线性规划题型（精选4篇）
线性规划题型 篇1
江苏高考数学试卷改革以来, 对于线性规划的考查一直没有降低, 对于线性规划的考查题型也不断创新.万变不离其宗, 先行规划的本质知识还是没有较大变化, 本文将线性规划的题型考查总结如下.
第一类题型为典型的简单线性规划考查, 即给出可行域满足的不等式组, 给出线性目标函数, 求解线性目标函数的值域或最值.此类问题求解比较容易, 画出可行域, 利用直线的平移求解即可.另外, 还要注意另外一种问题设计技巧, 即在可行域的约束条件中加入参数.
典例:设变量x, y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为_________.
解析:由线性约束条件画出可行域 (如图所示) .由z=x+2y, 得, (1/2) z的几何意义是直线y=- (1/2) x+ (1/2) z在y轴上的截距, 要使z最小, 需使12z最小, 易知当直线y=- (1/2) x+ (1/2) z过点A (1, 1) 时, z最小, 最小值为3.
变式: (1) 若函数y=2x图像上存在点 (x, y) 满足约束条件则实数m的最大值为__________.
(2) 在平面直角坐标系中, 若不等式组 (a为常数) 所表示的平面区域的面积等于2, 则a的值为________.
解析: (1) 在同一直角坐标系中作出函数y =2x的图像及所表示的平面区域, 如图阴影部分所示.
由图可知, 当m≤1时, 函数y=2x的图像上存在点 (x, y) 满足约束条件, 故m的最大值为1.
(2) 不等式组所围成的平面区域如图.
∵其面积为2, ∴AC=4, 从而C点坐标为 (1, 4) , 代入ax-y+1=0, 解得a=3.
答案: (1) 1 (2) 3.
规律方法: (1) 线性目标函数的最大 (小) 值一般在可行域的顶点处取得, 也可能在边界处取得. (2) 已知目标函数的最值或其他限制条件, 求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题.解决这类问题时, 首先要注意对参数取值的讨论, 将各种情况下的可行域画出来, 确定是否符合题意, 然后在符合题意的可行域里, 寻求最优解, 从而确定参数的值.
第二类题型为二元一次不等式 (组) 表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义完成.常见代数式的几何意义: (1) 表示点 (x, y) 与原点 (0, 0) 的距离; (2) 表示点 (x, y) 与点 (a, b) 之间的距离; (3) 表示点 (x, y) 到直线Ax+By+C=0的距离; (4) y/x表示点 (x, y) 与原点 (0, 0) 连线的斜率; (5) 表示点 (x, y) 与点 (a, b) 连线的斜率.
典例:实数x, y满足, 求: (1) 若z=y/x, 求z的最大值和最小值, 求z的取值范围; (2) 若z=x2+y2, 求z的最大值与最小值, 以及z的取值范围.
解析:由作出可行域, 如图中阴影部分所示.
(1) z=y/x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率, 因此y/x的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率 (直线OA的斜率不存在, 即zmax不存在) .
由得B (1, 2) , ∴kOB=2/1=2, 即zmin=2, ∴z的取值范围是[2, +∞) .
(2) z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.
因此x2+y2的值最小为|OA|2 (取不到) , 最大为|OB|2.
由得A (0, 1) ,
∴∴z的取值范围是 (1, 5].
规律方法:在简单的线性规划问题中:一是要把不等式组所表示的平面区域作准确; 二是要把握好目标函数的几何意义, 这个几何意义决定了目标函数在哪个点处取得最值的情况.
第三类题型为二元一次不等式 (组) 表示的平面区域的面积相关.由此引发的可行域图形面积的求解, 也成为近几年市统测青睐的试题.
典例:设动点P (x, y) 在区域Ω:上, 过点P任作直线l, 设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB, 则以AB为直径的圆的面积的最大值为________.
解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示, 则根据图形可知, 以AB为直径的圆的面积的最大值:
线性规划题型 篇2
向量和线性方程组是线性代数的重点内容，也是考研的重点之一。在往年考题中，有关向量和线性方程组的考题出现频率较高，几乎年年都有。考研专家总结了向量和线性方程组的几种核心题型与解决方法，供同学们考研数学冲刺复习。
一、向量组的线性相关性(无关性)
要判断(证明)向量组的线性相关性(无关性)，首先会考虑用定义法来做，其次会用向量组的线性相关性(无关性)的一些重要性质和定理来做，建议同学们随身带一本数学公式小手册《考研数学必备手册》，方便随时随地记忆。同时会考虑用向量组的线性相关性(无关性)与齐次线性方程组有非零解(只有零解)之间的联系和用矩阵的秩与向量组的秩之间的联系来做。 (来源：考研教育网)
二、向量组的线性表示。
要判断一个向量是否可由一个向量组线性表示，通常都会把它转化为非齐次线性方程组解是否存在来做。
三、线性方程组解的结构和(不)含参量线性方程组的求解。
要解决线性方程组解的结构和求法的问题，首先应考虑线性方程组的基础解系，然后再利用基础解系的`线性无关性、与矩阵的秩之间的联系等一些重要性质来解决线性方程组解的结构和含参量的线性方程组解的讨论问题，同时用线性方程组解结构的几个重要性质求解(不)含参量线性方程组的解。
(来源：考研教育网)
线性规划题型 篇3
一、什么是二次型
含n个变量x1, x2，…，xn的二次齐次多项式f (x1, x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn+…+annx2n称为x1, x2，…，xn的一个n元二次型函数，简称二次型。而二次型矩阵表为：
设aij (i, j=1, 2，…，n;i≤j)均为实常数，称关于n个实变量x1, x2，…，xn的二次齐次多项式函数
为一个n元实二次型，简称为n元二次型。
令aij=aji，则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，再令矩阵A=(aij) n×n, x=(x1, x2，…，xn) T，则A为实对称矩阵，且可将二次型写成
称此式右端为二次型的矩阵表达式，称实对称矩阵A为二次型f的矩阵，并称A的秩为二次型f的秩.
二、二次型的解法
用配比法化二次型为标准型的要点是用完全平方公式和两数平法差公式逐步消去非平方项并构造新的平方项.具体而言：
(1)如果二次型中含x1的平方项和交叉项，则把含x1的交叉项集中，按x1配成平方项，对其他变量也做类似处理，直到都配成平方项为止.
(2)如果二次型中交叉，但不含x1的平方项，则作可逆线变换x1=y1-yj，使二次型出现平方项，再按上面的方法配方.
三、二次型的正定和负定性
1. 二次型正定判别法
二次型为正定的充要条件是下列条件之一成了：一是f的标准形中的n个系数全为正，二是正惯性指数p=n，三是对称矩阵的特征值权大于0，四是对称矩阵A的各阶顺序主子全大于0.
有二次型f (x)=xTAx，它的秩为r，有两个满秩线性变换x=C1y和x=C2z, f经上述两个满秩线性变换化成的标准形分别为
则d1, d2，…，dr中正(负)数的个数与k1, k2，…，kr中正(负)数的个数相等.
我们这样认为：称f的标准形中系数为正的平方项的个数为f的正惯性指数，称f的标准形中系数为负的平方项的个数为f的负惯性指数，由惯性定理可见，f的标准形虽然不唯一，但的正惯性指数p及负惯性指数r-p(其中r为f的秩)却是由f本身唯一确定的.它们不随满秩线性变换的不同而改变.因此，f的规范形中系数为1的平方项的个数及系数为-1的平方项的个数也是由f本身唯一确定的，从这个意义上讲，可以说二次型的规范形是唯一的.
假设定义(正定、半正定、负定、半负定及不定二次型)设有n元二次型f (x)=xTAx (A为实对称矩阵)，如果对任意n维非零向量x，都有：
(1) f (x)>0，则称f为正定二次型，并称实对称矩阵A为正定矩阵;
(2) f (x)≥0，且x≠0，使f (x)=0，则称f为半正定二次型，并称实对称矩阵A为半正定矩阵;
(3) f (x)<0，则称f为负定二次型，并称实对称矩阵A为负定矩阵;
(4) f (x)≤0，则称f为半负定二次型，并称实对称矩阵A为半负定矩阵.
2. 二次型负定判别法
二次型为负定的充要条件是下列条件之一成立：一是f的标准形中的n个系数全为负.二是负惯性指数p=n，三是对称矩阵的特征值全小于0，四是对称矩阵A的个阶顺序主子式中，偶数阶全大于0，奇数阶全小于0.
摘要：线性代数中的二次型在当今社会各个领域都有广泛的运用, 关于二次型的问题也是高等数学学习和研究生考试的重点和难点。由于二次型问题与线性代数知识存在着密切的联系, 分析和研究二次型问题的题型和解法对深入学习线性代数具有重要的基础作用。本文以高等数学试题中提供的关于二次型问题为例探讨了二次型题型的一般类型, 以及相应的解法, 为高校学生学习线性代数提供一些参考。
关键词：线性代数,二次型,题型,解法
参考文献
[1]刘三阳, 王世儒等.高等数学辅导[J].西安:西安电子科技大学, 2010, (06) .
[2]张禾瑞.高等代数[J].北京:高等教育出版社, 2009, (05) .
[3徐仲.理工科线性代数[J].西安:西北工业大学, 2007, (01) .
线性规划题型 篇4
2011年10月12日 14:09来源：万学海文
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，万学海文数学考研辅导专家们在这里，提醒广大的2012年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，万学海文就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对2012年考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《2012年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点.万学海文提醒2012年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。