拓扑性质（共3篇）
拓扑性质 篇1
摘要：在移位空间∑上定义度量, 证明了空间∑是关于一相似系统的自相似集, 借助于一定的等价关系, 我们证明了每一个自相似集都是移位空间的一个商空间。
关键词：移位空间,自相似集,度量,拓扑性质
1. 引言
移位空间∑和由它及其上的移位映射σ构成自移位系统 (∑, σ) 以及子移位系统在动力系统及遍历理论中有非常重要的应用, 此外, 移位空间还是理解自相似集的拓扑结构的关键。本文在移位空间∑上定义度量, 证明了移位空间∑是关于一相似系统的自相似集, 借助于一定的等价关系, 我们证明了每一个自相似集都是移位空间的一个商空间。
2. 预备知识
定义2.1对m≥1, 我们定义
定义2.2设S={1, 2, …, N}, N≥2是正整数, 赋予S以离散拓扑, 则积空间
3. 主要结果
证明:我们注意到
利用
参考文献
[1]Falconer K J.The Geometry of Fractal Sets[M].Cambridge:CambridgeU niversityP ress, 1985.
[2]Wolff T H.Lectures on Harmonic Analysis[M].New York:Academic Press, 2003.
[3]张恭庆, 林源渠著.泛函分析讲义.北京:北京大学出版社.
非线性建筑的拓扑性质 篇2
舒尔茨.R在其《西方建筑的意义》中表现出非凡的洞察力,他指出:“功能主义建筑很容易退化成为如同机械设备一般的各种零件;但是有一种空间的组织形式几乎在功能主义的建筑里完全不存在,那就是拓扑空间”。实际上,建筑师钟情于拓扑的形式组织和造型表达,源于20世纪60年代激进主义学派;拓扑思想对建筑的影响随处可见,图1所示建筑师于纳·弗里德曼的“人工拓扑形态”的设计一“空间城市”,表达了他悬挂式空间网络的概念;图2所示“新加坡科学规划园”,园内连绵起伏的沙丘状的都市元形式(mega-form)构成了差异性的统一,它用柔性旋绕的线形限定街道、道路,并使之与原有肌理完成异质的整合;图3所示建筑师格雷格·林恩设计的纽约基督教长老会教堂,外表皮采用渐变的折板,每片折板均为拓扑同构体,最终形成连续的覆盖面。
1 基本内容
1.1 建筑造型的特征数
从拓扑学角度看,无论何种建筑,投影其几何形体即可得到一个数学意义上的网络平面图,网络平面图在拓扑学中有严格的定义,拓扑学是与度量无关的几何理论,度量性质是指图形的角度、长度、面积、体积等几何量;拓扑学包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑和几何拓扑等内容。
定义1:若网络图可画在平面上,且其中边与边之间在顶点之外互不交叉,则称之为网络平面图。
定理1:平面上的任何一条简单闭曲线将平面分成内部、外部两个部分。
定理2:在一个网络平面图P中,若顶点数为V、边数为E、面数为F,并且有C个分支,那么X(P)=V-E+F=1+C。
称X(P)为欧拉示性数。定理1为约当定理,定理2为欧拉定理;当C=1时对应于单连通网络平面图X(P)=2,无论是投影单体建筑,还是投影建筑群,都可根据欧拉定理计算建筑的欧拉示性数,即建筑造型的特征数。
为方便,仅讨论C=1的情况。对平面图P的边数应用数学归纳法。
当E=0时这个连通图只有一个顶点、没有边,于是V=1,E=0,F=1,欧拉定理成立。
当E=1时这个连通图只有两个顶点,有一条边,于是V=2,E=1,F=1,欧拉定理成立。
设当E=n-1时欧拉定理成立。
考虑当E=n时的情形,它实际上是在边数为n-1的连通的平面图增加一条边;令那个边数是n-1的图为P',即图P'是这种图:其有n-1条边,在其上增加一条边,成为n条边的平面图。
因为P'是一个边数为n-1的平面图,所以依据数学归纳法的假设,欧拉示性数为X(P')=V-E+F=V-(n-1)+F=2成立。
若在P'上增加一条边,则存在以下两种可能。
(1)加上的边e一端和P'中的某个顶点相连,另一端不和P'中的其他顶点相连(图4);这样多加一条边,同时也增加一个顶点,但面数没有增加,于是在该图中顶点数是V+1、边数是n、面数是F,得到V-E+F=(V+1)-n+F=V-(n-1)+F=2。
(2)加上的边e,在它的两端分别与P'中的某两个顶点相连(图5);这样多加一条边,也同时增加一个面f,但是顶点数没有增加,于是在该图中顶点数是V、边数是n、面数是F+1,得到V-E+F=V-n+(F+1)=V-(n-1)+F=2。
综合(1),(2),表明欧拉定理正确。应用定理1,可进一步证明C>1的一般情形。示性数问题属于代数拓扑学范畴。
事实上,平面欧拉定理是闭多面形欧拉定理的推广。如我国国家大剧院的投影G,就是一个平面图,其V=4,E=6,F=4,给出X(G)=2。
1.2 单侧性建筑表面
通常的建筑表面属可展曲面,具有双侧性,也就是在不跨越曲面边界的条件下,这个曲面可涂染两种颜色,如一面是红色,另一面是蓝色。但在拓扑学里有一种特殊的曲面:不跨越曲面边界,只涂染一种颜色,红色或蓝色,最常见的具有这种特征的曲面就是莫比乌斯带,也称交叉帽;今用数学语言进行表述。
考虑方程x2+y2=4的圆周S1和在Oyz平面上y=2,|z|<1的开线段AB,如图6所示;将AB中点C沿S1移动,同时AB围绕C在Cz平面中转动。当C沿圆周旋转u角时AB围绕C转动u/2角,当C沿圆周旋转一周时AB转回到初始位置;但是端点相反,从可微观点分析,这类似于把矩形的垂直对边重合,使AB边上的每个点重合于它的对称点,从而给出矩形的一个扭曲。
取莫比乌斯带M的一个坐标系:U→M如下
式中u∈(0,2π)、v∈(-1,1)。对应的坐标邻域去掉了开区间u=0的点,然后把u的原点放在x轴上,得到另一个参数表达如下。
其坐标邻域去掉了开区间u=π/2的点;这两个坐标邻域覆盖了莫比乌斯带M。
注意到该两个坐标邻域的交是不连通的,而由两个连通分支构成。
坐标变换在W1中、,在W2中;据此可知在W1中,在W2中。
假设存在可微的单位法向量场N;M→R3,对(u,v)坐标邻域中的任何点p,总可取,这里(u,v)、(u,v);类似地也可取N(p)=,这里、。
因为在W1中或W2中,坐标变换的雅可比行列式必须为-1,所以如果p是交集这个分支中的一个点,那么N(p)=-N(p),导致矛盾。
以上证明了莫比乌斯带的单侧性质。曲面的单、双侧性问题属于微分拓扑学范畴。
图7所示的曲面称为交叉灯罩,不仅具有莫比乌斯带的单侧性,而且作为灯具,其灯光扩散均匀;图8所示七面体也是单侧曲面,该七面体是由4个三角形,即ABE、ADF、BCF、CDE以及3个正方形,即ABCD、AECF、BEDF组成。
图9所示建筑师建筑造型概念设计模型。实际上,这种形态或将通过博伊曲面模拟(图10)。
博伊曲面的参数表示如下。
式中:,并且当<b<1时曲面没有尖点;博伊曲面的构成如图11所示。
依据欧拉示性数以及单、双侧性可以对曲面进行粗略地分类;将具有相同欧拉示性数和单侧性曲面作为一类,具有相同欧拉示性数和双侧性曲面作为一另类。
1.3 钮结状建筑
拓扑学中的钮结即生活中的打结,在生活里打结现象随处可见,天天发生;从某种意义上讲,莫比乌斯带也是一种钮结。钮结是三维空间中的简单闭曲线,也就是连通的、封闭的、不自交的曲线。
从广义角度讲,大型公共建筑中的垂直交通线路就是钮结,在城市设计中的大型环状立交桥也是典型的钮结,如图12所示为天津中山门蝶式立交桥。
表达钮结关系需要应用琼斯多项式J(D,t)=(-1)<D>,式中:D为有n个交叉点的钮结图;<>为考夫曼括号;W(D)为D的所有交叉点符号之和;t为参变量,琼斯多项式的意义在于表征钮结不变量。
图13 (a)所示为古罗马帝国时代的一个图案,该图形本质为图13 (b)所示钮结62的镜像,其琼斯多项式为1-2+2-2+2-1+1;图14 (a)所示为我国的一个图案,该图形本质为图14 (b)所示钮结74的镜像,其琼斯多项式为0+1-2+3-2+3-2+1-1。
(a)钮结62镜像;(b)钮结62
(a)钮结74镜像;(b)钮结74
数学家P.Shor基于钮结理论,建立了拓扑量子计算,其高效的算法模型,在建筑学中的外围护结构与空气内水蒸气之间的扩散、渗透、毛细交互作用的定性、定量分析中大有武力之地。
在拓扑学上,钮结是一个连续的双射f:S1→R3。两个钮结K、是等价的,如存在保持定向映射h:R3→R3,使h(K)=,则h(R3-K)=R3-。两个钮结等价的必要条件:它们的补空间同胚,尤其是这样的补空间的基本群同构。基本群π(R3-K,x0)记作G(K),称之为钮结K的群,这里x0为任意的基点。
有一种与建筑有关的多边形钮结。钮结K为多边形钮结,如果它是一对一的多边形映射f:S1→R3的象;对于这种映射,存在线段[0,2π]的一个划分0=θ0<θ1<…<θn=2π,使得对于每个线段[θj,θj+1],映射θ→f(θ)属于仿射映射。
定理3:若K为多边形钮结,则充分邻近K的多边形钮结均等价于K。
定理4:若两个多边形钮结同痕,则它们等价。
事实上,如果两个多边形钮结K0、K1同痕,那么存在连续映射F:S1×[0,1]→R3,使当记F(t,x)=ft(x)时,映射ft:S1→R3对所有的值t∈[0,1]都是多边形的双射,且f0(S1)=K0、f1(S1)=K1。应用定理3知,对任何t0∈[0,1],有ε>0,使如果ε≥]t-t0|,那么钮结ft(S1)、等价。当t0遍历[0,1]时区间(t0-ε,t0+ε)覆盖[0,1];取1/n为该覆盖的Lebesgus数,若,则ft(S1)、等价;因t、t'∈(t0-ε,t0+ε),且使用ft及t=p/n(p=1,2,…,n-1),所以f0(S1)=K0、f1(S1)=K1等价。
平凡钮结为平面Z上的圆x2+y2=1,而R2中的任意圆等价于平凡钮结;同理,R3中的任意三角形等价于平凡钮结。钮结问题属于几何拓扑学范畴。
2 讨论
实际上,欧拉示性数和钮结都是拓扑不变量。不变量在数学理论中有非常重要的意义,这里利用同调群讨论欧拉示性数。
如K表示一个复形、R表示实数集合、H(K,R)表示K的l维单纯同调群,那么称
为复形K的l维Betti数,Betti数属于拓扑不变量。
取αl为K中l维单形的数量,称为复形K的欧拉示性数。
因为一个多面形经过重分可成为一个复形,而欧拉示性数为重分不变量,所以多面形的欧拉示性数与复形欧拉示性数相同。
定理5:若K为复形,并αl为K中的l维单形的数量,βl为K中的l维Betti数且0≤l≤dimK,则。
定埋5称为欧拉-庞伽莱定理。
证明:对于每个l(0≤l≤dimK),得到al=dimCl(K,R),这里Cl(K,R)为复形K的l维链群。注意到边缘算子:Cl[K,R)→Cl-1(K,R),给出Ker=Zl(K,R)和Im=Bl-1(K,R),其中Zl(K,R)为复形K的l维循环群、Bl-1(K,R)为复形K的l维边缘群。依据群秩数与零度定理知:
又根据秩的可加性定理,有:
注意到BdimK(K,R)=(CdimK+1(K,R))=(0)=0、C-l(K,R)=0,有B-l(K,R)=0,则dimB-l(K,R)=0。综合上述分析,最后得到:
若要精确表述钮结,还需应用交叉数、解结数、桥数、扭转数、环绕数、绞拧数等拓扑参数。
3 结束语
对于建筑科技工作者而言,自觉而充分地运用各种科学方法于建筑设计中,不断提高科学技术对建筑行业的贡献率,符合科学发展观、符合绿色建筑的设计理念、符合“低碳、节能、环保、生态”的国家战略。
参考文献
拓扑性质 篇3
关键词：复杂网络,交叉持股,派系分析,上市公司
证券市场是一个包含大量信息的复杂系统, 受宏观经济、公司自身发展状况的影响, 上市公司之间通过持有对方股票, 从而使得企业法人间存在一定的相互关联。鲁巍巍和林正春[1]通过计算沪深A股网络的集聚系数和吸引率, 发现金融业内部的聚合强度最大, 行业内部股价波动更容易传播, 其股价波动对中国A股市场股价波动的影响最大。王存睿等[2]通过构建中国A股公司交叉持股网络, 发现该网络结构度分布服从幂率分布, 网络结构由较为分散的行业为中心的核心结构, 演化为以银行等金融公司为核心。李进和马军海[3]以我国沪深两市上市公司间的交叉持股关系, 构建了交叉持股网络及股票关联网络, 分析了交叉持股行为的复杂性。
本文以上市公司为节点, 公司之间的持股关系为边, 建立交叉持股网络模型, 对我国上市公司交叉持股网络的拓扑性质和聚类结构进行实证分析, 以期对证券市场投资和风险管理起到一定的参考和借鉴作用。
一、交叉持股网络拓扑结构分析
(一) 样本数据
为保证数据的可靠性和时效性, 选取2012年发生交叉持股行为的沪深300指数成分股为研究对象, 研究期间内共包含195家上市公司。根据上市公司持股关系, 构建沪深300指数上市公司交叉持股网络, 最终网络图见图1。交叉持股网络为有向网络, 连边的方向反映了两家上市公司的持股方向。本文的数据处理和分析通过UCINET软件实现。
(二) 交叉持股网络拓扑性质
网络的拓扑性质是指网络中不依赖于节点的具体位置和边的具体形态而表现出的性质, 相应的结构称为网络的拓扑结构[4]。用图G= (N, E) 将上市公司交叉持股网络抽象描述为一个由各个上市公司为节点所组成的点集V和边集E构成的连通图, 其中N={ni;i=1, 2, …, n}, n为网络节点数;E={ei;i=1, 2, …, m}, m为网络实际边数, 集合元素ei取值1或0表示连边是否存在交叉持股关系。
1. 网络的小世界性
表1为交叉持股网络的平均路径长度和平均聚集系数, 并与同等规模的随机网络参数值进行了对比。通过测算可知, 交叉持股网络的平均路径长度, 远小于同等规模的随机网络。整个交叉持股网络的平均路径长度仅为1.656, 即绝大多数上市公司平均只需要通过一家上市公司, 就可以和另外一家上市公司建立持股联系。其中, 网络成员距离是1的情况出现了211次, 距离是2的情况出现了139次, 距离是3的情况出现了57次, 这三种情况占总数的98.6%, 表明两节点间的分离程度很小。交叉持股网络具有较小的路径长度特征, 实际意义表明, 网络中的任意两家上市公司可以很方便地连接, 这有利于上市公司之间丰富信息、技术和资源, 促进信息和知识的多元化和差异化, 同时局部节点的波动对网络结构会产生很大影响。
同时, 交叉持股网络的聚集系数是0.04, 大于同等规模随机网络的平均聚集系数, 表明交叉持股网络具有较大的集聚系数, 各节点之间形成短距离联系的可能性较大, 上市公司之间的联系较为紧密。
!:"#$%&’ () *+, -./01。
Watts和Strogatz[5]认为, 以同等规模的随机网络为参照对象, 若研究网络具有较小的平均路径长度和较大的平均聚类系数, 则认为该网络为小世界网络。因此, 交叉持股网络具有小世界性质, 一家公司的持股行为发生变化, 网络中其余的公司很容易受到影响, 而且持股行为的变动在某家上市公司的近邻集团内更容易传播, 并且具有较大的影响程度。
2. 网络的无标度特性
对交叉持股网络的中心度进行计算可知, 交叉持股网络的中心度是11.98%, 表明网络存在较大的不均匀性, 具有无标度性质。
由图1可知, 交叉持股网络是一个非均匀网络, 网络存在稀疏和密集的区域, 表明网络具有无标度特性。其中, 有些公司的节点度较大, 排名前三位的上市公司分别为:方正证券、新华保险和中国交建。这些处于网络核心位置的公司, 与其他成员的联系紧密, 对网络的发展和稳定起着重要的作用。同时, 有些企业的节点度较小, 如中国远洋、山东黄金和老凤祥等公司, 与其他成员的联系较弱, 对网络的波动和传播影响程度较小。
除去方正证券、新华保险和中国建交等核心企业后的上市公司交叉持股网络, 如图2所示, 网络变得相对稀疏且松散, 并且出现多个孤立节点, 如中联重科等。这是由于主导企业拥有较多的持股行为, 投资和相互持股能力强, 会显著影响网络成员的联系, 并降低整个网络的波动传播程度。可见, 网络成员与多家公司进行持股投资, 适当减小主导企业的节点度, 能减弱某些成员的退出对网络稳定性及网络波动与传播程度的影响。
二、交叉持股网络的聚类结构
采用Cliques分析法对公司交叉持股网络进行凝聚子群分析, 将派系规模值设为3, 公司交叉持股网络中存在13个派系, 分别形成了13个最大完备子图, 并且公司交叉持股网络派系之间的交叉重叠情况复杂, 具体见表2。
以上结果发现, 派系1、2、3与4之间有三个共享成员, 派系1与6、7, 派系2与5, 派系2与10, 派系3与11, 派系5与派系1、2、3、4, 派系9与派系10、11, 派系12与13, 派系1、2、3、4与派系12、13之间有两个共享成员, 派系1、2、3、4与派系5、6、7之间共有一个中信证券公司, 派系1、6、7与9, 派系1、2、3、4、与派系9、10、11、12、13, 派系1、6、7与9之间有一个共享成员。用更直观的网络图的形式显示如图3。
从图3中可以看出有两个明显的独立成分, 其中以中信证券、中国平安等为中心的成分交叉重叠现象较多, 总体而言各派系之间联系较为紧密。为进一步解释各公司之间持股联系的原因, 按照行业分类、实际控制人性质分类、地区分类来进行归纳, 具体如表3。
由表3可知, 派系2、4、8、10、12、13中的公司均为国有控股公司, 说明在交叉持股网络中, 国有控股公司之间的联系相对更为紧密。另外, 派系1、2、3、4、7、9、10、11、12、13中的公司均处于同一地域, 表明同一地域之间的公司由于资源的共享程度高、交通便利等原因, 存在较紧密的联系, 区域邻近的公司在接受资金、技术、信息等生产要素方面呈现出趋向统一化, 更便于如上述派系一样形成联盟经营发展。并且, 公司处于我国东部的比例较大, 东部沿海区域作为我国经济较为发达的地区, 拥有充足的资金支持。这些公司依托所在区域较强的文化和经济技术水平, 通过资源优化配置, 更容易形成统一的产业联盟网络。同时, 交叉持股网络中派系的行业属性也较强, 除派系5、6、8外, 其他派系中的公司均属于同一行业———金融业, 所有交叉持股网络中派系的行业属性较强。
三、结论与启示
本文以中国沪深300指数成分上市公司为研究对象, 根据公司间的持股关系构建相应的交叉持股网络, 分析了网络的基本拓扑性质和聚类结构, 发现沪深证券市场的交叉持股网络具有小世界特性、无标度特性, 是一个非均匀网络, 而且交叉持股网络具有分派体系, 表现出一定的社区结构, 金融业的派系行业分布较为集中。另外, 由分属于不同行业的公司组成的桥梁派系中存在网络关键节点, 它们对于整个网络的波动关联起重要作用。并且, 交叉持股网络派系中, 公司的行业分布、实际控制人属性及地区分布较为集中。可见, 各派系内部及外部之间在相同的公司背景、发展状况基础上, 公司间的信息、知识等资源的共享及流通性更高, 更容易发生公司间交叉持股行为, 以形成联盟经营发展。
基于此, 本文认为网络中的新成员, 或相对弱小的公司, 应减小网络的平均路径长度, 减弱网络的非均匀化, 促进资金、资源的合理流通和网络成员的共同发展;应研究对关键企业的激励机制和措施, 同时加强节点度较小企业之间的合作, 提高他们的影响强度, 减弱关键企业对网络的控制及其消极影响, 增强资本市场的稳定性和可持续发展;应合理利用派系内部的持股关系, 并加强不同类型公司节点的联系, 鼓励不同行业、地区、层次的公司的联系, 可有效减弱派系的不良影响, 促进证券市场的稳定与发展。
参考文献
[1]鲁巍巍, 林正春.基于复杂网络理论的沪深A股分析[J].科学技术与工程, 2009 (11) .
[2]王存睿, 蒙宇, 马艳准, 闫帅.中国A股交叉持股复杂网络结构分析[J].大连民族学院学报, 2012 (1) .
[3]李进, 马军海.交叉持股行为的复杂性研究[J].北京理工大学学报 (社会科学版) , 2009 (8) .
[4]刘军.整体网分析讲义——UCINET软件应用[M].上海:上海人民出版社, 2009.