图像与性质

图像与性质（精选12篇）

图像与性质 篇1

一、二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中的字母系数a、b、c及其意义

1. 二次项系数a及其意义。

二次项系数a不但决定了二次函数图像的开口方向, (当a>0时, 抛物线开口向上;当a<0时, 其开口向下) , 它还决定开口的大小。也就是说, 当二次函数a的绝对值相同时, 这些抛物线的形状完全相同, 反之也成立。因此抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 可以由抛物线y=ax2 (a≠0) 平行移动得到。

2. 常数项c的意义。

对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 来说, 当x=0时, y=c, 即抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 总是经过 (0, c) 。当c>0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴;当c<0时, 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴;当c=0时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与时, 抛物线经过原点。反过来, 当抛物线与y轴的交点坐标已知时, 其二次函数解析式中的常数项c的值也就决定了。

3. 一次项系数b的意义。

当二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中的二次项系数a及一次项系数b一旦确定, 这个函数的对称轴:x=-b2a直线 (顶点的横坐标) 就唯一确定了。反之亦然。

例1已知二次函数y=-x2+3x, 则其图像大致位置是 ()

二、二次函数图像的顶点坐标与字母系数

对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) , 其图像顶点坐标是, 这是二次函数的一个重要性质, 也是同学们必须要知道的, 它不但决定了二次函数的顶点位置, 同时也确定了函数的最大值或最小值。

例2已知:抛物线y=x2-8x+c顶点在x轴上, 则c的值是 ()

简析:由于抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上, 则其顶点的纵坐标为0, 即, 故选D。

三、抛物线与轴交点与字母系数

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 与x轴的交点, 即求函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中当y=0时的自变量x的值, 得到横坐标x的值, 其纵坐标为0。当方程ax2+bx+c=0中的b2-4ac>0时, 说明抛物线与x轴有两个不同的交点;当b2-4ac=0时, 抛物线与x轴有唯一的交点;当b2-4ac<0时, 抛物线与x轴没有交点。

例3求当m取什么值时, 抛物线y= (m-1) x2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点。

简析:要使抛物线y= (m-1) 2-2mx+m-2与x轴有两个不同的交点, 方程 (m-1) 2-2mx+m-2=0应有两个不相等的实数, 故b2-4ac>0且m-1≠0解得且m≠1.

注意这里容易忽视m≠1≠0的条件。

例4抛物线y=x2-2 (m+1) x+m2+4m-3与x轴的两个交点A、B分别在原点的左、右两侧, 且m为不小于0的整数, 求这个函数的解析式。

简析:设抛物线与x轴的两个交点坐标为A (x1, 0) , B (x2, 0) , 故x1, x2应为方程x2-2 (m+1) x+m2+4m-3=0的两个根, 由题意可知得:b2-4ac>0, x1x2<0且m≥0的整数, 求得m=0, 所以函数的解析式为y=x2-2x-3。

四、二次函数的对称性与字母系数

由于关于某直线对称或关于某点对称的两个图形是全等形, 故关于两标轴对称或关于抛物线顶点对称的两个抛物线的形状大小也是一样的, 只是它们的开口方向或顶点坐标、对称轴或它们与两坐标轴的交点不同而已。因此, 当已知一条抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) , 我们可以求出它关于两坐标轴对称或关于其顶点对称的抛物线的解析式。

1. 关于两坐标轴对称。

(1) 关于x轴对称。

求与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于x轴对称的抛物线解析式时, 由对称性可知, 它们的形状完全一致, 只是开口方向相反, 与y轴的交点坐标由原来的 (0, c) 变为它关于x轴的对称点 (0, -c) 。故其关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2+bx+c (a≠0) 。这里的二次项系数a, 一次项系数b和常数项c) 正好与原来抛物线解析式的系数互为相反数。

(2) 关于y轴对称。

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式, 这时它的形状、开口方向与y轴的交点坐标都一样, 也就是二次项系数和常数项不变, 只是对称轴由原来的直线变成了直线也就是一次项系数与原来抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 的一次项系数互为相反数, 故与抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a≠0) 。

2. 关于抛物线的顶点对称的抛物线。

求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 关于其顶点对称的抛物线的解析式, 这时两个抛物线的顶点、对称轴、形状完全一致, 只是开口方向相反, 故所求的抛物线解析式为:

例5求抛物线y=x2-2x-3关于其顶点为中心对称的抛物线的解析式。

简析:抛物线y=x2-2x-3= (x-1) 2-4, 其顶点坐标是 (1, -4) , 对称轴是直线x=1。所以所求抛物线的解析式为:y=- (x-1) 2-4=-x2+2x-5

五、二次函数图像的形状、位置与字母系数的范围

由二次函数图像的一些特殊形状、位置可以确定字母系数的数值或范围。

例6已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴交于点A (1, 0) 和点B (b, 0) , (点B在点A的右侧) 。与y轴交于点C (0, 2) , 请说明a、b、c的乘积是正还是负?

简析:由题意, 所以a、b异号, 又因为函数图像与y轴交于点 (0, 2) , 所以c=2>0, 所以a、b、c的乘积是负数。

综上, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数a、b、c与它的图像性质之间的关系相当密切, 加强二次函数的字母系数的研究, 对探讨二次函数的图像性质大有裨益。

摘要：我们知道, 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的字母系数确定了 (可以用待定系数法确定a、b、c的值) , 它的图像和性质也就决定了;反过来当已知二次函数的图象或它的一些性质, 也可以求出它的字母系数的值或字母系数的范围。

关键词：二次函数,图像性质,字母系数

图像与性质 篇2

正切函数的图像与性质

昆明市教师资格审查教育教学能力测评试讲教案

试 讲 科 目： 高 中 数 学 学 校： 云 南 师 范 大 学

姓 名： 何 会 芳

2013年5月3日制 高中数学

正切函数的图像与性质

一.教材分析

1、教材的地位和作用

本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。

2、教学目标

（一）知识和技能目标：

1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法”

2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用．

（二）过程与方法目标：

1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法；

2、培养学生类比、归纳的数学思想；

3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。3.重点、难点与疑点

（一）、教学重点：正切函数的图象和性质。

1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质；

2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=/2 +k，kZ在确定图象形状时所起的关键作用。

（二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用，（三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数；

二．教学策略

在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如：

1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；

2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙.三．学情分析

本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障．

四．教学程序

1、复习引入

（一）、复习

问题:

1、什么是正切？正切有关的诱导公式？ 练习：画出下列各角的正切线 高中数学

正切函数的图像与性质

（二）、引入

引出正切函数、正切曲线的概念，提出对正切函数性质思考，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的图像和性质.2、学习新课：

提出如何研究正切函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法。

（一）复习：如何作出正弦函数的图像？

（二）、探究：用正切线作正切函数图像

问题：正切函数y=tanx是否是周期函数？

设f(x)=tanx f(x+)=tan(x+)=tanx=f(x)y=tanx是周期函数，是它的一个周期。高中数学

正切函数的图像与性质

我们先来作 一个周期内的图像

根据正切函数的周期性，将上图像向左向右延伸得到正弦函数的图像

（三）、研究函数性质（启发学生借助图像进行研究，培养学生数形结合的思想）

（四）、疑点解析 高中数学

正切函数的图像与性质

在每一个开区间

（五）、例题讲解及课内巩固练习例

1、比较下列每组数的大小

（1）tan167与tan17

3（2）tan（y=tanx在（，）上是增函数，又y=tanx在（0，）上是增函数

内都是增函数）与tan

说明：比较两个正切值大小，关键是相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。

例

2、求函数y=tan(x+)的定义域和单调区间及其对称中心。

解：令t= x+，那么函数y=tan(x+)的定义域是

t ，因此，函数的定义域是 高中数学

正切函数的图像与性质

练习：求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间，对称中心

例3 求函数y=tan3x的周期

说明自变量x,至少要增加是。，函数的值才能重复取得，所以函数y=tan3x的周期

例4 解不等式：

例5 观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围

高中数学

正切函数的图像与性质

（六）、课堂小结

通过本节课的学习，我们认识了正切函数的图象即正切曲线以及通过图象观察总结出正切函数的性质并利用性质解决了一些简单问题，要注意整体思想在其中的应用。

3、课后作业

（1）课本课本课本课本80页第页第页第页第1，3题

正弦函数图像性质有感 篇3

正弦函数：f(x)＝sinx。图像如下：

首先来看它的定义域，为全体实数R。从整个图像分析，它犹如人类历史的长河，波涛激荡，奔流不息，无穷无尽。人是万物之灵，世界的主宰。人类是伟大的。人类创造了历史。可现今有些人不相信人类的伟大，却会去“求神拜佛”、“祈符问卦”。作为教师，我们一定要教育学生相信科学，破除迷信，树立正确的人生观和世界观。相信自己，用知识来武装自己，用自己努力获得的知识来改变自己的命运。

其次是值域，是－1到1之间的所有实数。它有最大值1和最小值－1。而这两条直线y＝l与y＝－1就犹如我们在社会生活中需要遵守的法律法规一样。如果要想使整个社会和谐、健康的发展，人们平安、快乐的生活，我们每个人都必须在法律法规允许的范围内才可以实现，万万逾越不得。在教育学生时，一定要培养他们遵纪守法的好品德。在校遵守校规，讲文明，董礼貌，做一个爱学习、勤劳动、守纪律、在家孝敬父母，在校尊敬老师的好学生。

第三、函数有两种重要的单调区间：一是增区间，一是减区间。每个区间的长度都相等。我们从中就可以感悟到：人在一生中不会总是一帆风顺的，也不会总是倒霉晦气的。人生有起伏，有得意成功(图像上升)，也有失落与低谷(图像下降)。我们要有一个平和的心态，走在人生的上坡路时不要得意忘形，处于人生低谷时也不要萎靡不振。这就叫作升别太得意，降别太在意。尤其是在进行某次考试后，让学生对自己的成绩有一个正确的认识，胜不骄，败不馁，注意总结，才能进步。

第四、正弦函数为周其函数，一个增区间连着一个减区间构成一个周期，图像呈周期性变化。这如同人生的一个缩影，起伏涨落，周而复始，演绎完整人生。升与降二者密不可分，长度相同，都为π，周期为2π。

第五、正弦函数的对称性。

一是对称中心，有一个特点，就是都在x轴上，不高也不低。这就如同我们在社会上生活，一定要找准自己的位置，脚踏实地。不能好高骛远，也不能得过且过。我们在教育学生时一定要培养他们踏实肯干的精神，这对于他们将来步入社会之后会非常重要的；

图像与性质 篇4

一、用几何画板画出指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 的图像.

1. 建立画板文件

( 1) 新建一个画板, 选择“文件”菜单中的“保存”命令, 输入文件名“指数函数及其性质”, 保存其文件;

( 2) 打开几何画板, 选择“绘图”菜单中的“定义坐标系”命令, 绘图区出现带网格的直角坐标系, 选择绘图中菜单中的“隐藏网格”命令, 将网格隐藏掉.

2. 建立参数a的动态系统

( 1) 用点工具在y轴上绘制1 个点A;

( 2) 同时选中点A和x轴, 选择“构造”菜单中的“平行线”命令, 构造出过点A且与x轴平行的直线;

( 3) 用“点工具”在平行线上绘制一个点B, 改其标签名为a, 选中平行线, 选择“显示”菜单中的“隐藏平行线”命令, 隐藏平行线;

( 4) 选中点A、a, 选择“构造”菜单中的“线段”命令, 构造连接A、a两点的线段;

( 5) 选中线段Aa, 选择“显示”菜单中的“线型”命令, 将线段的线型设置为粗线. 保持线段的选中状态, 选择“显示”菜单中的“颜色”命令, 将线段的颜色设置为红色, 隐藏点A;

( 6) 选中点a, 选择“度量”菜单中的“横坐标”命令, 度量a点的横坐标, 然后把其标签改为a, 如图1 所示.

3. 建立并绘制函数图像

( 1) 选择“绘图”菜单中的“绘制新函数”命令, 打开新建函数对话框;

( 2) 单击度量值“a = …”, 在顺次点击对话框中的按钮* , x, ^, 2, 完成构造函数f ( x) = ax, 单击“确定”关掉对话框, 如图2 所示.

说明: 拖动a点, 可以看见函数的图像随a值的变化而产生相应的变化.

4. 建立自变量与函数的对应关系

( 1) 用“点工具”在x轴上构造一点, 度量出该点横坐标的值, 将坐标的标签改为x;

( 2) 选择“数据”菜单中的“计算”命令, 打开“新建计算”对话框, 单击函数式f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) , 再单击x横坐标的值, 计算自变量x的函数值f ( x) ;

( 3) 顺次选中文本x, f ( x) , 选择“绘图”菜单中的绘制 ( x, y) 命令, 绘制点 ( x, f ( x) ) , 将它与自变量x对应的点用虚线连接起来;

( 4) 选中点 ( x, f ( x) ) , 选择“度量”菜单中的“坐标”命令, 度量该点的坐标, 如图所示;

( 5) 同时选中点 ( x, f ( x) ) 和它的坐标, 按住[shift]键, 选择“编辑”菜单中“合并文本到点”命令, 将这个坐标动态地显示到点 ( x, f ( x) ) 的位置, 如图3 所示.

说明: 拖动x轴上自变量对应的点, 可以看见函数图像上对应点的坐标在不停地变化, 非常形象地反映了函数的动态对应关系.

例1利用f (x) =的图像, 作出下列各函数的图像.

(1) f (x+1) ; (2) f (x-1) ; (3) f (x) +1; (5) f (x) -1.

解先画出函数f (x) =的简图.

(1) 把函数f (x) =的图像向左平移一个单位, 可得到函数f (x+1) 的图像;

(2) 把函数f (x) =的图像向右平移一个单位, 可得到函数f (x-1) 的图像;

(3) 把函数f (x) =的图像向上平移一个单位, 可得到函数f (x) +1的图像;

(4) 把函数f (x) =的图像向左平移一个单位, 可得到函数f (x) -1的图像;如图4.

二、利用几何画板探究指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 的性质.

1. 在同一平面直角坐标系中作出指数函数f ( x) = 2x和g ( x) = (1/3) x的图像, 如图5.

通过图 ( 五) , 我们发现指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 有下面几个性质:

( 1) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的图像位于一、二象限;

( 2) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的定义域都是R;

( 3) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的值域都是 ( 0, + ∞ ) ;

( 4) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数的图像都过定点 (0, 1) , 即x = 0 时, y = 1

( 5) 当a > 1 时, 函数在R上为增函数; 当0 < a < 1 时, 函数在R上为减函数.

( 6) 当a > 1 或0 < a < 1 时, 函数无奇偶性.

2. 在同一坐标系中作出指数函数f ( x) = 3x和g ( x) =4x的图像, 再作出函数

通过图6, 我们发现, 指数函数f ( x) = ax ( a > 0, a≠1) 还具有下列一些性质:

( 1) 在y轴的右侧, 图像从上到下相应的底数由大变小;

( 2) 在y轴的左侧, 图像从上到下相应的底数由小变大;

(3) 当底数a互为倒数时 (例如:y=3x与, 这两个指数函数的图像是关于y轴对称.

例2 比较下列数的大小.

解 ( 1) 在同一平面直角坐标系下画出函数y = 1. 3x的图像, 由于此函数在R上为增函数, 而2. 4 < 3, 故1. 32. 4<1.33;

( 2) 在同一平面直角坐标系下画出函数y = 0. 8x的图像, 由于此函数在R上为减函数, 而- 0. 8 < - 0. 6, 故0.8-0.8>0.8-0.6;

(3) 在同一平面直角坐标系下画出函数, y=4x, y = 3x, y =的图像 ( 如图六) , 由于在y轴的右侧, 图像从上到下相应的底数由大变小, 故当自变量都取1. 7时, 有41. 7> 31. 7>

三、结束语

指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数, 所以在这部分的教学安排上, 我更注意学生思维习惯的养成. 通过研究几个特殊的底数的指数函数得到一般指数函数的规律, 这符合学生由特殊到一般的, 由具体到抽象的学习认知规律. 另外, 通过多媒体教学手段, 用计算机作出底数a变换的图像, 让学生更直观、深刻的感受指数函数的图像及性质. 学生真思考, 学生的真探究, 才是保障教学目标得以实现的前提, 在教学中, 教师通过教学设计要以给学生充分的思维空间、推理运算空间和交流学习空间, 努力创设一个“活动化的课堂”才可能真正唤起学生的生命主体意识, 引领他们走上自主构建知识意义的发展路径.

总之, 用几何画板来研究函数, 它所产生的作用是巨大的, 他不但可以模拟知识发生的过程, 更能让学生自己探索出公式和定理, 让学生体验了当数学家、发明家的滋味, 这也真正实现了从“学数学”到“做数学”, 再到“玩数学”, 更能激发学生学习数学的兴趣, 使数学课堂成为充满探索性、趣味性和挑战性的精彩世界.

摘要：通过人教A版教材高中数学必修一第37页用几何画板画出函数图像y=bx2的启发, 本文借助几何画板这个教学软件, 以指数函数为例, 引导学生快速作出指数函数f (x) =ax (a>0, a≠1) 的图像, 并且在同一坐标系下作出多个指数函数的图像, 然后观察指数函数f (x) =ax (a>0, a≠1) 的图像随a的变化而发生怎样的变化, 比较各指数函数图像的形状和位置, 从而得到指数函数f (x) =ax (a>0, a≠1) 的性质, 然后再利用指数函数的性质来解决关于指数函数所涉及的问题.

关键词：几何画板,指数函数,指数函数图像

参考文献

[1]罗永健.利用几何画板研究函数的性质例谈[J].基础教育论坛, 2011 (6) .

《对数函数的图像与性质》说课稿 篇5

1、教材的地位和作用

函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本函数之一.本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数在生产、生活实践中都有许多应用.本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数等提供了必要的基础知识.

2、教学目标的确定及依据

根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：

(1) 知识目标：掌握对数函数的图像与性质;初步学会用

对数函数的性质解决简单的问题.

(2) 能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、

分析、归纳等逻辑思维能力.

(3) 情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流，培养学生严谨的科学态度，欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性.

3、教学重点与难点

重点：对数函数的图像与性质.

难点：对数函数性质中对于在《对数函数的图像与性质》说课稿与《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况函数值的不同变化.

二、说教法

学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法.根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：

1、教学方法：

(1)启发引导学生观察、联想、思考、分析、归纳;

(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法;

(3)渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法.

(4)用探究性教学、提问式教学和分层教学

2、教学手段：

计算机多媒体辅助教学.

三、说学法

“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身.本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1) 探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，

归纳得出对数函数的图像与性质。

(2) 主动式学习：学生自己归纳得出对数函数的图像与性质。

四、说教程

1、温故知新

我通过复习y=log2x和y=log0.5x的图像，让学生熟悉两个具体的对数函数的图像。

设计意图：这与本节内容有密切关系，有利于引出新课.为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力.

2、探求新知

研究对数函数的图像与性质.关键是学生自主的对函数《对数函数的图像与性质》说课稿和《对数函数的图像与性质》说课稿的图像分析归纳，引导学生填写表格(该表格一列填有《对数函数的图像与性质》说课稿在《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况下的图像与性质)，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的.方法，归纳总结出《对数函数的图像与性质》说课稿的图像与性质.

在学生得出对数函数的图像和性质后，教师再加以升华，强调“数形结合”记忆其性质,做到“心中有图”.另外，对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体演示时,有意识地用(1)(2)进行分类表示,培养学生的分类意识.

设计意图：教师建立了一个有助于学生进行独立探究的情境，学生通过观察、联想、思考、分析、探索，在此过程中，这充分体现了探究定向性学习和主动合作式学习.

3、课堂研究，巩固应用

例1主要利用对数函数《对数函数的图像与性质》说课稿的定义域是《对数函数的图像与性质》说课稿来求解.

例2利用对数函数的单调性，比较两个同底对数值的大小.在这个例题中，注意第三小题的点拨，选择和中间量0或1比较，第四小题要分底数《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况.

例3 解对数不等式，实际是例2的一种逆向运算，已知对数值的大小，比较真数，任然要使用对数函数的单调性。

设计意图：通过这个环节学生可以加深对本节知识的理解和运用，在此过程中充

分体现了数形结合和分类讨论的数学思想方法.同时为课外研究题的

解决提供了必要条件,为学生今后进一步学习对数不等式埋下伏笔.

4、巩固练习

使学生学会知识的迁移,两个练习紧扣本节内容，利用课堂研究中体现的重要的数形结合和分类讨论的数学思想方法，学生课后完全有能力解决这个问题.

5、课堂小结

引导学生进行知识回顾，使学生对本节课有一个整体把握.从两方面进行小结：

(1) 掌握对数函数的图像与性质，体会数形结合的思想方法;

(2) 会利用对数函数的性质比较两个同底对数值的大小，初步学会对数不等式的

解法，体会分类讨论的思想方法.

6、作业：p97习题3，4，5

图像与性质 篇6

一、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的物理意义

当函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），x∈[0，+∞）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T=叫作振动的周期；单位时间内往复振动的次数f==叫作振动的频率；ωx+φ叫作相位，当x=0时的相位φ叫作初相。

例1 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分图像如右图所示，则函数f（x）的解析式为 。

解析 由图像知f（x）的最小正周期为

T=2-=π，故ω=2；

又A=2，所以f（x）=2sin（2x+φ）。

因为x=时，2sin（2x+φ）=2，

即2x+φ=？圳2×+φ=？圯φ=。

所以f（x）=2sin2x+。

点评 由函数图像确定函数解析式的关键是要善于从图像中观察得到一些有用的数据，如图像经过的点、最值等。一般来说，对于函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），A可由图像的最高点的纵坐标或最低点纵坐标的绝对值来确定；ω可通过函数的周期T=来确定；φ可以用代入法来确定，即把一个点（最好选取图像的最高点或最低点）的坐标代入函数解析式求解而得。

二、三角函数的图像变换

例2 将函数y=sin2x-图像上的点P，t向左平移s（s>0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图像上，则（ ）。

A.t=，s的最小值为？摇？摇？摇 B.t=，s的最小值为

C.t=，s的最小值为？摇？摇？摇 D.t=，s的最小值为

解析 因为点P，t在函数y=sin2x-的图像上，

所以t=sin=；

因为P′-s，位于函数y=sin2x的图像上，

所以=sin2-s=cos2s，

所以s的最小值为。故选A。

点评 一般来说，函数y=sin（ωx+φ）（ω>0）的图像，可以将正弦曲线y=sinx上所有的点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度（得y=sin（x+φ）的图像），再把所得各点的横坐标变为原来的得到；也可以将正弦曲线y=sinx上所有的点的横坐标变为原来的（得y=sinωx的图像），再把所得各点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移个单位长度得到。特别注意：必须分清是先相位变换后周期变换，还是先周期变换后相位变换。

三、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调性

例3 函数f（x）=sin-x，则函数f（x）的单调递增区间为 。

解析 变形得f（x）=-sinx-。

函数f（x）=sin-x单调递增，则函数g（x）=sinx-单调递减，

所以2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），即2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）。

所以函数f（x）=sin-x的单调递增区间为2kπ+，2kπ+（k∈Z）。

点评 此类问题属易错题。正确解法是借助诱导公式转化后求解，或利用复合函数的单调性规律求解。

四、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的对称性

例4 我们把函数f（x）的图像与直线x=a、x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数f（x）=sinnx在0，上的面积为（n∈N）。

（1）f（x）=sin3x在0，上的面积为 。

（2）f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面积为 。

解析 （1）因为函数f（x）=sinnx在0，上的面积为（n∈N），

所以f（x）=sin3x在0，上的面积为。

又f（x）=sin3x关于点，0对称，

所以f（x）=sin3x在，上的面积等于它在0，上的面积。

故f（x）=sin3x在0，上的面积为。

（2）f（x）=sin（3x-π）+1的图像如右图所示。

根据对称性可知每一个阴影区域的面积都相等，都等于y=sin3x在0，上的面积为，

所以f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面积等于1个阴影区域与矩形ABCD的面积之和，即+π（区域④补形到区域③中）。

点评 本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型创新题。我们要知道：函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的对称轴为x=，对称中心为，b。

五、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的奇偶性

例5 求函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）的奇偶性。

解析 令f（-x）=f（x），则sin（-x-θ）=sin（x-θ），

此时-x-θ=2kπ+x-θ（k∈Z）或-x-θ=2kπ+π-（x-θ）（k∈Z），

亦即θ∈？芰或θ=kπ+（k∈Z），

所以当θ=kπ+（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是偶函数；

同理，当θ=kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数。

综上，当θ=kπ-（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是偶函数；

当θ=kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数；

当θ≠kπ（k∈Z）时，函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）是非奇非偶函数。

点评 f（x）是偶函数？圳f（-x）=f（x）；f（x）是奇函数？圳f（-x）=-f（x）。探讨含有参数的函数的奇偶性可以利用该性质。

六、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期性

例6 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）。若f（x）在区间，上具有单调性，且f=f=-f，则f（x）的最小正周期为 。

解析 结合函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图像特征可知，

因为f=f，所以x=，

即x=为f（x）图像的对称轴。

因为f=-f，所以，0，

即，0为f（x）图像的对称中心。

又f（x）在区间，上具有单调性，

所以，0是与对称轴x=相邻的对称中心，

所以最小正周期为4-=π。

点评 函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T=，正确地读图、识图、析图、用图是研究函数f（x）=Asin（ωx+φ）的性质的基础。

七、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最值

例7 已知函数f（x）=sinx。若存在x，x，…，x（m≥2，m∈N）满足0≤x

解析 因为对任意的x，xi+1（i=1，2，…，m-1），|f（xi）-f（xi+1）|≤f（x）-f（x）=2，

欲使m取最小值，应尽可能多地让x（i=1，2，…，m）取最值点。

因为0≤x

|f（x）-f（x）|+|f（x）-f（x）|+…+|f（x）-f（x）|=12，

所以按照下图所示取值即可满足条件。

所以m的最小值为8。

点评 一般来说，函数f（x）=asinx+b的值域为[-|a|+b，|a|+b]，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A>0）的最小值为-A+b，最大值为A+b。

图像与性质 篇7

近几年来, 各省高考对三角函数部分的考查, 在内容、题量、分值三个方面保持稳定的同时, 加重了对三角函数性质的考查, 难度适中.这样的命题意在考查学生的计算能力、演绎推理能力、综合应用知识解决问题的能力以及数学思想方法的应用, 激发了学生进一步学习的潜能.对应思想作为数学中的一个重要思想, 近几年来不断在高考三角函数图像与性质的相关问题中出现, 成为高考题型中的一个创新.

2 对应以及对应思想

对应是人的思维对两个集合之间联系的把握, 反映的是两个集合元素之间的关系, 对应将各种类别、各种层次的对象联系起来, 呈现出它们之间各种各样的属性, 使得各种数学对象能够互相结合、互相转化和深入.

对应思想则是指人们在解决某个范畴的数学问题时, 通过寻找恰当的对应关系, 把原数学问题转化为另一个范畴的数学问题, 再在这个范畴中求解, 从而达到解决原问题的目的的思维方法.对应思想是人们对两个集合范畴之间联系把握的一种思想方法, 是函数与方程思想的支柱, 其关键在于寻找两个集合范畴之间的对应关系.利用对应思想解题, 不仅对培养和提高学生观察和分析问题的能力, 启迪和锻炼学生正确的思维方法有着积极的作用, 而且具有初等性、趣味性.笔者尝试利用这一思想方法, 通过三角函数图像之间的对应关系, 求解近几年来高考中的三角函数图像与性质的相关问题, 起到了事半功倍的效果.

3 对应思想的应用

评注无论是传统法还是对应思想法, 都很好的利用了图像上的特殊点.传统法通过最值点列方程求解φ, 揭示了φ的本质;而对应思想法则根据函数y=f (x) 与函数y=sin x在一周期内图像特殊点之间一一对应的关系, 结合整体思想, 列出关于ω, φ的方程组求解, 相比之下更为简捷、明了.

评注利用对应思想求解三角函数图像所对应的解析式, 关键在于找准所求函数y=f (x) 与其所对应的基本三角函数在一个周期内的点之间一一对应的关系, 由对应思想和函数与方程思想, 建立关于ω, φ的方程组.

对应思想法不仅适用于正弦函数、余弦函数的相关图像问题, 同时也适用于正切函数图像的相关问题.

评注本题根据函数f (x) 的最值性和对称性, 综合分析得函数图像的最值点, 利用图像间的对应关系建立关于ω的方程, 需要学生把握三角函数的图像和性质, 具有一定的综合性.

4 对应思想的拓展应用

评注函数f (x) 在某个区间内的图像恒在x轴下方, 对应于函数y=cos x在周期[0, 2π]内x轴下方的图像或某一段图像, 再根据这一对应关系建立关于ω的不等式组.

评析本题根据函数f (x) 在给定区间内的最值和零点情况, 对比函数y=cos x在周期[0, 2π]内的最小值和零点情况, 建立这两个函数图像之间的对应关系, 得到关于ω的不等式组.

综上所述, 在求解三解函数图像以及性质相关问题的选择题或填空题时, 在推导的严密性要求不是很高的情况下, 利用对应思想, 把要研究的三角函数问题对应到相应基本三角函数在一个周期内的图像上研究, 思路清晰、方法简捷, 既简化了问题, 使学生把握了问题的本质, 又提高了学生的数学素养!当然, “对应思想”的应用远不止上述类型的问题, 限于篇幅, 这里不再一一赘述了.

参考文献

[1]沈文选, 杨清桃.数学思想领悟[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2008.

图像与性质 篇8

1 观察、猜测、验证、数形结合———模型引路

把教材中的例题改编成探索型问题模型,创设问题情境,由“数”结合“形”.数形交融,在学生动手操作中感悟“数缺形时少直观、形缺数时难入微”,丰富学生的情感体验,引导学生在观察的基础上进行猜测,有助于后续活动中思维的进一步展开,有助于优化思维,发展探究能力,发展合情推理的能力与培养创新精神.

点Q,P关于原点中心对称,过Q作QG⊥x轴.有

问题引导3如何抓住几何图形特征,进行数学模型识别?

2 启悟、体悟、发现、再创造———主动建构

以数学模型探究为主线,引导学生去探索,问题串定位于学生的最近发展区,对学生主体性的深层挖掘.理解模型———应用模型,递进的“启悟”有效地让学生去“体悟”,真正让学生置身于弗赖登塔尔倡导的“数学再创造”的情境中,“发现”与“创造”是数学思维训练的最高境界.

问题引导1 B点落在x轴上D处,点D有什么特征?如何实行模型转化?

问题引导2双曲线上E,F两点隐含哪些性质?如何用待定系数法构建几何模型求解线段CD长度.

所以DC=1,在Rt△CDF中,

问题引导3如何依据图形特征转化已知条件S△OEF=2S△BEF?

问题引导4如何识别双曲线背景下的三角形面积特征,联想数学模型巧妙转化?

列出方程求解,或过F作FH⊥x轴于H,

拓展续上题条件,矩形OABC顶点B坐标为(1,2),如图5,若把Rt△EBF沿直线EF对折,B点对应点M恰落在y轴上,求此时点E坐标.

问题引导5类比上述问题研究,请结合数与形的角度提炼求解特殊点坐标问题的数学方法.

问题引导6线段CM的长度与哪些量有关系?如何从图形中读出蕴含的数量关系?

所以

学法分析从折叠矩形纸片,寻求折叠后特殊点的位置变化展开研究,在深刻理解数学模型特征的基础上,构造直角三角形和相似三角形求解相关线段长度,揭示折叠前后点坐标的数量变化与位置变化的规律,再次强化建模、转化等数学思想,通过类比和引申,实现解题策略的迁移.

3 完善、反思、迁移、揭示规律———深化提高

在问题解决中,通过分析和反思把方法形成了数学解题策略,从多角度来挖掘思维深度.从数学思想方法角度来完善和理解数学模型,对于探索发现的结论拓展变式,挖掘思维深度,由浅入深、层层深入,揭示双曲线背景下的几何图形变换的规律.

问题引导1你能判断△OMN的形状吗?如何计算线段OM,ON的长度?

问题引导2如何作辅助线实现由此及彼的思维链接?

问题引导1联想数学模型,构建Rt△EOM,Rt△POG,如何利用等积变换,寻求数量关系,建立方程求解问题?

问题引导2如何通过思想方法或解题策略的迁移来解决新问题?

教法分析变式问题,设置以矩形、正方形、三角形等相关问题为问题情境,帮助学生领悟几何模型的内涵,用联系的眼光审视诸几何图形特殊点位置的变化,以几何图形面积等积变换为桥梁,以求解特殊点坐标及相关线段长度为解题线索,引导学生逐步形成能思考,会思考的思维品质.引导学生学会用类比、迁移、综合等方法解决问题.

图像与性质 篇9

本节课是人教版《数学》九年级下册“二次函数的图像与性质”第四课时, 它是在学生已经学习过一次函数、反比例函数的图像与性质, 以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的, 它既是对之前所学函数知识的拓展, 又是对前几节课学习的二次函数y = ax2, y = ax2+ c, y = a ( x - h) 2的图像与性质内容的延续和深化, 是对二次函数特殊情形的研究, 为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础, 做好铺垫. 这节课充分体现了数形结合的数学思想, 而且无论是在知识上, 还是对学生动手能力的培养上, 都有着十分重要的作用.

二、教学目标

1. 会用描点法画二次函数y = a ( x - h) 2+ k的图像, 会应用二次函数y = a ( x - h) 2+ k的性质解题.

2. 掌握二次函数y = a ( x - h) 2+ k的性质, 掌握把抛物线y = ax2平移至y = a ( x - h) 2+ k的规律.

三、教学重难点

重点: 掌握二次函数y = a ( x - h) 2+ k的性质, 并要会灵活应用.

难点: ( 1) 二次函数y = a ( x - h) 2+ k与y = ax2的图像之间的位置关系;

( 2) 通过对图像的观察, 对比分析发现规律, 归纳出其性质.

四、教具准备

多媒体课件、投影仪.

五、教学过程

( 一) 复习回顾, 引入问题

1. 复习提问

师: 前面我们学习了哪几种类型的二次函数图像? 它们之间有什么联系?

生: 二次函数y = ax2, y = ax2+ c, y = ( a - h) 2的图像.

( 学生回答的同时多媒体展示出其联系)

c > 0向上平移

y = ax2———y = ax2+ c对称轴为y, 顶点是y轴上的 ( 0, c) 点

c < 0向下平移

h > 0向右平移

y = ax2———y = ( a - h) 2对称轴为x = h, 顶点是x轴上的 ( h, 0) 点

h < 0向左平移

2. ( 多媒体展示, 指名学生回答) 二次函数 y = -1x22的图像, 可以先向___平移___个单位, 得到函数y =-1/2x2- 1的图像; 二次函数y = -1/2x2图像向平移___个单位得到y = -1/2 ( x + 1) 2的图像.

3. 引入问题

师: 那二次函数y = -1/2 ( x + 1) 2- 1的图像又是什么样的呢? 你能说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标, 并画出其图像吗?

( 二) 探索新知

1. 师: 请同学们在纸上画出函数 y = -1/2 ( x + 1) 2- 12的图像, 指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.

列表:

2. 先让学生自己列表、描点、连线, 然后在投影上展示学生的作图, 作图出现的问题及时给予纠正, 同时多媒体展示作图过程, 然后让学生观察图像, 指名学生归纳出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.

3. 进一步提出问题

师: 我们通过画二次函数y = -1/2 ( x + 1) 2- 1的图像观察出它的顶点坐标为 ( - 1, - 1) , 如果不画出二次函数的图像, 你也能说出它的顶点坐标吗? 如y = 3 ( x + 5) 2- 2的顶点坐标是多少?

生: ( 有学生很快就说出) y = 3 ( x + 5) 2- 2的顶点坐标是 ( - 5, - 2) .

师: 为什么y = 3 ( x + 5) 2- 2的顶点坐标就是 ( - 5, - 2) , y = -1/2 ( x + 1) 2- 1的图像的顶点坐标就是 ( - 1, - 1) 呢?

4. 学生开始思考, 让学生分小组讨论交流, 不同小组发表自己的讨论结果.

生1: 从函数解析式来看, 因 ( x + 1) 2≥0, 所以 -1/2 ( x +1) 2≤0, 当x = - 1时, 函数y = -1/2 ( x + 1) 2- 1有最大值- 1, 所以函数图像的顶点坐标为 ( - 1, - 1) .

师: 还有没有不同的想法?

生2: 从平移的 观点来看, 把抛物线y = -1/2x2向左平移1个单位, 再向下平移1个单位, 就得到抛物线y = -1/2 ( x + 1) 2- 1.

抛物线

从而得顶点 ( 0, 0)

生3: 也可以把抛物线y = -1/2x2向下平移1个单位, 再向左平移1个单位, 得到抛物线y = -1/2 ( x +1) 2- 1.

顶点 ( 0, 0 )

教师可鼓励学生的发现.

5. 观察图像, 得出性质

师: 通过平移抛物线y = -1/3x2可得到抛物线y =-1/2 ( x + 1) 2- 1, 那抛物线y = a ( x - h) 2+ k与抛物线y =ax2有怎样的联系?

生1: 抛物线y = a ( x - h) 2+ k与y = ax2形状相同, 位置不同.

生2: 把抛物线y = ax2向上 ( 下) 向右 ( 左) 平移, 可以得到抛物线y = a ( x - h) 2+ k.

教师可补充: 平移的方向、距离要根 据h, k的值来决定.

师: 根据抛物线y = a ( x - h) 2+ k与y = ax2的联系, 同学们能总结出抛物线y = a ( x - h) 2+ k的性质吗? 让学生再次分组讨论并探究抛物线y = a ( x - h) 2+ k的性质.

各小组基本都能归纳出:

抛物线y = a ( x - h) 2+ k有如下特点:

1当a > 0时, 开口向上; 当a < 0时, 开口向下.

2对称轴是直线x = h; 3顶点是 ( h, k) .

对于二次函数y = a ( x - h) 2+ k的图像的增减性, 学生不太容易总结出来, 可在白板上分别展示出a > 0, a < 0时的图像, 根据函数图像引导学生得出结论.

( 三) 课堂练习 ( 多媒体展示下列各题)

1. 抛物线y = - 3 ( x + 4 ) 2+ 1中, 开口向___, 顶点为___, 对称轴为___, 当x___ =时, y有最值是___. 当x ___>时, y随x的增大而___, 当x___ <时, y随x的增大而___.

2. y = 4 ( x - 1 ) 2+ 3 的 图 像 可 由 y = 4x2的 图 像 向平 移___个 单 位, 再 向平移___个单位得到. 因此 y = 4 ( x - 1) 2+ 3 的 对称轴是___, 顶点坐标是 ___, 当 x___ 时, y 随 x 的增大而增大; 当 x ___时, y 随 x 的增大而减小; 当 x =___时, 函数 y 有最__ 值___ .

3. 设抛物线的顶点为 ( - 2, 1) , 且经过点 ( 3, 2) , 则它的解析式为___.

4. 已知抛物线 y = a ( x - h) 2+ k 的顶点坐标为 ( 1, 2) , 且 x = 2 时, y = 6, 则 a =___.

( 四) 课堂小结

这节课我们学会了什么? 师生共同总结抛物线y = a ( x h) 2+ k的图像的性质.

六、教学反思

在本节课的教学中, 教师不再一味地传授知识, 而是以问题的形式启发引导学生自己去发现、解决问题. 本节内容整合了学生已有的知识储备, 让学生自己在已有的知识上去发现新知, 从而掌握新的知识. 教学中让学生自己动手画图, 观察, 主动探求新知识, 同学之间分小组讨论交流, 体验知识的形成过程, 体会观察、分析、归纳解决问题的技能与方法, 这样不仅加深了学生对知识的认识与理解, 还培养了学生的动手实践能力及团结合作的意识. 在教学中, 教师应重视引导学生进行有条理的交流, 让学生能够清晰地阐述自己的想法, 让学生先在小组内讨论交流, 解除困惑, 然后将其讨论结果在全班交流, 对新知识达成共识. 本节在教学过程中遵循让学生积极参与到课堂教学中来, 并使动手动口动脑相结合, 让教学发挥最大效益, 使学生“学”有所思, “学”有所获. 在教学中, 不仅让学生经历知识探索形成的过程, 同时还使学生能用综合法加以证明, 进一步发展学生的推理能力.

因这节课是学生刚开始接触二次函数y = a ( x - h) 2+ k的图像与性质, 所以课堂练习都是性质的基本应用, 目的就是让学生进一步巩固和理解基础知识, 难度不易大, 对于没能掌握的学生要及时补救. 这节课还用了多媒体教学, 用投影仪展示学生的作图, 可以发现学生作图的问题有哪些, 便于教师指导学生, 共同纠正错误, 使学生印象深刻, 同时用多媒体课件动态演示函数图像的画法, 这样不仅给学生以直观的感受, 及时发现自己的问题, 使学生更容易接受和理解知识, 还降低了教学难度, 化难为易, 提高了教学效率, 节省了时间, 同时也激发了学生的学习兴趣. 但又因使用课件容量大, 速度快, 有少部分学生没能充分理解所讲的新知识, 还得靠课外去消化.

另外, 教学时应注意给学生足够的时间和空间去思考交流, 同是要让学生有机会畅谈他们的感受体验和收获, 给机会表达他们学习的困惑, 及时鼓励他们提出自己的建议和见解, 在课堂上真正体现以生为本的教育理念.

摘要：课堂教学改革提出已久, 我们的课堂也或多或少都在实践着新的教学理念, 然而, 在我们的课堂教学中停留在教师“教”上的仍然居多, 如何把课堂还给学生, 让学生切实从听教师讲、做练习等被动的学习中解脱出来, 把“教”转化为“学”, 调动学生的积极性, 主动参与到课堂, 放手让学生自主学习, 不断提高课堂效率呢?这需要每一个教师在教学实践中不断地探索, 在交流中相互学习, 相互促进, 共同探索提高.

图像与性质 篇10

在学校以“增进教学内容的情境性, 提高学生的情境理解力”为主题的教研活动中, 我通过亲身参与教学设计、上课、反思和评课, 对情境教学有了切身的思考和感悟.

一、创设情境与教学目标的制定

就数学学习的基本目标来说, 情境的设置应该是为了更好、更自然地引入学习主题, 激发学生的学习热情, 有利于教学秩序的顺利进行, 从这个角度来说, 情境创设的首要因素便是充分服务于教学目标.

《高中数学课程标准》对“函数y=Asin (ωx+φ) 的图像和性质”这一块内容的学习要求是:研究函数y=Asin (ωx+φ) (A>0, ω>0) 的图像, 再讨论函数的性质, 进一步领会分解与组合的思想方法, 知道A, ω, 的物理意义及其对函数图像的影响, 通过学习, 学生能够了解三角函数的众多实际应用, 学会用函数的周期性去观察和解释一些自然现象.

面对教学大纲的要求, 我开始冥思苦想导入的情境创设, 我不断问自己, 情境创设的目的是什么?与学习内容有必要的关联吗?对学习目标的达成有益吗?能促进学生求知欲望的形成吗?

周期性是三角函数特有的性质, 在生活和物理中, 具有周期性现象的事物也很多, 如潮汐、单摆、机械波等等, 最后我选择了摩天轮圆周运动的例子.选择摩天轮不仅因为它是学生最熟悉的生活经历, 而且也是一个容易“去生活化”贴近数学本质的例子.在老师的引导下, 学生可以不太困难地用函数y=Asin (ωx+φ) 来刻画摩天轮的运动规律, 并在此过程中明确A, ω, φ的物理意义, 意识到研究该函数的必要性, 求知欲望和学习兴趣自然形成.

二、建立问题“脚手架”, 提高学生的情境理解力

在引导学生关注生活场景中的数学特征之后, 提取适当的数学因子, 逐步转入数学学习, 这才是设置情境问题的本意.情境设置不应仅起到“敲门砖”的作用, 还应当在课堂的进一步展开中继续发挥重要的作用, 即应当成为相关学习活动的认知基础.

1.“去生活化”回归数学情境

在接下来的教学设计中, “掌握y=Asin (ωx+φ) 的图像与正弦曲线的变换关系.”是我要达成的教学目标.从数学教学的根本目的来说, 教师不仅要教学生怎么解题, 更重要的是要努力启发学生思维的灵动性, 不断提升他们的思维品质.因此, 将情境问题“去生活化”回归数学“本质化”是我接下来的设计思路.

将摩天轮问题“去生活化”之后, 摩天轮的情境便自然转化成了数学本质的情境:如何实现函数图像的变换.

我从摩天轮的例子中学生求出的具体解析式入手, 以抛出问题的形式, 让学生自主探究的如何实现函数图像的变换.在函数图像的变换中改变A, ω, φ的顺序对函数图像的影响是本节课的难点.在第一课时, 学生已经掌握了A, ω, φ三者单独变换对函数图像的影响, 本节要解决的问题是A, ω, φ三者综合变换对函数图像的影响.如何突破这个难点呢?我决定把这个问题留给学生自己探究, 让学生自己去发现变换的本质, 从而总结出一般规律.

2.营造美好的课堂情境

一个教育家这样形容, “课堂应是向未知方向挺进的旅程, 随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景, 而不是一切都必须遵守固定路线而没有激情的行程.”要营造出这样美好的课堂情境, 教师则应是这个旅程里智慧的向导.如何做好这个向导呢, 在几次“磨课”的过程中我也收获了一些有效的经验.

在设计探究问题时, 我按照循序渐进的原则, 力求建立一个问题“脚手架”, 不断把学生的思维能力从一个水平提升到另一个新的更高水平.

问题:①当P0点的初始位置在x轴正半轴时, 写出y关于t的函数关系式undefined

②该函数图像可由y=sint的图像作怎样的变换得到?

③若P0点的初始位置为undefined, 将自变量设为x, 则函数的解析式为undefined, 该函数图像如何由undefined的图像通过变换得到?

这三个问题构成一个问题序列, 有了第一节课的基础, 学生可以不太困难的做出解答, 我的设计意图是引导学生完成一种由y=sinx到undefined的变换, 然后让学生自己探究新的变换方法, 在学生回答完第三个问题后, 我强调平移变化时平移量要着眼于自变量x的变化, 为后面难点的突破做好准备.

④刚才我们通过先伸缩变换再平移变换的方法将函数y=sinx的图像变换为undefined的图像, 例如先变换A, 然后变换ω, 再变换φ, 如果在变换时改变A, ω, φ的先后顺序, 怎样将y=sinx的图像变换为undefined的图像?

在两次试讲的时, 我发现学生在探究的过程中一直碰到这样一个问题:y=sinx (向左平移1个单位) →y=sin (x+1) (横坐标变为原来的undefined倍) undefined这样的变换方法对吗?错在什么地方了?在我的教学设计中, 并没有把这个问题作为分析的难点, 而且我想当然地认为这个问题在学生学完第一节内容时就可以解决了, 为了保证课堂进度, 便有意去回避这个问题.可是, 当我按照自己的设计完成了教学任务时, 总觉得这不是我想要的理想情境.在课后和教研员的探讨中, 我意识到:真正美好的课堂情境不是教师创造的, 学生才是课堂的主角, 应该让他们充分自主地参与实践, 把问的权利交给学生, 把做的过程也交给学生, 这样, 学生的学习能力才能真正提高, 真正促进教学的有效性.

再上课时, 当小蒋同学出现这个疑惑时, 我便把解惑的权利留给了学生, 我问他们:到底这种变换方法正确吗, 能不能做一个检验支持你的结论?学生接着想到通过列表画图来检验, 当学生自己动手列表之后, 便发现, 横坐标的变换也只是针对自变量x的变换, 于是找到了正确的变换方法:“y=sinx (向左平移undefined个单位) undefined (横坐标变为原来的undefined倍) undefined.”

通过自己发现错误并解决问题, 学生获得了由“惑”到“解惑”的体验, 真正通过自己的思考来学习数学, 从而提高了探索求知的能力.在成功解决完这个问题之后, 让我没有想到的是, 学生遇到本节课的另一个难点“改变周期变换和平移变换的顺序时, 平移量是有区别的”时, 没有遇到什么障碍就解决了, 这是因为学生在前面的问题中收获了答案:通过列表画图检验发现, ω和φ的变换都是只针对自变量x的变换.而此时, 我也为收获了自己的答案而暗暗欣喜.

⑤如何由函数y=sinx的图像通过变换得到函数y=Asin (ωx+φ) 的图像?

最后这个问题是对前面探究内容的归纳, 完成这个问题后, 我的“过程与方法目标”:“领会化归思想并培养学生全面分析、抽象、概括的能力”也有效达成了.

通过多次“磨课”, 我深刻的体会到, 只有做好这个“智慧的向导”才能营造一个创新、民主、互动的课堂——真正美好的课堂情境.

3.再入情境, 学以致用

情境作为数学课堂教学的一个具体素材, 不仅可以引发学生对某个数学知识的学习, 还可以帮助学生更深刻地理解所学内容, 基于这个想法, 我设计了最后一道应用题:

已知摩天轮距离地面的高度为108米, 直径98米, 坐在吊厢内的游客转一圈需要20分钟.在摩天轮转动的过程中, 可将吊厢看作质点.

(1) 某游人从M点进入吊厢后, 摩天轮转动到8分钟时, 该游人距离地面的高度是多少?

(2) 当吊厢距离地面的高度大于83.5米时, 可以眺望到世博园, 请计算游人有多少时间欣赏世博园的风光.

(3) 若摩天轮的转动减慢到40分钟一圈, 游人欣赏世博园风光的时间可以增加到多少分钟?

图像与性质 篇11

关键词：正弦型函数；图像；性质；探讨

中国分类号：O174

正弦型函数的图像和性质，分别从数和形的两个不同侧面反映了其变化规律，它们之间是密切联系的。函数的定义域和值域，反映在图像上是曲线在坐标平面的展开范围；函数的单调性反映在图像上是曲线的上升和下降情况；函数的周期性，反映在图像上是曲线有规律的重复出现；函数的奇偶性，反映在图像上是曲线关于原点和y轴的对称性；函数的最大值和最小值反映在图像上是曲线的最高点和最低点。其在物理学上具有广泛应用，也是数学中的一个重点和难点，职高学生基础差，接受起来更是难以理解，鉴于此笔者在教学中总结了以下几点，或许能给学习者带来点帮助。

一、基础知识

1、函数y=Asin（wx+φ）（A>0，w>0），与y=sinx函数图像间的关系

（1） y=sinx 所有点的横坐标变为原来的1/w （纵坐标不变） y=sinwx 所有点向左或向右平移︳φ︳/w 个单位 y=sin（wx+φ） 所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） y=Asin（wx+φ）

（2） y=sinx 所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） y=Asinx所有点的横坐标变为原来的1/w 纵坐标不变 y=Asinwx所有点向左或向右平移︳φ︳/w个单位 y= Asin（wx+φ）

虽然教材上讲的很清楚但学生就是不好接受基于上述关系及三角函数图像及性质笔者归纳了如下解题方法就是直接画图像仅供参考，当然更适合复习或探究后的归纳总结。

2、因为正弦函数是奇函数，所以正弦函数和正弦型函数图像都是中心对称图形，故可直接一找中心为（-φ/w，0）即起始点，二求周期T=2π/ w 然后找末尾（-φ/w+T，0）即起始点加一个周期T，再找半个周期点（-φ/w+T/2，0），再找四分之一个周期点（-φ/w+T/4，A），再找四分之三个周期点（-φ/w+3T/4，-A）三找最大值A最小值-A最后连线即可画出一个周期内函数的图像

例1、作函数y=2sin（2x+π/3）的一个周期的简图

导析：函数的中心为（-π/6，0）周期为π，最大最小值分别为2、-2故起始点（-π/6，0）末尾点为（5π/6，0）半个周期点（2π/6，0）四分之一个周期点为（π/12，2）四分之三周期点（7π/12，-2）最后连线即可

3、利用上述找中心求周期和最值的思路还可直接解决平移问题、求函数表达式和单调区间

例2：将函数y=sinπx的图像向右平移1/2个单位，平移后对应的函数为（ ）

A y=sin（πx+1/2） B y=sin（πx-1/2）

C y=cosπx D y=-cosπx

导析：函数y=sinπx的中心为（0，0）向右平移1/2个单位中心为（1/2，0）故函数表达式y=sinπ（x-1/2）即y=sin（πx-π/2）选D

例3：已知函数y=Asin（wx+θ）（A>0，w>0，0<θ<π）的两个邻近的最值点为（π/6，2）、（2π/3，-2）则这个函数的解析式为_______

导析：由最值点可知A=2，半个周期T/2=2π/3-π/6，解得T=π即2π/w=π所以w=2离y轴最近的一个中心的横坐标-θ/w为最高点的横坐标减T/4即-θ/2=π/6-π/4解得θ=π/6故函数的解析式为y=2sin（2x+π/6）

二、综合应用

例4：求函数y=sinx cosx+ cos2x- /2的周期、最值及单调区间

导析：利用倍角公式sinx cosx= sin2x、 cos2x= （cos x+1）/2先降次从而化简函数。函数可化为y=sin2x /2+ cos2x/2既而化简为y=sin（2x +π/3）下略同例4

例5：求函数y=2sinx cosx+2sinx+2cosx+3的值域。

导析：本题和例5不同，尽管次数高，但题目中还有一次项，利用倍角公式降次后仍无法解决，但由2sinx cosx和2sinx+2cosx联系到（sinx+ cosx）2=1+2sinxcosx 2sinx+2 cosx=2（sinx+ cosx）故函数可化为y=（sinx+ cosx）2+2（sinx+ cosx）+2既而再化为y=[ sin（x +π/4）+1]2+2故可看成是关于 sin（x +π/4）的一元二次函数而 sin（x +π/4）∈[- ， ]所以当 sin（x +π/4）=-1時ymin=1当 sin（x +π/4）= 时ymax=4+2 故原函数值域为[1，4+2 ]

三、强化训练：

1、函数y=sinx的图像关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为_______

2、已知函数f（x）=2sin2x+sin2x-1（x∈R）

（1）求函数的最大值

（2）求函数取得最大值时x的集合

3、要得到y=sinx的图像，只需将函数y=cos（x-π/3）的图像向右平移_______单位

4、函数y=2sin（2x +5π/2）的图像的对称轴方程为_______

5、若将某正弦型函数的图像向右平移π/2以后，所得图像的函数式为y=2sin（x +π/4），则原来的函数表达式为（ ）

A y=2sin（x +3π/4） B y=2sin（x +π/2） C y=2sin（x-π/4） D y=2sin（x +π/4） -π/4

另：当A<0或w<0时我们可以利用y=Asinwx的奇偶性转化y=-Asin（-wx）再利用y=Asinwx与y=-Asinwx关于x轴对称来研究函数图像及性质

综上所述，要想学好三角函数，就需要熟练掌握其图像的变化规律，诱导公式，和角公式，如y=asinx+bcosx= sin（x+Ф）等常见公式。

以上只是笔者在教学中的一些经验总结，不妥之处望提出宝贵意见，大家共同提高，作为教师就应该有深入钻研教材的精神，真正变教材内容为教学内容，使师生将课本知识内化为自己的知识，逐渐养成习惯，培养学习能力，从而提高分析和解决问题的能力。

参考文献

[1]《山西省中等职业学校对口升学复习指导.数学》（复习资料）

图像与性质 篇12

一般地, 函数y=f (x) 的图像和它的反函数y=f-1 (x) 的图像关于直线y=x对称, 并且y=f (x) 与y=f-1 (x) 具有相同的单调性.因此, 利用这一特征, 在解决函数y=f (x) 与函数y=f-1 (x) 的交点问题时, 常将问题转化, 使解题过程得以简化.

性质1 单调增函数与其反函数若有交点, 则交点必在直线y=x上.

证明 用反证法.

假设函数y=f (x) 与其反函数y=f-1 (x) 存在不在y=x上的交点A (a, b) , 由互为反函数图像性质, B (b, a) 也为y=f (x) 与y=f′ (x) 的交点.

不妨设点A (a, b) 在y=x的左上方, 则a<b=f (a) , B (b, a) 在直线y=x的右下方, 且b>a=f (b) .故有a>b时f (b) >f (a) , 即y=f (x) 为单调减函数.这与y=f (x) 单调递增矛盾, 假设不成立.

所以单调递增函数与其反函数若有交点, 则交点必在直线y=x上.

例1 解方程$\sqrt{2x+3}=\frac{x{}^2-3}{2}.$

解 令$y=\sqrt{2x+3}$, 则$x=\frac{x{}^2-3}{2}‚$

∴其反函数为$y=\frac{x{}^2-3}{2}.$

∵原方程的解为函数$y=\sqrt{2x+3}$与其反函数$y=\frac{x{}^2-3}{2}$的交点横坐标,

又$f(x)=\sqrt{2x+3}$的定义域是$\left[-\frac{3}{2}‚+\infty \right)$,

则函数$\sqrt{2x+3}=\frac{x{}^2-3}{2}$可转化为

∴x=3或x=-1.经检验x=3是原方程的根.

例析 利用这种方法对方程的求解达到最简化, 但必须注意的是y=f (x) 必为增函数, 否则不成立.

性质2 单调减函数与其反函数若有交点, 则交点在直线y=x上或交点关于直线y=x对称.

例2 求y=-x3与$y=-\sqrt[3]{x}$的交点.

解 ∵y=-x3与$y=-\sqrt[3]{x}$的交点横坐标为方程$-x{}^3=-\sqrt[3]{x}$的根, 因此若设-x3=x, 得x=0, 交点为 (0, 0) .

事实上, $-x{}^3=-\sqrt[3]{x}$的根为x=0或x=±1.

∴交点为 (-1, 1) , (0, 0) , (1, -1) .显然二者不一样.

究其原因是函数y=-x3为R上的减函数造成.

由上可知, 求函数y=f (x) 与其反函数的交点 (或相关) 问题时, 我们首先判断函数y=f (x) 的单调性, 若为增函数时, 可将原题简化为求f (x) =x的根来确定交点的横坐标, 从而简化计算过程.

参考文献

[1]赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社, 2005.