线面位置

线面位置（精选3篇）

线面位置 篇1

在立体几何题目中, 最常见的是论证直线和平面的五种位置关系, 即线线平行、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直.这五种位置关系的主要判定定理都与直线有关, 关键都是“找线”.

一、论证线线平行, 依据公理4, 找第三条“线”

例1 已知直线 a 平行于平面α和β, α∩β=b, 求证 a//b.

证明:设过直线 a 的平面γ、δ分别交α、β于 c、d (不同于 b) , 如图1所示.

因为 a//α, 所以 a//c.

又因为 a//β, 所以 a//d, 由公理4, c//d.

而 d⊂β, c⊄β, 所以 c∥β.又 c⊂α, α∩β=b, 所以 c//b.

从而 a//b.

二、论证线面平行, 依据直线和平面平行的判定定理, 在平面内找一条“线”

例2 如图2, 在四棱锥P—ABCD中, 底面ABCD是平行四边形, M、N分别是AB、PC的中点, 求证MN//平面PAD.

证明:设PD的中点为Q, 连结NQ、AQ, 则NQ//CD, 且${\rm N}Q=\frac{1}{2}CD.$

因为ABCD是平行四边形,

所以AM//CD, 且$A{\rm M}=\frac{1}{2}CD.$

这样有NQ//AM且NQ=AM,

则四边形AMNQ是平行四边形.

所以MN//AQ, 所以MN//平面PAD.

三、论证线面垂直, 依据直线和平面垂直的判定定理, 在平面内找所需的两条相交“线”

例3 如图3, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, P为DD1中点, O为底面ABCD的中心, 求证B1O⊥平面PAC.

证明:因为AB1=CB1, O为AC的中点, 所以B1O⊥AC.

设正方体的棱长为2, 则

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm O}{}^2={\rm P}D{}^2+D{\rm O}{}^2=1{}^2+(\sqrt{2}){}^2=3‚\\ B{}_1{\rm O}{}^2=B{}_{1}B{}^2+B{\rm O}{}^2=2{}^2+(\sqrt{2}){}^2=6‚\\ {\rm P}B{}_1^2={\rm P}D{}_1^2+D{}_{1}B{}_1^2=1{}^2+(2\sqrt{2}){}^2=9.\end{array}$

可见有PB${}_1^2$=PO2+B1O2, 所以B1O⊥PO.

又PO∩AC=O, 所以B1O⊥平面PAC.

四、论证面面平行, 依据平面和平面平行的判定定理, 在其中一个平面内找所需的两条相交“线”

例4 设三个平面α, β, γ满足α⊥γ, β⊥γ, α∩γ=a, β∩γ=b, a//b.求证α//β.

证明:因为α⊥γ且交线为 a, 所以在α内作直线 m⊥a, 则 m⊥γ.同理在β内作直线 n⊥b, 则 n⊥γ, 故 m//n, 有 m//β.又 a//b, 有 a//β.m 和 a 是α内相交直线, 所以α//β.

五、论证面面垂直, 依据平面和平面垂直的判定定理, 在其中一个平面内找垂直于另一个平面的一条“线”

例5 如图4, 由点S引三条射线SA、SB、SC, 已知∠ASB=θ1, ∠BSC=θ2, ∠ASC=θ (都是锐角) , 且 cosθ1cosθ2=cosθ, 求证平面ASB⊥平面BSC.

证明:取SA上一点P (异于S) , 作PQ⊥SB于Q, QR⊥SC于R, 连PR.

在Rt△PSQ中, $\cos \theta {}_1=\frac{SQ}{{\rm P}S}$;

在Rt△SQR中, $\cos \theta {}_2=\frac{SR}{SQ}.$

所以$\cos \theta {}_1\cos \theta {}_2=\frac{SQ}{{\rm P}S}\cdot \frac{SR}{SQ}=\frac{SR}{S{\rm P}}.$

在△PSR中, $\cos \theta =\frac{S{\rm P}{}^2+SR{}^2-{\rm P}R{}^2}{2S{\rm P}\cdot SR}.$

再由 cosθ1cosθ2=cosθ, 得

SP2=SR2+PR2,

所以SC⊥PR, 所以SC⊥面PRQ.

所以PQ⊥SC, 又PQ⊥SB, 可得PQ⊥面SBC.而PQ⊂面ASB, 所以平面ASB⊥平面BSC.

线面位置 篇2

1、直线垂直于平面内两条非平行的线,则直线垂直于该平面

2、直线的两条不平行的垂线与平面平行,则直线垂直于该平面

3、有A、B两个面都与C平面垂直,则A、B两个面的交线也垂直于C平面

4、直线垂直于与A平面平行的B平面,则直线垂直于A平面

5、直线任意点在平面上的投影都重合,则直线垂直于该平面

6、直线上任意点到平面的`距离,都等于这一点到线面交点的距离,则直线垂直于该平面

线面垂直性质定理

1、如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

2、经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

3、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

4、垂直于同一平面的两条直线平行。

线面新生记作文 篇3

一丝线面串联起无数福州人的回忆，一碗线面承载着多少福州人的思乡情。也许，很多人都未曾吃过手工制作的线面，也没有见过手工线面是怎么制作的。但它的确是线面最传统的做法，在制面机出现之前，人们普遍用手工制作线面。

我第一次看到手工线面是什么时候呢?是某一年清明扫墓的时候吧。我和姑妈在去扫墓的路上，走进一个古色古香的小巷时，我像发现了一个新天地般，兴奋地指着不远处一个挂满线面的架子，对着姑妈大喊:“姑妈，你快看!”我的语调里充满了好奇与兴奋，“那个架子上挂的是不是线面啊?”

姑妈敷衍地回应:“是啊，不过手工制作的线面最近很少见到了，现在见到的线面大部分都是机器制作的 。”

听了姑妈的话，我心中的好奇更甚。于是，我抱着打破砂锅问到底的.精神，继续问道:“那为什么不用手工制作线面呢?”

“手工制作线面太繁琐，做起来也不容易。而机器制作则更加便捷，所以人们当然会选择用机器制作线面啦。”

“哦，原来是这样啊。”我似懂非懂地点点头……

晚上我回家，查了许多资料，有描述线面的对联，左联曰：金梭玉帛，右联曰：牵丝如缕，横批“巧夺天工”。我觉得那天我看到的线面，跟这对联之中描述的线面相比，简直“有过之而无不及”。再看看机器所制作的线面，它虽也不差，但和手工制作的线面还是有一点的差距，我不免遗憾。

可转而一想，制作不够精致，这只是一个小瑕疵罢了，除了这个小瑕疵。它也有着令食客和商家欢心雀跃的优点，比如:可大批量、快速生产的优点，这可是科技赋予线面带来新生的一大要素。如果没有科技让线面大批量、快速的生产，恐怕线面已经消失在时间的洪流中了，而那样我们别说吃到线面了，就是想看都没处看了。