图像性质（精选12篇）
图像性质 篇1
一、二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中的字母系数a、b、c及其意义
1. 二次项系数a及其意义。
二次项系数a不但决定了二次函数图像的开口方向, (当a>0时, 抛物线开口向上;当a<0时, 其开口向下) , 它还决定开口的大小。也就是说, 当二次函数a的绝对值相同时, 这些抛物线的形状完全相同, 反之也成立。因此抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 可以由抛物线y=ax2 (a≠0) 平行移动得到。
2. 常数项c的意义。
对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 来说, 当x=0时, y=c, 即抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 总是经过 (0, c) 。当c>0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴;当c<0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴;当c=0时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与y轴的交点坐标已知时, 其二次函数解析式中的常数项c的值也就决定了。
3. 一次项系数b的意义。
当二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中的二次项系数a及一次项系数b一旦确定, 这个函数的对称轴:x=-b2a直线 (顶点的横坐标) 就唯一确定了。反之亦然。
例1已知二次函数y=-x2+3x, 则其图像大致位置是 ()
二、二次函数图像的顶点坐标与字母系数
对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) , 其图像顶点坐标是, 这是二次函数的一个重要性质, 也是同学们必须要知道的, 它不但决定了二次函数的顶点位置, 同时也确定了函数的最大值或最小值。
例2已知:抛物线y=x2-8x+c顶点在x轴上, 则c的值是 ()
简析:由于抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上, 则其顶点的纵坐标为0, 即, 故选D。
三、抛物线与轴交点与字母系数
求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 与x轴的交点, 即求函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中当y=0时的自变量x的值, 得到横坐标x的值, 其纵坐标为0。当方程ax2+bx+c=0中的b2-4ac>0时, 说明抛物线与x轴有两个不同的交点;当b2-4ac=0时, 抛物线与x轴有唯一的交点;当b2-4ac<0时, 抛物线与x轴没有交点。
例3求当m取什么值时, 抛物线y= (m-1) x2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点。
简析:要使抛物线y= (m-1) 2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点, 方程 (m-1) 2-2mx+m-2=0应有两个不相等的实数, 故b2-4ac>0且m-1≠0解得且m≠1.
注意这里容易忽视m≠1≠0的条件。
例4抛物线y=x2-2 (m+1) x+m2+4m-3与x轴的两个交点A、B分别在原点的左、右两侧, 且m为不小于0的整数, 求这个函数的解析式。
简析:设抛物线与x轴的两个交点坐标为A (x1, 0) , B (x2, 0) , 故x1, x2应为方程x2-2 (m+1) x+m2+4m-3=0的两个根, 由题意可知得:b2-4ac>0, x1x2<0且m≥0的整数, 求得m=0, 所以函数的解析式为y=x2-2x-3。
四、二次函数的对称性与字母系数
由于关于某直线对称或关于某点对称的两个图形是全等形, 故关于两标轴对称或关于抛物线顶点对称的两个抛物线的形状大小也是一样的, 只是它们的开口方向或顶点坐标、对称轴或它们与两坐标轴的交点不同而已。因此, 当已知一条抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) , 我们可以求出它关于两坐标轴对称或关于其顶点对称的抛物线的解析式。
1. 关于两坐标轴对称。
(1) 关于x轴对称。
求与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于x轴对称的抛物线解析式时, 由对称性可知, 它们的形状完全一致, 只是开口方向相反, 与y轴的交点坐标由原来的 (0, c) 变为它关于x轴的对称点 (0, -c) 。故其关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2+bx+c (a≠0) 。这里的二次项系数a, 一次项系数b和常数项c) 正好与原来抛物线解析式的系数互为相反数。
(2) 关于y轴对称。
求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式, 这时它的形状、开口方向与y轴的交点坐标都一样, 也就是二次项系数和常数项不变, 只是对称轴由原来的直线变成了直线也就是一次项系数与原来抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 的一次项系数互为相反数, 故与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0) 。
2. 关于抛物线的顶点对称的抛物线。
求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于其顶点对称的抛物线的解析式, 这时两个抛物线的顶点、对称轴、形状完全一致, 只是开口方向相反, 故所求的抛物线解析式为:
例5求抛物线y=x2-2x-3关于其顶点为中心对称的抛物线的解析式。
简析:抛物线y=x2-2x-3= (x-1) 2-4, 其顶点坐标是 (1, -4) , 对称轴是直线x=1。所以所求抛物线的解析式为:y=- (x-1) 2-4=-x2+2x-5
五、二次函数图像的形状、位置与字母系数的范围
由二次函数图像的一些特殊形状、位置可以确定字母系数的数值或范围。
例6已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴交于点A (1, 0) 和点B (b, 0) , (点B在点A的右侧) 。与y轴交于点C (0, 2) , 请说明a、b、c的乘积是正还是负?
简析:由题意, 所以a、b异号, 又因为函数图像与y轴交于点 (0, 2) , 所以c=2>0, 所以a、b、c的乘积是负数。
综上, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数a、b、c与它的图像性质之间的关系相当密切, 加强二次函数的字母系数的研究, 对探讨二次函数的图像性质大有裨益。
摘要：我们知道, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数确定了 (可以用待定系数法确定a、b、c的值) , 它的图像和性质也就决定了;反过来当已知二次函数的图象或它的一些性质, 也可以求出它的字母系数的值或字母系数的范围。
关键词：二次函数,图像性质,字母系数
图像性质 篇2
一、教学目标
1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
二、课时 1课时
三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具
多媒体、实物投影仪
六、教学过程 导入新课
思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课 新知探究 提出问题
①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？
你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？
活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠
+kπ,k∈Z
2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠
+kπ,k∈Z 2
可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(k,0)k∈Z.2(3)单调性
通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(22,)内是增函数,2+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域
根据正切函数的定义tanα=
y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+
,k∈Z,所以正切函2,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域
由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(2且无限接近2时,正
且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方2222,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1
问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22,)的图象为好.22+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2
图3
问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4,-1),(0,0),（,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(x=4,-1),(0,0),（,1),再画两条平行线42,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题
①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=
+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性
+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称
22k的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例 略
课堂小结
图像性质 篇3
一、ScienceWord的“逻辑动态关联技术”
绘制函数图像的传统方法是描点连线法，描出的点越多，画出的函数图像就越准确，这是学生必须首先掌握的一种方法。但是仅靠手工操作有时很难画出准确的图像，也无法实现动态效果。利用信息技术工具不仅可以快速地绘制出精确度很高的函数图像，而且ScienceWord中的“逻辑动态关联技术”能够增加图像的动态效果与直观性。所谓“逻辑动态关联技术”是指在图形发生变化后，如移动、缩放等，与之相关联的其他图形的数理关系或逻辑关系是不会变化的，也就是它们所表达的科学特征是不会改变的。例如，移动点C，其对称点C’也会随之移动，其对称关系不会发生变化。
二、利用ScienceWord绘制函数图像
ScienceWord软件继承了Word软件在绘图方面的优点，又进行了改进和扩展，能够快速画出函数图像。下面以绘制y=x2和y=x2 (x-3)的图像为例，介绍函数图像的绘制方法。
1. 坐标系的创建与设置
（1）坐标系的创建：启动ScienceWord软件，调出“解析几何”工具栏。点击“解析几何”上的“插入直角坐标系”图标，光标变成“╋”形状。在工作区内按住鼠标左键不放，并拉动鼠标画一个矩形框，放开鼠标即可。
（2）调整坐标轴的位置：可以直接通过移动坐标轴的原点或X轴、Y轴的位置来调整坐标轴的位置。
（3）坐标轴参数设置：右键单击坐标系，选择“属性”，在对话框中设置横坐标参数和纵坐标参数，如图1所示。
（4）刻度标注：选择图1中的“刻度标注”，勾选“画X轴刻度标注”和“画Y轴刻度标注”，X轴和Y轴都选用“按大刻度数目标注”， X轴和Y轴的刻度标注的位置分别选择“上方”和“右方”。
2．函数y=x2和y=x2 (x-3)图像的绘制
在“解析几何”工具栏中，选择“任意数学曲线”图标。在出现的窗口中设定好参数，如图2所示，即可在坐标系中画出所需函数y=x2的图像。将图2中y表达式由y=x^2改为y=x^2*(x-3)即可画出函数的y=x2 (x-3)的图像，如图3所示。
三、利用ScienceWord 探究函数图像的性质
例1：探究图像特征与函数变化规律之间的等价关系
第一步：采用上述函数图像绘制方法画出y=x2和y=x2 (x-3)函数的图像，如图3所示。
第二步：总结图像特征与函数变化规律之间的等价关系。从图3可以看出，函数图像与函数性质之间存在着必然的联系，如下表所示，表中左右两列是等价关系，即有左就有右，同样地，有右就有左。
例2：探索反比例函数的性质
第一步：绘制反比例函数y=1/x和直线y=x的图像
新建一直角坐标系，选择“解析几何”工具栏中的“任意数学曲线”图标，在出现的窗口中设定好参数，即可在坐标系上画出所需反比例函数y=1/x的图像。在“解析几何”工具栏中选择“在坐标系上画直线”图标（注意：不能选用“任意数学曲线”图标，否则，不能画出关于直线y=x的对称点），在出现的窗口中设定好参数，即可在坐标系上画出所需直线y=x。
第二步：绘制点C和点C关于直线y=x的对称点C’
调出“平面几何图形”工具栏，利用其中的“画点”图标，在反比例函数y=1/x上任取一点，如点C（0.5,2)。先选中点C，再按住Shift键不放，选中直线y=x。在“平面几何图形”工具栏中选择“做已知对象的镜像对象”图标。坐标系中会自动出现点C关于直线y=x的对称点C’(2,0.5)，如图4所示。
第三步：探索反比例函数的性质
①反比例函数y=1/x的图像关于直线y=±x对称
在图4中，当用鼠标拖动点C在反比例函数y=1/x的图像上来回运动时，可以看到点C’也在反比例函数y=1/x的图像上来回运动。通过上述观察可以发现，反比例函数y=1/x的图像关于直线y=x轴对称。用同样的方法可以验证，反比例函数y=1/x的图像也关于直线y=-x对称。
②反比例函数y=k/x的图像相对于坐标原点的位置随着|k|的变化而变化的规律
新建一个直角坐标系，坐标轴属性的设置方法类似图1所示。所不同的是，如果要在坐标系中绘制小方格，就需要在坐标轴参数设置窗口中勾选“显示”、“大刻度删格”；如果要改变“大刻度删格”的颜色，就需要进入图1左边的“大刻度竖直删格”和“大刻度水平删格”两个设置窗口进行“线条”颜色的设置；如果要采用不同颜色绘制不同的函数曲线，就需要选择图2所示中的“颜色和线条”选项，进行颜色的设置。在这一直角坐标系内，画出k=1，2，3，4，5，6时，反比例函数y=k/x的图像，如图5所示。把k=-1，-2，-3，-4，-5，-6时，反比例函数y=k/x的图像，画在另一新建的直角坐标系内，就可得到如图6所示的图像。图5和图6中的函数图像都采用“文本框”进行标注。在“文本框”的属性设置窗口中，将“线条”的“虚实”设置为“空线（无颜色线）”。从图5和图6中的图像可以发现规律：随着|k|的增大，反比例函数y=k/x图像的位置相对于坐标原点越来越远；反之亦然。
上述授课实例图像清晰，易于观察和总结规律，演示规律时直观性强，充分体现了信息技术辅助教学的高效率。上述方法可以推广到一次函数、二次函数的教学中。与几何画板等其他软件相比，利用ScienceWord软件探究函数的图像及其性质，学生的操作较为简单，教师的备课成本也较低，可操作性强。ScienceWord软件是我国“863 计划”科研成果，学习和使用ScienceWord也是贯彻落实国家软件产业政策精神的一种体现。
参考文献
[1] 课程教材研究所等.义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级上册教师教学用书.北京：人民教育出版社出版,2005.24～25.
图像性质 篇4
一、用几何画板画出指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 的图像.
1. 建立画板文件
( 1) 新建一个画板, 选择“文件”菜单中的“保存”命令, 输入文件名“指数函数及其性质”, 保存其文件;
( 2) 打开几何画板, 选择“绘图”菜单中的“定义坐标系”命令, 绘图区出现带网格的直角坐标系, 选择绘图中菜单中的“隐藏网格”命令, 将网格隐藏掉.
2. 建立参数a的动态系统
( 1) 用点工具在y轴上绘制1 个点A;
( 2) 同时选中点A和x轴, 选择“构造”菜单中的“平行线”命令, 构造出过点A且与x轴平行的直线;
( 3) 用“点工具”在平行线上绘制一个点B, 改其标签名为a, 选中平行线, 选择“显示”菜单中的“隐藏平行线”命令, 隐藏平行线;
( 4) 选中点A、a, 选择“构造”菜单中的“线段”命令, 构造连接A、a两点的线段;
( 5) 选中线段Aa, 选择“显示”菜单中的“线型”命令, 将线段的线型设置为粗线. 保持线段的选中状态, 选择“显示”菜单中的“颜色”命令, 将线段的颜色设置为红色, 隐藏点A;
( 6) 选中点a, 选择“度量”菜单中的“横坐标”命令, 度量a点的横坐标, 然后把其标签改为a, 如图1 所示.
3. 建立并绘制函数图像
( 1) 选择“绘图”菜单中的“绘制新函数”命令, 打开新建函数对话框;
( 2) 单击度量值“a = …”, 在顺次点击对话框中的按钮* , x, ^, 2, 完成构造函数f ( x) = ax, 单击“确定”关掉对话框, 如图2 所示.
说明: 拖动a点, 可以看见函数的图像随a值的变化而产生相应的变化.
4. 建立自变量与函数的对应关系
( 1) 用“点工具”在x轴上构造一点, 度量出该点横坐标的值, 将坐标的标签改为x;
( 2) 选择“数据”菜单中的“计算”命令, 打开“新建计算”对话框, 单击函数式f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) , 再单击x横坐标的值, 计算自变量x的函数值f ( x) ;
( 3) 顺次选中文本x, f ( x) , 选择“绘图”菜单中的绘制 ( x, y) 命令, 绘制点 ( x, f ( x) ) , 将它与自变量x对应的点用虚线连接起来;
( 4) 选中点 ( x, f ( x) ) , 选择“度量”菜单中的“坐标”命令, 度量该点的坐标, 如图所示;
( 5) 同时选中点 ( x, f ( x) ) 和它的坐标, 按住[shift]键, 选择“编辑”菜单中“合并文本到点”命令, 将这个坐标动态地显示到点 ( x, f ( x) ) 的位置, 如图3 所示.
说明: 拖动x轴上自变量对应的点, 可以看见函数图像上对应点的坐标在不停地变化, 非常形象地反映了函数的动态对应关系.
例1利用f (x) =的图像, 作出下列各函数的图像.
(1) f (x+1) ; (2) f (x-1) ; (3) f (x) +1; (5) f (x) -1.
解先画出函数f (x) =的简图.
(1) 把函数f (x) =的图像向左平移一个单位, 可得到函数f (x+1) 的图像;
(2) 把函数f (x) =的图像向右平移一个单位, 可得到函数f (x-1) 的图像;
(3) 把函数f (x) =的图像向上平移一个单位, 可得到函数f (x) +1的图像;
(4) 把函数f (x) =的图像向左平移一个单位, 可得到函数f (x) -1的图像;如图4.
二、利用几何画板探究指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 的性质.
1. 在同一平面直角坐标系中作出指数函数f ( x) = 2x和g ( x) = (1/3) x的图像, 如图5.
通过图 ( 五) , 我们发现指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 有下面几个性质:
( 1) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的图像位于一、二象限;
( 2) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的定义域都是R;
( 3) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的值域都是 ( 0, + ∞ ) ;
( 4) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的图像都过定点 (0, 1) , 即x = 0 时, y = 1
( 5) 当a > 1 时, 函数在R上为增函数; 当0 < a < 1 时, 函数在R上为减函数.
( 6) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数无奇偶性.
2. 在同一坐标系中作出指数函数f ( x) = 3x和g ( x) =4x的图像, 再作出函数
通过图6, 我们发现, 指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 还具有下列一些性质:
( 1) 在y轴的右侧, 图像从上到下相应的底数由大变小;
( 2) 在y轴的左侧, 图像从上到下相应的底数由小变大;
(3) 当底数a互为倒数时 (例如:y=3x与, 这两个指数函数的图像是关于y轴对称.
例2 比较下列数的大小.
解 ( 1) 在同一平面直角坐标系下画出函数y = 1. 3x的图像, 由于此函数在R上为增函数, 而2. 4 < 3, 故1. 32. 4<1.33;
( 2) 在同一平面直角坐标系下画出函数y = 0. 8x的图像, 由于此函数在R上为减函数, 而- 0. 8 < - 0. 6, 故0.8-0.8>0.8-0.6;
(3) 在同一平面直角坐标系下画出函数, y=4x, y = 3x, y =的图像 ( 如图六) , 由于在y轴的右侧, 图像从上到下相应的底数由大变小, 故当自变量都取1. 7时, 有41. 7> 31. 7>
三、结束语
指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数, 所以在这部分的教学安排上, 我更注意学生思维习惯的养成. 通过研究几个特殊的底数的指数函数得到一般指数函数的规律, 这符合学生由特殊到一般的, 由具体到抽象的学习认知规律. 另外, 通过多媒体教学手段, 用计算机作出底数a变换的图像, 让学生更直观、深刻的感受指数函数的图像及性质. 学生真思考, 学生的真探究, 才是保障教学目标得以实现的前提, 在教学中, 教师通过教学设计要以给学生充分的思维空间、推理运算空间和交流学习空间, 努力创设一个“活动化的课堂”才可能真正唤起学生的生命主体意识, 引领他们走上自主构建知识意义的发展路径.
总之, 用几何画板来研究函数, 它所产生的作用是巨大的, 他不但可以模拟知识发生的过程, 更能让学生自己探索出公式和定理, 让学生体验了当数学家、发明家的滋味, 这也真正实现了从“学数学”到“做数学”, 再到“玩数学”, 更能激发学生学习数学的兴趣, 使数学课堂成为充满探索性、趣味性和挑战性的精彩世界.
摘要：通过人教A版教材高中数学必修一第37页用几何画板画出函数图像y=bx2的启发, 本文借助几何画板这个教学软件, 以指数函数为例, 引导学生快速作出指数函数f (x) =ax (a>0, a≠1) 的图像, 并且在同一坐标系下作出多个指数函数的图像, 然后观察指数函数f (x) =ax (a>0, a≠1) 的图像随a的变化而发生怎样的变化, 比较各指数函数图像的形状和位置, 从而得到指数函数f (x) =ax (a>0, a≠1) 的性质, 然后再利用指数函数的性质来解决关于指数函数所涉及的问题.
关键词：几何画板,指数函数,指数函数图像
参考文献
[1]罗永健.利用几何画板研究函数的性质例谈[J].基础教育论坛, 2011 (6) .
《对数函数的图像与性质》说课稿 篇5
1、教材的地位和作用
函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本函数之一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数在生产、生活实践中都有许多应用．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数等提供了必要的基础知识．
2、教学目标的确定及依据
根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
(1)知识目标：掌握对数函数的图像与性质；初步学会用
对数函数的性质解决简单的问题．
(2)能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
(3)情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流，培养学生严谨的科学态度，欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性．
3、教学重点与难点
重点：对数函数的图像与性质．
难点：对数函数性质中对于在《对数函数的图像与性质》说课稿与《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况函数值的不同变化．
二、说教法
学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法．根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：
1、教学方法：
(1)启发引导学生观察、联想、思考、分析、归纳；
(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法；
(3)渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法．
(4)用探究性教学、提问式教学和分层教学
2、教学手段：
计算机多媒体辅助教学．
三、说学法
“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身．本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：
(1)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质。
(2)主动式学习：学生自己归纳得出对数函数的图像与性质。
四、说教程
1、温故知新
我通过复习y＝log2x和y＝log0.5x的图像，让学生熟悉两个具体的对数函数的图像。
设计意图：这与本节内容有密切关系，有利于引出新课．为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力．
2、探求新知
研究对数函数的图像与性质．关键是学生自主的对函数《对数函数的图像与性质》说课稿和《对数函数的图像与性质》说课稿的图像分析归纳，引导学生填写表格(该表格一列填有《对数函数的图像与性质》说课稿在《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况下的图像与性质)，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，归纳总结出《对数函数的图像与性质》说课稿的图像与性质．
在学生得出对数函数的图像和性质后，教师再加以升华，强调“数形结合”记忆其性质,做到“心中有图”．另外，对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体演示时,有意识地用(1)(2)进行分类表示,培养学生的分类意识．
设计意图：教师建立了一个有助于学生进行独立探究的情境，学生通过观察、联想、思考、分析、探索，在此过程中，这充分体现了探究定向性学习和主动合作式学习．
3、课堂研究，巩固应用
例1主要利用对数函数《对数函数的图像与性质》说课稿的定义域是《对数函数的图像与性质》说课稿来求解．
例2利用对数函数的单调性，比较两个同底对数值的大小．在这个例题中，注意第三小题的点拨，选择和中间量0或1比较，第四小题要分底数《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况．
例3 解对数不等式，实际是例2的一种逆向运算，已知对数值的大小，比较真数，任然要使用对数函数的单调性。
设计意图：通过这个环节学生可以加深对本节知识的理解和运用，在此过程中充
分体现了数形结合和分类讨论的数学思想方法．同时为课外研究题的解决提供了必要条件,为学生今后进一步学习对数不等式埋下伏笔．
4、巩固练习
使学生学会知识的迁移,两个练习紧扣本节内容，利用课堂研究中体现的重要的数形结合和分类讨论的数学思想方法，学生课后完全有能力解决这个问题．
5、课堂小结
引导学生进行知识回顾，使学生对本节课有一个整体把握．从两方面进行小结：
(1)掌握对数函数的图像与性质，体会数形结合的思想方法；
(2)会利用对数函数的性质比较两个同底对数值的大小，初步学会对数不等式的解法，体会分类讨论的思想方法．
6、作业：p97习题3，4，5
选做题 6题
《对数函数的图像与性质》说课稿2一、说教材
1、教材的地位和作用
函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一.本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数在生产、生活实践中都有许多应用.本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识.2、教学目标的确定及依据
根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
(1)知识目标：理解对数函数的意义;掌握对数函数的图像与性质;初步学会用对数函数的性质解决简单的问题.(2)能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力.(3)情感目标：通过指数函数和对数函数在图像与性质上的对比，使学生欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性.3、教学重点与难点
重点：对数函数的意义、图像与性质.难点：对数函数性质中对于在a>1与0
二、说教法
学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法.根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：
1、教学方法：
(1)启发引导学生实验、观察、联想、思考、分析、归纳;
(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法;
(3)渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法.2、教学手段：
计算机多媒体辅助教学.三、说学法
“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身.本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：
(1)类比学习：与指数函数类比学习对数函数的图像与性质.(2)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质.(3)主动合作式学习：学生在归纳得出对数函数的图像与性质时，通过小组讨论，使问题得以圆满解决.
《对数函数的图像与性质》说课稿3一、说教材：
1。教材的内容、地位及编排依据
［内容、地位］本节教材内容主要研究： ⑴对数函数的图象及其基本性质;⑵利用对数函数的图象及其性质来解决一些与对数有关的问题。这节教学内容是在学生学过函数的基本性质、指数、指数函数以及对数的基础上再来学习的，可以说它是上述内容的延续和发展，同时也为数学在实际应用中提供了一种新的`函数模型。因此本节内容起到了一种承上启下的作用。
［编排依据］主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力。
2。教学目标的确定和确定目标的依据
根据对数函数及其相关知识历来在高考中的地位以及新课程标准的要求、学生的认知水平，确定教学目标如下：
（1）知识目标：使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特点；
（2）能力目标：培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养；
（3）德育目标：培养学生勇于探索和创新的精神以及优化他们的个性品质；
（4）情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。
3。教学的重点、难点、关键： ［重点］掌握对数函数的概念及其图象，使学生能初步自觉地、有意识地利用图象研究对数函数的性质。［难点］理解和掌握对数函数的概念，图象特征，区分01和a1不同条件下的性质。［关键］认识底数a与对数函数图象之间的关系。
二、说教法与学法
教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足。因此本节课采用探究性教学、提问式教学和分层教学。2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持，同时也为了培养学生的动手操作能力，所以采用计算机辅助教学，以突出重点和突破难点。
学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了三种学法：
（1）自主性学习法：根据作图的常规方法画出对数函数的图象；
（2）探究性学习法：通过分析、探索得出对数函数的性质；
（3）巩固反馈法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。
三、采用教具：
多媒体辅助教学
1通过flash软件直观的呈现出对数函数的图象，使学生对其有丰富的感性认识；
2为学生展现自己的才华提供了平台。
四、说教学程序
1、导入新课：
由2。2。1的例题6（即考古学家是如何估算出土文物或古遗址的年代）引入，让学生利用计算器计算并填写下表。略
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图像性质 篇6
一、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的物理意义
当函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），x∈[0，+∞）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T=叫作振动的周期；单位时间内往复振动的次数f==叫作振动的频率；ωx+φ叫作相位，当x=0时的相位φ叫作初相。
例1 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分图像如右图所示，则函数f（x）的解析式为 。
解析 由图像知f（x）的最小正周期为
T=2-=π，故ω=2；
又A=2，所以f（x）=2sin（2x+φ）。
因为x=时，2sin（2x+φ）=2，
即2x+φ=？圳2×+φ=？圯φ=。
所以f（x）=2sin2x+。
点评 由函数图像确定函数解析式的关键是要善于从图像中观察得到一些有用的数据，如图像经过的点、最值等。一般来说，对于函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），A可由图像的最高点的纵坐标或最低点纵坐标的绝对值来确定；ω可通过函数的周期T=来确定；φ可以用代入法来确定，即把一个点（最好选取图像的最高点或最低点）的坐标代入函数解析式求解而得。
二、三角函数的图像变换
例2 将函数y=sin2x-图像上的点P，t向左平移s（s>0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图像上，则（ ）。
A.t=，s的最小值为？摇？摇？摇 B.t=，s的最小值为
C.t=，s的最小值为？摇？摇？摇 D.t=，s的最小值为
解析 因为点P，t在函数y=sin2x-的图像上，
所以t=sin=；
因为P′-s，位于函数y=sin2x的图像上，
所以=sin2-s=cos2s，
所以s的最小值为。故选A。
点评 一般来说，函数y=sin（ωx+φ）（ω>0）的图像，可以将正弦曲线y=sinx上所有的点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度（得y=sin（x+φ）的图像），再把所得各点的横坐标变为原来的得到；也可以将正弦曲线y=sinx上所有的点的横坐标变为原来的（得y=sinωx的图像），再把所得各点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移个单位长度得到。特别注意：必须分清是先相位变换后周期变换，还是先周期变换后相位变换。
三、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调性
例3 函数f（x）=sin-x，则函数f（x）的单调递增区间为 。
解析 变形得f（x）=-sinx-。
函数f（x）=sin-x单调递增，则函数g（x）=sinx-单调递减，
所以2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），即2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）。
所以函数f（x）=sin-x的单调递增区间为2kπ+，2kπ+（k∈Z）。
点评 此类问题属易错题。正确解法是借助诱导公式转化后求解，或利用复合函数的单调性规律求解。
四、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的对称性
例4 我们把函数f（x）的图像与直线x=a、x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数f（x）=sinnx在0，上的面积为（n∈N）。
（1）f（x）=sin3x在0，上的面积为 。
（2）f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面积为 。
解析 （1）因为函数f（x）=sinnx在0，上的面积为（n∈N），
所以f（x）=sin3x在0，上的面积为。
又f（x）=sin3x关于点，0对称，
所以f（x）=sin3x在，上的面积等于它在0，上的面积。
故f（x）=sin3x在0，上的面积为。
（2）f（x）=sin（3x-π）+1的图像如右图所示。
根据对称性可知每一个阴影区域的面积都相等，都等于y=sin3x在0，上的面积为，
所以f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面积等于1个阴影区域与矩形ABCD的面积之和，即+π（区域④补形到区域③中）。
点评 本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型创新题。我们要知道：函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的对称轴为x=，对称中心为，b。
五、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的奇偶性
例5 求函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）的奇偶性。
解析 令f（-x）=f（x），则sin（-x-θ）=sin（x-θ），
此时-x-θ=2kπ+x-θ（k∈Z）或-x-θ=2kπ+π-（x-θ）（k∈Z），
亦即θ∈？芰或θ=kπ+（k∈Z），
所以当θ=kπ+（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是偶函数；
同理，当θ=kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数。
综上，当θ=kπ-（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是偶函数；
当θ=kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数；
当θ≠kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是非奇非偶函数。
点评 f（x）是偶函数？圳f（-x）=f（x）；f（x）是奇函数？圳f（-x）=-f（x）。探讨含有参数的函数的奇偶性可以利用该性质。
六、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期性
例6 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）。若f（x）在区间，上具有单调性，且f=f=-f，则f（x）的最小正周期为 。
解析 结合函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图像特征可知，
因为f=f，所以x=，
即x=为f（x）图像的对称轴。
因为f=-f，所以，0，
即，0为f（x）图像的对称中心。
又f（x）在区间，上具有单调性，
所以，0是与对称轴x=相邻的对称中心，
所以最小正周期为4-=π。
点评 函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T=，正确地读图、识图、析图、用图是研究函数f（x）=Asin（ωx+φ）的性质的基础。
七、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最值
例7 已知函数f（x）=sinx。若存在x，x，…，x（m≥2，m∈N）满足0≤x 解析 因为对任意的x，xi+1（i=1，2，…，m-1），|f（xi）-f（xi+1）|≤f（x）-f（x）=2， 欲使m取最小值，应尽可能多地让x（i=1，2，…，m）取最值点。 因为0≤x |f（x）-f（x）|+|f（x）-f（x）|+…+|f（x）-f（x）|=12， 所以按照下图所示取值即可满足条件。 所以m的最小值为8。 点评 一般来说，函数f（x）=asinx+b的值域为[-|a|+b，|a|+b]，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A>0）的最小值为-A+b，最大值为A+b。 为了画图方便, 表格中设了一些特殊值, 图像中横坐标和纵坐标都表示各物质的物质的量。 现配巩固练习供大家参考 (利用图像解题) 。 向100m l A l C l3溶液中滴加N aO H溶液, 产生3.9克白色沉淀, 求原A l C l3溶液的物质的量浓度。 解析:从图像上可知原A l C l3溶液浓度应该为两种可能: (1) 当只生成3.9gA l (O H) 3时, n (A lC l3) =n[A l (O H) 3]=0.05m ol (2) 当生成A l (O H) 3又被溶解掉一部分时, 近几年来, 各省高考对三角函数部分的考查, 在内容、题量、分值三个方面保持稳定的同时, 加重了对三角函数性质的考查, 难度适中.这样的命题意在考查学生的计算能力、演绎推理能力、综合应用知识解决问题的能力以及数学思想方法的应用, 激发了学生进一步学习的潜能.对应思想作为数学中的一个重要思想, 近几年来不断在高考三角函数图像与性质的相关问题中出现, 成为高考题型中的一个创新. 2 对应以及对应思想 对应是人的思维对两个集合之间联系的把握, 反映的是两个集合元素之间的关系, 对应将各种类别、各种层次的对象联系起来, 呈现出它们之间各种各样的属性, 使得各种数学对象能够互相结合、互相转化和深入. 对应思想则是指人们在解决某个范畴的数学问题时, 通过寻找恰当的对应关系, 把原数学问题转化为另一个范畴的数学问题, 再在这个范畴中求解, 从而达到解决原问题的目的的思维方法.对应思想是人们对两个集合范畴之间联系把握的一种思想方法, 是函数与方程思想的支柱, 其关键在于寻找两个集合范畴之间的对应关系.利用对应思想解题, 不仅对培养和提高学生观察和分析问题的能力, 启迪和锻炼学生正确的思维方法有着积极的作用, 而且具有初等性、趣味性.笔者尝试利用这一思想方法, 通过三角函数图像之间的对应关系, 求解近几年来高考中的三角函数图像与性质的相关问题, 起到了事半功倍的效果. 3 对应思想的应用 评注无论是传统法还是对应思想法, 都很好的利用了图像上的特殊点.传统法通过最值点列方程求解φ, 揭示了φ的本质;而对应思想法则根据函数y=f (x) 与函数y=sin x在一周期内图像特殊点之间一一对应的关系, 结合整体思想, 列出关于ω, φ的方程组求解, 相比之下更为简捷、明了. 评注利用对应思想求解三角函数图像所对应的解析式, 关键在于找准所求函数y=f (x) 与其所对应的基本三角函数在一个周期内的点之间一一对应的关系, 由对应思想和函数与方程思想, 建立关于ω, φ的方程组. 对应思想法不仅适用于正弦函数、余弦函数的相关图像问题, 同时也适用于正切函数图像的相关问题. 评注本题根据函数f (x) 的最值性和对称性, 综合分析得函数图像的最值点, 利用图像间的对应关系建立关于ω的方程, 需要学生把握三角函数的图像和性质, 具有一定的综合性. 4 对应思想的拓展应用 评注函数f (x) 在某个区间内的图像恒在x轴下方, 对应于函数y=cos x在周期[0, 2π]内x轴下方的图像或某一段图像, 再根据这一对应关系建立关于ω的不等式组. 评析本题根据函数f (x) 在给定区间内的最值和零点情况, 对比函数y=cos x在周期[0, 2π]内的最小值和零点情况, 建立这两个函数图像之间的对应关系, 得到关于ω的不等式组. 综上所述, 在求解三解函数图像以及性质相关问题的选择题或填空题时, 在推导的严密性要求不是很高的情况下, 利用对应思想, 把要研究的三角函数问题对应到相应基本三角函数在一个周期内的图像上研究, 思路清晰、方法简捷, 既简化了问题, 使学生把握了问题的本质, 又提高了学生的数学素养!当然, “对应思想”的应用远不止上述类型的问题, 限于篇幅, 这里不再一一赘述了. 参考文献 [1]沈文选, 杨清桃.数学思想领悟[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2008. 什么叫正切函数?(演示定义:设α为任意角,在α的终边上任取一点P(x,y),规定:比值叫做α的正切,即显然,x≠0,即终边不能在y轴上). 如果我们记正切函数为y=tan x(注意:y=tan x中的x,y不是定义里所取任意点的横纵坐标,而是以角度作为自变量,比值作为相应函数值),我们看到,定义并不能直接体现函数的自变量和因变量的关系. 再思考,除定义外,你还知道与正切函数有关的哪些知识?(同角关系,三角函数线) 回到课题:研究正切函数;方法:从图像到性质. 一、作正切函数y=tan x的图像 1.回顾:常用的作图方法有哪些?列表、描点、作图或利用图像变换.结合上面与正切函数有关的信息,我们选择什么方法?图像变换行不通,超出我们现有的能力;直接描点难度大,因为非特殊角的函数值我们不易求出,即使是特殊角,其纵坐标也很难准确找到. 2.在研究一个函数之初,我们希望尽可能精确地作出函数图像,如何达到这个要求呢? 在直角坐标系的x轴上任取一点,以O1为圆心做单位圆.取角α,得其正切线.在坐标系下取点遇到问题了:我们看到单位圆中的角度和对应函数值不能直接体现成图像中点的横纵坐标的关系.怎么办?也就是说,对应到坐标系下,横纵坐标如何取?(在弧度制下,对应弧的长度即角的大小,而纵坐标即为正切线长,可通过平移得到) 4.学生画图,亲自体验图像的形成过程. 5.课件演示动态形成过程,描述图像特征:呈蜿蜒向上的趋势,曲线位于两直线之间,向上向下无限接近但始终无法超越(渐近线). 6.那么的图像又如何得到?由诱导公式可知,自变量相差π的整数倍,对应函数值相等.故只需将上述图像以π为长度单位向左、右依次平移即可得在定义域上的完整图像. 7.用文字语言描述总体特征:正切曲线是由互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成,每支曲线向上向下无限接近相应的两条直线. (这正是图像作用的体现.对于一个函数而言,图像描绘了函数的大致面貌,帮助我们从直观上认识一个函数的特征.我们要透过现象看本质,通过图像特征挖掘出函数的一系列性质.)展开第二个问题: 二、通过图像探究正切函数的性质 谈函数性质,主要讨论哪些方面? 定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性. 推敲单调性的表述,总结三个错误说法: 说法一:“定义域”. 说法二:“每个周期”. 说法三:“一、四象限”. 三、举例说明图像性质的简单应用 练习:比较大小 方法:利用正切函数的单调性 引申:把角化到同一单调区间 四、小结 从知识角度来说: 1.通过动手描点绘图,亲身感受了图像的形成过程. 2.通过图像挖掘出正切函数的一系列性质. 从数学思想方法来说: 体验到数形结合的思想,从特殊到一般的思想. 五、思考与拓展 提出这样一个问题:我们从图像上可以得出,正切函数在是单调递增函数,但只是感性认识.如何从理论上严格证明这一结论? 六、教后反思 1 观察、猜测、验证、数形结合———模型引路 把教材中的例题改编成探索型问题模型,创设问题情境,由“数”结合“形”.数形交融,在学生动手操作中感悟“数缺形时少直观、形缺数时难入微”,丰富学生的情感体验,引导学生在观察的基础上进行猜测,有助于后续活动中思维的进一步展开,有助于优化思维,发展探究能力,发展合情推理的能力与培养创新精神. 点Q,P关于原点中心对称,过Q作QG⊥x轴.有 问题引导3如何抓住几何图形特征,进行数学模型识别? 2 启悟、体悟、发现、再创造———主动建构 以数学模型探究为主线,引导学生去探索,问题串定位于学生的最近发展区,对学生主体性的深层挖掘.理解模型———应用模型,递进的“启悟”有效地让学生去“体悟”,真正让学生置身于弗赖登塔尔倡导的“数学再创造”的情境中,“发现”与“创造”是数学思维训练的最高境界. 问题引导1 B点落在x轴上D处,点D有什么特征?如何实行模型转化? 问题引导2双曲线上E,F两点隐含哪些性质?如何用待定系数法构建几何模型求解线段CD长度. 所以DC=1,在Rt△CDF中, 问题引导3如何依据图形特征转化已知条件S△OEF=2S△BEF? 问题引导4如何识别双曲线背景下的三角形面积特征,联想数学模型巧妙转化? 列出方程求解,或过F作FH⊥x轴于H, 拓展续上题条件,矩形OABC顶点B坐标为(1,2),如图5,若把Rt△EBF沿直线EF对折,B点对应点M恰落在y轴上,求此时点E坐标. 问题引导5类比上述问题研究,请结合数与形的角度提炼求解特殊点坐标问题的数学方法. 问题引导6线段CM的长度与哪些量有关系?如何从图形中读出蕴含的数量关系? 所以 学法分析从折叠矩形纸片,寻求折叠后特殊点的位置变化展开研究,在深刻理解数学模型特征的基础上,构造直角三角形和相似三角形求解相关线段长度,揭示折叠前后点坐标的数量变化与位置变化的规律,再次强化建模、转化等数学思想,通过类比和引申,实现解题策略的迁移. 3 完善、反思、迁移、揭示规律———深化提高 在问题解决中,通过分析和反思把方法形成了数学解题策略,从多角度来挖掘思维深度.从数学思想方法角度来完善和理解数学模型,对于探索发现的结论拓展变式,挖掘思维深度,由浅入深、层层深入,揭示双曲线背景下的几何图形变换的规律. 问题引导1你能判断△OMN的形状吗?如何计算线段OM,ON的长度? 问题引导2如何作辅助线实现由此及彼的思维链接? 问题引导1联想数学模型,构建Rt△EOM,Rt△POG,如何利用等积变换,寻求数量关系,建立方程求解问题? 问题引导2如何通过思想方法或解题策略的迁移来解决新问题? 教法分析变式问题,设置以矩形、正方形、三角形等相关问题为问题情境,帮助学生领悟几何模型的内涵,用联系的眼光审视诸几何图形特殊点位置的变化,以几何图形面积等积变换为桥梁,以求解特殊点坐标及相关线段长度为解题线索,引导学生逐步形成能思考,会思考的思维品质.引导学生学会用类比、迁移、综合等方法解决问题. 关键词：正弦型函数；图像；性质；探讨 中国分类号：O174 正弦型函数的图像和性质，分别从数和形的两个不同侧面反映了其变化规律，它们之间是密切联系的。函数的定义域和值域，反映在图像上是曲线在坐标平面的展开范围；函数的单调性反映在图像上是曲线的上升和下降情况；函数的周期性，反映在图像上是曲线有规律的重复出现；函数的奇偶性，反映在图像上是曲线关于原点和y轴的对称性；函数的最大值和最小值反映在图像上是曲线的最高点和最低点。其在物理学上具有广泛应用，也是数学中的一个重点和难点，职高学生基础差，接受起来更是难以理解，鉴于此笔者在教学中总结了以下几点，或许能给学习者带来点帮助。 一、基础知识 1、函数y=Asin（wx+φ）（A>0，w>0），与y=sinx函数图像间的关系 （1） y=sinx 所有点的横坐标变为原来的1/w （纵坐标不变） y=sinwx 所有点向左或向右平移︳φ︳/w 个单位 y=sin（wx+φ） 所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） y=Asin（wx+φ） （2） y=sinx 所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） y=Asinx所有点的横坐标变为原来的1/w 纵坐标不变 y=Asinwx所有点向左或向右平移︳φ︳/w个单位 y= Asin（wx+φ） 虽然教材上讲的很清楚但学生就是不好接受基于上述关系及三角函数图像及性质笔者归纳了如下解题方法就是直接画图像仅供参考，当然更适合复习或探究后的归纳总结。 2、因为正弦函数是奇函数，所以正弦函数和正弦型函数图像都是中心对称图形，故可直接一找中心为（-φ/w，0）即起始点，二求周期T=2π/ w 然后找末尾（-φ/w+T，0）即起始点加一个周期T，再找半个周期点（-φ/w+T/2，0），再找四分之一个周期点（-φ/w+T/4，A），再找四分之三个周期点（-φ/w+3T/4，-A）三找最大值A最小值-A最后连线即可画出一个周期内函数的图像 例1、作函数y=2sin（2x+π/3）的一个周期的简图 导析：函数的中心为（-π/6，0）周期为π，最大最小值分别为2、-2故起始点（-π/6，0）末尾点为（5π/6，0）半个周期点（2π/6，0）四分之一个周期点为（π/12，2）四分之三周期点（7π/12，-2）最后连线即可 3、利用上述找中心求周期和最值的思路还可直接解决平移问题、求函数表达式和单调区间 例2：将函数y=sinπx的图像向右平移1/2个单位，平移后对应的函数为（ ） A y=sin（πx+1/2） B y=sin（πx-1/2） C y=cosπx D y=-cosπx 导析：函数y=sinπx的中心为（0，0）向右平移1/2个单位中心为（1/2，0）故函数表达式y=sinπ（x-1/2）即y=sin（πx-π/2）选D 例3：已知函数y=Asin（wx+θ）（A>0，w>0，0<θ<π）的两个邻近的最值点为（π/6，2）、（2π/3，-2）则这个函数的解析式为_______ 导析：由最值点可知A=2，半个周期T/2=2π/3-π/6，解得T=π即2π/w=π所以w=2离y轴最近的一个中心的横坐标-θ/w为最高点的横坐标减T/4即-θ/2=π/6-π/4解得θ=π/6故函数的解析式为y=2sin（2x+π/6） 二、综合应用 例4：求函数y=sinx cosx+ cos2x- /2的周期、最值及单调区间 导析：利用倍角公式sinx cosx= sin2x、 cos2x= （cos x+1）/2先降次从而化简函数。函数可化为y=sin2x /2+ cos2x/2既而化简为y=sin（2x +π/3）下略同例4 例5：求函数y=2sinx cosx+2sinx+2cosx+3的值域。 导析：本题和例5不同，尽管次数高，但题目中还有一次项，利用倍角公式降次后仍无法解决，但由2sinx cosx和2sinx+2cosx联系到（sinx+ cosx）2=1+2sinxcosx 2sinx+2 cosx=2（sinx+ cosx）故函数可化为y=（sinx+ cosx）2+2（sinx+ cosx）+2既而再化为y=[ sin（x +π/4）+1]2+2故可看成是关于 sin（x +π/4）的一元二次函数而 sin（x +π/4）∈[- ， ]所以当 sin（x +π/4）=-1時ymin=1当 sin（x +π/4）= 时ymax=4+2 故原函数值域为[1，4+2 ] 三、强化训练： 1、函数y=sinx的图像关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为_______ 2、已知函数f（x）=2sin2x+sin2x-1（x∈R） （1）求函数的最大值 （2）求函数取得最大值时x的集合 3、要得到y=sinx的图像，只需将函数y=cos（x-π/3）的图像向右平移_______单位 4、函数y=2sin（2x +5π/2）的图像的对称轴方程为_______ 5、若将某正弦型函数的图像向右平移π/2以后，所得图像的函数式为y=2sin（x +π/4），则原来的函数表达式为（ ） A y=2sin（x +3π/4） B y=2sin（x +π/2） C y=2sin（x-π/4） D y=2sin（x +π/4） -π/4 另：当A<0或w<0时我们可以利用y=Asinwx的奇偶性转化y=-Asin（-wx）再利用y=Asinwx与y=-Asinwx关于x轴对称来研究函数图像及性质 综上所述，要想学好三角函数，就需要熟练掌握其图像的变化规律，诱导公式，和角公式，如y=asinx+bcosx= sin（x+Ф）等常见公式。 以上只是笔者在教学中的一些经验总结，不妥之处望提出宝贵意见，大家共同提高，作为教师就应该有深入钻研教材的精神，真正变教材内容为教学内容，使师生将课本知识内化为自己的知识，逐渐养成习惯，培养学习能力，从而提高分析和解决问题的能力。 参考文献 [1]《山西省中等职业学校对口升学复习指导.数学》（复习资料） 求函数的最值是中学数学的重要内容之一, 本文就如何利用函数 1 函数 1) 当a·b=0时, 若a=0, b≠0, 函数化为 2) 当a·b≠0时, 函数 若a·b>0时, 其图像如图1所示. 当a>0, b>0时, 函数的极大值点是 当a<0, b<0时, 函数的极大值点是 若a·b<0时, 其图像如图2所示. 当a>0, b<0时, 函数无极值点, 单调增区间是 (-∞, 0) 和 (0, +∞) ; 当a<0, b>0时, 函数无极值点, 单调减区间是 (-∞, 0) 和 (0, +∞) . 2 利用函数 例1 已知函数 解 设 因为g (x) 在 所以f (x) 在 例2 求函数 错解 因为0<x<π, 所以sin x>0. 由均值不等式可得 所以函数的最小值是4. 辨析 错解中忽视了不等式取“=”的条件: 正解 设t=sin x, 则 又函数 由t=1, 得 例3 已知 解 设 又 故 例4 求函数y=loga (x2-2x-1) -loga (x-1) (x≥3) 的值域. 令x-1=t (t≥2) , 则 当a>1时, 函数的值域是[0, +∞) ;当0<a<1时, 函数的值域是 (-∞, 0]. 例5 设a>1, a, θ均为实数, 求当θ变化时函数 解 令1+sin θ=t∈ (0, 2], 则 因为a>1, a-1>0, 由函数 当 当 【图像性质】推荐阅读： 图像与性质06-12 三次函数的图像和性质06-19 指数函数的图像及性质08-21 指数函数的性质与图像11-10 三角函数的图像与性质论文05-25 对数函数的图像和性质说课稿12-30 (新课程)高中数学 《2.2.1 一次函数的性质与图像》教案 新人教B版必修09-23 物理性质和化学性质教案11-07 财产性质07-15 施工性质07-21图像性质 篇7
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