e(n)=d(n)-y(n);

④ 更新权向 $ω (n + 1) = ω (n) + 2 \hat{μ} e^{*} (n) x (n) / (x^{Η} (n) x (n) + ψ$ 。

3 实验仿真

下面是对归一化LMS算法的MATLAB计算机仿真结果,取独立实验次数M=100,快拍数 $Κ = 300 ‚ \hat{μ} = 0.2, ψ = 0.3$ 时,同基本的LMS算法比较,在同样的实验次数和快拍数下LMS算法取μ=0.2,得到图2。由图2可知,归一化的LMS算法比传统的LMS算法收敛快很多。

下面取ψ=0.3不变,取 $\hat{μ} = 0.1$ 和 $\hat{μ} = 0.5$ 对比得到图3和图4。

由图3和图4对比可以看出,当ψ不变时,系统随着 $\hat{μ}$ 的变大收敛速度加快,又通过仿真发现 $\hat{μ}$ 过大会引起发散,因此 $\hat{μ}$ 不能选得太大。

下面取 $\hat{μ} = 0.2$ 不变,取ψ=0.1和ψ=0.7对比得到图5和图6。

通过以上2图发现,当 $\hat{μ} = 0.2$ 不变时,增大ψ的值可使收敛变慢,选择一个较小的ψ可得到较好的收敛性能。

4 结束语

和传统的LMS算法相比,归一化LMS算法就是用变步长因子 $\hat{μ} / (x^{Η} (n) x (n) + ψ)$ 代替了原来的固定步长因子μ,它是一种变步长的改进算法。可以调整好 $\hat{μ}$ 和ψ的值,使收敛性能更好。

同时也可以看到,归一化的LMS算法失调量比传统的LMS算法有了很大的改善,它的稳态误差也比传统的LMS算法要小一些。

归一化LMS算法采用变步长因子,它比传统LMS算法收敛快,稳态误差和失调相对于LMS都有所改善。

参考文献

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[4]李强,王其申.消除噪声的一种变步长自适应滤波方法[J].光电子技术与信息,2004,17(5):62-64.

[5]杨学贤,张群英,侯紫峰.用于ADSL中的变步长LMS算法[J].通信学报,2002,23(3):78-83.

[6]叶华,吴伯修.变步长自适应滤波算法的研究[J].电子学报,1990,18(4):63-69.

自适应波束形成算法篇6

自适应阵列处理作为阵列信号处理的主要分支之一,可广泛应用于雷达、通信、声呐、导航、语音信号处理、地震监测、地质勘探、射电天文以及生物医学工程等众多军事及国民经济领域。在近30年来,其得到了迅速发展,成为多个重要研究领域的热门研究方向。自适应波束形成技术是自适应阵列处理的关键内容之一。在实际应用中,阵列的阵元往往很多,例如相控阵雷达,其阵元数就可能成百上千甚至上万,如果进行全自适应处理方式,则所需的运算量与储存量极大,并且收敛性极差,工程上难以应用。本文从波束空间理论出发,运用了一种波束形成算法,可降低计算量和加快收敛速度。

1 算法描述

在某些电子系统中,有时阵非常大,可能包含几百至几千个阵元。若采用全自适应阵,则需要对等数量的高频通道、A/D转换和加权处理,系统复杂,造价极高。这时必须采用部分自适应阵技术。根据自由度的理论,若要求波束在L1个方向有最大响应,在L2个方向形成零点,则要求的自由度为L1+L2,要求的自适应加权系数为L1+L2+1。这往往比阵的总的阵元数小得多。对于大阵列来说,如何选择或形成这L1+L2+1个通道,即如何构建部分自适应阵就成为重要的设计任务,波束空间法就是构建部分自适应阵的一种重要方法,其原理如图1所示,其中采用一个变换处理将M路阵元数据变成M1路数据后再进行加权。这M1路输出可认为是M1个波束输出。因而对此波束输出进行的处理为波束空间处理。M1=M时为全自适应阵。M1<M时为部分自适应阵。

不失一般性,假设空间阵列是由M个阵元组成的均匀线阵,有N个远场信号源,则可以认为信号是以平面波形式入射到阵列上,则第k次快拍得到的数据向量为:

X(k)=AS(k)+N(k) k=1,2,…,K (1)

式中,K为快拍数,X(K)为M个阵元的输出,S(k)为N个信号组成的矢量,N(k)为M个阵元接受的噪声矢量,阵列流型矩阵A=[a(θ1),…,a(θn)],其中a(θ)为阵列方向为θ的导向矢量。

波束空间预处理相当于阵元空间到波束空间的变换。假设需要形成波束有M′个,波束形成矩阵为T,一般情况下,要求波束形成矩阵满足

THT=I (2)

则阵元输出数据经过波束空间预处理后得到的M′个波束输出:

B(n)=THX(n)=TH[x1(n),…,xM(n)]=

[b1(n),…,bM′(n)]

其中,X(n)为根据快拍的到的矩阵接收数据,B(n)为经过波束空间预处理后得到的波束输出数据,则根据传统的LMS、RLS等算法很快可总结出基于波束空间的LMS、RLS等算法,如基于波束空间的LMS算法的计算步骤可为:

①给定初始加权矢量w(0)和步长因子u。

②取得X(n)和d(n)。

③计算B(n)=THX(n)。

④计算y(n)=wHB(n)。

⑤估计误差e(n)=d(n)-y(n)。

⑥更新加权w(n+1)=w(n)+2ue*(n)B(n)。

⑦如果收敛,则结束;不收敛,则令n=n+1,重复步骤②-⑥。

对于阵元空间方法,阵列中的每个阵元相互的地位是对等的,每个阵元对有用信号或是干扰信号的响应都是完全相同的(除了相位差之外),取消其中任何一个对整体性能都会产生基本同等的影响。而波束空间方法则不同,每个波束都具有自己的方向性,这使得不同的波束在信号环境中对有用信号或是干扰信号都存在各自不同的响应。例如,主瓣接近有用信号来波方向的波束。因此完全可以利用这种不对等性,从波束中选择比较有用的那些波束进行处理,从而抛弃那些对信号响应较小,或对干扰信号信号响应较大的波束。这样做有以下好处:降低了信号处理维数,使得总体波束形成过程中计算量减少;整体性能并不因处理维数的降低有明显下降;如果能通过波束选择有效的扼制干扰,则算法本身也可以采用较简单的形式。

2 波束形成矩阵

一般情况下,要求波束形成矩阵满足式(2),即波束形成矩阵是正交矩阵,因此当遇到波束形成矩阵不是正交矩阵时,通常采用下式对其进行处理:

T=C(CHC)-1/2 (3)

式中,C为波束形成矩阵,以保证矩阵T满足式(2)。

在假设接收信号阵列为均匀线阵的情况下,进一步设入射信号为窄带信号,阵元间距为半波长,X(n)表示在n时刻测量得到的M×1维阵元空间快拍矢量,Xi(n)表示X(n)的第i个元素,i=1,2,…,M。则第n时刻快拍矢量的离散空间傅里叶变换(DSFT)定义为:

$f (u, n) = \sum_{i = 0}^{Μ - 1} X_{i} (n) \exp [- j i π u] (4)$

其中,U=sinθ,θ为信号入射方位角。从式(4)可看出,对于固定的n,f(u,n)是u的周期为2的函数,相对应于θ在-90°到90°之间取值,-1≤u≤1。

定义M×1维DFT波束形成加权矢量为:

υM(u)=[1,exp[-jπu],exp[-j2πu],…,

exp[-j(M-1)πu]]T (5)

而均匀线阵的导向矢量为:

$\begin{array}{l} a (θ) = [1, \exp [- j \frac{2 π}{λ} d \sin θ] ‚ \dots, \exp [- j \frac{2 π}{λ} \\ (Μ - 1) d \sin θ]]^{Τ} (6) \end{array}$

其中,d为阵元间距,λ为入射波长,因此,当 $d = \frac{λ}{2}$ 时,

a(θ)=[1,exp[-jπsinθ],…,exp[-j(M-1)

πsinθ]]T (7)

对比式(5)和式(7)可知,由式(5)的波束形成加权矢量形成波束主瓣指向为θ=arcsinu。

考虑一个由M个式(5)形式的DFT波束形成加权矢量组成的M×M波束形成矩阵:

$\begin{array}{l} W = \frac{1}{\sqrt{Μ}} [υ_{Μ} (0), υ_{Μ} (\frac{2}{Μ}), \dots, υ_{Μ} (Μ - 2) (\frac{2}{Μ}), \\ υ_{Μ} (Μ - 1) (\frac{2}{Μ})] (8) \end{array}$

则式(8)中的每一列表示波束主瓣指向u=sin(2k/M)的波束形成器,其中,k=0,1,2,…,M-1,式(8)中共有M个波束形成器,每个相邻主瓣指向的间隔为Δ=2/M。

图2给出了一个16阵元半波长间距天线阵采用DFT变换对应生成的16个正交波束的方向图,从该图中可以清楚地看到这些固定波束之间的正交。

本文的目的是通过波束空间预处理形成M′个波束,显然可以通过选择式(8)中从m列开始的相邻的M′个波束形成器来形成所需要的加权矩阵:

$\begin{array}{l} Τ = \frac{1}{\sqrt{Μ}} [υ_{Μ} (m \frac{2}{Μ}), υ_{Μ} (m + 1) (\frac{2}{Μ}) ‚ \dots, υ_{Μ} (m + \\ Μ^{'} - 1) (\frac{2}{Μ})] (9) \end{array}$

显然,上式满足式(2)。

图3画出了阵元间距为半个波长的16元均匀线阵在法线方向附近的5个正交波束方向图。

3 仿真分析

3.1 方向图

设天线阵列为d =λ/ 2 的等距均匀线阵,阵元数为16。

试验1: 波束空间算法与阵元空间算法的方向图仿真性能比较。干扰方向为-60度,信号方向为30度,假设有足够的快拍数,应用文中所述波束空间LMS算法。图4(a)为全自适应自适应方向图,图4(b)为DFT波束空间法采用全部16个DFT正交波束的自适应方向图。从两图中可以看出,两种方法的自适应方向图几乎相同。虽然性能上没有恶化,但此时没有达到降维的目的,计算量没有减少,工程实现的成本没有减少。

试验2:波束空间算法中不同波束数的方向图仿真性能比较。仿真条件同试验1,图5(a)、图5(b)分别画出了波束为2和5时的自适应方向图,当波束为2时,主瓣没有明显变化,副瓣电平与全自适应相差不明显,且干扰方向零陷深度减小;当波束为5时,主瓣没有明显变化,副瓣电平与全自适应相比有明显降低,且干扰方向零陷深度与全自适应相差不明显。

3.2 收敛速度和方差

试验3:波束空间算法与阵元空间算法的收敛方差和速度仿真性能比较。仿真条件同试验1,从图6中可以发现,采用波束空间法比全自适应法的收敛速度有明显加快,收敛方差也明显减小。

试验4:波束空间算法中不同波束数的收敛方差和速度仿真性能比较。仿真条件同试验1,从图7中可发现,采用2个波束和5个波束所得到的收敛方差和速度没有明显区别。

通过上述的理论与仿真分析,可得出如下主要结论。

①当波束数等于阵元数时,DFT波束空间算法性能与阵元空间算法相同。

②一般情况下波束空间算法中随着波束数的减少其算法收敛性能没有大影响,只要所应用的波束方向包括有用信号来波方向,这正说明了波束的不对等性。但随着波束数的变少其波束增益会明显变化,导致方向图副瓣明显升高,性能恶化。

③波束空间自适应滤波算法的优点在于:减小了计算量、降低了收敛方差、加快了收敛速度。

④波束空间算法属于空间谱估计算法中的预处理算法,所以可将其推广到大多数自适应滤波算法,如推广到RLS、SMI、QRD-LS 及盲自适应算法等。

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[4]王永良,丁前军,李荣锋.自适应阵列处理[M].北京:清华大学出版社,2009.

[5]金荣洪,耿军平,范瑜,等.无线通信中的智能天线[M].北京:北京邮电大学出版社,2006.

稳健数字波束形成算法研究篇7

关键词：数字波束形成,Capon,稳健的,自适应

0 引言

波束形成算法通过调整自适应加权,使得波束主瓣对准期望信号方向,零陷对准干扰信号方向,从而提高系统输出信干噪比。但是当期望信号方向估计不够精确或期望信号阵列响应与真实响应之间不匹配时,系统输出性能将急剧下降。这就需要研究一些稳健的数字波束形成算法,它们对上述误差的存在并不敏感。

近年来出现了许多稳健的数字波束形成算法。一类是基于DOA估计的稳健数字波束形成方法,主要有基于特征空间的算法、导数约束法、矢量旋转法和对角加载技术;另一类是盲波束形成算法,其特点是不需要阵列校验、波达方向和训练序列等先验知识,如恒模算法,它利用信号的恒模特性提取有用信号;基于高阶累积量的方法利用信号的高阶统计特性分离出有用信号;相比之下,基于信号周期平稳特性的算法有许多优点,因为绝大多数通信信号是周期平稳的,且很容易找出它们之间不同的周期频率。

1 稳健的Capon波束形成算法研究

1.1 标准Capon波束形成算法

在介绍稳健的Capon波束形成算法之前,先给出标准Capon波束形成算法的公式。要求的Capon加权向量w0是一个M×1的列向量,它是下面线性约束二次方程式的解:

$\min_{w} w^{*} R w$ 满足w*a0=1, (1)

上式的解是:

$w_{0} = \frac{R^{- 1} a_{0}}{a_{0}^{*} R^{- 1} a_{0}}, (2)$

这时波束w0指向的期望信号的功率由公式w*0Rw0来近似计算。将式(2)代入功率σ $_{0}^{2}$ 的计算公式,得到期望信号的近似功率:

$\tilde{σ}_{0}^{2} = \frac{1}{a_{0}^{*} R^{- 1} a_{0}}$ 。 (3)

1.2 稳健Capon波束形成算法

文献[1]中给出的Capon波束形成算法公式如下:

maxσ2满足R-σ2aa*≥0。 (4)

稳健的Capon波束形成算法是在式(4)的基础上增加了一个不确定椭球体约束条件(其中, $\bar{a}$ 和C是给出的):

$[a - \bar{a}]^{*} C^{- 1} [a - \bar{a}] \leq 1$ , (5)

这样,稳健的Capon波束形成算法就可以归纳为:

$\max_{σ^{2}, a} σ^{2}$ 满足R-σ2aa*≥0, (6)

a满足 $[a - \bar{a}]^{*} C^{- 1} [a - \bar{a}] \leq 1$ 。

如果a确定了,令a0=a,代入式(3),就可以得到期望信号的近似功率 $\hat{σ}_{0}^{2}$ ,它是式(6)的解。这样,式(6)就可以简化成式(7):

$\min_{a} a^{*} R^{- 1} a$ 满足 $[a - \bar{a}]^{*} C^{- 1} [a - \bar{a}] \leq 1$ 。 (7)

因为任何一个正定矩阵C都可以分解成如下形式:

$C^{- 1} = \frac{1}{ε} D^{*} D, (8)$

对于ε>0时:

$D = \sqrt{ε} C^{- 1 / 2}$ , (9)

令 $\overset{⌒}{a} = D a ‚ \bar{\overset{⌒}{a}} = D \bar{a} ‚ \overset{⌒}{R} = D R D^{*}$ , (10)

这样式(7)就变成:

$\min_{\overset{⌒}{a}} \overset{⌒}{a}^{*} \overset{⌒}{R} \overset{⌒}{a}$ 满足 $∥ \overset{⌒}{a} - \bar{\overset{⌒}{a}} ∥^{2} \leq ε$ , (11)

另外,在求解式(7)时,不失一般性,可以令C=εI,这样式(7)就变成一个球体约束条件下的二次最优化问题:

$\min_{a} a^{*} R^{- 1} a$ 满足 $∥ a - \bar{a} ∥^{2} \leq ε$ 。 (12)

可以看出,对式(7)从不同的角度进行推导,得到的式(11)和式(12)形式是完全一样的。

为了去掉式(12)的a=0这个解,假设:

$∥ \bar{a} ∥^{2} > ε$ 。 (13)

当式(13)成立时,显然式(12)的解出现在约束集合的边界上,这样式(12)就变成一个等式约束的二次最优化问题:

$\min_{a} a^{*} R^{- 1} a$ 满足 $∥ a - \bar{a} ∥^{2} = ε$ 。 (14)

式(14)可以用拉格朗日乘子法来计算:

$f = a^{*} R^{- 1} a + λ (∥ a - \bar{a} ∥^{2} - ε)$ , (15)

式中,λ≥0。以a为自变量,对式(15)求导,可以得到:

$R^{- 1} \overset{⌢}{a}_{0} + λ (\overset{⌢}{a}_{0} - \bar{a}) = 0$ , (16)

进而得到一最优解:

$\overset{⌢}{a}_{0} = \bar{a} - (Ι + λ R)^{- 1} \bar{a}$ 。 (17)

将式(17)代入式(14)中的约束等式,得到下式:

$g (λ) = ∥ (Ι + λ R)^{- 1} \bar{a} ∥^{2} = ε$ 。 (18)

式(17)确定的最优解中λ的值就是式(18)的解:

对R进行特征值分解:

R=UΓU*, (19)

γ1≥γ2≥…≥γM是R的特征值。

令 $z = U^{*} \bar{a} ‚ z_{m}$ 表示z的第m个元素。这样式(18)就可以写为:

$g (λ) = \sum_{m = 1}^{Μ} \frac{| z_{m} |^{2}}{(1 + λ γ_{m})^{2}} = ε$ , (20)

从式(18)和式(20)就可以得到λ的解:

$\frac{∥ \bar{a} ∥ - \sqrt{ε}}{γ_{1} \sqrt{ε}} \leq λ \leq \min {(\frac{1}{ε} \sum_{m = 1}^{Μ} \frac{| z_{m} |^{2}}{γ_{m}^{2}})^{1 / 2}, \frac{∥ \bar{a} ∥ - \sqrt{ε}}{γ_{Μ} \sqrt{ε}}}$ , (21)

将式(21)代入式(17)就得到a的一个最优解 $\hat{a}_{0}$ 。

将 $\hat{a}_{0}$ 分别代入式(2)和式(3),就得到稳健Capon波束形成算法的加权向量和期望信号的功率值:

$\begin{array}{l} \overset{⌢}{w}_{0} = \frac{R^{- 1} \overset{⌢}{a}_{0}}{\overset{⌢}{a}_{0}^{*} R^{- 1} \overset{⌢}{a}_{0}} = \\ \frac{(R + \frac{1}{λ} Ι)^{- 1} \bar{a}}{\bar{a}^{*} (R + \frac{1}{λ} Ι)^{- 1} R (R + \frac{1}{λ} Ι)^{- 1} \bar{a}}, (22) \end{array}$

$\overset{⌢}{\tilde{σ}}_{0}^{2} = \frac{1}{\overset{⌢}{a}_{0}^{*} R^{- 1} \overset{⌢}{a}_{0}}$ 。 (23)

从式(22)可以看出,这种稳健的Capon波束形成算法的加权向量和对角加载波束形成算法的加权向量形式一致,只是在求对角加载因子λ时的出发点不同、求法不同,不过本质上它也是一类对角加载方法。

2 仿真

仿真以双平行线阵(24阵元)为例进行。定义方位角θ 为信号到达方向在阵列平面上的投影与水平横轴的夹角,仰角φ为到达方向与阵列平面的夹角。2个信号为:

s1=sin(2*pi*fc*t+5*cos(80*t)),

s2=sin(2*pi*fc*t),

fc=600 MHz,入射角分别为θ1=θ2=0°,φ1=60°,φ2=40°。当存在指向误差时,分别利用稳健的Capon数字波束形成算法和盲信号分离算法中的快速定点ICA算法进行仿真,下面是指向误差Δ=3°仿真波束图。

从上面仿真可以看出,当存在指向误差时,这里利用的2种稳健波束形成算法其波束指向和零点指向均指向了实际方向,并没有受到指向误差的影响,稳健性好,所以对目标信号的侦收效果好。

3 结束语

首先提出当存在阵列误差或测向误差时,常规数字波束形成算法的性能会急剧下降,接着列举了一些主要的稳健数字波束形成算法,然后对稳健Capon数字波束形成算法进行了介绍,其中进行了详细的公式推导,最后给出了仿真和结论。仿真结果表明,这种算法应用于窄带信号的侦收可以获得较好的分离效果,并且稳健性好,工程应用前景好,从而为实现通信对抗中的多信号侦收提供了有效途径。

参考文献

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[2]程春悦,吕英华.存在阵列导引向量误差时的自适应波束形成算法[J].信号处理,2007,23(03):321-324.

[3]王登伟,吕英华,张博,等.基于光纤无线电的优化自适应波束形成算法[J].半导体光电,2007,28(05):709-712.

[4]闫冰冰,代月花,陈军宁,等.一种简化特征空间稳健自适应波束形成算法[J].计算机应用研究,2011,28(11):4057-4059.

[5]苏帅,冯杰,孙超.空域预滤波的稳健自适应波束形成方法[J].声学技术,2008,27(01):9-13.

【自适应波束形成算法】推荐阅读：

发送波束形成06-22

自适应算法09-02

自适应演化算法05-12

RLS自适应算法08-26

自适应动态反馈算法09-20