奇异点检测

奇异点检测（共5篇）

奇异点检测 篇1

0 引言

实验室虚拟仪器开发过程中,将传感器和插入计算机的数据采集卡组成各种测量系统,以通用计算机硬件及操作系统为依托,实现各种物理量的测量功能,这种将计算机和仪器密切结合的方式是目前仪器测量领域发展的一个重要方向。然而由于传感器容易受到工作环境的影响出现检测故障,通常表现为输出信号发生突变,因此,信号中的奇异点及不规则的突变部分,经常带有比较重要的信息,是信号的重要特征之一。另一方面,信号中的突变点,也会给实际测量结果带来误差,因而对突变点的检测有着非常重要的意义。

鉴于以上原因,为充分利用现有计算机自身资源,本文提出了一种利用虚拟仪器技术,在Lab VIEW环境下,对信号奇异点进行定位的方法。通过Lab VIEW Math Script在Lab VIEW下调用MATLAB中的小波函数,对信号进行5层分解,得到1-5层的细节信号,在细节信号中实现对奇异点位置的确定。通过实验仿真,较准确地定位到了突变点,同时给出了对应的消除措施,降低了检测信号的误差率。

1 奇异点检测原理

若信号f(x)在某点突变或某阶导数不连续,则称信号在该点具有奇异性。S.Mallat将信号的局部奇异性与小波变换后的模局部极大值联系起来,通过小波变换后的模极大值在不同尺度上的衰减速度来衡量信号的局部奇异性。通常,信号的局部奇异性可用Lipschitz指数来描述。

定义1:设n是一非负整数,,如果存在着两个常数A和h0(>0),以及n次多项式Pn(h),使得对任意的h≤h0均有:,则称信号f(x)在点x0为Lipschitzα如果上式对所有x0∈(a,b)均成立,且x0+h∈(a,b)则称f(x)上(a,b)是一致的Lipschitzα[4]。

显然,信号f(x)在x0点的Lipschitzα刻画了函数f(x)在该点的正则性,指数α越大,函数越光滑;指数α越小,该点的奇异性越大,突变也就越明显。函数在一点连续,可微,那么在该点的Lipschitzα为1。如果f(x)在x0的Lipschitzα<1,则表示函数在该点是奇异的。

定义2:设,若,小波Ψ(x)是实函数且连续可微,并具有n阶消失矩(n为正整数),有,则α可称为x0点的奇异性指数。

定义3:若对任意,有,则x0为小波变换在尺度s下的局部极值点。

一般来说,函数在某一点的Lipschitz反映了该点奇异性的大小。而信号奇异性与小波变换后的系数模极大值有密切的联系。如果x0为奇异点,那么在该点处小波变换就取得模极大值。因此,我们可以通过小波变换系数的模极大值的判断来找到信号突变的位置。

在动态系统中,信号突变是非常快的。信号突变的主要特征是信号在时间和空间上存在着局部的变化。根据信号变化速度的快慢,选择合适的分解尺度,小波分析良好的局部分析能力就能充分发挥,从而方便地检测出信号的奇异点[5]。

利用小波分析检测信号突变点的一般方法是:对信号进行多尺度分析,在信号出现奇异点时,其小波变换后的系数具有模极大值,因而可以通过对模极大值点的检测来确定故障发生的时间点[6]。

2 仿真程序设计

在该仿真过程中,首先在Lab VIEW环境下通过仿真生成含有噪声(奇异点)的低频缓变信号,通过虚拟仪器的前面板来设置信号提取处理的参数。然后将参数通过Lab VIEW与MATLAB的接口Lab VIEW Math Script传递给MATLAB中的小波函数,完成奇异点检测与消除功能,最后将处理结果回传给Lab VIEW进行显示[2],如图1所示。

Lab VIEW Math Script是一种可以用于编写函数和脚本的文本语言[3]。按照MATLAB语法编写的脚本通常可在Lab VIEW Math Script中运行。图2中给出了采用db3小波对仿真信号进行5级分解的脚本程序,进而得到1-5层细节信号d1-d5[1]。

对传感器故障的仿真信号进行奇异点检测的Lab VIEW程序框图,如图3所示。

3 运行结果分析

如图4所示,从"原始信号波形图"中可以明显看出在t=45和t=75两处存在奇异点。

本文选择db3小波对该信号进行5层分解,得到1到5层的细节信号,如上图。可以看出,奇异值点包含在细节图d1、d2和d3中,并且与原始信号中的奇异点是同步的。

为了消除奇异点,在重构信号时,令细节信号d1、d2和d3等于零,即脚本程序中的"s0=a5+d5+d4",可以得到图4中的"奇异点消除"的信号波形,比较"原始信号波形图"和"奇异点消除信号波形图"可以看出,奇异值点已经很不明显了。

4 结论

由于小波具有空间局部性,它能"聚焦"于信号的局部结构,因此利用小波分析可以有效地解决故障信号分析中经常遇到的信号奇异点检测问题。本文通过Lab VIEW直观的图形化界面对电信号进行仿真,并利用MATLAB强大的数学计算功能补充Lab VIEW不足的开发功能,在Lab VIEW中调用MATLAB中小波函数程序实现对信号突变的检测,这种方法充分利用了Lab VIEW和MATLAB的优点,实现了两者的有机结合,为后期信号的分析、消噪打下了坚实的基础。最后通过仿真实验,证明了该方法的有效性。

摘要：本文介绍了一种在LabVIEW环境下通过LabVIEW MathScript调用MATLAB中小波函数实现对信号奇异点检测的方法。通过对传感器故障信号的仿真实验,较准确的定位到了突变点,同时给出了对应的消除措施,降低了检测信号的误差率,证明了该方法的有效性。

关键词：奇异点,LabVIEW,MATLAB,小波

参考文献

[1]张德丰.Matlab小波分析与工程应用[M].北京:国防工业出版社,2008.

[2]吴成东,孙秋野,盛科.LabVIEW虚拟仪器程序设计及应用[M].北京:人民邮电出版社,2008.

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[4]赵红怡,武梦龙,曹淑琴.小波分析在突变信号检测中的应用[J].北方工业大学学报,2004(1):21-24.

[5]朱洪俊,秦树人,彭丽玲.小波变换对突变信号峰值奇异点的精确检测[J].机械工程学报,2002(12):10-15.

[6]王平,靳雁艳,杨洁明.基于小波变换的信号奇异点检测[J].机械管理开发,2005(6):57-58.

奇异点检测 篇2

传统故障测距是基于工频电气量,其中工频阻抗法是广泛应用的方法。它以线路集中参数模型为基础,测距精度受故障点的过渡电阻、系统运行阻抗、负荷电流等因素的影响,误差较大,测距精度无法保证[1,2,3]。但基于行波法的故障定位,在理论上不受线路类型及过度电阻的影响[4],原理简单,也不受系统通信技术条件的限制。相比单端测距,双端测距可靠性高,但对通信精度要求高,大大增加了成本。因此,单端测距成为研究的一个热点[5,6]。本文在简要介绍故障行波基本概念的基础上,利用单端测距,基于奇异点模极大值检测的方法分析暂态过程中的电气量,对故障定位进行了探讨。

1 故障暂态行波在输电线路的传输

当线路上某一点发生故障时,可用叠加原理将其分解为正常负荷分量和故障分量二者的叠加,故障分量相当于在系统电势为零时在故障点加一个与正常负荷大小相等,方向相反的电压,在这一电压下,将会产生由故障点向两端传播的波形。如图1所示,F点故障时,将由故障点向两端传播行波。

如果将单根无损的分布参数线路上电压u和电流i用在线路上的位置x和时间t为变数的偏微分方程来表示,则

式中:L、C为线路单位长度的电感和电容。

将其分别对x和t微分,经变换可得到波动方程

则其达朗贝尔解为:

式中:为x正方向行波;为x反方向行波;是波速;是波阻抗。

2 输电线路故障行波的提取

对模型进行故障仿真后,提取三相电压和电流的暂态量,由于各相之间存在耦合,每相包含的行波分量并不孤立,所以要把互不独立的相分量转换成独立的模分量。利用模量行波实现相应功能,相模变换通过Clarke变换则有:

式中:ua、ub、uc分为三相电压行波分量;uα、uβ、u0分别为电压行波的α、β、0模分量;i为相应的电流分量。

因此,方向行波的模量可表示为:

式中:S1α、S1β、S10为正向行波的α、β、0模分量;S2α、S2β、S20为反向行波分量;Zα、Zβ、Z0为相应的波阻抗。

3 小波变换及模极大值

对提取的行波信号进行多尺度分析,在信号出现突变时,其小波变换后的系数具有模极大值,因而可以通过对其模极大值点的检测来确定故障发生的时间点。

首先给出小波变换及其模极大值的定义。设Wsf(x)(s=2j)是函数f(x)的小波变换,在尺度s下,在x0的邻域δ下,对一切x有:Wsf(x)≤Wsf(x0),则称x0为其小波变换后的模极大值点,而Wsf(x0)为模极大值点对应的模极大值[7]。

由于信号的突变点和小波变换以后的模极大值点相对应,若函数f(x)(f(x)∈R)间断,则该函数存在奇异点;若函数f(x)在定义域内有无限次的导数,则称f(x)是光滑的或者是没有奇异性。由于一个信号的突变点必然对应于其奇异点,因而可以通过对奇异的点的检测来确定故障发生的时间点。

4 建模与仿真

4.1 仿真模型

基于以上数学理论,在Matlab中搭建的仿真模型如图2所示,设置仿真时间为0.0～0.10 s,采用步长Ode23tb算法,设置A相短路,故障点距离测量点80 km,短路时间为[0.035 0.100]。

4.2 仿真结果

算例仿真后,三相电压电流波形如图3和图4所示。

A相线路短路时相电压降低,同时非故障相电压波形出现畸变;故障相电流激增,非故障相电流略有畸变但不明显。电压、电流的仿真波形符合发生A相短路故障的特征,说明仿真模型的正确性。

4.3 故障点行波提取

在MATLAB中用语言将算法写成程序,利用式(3)和式(4)把电流电压的暂态量进行Clarke变换得到相应的模分量,再利用式(5)和式(6)计算正向、反向行波的模分量,如图5所示。

故障后行波第一个波头突变都比较明显,以后进入母线、变压器后经过折反射后出现明显的畸变和衰减。利用电压行波比电流行波有的优势:当系统阻抗较大时,电压行波幅值相比电流行波要大,易于测量;且电压行波相比电流行波灵敏度高[8]。这也是选择以电压行波为测量对象的原因。

4.4 基于奇异点模极大值的小波变换

在Matlab中编程,对小波对信号进行6层分解,如图6所示。

由于反向行波进行检测可有效屏蔽由非故障线路折射过来的波头,所以选取反向电压行波为原始信号,对信号进行多尺度分析,在信号突变时其小波变换后的系数具有模极大值,因而可以通过模极大值点的检测来确定故障发生的时间点,从图6经过小波分解后的第一个波头的时间点280μs,故障点第二个反射波时间点为830μs,通过单端测距公式求得故障距离测量点80.46 km。

当存在接地电阻时,对测距精度影响不大,测距结果均为80.46 km。但与金属性接地故障相比信号微弱,比较图6与图7可明显看出当接地电阻为100Ω时,经变换后的行波模极大值远小于金属性接地故障,而对故障发生的时间点无任何影响。

4.5 不同母线类型的验证

母线连接的方式主要有2种:一种是母线上除了故障线路外没有其它出线,另一种是有其它出线,这2种母线的主要差别是暂态行波反射系数不同。故选取3个双电源模型系统,验证故障发生与不同位置、不同短路故障类型的定位效果。第一个模型如图8所示,其中DMN=100 km;第二个模型如图9所示,其中DMN=100 km,DRM=50 km;第三个模型如图10所示,其中DRM=50 km,DMN=100 km,DNS=30 km。电压等级为500 kV,两端电压夹角30°。

4.6 仿真结果

为验证算法的有效性,对3种典型模进行了仿真,并给出了故障发生在不同位置、不同接地方式、不同接地电阻时的定位结果,见表1。结果显示,在线路全长范围内,均能实现准确定位,最大误差不大于2.4%。大量仿真结果表明,过渡电阻对测量精度影响不大,过高的过渡电阻会使行波信号减弱但不影响测距结果。

km

5 结论

本文建立了3种典型模型,仿真分析了接地故障发在不同位置、不同接地电阻的定位效果。3种测距结果显示,该方法能够实现精确定位,最大误差为2.4%,且不受过渡电阻影响,能够满足单端测距的要求。

参考文献

[1]葛耀中.新型继电保护和故障测距的原理与技术[J].2版.西安:西安交通大学出版社,2007.

[2]高淑萍,索南加乐.基于分布参数模型的直流输电线路故障测距方法[J].中国电机工程学报,2010,30(13)75-79.

[3]施慎行,董新洲,周双喜.单相接地故障行波分析[J].电力系统自动化,2005,29(23):29-32,53.

[4]李幼仪,懂新洲,孙元章.基于电流行波的输电线路横差保护[J].中国电机工程学报,2002,22(11):6-10.

[5]康小宁,索南加乐.基于参数识别的单端电气量频域法的故障测距原理[J].中国电机工程学报,2005,32(1) 22-27.

[6]徐青山,陈锦根,唐国庆.考虑母线分布电容影响的单端行波测距法[J].电力系统自动化,2007,31(2):70-73.

[7]张德丰.Matlab小波分析[M].北京:机械工业出版社,2009.

奇异点检测 篇3

小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制,在时域和频域上可同时对信号实现局部化处理,这更符合信号非平稳的变频带结构特征,因而在信号检测奇异性等方面具有广泛的应用价值。本文简要地介绍了小波应用在信号奇异性检测方面变换的基本原理,并通过仿真实验进行了验证。

1 小波变换的基本概念

设Χ(t)为一平方可积函数,即Χ(t)∈L2(R),若其傅里叶变换Χ(ω)满足条件:

则称Χ(t)为一个基本小波或小波母函数,我们称式(1)为小波函数的可容许性条件。其中t为时间,ω为频率,R为实数集合,L2(R)为实数域平方可积空间,由函数Χ(t)经过伸缩和平移得到的一族函数:

称为小波函数族或依赖于a,b的连续小波,式中a,b为实数且a≥0,a为伸缩因子,b为平移因子。任意信号f(t)∈L2(R),其小波变换Wf(a,b)定义为:

由上式可知a的变化不仅改变连续小波的频谱结构,也改变其窗口的大小与形状。随着a的减小,Χab(t)的频谱就向高频方向移动,而Χab(t)的宽度则越来越狭小。这就满足了信号频率高相应的窗口应该小,因而它在时间或(空间)域上均有较高的分辨力。

小波变换是可逆的,则信号f(t)的重构公式

式中:

2 应用小波变换对奇异信号进行检测

傅里叶变换是研究函数奇异性的主要工具。但是傅里叶变换缺乏空间局部性,它只能确定一个函数奇异性的整体性质,而难以确定奇异点在空间的位置和分布情况。小波分析具有空间局部化性质,因此,利用小波分析来分析信号的奇异性及奇异点的位置和奇异度的大小是比较有效的。

信号的奇异性一般分为两种情况:一种是信号在某一个时刻内,其幅值或频率发生突变,幅值或频率发生突变处是第一种类型的间断点;另一种是信号外观上很光滑,幅值没有突变,但是信号的一阶微分有突变产生,且一阶微分是不连续的,称为第二种类型的间断点[2]。

定义:在某一尺度x0下,如果存在一点(x0,y0)使得

则称点(x0,y0)是局部极值点,且在y=y0上有一个模极大值(过零)点。如果对y0的某一领域内的任点y,有

则称(x0,y0)为小波变换模极大值(过零)点。尺度空间中所有的模极大值点的连续称为模极大值线。关于模极大值与信号的突变(奇异)点有下面的定理。

定理:设n为一严格的整数,Ψ为具有n阶消失矩、n次连续可微和紧支集的小波,f(t)∈L1(c,d)([c,d]为某一实数区间),若存在尺度x0>0,使得x<0,t∈(c,d),Wf(x,y)没有局部极大值点,则在区间(c+ε,d-ε)是一致Lipschitz a(ε为任意小的正数)。一般来讲,函数在某一点的Lipschitz指数a表征了该当的奇异性大小,a越大,该点的光滑度越高;a越小,该点的奇异性越大[3]。

3 基于小波变换的奇异信号检测仿真

选择合适的小波可以提高检测的准确度。适合于检测奇异信号的小波基需要满足以下条件:(1)Χ(t)有紧支集;(2)Χ(t)连续可微;(3)Χ(t)具有对称性;(4)Χ(t)有阶消失矩。

3.1 第一类间断点的检测

利用Matlab调入含有奇变点的freqbrk信号。从原始信号来看,在具有低频信号特征的正弦信号的后半部分加入了具有中高频特征的正弦信号。用`db5'小波将信号分解到第5层,来检测第一种类型的间断点。由图1可以看出,在信号的低高频变化部分清晰的显示出了间断点的准确位置,在该信号的小波分解中,第一层和第二层(d1和d2)将信号的不连续部分表现得很明显。

3.2 第二类间断点的检测

利用Matlab调入含有奇变点的nearbrk信号。从原始信号来看,原始信号是一条光滑直线,但是它的一阶微分有突变。利用`db2'小波进行分解后,该信号的第二类间断点就显现出来了。在第二类间断点的检测中,选择小波的正则性非常重要,如果所选择小波不具有正则性,将检测不出第二类间断点。如图2所示。

4 小波变换与傅里叶变换仿真结果比较分析

原始信号采用如式8所示的分段正弦信号:

其频谱图如图3所示。对该分段正弦信号分别进行傅里叶变换及小波变换。如图4所示,经过傅里叶变换后,从信号的频谱中不能确定信号奇变点的位置,只能判断出原始信号所包含的频率,原因是傅里叶变换不具备局部分析能力,从而无法判断出信号频率瞬变的时间。应用db5小波对信号进行5层分解后,得到的细节信号如图6所示,可以看出,在细节信号部分能清晰地显示出该信号的频率间断点的准确位置,而第一层细节信号中对信号的不连续性显示的相当的明显。

5 结束语

小波变换被誉为分析信号的显微镜,能精确刻画信号在小波变换下的局部奇异性。同时,各奇异点的位置,也可以由小波变换的局部模极大值性质检测出来。实验仿真结果表明小波变换在信号奇异点检测是可行的,尤其在时频分析方面有着傅里叶变换所无法比拟的优越性。

参考文献

[1]程正兴.小波分析算法与应用[M].西安:西安交通大学出版社,1998.

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[3]胡广书.现代信号处理教程[M].北京:清华大学出版社,2004.

[4]马拉特,杨力华,戴道清.信号处理的小波引导[M].北京:机械工业出版社,2002.

[5]徐佩霞,孙功宪.小波分析与应用实例[M].合肥:中国科学技术大学出版社,1996.

[6]Walker J S.Fourier Analysis and Wavelet Analysis[J].Notice of AmerMath.Soc,1997,44(6):658-670.

四阶四点奇异边值问题的可解性 篇4

近几年来常微分方程边值问题的研究日益活跃, 对于高阶多点边值问题的研究也在不断增多[1,2], 而上下解方法和迭代方法大都是在对f (t, u, v) 限制单调性的条件下获得的, 例如文献[3]讨论了边值问题

$\{\begin{array}{l}u{}^{(4)}(t)+f(t,u(t),u^{″}(t))=0,t\in [0,1]\\ u(0)=0,u(1)=au(\eta )\\ u^{″}(0)=0,u(1)=bu(\xi )\\ \end{array}(1)$

其f∈C ([0, 1]×R2, R) , 并且λ1, λ2是非负常数f (t, u2, v) -f (t, u1, v) ≥-λ1 (u2-u1) , u1≤u2;

f (t, u, v2) -f (t, u, v1) ≤λ2 (v2-v1) , v1≤v2 。

运用一种最大值原理获得了解的存在性。本文讨论的是奇异边值问题

$\{\begin{array}{l}u{}^{(4)}(t)+f(t,u(t),u^{″}(t))=0,t\in (0,1)\\ u(0)=0,u(1)=au(\eta )\\ u^{″}(0)=0,u(1)=bu(\xi )\end{array}(2)$

去掉了f (t, u, v) 单调性的限制, 通过降阶的方法, 并且运用Leray-Sachuder原理, 在f (t, u, v) 至多线性增长的条件下获得了解的存在性。本文使用的空间是通常范数$\parallel u\parallel =\underset{t\in [0,1]}{{\displaystyle \max }}\left|u(t)\right|$下的Banach空间C[0, 1]。

引理1[3] 若0≤αη<1, u (t) ∈C[0, 1], 则

x (t) ∈C2[0, 1]是二阶三点边值问题

$\{\begin{array}{l}-x^{″}(t)=u(t)\\ x(0)=0,x(1)=\alpha u(\eta )。\end{array}$

的解当且仅当x (t) ∈C[0, 1]是积分方程

x (t) =∫${}_0^1$Ga, η (t, s) u (s) ds的解, 其中

$\begin{array}{l}G{}_{a,\eta }(t,s)=\\ \{\begin{array}{l}s\in [0,\eta ]:\{\begin{array}{l}\frac{t}{1-a\eta }[a(1-s)-a(\eta -s)],t\le s\\ \frac{s}{1-a\eta }[a(1-t)-a(\eta -t)],s\le t；\end{array}\\ s\in [\eta ,1]:\{\begin{array}{l}\frac{1}{1-a\eta }t(1-s),t\le s\\ \frac{1}{1-a\eta }[s(1-t)+a\eta (t-s)],s\le t。\end{array}\end{array}\end{array}$

当b=a, η=ξ类似定义Gb, ξ

引理2[1] (Leray-Sachuder原理) 设E是Banach, S:E→E全连续, 若{x|x∈E, x=λsx, 0<λ<1}是有界的, 则S在E中有不动点。

1 主要结果

定理:设f∈C ( (0, 1) ×R2, R) 并存在

pi (t) ∈C ( (0, 1) , [0, +∞) ) ,

i=1, 2, 3。∫10Gb, ξ (s, s) pi (s) ds<+∞

并且满足

$\begin{array}{l}\left|f(t,u,v)\right|\le p{}_1(t)\left|u\right|+p{}_2(t)\left|v\right|+p{}_3(t)(3)\\ {\displaystyle {\int }_0^{1}G}{}_{b,\xi }(s,s)[p{}_1(s)(-\frac{1}{2}s{}^2+\frac{1-a\eta {}^2}{2(1-a\eta )}+\\ p{}_2(s)\begin{array}{l}\\ \end{array})]\text{d}s<1(4)\end{array}$

则式 (2) 在C2[0, 1]∩C4 (0, 1) 中存在解。

证明 令v (t) =u″ (t) , 则-v (t) =-u″ (t) 。

由引理1知u (t) =-∫10Ga, η (t, s) v (s) ds=Tv (t) 。边值问题 (2) 就等价于

$\{\begin{array}{l}{v}^{″}(t)+f(t,{\rm T}v,v)=0\\ v(0)=0,v(1)=bv(\xi )\end{array}(5)$

t∈ (0, 1) 由引理1知式 (5) 的解等价与积分方程v (t) =∫10Gb, ξ (t, s) f (s, Tv (s) , v (s) ) ds, 定义算子S:C[0, 1]→C[0, 1], v (t) =∫10Gb, ξ (t, s) f (s, Tv (s) , v (s) ) ds显然S的不动点就为式 (5) 的解, 下证S存在不动点。对任意的v∈C[0, 1], 由S具体表达式及Ga, η (s, t) , f (t, Tv, v) 连续性知S:C[0, 1]→C[0, 1]是全连续的。下证集合Ω是有界的Ω={v|v∈C[0, 1]v=λsv, 0<λ<1}。

由式 (3) 、式 (4) 及范数定义知

$\left|v(t)\right|=\left|\lambda Sv(t)\right|\le$∫${}_0^1$Gb, ξ (t, s) f (s, Tv (s) ,

$\begin{array}{l}v(s))\text{d}s|\le {\displaystyle {\int }_0^{1}G}{}_{b,\xi }(t,s)p{}_1(s){\displaystyle {\int }_0^{1}G}{}_{a,\eta }(s,\\ \tau )\left|v(\tau )\right|\text{d}\tau \text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{1}G}{}_{b,\xi }(t,s)p{}_2(s)\\ \left|v(s)\right|\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{1}G}{}_{b,\xi }(t,s)p{}_3(s)\text{d}s\le \\ {\displaystyle {\int }_0^{1}G}{}_{b,\xi }(s,s)[p{}_1(s)(-\frac{1}{2}s{}^2+\frac{1-a\eta {}^2}{2(1-a\eta )}+\\ p{}_2(s)]\text{d}s\parallel v\parallel +{\displaystyle {\int }_0^{1}G}{}_{b,\xi }(t,s)p{}_3(s)\text{d}s。\end{array}$

即得:

$\parallel v\parallel \le \frac{{\displaystyle {\int }_0^{1}G}{}_{b,\xi }(s,s)p{}_3(s)\text{d}s}{1-{\displaystyle {\int }_0^{1}G}{}_{b,\xi }(s,s)[p{}_1(s)(-\frac{1}{2}s{}^2+\frac{1-a\eta {}^2}{2(1-a\eta )}+p{}_2(s)]\text{d}s}$。

由引理2知S在C[0, 1]中存在不动点v* (t) 即式 (5) 在C1[0, 1]∩C2 (0, 1) 中存在解v* (t) 所以式 (2) C3[0, 1]∩C4 (0, 1) 中有解:

u* (t) =-∫${}_0^1$Ga, η (t, s) v* (s) ds。 证完。

参考文献

[1]郭大钧.非线性分析.济南:山东科学技术出版社, 2001:519

[2]崔永军, 孙经先.二阶常微分方程三点问题的可解性.山东大学学报 (理学版) , 2005;40 (6) :67—70

奇异点检测 篇5

文献[1]考虑了如下带有变号的二阶四点奇异边值问题

$\{\begin{array}{l}{u}^{″}(t)+h(t)f(t,u(t))=0,t\in (a,b)\\ \lambda u^{\prime }(a)=\mu u(\xi ),u(b)=\delta u(\eta )\end{array}$

(1)

的一个正解的存在性, 其中0<a<ξ<η<b。考虑上述问题 (1) 的多个正解的存在性。

本文所使用的空间是通常范数下的Banach空间C[a, b], 范数记为$\parallel .\parallel =\underset{t\in [a,b]}{{\displaystyle \max }}|u(t)|$。本文所说的正解指非负且不恒为零的解。

定义1 如果α (t) ∈C1[ (a, b) , [0, ∞) ]∩C2[ (a, b) , [0, ∞) ]满足

$\{\begin{array}{l}{\alpha }^{″}(t)+h(t)f(t,\alpha (t))\ge 0,t\in (a,b)\\ \lambda {\alpha }^{\prime }(a)-\mu \alpha (\xi )\le 0,\alpha (b)-\delta \alpha (\eta )\le 0\end{array}$

(2)

则称α (t) 为边值问题式 (1) 的下解。若将式 (2) 中的不等号方向对换则称α (t) 为边值问题式 (1) 的上解。

若上述不等式严格成立则称α (t) 为边值问题式 (1) 的严格下解或严格上解。

为了方便先作以下假设:

$(\text{Η}{}_1)0<\delta <1,\lambda >0,\frac{\lambda (1-\delta )}{\xi (1-\delta )+\delta \eta -b}<\mu \le 0$, λ, μ不同时为零;

(H2) α1, β1和α2, β2分别是边值问题 (1) 的两对严格下解和严格上解且满足α1≤α2≤β1, α1≤β2≤β1, α2不小于等于β2;

(H3) f:[a, b]×[0, ∞) → (-∞, +∞) 连续, 且$\underset{\alpha {}_1(t)\le u\le \beta {}_1(t)}{{\displaystyle \sup }}\parallel f(t,u)\parallel \le \delta (t),\forall t\in [a,b]$, 其中δ (t) ∈C ([a, b], (0, +∞) ) ;

(H4) h: (a, b) →[0, +∞) 连续, 且

0<∫${}_a^b$h (s) δ (s) ds<+∞, 0<∫${}_a^b$ (b-t) h (t) dt<∞

引理1[1] 设 (H1) 成立, 设u (t) ∈C[a, b]则u (t) 是边值问题式 (1) 的解当且仅当u (t) 是下列积分方程的解

u (t) =∫${}_a^b$G (t, s) h (s) f (s, u (s) ) ds (3)

其中

显然0≤G (t, s) ≤γK (s, s) , ∀t, s∈[a, b], 其中

$\gamma =\frac{\lambda +\mu (a-\xi )}{(\lambda -\mu \xi )(1-\delta )-\mu (\delta \eta -b)}$。

引理2[3] 设θ∈Ω, A:$\overline{\Omega }\to E$全连续, 若‖Ax‖≤‖x‖, Ax≠x, ∀x∈∂Ω, 则

deg (I-A, Ω, θ) =1。

2 主要结果

定理1 假设 (H1) — (H4) 成立, 则边值问题 (1) 至少有三个正解u1, u2, u3且满足α1≤u1≤β2, α2≤u2≤β1, u3不小于等于β2, u3不大于等于α2。

证明 定义辅助函数

, 考虑相应问题

我们分两步来完成证明:

(1) 下证若BVP (7) 有一个解

u∈C1[ (a, b) , [0, ∞) ]∩C2[ (a, b) , [0, ∞) ]则u (t)

满足α1 (t) ≤u (t) ≤β1 (t) 。

首先证明α1 (t) ≤u (t) .若α1 (t) ≤u (t) 不成立, 则存在t0∈[a, b]使得

$u(t{}_0)-\alpha {}_1(t{}_0)=\underset{t\in [a,b]}{{\displaystyle \min }}(u(t)-\alpha {}_1(t))=m<0$ (7)

当t0=b时, m=u (b) -α1 (b) ≥ δu (η) -δα1 (η) =

δ (u (η) -α1 (η) ) ≥δm>m矛盾。

当t0∈ (a, b) 时, 有

u (t0) <α1 (t0) , α1′ (t0) =u′ (t0) ,

α1″ (t0) ≤u″ (t0) (8)

由式 (8) 和 (H2) 可得下列矛盾

α1″ (t0) ≤u″ (t0) =-h (t) f* (t0, u (t0) ) =

-h (t) f (t0, α1 (t0) ) <α1″ (t0) ,

所以当t∈ (a, b]时α1 (t) ≤u (t) 。

若t0=a即u (a) -α1 (a) <0, 由u (t) -α1 (t) 在[a, b]上连续, 则∃ε>0, s.t当t∈ (a, a+ε) 时, u (t) -α1 (t) <0, 则与前面所证矛盾。

所以α1 (t) ≤u (t) 成立。类似地可证u (t) ≤β1 (t) , 因此α1 (t) ≤u (t) ≤β1 (t) , t∈[a, b]。

(2) 证明边值问题 (6) 至少有三个解u1, u2, u3且α1 (t) ≤ui (t) ≤β1 (t) , i=1, 2, 3。

定义算子

(Au) (t) =∫baG (t, s) h (s) f* (s, u (s) ) ds (9)

G (t, s) 如式 (9) 所示, 类似文献[2]中的证明易知A:C[a, b]→C[a, b]是全连续算子。

令M>max{‖α1‖, ‖β2‖, L}, 其中0<L=∫${}_a^b$γK (s, s) h (s) δ (s) ds<∞。令Ω={u∈C[a, b],

‖u‖<M}则Ω是一有界凸开集。

由式 (9) 及引理2可得

(Au) (t) =∫baG (t, s) h (s) f* (s, u (s) ) ds≤

∫${}_a^b$γK (s, s) h (s) δ (s) ds<M。

所以A ($\overline{\Omega }$) ⊆Ω所以deg (I-A, Ω, θ) =1。

令Ωα2={u∈Ω|‖u‖>‖α2‖}, Ωβ2={u∈Ω|‖u‖<‖β2‖}, 由 (H2) 知$\overline{\Omega }{}_{\alpha {}_2}{\displaystyle \cap \overline{\Omega }}{}_{\beta {}_2}=\text{ϕ}$且

$\Omega (\overline{\Omega }{}_{\alpha {}_2}{\displaystyle \cap \overline{\Omega }}{}_{\beta {}_2})$非空。又因α1, β2不是式 (1) 的解, A在 (∂Ωα2) ∪ (∂Ωβ2) 上无解, 所以

$\mathrm{deg}({\rm I}-A,\Omega ,\theta )=\mathrm{deg}({\rm I}-A,\Omega {}_{\alpha {}_2},\theta )+\mathrm{deg}({\rm I}-A,\Omega {}_{\beta {}_2},\theta )+\mathrm{deg}({\rm I}-A,\Omega (\overline{\Omega }{}_{\alpha {}_2}{\displaystyle \cap \overline{\Omega }}{}_{\beta {}_2}),\theta )$。

如果能够证明deg (I-A, Ωα2, θ) =deg (I-A, Ωβ2, θ) =1则知$\mathrm{deg}({\rm I}-A,\Omega (\overline{\Omega }{}_{\alpha {}_2}{\displaystyle \cap \overline{\Omega }}{}_{\beta {}_2}),\theta )$=-1,

则由Leray-Schauder度理论可知边值问题式 (7) 有三个解, 且分别在集合$\Omega {}_{\alpha {}_2},\Omega {}_{\beta {}_2},\Omega (\overline{\Omega }{}_{\alpha {}_2}{\displaystyle \cap \overline{\Omega }}{}_{\beta {}_2})$中。

首先证明deg (I-A, Ωα2, θ) =1。定义函数

$f{}^{**}=\{\begin{array}{l}f(t,\beta {}_1(t)),u>\beta {}_1(t)\\ f(t,u(t)),\alpha {}_2(t)\le u\le \beta {}_1(t)\\ f(t,\alpha {}_2(t)),u\le \alpha {}_2(t)\end{array}$

和相应的问题

定义全连续算子

(A1u) (t) =∫baG (t, s) h (s) f** (s, u (s) ) ds,

t∈[a, b]。

类似于以上的证明知u是式 (10) 的解, 则u∈Ωα2因此$\mathrm{deg}({\rm I}-A{}_1,\Omega \overline{\Omega }{}_{\alpha {}_2},\theta )=0$。

和上面的讨论一样, 可以证明A1 ($\overline{\Omega }$) ⊆Ω 所以deg (I-A1, Ω, θ) =1。由f**的定义知在Ωα2上f**=f*, 所以

$\begin{array}{l}1=\mathrm{deg}({\rm I}-A{}_1,\Omega ,\theta )=\mathrm{deg}({\rm I}-A{}_1,\Omega {}_{\alpha {}_2},\theta )+\\ \mathrm{deg}({\rm I}-A{}_1,\Omega \overline{\Omega }{}_{\alpha {}_2},\theta )=\mathrm{deg}({\rm I}-A{}_1,\Omega {}_{\alpha {}_2},\theta )=\\ \mathrm{deg}({\rm I}-A,\Omega {}_{\alpha {}_2},\theta )。\end{array}$

同理可证deg (I-A, Ωβ2, θ) =1。因此定理得证。

摘要：研究了一类带有变号的二阶四点奇异边值问题{u″ (t) +h (t) f (t, u (t) ) =0, t∈ (a, b) , λu′ (a) =μu (ξ) , u (b) =δu (η) , 主要利用上下解方法和Leray-Schauder度理论得到了三个正解的存在结果, 改进和推广了现有的结果。

关键词：边值问题,上下解,多解,Leray-Schauder度

参考文献

[1]谢大鹏, 刘洋, 柏传志, 等.一类带有变号的二阶四点奇异边值问题的正解.应用数学学报, 2010;1 (1) :171—179

[2]Greaf J, Yang B.Positive Solusions to a multi-point higher order boundary vablue problem.J Math Anal Apple, 2006;316:409—421