稳定性约束论文

2024-08-21

稳定性约束论文（精选7篇）

稳定性约束论文篇1

摘要：在考虑轨道随机不平顺激励和自身结构参数随机因素作用的前提下建立了弹性约束轮对带Hamilton函数的伊藤随机微分方程组,根据拟不可积Hamilton系统的随机平均法把该方程组表示为一维扩散的平均伊藤随机微分方程。运用Oseledec乘性遍历定理求解了系统的最大Lyapunov指数并得到了系统的随机局部稳定性的条件;通过分析一维扩散奇异边界的性态得到了随机全局稳定性的条件。结果表明,系统的稳定性主要由内在乘性激励控制,但又随着外在激励的改变而改变;不同随机强度下轮对系统有着不同的失稳临界速度,这和不能考虑随机因素作用下的确定性轮对系统只有一个确定的失稳临界速度有着本质区别。

关键词：拟不可积Hamilton系统,伊藤随机微分方程,Oseledec乘性遍历定理,奇异边界

0 引言

轮对在轨道随机不平顺的作用下产生受迫横向振动,在惯性力和一系悬挂力的约束下,轮对力图保持其原有的运动状态,而踏面相对于变化的轨道位置产生几何偏移,这又会引起蛇形运动,因而车辆自激蛇行运动和受迫响应同时存在。在以往的研究中,对车辆的受迫响应进行了大量深入的研究并形成了较为完整的轨道车辆随机振动力学。而蛇行运动的研究历史可追溯至一个多世纪以前的Stephenson,随后许多研究人员进行了深入的研究,车辆系统横向运动稳定性的研究经历了一个由线性到非线性的过程,不同的研究人员建立了许多线性的、非线性的系统模型,并针对这些模型提出了具体的定量或定性的方法[1,2,3,4,5],同时建立了较为完整和丰富的轨道车辆稳定性和分岔理论,这些理论对提高和保障车辆的运行性能起到了重要作用,但这些研究都是在确定性系统框架内进行的。对于结合两者的研究鲜有学者涉及,但现实世界中随机扰动和结构自身参数随机影响是普遍存在的,这些因素经常使得系统呈现出随机性、不确定性,所以有必要分析在考虑外部随机轨道激励和自身结构参数随机因素作用前提下系统的随机稳定性,这样的分析更能反映系统的真实行为,同时也是满足理论发展的需要。

1 弹性约束轮对随机模型的建立

轨道车辆是一个多刚体多自由度的非线性系统,其非线性动力学行为比较复杂, 如果以完整的车辆系统对其非线性随机动力学行为进行理论分析往往比较困难,国内外学者常采用简化的轮对模型进行理论研究,为此,笔者建立了如图1所示的弹性约束轮对的随机几何模型,模型中考虑了轨道随机不平顺影响,另外,还考虑了橡胶簧不均质性及其在动态环境运行中对其刚度的随机影响。轨道随机不平顺分为轨道高低不平顺、轨道水平不平顺、轨道方向不平顺、轨距不平顺。其中,轨道方向不平顺是激发轮对产生横向运动,并引起轨道车辆左右摇摆和侧滚振动的主要原因;轨距不平顺主要影响轮轨接触几何关系,并对轮轨磨耗、车辆运行稳定性及安全性有较大影响;而高低和水平不平顺是引起垂向振动的主要原因。在本文的随机模型中主要考虑对横向稳定性影响较大的方向和轨距不平顺影响。方向不平顺视为对系统的横向随机位移激励,而轨距不平顺考虑轮轨接触几何关系中对稳定性影响最明显的随机等效锥度的影响。

由图1的随机几何模型建立的Lagrange方程为

式中,m为轮对质量;y为横向位移;f11为纵向蠕滑系数;f22为横向蠕滑系数;v为初始预设速度;ky为一系横向刚度;kx为一系纵向刚度;b为一系悬挂距离之半;l为滚动圆距离之半;r0为轮对半径;δ1为接触几何非线性控制参数;δ2为接触几何非线性控制参数;D为噪声强度;λe为等效锥度;ψ为摇头位移;β1、β2、β3为控制参数;I为轮对转动惯量;ω(t)为均值是0、强度为2D的高斯白噪声。

将式(1)两边分别除以m和I得

令 $\dot{q}_{1} = p_{1}, \dot{q}_{2} = p_{2}$ ,则式(2)可表示为二维微分方程组:

式中,p1、p2分别为广义位移和广义动量。

系统的Hamilton函数(广义能量)可设为

$Η = \frac{1}{2} p_{1}^{2} + \frac{1}{2} p_{2}^{2} + \frac{b_{1}}{2} q_{1}^{2} + \frac{b_{2}}{2} q_{2}^{2}$ (5)

则式(1)带Hamilton函数形式的Hamilton方程为

式中,“。dB(t)”为Itô意义下的积分。

$\begin{array}{l} m_{11} (q_{1}, p_{1}) = a_{1} m_{12} (q_{1}, p_{2}) = \frac{d_{1} q_{2} + δ^{'}_{1} q_{1}^{3} + δ^{'}_{2} q_{1}^{5}}{p_{2}} \\ σ_{11} = (β^{'}_{1} q_{1} + β^{'}_{21} q + β^{'}_{3}) \sqrt{2 D} \\ m_{21} (q_{2}, p_{1}) = \frac{d_{2} q_{1}}{p_{1}} \\ m_{22} (q_{2}, p_{2}) = a_{2} σ_{22} = β^{'}_{22} q_{1} \sqrt{2 D} \end{array}$

根据拟不可积Hamilton系统的定义及性质[6,7,8,9],式(6)依概率收敛到一维Itô扩散过程,以H表示这一极限扩散过程,则支配该随机过程的平均Itô随机微分方程为

$d Η = \bar{m} (Η) d t + \bar{σ} (Η) d B (t)$ (7)

式中,B(t)为标准Weiner过程; $\bar{m} (Η)$ 、 $\bar{σ} (Η)$ 分别为一维Itô随机扩散过程的飘移系数与扩散系数。

利用拟不可积Hamilton系统随机平均法[6,7,8,9]有

把式(6)代入式(8)可得

积分上式可得漂移系数与扩散系数分别为

2 弹性约束轮对模型的随机稳定性

2.1 随机局部稳定性

通过计算系统的最大Lyapunov指数来判断随机局部稳定性是一种有效的方法。由Oseledec 乘性遍历定理可知:式(7)的平凡解依概率1渐进稳定的充要条件是最大Lyapunov指数λ<0。对于式(7)只有解(0,0)唯一一组平凡解,其线性化后的方程为

$d Η = {\bar{m}}^{'} (0) Η d t + {\bar{σ}}^{'} (0) Η d B (t)$ (11)

式(11)解为

$\begin{array}{l} Η (t) = Η (0) \exp {\int_{0}^{t} [{\bar{m}}^{'} (0) - \\ ({\bar{σ}}^{'} (0))^{2} / 2] d s + \int_{0}^{t} {\bar{σ}}^{'} (0) d B (s)} (12) \end{array}$

最大Lyapunov指数定义为

$λ = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln ∥ X (t$ ;x0)‖ (13)

在本文轮对系统中定义新的范数‖X(t;x0)‖=H2(Q,P),对机械/结构系统而言,H(Q,P)表示系统的总能量,它是非负的。对线性Hamilton系统,H(Q,P)为Qi、Pi的齐二次式;对非线性Hamilton系统,H(Q,P)为非Qi,Pi的齐二次式,该范数仍可作为相空间中系统状态至平凡解距离的度量,况且在平凡解领域,H(Q,P)中Qi、Pi的二次式常占主导地位,所以以H2(Q,P)定义范数在物理上是合理的。

于是,线性化后系统的最大 Lyapunov 指数为

$\begin{array}{l} λ = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln Η^{2} (Q, Ρ) = \lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} \ln Η (Q, Ρ) = \\ \lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} {\ln Η (0) + \int_{0}^{t} [{\bar{m}}^{'} (0) - ({\bar{σ}}^{'} (0))^{2} / 2] d s + \\ \int_{0}^{t} {\bar{σ}}^{'} (0) d B (s)} = 2 [{\bar{m}}^{'} (0) - ({\bar{σ}}^{'} (0))^{2} / 2] = \\ \frac{D β_{1}^{´ 2} + D β_{22}^{´ 2} + 2 D β^{'}_{1} β^{'}_{21} + D β_{21}^{´ 2}}{b_{1}} - \\ \frac{2 d_{1} \sqrt{b_{1}} + 2 d_{2} \sqrt{b_{2}}}{π \sqrt{b_{1} b_{2}}} - (a_{1} + a_{2}) - \\ \frac{D β_{21}^{´ 2} + D β_{1}^{´ 2} + D β_{22}^{´ 2} + 2 D β^{'}_{1} β^{'}_{21}}{3 b_{1}} - \frac{2 D β^{'}_{22} (β^{'}_{21} + β^{'}_{1})}{3 b_{1} π} (14) \end{array}$

当式(14)的最大 Lyapunov指数λ<0时,系统的平凡解是局部稳定的,也就意味着即使系统受到随机因素的作用,但当满足上述条件时,轮对随机系统在平凡解附近仍可处于较稳定状态,系统可以正常运行;当λ>0时,系统的平凡解是局部不稳定的,这会使得在随机因素的作用下,在平衡位置附近的区域出现失稳现象;当λ=0时,系统可能发生随机分岔。

2.2 随机全局稳定性

值得注意的是基于乘积遍历性定理的最大Lyapunov指数只能识别系统的随机局部稳定性,而对系统的全局稳定性则无能为力。为此,我们采用随机扩散过程的奇异边界理论来判断系统的全局随机稳定性[10,11]。

扩散过程在边界的性态很大程度上决定了整个扩散过程的性质[12,13]。对于一维扩散过程,其概率渐近稳定性与平稳概率密度的存在性可以完全由该过程在边界上的性态确定。一维随机扩散过程的边界性态能够决定其全局概率渐近稳定性,对于现在所研究的受随机轨道激励和参激的弹性约束轮对系统而言,包含两个奇异边界形态:左边界H→0和右边界H→+∞。首先考虑β3≠0情况。当H→0时,该随机过程的漂移系数 $\bar{m} (Η)$ 和扩散系数 $\bar{σ}^{2} (Η)$ 渐近收敛于:

$\begin{array}{l} \bar{m} (Η) = D β_{3}^{´ 2} + Ο (Η^{0}) \\ \bar{σ}^{2} (Η) = D β_{3}^{´ 2} Η + Ο (Η^{1}) \end{array}$

当H→0时有 $\bar{σ}^{2} (Η) \to 0$ ,据奇异边界划分标准可知,该随机过程的左边界为第一类奇异边界分类。相应的该随机过程的左边界的漂移指数、扩散指数和特征标值分别为βl、αl和cl(下标l表示左边界):

$\begin{array}{l} β_{l} = 0 α_{l} = 1 \\ c_{l} = \lim_{x \to x_{l}^{+}} \frac{2 m (x) (x - x_{l})^{α_{l} - β_{l}}}{σ^{2} (x)} = \lim_{Η \to 0} \frac{2 m (x) Η}{σ^{2} (x)} = 2 \end{array}$

当H→+∞时,漂移系数 $\bar{m} (Η)$ 和扩散系数 $\bar{σ}^{2} (Η)$ 渐近收敛于:

$\begin{array}{l} \bar{m} (Η) = - \frac{2 δ_{2} Η^{3}}{3 π b_{1}^{5 / 2}} + Ο (Η^{3}) \\ \bar{σ}^{2} (Η) = [\frac{D β_{21}^{´ 2} + D β_{1}^{´ 2} + D β_{22}^{´ 2} + 2 D β^{'}_{1} β^{'}_{21}}{3 b_{1}} + \\ \frac{2 D β^{'}_{22} (β^{'}_{21} + β^{'}_{1})}{3 b_{1} π}] Η^{2} + Ο (Η^{2}) \end{array}$

漂移指数、扩散指数和特征标值分别为

$\begin{array}{l} β_{r} = 3 α_{r} = 2 \\ c_{r} = \lim_{x \to x_{l}^{+}} \frac{2 m (x) (x - x_{l})^{α_{l} - β_{l}}}{σ^{2} (x)} = \lim_{Η \to + \infty} \frac{2 m (x) Η}{σ^{2} (x)} = \\ \frac{- \frac{4 δ_{2}}{3 π b_{l}^{5 / 2}}}{\frac{D β_{21}^{´ 2} + D β_{1}^{´ 2} + D β_{22}^{´ 2} + 2 D β^{'}_{1} β^{'}_{21}}{3 b_{1}} + \frac{2 D β^{'}_{22} (β^{'}_{21} + β^{'}_{1})}{3 b_{1} π}} \end{array}$

由边界类别的划分可知:左边界H→0为进入边界,解曲线由系统的左边界进入系统内部,系统的形态在左边界处是不稳定的;右边界H→+∞为进入边界,解曲线由系统的右边界进入系统内部,系统的形态在右边界处也是不稳定的。即:解曲线都从左右边界进入,则系统稳定态在内部,具体位置需要通过计算系统的FPK方程得到。图2为解曲线对系统全局稳定性影响示意图。

再来考虑β3=0情况:

(1)当H→0时,漂移系数 $\bar{m} (Η)$ 和扩散系数 $\bar{σ}^{2} (Η)$ 渐近收敛于:

$\begin{array}{l} \bar{m} (Η) = [\frac{D β_{1}^{´ 2} + D β_{22}^{´ 2} + 2 D β^{'}_{1} β^{'}_{21} + D β_{21}^{´ 2}}{2 b_{1}} - \\ \frac{d_{1} \sqrt{b_{1}} + d_{2} \sqrt{b_{2}}}{π \sqrt{b_{1} b_{2}}} - \frac{1}{2} (a_{1} + a_{2})] Η + Ο (Η^{1}) \\ \bar{σ}^{2} (Η) = [\frac{D β_{21}^{´ 2} + D β_{1}^{´ 2} + D β_{22}^{´ 2} + 2 D β^{'}_{1} β^{'}_{21}}{3 b_{1}} + \\ \frac{2 D β^{'}_{22} (β^{'}_{21} + β^{'}_{1})}{3 b_{1} π}] Η^{2} + Ο (Η^{2}) \end{array}$

漂移指数、扩散指数和特征标值分别为

βl=1 αl=2

$\begin{array}{l} c_{l} = [\frac{D β_{1}^{´ 2} + D β_{22}^{´ 2} + 2 D β^{'}_{1} β^{'}_{21} + D β_{21}^{´ 2}}{b_{1}} - \frac{2 d_{1} \sqrt{b_{1}} + 2 d_{2} \sqrt{b_{2}}}{π \sqrt{b_{1} b_{2}}} - \\ (a_{1} + a_{2})] / [\frac{D β_{21}^{´ 2} + D β_{1}^{´ 2} + D β_{22}^{´ 2} + 2 D β^{'}_{1} β^{'}_{21}}{3 b_{1}} + \\ \frac{2 D β^{'}_{22} (β^{'}_{21} + β^{'}_{1})}{3 b_{1} π}] \end{array}$

(2)当H→+∞时,漂移系数 $\bar{m} (Η)$ 和扩散系数 $\bar{σ}^{2} (Η)$ 渐近收敛于:

漂移指数、扩散指数和特征标值为

$\begin{array}{l} β_{r} = 3 α_{r} = 2 \\ c_{r} = \lim_{x \to x_{l}^{*}} \frac{2 m (x) (x - x_{l})^{α_{l} - β_{l}}}{σ^{2} (x)} = \lim_{Η \to + \infty} \frac{2 m (x) Η}{σ^{2} (x)} = \\ \frac{- \frac{4 δ_{2}}{3 π b_{1}^{5 / 2}}}{\frac{D β_{21}^{´ 2} + D β_{1}^{´ 2} + D β_{22}^{´ 2} + 2 D β^{'}_{1} β^{'}_{21}}{3 b_{1}} + \frac{2 D β^{'}_{22} (β^{'}_{21} + β^{'}_{1})}{3 b_{1} π}} \end{array}$

由边界类别的划分可知:右边界H→+∞为进入边界,解曲线由系统的右边界进入系统内部。同时,当cl>1时左边界H→0是排斥自然的;cl=1时左边界H→0是严格自然的;cl<1时左边界H→0是吸引自然的。若左边界为吸引自然的,则在系统状态空间中,位于状态空间内部的所有的解曲线都将渐近地收敛到左边界处,即系统平凡解处稳定,当参数满足该条件时即为随机全局稳定性条件。图3为特征标值变化对系统全局稳定性的影响示意图。

综合上述两种情况:当系统仅仅受到内在乘性激励时,系统参数满足一定条件后在原点处保持渐进稳定,而当系统又受到外在激励时,系统的稳定点发生了漂移,原点变得不稳定。这说明系统的稳定性主要由内在乘性激励控制,但又随着外在激励的改变而改变。

下面结合表1分析给定参数下,轮对系统的随机稳定性随参数变化的数值结果。

图4为不同随机等效锥度强度下的最大李雅普诺夫指数图。由图4a有:随着轮对运行速度的增大,系统的最大李雅普诺夫李雅普诺夫指数λ逐渐增大,此处的李雅普诺夫指数表示系统能量的指数变化率。当速度逐渐增大到vλ时,最大李雅普诺夫指数逐渐增大并趋近于零,此时随着系统运行时间的推移能量会逐渐减小并收敛到平衡位置;当速度大于vλ后,最大李雅普诺夫指数不再小于零,随着系统运行时间的推移,系统能量逐渐增大,此时系统不再稳定;当v=vλ时,λ=0,系统可能会出现随机分岔。

从图4a～图4d的变化可知:随着等效锥度随机强度控制参数由0.17增大到0.2,轮对的失稳速度由56m/s减小到40m/s,说明等效锥度随机强度对轮对失稳速度有较大影响。

为了更为直观地分析弹性约束轮对系统随着速度和噪声强度参数变化时的随机稳定性,绘制了最大Lyapunov指数的三维图(图5)和稳定域/不稳定域边界示意图(图6)。由图5、图6可知:随着速度和噪声强度的增大,最大Lyapunov指数均逐渐增大,当两者达到一定值后,最大Lyapunov指数会由负变正,即系统由稳定变为不稳定;同时,从稳定域/不稳定域边界示意图可以看出,在随运行速度和噪声变化时,系统按照不同的取值分为稳定性区域和不稳定性区域,不同的噪声强度系数取值对应着不同的失稳临界速度。

这说明在考虑轨道随机因素和系统结构自身的随机因素作用后,不同随机强度下的轮对系统有着不同的失稳临界速度,这与在不能考虑随机因素作用下得出的确定性轮对系统只有一个确定的失稳临界速度有着本质区别。

3 结束语

当系统仅仅受到内在乘性激励时,系统参数满足一定条件后在原点处保持渐进稳定,而当系统同时又受到外在激励时,系统的稳定点会发生漂移,这说明系统的稳定性主要由内在乘性激励控制,但又随着外在激励的改变而改变。

不同随机强度下的轮对系统有着不同的失稳临界速度,这和不能考虑随机因素作用下的确定性轮对系统只有一个确定的失稳临界速度有着本质区别,而车辆在实际运行中始终会处于轨道随机和结构自身随机因素的作用,考虑随机因素后的轮对失稳临界速度更能反映系统的真实运动行为,另外,这也为确定性系统框架下无法解释的轨道车辆在不同线路等级条件下拥有不同的失稳临界速度提供了理论解释。

稳定性约束论文篇2

扰动问题解的稳定性是多目标规划理论中的一个重要研究课题。文献[1]在Euclid空间中研究了向量目标函数和约束函数受扰动时, 多目标规划的锥有效解和锥弱有效解分别在上半连续和下半连续意义下的稳定性。文献[2]讨论了多目标规划的可行集和目标空间的控制结构受扰动时, 多目标规划的非受控解在半连续意义下的稳定性。文献[3]在Banach空间中研究了向量目标函数和控制结构同时受扰动时, 双扰动多目标规划的锥有效解和锥弱有效解的稳定性。文献[4]研究了在拓扑向量空间中多目标规划的约束锥受扰动时, 多目标规划的锥有效解和锥弱有效解在闭的和半连续意义下的稳定性。现在文献[4]的基础上, 在Banach空间中研究当约束锥和控制锥同时扰动时, 双扰动多目标规划的锥有效解和锥弱有效解在半连续意义下的稳定性。

1 定义和引理

设A和B是Banach空间。

定义1 设集合U⊂A, V⊂B, 点集映射φ:U→2V, a→φ (a) 并且 $\bar{a}$ ∈U,

(1) 若对任意点列{ak}⊂U, ak→ $\bar{a}$ 和bk∈φ (ak) , bk→ $\bar{b}$ 有 $\bar{b}$ ∈φ ( $\bar{a}$ ) , 则称φ在点 $\bar{a}$ 处是上半连续的;

(2) 若对任意点列{ak}⊂U, ak→ $\bar{a}$ 和 $\bar{b}$ ∈φ () , 存在正整数N和点列{bk}⊂U有 $b^{k} \in φ (a^{k}), (k \geq Ν), b^{k} \to \bar{b}$ , 则称φ在点 $\bar{a}$ 处是下半连续的;

(3) 若φ在点 $\bar{a}$ 处既是上半连续的又是下半连续的, 则称φ在点 $\bar{a}$ 处是连续的。

定义2 设集合 U⊂Aφ (u) ∈V (u∈U) , 点集映射φ:U→2V, u→φ (u) , 并且 $\bar{u}$ ∈U。若存在点 $\bar{u}$ 的邻域 $Ν (\bar{u})$ 使得 $\bar{\underset{u \in Ν (\bar{u})}{\cup} φ (u)}$ 是紧集, 则称φ在点 $\bar{u}$ 附近是一致紧的。

定义3 设Y1⊂Y是非空集合。C⊂Y是内部非空的尖闭凸锥,

(1) 若 $\tilde{y}$ ∈Y1, 并且不存在y∈Y1使得 $\tilde{y} - y \in C {0}$ , 则称 $\tilde{y}$ 是集合Y1的C-有效点, Y1的所有C-有效点组成的集合记作E (Y1, C) ;

(2) 若 $\tilde{y}$ ∈Y1, 并且不存在y∈Y1使得 $\tilde{y} - y \in int C$ , 则称 $\tilde{y}$ 是集合Y1的C-弱有效点, Y1的所有C-弱有效点组成的集合记作EW (Y1, C) 。

记domφ={u∈A:φ (u) ≠φ}, graphφ={ (u, v) ∈A×B:u∈domφ, v∈φ (u) }。

设A, B和E是Banach空间, C⊂B是非平凡的内部非空的尖闭凸锥, B中的序由锥C确定。考虑扰动多目标规划问题

(1)

(1) 式中x∈X, X⊂A, t∈T, T⊂E, f:X→2V, g:X→2E, X是非空集合, C⊂B是内部非空的尖闭凸锥。D (t) ⊂E受扰动的内部非空的尖闭凸锥。K (v) 是B受扰动的内部非空的尖闭凸锥。设domf=X, domg=X, 记

$\tilde{X} (t) = {x \in X | - g (x) \in D (t)}, t \in Τ$ ;

$\tilde{Y} (t) = f (\tilde{X} (t)) = \underset{x \in \tilde{X} (t)}{\cup} f (x), t \in Τ$ 。

并且记集值映射 $\tilde{X}$ :T→2A, t→ $\tilde{X}$ (t) ; $\tilde{Y}$ :T→2B, t→ $\tilde{Y}$ (t) 。对每一个t∈T, 记 $\tilde{X}$ (t) 的强内部为 $S - int \tilde{X} (t) = {x \in X | - g (x) \in int D (t)}$ .记 $\tilde{Y}$ (t) 的K (v) -有效点集和K (v) -弱有效点集分别为εtv ( (t) , K (v) ) 和ε $_{w}^{t v}$ ( $\tilde{Y}$ (t) , K (v) ) , t∈T, v∈V。

关于集值映射D:T→2E, t→D (t) 假设满足条件

(H) 对每一个t∈T, 若d∈intD (t) , 则存在d的邻域P⊂E和t的邻域Q⊂T, 使得P∈intD (t′) , ∀t′∈Q。

引理1 设T⊂E, X⊂A是紧集, $\tilde{X}$ (t) 是非空集合。f在X上是连续的, K (v) 是内部非空的尖闭凸锥, 若集值映射D是闭的和下半连续的g在X上是连续的, 且对每一个t∈T有 $c l (S - int \tilde{X} (t)) = \tilde{X} (t)$ 。则有 $\tilde{Y}$ 在T上是下半连续的。

证明首先证明 $\tilde{X}$ 在T上是闭集值映射。事实上, 设{ (tα, xα) }是 $\tilde{X}$ 的图形graph $\tilde{X}$ 中的一个网且收敛于点 (t0, x0) ∈T×X, 因为xα∈ $\tilde{X}$ (tα) , 所以g (xα) ∈D (tα) 由于g在X上是连续的, 从而g (xα) 收敛到g (x0) 。又集值映射D是闭的, 故g (x0) ∈D (t0) 即x0∈ $\tilde{X}$ (t0) , 再证明 $\tilde{X}$ 在T上是下半连续的。设tα→t0, tα∈T对任意的x0∈ $\tilde{X}$ (t0) 和x0的任意开集P⊂X因为 $c l (S - int \tilde{X} (t_{0})) = \tilde{X} (t_{0})$ 所以 $Ρ \cap (S - int \tilde{X} (t_{0})) \neq Φ$ 。取 $\tilde{x} \in Ρ \cap (S - int \tilde{X} (t_{0}))$ , 则有 $- g (\tilde{x}) \in D (t_{0})$ 。由假设 (H) 存在t0的邻域Q⊂T使得对任意的t∈Q有 $- g (\tilde{x}) \in int D (t)$ , 于是 $\tilde{x} \in Ρ \cap (S - int \tilde{X} (t))$ 。依次取tα∈Qα可得到-g (xα) ∈intD (tα) 由Q的任意性可得到收敛子列, 即有xα→x0, xα∈ $\tilde{X}$ (tα) 。

下证 $\tilde{Y}$ 在T上是闭集值映射。设{ (tα, yα) }是 $\tilde{Y}$ 的图形graph $\tilde{Y}$ 中的一个网且收敛于点 (t0, y0) ∈T×Y, 因为 $y_{α} \in \tilde{Y} (t_{α}) = f (\tilde{X} (t_{α}))$ 所以存在 $x_{α} \in \tilde{X} (t_{α})$ 使得yα=f (xα) 。由X是非空紧集和 $\tilde{X}$ (t) ⊂X, 知存在{xα}的子网使它在X中收敛, 不妨设xα→x0, 又 $\tilde{X}$ 在T上是闭集值映射, 故x0∈ $\tilde{X}$ (t0) , 由f在X上是连续性可得

$y_{0} = \lim y_{α} = f (x_{0}) \in f (\tilde{X} (t_{0})) = \tilde{Y} (t_{0})$ 。

现证 $\tilde{Y}$ 在T上是下半连续的。设t0∈T, 对任意的y0∈ $\tilde{Y}$ (t0) 和y0的任意开集S⊂Y, 由 $\tilde{Y}$ (t) 的定义知存在x0∈ $\tilde{X}$ (t0) 使得y0=f (x0) 。由于f在X上是连续, 故存在x0的邻域G0⊂X使得对任意的x∈G0有

S∩f (x) ≠φ (2)

因为 $\tilde{X}$ 在T上是下半连续的, 则对给定的G0存在t0的邻域H⊂T, 使得对∀t∈H有 $G_{0} \cap \tilde{X} (t) \neq φ$ 。取P=H则由以上两式可知对∀t∈H有 $Ρ \cap f (\tilde{X} (t)) \neq φ$ , 故 $\tilde{Y}$ 在T上是下半连续的。

引理2 设T⊂E, X⊂A是紧集, $\tilde{X}$ (t) 是非空集合。f在X上是连续的, $\tilde{Y}$ 在点t0∈T附近是一致紧的。K (v) 是内部非空的尖闭凸锥, 若集值映射D在点t0处是连续的且满足假设 (H) , g在X上是连续的, 且对每一个t∈T有 $c l (S - int \tilde{X} (t)) = \tilde{X} (t)$ 。则有 $\tilde{Y}$ 在t0是连续的。

证明 $\tilde{Y}$ 在t0是上半连续的证明见文献[4], 又有引理1的证明知 $\tilde{Y}$ 在t0是下半连续, 故 $\tilde{Y}$ 在t0是连续的。

引理3 设Y为Banach空间的子集Q (y) 为Y到Rp中的集值映照, 对y∈Y, Q (y) 凸且在 $\tilde{y}$ 下半连续, yk∈Y, zk∈Rp, yk→ $\tilde{y}$ , zk→ $\tilde{z}$ , $\tilde{z}$ ∈intQ ( $\tilde{y}$ ) , 则{k:zk∉Q (yk) }为有限集。

证明见文献[3]中引理1。

2 锥有效点集和锥弱有效点集的稳定性

考虑多目标规划问题 (1) 式记由K (v) 确定的映射为Kv, 由εtv ( $\tilde{Y}$ (t) , K (v) ) 和ε $_{w}^{t v}$ ( $\tilde{Y}$ (t) , K (v) ) 确定的映射为εtv和ε $_{w}^{t v}$ 。

定理1 设T⊂E, X⊂A是紧集, $\tilde{X}$ (t) 是非空集合。f在X上是连续的, $\tilde{Y}$ 在点t0∈T附近是一致紧的。K (v) 是内部非空的尖闭凸锥, 若集值映射D在点t0处是连续的且满足假设 (H) , g在X上是连续的, 且对每一个t∈T有 $c l (S - int \tilde{X} (t)) = \tilde{X} (t)$ 。

(1) $\tilde{Y}$ ( $\tilde{t}$ ) 是K ( $\tilde{v}$ ) 严格凸的, Kv在点 $\tilde{v}$ 处是下半连续的, 则εtv ( $\tilde{Y}$ (t) , K (v) ) 在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的。

(2) Kv在 $\tilde{v}$ 处是下半连续的, 则ε $_{w}^{t v}$ ( $\tilde{Y}$ (t) , K (v) ) 在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的。

证明 (1) 设点列 ${(t^{k}, v^{k})} \subset Τ \times V ‚ t^{k} \to \tilde{t}, v^{k} \to \tilde{v} ‚ k \to \infty$ 和yk∈εtv (tk, vk) , yk→ $\tilde{y}$ , 下证 $\tilde{y}$ ∈εtv ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) , 由引理2知故 $\tilde{Y}$ 在 $\tilde{t}$ 是连续的, 从而在 $\tilde{t}$ 处是上半连续的。由yk∈εtv (tk, vk) ⊂ $\tilde{Y}$ (tk) 有 $\tilde{y}$ ∈ $\tilde{Y}$ ( $\tilde{t}$ ) 。用反证法, 假设 $\tilde{y}$ ∉εtv ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 由已知 $\tilde{Y}$ ( $\tilde{t}$ ) 是K ( $\tilde{v}$ ) 严格凸的, 不难推知 $\tilde{y}$ ∉ε $_{w}^{t v}$ ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) , 所以存在y′∈ $\tilde{Y}$ ( $\tilde{t}$ ) , 使得

$\tilde{y} - y^{'} \in int Κ (\tilde{v})$ (3)

又由 $\tilde{Y}$ 在 $\tilde{t}$ 处是下半连续的, 知存在正整数N1和点列 ${\bar{y^{k}}} \subset V$ 使 $\bar{y^{k}} \in \tilde{Y} (t^{k}), k \geq Ν_{1} \bar{y^{k}} \to y^{'}$ , 因此由yk→ $\tilde{y}$ 和式 (3) 得到

$y^{k} - \bar{y^{k}} \to \tilde{y} - y^{'} \in int Κ (\tilde{v})$ (4)

于是存在充分大的N2当k≥max (N1, N2) 时有

$y^{k} - \bar{y^{k}} \in int Κ (\tilde{v})$ (5)

由已知Kv在 $\tilde{v}$ 处是下半连续的, vk→ $\tilde{v}$ 以及式 (4) 由引理3知除有限个k外, 均有 $y^{k} - \bar{y^{k}} \in Κ (v^{k})$ 。因此存在某一k′≥max (N1, N2) 有 $y^{k^{'}} - \bar{y^{k^{'}}} \in Κ (v^{k})$ , 并且 $y^{k^{'}} \neq \bar{y^{k}}$ (否则代入式 (5) 得0∈intK ( $\tilde{v}$ ) 矛盾) , 即对这个k′有

$y^{k^{'}} - \bar{y^{k^{'}}} \in Κ (v^{k}) {0}$ (6)

故由定义便知yk∉εtv (tk, vk) , 这与已设矛盾, 即证。

(2) 与定理1 (1) 的证明类似, 利用引理3可证。

3 锥有效解集和锥弱有效解集的稳定性

记 (VP) 的K (v) 有效解集和K (v) 弱有效解集分别为

$E^{t v} (t, v) = E (\tilde{Y} (t), Κ (v)), t \in Τ, v \in V$ (7)

$E_{w}^{t v} (t, v) = E_{w} (\tilde{Y} (t), Κ (v)), t \in Τ, v \in V$ (8)

由Etv (t, v) 和E $_{w}^{t v}$ (t, v) 确定的点集映射分别为Etv:T×V→2U×2V, (t, v) →Etv (t, v) 和E $_{w}^{t v}$ :T×V→2U×2V, (t, v) →E $_{w}^{t v}$ (t, v) 。

引理4 设T⊂E, X⊂A是紧集, $\tilde{X}$ (t) 是非空集合。 $\tilde{X}$ 在 $\tilde{t}$ ∈T处是上半连续的, f在 $\tilde{X}$ ( $\tilde{t}$ ) 处是连续的, 若点集映射εtv (ε $_{w}^{t v}$ ) 在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的, 则Etv (E $_{w}^{t v}$ ) 在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的。

证明设点列 ${(t^{k}, v^{k})} \subset Τ \times V ‚ t^{k} \to \tilde{t}, v^{k} \to \tilde{v} ‚ k \to \infty$ 和{xk}⊂Etv (tk, vk) xk→ $\tilde{x}$ , k→∞。显然, $x^{k} \in \tilde{X} (t^{k})$ 。由已知 $\tilde{X}$ 在 $\tilde{t}$ ∈T处是上半连续的 $\tilde{x}$ $\in \tilde{X} (\tilde{t})$ , 另外由xk⊂Etv (tk, vk) 有f (X (tk) , f ( $\tilde{X}$ (tk) ) ∈εtv (tk, vk) 。由f的连续性及 $\tilde{X}$ (tk) 的连续性可知f ( (tk) ) →f ( $\tilde{X}$ ( $\tilde{t}$ ) ) 。由于εtv在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的, 有f ( $\tilde{X}$ ( $\tilde{t}$ ) ) ∈εtv ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 。于是 $\tilde{t}$ ∈Etv ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) , 由定义Etv在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的。关于E $_{w}^{t v}$ 的证明与Etv的证明类似。

定理2 设T⊂E, X⊂A是紧集, $\tilde{X}$ (t) 是非空集合。f在X上是连续的, $\tilde{Y}$ 在点t0∈T附近是一致紧的, K (v) 是内部非空的尖闭凸锥, 若集值映射D在点t0处是连续的且满足假设 (H) , g在X上是连续的, 且对每一个t∈T有 $c l (S - int \tilde{X} (t)) = \tilde{X} (t)$ 。Kv在点 $\tilde{v}$ 处是下半连续的。

(1) f在 $\tilde{X}$ ( $\tilde{t}$ ) 上是连续的和K ( $\tilde{v}$ ) 严格凸的, $\tilde{X} (t)$ 在点 $\tilde{t}$ 处是连续的和凸的, 并且在该点附近是一致紧的.则Etv在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的。

(2) f在 $\tilde{X}$ ( $\tilde{t}$ ) 上是连续的, $\tilde{X}$ (t) 在点 $\tilde{t}$ 处是连续的, 并且在该点附近是一致紧的。则E $_{w}^{t v}$ 在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的。

证明 (1) 由定理1的证明过程可知 $\tilde{Y}$ 在点 $\tilde{t}$ 处是连续的。因为 $\tilde{X}$ (t) 在点 $\tilde{t}$ 处是连续的和凸的, 再从f在 $\tilde{X}$ ( $\tilde{t}$ ) 上是连续的和K ( $\tilde{v}$ ) 严格凸的, 由定理1知εtv在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的, 再由引理4知Etv在点 ( $\tilde{t}$ , $\tilde{v}$ ) 处是上半连续的。

定理2 (2) 与定理2 (1) 的证明类似。

摘要：研究了Banach空间中的约束锥和控制锥同时受扰动时, 其锥有效点集和锥弱有效点集在半连续意义下的稳定性。在此基础上, 得到了约束锥和控制锥扰动多目标规划问题的锥有效解集和锥弱有效解集在半连续意义下的稳定性。

关键词：半连续性,多目标规划,锥有效点,锥有效解,稳定性

参考文献

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[4]周轩伟.约束锥扰动多目标规划锥有效解集的闭性和半连续性.系统科学与数学, 2003;23 (4) :441—451

[5]胡毓达.Banach空间双扰动多目标规划的稳定性.自然科学进展, 1996; (4) :543—548

稳定性约束论文篇3

随着电力系统的不断发展和扩大,为满足不断增长的负荷需求,电网在接近极限输送能力状态下运行,从而较大程度上威胁着电压稳定。负荷增长和设备停运是导致电压失稳的两个主要原因。当负荷缓慢增长引起母线电压缓慢下降,在逼近临界点时系统运行人员可以采取相应的控制措施。当系统的负荷不断增加,输电系统承载不断加重时,输电线路停运将使系统的稳定域即刻收缩而导致电压的突然失稳。

在电压稳定研究方面,常利用一些指标来衡量电网的电压稳定能力,它能让运行人员了解当前系统离电压临界点还有多远或者稳定裕度有多大,由于裕度指标具有线性度好、直观、易于理解等优点,因此成为目前应用比较广泛的电压稳定性指标。在计算过程中,一般把当前系统与临界点的距离用可额外传输的负荷功率来表示,称之为负荷裕度。它的大小直接反应了当前系统承受负荷波动,维持电压稳定的能力。求取系统电压稳定临界点的各种方法:有连续潮流法[1,2]、直接法[3,4]、基于最优潮流的方法[5]等。

非线性规划法将电压稳定临界点的求取转化为优化负荷问题[6]。文献[7]在求取电压稳定临界点的过程中把有功电源上下限、无功电源上下限、节点电压上下限作为不等式约束,并没有考虑线路传输有功功率约束的影响。随着负荷的不断增加可能由于某条线路的输电能力大小。在本文中把线路有功传输功率作为不等式约束加入到模型中,采用原对偶内点法[8,9]来求解,通过与不考虑线路有功传输约束时各支路的潮流进行对比分析,找到其中的薄弱支路。文中最后比较和分析了这两种情况下求得的系统临界值的差异。

2 考虑线路有功约束的负荷裕度模型

以运行点位于静态安全域为电压稳定判据,求解系统的负荷裕度模型为

等式约束为扩展潮流方程:

不等式约束为系统静态安全运行约束:

式中,SB为所有节点的集合;SG为有功电源的集合;SR为无功电源的集合;θij为节点i与节点j之间的相角差;Gij、Bij分别为导纳矩阵元素的实、虚部;i=1,2…N;N为节点数;PDi、QDi分别为节点i上的负荷有功和无功功率;不等式约束中PGi、QRi、Vi、Pij分别为有功发电、无功发电、节点电压、线路ij的传输有功功率;上标“—”表示上限值;下标“—”表示下限值;λ∈R1为标量,反应负荷水平的参数;DPi=[DP1,…,DPn]T、DQi=[DQ1,…,DQn]T为负荷的增长方向。

3 原始-对偶内点法求解

3.1 原始-对偶内点法

非线性原对偶内点法将对数壁垒函数与牛顿法结合起来应用到非线性规划问题,该方法收敛迅速,鲁棒性强,对初值的选择不敏感,在求解电力系统优化问题中已得到广泛的应用。

将式(1)～式(3)转化为如下模型求解:

式中,(l,u)∈Rr为松弛变量;x∈Rn为状态变量;λ=0对应初始运行点。

利用拉格朗日方法将约束优化问题转化为无约束优化问题,形成拉格朗日函数:

式中,y=[y1,…,ym],z=[z1,…,zr],w=[w1,…,wr]均为拉格朗日乘子。该问题极小值存在的必要条件是拉格朗日函数对所有变量及乘子的偏倒数为0,得到以下非线性方程:

式中,。定义Gap=lTz-uTw,称为互补间隙。

然后用牛顿法求解式(10)～式(16),得到修正方程即可,详细的求解过程参考文献[7]。

原始-对偶空间中最大步长按下式确定:

3.2 原始-对偶内点法流程

原对偶内点法计算负荷裕度的流程图如图1所示。其中初始化部分包括:

(1)设优化问题各变量的初值;

(2)设置松弛变量l、u.,保证[l,u]T>0;

(3)设置拉格朗日乘子z、w、y,使它们满足[z>0,w<0,y≠0]T;

(4)取中心参数σ∈(0,1),给定计算精度ε=10-6,迭代初值k=0,最大迭代次数kmax=50。

4 算例分析

本文以IEEE-30节点系统进行仿真,图2是IEEE-30节点系统的接线图,数据采集来自文献[10],基准功率为100 MW。在进行计算的过程中负荷采用原功率因数增长。把系统分为两种情况来比较:一种是不考虑线路有功潮流安全约束;另一种是把线路有功潮流约束考虑进去。线路有功边界是指线路可以传输有功的最大值。

随着模拟负荷的不断增加,当不考虑线路有功传输约束时有15条支路的有功潮流出现越界,这些越界的支路是系统的薄弱支路。表1是这15条支路功率在第一种情况下出现的最大功率值。

从表1可以看出:不考虑线路有功传输约束时,这15条薄弱支路出现有功潮流越界,最大值均超过了线路的最大传输能力。图3和图4分别是薄弱支路7和28在两种情况下的有功功率迭代分布图。

从图3和图4可以看出:不考虑线路有功传输约束时,随着负荷的不断增加,线路4-6和线路22-24的有功功率变化幅度比较大,而且最大值均越过它们的边界范围;考虑线路有功传输约束时,随着负荷的增加,线路上的有功功率变化比较平稳,都在线路可以传输功率的范围之内。

表2是系统在临界处的有功及无功值。在第二种情况下求得的系统临界值要比第一种情况小,由于在第二种情况下不等式组的解集要比第一种情况下的小。考虑线路有功传输约束时,求得的结果更准确,便于系统运行人员更准确地了解系统运行状态,防止电压失稳事故的发生。在第二种情况下的迭代次数要比第一种情况大,这是由于在计算过程中考虑线路有功传输约束,求解过程中需要的迭代步长较小,在寻优过程中需要更多的迭代次数来满足约束条件下的解。所以在进行静态电压稳定分析时应该考虑线路有功传输约束的影响。

5 结论

本文在求解电压稳定临界点的过程中,把线路有功传输功率约束加入到不等式中。通过对比两种情况下支路潮流的分布曲线可以识别其中的薄弱支路,系统调度运行人员能更好地监视系统的各支路潮流。通过数值仿真,验证了本模型的正确性和有效性,更符合实际要求。本方法可为电力系统的规划及运行人员提供系统的负荷裕度,这对系统的安全可靠性具有非常重要的指导意义。

参考文献

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稳定性约束论文篇4

关键词：光伏并网,安全约束机组组合,Benders,混合整数规划,不确定性,区间估计

0 引言

目前,世界各地都在开展大容量光伏并网工作。相比于传统火力、水力发电等常规发电方式,光伏发电最显著的特点是其出力具有间歇性、波动性和随机性[1,2,3,4,5],这使得光伏电站通常被当作系统的扰动源,假设光伏并网系统的发电量能够全部被所在负荷点吸收,在实际系统中光伏出力作为负的负荷,与原负荷进行线性组合形成等效负荷[6],通过这种方式获取的不确定性负荷并不是电网的实际负荷[7],这势必会影响系统中传统旋转机组的优化调度,因此必须配合常规电源,以确保电能可以安全稳定地输送到用户端。然而,大量的光伏并网使得总负荷减少,若机组不改变原有的启停计划,可能造成线路有功功率越限。另一方面,在机组组合中引入光伏发电系统,可为系统运行节省燃料成本,减少能源消耗及温室气体排放,缓解环境污染。为保证光伏并网后能充分调动电网的输电能力,实现电网经济性与安全性的和谐统一,需要重点研究大容量光伏并网与电网安全约束机组组合SCUC(Security-Constrained Unit Commitment)的问题。

国内外关于求解机组组合的方法很多。文献[8]给出了一种优先级表的计算方法;文献[9]提出了一种基于粒子群优化算法解决电力系统机组组合问题的智能算法;文献[10]应用拉格朗日松弛法来解决机组组合问题。然而,所有这些方法都只考虑了发电与负荷的功率平衡、旋转备用等基本约束,并未提出计及负荷及光伏预测误差不确定性的机组组合方法。因此,本文在混合整数规划MIP(Mixed Integer Programming)法[11]的研究基础之上,利用Benders分解算法在安全约束组合优化中的割集分解思想,以区间量的形式描述负荷及光伏发电预测值,提出了一种求解计及负荷和光伏出力不确定性的SCUC模型的方法,最后通过算例分析了系统加入光伏前后的经济效益变化以及不同指标下的总运行费用。

1 系统的不确定性模型

1.1 负荷的不确定性模型

目前,在短期负荷预测的应用领域中已有很多成熟的理论[12]。其中,文献[13]给出了一种能够精确预测短期负荷的方法,即假定事先可以获取以τ为时间间隔的Γ周期内的负荷预测值,并将实际负荷的不确定性表示为一个具有零均值、呈正态分布的预测误差e赞1,即总体服从期望为μ1=0、标准差为σ1的正态分布,则实际负荷可近似表示为:

其中,Ptload为t时刻实际负荷值;Ptload.f为t时刻事先获取的负荷预测值;Δdtload为t时刻不确定的负荷预测误差。

1.2 光伏出力的不确定性模型

电力系统中光伏电源作为一种扰动源,其出力的波动性和不确定性是很难被预知的,可以采用与负荷预测建模相同的方法对光伏出力预测进行建模,将实际光伏出力的不确定性表示为一个具有零均值、呈正态分布的预测误差e赞2,即总体服从期望为μ2=0、标准差为σ2的正态分布,则实际光伏出力可近似表示为:

其中,Ptpv为t时刻实际光伏出力值;Ptpv.f为t时刻事先获取的光伏预测值;Δgtpv为t时刻不确定的光伏出力预测误差。

2 基于预测误差的SCUC模型

2.1 目标函数

在只考虑系统中火电机组及光伏电站的运行成本的情况下,将光伏电站被全额消纳的出力作为“负的负荷”与原负荷进行线性组合,就形成了所谓的“等效负荷”。因此,含光伏并网发电系统的目标函数为火电机组的煤耗费用及启停费用最小,即:

其中,Ui,t为机组i在t时刻的运行状态,开机时取1,停机时取0;T为时间常数;Ng为机组数;Pi,t为机组i在t时刻的有功出力值;ai、bi、ci为机组i的煤耗量特性常数;αi为机组i的启动和维护费用;βi为机组i在冷却环境下的启动费用;τi为机组i的冷却速度时间常数;Tio,tff为机组i截止到t时刻连续停机的时间。

2.2 约束条件

由于负荷及光伏出力预测误差的随机性,所以约束条件中存在不确定性变量。因此,本文采用区间估计法[15]将负荷及光伏出力的不确定性表示为区间量的形式,允许所做决策在一定程度上不满足约束条件,而采用置信度控制这种不满足约束的风险,兼顾了风险和成本。根据区间估计理论,在样本方差已知的情况下,可以获得样本均值在置信度为1-α下的置信区间为:

其中,α为不确定性变量的期望显著性水平;μt为t时刻不确定性变量的期望;μα/2为α/2时刻不确定性变量的期望;σt为t时刻不确定性变量的标准差。

因此,含有不确定参变量的发电与负荷功率平衡以及系统旋转备用容量的约束条件可表示为:

其中,[Ptload,min,Ptload,max]和[Ptpv,min,Ptpv,max]分别为t时刻根据预测获得的负荷及光伏出力的区间量,Ptload,max和Ptload,min分别为t时刻系统负荷的最大值与最小值,Ptpv,max和Ptpv,min分别为t时刻光伏出力最大值与最小值。每一时刻都对应一种场景,若干时刻就会出现无数种场景,事实上,以下3种极限场景即可满足描述问题的需要:式(5)中负荷取最大值,光伏出力取平均值;式(6)中负荷取最大值,光伏出力取最小值;再补充一个负旋转备用容量约束式使得机组的最小出力能够满足光伏出力最大时的系统平衡需求。这三者就可以确保满足极端情况下的机组出力要求,即:

其中,Pimax和Pimin分别为机组i的最大和最小技术出力;Rt为t时刻系统的旋转备用容量,取负荷的5%,单位为MW。

常规约束条件包括机组有功功率技术出力、机组输出有功功率调整率、机组的最小启停时间,即:

其中,Xoni,t和Xioff,t分别为机组i的最小启动时间和最小停运时间;Tion和Tioff分别为机组i的启动所需时间和停机所需时间;Piup为机组i的最大爬荷速率,Pidown为机组i的最大卸荷速率,单位为MW/h。

静态网络安全约束可以采用发电机输出功率转移分布因子(GSDF)将其线性化表示为:

其中,M为节点数;为节点j对线路l的功率转移分布因子;Pj,t为节点j在t时刻的净注入功率;Plmax为线路传输功率最大值。

3 模型求解的Benders分解算法

3.1 算法优化机制

为了便于描述Benders分解算法的优化机制,将原问题抽象表达为如下形式[14]:

其中,b和h为常数;min f(x)为目标函数,m维整型变量x表示机组启停状态变量,即输出的有功功率;m维连续变量y表示复杂变量;e为定义在Rm×Rm的m×m维矢量函数。Benders分解包括以下步骤。

步骤1:将原问题进行降维处理,即不考虑原问题中的约束式(16),得到线性优化问题模型,如式(17)所示。

求解此模型即可得到优化结果。

步骤2:为了检验步骤1中的优化结果是否满足不等式约束式(16),引入非负的松弛变量向量s,形成优化问题模型的从决策,如式(18)所示。

其中,μ为与松弛变量具有相同维度的单位向量。

步骤3:在从决策中引入松弛变量s的作用是当给定的优化结果不满足约束条件式(16)时,用该变量来暂时缓解这一情况,以确保步骤2中的优化问题模型有解。式(17)、(19)构成了原问题的主决策。当式(18)表示的目标函数时,利用主决策获得的优化结果不可行。因此,主决策在下次迭代中需要向式(17)补充Benders割,以对优化结果进行修正,补充的Benders割可以表示为:

其中,π为从决策获得最优解时x相对于目标函数值的灵敏度。这样,通过对主从决策的交替求解,最终可以获得满足约束式(15)、(16)的优化结果。

步骤4:设置收敛条件,即在主从决策进行n次迭代过程中,当从决策松弛变量s=0时,满足

,则算法结束。ε为预先设定第k次迭代与第k+1次迭代所得优化结果的偏差。

Benders分解算法流程如图1所示。

3.2 SCUC的求解

本文所要解决的问题属于混合整数规划问题,直接求解较为复杂,因此基于Benders算法的优化机制,将SCUC问题分解为一对相互制约的主问题MP(Master Problem)和子问题SP(Sub-Problem),这样可极大地简化求解过程,并且可以调用具有多种优化算法的CPLEX软件,寻求全局最优解。

主问题是不考虑网络安全约束式的机组组合问题,子问题则是机组启停状态完全确定情况下对各支路有功功率是否越限的检测问题,可描述为:

其中,L为线路总数量;虚拟变量χl,t为反映线路l上的传输功率对机组启停状态的制约程度。检测问题模型的目标函数和约束条件都是线性的,可以采用文献[15]的方法求解。在主问题优化开始时,应对不可行的机组组合方案进行修正,以消除虚拟变量,从而可进一步消除线路有功功率越限的情况,达到静态网络安全约束的要求。根据直流潮流约束的表达方式,采用wlt表示第l条传输线路在t时刻机组启停状态变量与虚拟变量之间的牵制关系,作为消除虚拟变量的衡量标准。显然,若能够修正机组启停方案使wlt≤0,则可以消除线路有功功率越限。主问题应该补充的Benders割为:

其中,为主问题的解;为子问题机组的有功功率输出,对子问题中停运的机组以Pimax代替;ζi,t为当前决策量。

4 算例及分析

Benders算法流程图见图2。应用MATLAB和CPLEX,在内存为4 G,主频为2.2 GHz的双核PC机上对系统进行建模。如图3所示加入了光伏的WSCC 9节点、3机组系统,母线7处安装额定功率为50 MW的光伏发电机组。机组数据、机组运行参数及线路参数参照文献[16],该系统最大负荷功率为259 MW。

如图4(a)、(b)所示为负荷及光伏出力区间量表示(图中负荷率、光伏出力率为标幺值),其预测负荷误差的标准差为σload=0.05 p.u.[8]、σpv=0.10 p.u.[17],据此可以计算得到各时段系统负荷及光伏出力区间量,分别如表1、2所示。

针对以上数据进行计算,图5所示为WSCC 9节点系统在计及电网安全约束和预测误差不确定性的机组启停方案,可以看出系统中的3台机组在每个时段都全部开机,各机组的出力情况如表3所示,此时系统总的运行成本为$94558.2。

针对以上数据,表4反映了2种运行指标下系统总运行费用的差异,若不计光伏电站的建设成本,光伏并网下SCUC问题的总运行费用为,而无光伏并网的SCUC总运行费用为,这说明光伏并网后使整个电网系统总的煤耗费用降低,即光伏电站的发电功率承担了系统的一部分负荷。

如图6所示为在样本数量为24 h,且预测误差标准差σload=0.05 p.u.、σpv=0.10 p.u.时,不同置信区间下机组组合总运行费用的变化趋势,可见随着置信度的增大,置信区间的精度逐渐降低,负荷及光伏出力区间量范围扩大,等效负荷需求量增加,因此提高了总发电,增加了运行费用。

5 结论

本文基于传统SCUC问题的研究,引入了光伏发电并网系统,并用直流潮流约束进行求解。在考虑负荷及光伏出力时,采用区间量概念,并通过借用Benders算法在大规模混合整数规划问题中的灵活性和高效性,建立了光伏并网下考虑电网安全约束的机组组合模型,应用MATLAB和CPLEX对光伏并网后的WSCC 9节点系统进行了仿真分析,结果表明该机组组合模型可以在确保系统安全运行的情况下,可使其运行成本达到最低,具体结论如下。

(1)在安全问题上,光伏作为负的负荷加入系统会抵消一部分实际负荷,若此时不改变发电机组的启停方案可能会造成线路传输功率越限,利用本文所提出的方法可以重新确定光伏并网下的机组启停方案,消除线路有功功率越限情况,使系统恢复到原安全状态。

(2)在经济方面,光伏并网可减少部分火电机组的煤耗,使系统在光伏并网下的总体运行成本较无光伏并网下的大幅降低;而光伏并网下考虑网络安全约束后的总运行成本要比光伏并网下不考虑安全约束的又略有上升,这是因为考虑安全约束后会增加部分机组启停费用。

稳定性约束论文篇5

随着我国电网规模的进一步扩大以及大容量发电机的不断投入,重要的500 k V枢纽变电站高压侧三相短路电流已经面临着超过断路器遮断电流的威胁,严重降低了系统的抗风险能力和调度的灵活性。采用串联电抗器限制500 k V母线三相短路电流是一种有效措施[1,2,3],但是串联电抗器价格较为昂贵,而且会增长电气距离,降低受端母线电压,并对电网稳定性带来不利影响,所以在系统中不宜加装过多。因此,对串抗器进行优化配置、减少加装串抗器的数量和阻抗显得尤为重要。

传统配置方法主要依靠经验和反复的试验,效率低,而且无法把握全局效果。文献[4]提出一种电力系统限流措施的优化方法,将限制短路电流问题转化为一个常规混合整数规划问题进行求解。文献[5]提出一种基于粒子群算法的串联电抗器优化方法,在测试系统及实际电网中取得良好效果。但是目前所有串联电抗器优化算法并没有在优化过程中计及暂态稳定约束,而是通过对优化结果的稳定性校验判断配置方案是否满足稳定性的要求,若不满足稳定性要求,则需要修改串联电抗器容量范围,重新进行优化。这一过程往往需要依赖实际工程经验,而且增加了工作量。所以这种不考虑稳定约束的串联电抗器优化配置算法并不全面,在优化过程中计及暂态稳定性是十分必要的。

在优化中处理暂态稳定约束的方法有2类:时域仿真法和暂态能量函数法。基于时域仿真的方法有差分化方法和基于约束转换技术的方法[6]。前者将系统动态方程差分为代数方程从而建立静态优化模型,采用优化方法求解。后者利用约束转换技术处理包含代数微分方程组的附加约束,将函数空间的优化问题转换为常规的静态优化问题求解。在实际应用时,差分化方法可能会出现维数灾问题,而约束转化技术虽然降低了系统的规模,但是每次计算负担过重。而暂态能量函数法主要是利用能量函数法计算系统稳定裕度及其灵敏度,进而判断系统是否满足约束条件,常用的方法有单机等值法[7]、故障模式法[8]、基于稳定域边界的主导不稳定平衡点法(BCU法)[9]等。相比而言,能量函数法易于求得系统稳定裕度,并能快速计算线路故障临界切除时间(CCT)。

本文在文献[5]的基础上利用BCU法计算暂态稳定裕度,提出考虑暂态稳定约束的串联电抗器优化算法。根据串联电抗器对系统稳定性影响的特点,确定暂态稳定约束所需考虑的线路故障范围,减少暂态稳定分析计算量。在优化过程中对这些线路故障的稳定裕度进行计算,从而保证优化结果满足稳定性的要求。通过测试系统的仿真及与常规优化配置算法结果的比较,验证了本文方法的有效性和可行性。

1 常规串联电抗器优化配置模型

1.1 串联电抗器数学模型

常用串联电抗器配置方式有串接于分段母线联络线方式和串接于线路方式[10]。前者需要母线可分段运行,而且要求分段母线间留有一定空间用于安装串联电抗器。考虑到配置的通用性,本文一律采用串接于线路方式配置串联电抗器。

本文采用一种简化串联电抗器模型[5],假设与超标母线相连的线路上都加装了串联电抗器,其等值电路如图1所示。

当Δzij=0时,表示线路上未配置串联电抗器;当Δzij>0时,表示线路上配置了串联电抗器,串联电抗器阻抗为Δzij。

需要注意的是对于双回线和三回线而言,若需加装串联电抗器,则每一回线都需要加装串联电抗器,且阻抗值必须相同。在计算导纳矩阵时,采用文献[4]的方法,避免反复重构导纳矩阵,节约计算时间。

1.2 常规串联电抗器优化配置模型

常规串联电抗器优化配置模型可以表示为

其中,F(x)表示目标函数;G(x)表示等式约束;H(x)表示不等式约束。

1.2.1 目标函数

本文从经济性角度,通过配置串联电抗器的总成本来评价配置方案的优劣。投入总成本包括串联电抗器的设备成本和安装成本。其设备成本可以近似认为与其阻抗值成正比,而其安装成本可认为与其配置数量成正比,则目标函数表示为

其中,g1表示单台串联电抗器安装成本;g2表示单位Ω串联电抗器的制造成本;xi表示第i条线路安装的串联电抗器阻抗值;NCLI表示安装串联电抗器的台数。

考虑到实际配置成本会受到原材料成本及劳动力成本的影响,而单台串联电抗器安装成本与单位Ω串联电抗器的制造成本的比值(即g1:g2的值)变化很小,可以采用成本系数进行计算。实际成本就在成本系数和的基础上乘以当前单位成本系数的花费。

1.2.2 等式约束条件

等式约束条件主要是指系统状态量满足式(2)所示潮流方程:

其中,PG.i和QG.i分别表示i节点发电机输出的有功功率和无功功率;PL.i和QL.i分别表示i节点负荷有功功率和无功功率;N表示系统节点数。

1.2.3 不等式约束条件

常规优化配置串联电抗器的不等式约束条件包含两方面,一方面是短路电流约束,另一方面是母线电压约束,如式(3)所示。

其中,Ire.i和Isc.i分别表示i母线的限流目标值和当前短路电流值;Ui.min和Ui.max分别表示电网正常运行时i母线的电压允许最小值和最大值。

1.2.4 优化算法

通过式(1)—(3)将串联电抗器优化配置问题转换为非线性规划问题。由于很难求得短路电流对线路阻抗灵敏度的解析解,所以在应用诸如内点法等确定性优化算法时存在困难。一般采用现代优化算法进行求解,如粒子群算法、遗传算法等。对于本文所采用的模型,推荐采用粒子群算法,因为粒子群算法具有更好的边界搜索能力。

2 基于BCU法的暂态稳定裕度分析

直接法是一种快速高效的暂态稳定分析方法,同时能够对系统的稳定性进行定量分析。目前成熟应用的方法主要有EEAC法[11]和BCU法[12]。本文选择BCU法作为稳定裕度计算的主要方法。

2.1 BCU法简述

BCU法即基于稳定域边界的主导不稳定平衡点法,是一种快速有效的暂态能量裕度的计算方法。该方法是PEBS法和概念性主导不稳定平衡点法的结合,主要根据稳定域边界理论和原始系统与相应梯度系统平衡点相关性理论,其特点是对于主导不稳定平衡点的计算具有较好的收敛性[12,13,14,15]。

BCU法利用故障后的主导不稳定平衡点(CUEP)的能量作为临界能量Wcr,而故障切除时的系统能量为Wcl,此时系统暂态稳定裕度为

若稳定裕度ΔW≥0,则表示故障切除时系统稳定;若稳定裕度ΔW<0,则表示故障切除时系统稳定裕度不足,即失稳。

2.2 能量函数

在COI坐标系下,发电机采用经典二阶模型,负荷采用恒阻抗模型,若不计机械阻尼,发电机转子运动方程如式(5)所示。

其中,i,j=1,2,…,NG。

采用首次积分法构造暂态能量函数[15]。在积分耗散项时,为简化计算过程提高计算速度,采用线性路径加以近似。采用近似后虽然可能得到偏于冒进的错误结果,但是在实际应用中误差满足工程应用的要求[16]。此时能量函数如式(6)所示。

其中,θs表示故障后系统稳定平衡点(SEP)。

2.3 BCU法的实现步骤

BCU法的实现主要包括时域仿真、故障后SEP和故障后CUEP的计算。本文程序主要是在基于Matlab的PST软件包中进行开发,时域仿真采用PST自带程序,步长设为0.002 s。在计算故障后的SEP时,以故障前的SEP为初值代入方程(7)中,采用牛顿-拉夫逊法即可求得。

求解故障后CUEP是实现BCU法的关键,也是BCU法的精髓。首先根据在平衡点处原系统的特点,假设一直为0,构造原系统的收缩系统,如式(8)所示。

再通过求解收缩系统的CUEP,从而得到原系统的CUEP。求解收缩系统CUEP的步骤如下:

a.对故障后系统进行时域仿真,检测故障后轨迹出口点θEP;

b.以θEP为初值,积分收缩系统方程,计算最小梯度点θMGP;

c.以θMGP为初值,采用Newton法求解式(7),即可得到收缩系统的CUEP为θCUEP,此时的(θCUEP,0)即为原系统的CUEP。

详细计算步骤可以参考文献[15]。

3 考虑暂态稳定约束的串联电抗器配置优化算法

3.1 算法模型

不失一般性,选择系统预想故障集为任一线路首端或末端发生三相接地短路。则考虑暂态稳定约束的串联电抗器优化算法模型可以表示为

其中,目标函数F(x)、等式约束G(x)和不等式约束H(x)与常规优化配置算法模型相同,分别采用式(1)—(3);系统暂态稳定约束表示为ΔUk#k-j≥0,ΔUk#k-j表示k-j线路k侧母线发生三相短路故障,切除线路k-j后的系统暂态稳定裕度。

3.2 算法设计

直接对模型式(11)采用粒子群算法进行优化,由于需要对全网进行稳定性分析,计算量大,并不可行。考虑到配置串联电抗器虽然会对系统的稳定性带来影响,但是对不同线路稳定性的影响程度不尽相同,一般会对装设串联电抗器的线路及其周围线路影响较大。利用这一特点可以缩小稳定性分析的范围,设计思想是:首先采用不考虑系统暂态稳定性的优化配置串联电抗器算法,计算得到最优配置方案;然后利用BCU法计算系统所有线路的临界切除时间tcc。若所有线路满足tcc要求,则所得配置方案就是最终配置方案;若有线路不满足tcc的要求,则采用考虑系统暂态稳定约束的优化配置串联电抗器算法,并根据如下条件确定稳定约束所考虑线路及故障范围:

a.故障时tcc>0.3 s的线路不纳入稳定约束考虑范围,因为线路的稳定裕度已经足够充足,合理地加装串联电抗器对该线路稳定性的影响有限,不至于使其稳定裕度不足;

b.故障时稳定裕度不足的线路及此故障母线所连接的其他线路,不得与a冲突;

c.加装串联电抗器的线路。

采用这种设计思想可以减少稳定约束所需考虑线路及故障的范围,将稳定性分析的对象从全网所有线路缩小到所需关注的部分线路,减少了计算量,而且不会影响结果的准确性。为保证结果的准确性,可以在得到考虑稳定性配置方案后,再次校验全网稳定性,若出现新的线路稳定裕度不足,则将该线路纳入稳定裕度考虑范围,再次进行优化,以保证结果满足稳定性的要求。

3.3 算法流程

具体算法流程如图2所示。

4 算例分析

4.1 测试系统

为更好地测试所提方法限制短路电流的效果,在New England 10机39节点标准测试系统[17]的基础上对其线路电抗值进行调整。调整后系统结构如图3所示,相应参数调整线路列于表1。

设定断路器最大遮断电流为30 k A,测试系统中三相短路电流超标母线及电流值列于表2。

4.2 优化配置

算例限流目标设为30 k A,目标函数中设置g1=2,g2=1。根据规定,系统故障临界切除时间需满足tcc≥0.1 s,考虑到BCU算法可能出现的误差以及tcc需留有一定裕度,设定tcc≥0.14 s时系统满足稳定约束要求。采用文献[5]中提出的串联电抗器优化配置算法限制表2中超标母线短路电流。所得配置方案(即方案1)列于表3。

采用BCU法计算根据方案1加装串联电抗器后系统的暂态稳定裕度。结果表明线路15-16和16-21在近母线16侧发生三相短路故障时,tcc<0.14 s,不满足先前设定的稳定裕度要求。采用本文算法优化配置串抗器限制短路电流,所得结果(方案2)列于表4。表5和表6分别列出根据方案2加装串联电抗器后系统的短路电流和暂态稳定裕度,此时系统满足正常运行的要求。

方案2在满足限制短路电流的前提下,使所有线路稳定裕度都满足设定的要求。从配置方案角度分析,方案2需要在3条线路中加装串联电抗器,总加装电抗值为5.25Ω,总投入成本系数为11.25。方案1则需要在2条线路中加装串联电抗器,总加装电抗值为5.5Ω,总投入成本系数为9.5。相比于方案1,方案2总加装电抗值减少了4.5%,但由于多配置了一台串联电抗器造成配套设备成本及施工成本增加,使得总投入成本增加了18.4%。通过分析可知,本文算法所得方案既满足限制短路电流要求也满足暂态稳定裕度要求,虽然可能会造成总投入成本的增加,但是能够保证系统稳定运行,具有应用价值。

5 结语

稳定性约束论文篇6

随着风电装机容量的增加和风电场规模的扩大,风电并网对电网安全稳定的影响越来越大[1,2,3,4,5],其中,无功电压问题是最突出和最受关注的问题之一。文献[6]指出风速变化等扰动会引起风电机组并网的电压波动;文献[7]详细分析了风电机组对系统电压质量的影响,指出风电的接入会对系统电压产生影响,影响的大小取决于电网结构的强度和风电装机容量的大小。

基于双馈感应发电机(doubly-fed induction generator, DFIG)的变速恒频风力发电系统是当前国内外风力发电的研究热点之一。基于背靠背电压源变流器的并网型DFIG系统采用四象限大功率电力电子变流器与电网连接,通过对变流器的控制实现有功功率和无功功率的解耦,具备动态调节无功输出的能力[8,9]。文献[10,11]指出充分利用DFIG变速恒频风力发电系统的快速无功调节能力,是稳定风电场并网点电压和提高系统稳定性的有效途径。但受风电机组自身运行约束限制,DFIG的无功功率输出过大会引起转子绕组发热导致风电机组停机,因此,研究双馈风电机组的无功功率极限具有很大意义[12]。文献[13]从变速恒频电机功率关系出发,介绍了双馈风电机组定、转子电流对无功功率的限制。文献[14]分析了变速恒频风力发电系统中DFIG的有功、无功能力,介绍了接入点负载和电网限制对无功功率输出的影响。文献[15]考虑了转子侧变流器的电流限制和网侧变流器的无功能力,分析了变速恒频风电机组的无功功率极限。文献[16]以DFIG容量为约束条件,导出了双馈风电机组在不同风速下的无功功率调控能力。

上述研究主要基于DFIG定、转子电流约束和变流器容量及电流的约束,分析了DFIG固有的无功调节容量。但实际运行中,风电机组的实际无功调节容量还应受静态稳定及电网运行需求等因素的限制。

基于上述分析,本文首先从DFIG功率关系出发,总结定、转子电流约束和网侧变流器电流约束条件下的DFIG固有无功调节容量。在此基础上分析DFIG的功角特性、静态稳定裕度对DFIG无功功率的约束及多种约束调节下的DFIG无功调节容量,接着简述电网导则对DFIG无功调节容量的影响。最后,给出综合各种约束的DFIG无功调节容量,并以爱尔兰电网导则为例分析了电网导则约束对DFIG无功调节容量的影响。

1 DFIG的功率关系

DFIG定子直接并网,转子通过背靠背变流器与电网相连,其功率关系如图1所示。图中:PM为风机输入的机械功率;Ps和Qs分别为DFIG定子侧的有功功率和无功功率;Pc和Qc为DFIG网侧变流器的有功功率和无功功率;Pr和Qr分别为DFIG转子侧变流器的有功功率和无功功率;Pe和Qe为DFIG的有功功率和无功功率输出。

由于转子背靠背变流器中直流环节的存在,两侧变流器的无功功率Qc和Qr之间相互解耦。根据图1所定义的功率流动方向,DFIG的无功功率输出Qe为:

Qe=Qs+Qc (1)

因此,讨论DFIG的无功调节容量,就是讨论定子侧与网侧变流器所能达到的无功调节容量,即

Qe,min=Qs,min+Qc,min (2)

Qe,max=Qs,max+Qc,max (3)

2 DFIG的固有无功调节容量

假设DFIG定、转子三相绕组对称,磁动势沿气隙圆周按照正弦规律分布,忽略磁路饱和与铁心损耗,只考虑定、转子电流的基波分量,忽略谐波分量。定子侧电压、电流正方向按发电机惯例选取,转子侧电压、电流正方向按电动机惯例选取,则dq坐标系下的DFIG电压、磁链方程为:

式中:Uds,Uqs,Udr,Uqr分别为定、转子侧电压的d轴和q轴分量;Ids,Iqs,Idr,Iqr分别为定、转子侧电流的d轴和q轴分量;ψds,ψqs,ψdr,ψqr分别为定、转子合成磁链的d轴和q轴分量;rs和rr分别为定、转子电阻;Xm为激磁电抗;p为微分算子;Xs为定子电抗;Xr为归算到定子侧的转子电抗;s为滑差。

不考虑定、转子绕组的暂态过程,可得:

${\begin{cases} U_{d s} = - ψ_{q s} + r_{s} Ι_{d s} \\ U_{q s} = ψ_{d s} + r_{s} Ι_{q s} \\ U_{d r} = - s ψ_{q r} + r_{r} Ι_{d r} \\ U_{q r} = s ψ_{d r} + r_{r} Ι_{q r} \end{cases} (6)$

将同步旋转坐标系下的d轴定向于定子磁场空间矢量方向上,即定子磁场定向,则ψqs=0。同时在忽略定、转子电阻条件下,令定子电压 $\dot{U}_{s} = U_{d s} + j U_{q s}$ ,则

${\begin{cases} U_{d s} = 0 \\ U_{q s} = | \dot{U}_{s} | \end{cases} (7)$

定子侧有功功率Ps、无功功率Qs为:

${\begin{cases} Ρ_{s} = | \dot{U}_{s} | Ι_{q s} = - \frac{| \dot{U}_{s} | X_{m} Ι_{q r}}{X_{s}} \\ Q_{s} = | \dot{U}_{s} | Ι_{d s} = - | \dot{U}_{s} | \frac{| \dot{U}_{s} | - X_{m} Ι_{d r}}{X_{s}} \end{cases} (8)$

由文献[12]可知,定子侧无功功率的主要约束是转子最大电流,故DFIG的无功功率约束为:

$\begin{array}{l} - \frac{| \dot{U}_{s} |^{2}}{X_{s}} - \sqrt{\frac{| \dot{U}_{s} |^{2} X_{m}^{2}}{X_{s}^{2}} Ι_{r, \max}^{2} - Ρ_{s}^{2}} \leq Q_{s} \leq \\ - \frac{| \dot{U}_{s} |^{2}}{X_{s}} + \sqrt{\frac{| \dot{U}_{s} |^{2} X_{m}^{2}}{X_{s}^{2}} Ι_{r, \max}^{2} - Ρ_{s}^{2}} (9) \end{array}$

由文献[15]可知,若网侧变流器的最大功率为Pc,max,则其无功调节容量为:

$- \sqrt{Ρ_{c, \max}^{2} - Ρ_{c}^{2}} \leq Q_{c} \leq \sqrt{Ρ_{c, \max}^{2} - Ρ_{c}^{2}} (10)$

综上所述,DFIG的固有无功调节容量可根据式(2)、式(9)和式(10)综合决定。

3 静态稳定约束的DFIG无功调节容量

3.1 DFIG的功角特性

静态稳定分析主要是分析系统在小扰动下是否会周期地丧失稳定性。一个安全的系统,必须有足够的静态稳定储备来应对小扰动对电网的影响。

目前,DFIG通常采用矢量定向控制实现功率解耦控制,主要包括电网电压定向控制和定子磁链定向控制。当采用电网电压定向控制时,发电机转子角度通过跟踪电网电压相角实现闭环控制,因此不会出现功角稳定问题;当采用定子磁链定向控制时,主要利用发电机磁场关系实现功率解耦,此时发电机转子角度需要通过计算获得,若计算速度或精度不足,在出现扰动时,可能引起功角失稳。因此,当DFIG采用定子磁链定向控制时,应考虑静态功角稳定对其无功调节容量的约束。

由于DFIG是同步化的异步电机,其静态稳定特性与同步电机相似。如果输入的机械功率大于电磁功率,在不考虑储能等附加措施的情况下,多余的能量必然会体现在功角的增大上,系统将通过增大功角来实现多余能量的调节。在DFIG功角超过90°时,如果系统遇到小扰动,就会像同步电机一样面对静态稳定被破坏的问题。因此,有必要考虑静态稳定裕度对DFIG无功功率极限的影响。图2为DFIG的功角特性示意图。

如图2所示,DFIG的功角表达式为:

$δ = \arctan \frac{Ι_{q r}}{Ι_{d r}} (11)$

从物理概念上来说,对同步机而言,q轴与x轴的夹角实际上就是励磁电势 $\dot{E}_{q}$ 与定子电压 $\dot{U}_{s}$ 的夹角,且 $\dot{E}_{q}$ 与 $\dot{Ι}_{q}$ 方向相同,同为q轴方向;对DFIG来说,功角就是转子励磁电流与定子电压的夹角。

由此可知,DFIG的电磁功率在数值上等于定子电流有功分量,即

$\begin{array}{l} Ρ_{e} = X_{m} Ι_{q r} (\frac{U_{s}}{X_{s}} - \frac{X_{m}}{X_{s}} Ι_{d r}) + \frac{X_{m}^{2}}{X_{s}} Ι_{d r} Ι_{q r} = \\ \frac{U_{s}}{X_{s}} X_{m} Ι_{q r} = \frac{U_{s}}{X_{s}} X_{m} Ι_{r} \sin δ (12) \end{array}$

式中:XmIr就是DFIG的空载电势Eq,则

$Ρ_{e} = \frac{E_{q} U_{s}}{X_{s}} \sin δ (13)$

由式(12)可以发现,DFIG的电磁功率表达式与同步隐极机一致。

3.2 静态稳定对DFIG无功调节容量的约束

静态稳定储备系数定义为:

$Κ_{s m} = \frac{Ρ_{\max} - Ρ_{e}}{Ρ_{e}} \times 100 ％ (14)$

式中:Pmax为DFIG的最大输出功率。

由式(8)可得:

$Ι_{d r} = \frac{| \dot{U}_{s} |^{2} + Q_{s} X_{s}}{X_{m} | \dot{U}_{s} |} (15)$

$Ι_{q r} = \frac{Ρ_{s} X_{s}}{X_{m} | \dot{U}_{s} |} (16)$

令tan δ=Iqr/Idr=K,若DFIG功角范围为δmin～δmax,其对应的正切值分别为Kmin和Kmax,整理可得:

$Κ_{\min} \leq \frac{Ρ_{s} X_{s}}{| \dot{U}_{s} |^{2} + Q_{s} X_{s}} \leq Κ_{\max} (17)$

即

$\frac{Ρ_{s} X_{s} - Κ_{\max} | \dot{U}_{s} |^{2}}{Κ_{\max} X_{s}} \leq Q_{s} \leq \frac{Ρ_{s} X_{s} - Κ_{\min} | \dot{U}_{s} |^{2}}{Κ_{\min} X_{s}} (18)$

式(18)就是静态稳定裕度对DFIG无功调节容量的约束。

3.3 多种因素综合作用下的DFIG无功调节容量

综合第2节的叙述可知,影响DFIG定子侧无功输出的主要因素为转子电流约束和静态稳定约束。下面分析两者共同影响下的DFIG定子侧无功调节容量。

给出4个临时参数Q1min,Q1max,Q2min,Q2max,可以将4个参数分别对应表示为式(9)和式(18)的上、下限:

$Q_{1 \min} = \frac{Ρ_{s} X_{s} - Κ_{\max} | \dot{U}_{s} |^{2}}{Κ_{\max} X_{s}} = - \frac{| \dot{U}_{s} |^{2}}{X_{s}} + \frac{Ρ_{s}}{Κ_{\max}} (19)$

$Q_{2 \min} = - \frac{| \dot{U}_{s} |^{2}}{X_{s}} - \sqrt{\frac{| \dot{U}_{s} |^{2} X_{m}^{2}}{X_{s}^{2}} Ι_{r, \max}^{2} - Ρ_{s}^{2}} (20)$

$Q_{1 \max} = \frac{Ρ_{s} X_{s} - Κ_{\min} | \dot{U}_{s} |^{2}}{Κ_{\min} X_{s}} = - \frac{| \dot{U}_{s} |^{2}}{X_{s}} + \frac{Ρ_{s}}{Κ_{\min}} (21)$

$Q_{2 \max} = - \frac{| \dot{U}_{s} |^{2}}{X_{s}} + \sqrt{\frac{| \dot{U}_{s} |^{2} X_{m}^{2}}{X_{s}^{2}} Ι_{r, \max}^{2} - Ρ_{s}^{2}} (22)$

由式(19)和式(20)可知,Q1min恒大于Q2min,因此,DFIG的定子侧无功调节容量下限应取为Q1min。

由式(21)和式(22)可知,DFIG的定子侧无功调节容量上限取决于定子侧输出功率。令Q1max与Q2max相等,

$Ρ_{s c} = \frac{X_{m}}{X_{s}} | \dot{U}_{s} | Ι_{r, \max} \sin δ_{\min} (23)$

推导可知,当Ps<Psc时,Q1max<Q2max;随着Ps增大,当Ps>Psc时,Q1max>Q2max。由此可见,在DFIG输出有功功率较小时,静态稳定约束起主要作用,DFIG输出有功功率较大时,转子最大电流约束将起主要作用。式(24)和式(25)为综合考虑转子电流约束及静态稳定约束的DFIG定子侧无功功率容量,其中,Xss=Xs+Xm。

$Q_{s, \min} = \frac{Ρ_{s} X_{s s} - Κ_{\max} | \dot{U}_{s} |^{2}}{Κ_{\max} X_{s s}} (24)$

$\begin{array}{l} Q_{s, \max} = \min (\frac{Ρ_{s} X_{s s} - Κ_{\min} | \dot{U}_{s} |^{2}}{Κ_{\min} X_{s s}}, \\ - \frac{| \dot{U}_{s} |^{2}}{X_{s s}} + \sqrt{\frac{| \dot{U}_{s} |^{2} X_{m}^{2}}{X_{s s}^{2}} Ι_{r, \max}^{2} - Ρ_{s}^{2}}) (25) \end{array}$

4 电网导则对无功调节容量的约束

随着风电比重的增加,各国电网公司都开始在风电运行导则中对风电机组/风电场的无功功率输出进行约束。由于电网导则对风电机组的功率容量限制是根据理论计算与实际运行经验得出的结论,受电网安全稳定和电气接线拓扑结构等影响,根据导则得到的无功功率极限容量必然要比理论计算值小。通常,当风电机组输出有功功率小于额定值的一定比例范围时,若定子电压较低,风电机组的无功功率可以根据实际情况进行调节,除此之外,风电机组的无功功率需严格在电网导则规定的范围内进行调节。

5 算例

5.1 算例简述

本文在DIgSILENT/PowerFactory平台利用实际参数进行建模和仿真,分析各种约束对DFIG无功调节容量的影响,具体分析时,以一个100台DFIG组成的风电场接入单机无穷大系统为算例。DFIG定子三角连接,功率因数为1,所有数据均折算到高压侧,其参数见附录A表A1。

5.2 DFIG固有无功调节容量

利用附录A表A1给出的DFIG实际参数,根据式(9)和式(10),针对文献[12]和[15]给出的2种DFIG无功功率极限计算方法,对DFIG固有无功调节容量范围进行仿真,为后面进一步分析DFIG无功调节容量提供基础,曲线如图3所示。

由图3可以看出,在DFIG固有无功调节容量基础上,考虑网侧变流器无功功率发生能力后,无功调节容量有所扩大。在某一Pe下,无功功率上、下限均扩大了 $\sqrt{Ρ_{c, \max}^{2} - [s Ρ_{e} / (1 - s) 〗^{2}}$ 。

5.3 考虑静态稳定约束的DFIG无功调节容量

根据第3节的推导,通过引入静态储备系数分析考虑静态稳定约束的DFIG无功调节容量。静态稳定储备系数范围设为25%～35%,转子最大电流倍数为6倍。图4为综合考虑转子侧变流器无功发生能力和静态稳定裕度约束的DFIG无功调节容量。

由图4可见,DFIG的无功调节容量下限仅由静态稳定裕度决定,DFIG的无功调节容量上限由转子最大电流与静态稳定裕度共同决定。2个约束条件边界存在交点A,该点的有功功率输出约为36 MW,当DFIG有功功率输出小于36 MW时,DFIG的无功调节容量上限由静态稳定裕度决定,此时受静态稳定限制,DFIG的固有无功调节容量不应完全利用;当DFIG输出有功功率大于36 MW时,DFIG的无功调节容量上限取决于转子最大电流约束,此时应充分利用DFIG的固有无功调节容量对电网提供无功支撑。

5.4 考虑电网导则约束的DFIG无功调节容量

下面以爱尔兰国家电网公司制定的风电技术导则为例,分析电网导则对DFIG无功调节容量的影响,导则对风电机组功率要求如附录A图A1所示。

该导则的数学模型可表示为:

${\begin{cases} 0 \leq Ρ \leq 1 \\ - 0.33 \leq Q \leq 0.33 \\ \frac{Ρ}{| Q |} \geq 1.51 \end{cases} (26)$

导则从风电场提供无功支撑能力的角度要求风电场正常运行情况下能够在功率因数-0.95～0.95范围内运行,电网异常情况下能够在功率因数-0.835～0.835范围内运行,本文针对风电场无功输出能力满足功率因数-0.835～0.835的要求进行分析,使DFIG运行在黑色实线区域内。图5为考虑电网导则约束的DFIG无功调节容量范围。

由图5可以看出,在DFIG有功功率输出小于60 MW时,无功调节容量受电网导则约束;DFIG有功功率输出在60 MW和75 MW之间时,无功调节容量下限受静态稳定裕度约束,上限仍受电网导则约束;DFIG有功功率输出大于75 MW后,无功调节容量主要受转子电流和静态稳定约束。

5.5 算例分析及讨论

由上述算例可知,DFIG的固有无功调节容量仅由机组自身的参数决定,然而在实际运行中,DFIG的无功调节容量除受机组自身的运行约束限制外,还需要综合考虑静态稳定和电网导则等多种约束。

对比图3和图4可见,受静态稳定约束后,DFIG的实际可调节无功容量比其固有无功调节容量大幅降低,感性无功输出能力受到限制,容性无功输出能力则与DFIG的有功功率输出相关,在DFIG低有功功率输出时受到限制。从无功控制角度出发,有必要综合考虑自身约束和静态稳定约束改进控制策略,特别在DFIG输出容性无功时,准确确定临界功率点既可以充分发挥DFIG的无功调节能力,又能够使风电场的无功控制更加合理。

对比图4和图5可见,考虑电网导则约束后,DFIG的实际可调无功容量范围更小,主要原因是目前大部分电网导则是从全网安全稳定角度对风电场的无功能力提出了基本运行要求,未充分考虑风电场实际具备参与电网无功调节的能力。从图6可以发现,当DFIG有功功率输出较小时,DFIG可能具备比电网导则约束更优的无功支撑能力,但其无功调节能力却受电网导则约束限制。因此,风电场无功控制除满足电网导则的基本要求外,应能够对风电场接入局部地区电网提供额外的无功支撑,维持局部地区电网电压的稳定。

综上所述,考虑静态稳定约束有助于更合理地确定DFIG的实际可调节无功容量,考虑电网导则约束有助于确定DFIG的基本无功要求。将两者有机结合有助于制定和完善风电场无功控制策略,充分利用DFIG的无功调节能力,为实现风电场无功的合理、有效控制提供支撑。

6 结论

本文给出了DFIG的功率关系,分析了考虑多种约束条件的DFIG无功调节容量。通过建立DFIG模型对实际风电机组进行仿真,得出如下结论。

1)DFIG的无功调节容量应当由风电机组自身运行约束、安全稳定约束和电网导则约束等多种约束综合考虑得到。

2)综合考虑多种约束时,DFIG的无功调节能力并未得到充分利用,风电场无功控制应在满足各种约束的前提下制定合理的控制策略,以充分利用DFIG的无功调节能力。

附录见本刊网络版(http://aeps.sgepri.sgcc.com.cn/aeps/ch/index.aspx)。

稳定性约束论文篇7

随着全球气候变暖, 节能减排已成为当前各国研究的热点, 其中又以可再生能源的开发和利用为核心。风力发电作为可再生能源发电的重要部分得到了飞速的发展。“十一五”期间, 我国风电并网装机容量以年均近100%的速度增长。截至2011年底, 我国已建成多个连片开发、规模达到百万千瓦级的风电基地。内蒙古、甘肃、河北、辽宁、吉林、黑龙江、山东、新疆、江苏、宁夏是我国风电装机规模最大的10个省区, 合计风电并网规模达39 840 000 k W, 占全国总规模的88%[1]。

风电受清洁能源政策保护, 拥有优先调度权。然而, 由于风电具有波动性和间歇性, 虽然对于风电预测研究众多, 但目前较成功的商业风电预测软件精度仅有15%左右[2]。近年来, 随着风电开发规模的扩大, 风电的不确定性影响到系统调度的安全性和经济性, 风电的并网消纳面临诸多挑战, 例如风电渗透率高的系统, 有可能由于大量投入备用, 导致运行成本明显增加等。因此, 为风能等可再生能源配置合适容量的储能是实现风电可调度运行等问题的最有效途径。

目前, 对于储能的容量配置方面的研究已取得一些成果。文献[3]以风电机组输出功率特性函数和风电场风速概率分布函数为基础, 提出了一种计算大型风电系统长时间稳定输出所需储能容量的方法。文献[4]从电力系统稳定性出发, 提出了一种考虑稳定域及状态轨迹收敛速度的最小储能容量配置方法。文献[5]基于离散傅里叶变换频谱分析结果确定储能补偿范围, 提出了能够满足系统功率输出波动率、储能效率、荷电状态限制的储能容量确定方法。

风力发电机的输出功率具有不确定性, 不可避免地会突然出现大幅度的功率波动, 希望通过储能装置使风电输出完全可控, 既不经济也不现实。机会约束规划的实质是在一定程度上考虑不确定因素, 通过将传统优化中完全满足的约束条件软化为满足约束条件的概率高于某一置信水平。本研究将机会约束规划引入到储能装置优化配置问题上, 使得容量配置更具实用性。

本研究构建“以储能成本最小为目标, 以储能电池充放电限制条件为硬约束条件, 以及风电吸纳水平和平稳输出为机会约束条件”的优化模型。该模型中引入切风量和放电惩罚, 修正储能装置的充放电功率值, 这是出于对储能容量配置的经济性考虑, 在延长储能使用寿命的意义上也是必要的。最后, 本研究采用模拟技术和遗传算法相结合的方法求解, 并验证可行性。

1 基本介绍

1.1 风电和储能混合系统介绍

风电和储能混合系统输出可以作为微电网运行来跟踪负荷, 也可以在并网运行时实现调度目标。调度目标由调度部门根据当地实际情况并综合考虑各机组经济效益的情况下确定, 实现电网对风电场的调度。该混合系统功率平衡情况如图1所示。

近年来, 各种新类型的储能电池相继开发成功, 并在电力系统中得到应用。根据所使用的化学物质的不同, 储能电池可以分为许多类, 如铅酸电池、镍氢电池、锂离子电池、镍镉电池、钠硫电池、液流电池等[6]。本研究所选取储能电池的价格性能参数如表1所示。

Pw—风力发电机输出功率;Pch—储能电池充电功率;Pdch-放电功率;Pc—切风损失的功率;Pd—混合系统输出目标值

荷电状态反映的是储能设备的剩余容量占总容量的比值, 荷电状态与储能设备充放电功率的关系为:

式中:SOCt, Eini—储能设备的荷电状态和初始容量;ηch, ηdis—充放电效率;Pch, r, Pdch, r—充、放电功率;Eˉ—储能设备的额定容量。

1.2 储能运行策略

实际电力调度运行中, 允许风机和储能混合系统输出在目标值的规定范围内波动, 该范围可根据国家出台的风电场并网要求确定, 实现风电并网的经济性和可靠性。文献[7]将联合系统输出目标设定为风电功率预测值, 储能系统补偿风电功率预测误差, 把预测误差限制在可接受范围内。文献[8]从系统经济效益出发优化该目标值, 在混合系统收益扣除储能成本后, 实现经济利润最大化。由于目标值的优化不是本研究的研究重点, 本研究认为目标值给定。

当风电场功率输出值大于目标值时, 储能用于储存多余的风能, 当风电场功率输出值小于目标值时, 储能释放能量补偿不足。设储能电池的充放电功率为Pb, t, 其值由风电场出力和目标的差值决定, 即:

此外, 储能电池的充、放电功率受到额定功率和SOC的限制。本研究对储能装置的能量状态进行有效的管理, 实时调整其能量状态, 以确保其始终运行在安全范围内, 避免储能设备枯竭或饱和, 从而延长使用寿命。本研究通过设置4个临界值, 将储能装置的能量状态划分为3个区间:非工作区间, 正常工作区间, 警戒工作区间如图2所示。警戒工作区间表征储能设备容易由该区间进入枯竭或饱和, 研究者应尽量

储能装置正常工作时上下限; 选取比正常限制分别偏小和偏大的值避免储能设备长时间处于该能量区间。

当储能装置的荷电状态在正常工作区时, 本研究根据风电出力与目标的差值确定充、放电功率;当储能装置的荷电状态在警戒工作区间1时, 采取弃风措施, 防止储能装置过冲;当储能装置的荷电状态在警戒工作区2时, 设置放电惩罚, 引导储能电池减少放电功率, 从而减少储能装置在接近其限制附近时造成寿命折损。

放电惩罚遵循以下规律:当储能电池剩余容量较多时罚因子较小, 而剩余能量较少时罚因子较大, 且放电功率越大, 罚因子就越大。实验中取得相应惩罚点, 由下式拟合得到a1~a5各系数:

本研究通过将所设计的放电罚因子计入目标函数中, 使得储能电池在剩余能量较少时减少放电。

2 储能系统容量优化配置模型

2.1 机会约束规划简介

常用的确定性规划包括线性规划、非线性规划、多目标规划、目标规划、动态规划、多层规划等, 但对于不确定规划问题, 经典的优化理论通常是无法求解的。文献[9]运用机会约束规划配置风电场极限穿透功率, 避免发生概率很低的违反约束条件情况对风电装机容量的限制。文献[10]运用机会约束解决了输电规划中的不确定因素, 给规划人员提供了选择方案。文献[11]对水火电系统中的不确定因素的影响, 提出了一种基于机会约束的短期优化调度不确定模型, 以帮助调度人员确定火电机组组合及费用目标。

机会约束规划允许所做决策在一定程度上不满足约束条件, 但该决策应使约束条件满足的概率不小于某一置信水平, 从而使传统优化中刚性的约束条件保持一定程度的柔性, 并使目标函数最优和满足约束条件间取得适度的折中。机会约束规划的常见形式为:

式中:x—一个决策向量, ξ—一个随机向量, f (x, ξ) —目标函数, G (x, ξ) �0—刚性约束条件, gj (x, ξ) �0—机会约束函数, Pr{gj (x, ξ) �0}—约束条件满足的概率, α—机会约束条件的置信水平。

2.2 基于机会约束规划的储能系统数学模型

在本研究的风机和储能模型中, 储能装置的有功补偿作用是将风电出力与制定的目标值差额限制在某一指定区间范围内。采用机会约束规划有两个目的: (1) 为了处理风电出力恶劣且储能设备工况不利于充放电时, 通过小概率违反约束条件, 避免100%满足约束条件造成的高额代价; (2) 针对模型中引入切风量, 考虑到风能是可再生能源, 应最大限度吸纳风能, 通过机会约束条件实现大概率保证风能利用率。

基于机会约束规划的储能系统数学模型如下:

式中:决策量Pˉ, Eˉ—储能电池额定功率和额定容量;Cp, Ce—储能电池额定功率单价和额定容量单价。

式 (6) 显示风电和储能混合系统出力波动限制在一定范围ε内的概率不小于α, 式 (7) 显示电网以不小于χ的概率保证对风能吸纳水平β。其中, 切风量Pc (ξ) 是随机变化的, 由下式决定:

2.3 基于随机模拟的遗传算法

随机模拟, 也称为Monte Carlo模拟, 是一种实现随机 (或确定) 系统抽样试验的技术, 其基础是从给定的概率分布中抽取随机变量。模拟风电波动性的场景由拉丁超立方采样 (LHS) 生成, 并通过Cholesky分解, 降低多独立的输入随机变量采样值之间的相关性。

本研究认为风电场出力符合多元联合正态分布N (μ, τ) , 对于每一个时段t, μ代表该时段的风电预测值, τ代表预测误差。本研究的风电预测值和预测误差参考文献[12], 应用随机模拟技术, 根据风电出力概率分布产生N个场景, 每个场景的概率为1/N。在N种场景下检验机会约束条件, 机会函数成立的次数设为N′, 根据大数定律, 若N′/N�α则表示机会约束成立。

本研究采用遗传算法求解式 (5~9) 所描述的机会约束储能规划模型, 基本步骤如下:

(1) 初始化, 输入遗传算法中染色体个数, 以及交叉和变异概率。采用随机方法产生一组初始配置方案, 作为遗传算法的初始种群。

(2) 利用随机模拟技术产生大量场景, 依据储能电池的运行策略, 确定每种场景下储能电池的充、放电功率值。

(3) 检验种群中的每个染色体是否满足机会约束条件, 如满足则进入下一步, 如都不满足则进行变异运算形成新一代染色体种群, 跳转步骤 (2) 。

(4) 选取满足机会约束条件的染色体, 计算其对应的目标函数值。

(5) 对种群中的染色体进行精英选择操作。

(6) 对种群中的染色体进行变异和交叉操作, 得到新一代染色体。

(7) 重复步骤 (2~6) , 达到给定的最大迭代次数。

(8) 以求解过程中所发现的最好的染色体作为储能电池最优配置方案。

需要特别指出的是, 在上述寻优计算中, 研究者可将放电惩罚的影响合并到目标函数中, 通过最小化目标函数, 修正储能电池充放电功率值, 使荷电状态尽量维持在正常工作区, 即以下式最小为寻优目标:

3 仿真研究

本研究采用文献[12]的风电场输出预测数据, 风机装机容量为10 MW, 预测时间间隔为1 h。笔者在Matlab中编程进行仿真寻优运算, 随机模拟场景数设置为1 000, 仿真时间选取为24 h, 储能设备参数设置如表1所示, SOC初值均选为0.5, 设定和分别为0.3和0.7。联合系统输出波动范围ε设定为2%, 风电吸纳水平选为85%, 其置信概率为90%。

本研究对置信区间α=80%~100%进行多次仿真运算, 计算最优配置及成本, 得到结果如图3所示。可以看出随着α不断增大, 混合储能设备容量和成本不断增加, 但在88%时出现明显拐点, 所以可选取为最优置信水平。此时, 储能电池的额定功率和额定容量分别为1 MW和4.6 MW·h。在实际应用中, 由于各地风况和控制策略的不同, 最优置信水平也将有所不同。

为了考察风机和储能系统联合出力相对于目标值的波动情况, 本研究统计所有场景下的偏差量, 得到柱状分布图如图4所示。偏差在零附近分布的概率最大, 产生负偏差的情况下容易发生小概率违反事件, 而正偏差基本不会发生概率违反事件, 这是由于模型中引入切风量的缘故。

风电利用率计算如下:

上例中, 按照式 (12) 计算得风电利用率高达91.7%, 说明保证风电吸纳率的机会约束条件 (7) 很好地起到了作用。

5种典型场景下储能电池荷电状态变化情况如图5所示, 观察图5可得:利用文中设计的控制策略, 储能电池的SOC被有效控制于合理范围, 避免了储能设备饱和或枯竭对储能设备寿命的影响。

4 结束语

本研究将机会约束方法用于储能系统容量配置问题, 建立了相应的机会约束模型, 并利用了基于随机模拟的遗传算法完成寻优计算。与传统的规划方法相比, 所提出的方法可以用于适当处理风力发电出力随机变化等不确定因素, 在约束条件处理上更加灵活, 从而将传统刚性约束柔化, 得到的置信区间与储能成本关系曲线对实际容量配置更具有实用性。本研究考虑切风量和放电惩罚, 设计了相应的控制策略, 能够有效控制储能系统荷电状态变化范围, 从而延长了使用寿命。

摘要：储能系统对风能等可再生能源实现可调度运行有着十分重要的作用。针对风电出力的不确定性问题, 提出了一种基于机会约束规划的电池储能系统 (BESS) 容量配置方法。考虑风电利用率和储能装置荷电状态 (SOC) 约束, 以储能成本最低为目标, 采用模拟技术和遗传算法相结合的方法求解, 得到了风电输出波动不超过某一区间的置信度与储能最佳配置成本间的关系。此外, 在储能系统的控制策略中引入了放电惩罚因子, 修正了储能装置的充放电功率, 从而达到了延长使用寿命的效果。研究结果表明, BESS容量配置方法在电能质量和经济性间取得了适度的折中。

关键词：风电出力,不确定性,电池储能系统,机会约束规划

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