简单线性规划

简单线性规划（共11篇）

简单线性规划 篇1

简单的线性规划是数学中一种重要的数学模型, 从数学知识上看, 问题涉及多个已知数据、多个字母变量, 多个不等关系。再者简单的线性规划题型应用非常广泛, 这都成了学生解题的困难。所以我觉得应重点解决以下三个问题。

1.可行域判断二元一次不等式Ax+By+C>0 (C<0) 表示区域:方法1:代点法:直线Ax+By+C=0 (c不为0) 的某侧任取一点 (一般取原点) , 把它的坐标代入不等式, 若符合不等式, 则不等式表示的区域在该点的那一侧;若不符合, 则在另一侧。方法2:先把A化为正值, 观察不等式中y的系数B和不等号, 若B>0, 则不等式Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的上方;不等式Ax+By+C<0表示的区域在直线Ax+By+C=0的下方;若B<0, 则不等式Ax+By+C>0表示的区域在直线Ax+By+C=0的下方;不等式Ax+By+C<0表示的区域在直线Ax+By+C=0的上方。简记:B正值, (Ax+By+C) 上正下负。B负值, (Ax+By+C) 上负下正。二元一次不等式Ax+By+C>0 (C<0) 表示平面区域时, 边界 (直线) 应画成虚线;二元一次不等式Ax+By+C≥0 (C≤0) 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域 (包括边界) 。直线y=kx+b型, 观察不等式中y和不等号, 则不等式y>kx+b表示的区域在直线kx+b=0的上方;不等式y<kx+b表示的区域在直线kx+b=0的下方. (若把kx+b看作0, y>kx+b便可以记为y>0) 则简记:y上正下负。线性约束条件: (1) 解决线性规划有关的问题关键是准确的作出可行域, 在生产实际问题中, 要准确的列出约束条件关于x、y的一次不等式组。 (2) 图解法解决线性规划问题时, 根据约束条件画出的范围即可行域。根据约束条件画出可行域是关键的一步, 可行域可以是封闭的多边形, 也可以是一侧开放的非封闭平面区域。例 (1) :不等式组x+y+5<0, x-y-5<0, 1<x<2, 表示的平面区域是一个 (%%%) 。 (A) 三角形; (B) 梯形; (C) 矩形; (D) 菱形。

2.目标函数。欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式。若是关于x、y的一次解析式, 则称为线性目标函数。

目标函数的几何特征, 目标函数是用数学关系式表示简单的二元变量表示的限制、求解条件, 通常解法是将代数问题转化为几何问题, 找出目标函数的几何意义, 运用数形结合思想和化归思想, 使用图解法解决。例 (2) :不等式组2x-y≥-1, 3x+2y≤23, y≥1, 表示的平面区域的面积为_______。例 (3) :在例 (2) 条件下, 表示的平面区域的整点个数为_______。

已知可行域为已知条件下, 求解以下类型。

(1) 截距型, 求z=3x+y的最大和最小值。y=-3x+z, z表示直线在y轴的截距, 求z=3x-y的最大和最小值。注意 (1) 在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时, 设ax+by=t, 则此直线往右 (或左) 平移时, t值随之增大 (或减小) , 要会在可行域中确定最优解。 (2) 对线性目标函数z=Ax+By+c中的B的符号:当B>0时, 直线过可行域且在y轴上截距最大时, z值最大, 在y轴上截距最小时, z值最小;当B<0时, 直线过可行域且在y轴上截距最大时, z值最小, 在y轴上截距最小时, z值最大。 (3) 小结:求形如z=Ax+By+C函数最值问题的一般步骤: (1) 作:作出可行域。 (2) 移:作一组平行直线L, 平移L, 找最优解。 (3) 解:联立方程组求最优解, 并代入目标函数, 求出最值。 (4) 推广:例如, 已知x*2+y*2=4, 求z=x+y的最大和最小值。

(2) 距离型, 求z=x*2+y*2最大和最小值。z=x*2+y*2表示可行域内的点 (x, y) 到 (0, 0) 的距离的平方。补充:若U=x*2+y*2+9y-4x+1, 求U的最值。

(3) 绝对值型, y=|x+3y+5|最大值, y表示可行域内的点 (x, y) 到直线x+y+5=0的距离一半。

(4) 斜率型, 求z=y/x取值范围。z= (y-0) / (x-0) 表示可行域内的点 (x, y) 与 (0, 0) 的连线的斜率。又如: (1) 求K= (y-1) / (x-1) 的取值范围。 (2) 求z= (2x+2) / (y+1) 的值域。如果可行域为封闭图形, 一般在边界或顶点处取得。所以可以把所有边界或顶点条件代入目标函数z, 求值, 比较得到最值。 (5) 已知|x|+|y|=2, y+2=k (x+1) 若平面区域是一个三角形, 则k的取值范围是________。考查过定点 (-1, -2) 直线截正方形成三角区域的情况, 正确画出可行域的区域, 掌握直线定界, 特殊点定域的方法。

图解法解决线性规划问题时, 一般地, 目标函数的几何意义一定要清楚, 特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的边界和顶点处取得, 但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标。

3.简单线性规划的实际应用。简单的线性规划题型应用非常广泛, 主要解决的问题是:在线性等式或线性不等式的限制下, 如何使用资源来完成的生产任务最多;或是给定一项任务, 如何合理安排和规划, 能以完成任务的人力、物力、资金来最少, 突出体现了优化的思想.通常解法是将实际问题转化为数学模型, 归结为线性规划, 再使用图解法解决。生产实际中的线性规划问题的图解法步骤: (1) 设:根据题意, 设出变量x、y, 找出线性约束条件。 (2) 定:确定线性目标函数z=f (x, y) 。 (3) 作:画出可行域 (即各约束条件所示区域的公共区域) 。 (4) 移:利用线性目标函数作平行线系f (x, y) =t (t为参数) 。 (5) 从近几年的高考试题来看, “线性规划问题”从单一的、静态的线性规划发展到较全面的、动态的线性规划, 考查的形式呈现出新的形势。从知识考点来看, 超越了线性规划本身的框架, 对思维的层次较高, 应该引起我们老师和同学的共同关注。

摘要：简单线性规划用数学关系式表示简单的二元变量表示的限制、求解条件, 通常解法是将代数问题转化为几何问题, 找出目标函数的几何意义, 运用数形结合思想和化归思想, 使用图解法解决.。

关键词：可行域,线性规划,数学

简单线性规划 篇2

【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

/ 3

参考答案

例1：

【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

或其平面区域如图： 或或

∴面积S=×4×4=8

【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：

【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图

/ 3

简单线性规划 篇3

【关键词】向量的数量积 确定 可行域 目标函数的最值 

简单线性规划问题是新课改后加入高中教材的内容。人教版必修5中第三章的第三节二元一次不等式(组)与简单线性规划问题,经过高中两轮的教学,我发现用向量的数量积解释简单线性规划问题,学生容易接收,解决问题的效果也很好。通过这一节的教学,我感觉“教无止境”,教学是要不断反思总结才能积累经验,提高教学效率。

一、简单线性规划的主要问题

简单线性规划在教学上需要解决的主要是两个问题:(1)约束条件(确定可行域);(2)根据可行域及目标函数,求最优解。

约束条件都是关于x、y的一次不等式,又称为线性约束条件。求可行域是在直角坐标中解决问题,要把不等式中的不等号改为等号,画出直线:Ax+By+C=0(A、B不同为0),不等式中含等号(≥,≤)就画成实线,不含等号(>,)就画成虚线,再判断满足不等式区域。教材上是用特殊点确定可行区域,一般地,一次不等式Ax+By+C>0(A、B不同为0)在平面直角坐标中表示直线Ax+By+C=0某侧所有点组成的平面区域,因此只需在直线Ax+By+C=0的同侧取某个特殊点(x。,y。)作为测试点,由A x。+By。+C的符号就可以断定Ax+By+C>0(<0)的平面区域。学生是可以理解的,应该说也容易判断。但学生感觉存在可信度问题,特别是参考资料中有时右上大于零左下小于零,有时右上小于零左下大于零的情况,把学生弄得糊涂不清。

目标函数Z=ax+by变形为ax+by-z=0就是直线的一般式。一般在线性约束条件下求线性目标函数Z的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。教材中求目标函数Z=ax+by的最值时,将函数Z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=-abx+zb,通过求直线的截距zb 的最值间接求出Z的最值。教材的这句话也非常笼统,并且可能让老师和学生产生错觉,以为截距大的Z大。

二、简单线性规划问题的规律

我在2006年第一次教这节内容时就按教材讲解,没有多钻研。2007年高三复习时,做了一定量的题目,特别是求目标函数最值,有了更清楚的认识,由于截距zb受b的符号影响,所以b>0时截距最大(最上一点)Z的值最大,b<0时截距最小(最下一点)Z的值最大。于是我编写口诀给学生记,目标函数Z的最值是b正上最大下最小,b负上最小下最大。同时对一次不等式在直角坐标系中表示哪个半平面有了一定总结:平面被直线Ax+By+C=0(A、B不同为0)分成两个半平面,口诀是B正上>0下<0,B负上<0下>0。

2010我第二轮教高三。在复习资料上,还有在《现代教育理论与实践指导全书》中看到吉林省集安市第六中学的赵永杰、刘树达写的《对线性规划教学的一点体会》,该文如是总结:

不等式区域

Ax+By+C>0(A>0)表示直线右方的半平面区域

Ax+By+C<0(A>0)表示直线左方的半平面区域

这跟我的总结及编写的口诀有相同之处,只是选择的系数不同。所以我反复思考,得出了用向量的数量积解释简单线性规划问题的结论。

三、用向量的数量积解释简单线性规划问题

因为含x,y的一次不等式与直线Ax+By+C=0(A、B不同为0)有关。向量a=(A、B)与直线Ax+By+C=0垂直。可以说Ax+By+C的符号由向量a=(A,B)决定:

当 A,B都为正,向量指向第一象方向,也就是直线Ax+By+C=0右上区域,Ax+By+C>0,左下区域,Ax+By+C<0;

A正,B负:向量指向第四象限方向,也就是直线Ax+By+C=0右下区域,Ax+By+C>0,左区域Ax+By+C<0;

A负,B正:向量指向第二象限,也就是直线Ax+By+C=0左上区域,Ax+By+C>0,右下区域,Ax+By+C<0;

当 A,B都为负,向量指向第三象方向,也就是直线Ax+By+C=0左下区域,Ax+By+C>0,右上区域,Ax+By+C<0;

当A=0,B>0,直线by+c=0的上方by+c>0,下方by+c<0

B<0,直线by+c=0的下向by+c>0,上方by+c<0

当B=0,A>0,直线Ax+C=0的右方Ax+C>0,左方Ax+C<0

A<0,直线Ax+C=0的左方Ax+C>0,右方Ax+C<0

以上结论可以用向量的数量积来证明,非零向量a与b,a·b=|a|·|b|cosθ, a·b的符号由向量的夹角θ决定,当 θ为锐角,a·b>0,当θ 为直角,a·b=0,当θ 为钝角,a·b<0。Ax+By+C=Ax+B(y+CB),可看作a=(A,B),b=(x,y+CB)的数量积,而b向量可看作是以(0,- CB)为起点,(x,y)为终点的向量,起点(0,- CB)一定在直线Ax+By+C=0上,当然b向量有多种配法,不管怎么配起点都是在直线Ax+By+C=0上,这样终点(x,y)在直线上就与a=(A,B)垂直,所以Ax+By+C=Ax+B(y+CB)=0;终点(x,y)在直线的与a=(A,B)方向相同的一侧,向量a与b的夹角为锐角,a·b>0;终点(x,y)在直线的与a=(A,B)方向相反的一侧,向量a与b的夹角为钝角,a·b<0;所以可以证明Ax+By+C的符号由向量a=(A,B)决定,也就是可以由x、y的系数来确定一次不等式在平面直角坐标中表示直线Ax+By+C=0(A、B不同为0)某侧所有点组成的平面区域。例如2x-5y+1≥0,一看就知a=(2,-5)指向第四象限,所以不等式在直线2x-5y+1=0右下区域(包括直线);又如:-2x-3y+2<0,一看向量a=(-2,-3) 指向第三象限,所以不等式在直线-2x-3y+2=0右上区域(与a反向小于零)。

以此类推,很容易证明目标函数 Z =ax+by的大小也是由向量(a,b)决定的,也就是由x、y的系数来确定。目标函数Z =ax+by,随Z取值的不同可以画出一组平行线,一组平行线与向量(a,b)垂直,令Z=0,直线ax+by=0过原点,ax+by可看作a=(a,b),b=(x,y)的数量积,所以(x,y)在直线ax+by=0的与a相同方向一边取值(或直线ax+by=0向a所指方向平移),Z = ax+by的值越来越大,反向,Z =ax+by 的值越来越小。例如:Z=3x-y,向量a=(3,-1)指向第四象限,所以直线3x-y=0向右下方平移Z的值越来越大,向左上方平移Z的值越来越小。又如:Z=-x-5y,向量a=(-1,-5)指向第三象限,所以直线-x-5y=0向左下方平移Z的值越来越大,向右上方平移Z的值越来越小。

用向量的数量积解释简单线性规划问题,学生很容易记忆,也很快掌握,提高了教学效率,学生也学得轻松。我感叹教学经验的积累需要时间,在这个过程中还要不断学习与反思,现在有不足之处,将来就有进步的机会。

参考文献:

[1]数学(必修5),人民教育出版社,2005

[2]名师大讲堂(数学文科), 郭玉竹、谭渊、黄仁海、肖传芳主编,广东海燕电子音像出版社,2009

例谈《简单线性规划》的复习策略 篇4

一、注重根本, 创造解题便捷

数学线性规划问题解决的根本在于我们能够准确的画出约束条件表示的平面区域。因此, 我们首先阐述如何快捷的画出平面区域。以由三个不等式组为例, 画出平面区域的步骤如下:

由上步骤可以看出, 最令学生困扰的就是第二步, 课本采用的是“特殊点法”来判断不等式表示的区域是哪一侧, 若我们的探究止步于此, 而不是进一步的总结, 那进行第二步将是十分繁琐的过程, 会花费大量的时间, 导致大部分的学生都不乐意去做这个题, 若我们能够继续探究, 归纳出简单的记忆方法, 将会事半功倍。下面提供一种简单的解决第二步的方法, 通过对“特殊点法”的进一步探究, 总结可以得到下表:

表格突显其直观性, 但不方便我们记忆, 我们可以根据表格创设便于自己记忆的记忆口诀。认真观察, 不难发现, 不等式Ax+By+C>0, B>0, 则在边界上方, 不等式Ax+By+C<0, B<0, 则在边界上方, 可以得出口诀“同号为上”;不等式符号与B符号不一致则在下方, 可以得出口诀“异号为下”。总结可得“同号为上, 异号为下”。此过程看似繁杂, 但在课堂上若能提出问题, 让学生自己归类, 探究, 将会给学生留下十分深刻的印象, 而且十分实用, 不容易忘记。

二、学会分类、充分理解目标函数最值问题

线性规划问题出现已久, 出题人对学生的要求也越来越高, 在理解基本必备知识的基础上, 我们应该学会举一反三, 适应出题的多变性。就高考出题来说, 最值问题是出题人最喜欢的问题, 因此学习者必须掌握。最值问题分为两种:一种是线性目标函数最值问题;一种是非线性目标函数最值问题。

1. 线性目标函数最值问题

线性目标函数z=ax+by (a, b一般不为0) 是欲使z达到最大或最小值关于可行域中变量x, y的一次解析式。换言之, z就是一个变动的数值, 所以在教学引入部分, 我们可以提及z=ax+by与ax+by=0间的关系 (两者斜率相同) 。这是值得教师重视的地方, 教师也许会觉得简单, 但许多同学在这个地方是很难理解的。了解目标函数的根本后, 接下来就能理解最值问题了, 下面以例说明:

(1) 约束条件确定, 求线性目标函数的最大或最小值或值域。

解:作虚线L:2x+y=0, 将虚线L向右上方平移, 通过点A (1, 1) 时取得最小值, Zmin=2×1+1=3。

(2) 已知目标函数最值, 求约束条件中的参数值k。

线性目标函数求最值的题目难度相对来说不算大, 只要我们能画出可行域, 根据斜率、逆反思维, 不管题型再变, 也能信手拈来。

2. 非线性目标函数最值问题

对于非线目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成, 就目前出题来说, 常考的题型需要掌握代数式的几何意义有以下几种:

解:画出可行域, 表示可行域内任意一点与坐标原点连线的斜率, 因此, z的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率 (直线OA的斜率不存在, 即zmin不存在) 。

即zmin=2, ∴z的取值范围为[2, +∞) 。

分析:此类问题有两种解题方法, 其一是用上述提到的几何意义②来解, z=x2+ (y+1) 2表示点 (x, y) 与点 (0, -1) 之间的距离的平方;第二种情形来解;其二可转化为过圆的半径求解问题, 最大值是离圆心距离最远的点, 一般是边界的交点, 最小值时是离圆心距离最近的点, 有时是边界的交点, 有时是过圆心作边界垂线的垂足, 在解题时要注意区别, 且最值是半径的平方[2]。

三、学会延拓, 结合其他知识进行探究, 培养发散思维

1. 结合均值不等式求目标函数参数问题

解:由x+y-1≤2表示的平面区域向上

仅当a=1/2, b=1时取等号) .

数学题有很强的综合性, 就线性规划而言, 要记住万变不离其宗, 因此, 在教学中, 教师有义务引导学生化复杂为简单, 化陌生为理解, 完完全全克服学生学习的心理障碍。

摘要：简单线性规划是高中数学必修5第三章的内容, 该知识点不仅频频出现在历年数学高考试卷中, 更是解决生产实践、经济、科技等实际问题强有力的工具, 与社会生活息息相关.通过对高考题型的整理、分析, 总结出复习线性规划问题的策略, 以期给学生学习此知识带来方便, 为社会生产生活打下知识基石。

关键词：数学学习,解题方法,复习策略

参考文献

[1]黄河清.高中数学“问题导学”教学法[M].教育科学出版社, 2013

简单的线性规划教学设计 篇5

（1）使了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；

（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；

（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

（4）培养学生观察、联想以及作图的，渗透集合、化归、数形结合的思想，提高学生“建模”和解决实际问题的；

（5）结合教学内容，培养学生数学的和“用数学”的意识，激励学生勇于创新。

教学建议

一、结构

教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域。再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法—图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用。

二、重点、难点分析

本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域。

对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：

（1）二元一次不等式表示平面区域。首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念。明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）。其次再扩大到所表示的.平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线。

（2）二元一次不等式组表示平面区域。在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分。这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模解决实际问题的基础。

难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答。

对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模。所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键。

对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：

①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；

②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；

③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移。针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题。另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法。

三、教法建议

（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念

（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论。

（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的。

（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的。

（5）对作业、思考题、研究性题的建议：

①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；

②思考题主要供学有余力的学生课后完成；

③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的。

（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找。

如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可。

简单线性规划 篇6

PartA[线形纤腿法J]锻炼前の准备

纤体运动在高强度的运动之前，应该做好运动前准备，以能加速运动过程中的体脂燃烧为主，有利于帮助练成健康线条。

Point简单手法，加快体脂燃烧

具体操作：做运动前，先在双腿涂上瘦身精华，再大圈按摩至微温，有助加快燃烧脂肪，令运动的收身效果更显著。

超强推荐

A成分：

苦橙+马黛茶+咖啡萃取物；

功效：燃烧卵磷脂成分，温热烧脂，能溶解脂肪。击退顽固油脂，加速循环，疏通积聚毒素及多余水分，缔造完美线条。达到纤体效果。

B成分：

粉红胡椒+珊瑚藻；

功效：针对性改善臀部、腿部的顽固橙皮纹。有助抑制脂肪积聚，击退顽固脂肪以及水肿问题，同时改善橙皮纹问题。

C成分：

红藻精华+高浓度咖啡因；

功效：全效烧脂，重点塑造曲线及紧致身体线条，减少脂肪生长囤积，加快脂肪分解代谢，同时紧致肌肤。

PartB[线形纤腿法]锻炼中の2式法

Point1深蹲塑形

代表人物：韩国女团After School成员Uee，每天都会做[深蹲]，以收紧腿部线条。

瘦腿原理：深蹲是最易减脂的动作，身体在起落过程中，能帮助减轻腿部以及臀部的脂肪累积，塑形效果佳。而且，涂抹的精华物质。能加速腿部脂肪燃烧。排出体脂。

Step1双腿站立阔度与肩平衡，身体保持挺直；

Step2吸气，夹紧臀部向下压，重心放在脚跟。然后呼气，慢慢回复站立姿势。整组动作重复做30次即可。

Point2踢胶袋瘦腿

代表人物：（fx）的Sulli曾经是1名肥妹仔，大腿甚为粗壮。为了减走大象腿，自创出[踢塑胶袋瘦腿法]，成功练出令众女士艳羡的美腿。

Step1准备1个细小的塑胶袋，身体保持挺直；

Step2用脚踢起胶袋，左右脚一下一下交替地踢。令胶袋保持于空中不掉下来，每天至少做20至30分钟。

瘦腿原理：在腿部撞击胶袋的过程中，双腿线条笔直，腿部紧绷，长期坚持后，可练就腿部的线条美，塑造较好的腿型。

PartC[线形纤腿法]锻炼后の饮食法

除了以上较强烈的运动外，在锻炼完成后，瘦腿方面的饮食也是不可或缺的，及时锁住运动后的能量，保证燃烧的体脂充分排出，饮食必不可少。

食材推荐：

1.低热量，零负担的食物，如：糙米、豆腐、鱼干、鸡脯肉等；

2.高营养物质低热化，将一些高蛋白的食材，打成汁，既能有效吸收，还可降低热量，比如：黑豆、小麦、豆浆、蜂蜜等。

饮食原理：锻炼完成后，体内营养流失较多，需要大量补充，但若是摄入较多食物，锻炼的效果又易反弹，顾此失彼。以上的食材推荐，饱腹感足，口感也易于接受。又是健康的五谷食材，健康科学又瘦腿，一举多得。

超强推荐：烤鸡肉牛油果沙拉

食材：鸡脯肉200g，牛油果，紫甘蓝，番茄，玉米粒，生菜，柠檬，橄榄油，红酒，胡椒粉，蜂蜜，迷迭香，盐

做法：

1.柠檬皮切丝，鸡肉放盐，红酒，胡椒粉。柠檬皮及柠檬汁腌制10分钟，滴少许橄榄油，轻轻按摩至吸收；放入烤盘中，放柠檬皮和迷迭香，进烤箱180°烤15分钟即可；

2.牛油果切片，紫甘蓝切丝，番茄对半切，生菜洗净放入碗中，接着，用柠檬汁，橄榄油和蜂蜜调汁，备用；

简单线性规划 篇7

一、历年考题

12010年新课标全国卷文科11题。已知荀ABCD的三个顶点为A(-1,2)、B(3,4)、C(4,-2),点(x,y)在荀ABCD的内部,则z =2x -5y的取值范围是 ( ):A. (-14,16)、B. (-14,20) 、C. (12,18)、D.(-12,20)。22011年新课标全国卷文科14题。若变量x、y满足约束条件则z=x+2y的最小值为( )。32012年新课标全国卷文科5题。已知正三角形ABC的顶点A(1,1)、B(1,3),顶点C在第一象限,如果点(x,y)在△ABC内部,那么,z=-x+y的取值范围是( ):A.(1-31-2 ,2)、B.(0,2) 、C.(31-2 -、D.(0,1+31-2 )。42013年新课标全国卷文科14题。设x、y满足约束条件则z=2x-y的最大值为( )。52014年新课标全国卷文科11题。设x、y满足约束条件,且z=x+ay的最小值为7,则a=( ):A.-5、B.3、C.-5或3、D.5或-3.

二、试题分析

12010年新课标全国卷文科11题,求z=2x-5y的取值范围。22011年新课标全国卷文科14题,求z=x+2y的最小值。32012年新课标全国卷文科5题,求z=-x+y的取值范围。42013年新课标全国卷文科14题,求z=2x-y的最大值。52014年新课标全国卷文科11题,求参数a的值。2010年、2012年考查的是目标函数的取值范围,2011年、2013年考查的是目标函数的最值,2014年根据目标函数的最值确定参数的值。通过以上高考试题的分析不难看出,高考要求考生理解二元一次不等式组的几何意义,能准确地画出二元一次不等式组表示的平面区域,而后确定目标函数的最优解。

三、命题意图

通过以上题目的解答,可以看出线性规划问题一般有三种题型。一是求最值,常考类型包括z=ax+by,z=ax-by,z=(x-a)2+(y-b)2二是求区域面积;三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围。由此不难预测,对目标函数及参数的几何意义的理解和应用仍将是2015年高考考察的重点,且有可能会加强与向量运算、概率的结合。因此,应给予充分重视。

四、突破办法

解决线性规划问题的主要方法是图解法,利用图解法解决线性规划问题的一般步骤如下:

1作出可行域。可行域是不等式组表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。具体方法是:将约束条件中的每一个等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不等式表示的半平面,然后求出所有半平面的交集。确定的方法是:直线定界,特殊点定域。即注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线。若直线不过原点,特殊点常选取原点,若直线过原点,则特殊点常选取(1,0)或(0,1),然后将特殊点代入到不等式中,如果满足则特殊点所在区域就是不等式表示的区域,如果不满足,则取另外半面。

解决线性规划问题,关键步骤是在图上完成的。所以,作图应尽可能精确,图上操作尽可能规范。

2作出目标函数值为零时对应的直线l0.

3在可行域内平行移动直线l0,从图(图略)中能判定问题有唯一最优解,或者有无穷最优解,或者无最优解。

4确定最优解,从而得到目标函数的最值。确定最优解时,若没有特殊要求,一般为边界交点。若实际问题要求的最优解是整数解,若我们利用图解法得到的解为非整数解,应做适当调整,其方式应以与线性目标函数直线的距离为依据,在直线附近寻求与直线距离最近的整点,但必须在可行域内寻找。同时,考虑到作图毕竟还是会有误差,假若图上的最优点并不明显易辨时,不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后注意检查,以“验明正身”。

简单线性规划 篇8

一、内容与要求的比较

1.《普通高中数学课程标准 (实验) 》

(1) 从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

(2) 了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二元一次不等式组。

(3) 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决。

2.《全日制普通高级中学数学教学大纲》

(1) 会用二元一次不等式表示平面区域。

(2) 了解简单的线性规划问题, 了解线性规划的意义, 并会简单应用。

二、课时分配的比较

1. 苏教版 (新) 教材参考书

§3.3.1二元一次不等式表示的平面区域约1课时

§3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域约1课时

§3.3.3简单的线性规划问题

约3课时

2. 人教版 (旧) 教材教学用书

§7.4简单的线性规划约3课时

§7.5研究性课题与实习作业:线性规划的实际应用约4课时

三、教学内容的分析及建议

“苏教版”的数学新教材 (以下简称“新教材”) 立足于现实生活, 从具体问题入手, 以问题为背景, 力求引导学生通过抽象、概括, 数学地提出、分析和解决问题。这有利于学生经历数学知识的产生和发展过程, 有助于激发学生的学习兴趣。“人教版”的旧教材 (以下简称“旧教材”) 立足数学知识体系的逻辑发展, 严谨科学地解决问题, 这有利于学生数学体系的建立, 更深入地研究解决问题。

旧教材用集合的观点分析问题, 虽理论层次高, 但集合语言有时会使叙述比较烦琐。新教材没有采用集合的思想, 突出了算法的思想, 使操作更简单。

旧教材用直线的一般式方程, 并指出, 在直线Ax+By+C=0同一侧的点 (x, y) , 把它的坐标 (x, y) 代入Ax+By+C, 所得到实数的符号相同, 从而得出用“特殊点法”来判断二元一次不等式表示平面哪一侧区域。新教材用直线的斜截式方程, 直线的一般式方程在“思考”中提出, 并指出, 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法, 常用的一种方法是“选点法”。“选点法”和“特殊点法”实质是同一种方法不同名而已。

总之, 新教材相对旧教材而言理念新, 起点低, 突出了算法、建模的思想, 弱化理论、概念, 强化应用。在知识点的处理上, 新教材没有跳出旧教材的影响, 降低要求的东西不在“思考”中就在书后的习题中有适当的体现。鉴于此, 对新教材的教学建议如下: (1) 在教学中, 可先复习二元一次方程和平面直角坐标系中的直线的对应关系, 再在此基础上理解二元一次不等式的解集在平面直角坐标系中对应的点 (x, y) 表示的区域。 (2) 对某些新教材中省去的知识点或概念结合实际情况也可以介绍, 实际上学生也容易接受。 (3) 线性规划的整数解问题要引导学生相对规范地作出图形与推理结合来解决问题。可借助多媒体形象直观地展示问题。 (4) 有条件的学校教师可用Excel、Mathematica等软件来解决线性规划问题, 至少教师自己要学会用。 (5) 建议安排一个以线性规划为内容的研究性课题或实习作业。 (6) 对于应用了“线性规划问题”思想的简单非线性规划问题, 要控制难度, 适当扩充、练习。结合学情、教情适当增加课时约2节。

四、典型例题赏析

【例】已知集合

, 若“点M∈P”是“点M∈Q”的必要条件, 则当r最大时ab的值是_____。

解析:集合P是直角三角形及其内部, 集合Q是圆及其内部, 由题意圆在直角三角形中, r最大时内切, 此时圆的方程为。所以ab的值是。

简单线性规划 篇9

●从录制的课型方面

从今年微课程比赛的课型来看,主要有以下几个方面的课型:新授课、重点知识讲解课、复习课、专题课、中高考难点解析课,本节课是新授课。它的录制,解决了学生在自主学习新知识时,没有分层思维点拨与示范的困难,教师在给学生讲授知识的过程中,利用“最近发展区”原则,在学生原有的知识体系中,利用互联网,将学生的问题分层解析,让学生在原有的知识体系中既接受新知识,又巩固了原有知识,对学生日后的探究性学习起到了潜移默化的引导作用。

●从录制的内容方面

本节课内容选自普通高中课程标准实验教科书人教版数学必修五第三章第三节《简单的线性规划》,这节课的学习目标是:通过视频学习,让学生经历图解法求最优解的探索过程,学会应用并体会数形结合思想在解题过程中的作用。这节微课学习目标明确,时间控制在10分钟内,符合中学生的学习特点,它的录制非常必要。在传统课堂中,对于教师在课堂上的讲解,学生当时能听得很明白,但在回家自主学习与探究此问题时就存在很多问题,课堂教学内容无法再现,给学生的学习带来了很大的困难。这10分钟的微课,解决了学生在整个知识学习过程中的几大问题:1能够根据二元一次方程画出直线;2能够根据二元一次不等式(组)画出对应的平面区域;3认识线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念。这节微课,不仅能让学生在观看的过程中学会这一节课要学的知识,更难能可贵的是它教会了学生解决这一类问题的方法,达到了让学生成为学习主体的目标。

●从讲解方面

这节微课由浅入深,在示范操作的过程中,一步一步地分析解题思路,在娓娓道来的讲解过程中,结合操作,数形结合,让学生在观看、思考中探究此类问题的解题思路,形成对知识的理解,同时掌握了解题规律。教师在操作的过程中给学生讲解并示范有两方面的优点:1给学生思考的时间,结合视频,猜测下一步的做法,验证自己的思路,对学生的思路起指导作用。2规范的书写对学生做题起到示范作用。视频中,教师规范的书写、细致的作图,给了学生很好的启示,为培养学生的逻辑思维打下良好的基础。

●从录制方式上

这节课,教师没有利用教学课件,而是采用在一个安静的房间,在纸上画图、分析,利用数形结合,边讲解边画图,很方便学生的思考与对比学习。在录制方式上,只利用了录像机进行录制,录制完成后,对视频进行了简单的剪辑与编辑,没用太多的技术,但很实用,录制的画面稳定、清晰,语言流畅、自然,展现了一名老教师在教学中的风采,没受到课件的影响,思路清晰,讲解到位。

●从教学内容设计上

本节教学视频通过展示求目标函数Z=2x+y的最大值的过程,引导学生探究此类问题的解法,在求解过程中,从学生已有的知识和能力出发,注重细节培养。根据教师的示范作图,让学生学习直线方程的作图,简单易懂、形象生动,而且用不同颜色的笔勾勒不同的取值范围。在教师的引导与示范作图中,让学生实现以下学习目标:1会画可行域,清晰地体会线定界点定域的方法;2体会数形结合的思想,了解目标Z与截距之间的转化;3对目标函数Z=ax+by这样含有两个决策变量的函数能够直接找到最优解位置、并进一步能求目标函数的最值;4培养学生的思维能力,加深对动态直线系的理解;5学会用图解法求目标函数最值的方法。利用数形结合,用图形表示数值大小,数值在图形里有它自身的几何意义,让学生切身体会数学的奇妙,感受数形结合思想在解决问题中的重要性。这个视频,在内容设计上,考虑到学生的认知规律,从学生的角度进行内容分析,讲解时,考虑到学生的思考时间,既给了学生思考时间,也给了学生关键点的引领。

简单线性规划中的可行域确定法 篇10

简单线性规划问题的一般步骤是: 首先根据问题写出线性约束条件( 一般为不等式( 组) ) 和线性目标函数,然后利用数形结合找出可行域,再在可行域中去求解最优解. 因此,根据线性约束条件确定可行域就显得尤为重要. 这里介绍以下三种操作方法:

一、特殊点确定法

特殊点确定法也是教材中给出的可行域确定法. 平面内一条直线Ax +By + C =0可将整个平面上的点分成三个部分———直线两侧及直线上的点,同一区域中的点有一个共同的特性,即使得Ax + By + C的符号相同,一侧大于零,另一侧小于零,直线上等于零. 因此,在确定不等式表示的区域时,可以在直线的某一侧选取一个特殊的点坐标( 一般地,如果直线经过原点则用( 1,0) ,否则用原点( 0,0) ) ,代入Ax +By +C来判断不等式所表示的区域.

例1画出下列不等式所表示的平面区域.

(1) x <2y; (2) y≤ -3x +12.

分析 ( 1) 先作出边界直线x =2y,因为这条直线上的点都不满足x <2y,所以画成虚线. 因为直线x =2y经过原点,故可选取( 1,0) 点,代入x -2y,即1 -2×0 =1 >0,所以( 1,0) 不在x <2y所表示的平面区域内. 不等式x <2y表示的平面区域,如图1.

( 2) 先作出边界y = -3x +12,因为这条直线上的点满足y≤ -3x +12,所以画成实线. 因为直线y = -3x +12不经过原点,故可选取( 0,0) 点,代入3x + y - 12( 将y≤- 3x + 12化成一般式为3x + y - 12≤0) ,即3×0 + 0 - 12 =- 12 < 0,所以( 0,0) 在y≤ - 3x + 12所表示的平面区域内.不等式y≤ -3x +12表示的平面区域,如图2.

二、A,B 确定法

首先把简单的二元一次不等式化成一般式的形式. A,B的正负不同导致直线Ax + By + C =0可以将平面直角坐标系分成右上、右下、左上、左下四个方位,我们有: x前面的系数A,大于零表示右方,小于零表示左边; y前面的系数B,大于零表示上方,小于零表示下方; 不等号的方向,大于零表示正向,小于零表示反向. 至于能不能取到直线上的点,就看不等号有没有取等.

如例1中的两个例子:

分析: ( 1) 先化成一般式x -2y <0,根据A =1 >0,B =- 2 < 0,初次判断应该是右下方,但是不等号方向是小于零,故应该反向,变成左上方.

( 2) 先化成一般式3x + y -12≤0,根据A =3 >0,B =1 > 0,初次判断应该是右上方,但是不等号方向是小于零,故应该反向,变成左下方.

若是将第( 2) 问中的不等号方向改变: y≥ - 3x + 12,先化成一般式3x + y - 12≥0,根据A = 3 > 0,B = 1 >0,初次判断应该是右上方,不等号方向是大于零,故正向,方向不变,即右上方,如图3.

三、B 确定法

初中就学过一次函数y = kx + b,当k >0时,直线将平面分成左上、右下两个部分( 此处不考虑直线上的点) ; 当k <0时,直线将平面分成右上、左下两个部分; k =0和不存在分别表示与x轴、y轴平行的情况,比较简单,这里也不予考虑. 上下、左右两对方位不会重叠,所以我们只选取一对便可. 由于我们对y = kx + b的形式比较熟悉,故我们就先将其转化成y>kx+b或y

对于直线y =kx + b,在直线上任取一点( x0,y0) ,则有y0= kx0+ b; 在直线上方任取一点( x0,y1) ,则有y1> y0=kx0+ b; 在直线下方任取一点( x0,y2) ,则有y2< y0= kx0+ b,如图4.

同理,直线上方的点都满足大于kx + b,直线下方的点都满足小于kx+ b.

如例1中的两个例子:

分析 ( 1) 先将x <2y化成y >(1)/(2)x,因为不等号的方向是大于,故不等式x <2y表示的是直线y =(1)/(2)x上方的部分.

( 2) y≤ -3x +12原本就是y

根据两个例子的判断,发现并没有用到斜率k,故针对我们常见的Ax + By + C >0或Ax + By + C <0,不必完整转化成y >kx +b或y

例2画出下列不等式所表示的平面区域.

(1)3x +2y -6≤0; (2) x -3y +6≥0.

分析 ( 1) 根据B =2 >0,初次判断应该是上方,但不等号方向是小于零,故应该反向,变成下方,如图5.

浅谈解简单线性规划问题的图解法 篇11

一、无界

例1用图解法解线性规划。

解:该问题的可行区域如图1所示。

目标函数z=-2x1+x2沿着它的负法线方向 (2, -1) T移动, 由于可行域D无界, 因此, 移动可以无限制下去, 而目标函数值一直减小, 所以该线性规划问题无有限最优解, 即该问题无界。

二、唯一最优解

例2求解线性规划。

解:可行区域如图2所示。在区域0A1A2A3A40的内部及边界上的每一个点都是可行点, 目标函数z=-x1+x2的等直线沿着它的负梯度方向 (1, -1) T移动, 函数值会减小, 当移动到点A2= (1, 4) T时, 再继续移动就离开区域D了。于是点A2就是最优解, 而最优值为z=1-4=-3。

可以看出, 点0、A1、A2、A3、A4都是该线性规划问题可行域的顶点。

三、无穷多最优解

例3如果将例2中的目标函数改为minz=4x1-2x2, 可行区域不变, 用图解法求解的过程如图3所示。

由于目标函数z=4x1-2x2的等值线与直线A1A2平行, 当目标函数的等值线与直线A1A2重合 (此时z=-4) 时, 目标函数达z=4x1-2x2到最小值-4, 于是, 线段A1A2上的每一个点均为该问题的最优解。特别地, 线段A1A2的两个端点, 即可行区域D的两个顶点A1= (0, 2) T, A2= (1, 4) T均是该线性规划问题的最优解。此时, 最优解不唯一。

从图解法的几何直观容易得到下面几个重要结论:

1. 线性规划的可行区域是若干个半平面的交集, 它形成了一个多面凸集 (也可能是空集) 。

2. 对于给定的线性规划问题, 如果它有最优解, 最优解总可以在可行域的某个顶点上达到。

在这种情况下还包含两种情况:有唯一解和有无穷多解。若有两个最优解, 则其连线上的点都是最优解。

3.如果可行域无界, 线性规划问题的目标函数可能有无界的情况。

摘要：线性规划是运筹学中应用最广泛的方法之一, 也是运筹学的最基本的方法之一。它是解决稀缺资源最优分配的有效方法, 使付出的费用最小或获得的收益最大。最近十多年来, 线性规划无论是在深度还是在广度方面又都取得了重大进展。简单线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划。本文主要介绍简单线性规划问题求解的几种可能情况及解简单线性规划问题的基本方法即图解法的基本思想和算法步骤, 并通过例子对解简单线性规划问题的图解法作一些探讨。

关键词：图解法,可行域,最优解

参考文献

[1]石卫东, 王媛.例谈目标函数新视角[J].语数外学习, 2013, (8) .

[2]兑松杰.构造向量巧解线性规划问题[J].中学数学高中版, 2012, (7) .

[3]孙殿武.别样的线性规划问题更精彩[J].河北理科教学研究, 2012, (2) .