快速计算方法

快速计算方法（精选12篇）

快速计算方法 篇1

0 引言

有限元广泛应用于实际工程中的各个领域, 目前存在两个制约有限元进一步在应用中推广的关键问题:一是计算效率问题;二是计算准确度问题。由于计算准确度问题涉及有限元理论本身, 故本文暂不考虑计算准确度的问题, 仅集中讨论如何有效缩短有限元计算时间这一关键问题。

到目前为止几乎所有的有限元计算程序都是利用计算机的中央处理器 (CPU) 来进行的, 有限元计算过程需要反复迭代计算, 一个复杂的问题需要花很长的时间来进行计算。这对于实际工程应用而言是无法容忍的缺点, 也完全不能满足实际工程的需要。

为了提高计算速度, 前期科研人员已经做了大量的研究工作, 包括算法改进 (如减基法, 使计算速度提高百分之几十) 和硬件的改进 (使用CPU多核并行计算以提高计算速度) , 但是计算效率的提高还是不能完全满足实际工程的需要。

如果能够在大型计算机上利用多CPU分块并行计算的基础上将并行程度更进一步提高, 就有希望解决计算时间这一制约有限元进一步推广应用的瓶颈问题, 本文提出了一种利用图形处理器 (GPU) 进行有限元计算加速的方法。利用GPU实现计算加速已经应用到了很多领域[1,2], 特别是图像处理领域尤其突出[3,4]。近几年科学计算也初步应用到了GPU[5], 但是到目前为止还没有文献提出利用GPU加速有限元成形仿真模拟计算。本文中, 将数据从CPU传到GPU中定义为传入, 而将数据从GPU传到CPU称为传出, 后文如不加特殊说明, 则传入、传出的含义即为定义所述。

1 有限单元计算GPU实现

1.1 GPU计算流程

GPU运行的代码是采取流式编程模式进行编写的, 这和CPU的编程模式完全不一样。在流式编程模式中, 所有数据都表现为流。流的定义如下:具有相同数据类型的数据的有序集。对于需要求解的有限元问题而言, 所包含的单元具有相同的数据类型, 单元形状即使网格有四边行和三角形混合的情况, 也还是将三角形网格作为退化的四边形网格处理的, 因此可以将所有单元的数据组成一个具有相同数据类型的有序集, 构成了符合GPU特点的数据流。

根据有限元理论可以得知[6,7,8], 每个单元计算时有很大一部分计算不需要与其他单元进行数据交换, 每个单元计算形成了一个闭环, 这非常符合并行计算的要求。因此, 有限元不需要交换数据的这一部分计算是符合流式编程要求的, 完全可以通过流式编程来实现在CPU中只能通过循环才能实现的功能。

图1是GPU图形处理的流程图, 为了使计算也能在显卡上实现计算功能, 必须对这一流程进行改变, 图2就是改变后的GPU计算流程图, 从图2中可以看出, 对图1作了很大的改动, 简化了流程, 原有的顶点处理程序被弱化至省略了, 而全部的通用计算被移植到片元处理阶段, 直接通过纹理的方式将需要计算的数据传入片元处理程序进行渲染方式来实现, 单元计算渲染过程也简化如下:

(1) 创建并绑定一个离屏缓存 (FBO) 为当前绘制目标, 与单元节点坐标纹理建立关联, 色彩缓冲中的值分别更新为视点坐标系下的单元编号数组、单元节点对应关系数组、单元节点初始坐标值、单元节点初始速度、边界条件。

(2) 索引渲染单元需要的数据。在着色器中, 从单元编号数组纹理中读取单元号, 根据单元编号从单元、节点对应关系数组中读取该单元所包含的节点编号, 按照节点编号分别对单元节点速度、位移、边界条件纹理进行索引, 得到渲染该单元时所需要的全部数据。

(3) 绘制单元。根据有限元理论, 计算所有单元在成形过程中的参数变化, 计算完成后输出计算结果。

1.2 数据映射

要利用GPU实现并行计算功能, 必须将原来适合CPU计算的数据结构转换成适合GPU计算的数据结构, 这个转换过程在计算开始前就必须完成。CPU计算时基本都是利用数组来存储数值的, 在GPU中本文采用了RGBA、RGB这两种格式的纹理作为数据交换的载体, 单元节点的数据从CPU映射到GPU的具体过程如图3、图4所示, 图3、图4中小括号中的数值代表单元、节点数组的下标, R、G、B、A表示四条颜色通道, 也是数据存储的地点。从图3、图4中可以看出原来包含单元、节点信息的多维数组经过两次映射变化后分别被存入了不同纹理单元的颜色通道 (R、G、B、A) 中, 计算过程中再分别取出所需要的数据, 这样就将原来数据转换成了图像格式的数据。计算完成后单元、节点的信息也要通过这种映射方式将信息都存放到纹理的颜色通道中, 图4说明计算结果经过两次映射传到CPU中, 和数据传入映射操作刚好是相反的, 计算得到的单元节点信息数据需要从纹理映射到数组中, 存储在纹理颜色通道 (R、G、B、A) 中的单元节点信息数据通过两次映射被转换都成了储存在数组中的数据。通过这两种反向数据映射操作, 数据就成功在GPU与CPU之间进行了交换, 达到了CPU数据格式与GPU图像数据格式的相互转换目的。

1.3 GPU、CPU计算流程对比

显式有限元问题求解过程是通过一定次数的迭代求解出结果, 在CPU中是在一个结束计算的条件限制下, 通过嵌套循环对每一个单元进行迭代使问题得到求解, 对CPU计算程序不同部分的计算时间测试研究表明, 要缩短计算时间的较理想状态是将时间积分开始后的全部循环都并行化。受到GPU程序本身特点的制约, 如果求解过程中多次出现以下两种情况会严重影响计算效率:①GPU编程对处理过程的一致性要求很高, 分支判断会严重影响计算效率;②GPU要求有较大的并发度来保证性能, 不适合小批量的计算任务。

通过测试发现, 内力求解过程中分支判断少, 而且内力求解是针对所有单元都必须进行的一个过程。单元内力计算部分的迭代过程花费的时间相对比较长, 有限元求解的大部分计算任务就是利用循环求解单元内力, 只有缩短求解每个单元内力所需时间, 才能提高整个求解过程计算效率。

从上述分析可以看出单元内力求解过程很适合并行计算, 因此本文就采用了只将内力求解过程并行化处理的方法。CPU程序计算与 GPU程序计算流程分别见图5、图6。对比图5和图6, 两者最大的区别就是单元内力计算方式不同, CPU是通过循环嵌套方式求解的, 而GPU是通过同时对所有单元求解内力增量然后再将计算结果传回到CPU的方式完成计算的, 通过这种GPU、CPU相互配合的方式, 利用GPU的编程特点, 将有限元内力增量求解过程实现了并行化。

1.4 内力增量并行求解及共节点问题处理

单元内力增量求解过程并行化示意图见图7, 一台PC机的GPU包含了N个流处理器 (相当于CPU) , 从图7中可以看出, 通过硬件自身设计, 内力求解过程利用GPU实现了并行计算, 利用GPU计算也涉及不同单元共节点的单元号、节点号等数据。从图7可以看出, 内力增量计算过程也可以人为地分成两部分, 一部分是计算过程并行进行, 所有计算任务完成后需要把计算结果传出到CPU中;第二部分就是GPU与CPU之间的数据交换过程, 这个过程只有当所有单元内力增量计算完成后才会开始, 也就是说在GPU的缓存中就实现了所有单元内力增量计算同步, 不同单元共节点所有信息被保留到了缓存不同位置, 当计算得到的数据被传到CPU后再利用原来的串行计算代码将所有单元节点信息更新, 这个更新过程完全是在CPU进行的, 不涉及GPU运算。

仿真过程中只要保证所有单元的计算能同步, 共节点的更新就不会引起误差。CG (C for Graphic) 这种开发工具本身有一项功能, 就是保证所有片元程序都全部完成后, 才会将计算结果从GPU的缓存区通过映射机制映射到CPU的缓存区, GPU同步机制见示意图8, 从图中可以看出, 只有当所有的片元计算程序全部完成后, 存储在GPU缓存的数据才会映射到CPU缓存中, 这个过程是由开发工具本身自动控制完成的, 不需要新加代码。从GPU传出的数据包括每个单元、节点信息, 节点内力增量等信息, 共节点同步更新也得到了保证, 避免了边界问题的出现。

2 算例

图9是某型号汽车顶盖板料成形示意图, 该零件是对称的, 取一半作为研究对象, 用湖南大学汽车车身设计及制造国家重点实验室设计的软件生成凹模、冲头、压边圈、板料, 分别利用GPU、CPU并行求解这一利用壳单元模拟板料成形的有限元计算问题, 在本文中利用前者计算时采用的开发工具语言是可编程序的着色渲染语言CG, 而利用后者计算时所采用的开发工具语言是C语言。

2.1 GPU求解过解

板料单元数量分别取不同值, 通过研究计算过程中变量中心地址, 本文设单元编号为in、节点号为gix、厚度方向的应力数值为gsig1～gsig6, 纹理大小设置成m0*n0;初始位移为gx、速度为gv, 纹理大小设置成m1*n1;考虑到输出计算结果的要求, 将视口大小设置成了m2*n2。

将单元节点的初始位移gx、速度gv、单元编号in、该单元包含的节点号gix、时间步长gdt、沙漏控制参数gqhg、杨氏模量gyms、泊松比gpro、厚度方向的应力数值gsig1～gsig6以及在计算过程中需要输出到CPU保存的中间变量都定义完成后按照前述的方法传入, 渲染过程中不同的单元根据这些变量各自的纹理中心坐标查找到相应的值, 完成片元渲染过程, 输出计算结果。

2.2 计算结果及分析

分别利用GPU和CPU模拟板料成形过程, 图10为板料冲压成形结果图, 图11为板料编号为41的节点在X、Y、Z三个方向位移计算结果对比图, 两者计算的结果基本一致, 相对误差最大不到5%, 基本能满足实际工程的要求, 两者误差产生的原因分析如下:

(1) 通过纹理向GPU传入数据时纹理格式只能是单精度浮点数, GPU计算完成后把计算结果传出到CPU中也有同样的问题, 也只能是单精度浮点数, 这会造成计算精度的损失。

(2) 利用GPU计算过程中凡是涉及开方、对数等运算时只能用单精度浮点数计算, 尽管涉及加、减、乘、除是可以利用双精度浮点数计算的, 这样也会造成精度的损失。

(3) 尽管最新的显卡NVDIAGTX285声称是双精度的, 实际上是不能完全满足双精度要求的, 是伪双精度, 这在计算中也会造成一定的误差。

CPU与GPU硬件型号分别为Intel Core (TM) 2 Quad CPU Q8200 2.33GHz和NVIDA GeForce GTX 285, CPU代码计算时只用到了CPU的一个核, 表1是同一个算例仿真成形计算完成后GPU、CPU分别消耗的时间及两者的比值对照表, 可以看出利用GPU的计算效率明显要比利用CPU计算的效率高很多。

3 展望

利用GPU加速计算还有一些问题需要进一步研究:

(1) GPU与CPU之间的数据通讯问题, 当单元数量不够大时, 这个时间对整个过程的影响往往起主导作用, 这可以从计算实例的结果看出, 这是设计数据结构时需要进一步研究的问题, 以达到将这种影响降低到最小的目的。

(2) 在利用GPU 的求解过程中, CPU与GPU每次循环都必须更新节点位移、速度、厚度方向的应力数值gsig1～gsig6等值, 计算完成后得到的中间结果又必须传回到CPU中参与接下来的计算, 相当于一次迭代循环中GPU与CPU之间发生了两次数据交换, 这也影响了计算速度。提高数据传输效率以及尽量减少两者之间的数据交换可以从硬件的改进和算法的优化两个方面着手, 而算法的优化应该是接下来考虑的重点。

(3) 如何提高GPU计算精度。要提高精度一方面是要从算法着手, 改进算法主要是考虑计算过程中大数和小数的处理。

参考文献

[1]Meghashyam P M R, Thomas R K, Thomas M.Tucker Least-squares Fitting of Analytic Primi-tives on a GPU[J].Journal of Manufacturing Sys-tems, 2008, 27:130-135.

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[3]Kipfer P, Segal M.A GPU-based Particle Engine[C]//Proceedings of the ACM Siggraph/Euro-graphics Conference on Graphics Hardware.NewYork, 2004:115-122.

[4]Neve W D, Rijsselbergen D V.GPU-assisted Deco-ding of Video Samples Represented in the Y CoCg-R Color Space[C]//Proceedings of the 13thAnnual ACM International Conference on Multime-dia.New York, 2005:447-450.

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[6]冯康, 石钟慈.弹性结构的数学理论[M].北京:科学出版社, 1981.

[7]斯特朗G, 菲克斯G J.有限元分析[M].崔俊芝, 宫著铭, 译.北京:科学出版社, 1983.

[8]Ciarlet P G.The Finite Element Method for EllipticProblems[M].North-Holland, Amsterdam:Socie-ty for Industrial and Applied Mathematic, 1978.

快速计算方法 篇2

(2)注意观察口算题目的特征。如：398+45，可把398看作400的整数，去加45，然后再把多加的2减去，这样心口合一，计算起来就又快又准确。这一点我认为非常重要，但在我们的学生当中却很难做到，他们总是一拿到题目，就开始做，总觉得观察没有必要，还很浪费时间呢!在这里，我们老师则应特别注意，要做到勤提问，常提醒，严把关。

(3)做形式多样的口算练习。口算能力的形成，要通过经常性的训练才能实现，且训练要多样化。每堂课上安排练。每节数学课教师视教学内容和学生实际，选择适当的时间，安排3―5分钟的口算练习，这样长期进行，持之以恒，能收到良好的效果。多种形式变换练。 例如：视算训练、听算训练、抢答口算、口算游戏、“对抗赛”、“接力赛”等等。

(4)持之以恒的训练。俗话说，要想练就一身过硬的本领，就必须拳不离手，曲不离口，口算能力的培养也是如此。它是一个日积月累的过程，因此要每天根据不同的训练内容，课前5分钟的时间进行训练，让每天口算、听算训练成为学生的习惯。这样常抓不懈，才会使我们的训练达到理想的效果。

3教师应重视问题情景的设计

当新的学习与学生原有的知识水平之间产生认知冲突时，这种冲突往往就会成为诱发和促进学生思维发展的动力，使他们产生探究新知识的愿望。教师对问题情景的设计就可以为学生思维的发展提供最佳的平台。并且课堂上开展问题情境还能更好地促进师生间的互动，既有利于老师对学生掌握知识情况的了解，又能调动学生学习的积极性，从而提高课堂效率。当然教师在设置问题情境时，最好是从学生熟悉的生活情境和生产实际的角度出发，这样才能保证学生有相关的观念来理解问题，才能使学生主动积极地建构他们的数学认知结构。

问题情境是最常见和应用最广泛的一种情境，是启迪思维激发兴趣的重要途径。教师精心设计的问题情景可以激发学生自己去发现原先的错误认识，使学生原有的认知观念平衡被破坏，从而想要达到新的平衡。教师要时刻注意去引发学生出现观念上的冲突，故意去打破学生原有认知观念上的平衡，让学生产生观念冲突，引导学生去自主探究，逐步深化学生的认识，激发学生的求知欲望，从而进一步提高学生的数学能力。

云计算将进入快速发展期 篇3

10月11日IBM宣布收购网格、集群计算软件厂商Platform。两日之后，又宣布和云存储服务商Nirvanix以OEM形式达成合作伙伴关系，将Nirvanix 的云存储技术集成到IBM SmartCloud中，并作为IBM SmartCloud企业存储服务产品组合的一部分。无论是Platform还是Nirvanix,都能够为云计算和云服务提供高增值技术。IBM的技术战略常常被视为IT市场发展的风向标。在这么短的时间内两次针对云进行收购和技术合作，这表示IBM看好“云”，认为“云”市场将有非常快速的发展，“云”收获的时代即将到来。

虽然IBM在Platform收购中没有提到其与云战略的相关性，但Platform技术确实能让IBM在云端为大型企业级客户提供高性能计算。IBM SmartCloud企业存储服务整合Nirvanix云存储技术之后，所提供给企业的解决方案能够支持数百万用户、数十亿目标和容量高达EB级的数据，是IBM现有的具有高安全性的云虚拟服务器环境的有力补充。依据IBM和Nirvanix达成的OEM协议，IBM产品在涵盖Nirvanix的云存储技术之后，使用IBM产品的客户能够从全球的任何地方上传任意规模的文件并对之进行访问。而采用该产品之前，客户不得不在多个地理区域多次上传同一文件，且文件大小受限。IBM这种设计使客户能够在多个冗余的地点持续访问数据，从而实现了最佳的性能和业务连续性。

从企业战略咨询分析师的角度，相信IBM的战略布局和资源整合策略确实是IT领域战略规划很好的教科书。精准的定位市场、以具有明显技术细分优势的产品或服务切入市场、设定较高的技术准入门槛，这些战略举措不仅有助于IBM快速占领新生市场战略制高点，同时保证了其可持续竞争优势和利润空间。从下面的云计算准入/云服务SLA象限图上，当很多厂商还在考虑“哪块云彩有雨”时，IBM已经完成在云端提供HPC和高增值二级存储服务的布局，掌控了利润最丰厚的云计算高端市场。预计，IBM在云端提供一级存储服务，应该是其云计算高端战略的下一个布局。

微处理器的快速开方计算方法 篇4

1 算法原理

假定被开方数为s, 首先预估其开方结果为p, 根据算法原理, 则

计算结果作为迭代值, 代入上式p重新进行计算

按上述方法迭代计算n次, 即可获得高精度的计算结果

例如对49 964进行开方计算, 其实际开方数应为223.526 284 8。计算时选择220作为初值, 根据上述迭代式 (1) ~式 (3) , 计算结果如下

从上述计算结果可以看出, 第三次计算即可得到正确结果, 并且计算过程是收敛的。上述计算方法对浮点计算和整数计算都适合, 如对49 964进行整数开方计算, 初值选择220, 根据迭代公式计算如下

一次计算即可获得正确计算结果。选择合适的初值将加快迭代计算的收敛速度, 对计算过程会产生重要影响, 如对206:2:236的平方数进行开方计算, 选择220作为初值, 计算一次的结果, 如表1所示。

初值偏离度指初值相对最终开方计算结果的偏差程度。如果初值偏离度能控制在10%以内, 则浮点数一次开方计算的结果误差是可以接受的, 而整数开方一次计算结果基本与实际开方数一致, 如果初值偏离度过大, 则需要两次或多次开方计算。

2 算法应用及验证

从上述分析可以看出, 使用此方法进行开方计算时, 初值的选择对计算过程将产生较大影响。为加快开方的运算速度, 应尽量减少迭代计算次数, 必须对初值进行合理选择。初值选择时, 应尽量降低其偏离度, 以下主要分析单片机及DSP等微处理器上经常用到的整数开方计算, 分析结果对浮点计算同样适合。

电力控制系统中电压等检测量都控制在一定范围内, 近似等于额定值, 波动一般不大, 这时可选择其额定值作为初值, 显然初值偏离度不会太大。计算过程和效果可参考式 (5) 和表1, 即j= (s/p+p) 1, 一次计算即可获得准确结果。

如果控制系统中某个检测量周期采样间隔较小时, 则该检测量在相邻两个采样周期内的变化一般不大, 此时可选择其上一周期的计算结果作为本次计算的初值, 其初值偏离度一般也不大, 一次计算即可获得正确结果, 也可视情况采用两次计算, 即

如果控制系统中的检测量变化范围较大且周期采样间隔较大时, 此时计算初值无法直接确定。根据被开方数大则其初值也大的基本原理, 将自然数进行分段, 每段数据选择不同的初值。按此方法进行开方计算时, 显然初值的偏离度也很大, 需要使用多次迭代计算。为便于程序编制, 一般可按“对每段数据开方计算时最大迭代次数相同”原则, 根据微处理器具体情况 (8位、16位、32位) , 通过数学分析和经验验证, 对数据进行分段, 并给出对应初值, 制作数据分段表。显然, 数据分段划分越细, 则初值越接近最终计算结果, 初值偏离度会越小, 迭代次数也会越少, 但在程序计算时, 如果分段表过于复杂, 同样在判断初值时, 也会牺牲机器周期, 此时可在分段细分程度和迭代计算次数两者之间进行权衡。下面提出一种典型处理方法, 首先根据开方数大小选定其初值, 初值的确定原则如表2所示。

计算时, 根据表2原则使用if判断语句对开方数大小进行判断, 并确定开方计算的初值。根据上述原则, 基本上顺续 (不使用循环语句) 进行三次计算即可获取正确结果, 例如对1 048 576 (实际开方数为1 024) 进行开方计算, 初值选定为2 048, 则计算结果为:

上述分段原则适合3次开方计算, 使用时也可根据具体情况制定更加贴合实际需要的2次算法, 4次算法或一次算法原则。另外按上述原则进行编程计算时, 计算精度和准确性较高, 因此无需进行偏差检验。

3 算法中隐含的问题说明

根据上述开方算法可以快速计算得到操作数的开方结果, 但在使用此算法时, 有两个问题:首先整数开方算法具有整数除法的特征, 也即计算结果不具4舍5入的特性, 计算结果的小数部分将自动截止。如4 094的开方结果为63.984 373 09, 4舍5入后的整数结果为64, 使用整数开方算法的计算结果为63;其次, 对自然数m、n, 假定m=n2, 如果对m-1进行整数开方计算, 计算过程最终将不收敛, 会出现一个幅值为1的震荡过程。如752=5 625, 则对5 624求取开方数时, 计算结果如下:

从上述计算过程可以看出, 进行三次开方计算时结果为75, 进行4次开方计算时结果为74。此时两种结果都可以接受。在对计算结果精度要求较高场合, 如果想对上述计算结果进行校正, 可判断s/jn+jn最后一位是否为1。

如果x=0, 对计算结果不进行修正, 如果x=1, 则修正计算结果。

如对65 278~65 282进行开方计算, 初值128, 计算结果如表3所示。

从计算过程可以看出, 如果实际开方数第一位小数如果为5, 则对计算结果进行“5入”修正;实际开方数的第一位小数为4, 进行“4舍”修正, 对实际开方数小数最接近0.5的那一个被开方数, 则进行“5入”修正。修正的算法与4舍5入原则基本一致, 计算误差小。

4 结束语

基于微处理器的传统开方算法计算周期长, 计算效率低, 利用上述开方算法只需进行几次简单的整数除法等运算, 即可完成开方计算, 计算结果具有较高精度, 因此可大幅减少开方计算的周期, 提高计算效率。本算法对硬件资源无特殊要求, 可方便地移植到普通8位单片机、16位单片机及DSP等微处理器等, 支持整数开方和浮点开方计算, 在有效值等量进行计算时, 可快速高效地完成开方计算。目前该方法已经应用于光伏逆变控制、电力系统自动控制及电机控制中, 取得了较好控制效果。

参考文献

[1]张小鸣, 李永新.基于牛顿迭代法的高精度快速开方算法[J].电力自动化设备, 2008, 28 (2) :75-77.

[2]姜永春, 王泽兰, 李国财, 杨昆明.一种最优的快速开方算法[J].煤炭技术, 2004, 23 (9) :109-111.

[3]磨少清, 李啸骢, 海涛, 等.电量变送器中一种快速高精度的开平方算法[J].继电器, 2002, 30 (12) :19-27.

[4]罗龙智, 周南, 罗海.整数开平方快速算法及其定点DSP实现[J].微计算机信息, 2007, 23 (8) :157-158.

[5]石一辉, 易攀, 张承学.快速开方算法在微控制器上的实现[J].微型电脑应用, 2007, 23 (2) :28-31.

[6]赵伟, 王晶芝.单片微型计算机多字节浮点快速相对位移法开平方运算的实现[J].微型电脑应用, 2000, 16 (10) :32-34.

[7]李鹏飞, 胡怀伟, 景军锋.基于FPGA的备自投的设计及实现[J].电气自动化, 2010, 32 (5) :71-73.

[8]吴香花, 张友鹏, 张保仓.基于LPC2210的LED显示屏控制系统设计[J].电子科技, 2009, 23 (12) :9-10, 16.

快速计算方法 篇5

ICEM CFD中没有几何实体的概念，其中的Body指的是封闭的曲面。利用此特性可以快速实现内外流计算域的抽取。

一、内流计算域几何抽取

内流场计算域几何抽取在ICEM CFD中十分容易实现，我们所要进行的工作是：创建进出口边界面，删除外部边界即可。下面以一个简单几何实例来描述这一过程。本例只为演示，所选几何较为简单，复杂模型操作步骤完全相同。

Step 1：导入实体几何

本例几何为外部CAD软件创建的x_t格式文件，点选【File】>【Import】>【Parasolid】，选择几何文件。如图1所示，选择Millimeter为单位。

图 1 导入几何

Step 2：拓扑构建

进行几何拓扑构建，此步的目的是进行几何检查，同时来利用软件自动创建特征线。

选择Geometry标签页下工具按钮，选择功能窗口中的功能按钮，保持参数默认，点击Apply进行几何拓扑创建。以透明实体方式显示几何模型，如图2所示。

图 2 几何模型

Step 3：创建Part

对于图2所示的几何模型，其内流道几何为喷嘴的内表面，需要创建一个单独的part放置这些表面。

树形菜单【Parts】 上点击右键，选择【Create Part】，命名Part为wall，选择喷嘴内表面。如图3所示的6个黑色面。

图 3 选择内表面

Step 4：删除其他表面

树形菜单中删除除了上一步创建的wall之外的所有part。删除part后的几何模型，如图4所示。

图 4 几何

Step 5：创建进出口边界面

进行拓扑构建，选择Geometry标签页下工具按钮按钮。

进行表面创建，本例使用功能选取几何两头的圆形曲线，分别创建两个曲面。为进出口边界面创建part，这里不再赘述。最终完成的计算域模型如图5所示。

图 5 最终计算域模型

Step 6：总结

利用ICEM CFD，通过选择实体模型的内流面直接构造计算域模型。

二、外流场计算域创建

利用ICEM CFD的Body概念创建外流场计算域是一件非常容易的事情，在利用这一功能之前需要利用几何创建功能创建外部几何。

本例的几何模型如图6所示。创建该几何的外流场计算域模型。

图 6 实体几何

Step 1：创建外部域

对于外流场区域，常见的形状包括：方形（box），圆柱型(（Cylinder）、球形等。本例使用方型计算域。

ICEM CFD提供了一系列常见实体几何直接创建方式，利用Geometry标签页下选择功能按钮。ICEM能直接创建的几何如图7所示。

按钮，图 7 直接几何

选择创建Box，输入参数如图8所示。

图 8 输入参数

这里选用Entity Bounds方式，选择需要包裹的几何体，然后设定X,Y,Z方向放大倍数。也可以勾选Adjust min/max values项，手动设置X,Y,Z最大最小值。形成的几何如图9所示。

ICEM CFD快速创建流体计算域模型

ICEM CFD中没有几何实体的概念，其中的Body指的是封闭的曲面。利用此特性可以快速实现内外流计算域的抽取。

一、内流计算域几何抽取

内流场计算域几何抽取在ICEM CFD中十分容易实现，我们所要进行的工作是：创建进出口边界面，删除外部边界即可。下面以一个简单几何实例来描述这一过程。本例只为演示，所选几何较为简单，复杂模型操作步骤完全相同。

Step 1：导入实体几何

本例几何为外部CAD软件创建的x_t格式文件，点选【File】>【Import】>【Parasolid】，选择几何文件。如图1所示，选择Millimeter为单位。

图 1 导入几何

Step 2：拓扑构建

进行几何拓扑构建，此步的目的是进行几何检查，同时来利用软件自动创建特征线。

选择Geometry标签页下工具按钮，选择功能窗口中的功能按钮，保持参数默认，点击Apply进行几何拓扑创建。以透明实体方式显示几何模型，如图2所示。

图 2 几何模型

Step 3：创建Part

对于图2所示的几何模型，其内流道几何为喷嘴的内表面，需要创建一个单独的part放置这些表面。

树形菜单【Parts】 上点击右键，选择【Create Part】，命名Part为wall，选择喷嘴内表面。如图3所示的6个黑色面。

图 3 选择内表面

Step 4：删除其他表面

树形菜单中删除除了上一步创建的wall之外的所有part。删除part后的几何模型，如图4所示。

图 4 几何

Step 5：创建进出口边界面

进行拓扑构建，选择Geometry标签页下工具按钮按钮。

进行表面创建，本例使用功能选取几何两头的圆形曲线，分别创建两个曲面。为进出口边界面创建part，这里不再赘述。最终完成的计算域模型如图5所示。

图 5 最终计算域模型

Step 6：总结

利用ICEM CFD，通过选择实体模型的内流面直接构造计算域模型。

二、外流场计算域创建

利用ICEM CFD的Body概念创建外流场计算域是一件非常容易的事情，在利用这一功能之前需要利用几何创建功能创建外部几何。

本例的几何模型如图6所示。创建该几何的外流场计算域模型。

图 6 实体几何

Step 1：创建外部域

对于外流场区域，常见的形状包括：方形（box），圆柱型(（Cylinder）、球形等。本例使用方型计算域。

ICEM CFD提供了一系列常见实体几何直接创建方式，利用Geometry标签页下选择功能按钮。ICEM能直接创建的几何如图7所示。

按钮，图 7 直接几何

选择创建Box，输入参数如图8所示。

图 8 输入参数

这里选用Entity Bounds方式，选择需要包裹的几何体，然后设定X,Y,Z方向放大倍数。也可以勾选Adjust min/max values项，手动设置X,Y,Z最大最小值。形成的几何如图9所示。

图 9 形成几何

Step 2：创建body

ICEM CFD中的body是用于标志计算域的。一个Body是一个封闭的几何，在生成网格过程中，软件会搜索Body区域。

利用材料点方式创建Body。

选择Geometry标签页下的工具按钮设置Part名为Fluid，如图10所示。，进入Body创建面板，选择方式创建Body。

图 10 Body创建 选择如图11所示的两个点，创建Body。

图 11 选择点

至此计算域创建完毕，若要创建对称面则需要进行切割操作，这里篇幅所限，不详细描述。若采用分块划分网格方式，则创建块的时候将于内部几何面相关联的块删除。

若采用四面体划分方式，则无需进行任何设置，直接生成网格即可。图12可以看出，中间部分并未生成网格，这正是我们需要的。

图 12 网格切面

图 9 形成几何 Step 2：创建body

ICEM CFD中的body是用于标志计算域的。一个Body是一个封闭的几何，在生成网格过程中，软件会搜索Body区域。

利用材料点方式创建Body。

选择Geometry标签页下的工具按钮设置Part名为Fluid，如图10所示。，进入Body创建面板，选择方式创建Body。

图 10 Body创建

选择如图11所示的两个点，创建Body。

图 11 选择点

至此计算域创建完毕，若要创建对称面则需要进行切割操作，这里篇幅所限，不详细描述。若采用分块划分网格方式，则创建块的时候将于内部几何面相关联的块删除。

若采用四面体划分方式，则无需进行任何设置，直接生成网格即可。图12可以看出，中间部分并未生成网格，这正是我们需要的。

快速计算方法 篇6

在国内现有《报关实务》教材包括《报关员资格全国统一考试教材》在内的有关报关知识方面的教材，大都仅限于从海关征税的角度，分别介绍了进口关税、进口环节消费税和增值税的各自计算方法。

而从进口企业的角度而言，企业最关心的是进口一批商品要向海关总共缴纳多少税（即进口综合税）。一个进口业务员乃至一个进口企业在与国外供货客户磋商进口报价和与国内客户磋商内销价格时，必须快速计算进口综合税，以便快速准确地计算出能够接受的进口价格或进口商品的内销价格。因为，以一般贸易方式进口的商品，尤其是应税消费品（如游艇、小轿车；烟、酒、鞭炮、焰火；珠宝玉石、化妆品等）的进口综合税占其进口成本的比重较高，有的综合税率甚至高达百分之百以上。例如，从国外进口的葡萄酒（税则号为2205.100000），按优惠税率计征的进口关税税率为65%（按普通税率计征的进口关税税率高达180%），还要计征10%的进口环节消费税和17%的增值税，其按优惠税率计征的进口综合税税率就高达114.5%，若按普通税率计征，其进口综合税税率更是高达245.11%。

由于进口综合税对进口商品的进口成本影响较大，因此，掌握快速、准确计算进口综合税的方法，是一个从事进口业务的人员和业务管理人员必备的基本技能。

一、进口综合税的常规计算方法

进口综合税是进口关税、进口环节消费税和增值税之和。由于我国较普遍采用从价税计征有关进口税，因此，进口综合税的计算以从价税为例，其计算公式为：

其一，进口关税的计算方法：

根据规定，我国进口货物的完税价格按进口到岸价（CIF）进行计算，如果以其他贸易术语成交的进口货物，应按规定调整为CIF价格计算完税价格。

（1）以FOB价格作为成交价格时的完税价格计算公式为：

完税价格＝FOB价格＋国外运费＋保险费

或＝（FOB＋国外运费）/（1－保险加成×保险费率）

（2）以CFR价格作为成交价格时的完税价格计算公式为：

完税价格＝CFR价格＋保险费

或＝CFR价格/（1－保险加成×保险费率）

其二，进口环节消费税的计算方法：

从价消费税采用价内税的计税方法，即计税价格的组成包含了进口环节消费税，其计算公式为:

其三，进口环节增值税的计算方法：

进口环节增值税的计算公式为：

从理论上讲，运用上述②、③、④可分别计算进口关税、进口环节消费税和进口环节增值税，然后运用计算公式①将三种税相加即可得出总共应缴纳的进口综合税，从而进一步计算进口商品的进口价格或者内销价格。

而在实际业务中，进行口头磋商进口商品的进口价格或者内销价格时，由于这种理论方法的计算速度太慢，不便于与国内外客户快速地磋商价格，不能满足一个合格的进口业务员的要求。合格的进口业务员要能一只手拿着电话用外语同客户磋商价格，双眼盯住电脑查看与国内、外客户磋商价格的电子邮件，另一只手用计算器根据进口商品的内销价快速计算进口价格或者根据进口价格快速计算进口商品的内销价格。

二、计税常数法快速计算进口综合税

依据上述进口综合税、进口关税、进口环节消费税和进口环节增值税的计算公式①、②、③、④，并且分别用字母g、x、z代表关税税率、消费税税率和增值税税率；分别用字母J、W、CIF、H、K表示进口综合税、完税价格、进口价格、人民币汇率、计税常数，便于计算公式的推导。

将公式②、③、④，代入公式①可得：

进口综合税＝完税价格×关税税率＋完税价格×（1＋关税税率）/(1－消费税税率)×消费税税率＋[完税价格×（1＋关税税率）＋完税价格×（1＋关税税率）/(1－消费税税率)×消费税税率]×增值税税率

用上述符号字母分别带入上述公式并简化整理（公式推导过程从略）为：

即：进口综合税（应税消费品）＝完税价格×（关税税率＋消费税税率＋增值税税率＋关税税率×增值税税率）/（1－消费税税率）

即：进口综合税（非税消费品）＝完税价格×（关税税率＋增值税税率＋关税税率×增值税税率）

＝CIF价格×汇率×计税常数2

当进口商品的原产国确定之后，其进口关税税率、进口环节消费税税率和增值税税率就可查到，可用公式⑤或⑥快速计算进口综合税的计税常数，用计算得出的计税常数乘上进口价格（CIF）和汇率，则能快速准确地计算出进口综合税。

一家进口企业经营的进口商品类别不会太多，一般经营几个主要税目（4位数税则号相同）的进口商品，而4位数税则号相同的进口商品的有关进口税税率又基本一致。因此，进口业务员只要记住自己经营的几个主要商品的进口综合税的计税常数，就可很方便地快速计算进口综合税。

根据有关税则的规定，应税消费税品的增值税率一律为17%，常用应税消费品的计税常数（保留小数点后6位）见表1。

表1 常用应税消费品的进口综合税计税常数

我国大多数商品的进口环节增值税税率均为17%，只有下述少数几类商品适用13%的进口环节增值税税率：①粮食、食用植物油；②自来水、燃气、冷气、热水、煤气、石油液化气、天然气、沼气、居民用煤炭制品；③图书、报纸、杂志；④饲料、化肥、农药、农机、农膜；⑤国务院规定的其他货物。常用非税消费品的进口综合税计税常数（保留小数点后4位）见表2。

表2 常用非税消费品的进口综合税计税常数

三、进口综合税的计算实例

例1:湖南A公司进口一批应税消费品，经海关审定其CIF成交价格合计为100000美元，汇率为1美元＝6.5718元人民币。已知该批货物的进口关税税率为20%，消费税率为10%，增值税率为17%，计算该批商品应缴纳的综合税税额。

1.用常规方法计算的公式：

完税价格＝CIF价格×汇率＝100000×6.5718＝657180元

进口关税＝完税价格×关税税率＝657180×20%＝131436元

消费税＝（完税价格＋进口关税）/(1－消费税税率)×消费税税率

＝（657180＋131436）/（1－10%）×10%＝87624元

增值税＝（完税价格＋进口关税＋消费税）×增值税税率

＝（657180＋131436＋87624）×17%＝148960.8元

进口综合税＝进口关税＋消费税＋增值税

＝131436＋87624＋148960.8＝368020.8 元

2.用计税常数法快速计算的公式：

计税常数K1＝（g＋x＋z＋g×z）/（1－x）

＝（20%＋10%＋17%＋20%×17%）/(1-10%)=0.560000

进口综合税J1＝CIF价格×汇率H×计税常数K1

＝100000×6.5718×0.56＝368020.8 元

例2:湖南B公司进口一批非税消费品，经海关审定其CIF成交价格合计为98000美元，汇率为1美元＝6.5718元人民币。已知该批货物的进口关税税率为20%，增值税率为17%，计算该批商品应缴纳的综合税税额。

1.用常规方法计算的公式：

完税价格＝CIF价格×汇率＝98000×6.5718＝644036.4元

进口关税＝完税价格×关税税率＝644036.4×20%＝128807.28元

增值税＝（完税价格＋进口关税＋消费税）×增值税率

＝（644036.4＋128807.28）×17%＝131383.43元

进口综合税＝进口关税＋增值税

＝128807.28＋131383.43＝260190.71元

2.用计税常数法快速计算的公式：

计税常数 K2＝（g＋z＋g×z）

＝（20%＋17%＋20%×17%=0.4040

进口综合税J2＝CIF价格×汇率H×计税常数K2

＝98000×6.5718×0.4040＝260190.71 元

从例1和例2采用上述两种计算方法的计算结果来看，两种计算方法得出的进口综合税是完全相同的。不同的是：采用计税常数法只需2步就可计算出进口综合税（实际业务中，用计算器1步就可直接计算出进口综合税），而常规方法要分别用5步和4步才能计算出进口综合税，计算速度至少慢5倍以上；并且由于计算数值大和常规方法的计算步骤多，在计算过程中容易出现计算错误。

因此，采用计税常数法快速计算进口综合税，不仅速度快，而且准确率高。在实际进口业务中，对于进口业务员快速、准确地计算进口综合税和进口价格或内销价格具有较大的应用价值，值得在高校的课程教学尤其是业务员培训中进行推广应用。▲

[1]海关总署报关员资格考试教材编写委员会.报关员资格全国统一考试教材[M].北京：中国海关出版社，2012年版.

[2]海关总署关税征管司.中华人民共和国进出口税则[M].北京：中国海关出版社，2010年版.

[3]谢国娥.海关报关实务[M].上海：华东理工大学出版社，2011年版.

快速计算方法 篇7

1 建立多层水平分层土壤中点电流源的格林函数模型

建立水平n层土壤模型如图1所示, 坐标原点在土壤表面, z轴与地面垂直, ρi表示第i层土壤的电阻率, hi表示第i层土壤的厚度, I表示点电流源, 距离地表为h0。

恒定电场中的拉普拉斯方程为

式中φ为电位, 电场强度E=-∇φ。由于场拥有对称性, 便于使用圆柱坐标系, 式 (1) 变为

采用分离变量法, 式 (2) 的解为

式中:C1 (λ) 、C2 (λ) 、A1 (λ) 、A2 (λ) 都是待定系数;λ为任意常数;J0 (λr) 为第一类零阶贝塞尔函数;Y0 (λr) 为第二类零阶贝塞尔函数。由于当r→0时, Y0 (λr) →-∞, 与事实相悖, 式 (3) 中系数A2 (λ) 一定要为零才能满足实际情况, 故拉普拉斯方程的解就演变为

式中, A (λ) =C1 (λ) ·A1 (λ) ;B (λ) =C2 (λ) ·A1 (λ) 。由于λ是连续变化, 所以式 (4) 又可以演变为积分形式:

由泊松方程得圆柱坐标系下的电位函数为

式中:I为源点流出的电流;ρ为土壤电阻率。

通过傅里叶变换, 式 (5) 、式 (6) 变为

由拉普拉斯方程得点电流源的格林函数为

利用媒质的边界条件来进行确定待定系数。

式 (8) 中待定系数的求解如下:

点电流源所在不同分层时格林函数表达式参见文献[8]。

已知各水平分层的边界条件为

当z→∞时, φ1n=0

上述的边界条件提供2n个方程, 求解A1、A2、…、An和B1、B2、…、Bn。将其带入到格林函数的表达式中, 即可求得n层水平分层土壤时点电流源在各层中任意点产生的φ11、φ12、…、φ1n。

2 多层水平分层土壤中点电流源的格林函数模型应用

设点电流源在第一层。由边界条件1可得:

由边界条件2可得:

第二层以后之间的关系均可以用矩阵递推关系, 而第一层、二层之间的矩阵关系, 只需将关系式中的θ1 (λ) 用1+θ1 (λ) 替换即可, 可以很方便地求出格林函数φ11、φ12、…、φ1n。

对式 (8) 积分, 便可以计算水平分层土壤中的格林函数。为避免直接积分的难度, 可以将式 (8) 的A (λ) 和B (λ) 通过经典镜像法展开成有限项指数求和的形式:

式 (15) 中M的取值越大, 其精度越高, 所以M不能取的太小, 会影响计算精度。在实际中, M取无穷大是不可能的。为了结决这个计算难度与精度的问题, 加拿大学者Y.L.Chow首先提出了复镜像法, 并将复镜像技术用于分层土壤中点电流源格林函数的计算问题。

复镜像法把无限项指数求和转化成有限项复指数求和, 合理优化地解决了经典镜像法计算难度的问题。

3 多层水平分层土壤中点电流源格林函数模型中待定系数计算

Prony法[5]将函数A (λ) 展开为

为了记录方便, 式 (16) 简写为

式中μk=e-βk。

可见, 只要能确定常数α1到αn, 便可以得到A (λ) 的展开式。n的取值及采样步长dλ[6]为

式中, ω为常数, 经过实践检验, 一般ω取0.1~1.0。采样点数等于4倍土壤的层数 (N是土壤的层数) 。

取抽样点λ=0, 1, 2, …, 2n-1 (或其它等距数值) , 相应可得A0, A1, …, A2n-1, 组建的方程具体如下:

式 (19) 中有2n个方程, 2n个未知数, 方程理论上可解, 但是由于式 (19) 是个非线性方程组, 求解具有一定难度, 所以应找其它方法解方程组。普劳尼[7]指出μ1, μ2, …μn是满足下面高次方程的根:

对方程组式 (19) 的第一个方程乘以θn, 第二个方程乘以θn-1, .., 第n个方程乘以θ1, 第n+1个方程乘以-1, 然后将这些结果叠加, 可得下式:

类似叠加处理第2个方程到n+1个方程, 第3个方程到n+2, …, 第n个方程到第2n个方程, 从而得到一个n维的n个线性方程组:

将上面求出的A0, A1, …, A2n-1带入方程组 (22) , 便可以精确求解θ1, θ2, …, θn。求解完θ1, θ2, …, θn后, 代入方程 (20) , 即可得μ1, μ2, …μn, 再代入方程组 (19) 中的前n个方程, 即可得α1, α2, …, αn。求得μ1, μ2, …μn, 最后通过μk=e-βk关系式即可求得β1, β2, …, βn。

4 接地网接地电阻的实例计算

对多层大地模型的接地网接地阻抗计算结果进行比较, 对比实例取自文献[8]。将大地视为3层媒质。设置大地模型1参数为ρ1=2000Ωm, h1=3 m, ρ2=100Ωm, h2=3 m, ρ3=200Ωm;设置大地模型2参数为ρ1=50Ωm, h1=3 m, ρ2=1000Ωm, h2=3 m, ρ3=100Ωm。接地网尺寸1为20 m×20 m, 网孔尺寸为10 m×10 m, 导体半径r=10 mm;接地网尺寸2为20 m×20 m, 网孔尺寸为5 m×5 m, 导体半径r=10 mm。计算不同层数情况下的接地阻抗与CDEGS的计算结果如表1、表2所示。

Ω

Ω

从表1表2中可以看出, 在不同埋深层数的情况下, 本文快速算法与文献[8]中的计算结果吻合, 对比两种算法, 最大偏差不超过1.20%。由此检验了本文算法的正确性。

5 结论

1) 通过建立多层水平分层土壤中点电流源的格林函数模型, 得出了一种求解在任意分层土壤中点电流源格林函数的快速计算方法。该计算方法解决了分层土壤中点电流源的格林函数理论推导复杂和数值计算繁琐的问题。

2) 利用该计算方法MATLAB进行编程, 计算接地网接地电阻, 并与文献[8]中的计算结果进行比较, 验证了本文的可行性。该程序输出结果可以直接应用于接地网参数数值计算程序包设计中, 有效提高软件计算效率。

摘要：为了解决分层土壤中点电流源的格林函数理论推导复杂和数值计算繁琐的问题, 阐述了多层水平分层土壤中点电流源的格林函数模型及其建立过程, 基于此模型得到了求解任意分层土壤中点电流源格林函数的快速计算方法, 并利用MATLAB对其进行编程。经算例对比, 得出了该方法计算接地网接地阻抗的结果准确有效, 而且大大提高了接地网接地特性的计算效率。

关键词：分层土壤,格林函数,复镜像法,数值计算,接地性能

参考文献

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[3]F.Dawalibi, N.barbeito.Measurement and computations of the performance of grounding system buried in multilayer soil[J].IEEE transactions on Power Delivery, October 1991, 6 (4) :14831490.

[4]宋福.用本征函数求静电场格林函数[J].山西师范大学学报, 2003, 14 (1) :40 44.SONG Fu.Deriving green's function of electrostatic field by eigen function[J].Editorial Department of Journal of Shanxi Teachers University, 2003, 14 (1) :40 44.

[5]李中心.变电站接地网模拟计算[D].北京:清华大学, 1999:11 22.LI Zhongxin.Numerical calculation of substation grounding systems[D].Beijing:Tsinghua University, 1999:11 22.

[6]张波, 崔翔.复镜像法中的的一种自适应采样方法[J].华北电力大学学报, 2002, 29 (4) :1 4.ZHANG Bo, CUI Xiang.A self-adaptation sampling scheme in complex image method[J].Journal of North China Electric Power University, 2002, 29 (4) :1 4.

[7]赵志斌, 张波, 崔翔, 等.分层土壤中点电流源电流场计算的递推算法[J].华北电力大学学报, 2003, 30 (1) :22 24.ZHAO Zhibin, ZHANG Bo, CUI Xiang, et al.Elimination method for calculation of current field in multi-layer soil[J].Journal of North China Electric Power University, 2003, 30 (1) :22 24.

快速计算方法 篇8

关键词：FFT,谐波分析,窗函数,频域内插

0 引言

随着电力电子技术和器件的发展, 非线性负荷在电力系统中的应用越来越广泛, 电力系统谐波污染日益严重, 谐波已成为影响电能质量的主要问题[1]。对谐波分量参数的高精度估计将有利于电能质量的评估和采取相应的必要治理措施。

快速傅立叶变换 (FFT) 是谐波分析最快捷的工具[2]。但非同步采样时, 快速傅立叶变换应用于谐波分析容易造成频谱泄漏和栅栏效应, 影响谐波相量计算的准确度。针对FFT算法的不足, 国内外学者提出的一系列加窗插值FFT算法[3,4,5]、多项式拟合的双谱线插值方法[6,7,8]和其他加窗FFT校正算法[9,10,11,12,13]等都有效地提高了谐波分析精度。但随着插值修正曲线拟合函数的阶次增高及谐波含有次数的增多, 谐波估计精度提高的同时计算量大量增加。本文将提出谐波高精度估计的另一条思路, 基于傅立叶变换时域收缩频域延伸的性质计算出各谐波频率, 进而精确计算谐波各参数的方法。

1 基于傅立叶变换时频收伸性的测频原理

设被分析电力信号为

式中:p∈[0, P], p为谐波次数, 是正整数;P为最高谐波次数;Ap为第p次谐波幅值;f1为电力信号基波频率;φp为第p次谐波初相角。

采样被分析电力信号得

式中:Ts为采样周期;wp=2πpf1 Ts是p次谐波信号的实际数字角频率。

对x (n) 加对称余弦窗 (Hanning窗、Nattall窗等) 函数w (n) , 得序列

xw (n) 的连续谱函数为

用FFT可求出xw (n) 的离散谱Xw (k) 实质上就是连续谱Xw (ejw) 在区间[-π, π]上以等间隔Δw=2π/N抽样的结果, N为分析数据截断长度。即

考虑到Xw (k) 的对称性, 仅用正频段来分析Xw (k) , 将上式简化为

若从截断数据N的起始点向后延伸用相同窗函数截断M长度数据得xw (m) , [m=0, 1, …, M], M

设第kp条和第lp条谱线分别为两次FFT变换p次谐波的最大谱线, 由于xw (m) 与xw (n) 有相同的相位, 则两次FFT变换的相位差为零, 即

式中:φpk和φpl分别为Xw (k) 和Xw (l) 在p次谐波处的峰值谱线kp和lp的相位;Δφpkl为Xw (k) 和Xw (l) 在p次谐波处的峰值谱线的相位差。上式简化中考虑了N□1和M□1, 即认为N-1=N, M-1=M。

因此得

2 时域收缩比M/N对测频误差的影响

式 (9) 可求得各次谐波的频率。由于各次谐波的频率是基波频率的整数倍, 而一般由于基波幅值大, 谐波相对于基波小, 谐波对基波的谱间干扰相对小, 因此, 当只需计算各次谐波的参数时, 可只计算出基波的频率, 各次谐波的频率乘以一个整数即可。

本文所提的谐波参数的测量是通过在频域内对窗函数插值获得的, 各谐波的幅值是先计算出它们的频率, 而后在频域内插值求得的, 因此, 各谐波频率的测量精度是谐波参数测量精度的关键。设f1*为电网的基波实际频率, f1为式 (9) 电网基波频率的测量值, 则频率测量的绝对误差为:f1-f1*。图1是采样频率Ts=5 120 Hz, 用Nattall窗函数截断数据长度N=1024时, 不同M/N值条件下计算基波频率误差曲线。观察频率误差曲线, 总体来说这种测频方法在10×M/N为整数时的测量精度都比较高, 频率测量的绝对误差小于0.001 (10-3) Hz, 并且, 曲线呈现两边高中间低的趋势, 因此可推测, 从图1也可看出取10M/N=5, 即M/N=0.5是恰当的。

3 窗函数插值计算电力谐波参数

设δωp为p次谐波处的峰值谱线的数字角频率与p次谐波信号的实际数字角频率的差值 (如图2) 。

再设βp=Ap/Xw (kpΔ-p) 为基波和各次谐波的校正系数。

由式 (6) 可得

由此可得P次谐波的幅值为

p次谐波的相位为

从式 (6) 和式 (7) 来看, 相位谱与截断窗函数无关, 但实际上, 由于φpk和φpl是由Xw (kp) 和Xw (lp) 的虚部和实部分别计算得到, 而Xw (kp) 和Xw (lp) 的虚部和实部的计算精度都要受“谱间干扰”的影响, 因此, 窗函数对φpk和φpl的计算精度有直接的影响。选择合适的窗函数截断分析数据对提高电力谐波参数的计算精度有不小的影响。加窗的目的是降低旁瓣“谱间干扰”, 而不能减小主瓣“谱间干扰”。人们希望窗函数频谱的旁瓣最大幅值愈小、旁瓣幅值衰减愈快愈好, 这意味着主瓣功率的集中度愈高愈好。主瓣功率的集中度与主瓣宽度相关联, 一般说来, 主瓣功率愈集中, 主瓣宽度也愈宽, 测量精度愈高。如汉宁窗的主瓣宽度为4个谱线分辨率, 即窗宽为4Δw, 而纳托尔窗的主瓣宽度为8个谱线分别率, 即8Δw, 纳托尔窗的主瓣功率集中度比汉宁窗高, 图3误差曲线也明显显示采用纳托尔窗截断分析数据具有更高的计算精度。图3是不同窗函数截断时的测量误差曲线, 它是由式 (1) 模型, 基波频率50.3 Hz, 以频率5120 Hz采样, 截断数据长度为N=1024, 取M=N/2进行仿真计算得到, 模型参数见表1。由图3曲线可见, 窗函数对频率的测量精度的影响还是比较大的, 选择窗函数旁瓣幅值小并且衰减快的窗函数 (如Nattall) 将有利于提高测量精度。

从式 (9) 、式 (11) 和式 (13) 来看, 本文方法与其他校正FFT类方法一样, 也可用于间谐波的分析。然而, 就校正FFT这类方法而言, 能否精确地分析被分析信号取决于被分析信号中信号频率间隔是否大于截断窗函数主瓣宽度, 因为加窗只能降低旁瓣“谱间干扰”, 而不能减小主瓣“谱间干扰”。按IEC标准[14], 谐波和间谐波的分析数据长度为10周波 (50 Hz) , 因此, 相应的分析频率分辨率为5 Hz。因此, 如果仅测量电力谐波, 所选窗函数的主瓣宽度只要小于等于10个谱线分别率Δw, 就不会发生“主瓣的谱间干涉”, 计算精度一般都可接受。当间谐波的频率与频率最近的谐波频率间隔比较大 (大于窗函数的主瓣宽度) 时, 也可同时测量间谐波, 但当2者的频率间隔小于窗函数主瓣宽度时, 将出现不能接受的测量误差。减小窗函数主瓣宽度有2条路径:一是选择主瓣宽度相对窄的窗函数, 如汉宁窗只有4Δw宽。当然这会降低测量精度, 但实际上, 一方面, “国标”对谐波测量精度的最高要求0.05%UN (Up<1%UN) , 另一方面, 由于信号传感器精度的限制, 追求过高的理论分析精度也没有太大意义, 一般实际测量绝对误差能达到10-2足已, 可见, 适当考虑选择主瓣宽度相对窄的窗函数是现实可行的。二是延长数据的截断长度, 频率分辨率与被分析数据截断长度成反比, 截断分析数据长度越长Δw越小。例如用汉宁窗截断长度为20周波 (200 ms) 的被分析数据, 则4Δw=10 Hz, 也即只要被分析信号中的任何谐波与间谐波的频率间隔都大于10 Hz, 分析误差是可接受的。倘若被分析电力信号中有频率间隔小于10 Hz的两个谐波和间谐波信号, 则它们在分析时将发生“主瓣谱间干涉”, 就可能带来难以接受的测量误差。因此, 一般说来, 校正FFT这类算法不太适用于复杂谐波 (既含有谐波, 又含有间谐波) 的分析。

对照文献[3-13]可见, 本文所提的电力谐波测量计算方法与各种FFT插值校正法或双谱线拟合方法相比有基本相同的测量计算精度, 但在计算耗时上则大大减小, 可应用于嵌入式系统。并且, 本文所提算法的主要计算量在2次FFT上, 而DSP信号处理器内带有硬件FFT, 不需要占用计算时间, 因此, 该算法更适合于应用在DSP数字信号处理器上, 用单片DSP数字信号处理器即可实现电力谐波的在线测量。

4 实验验证

本文采用如图4方法来模拟测量。首先由Matlab按式 (1) 模型和表1参数建模, 然后用d SPACE的DS1104板进行D/A转换, 将所建模型转换成模拟信号, 最后用“合众达公司”的DSP2812板, 通过16位A/D采样转换为数字信号, 并用本文算法计算, 完成模拟测量。A/D采样频率为5 120Hz、分析数据长度为1 024点 (10个周波) 。采用该模拟测量方法对验证算法的有效性有两个优势:一是它很好地模拟了实际测量过程, 分析数据中包含了信号调理误差、A/D采样误差和采样噪声;二是可精确知道被分析信号的参数。若采用实测数据分析, 由于并不知道被测实际信号的参数, 需要有一测量仪测出实际信号的参数。而任何测量仪是有误差的, 我们能知道的也只能是实际谐波信号有误差的“测量参数”, 显然, 用这一有误差的参数为“标准”来评价某算法的有效性有偏颇。

图5是采用本文所提方法, 用纳托尔窗截断1 024点数据, 由图4模拟测量得到的误差曲线。由误差曲线可见, 本文所提出的方法有足够用于实际测量的精度, 满足“国标”对谐波测量精度的最高要求0.05%UN (Up<1%UN) , 而计算量则大大降低。

5 结论

快速计算方法 篇9

文中提出利用有限差分算法, 在Excel计算表格中实现对不同进出水流量工况下的换热量和温差的计算, 得出不同流量下的工况曲线。为验证计算方法的可靠性, 文中将表格计算结果与华北地区某水泥厂的该类型设备运行情况进行对比。对比表明文中提出的计算方法精度满足工程设计需要, 且利用了Excel软件快捷的计算特性, 可以为工程设计提供快速可靠的设计依据。

1 计算模型

文中计算模型采用目前比较常见的管束式窑筒体余热回收装置为例进行计算, 由于该类型装置采用通用管材制造, 具有制造工艺简单、造价低、运行稳定的特点。集热器结构见图1。集热管束平行于窑筒体固定在筒壁外侧, 管束等间隔排列并用钢质翅片连接 (为清晰起见图1未示出) 。集热器管束分组, 在图1中分为Ⅰ~Ⅴ共5组, 组内管束并联, 组间串联。换热为窑筒体表面和集热器之间的辐射换热和对流换热, 由于集热器外侧包覆绝热材料, 性能较好, 其热损失忽略不计。

1.1 辐射换热

集热器包覆窑筒壁的面积可根据实际换热量需求和工艺特点来确定, 辐射换热类型为长圆柱体之间的换热。应用长圆柱体辐射换热公式[5]

可得集热管束单位表面积上的辐射换热量

式中, σ为为黑体辐射常数, 5.67×10-8 W/ (m2·K4) ;A1和A2为集热器包覆的窑筒体表面积和集热器集热面积, m2;T1和T2为窑筒体表面温度和集热管束温度, K;ε1和ε2为窑筒体、集热管辐射发射率, 无因次量;r1和r2为窑筒体外径、集热器内径, m。

1.2 对流换热

由于窑筒体旋转速度较慢, 可认为窑筒体与集热器间为同心圆柱体自然对流换热, 并根据集热器实际包覆比例进行修正。由同心圆柱体自然对流换热公式[5]

可得集热管束单位表面积上的对流换热量为

式中, L为集热器长度, m;keff为有效热导率, W/ (m·K) ;k为空气热导率, 0.038 W/ (m·K) ;Pr为Prandtl数, 对于窑外壁可取0.7[6];Rac为瑞利数, 无因次量;g为重力加速度, 9.8m/s2;β为体膨胀系数, K-1;υ为动量扩散系数, 20.92×10-6 m2/s;α为热扩散系数, 29.9×10-6 m2/s;Lc为特征尺寸, m。

1.3 总换热量

取一根集热管束内dL长度的水为研究对象, 忽略集热器外侧热损失, 建立能量守恒方程

式中, ρ为水的密度, 1.024×103 kg/m3;C为水的比热容, 4.191×103 J/ (kg·K) ;D为集热管束直径, m;t为水在集热器内的停留时间, s。

如采用解析方法, 获得式 (8) 的解析解, 并取不同流速所对应的水在集热器内的停留时间作为积分限, 对式 (8) 积分, 即可获得水通过换热器的温度增量进而求出换热量。但式 (8) 为非线性微分方程, 通常难以获得解析解。因而文中采用有限差分法, 对式 (8) 离散化, 取时间步长Δt为1s, 式 (8) 可写成差分方程形式

可得

式中, N为集热器内管束的串联部分数, NL即为水在集热器内流过的总长度;n为迭代次数;Tf为出水温度, K;W为单块集热器换热功率, MW;s为集热器上并联关系的管束数。

由初始的进水温度T2作为初值, 迭代n次即可得出水温度, 进而获得换热量。在Excel软件中实现迭代运算。计算表格见表2。

2 换热量计算与分析

表1为计算所需的数据, 其中设备参数为华北某水泥厂的现场实测值。

出水温度、换热量与流量的关系曲线分别如图2 (a) 和图2 (b) 所示, 可见, 出水温度随流量会有较大变化, 而单块集热器换热量随流量变化却不明显。因此流量设计可以温度曲线为主要参考。在本计算中, 进水温度选为60℃ (333K) , 如热水用于散热器采暖, 取85℃/60℃供回水温度, 则单块集热器换热量为91.58kW, 循环水流量为3.17t/h。一般在4.8m×72m的窑筒上可设置9块文中计算模型类似的集热装置, 则总换热量可达到0.82 MW, 基本能够保证水泥厂冬季采暖所需热量。

3 实验对比

华北某水泥厂窑筒体表面平均温度250℃, 共设置9块集热器, 进出水温度为85℃/60℃, 为全厂提供冬季采暖所需热量, 数据如表3所示。

从实际换热功率来看, 文中的计算误差为12%, 满足供热设计需要。误差的主要来源应是计算忽略了集热器外表面的热损失。因为外表面的温差受环境及隔热材料设置方式影响, 因而计算中未予考虑。在工程设计中, 可考虑将计算值乘以90%的系数作为换热量设计值。

文中研究对象虽为管束式换热器, 但计算方法可推广到其他类型的高温、筒体余热回收装置, 只需根据具体装置在计算表中选用相应的辐射和对流换热公式即可, 因而该文计算方法具有一定的扩展性。

4 结语

窑筒体余热回收装置换热量计算涉及到了非线性微分方程的求解, 运算量大, 人工求解会有较大的工作量。因此, 依据辐射、对流换热公式, 采用有限差分法制做Excel计算表格进行数值计算, 是一种快速高效的计算方法, 可作为相似类型换热器的分析手段, 为工程设计提供依据。

摘要：利用有限差分法对窑筒体余热回收装置换热量进行分析, 提出了通过Excel计算表格进行余热回收装置工况分析的方法。通过工程实例验证, 编制的计算表格具有精度可靠、效率高的优点。

关键词：窑筒体,热回收,有限差分,Excel软件

参考文献

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[3]祝尊峰, 刘太峰, 王瑞显.综合利用Φ3.2m×52m回转窑余热进行供水的装置[J].水泥, 2005, 10:42-43.

[4]张斌, 刘合明, 孙培敬.Φ4.0m×60m回转窑辐射热的应用[J].水泥, 2008, 10:27.

[5]Incropera F P, De Witt D P.Fundamentals of Heat and Mass Transfer[M].New York:JohnWiley&Sons, Inc, 2011.

快速计算方法 篇10

作为一种无创诊断工具,磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging,MRI)在医学和科研领域均起着重要作用[1,2,3,4]。开放式磁共振是常见的磁共振类型之一。和传统螺线管式磁共振相比,开放式磁共振能够提供一个开放的诊断空间,可以有效缓解患者的紧张情绪,并且给临床的介入治疗提供一个良好的平台。

在MRI系统中,梯度线圈在成像区域产生一个用于图像空间位置编码的梯度磁场,其精度决定了磁共振信号向图像转换时的空间定位精度。因此,扭曲的梯度磁场会导致最终成像出现伪影、扭曲和形变等问题,直接导致图像采集的失败。目前开放式磁共振系统中较为常用的梯度线圈设计方法为连续电流密度空间的方法[5,6,7,8,9,10],在梯度线圈设计阶段通常不考虑铁磁介质影响。然而实际开放式磁共振系统中,常采用大量铁磁介质作为导磁回路和磁场调节部件,而铁磁介质受外界磁场磁化,从而在成像区域产生额外的磁场,进而对梯度磁场造成影响。

为了估算铁磁介质给梯度磁场造成的误差,目前较为常用的方法为镜像法[11,12]和有限元法[13,14]。镜像法的假设条件为铁磁介质是一个磁导率无穷大的无限大理想平面,将铁磁介质对空间磁场的影响等效为一个镜像电流,最终空间磁场由源电流和镜像电流叠加计算。镜像法的优点在于计算简单、快速,但缺点是铁磁介质几何结构及材料属性较为复杂时,误差较大。有限元法是目前最常用的电磁数值计算方法,可以计算各种复杂的电磁问题。由于开放式磁共振存在较大的空气域,因而可视为三维开域问题,大量计算资源和时间会被浪费在空气域的网格划分和计算。同时,由于网格在线圈结构变化后需要重新划分和计算,因而计算效率较低。

本文根据开放磁共振系统中铁磁介质具有轴对称的几何特点,提出了一种基于扇环形状单元的积分方程法,并推导了圆柱坐标系中铁磁介质扇环单元在成像区域上采样点的磁场系数矩阵计算公式。基于该方法,对两种常见开放式磁场共振结构下的z方向梯度线圈和x方向梯度线圈进行了仿真计算,并与多种传统方法在计算精度和计算效率两方面进行了对比。最后为了进一步验证本文方法的准确性,利用实际开放式磁体和实际梯度线圈搭建实验平台,并对两种梯度线圈的梯度磁场进行了测量。仿真结果和实验数据均表明本文方法在保证计算精度的前提下大大提高了计算效率,有助于梯度线圈的校验和后续优化工作。

2 理论模型

2.1 扇环单元数学模型

根据开放式磁共振轴对称的结构特点,引入了扇环单元对铁磁单元进行划分。如图1所示的圆柱坐标系中,扇环单元的空间位置由其内外径r1、r2,上下平面坐标z1、z2和圆心角φ1、φ2决定。

假设单元内存在均匀分布的三维磁化强度M,其在单元外空间中任一点P(r,φ,z)处产生三维空间磁场H,则可建立H与M的关系式为:

式中,A为磁化强度与磁场强度之间的系数;下标r、φ、z分别表示径向分量、周向分量和轴向分量。

为了得到系数A,用等效磁流法[15]将磁化强度等效为磁化电流,再用毕奥-萨法尔定律进行计算:

式中,J为磁化电流密度。以计算系数Arr,Arφ,Arz为例:

利用相同方法,可求得其他系数,联立可得系数矩阵A:

系数矩阵A由铁磁单元的几何尺寸、空间位置以及目标场点的空间位置决定[16]。在进行梯度线圈优化设计和结果校验时,铁磁介质和目标场点是固定不变的,因此在此过程中,该系数矩阵也是固定不变的。因而在相同结构磁体中,涉及梯度磁场计算时,铁磁介质的网格划分和系数矩阵只需进行一次计算,便可进行后续所有的优化和校验。

2.2 积分方程法

空间磁场可以视为由源区(电流源、永磁体等)和磁化区域综合产生[17]:

式中,H为空间中任一点磁场强度;HS为源区产生的磁场;HM为磁化区域产生的磁场。假设铁磁介质共划分L个单元,则式(6)可扩充为:

式中,Hab M表示第b个铁磁介质单元在第a个铁磁单元内产生的磁场强度。将式(1)代入式(6),并整理可得:

式中,A为上文所求的系数矩阵;χ为该单元铁磁介质磁化率,由铁磁介质磁化曲线和工作点决定。

通过求解式(8),可求得所有铁磁单元内部的磁场强度,进而可以求得铁磁单元内部的磁化强度。最后结合源区产生的磁场,便可求得空间任意一点的磁场强度。

当假设铁磁介质工作区域接近线性时,磁化率可视为常数,式(8)为线性方程组;当铁磁介质工作区域位于非线性段时,需利用磁化曲线通过迭代计算单元内磁场强度。

3 仿真计算

本节中,采用第2节的方法对梯度线圈产生的梯度磁场进行仿真计算,并与直接法(不考虑铁磁介质)、镜像法和有限元法结果进行比较,从而验证本文方法的计算精度和计算效率。

将现有开放磁共振磁体的结构归纳为两种常见结构(如图2所示):结构1的特点在于调节成像区域磁场分布的铁磁介质部件位于整体结构的边缘(通常称为匀场环),通过调节该部件的长度和宽度来修正磁场,是目前最常用的结构;结构2的特点在于调节成像区域磁场分布的铁磁介质位于整体结构的中央,通过调节中央无铁磁介质区域的大小来修正磁场。这两种结构不仅涵盖了常用开放式磁共振的结构特点,其对梯度磁场的影响也有较大差别。因此对两种结构下的梯度磁场进行仿真计算,可以有效地验证计算方法的普适性和计算精度。

由于在磁共振成像中,梯度磁场仅轴向(z方向)分量参与空间定位,因此下文仅计算梯度线圈的轴向磁场分量,但铁磁介质中的磁化强度是三维空间向量。

3.1 计算精度

3.1.1 z方向梯度线圈

z方向梯度线圈的结构如图3所示,其由多个不同匝数和电流方向的同轴电流环组成。

现采用四种方法计算z方向梯度线圈在两种结构中的梯度磁场,并进行误差分析,所得误差结果见表1。

直接法的结果说明在两种铁磁介质结构中,直接法的计算结果均存在较大的误差。镜像法的结果在两种结构中存在较大差别。分析认为这是由于铁磁介质和线圈的结构特点造成的。图3所示的z方向梯度线圈的外侧电流较少,因此该线圈对结构1中的匀场环不敏感,因而结构1整体与镜像法假设的无限大平面接近,所以计算误差较小;而结构2中铁磁介质的中心空孔会极大地破坏镜像法的假设,因此误差较大。本文方法在两种结构中的结果均较为理想,说明本文方法不会由于铁磁介质的结构差异导致计算结果出现明显偏差。相对而言结构1的结果略差于结构2的结果,其原因可能为结构1边缘凸起处的磁化强度变化较大,从而导致磁化强度的计算出现一定的误差。

3.1.2 x方向梯度线圈

x方向梯度线圈的结构如图4所示,其由不规则的“指纹”型电流回路组成。

现采用四种方法计算该结构x方向梯度线圈在两种结构中的梯度磁场,并进行误差分析,误差结果见表2。

由表2可知,直接法的结果在两种铁磁介质结构中同样不理想。x方向梯度线圈镜像法的结果与z方向梯度线圈镜像法的结果相反,结构1的结果要差于结构2的结果。其原因为图4所示的x方向梯度线圈,其电流主要集中在边缘区域,因此对于结构1中匀场环的部分比较敏感,而对结构2中铁磁介质中心空孔不太敏感,从而导致结构1的结果要差于结构2的结果。分析本文方法的结果可以发现其在两种结构中依旧能保证精度。

结合z方向和x方向两种梯度线圈的分析结果可知:(1)直接法的结果通常都不理想,因此用常规设计方法得到的梯度线圈无法直接在实际磁体中使用,需要进行校验和优化;(2)镜像法的结果往往受到线圈和铁磁介质结构的影响,计算精度无法得到保证;(3)本文方法不受线圈和铁磁介质结构影响,计算精度可以得到有效控制。

3.2 计算效率

在同一台计算机上用Matlab运行本文所用方法和Ansoft有限元软件计算同一组案例。计算机配置如下:4核CPU i5-3740 3.2GHz;内存8GB。

采用有限元法时,对于z方向梯度线圈,由于其具有轴对称结构,因此采用二维建模,计算速度很快,仅需2min;对于x方向梯度线圈,三维模型的计算时间较长,约需12min,由于线圈形状特殊,因此需要联合Solidworks等软件进行建模,流程比较复杂。

采用本文方法,两种梯度线圈均采用三维模型,总用时小于1min。其中系数矩阵计算时间为50.7s,实际用于磁场计算小于5s。

通过以上数据对比可以发现,本文方法即使考虑系数矩阵计算,在计算效率上相对于有限元法依然有明显优势;如果再考虑系数矩阵无需重复计算的情况,则计算速度方面的优势将更加显著。

4 实验结果

为了验证本文理论方法和仿真结果的正确性,以开放式超导磁共振实际磁体为实验平台,通过对安装在实验平台中的梯度线圈产生的梯度磁场进行测量,并与仿真结果进行对比,从而对本文方法进行验证。

实验平台和测量设备如图5所示。图5(a)为0.7T开放式超导磁共振的主磁体;图5(b)为测量工装,测量工装安装在上下极面之间,测量工装上距离中心不同距离的测量点为成像区域上的磁场采样点;图5(c)和图5(d)分别为z方向梯度线圈和x方向梯度线圈。

成像区域梯度磁场的测量流程为:(1)将主磁体励磁至工作电流,此时中心点磁场为0.7 T;利用测量工装测试成像区域测量点处的磁场强度(测量仪器为Metrolab PT2025核磁共振仪),该磁场强度为主磁场强度;(2)将梯度线圈外接一个恒定电流源,并施加1A电流,再次测量成像区域测量点处的磁场强度,该磁场强度为主磁场强度和梯度磁场强度之和;(3)将步骤(2)中的磁场强度减去步骤(1)中的磁场强度,得到在1A工作电流下,梯度线圈产生的实际梯度磁场强度。通过上述流程,分别对z方向梯度线圈和x方向梯度线圈产生的梯度磁场进行测量,并将实验测量结果与四种方法的计算结果进行对比,结果见表3。

由于开放式磁共振实际磁体采用的是结构1的铁磁介质结构,因此实验结果与结构1的结果相近。直接法和镜像法结果均存在较大误差,有限元法和本文方法相对精度较高,但依旧与实验结果有一定的偏差。造成这种偏差的原因有两方面,一方面是铁磁介质仿真时采用的材料属性和实际材料属性有一定偏差,同时实际铁磁介质材料本身存在差异;另一方面梯度线圈在实际制作过程中无法达到理想模型的精度,并且还需要额外添加进出线。

5 结论

本文基于开放式磁共振的轴对称结构特点,提出了一种基于扇环形状单元的积分方程法计算开放式磁共振的梯度磁场。利用该方法计算开放式磁共振的梯度磁场相比现有方法具有以下优点:

(1)计算精度高且不受磁体结构影响。当模型中铁磁介质具有轴对称特点或可以采用扇环单元进行近似划分时,均可采用本文方法计算。在两种开放式磁共振结构中,本文方法的计算精度已证明具有实际应用价值。

(2)计算效率高。本文方法只对铁磁介质划分网格,相对于有限元法中存在大量的空气域网格,可以节省大量计算资源,有效提高计算效率。

(3)有利于重复校验和后续优化算法。在铁磁介质结构不变时,本文方法只需计算一次系数矩阵。在重复验算和优化的迭代计算中,具有明显的优势。

巧用方法 快速“消元” 篇11

一、整体代入消元

例1 解方程组3x+2y=1，①2x+4y=-2. ②

分析：方程组中y的系数成倍数关系，把①变形为2y=1-3x，并将其看作一个整体代入②中，可直接消去y.

解：由①得2y=1-3x. ③

把③代入②，得2x+2（1-3x）=-2，解得x=1.

把x=1代入③，得y=-1.

∴x=1，y=-1.

点评：当方程组中某一未知数的系数成倍数关系时，把其中系数的绝对值较小的方程进行变形后，把它看成一个整体代入另一个方程，可直接消去一个未知数，达到消元的目的.

二、整体加减转化后再消元

例2 解方程组3x+2y=7， ①2x+3y=8. ②

分析：本题中未知数x、y的系数的和均为5，而差的绝对值为1，可用加减法将原方程组转化为较简单的方程组，再求解.

解：由①+②，得5x+5y=15.

化简，得x+y=3. ③

由①-②，得 x-y=-1.④

由③+④，得2x=2，∴x=1.

将x=1代入③，得y=2.

∴x=1，y=2.

点评：当未知数的系数的和或差的绝对值相等时，可先用加减法将原方程组转化为较简单的方程组，然后再求解.

三、先设比值后消元

例3 解方程组■=■， ①3x+4y=32. ②

分析：可以将方程①进行化简，再用代入消元或加减消元法求解，但运算量较大. 可考虑设比值消元，即用另一个字母代替x、y，求解时就会有意想不到的效果.

解：把方程①看成比例式，设其比值为k，即设■=■=k.

可得x=5k-1，y=2k+3，

代入②中，得3（5k-1）+4（2k+3）=32，解得k=1.

所以原方程组的解是x=4，y=5.

点评：在方程组中，当一个方程是比例式时，一般采用设比值法.

四、先换元后消元

例4 解方程组

■+■=2 ， ①■=■-3 . ②

分析：方程组的结构虽然比较复杂，但有一定的规律：方程②可化为■=■-3 ，这样方程组中的两个方程都含有（2x+3y）和（3x+2y），所以考虑设2x+3y=m，3x+2y=n，这样就可以化复杂为简单，从而能快速、准确地求解.

解：根据方程组的结构特征，设2x+3y=m，3x+2y=n，则原方程组可化为■+■=2， ■=■-3.

再把■、■看成一个整体，易得m=2，n=5，则2x+3y=2，3x+2y=5.利用整体加减法，易得原方程组的解为x=■，y=-■.

点评：当方程组中方程的结构比较复杂，且有某些式子的结构相同时，可以考虑用换元法.

五、先消常数项后消元

例5 解方程组■+■=1， ①■+■=1. ②

分析：观察方程组中的两个方程发现，如果用基本方法对方程进行化简，会比较繁杂.由于方程组中的两个方程的常数项相等，故可以用消去常数项的方法求解.

解：由①-②，得■+■=0，即y=-2x.

把y=-2x代入①中，得■-■=1，解得x=-6，故y=12.

所以原方程组的解为x=-6，y=12.

点评：当二元一次方程组中的两个方程的常数项相等时，可以采用消去常数项法得到关于x、y的关系式，然后将此关系式代入原方程进行求解.

快速计算方法 篇12

随着人工成本的增加和自动化程度的提高, 玻璃生产线的自动化取板设备需求量越来越大。目前有多种玻璃堆垛设备, 包括水平堆垛机、垂直堆垛机、机械手堆垛系统及下取板翻转堆垛机等等, 这些堆垛设备均能完成自动化堆垛任务;但是其效率、周期和故障率等性能参数, 已不能满足现在多数客户的生产需求, 尤其在拉引量1 000t/d以上的玻璃生产线上, 上述堆垛设备已经显得力不从心。

下面是目前各种堆垛设备的具体生产运行情况:1) 水平堆垛机适用于大中板堆垛, 目前国内市场常用的水平堆垛机每片堆垛周期为12~14s、堆垛周期长、故障率较高、设备占地面积非常大, 导致生产线布置得很长。2) 垂直堆垛机适用于中小板堆垛, 以进口设备为主, 其堆垛精度高、周期为5~7s, 但是价格高昂、结构复杂、维护成本高;目前国产垂直堆垛机技术还不成熟, 相较于进口设备, 其精度低、周期长、故障率高、市场推广应用不广泛。3) 机械手堆垛系统适用于中小板堆垛, 可以连续布置多台, 其周期为8~12s、堆垛精度较高, 但是组成机械手的机器人维护成本高、对操作人员技能要求很高。4) 下取板翻转堆垛机主要用于玻璃深加工, 其周期为20~25s, 无法满足连续生产线的要求, 但是其结构简单、占地面积少。

基于上述情况, 笔者分析了玻璃生产线最优堆垛设备的发展方向, 研究设计制造了一种多功能平板玻璃快速堆垛机。该新型设备在功能和性能上达到并超过进口垂直堆垛机, 结构上更加简化, 同时降低了各项成本和操作难度, 响应速度快, 堆垛周期上取板不大于5s、下取板不大于7s、堆垛精度达到±1.5mm, 故障率进一步下降。

2 快速堆垛机的设计开发

2.1 新型设备基本结构组成

笔者设计的快速堆垛机, 是在垂直堆垛机、机械手堆垛系统和下取板翻转堆垛机的基础上进行升级改造的, 适用于中小板堆垛, 可以在空气面和锡面自由切换取板。

该设备整体框架借鉴下取板翻转堆垛机, 但是将连接两侧大臂的扭矩臂取消, 增加运行空间, 缩短和堆垛架的距离, 占地面积减小。

吸盘架采用可旋转吸盘架, 既可以满足空气面和锡面自由切换取板, 又可以自由调整堆垛角度, 可适应不同角度的玻璃架。

不同于垂直堆垛机的连杆机构带动旋转, 该设备采用伺服电机和行星减速机驱动吸盘架旋转, 响应快、控制精度高, 取消了垂直堆垛机的连杆机构, 采用两台伺服电机连接减速机分别直接驱动一侧的大臂, 从而简化了结构。因为大臂较长, 又没有连杆机构限制, 如果采用普通的电机和减速机, 会导致响应速度慢、吸盘架的位置误差非常大, 从而不能满足精度要求;综合考虑后, 决定选用伺服电机和RV减速机。RV减速机, 多用于机械手堆垛系统中机器人各个轴的驱动, 其精度非常高, 空程误差小于1arc min, 可以满足吸盘架的位置精度要求。

使用该设备, 还需要有前端对正装置、测边对中装置、伺服定位取板辊道和玻璃架旋转台等辅助设备, 这些设备均有成熟技术可以借鉴应用, 此处不再赘述。

2.2 新型设备基本结构设计

快速堆垛机由两个独立主机座、两个独立大臂、吸盘架、气路真空系统和电气控制系统等组成。主驱动的伺服电机和RV减速机安装在主机座上, 两个主机座相对布置, 与减速机轴线重合;大臂安装在减速机输出轴法兰上;吸盘架安装在两个大臂末端, 其中一个大臂上安装有伺服电机和RV减速机, 用于驱动吸盘架旋转。吸盘架上安装有多组真空吸盘, 其数量和形式根据需要抓取的玻璃确定;吸盘通过真空阀岛控制真空的抽取和释放, 响应速度快, 真空通过放置于主机座旁边的真空泵产生。

大臂旋转半径长度L和主机座中心高H, 由取板辊道标高H1、玻璃板最大规格长度B、旋转堆垛台的放板高度H2和旋转堆垛台上玻璃架放板位置与主机座中心的距离S2确定。一般放板时, 玻璃板下沿距玻璃架承载面为5~10mm为宜, 大臂长度L不能太大, 以满足玻璃板规格同时互不干涉为宜, 否则会增加主驱动负担, 从而需要重新选择更大的伺服电机和减速机;同时, 大臂旋转角度越小越好, 否则堆垛周期就会增加, 达不到设计要求。根据上述相关参数, 通过公式计算并在计算机辅助软件内进行玻璃板旋转验证;玻璃板旋转如图1所示, 相关计算公式如下。

式中, L为大臂旋转半径;B为玻璃板最大长度;H为主机座减速机中心至地面高度;H0为吸盘架的吸盘面至吸盘架旋转中心距离;H1为取板辊道辊面至地面高度;H2为堆垛台上放板时玻璃板下沿至地面高度;H3为吸盘架的旋转中心至地面高度;S1为放板时吸盘架的旋转中心与主减速机中心的水平距离;S2为堆垛台上放板时玻璃板下沿与主减速机中心的水平距离;α1为大臂初始位置与水平面夹角;α2为大臂旋转角度;α3为放板时大臂与水平面夹角。其中, 已知H0、H1、H2、H3、B、S2的数值。

为防止取板过程中玻璃板在旋转过程中与取板辊道发生碰撞, 则有

为尽量减小主驱动负载, 初始取板位置时, α1应大于0°, 且不能过小, 所以

通过上述公式, 可以根据玻璃板最大长度B初定一个L值进行初步计算, 然后进行核算。

根据上述确定的参数, 进行初步结构设计, 估算各结构 (包括吸盘架整体和大臂等) 重心位置、重量和转动惯量等, 完成这些初步方案设计和计算后再进行驱动选型。

2.3 新型设备气路真空系统设计

2.3.1 真空系统

吸盘在抓取玻璃板时, 其真空的产生主要有两种方式, 即真空泵和真空发生器, 两种方式各有优缺点。

真空泵价格便宜, 但在使用时需要配合电磁阀控制真空的通断和释放, 还需要增加一个真空罐来降低真空泵的启动频率, 提高真空泵的使用寿命。

真空发生器主要有集成式和单片阀式结构:集成式真空发生器可以控制多个吸盘, 如果针对不同规格的玻璃板, 就需要两个以上的真空发生器进行分区控制, 且分区不能更改;单片阀式真空发生器需要多个组合在一起使用, 每个阀控制1~3个吸盘, 可以很自由的控制吸盘的真空通断和变更分区。此次设计选用单片阀式结构, 此种结构可选用阀岛, 减少设备接线, 吸盘架上只需要通入压缩空气, 集成化程度高。

2.3.2 气路系统

每个吸盘均配有小型气缸, 主要功能是将不使用的吸盘抬起, 防止发生意外。这些气缸的控制和分区与吸盘真空的控制应同步, 即不使用的吸盘真空关闭, 气缸动作同时抬起吸盘。因此, 同样采用阀岛形式的电磁阀控制, 可以实现自由分区控制。

2.4 新型设备主要参数设计计算

2.4.1 基本参数

因为大臂长度很长, 所以对主机座上减速机的精度要求很高, 减速机的齿隙误差Δω越小, 大臂端部吸盘架的移动误差Δs越小, 通过下述公式代入减速机误差进行计算

代入设计时初选的L=1 600mm, 假设Δω=10arc min, 可得Δs=5.8mm, 误差数值很大, 将Δω降到1arc min时, Δs=0.58mm, 所以应选用减速机的齿隙误差Δω越小越好。

经过市场考察, 用于机器人的精密RV减速机可以满足此种应用要求, 其最小齿隙误差可以做到0~1arc min。

根据2.2节中结构设计初步估算的各个数据来核算减速机的大小, 按照大臂水平时系统最大静载考虑。大臂水平静载状态受力, 如图2所示。其中:M1为吸盘架总重量 (kg) ;R1为吸盘架相对于主减速机的偏心距 (m, R1=L) ;M2为两个大臂总质量 (kg) ;R2为两个大臂相对于主减速机的偏心距 (m, R2=L/2, 按照大臂质量分布基本均匀考虑) ;J为吸盘架和大臂作为整体相对于主减速机轴的转动惯量 (kg·m2) ;g为重力加速度 (N/kg) 。

已知设计目标堆垛周期t=5s, 一般取板时间t1和放板时间t2没有太大变化, 可根据以往经验确定, 取t1=t2=1s, 则有:

大臂转动角度α2的运动时间 (s)

根据大臂的运动时间t3, 确定加速时间t4 (减速时间相同) 。

大臂最大转速 (r/min)

大臂的角加速度 (rad/s2)

2.4.2 加速过程参数计算

根据上述公式得出需要的数值, 再进行下一步加速过程计算, 如下:

加速力矩 (N·m)

重力偏心力矩 (N·m)

合力矩 (N·m)

折算到单个主减速机输出端的加速力矩 (N·m)

单个主减速机输出端的最大径向力 (N)

根据上述公式得出的加速力矩值T1选择满足力矩要求的减速机型号, 选择不同的速比i1, 代入下述公式进行计算, 选择减速机效率η1=0.9, 则折算到主减速机输入端的加速力矩 (N·m)

由减速机样本, 可得主减速机的空载力矩T3 (Nm) 。

主伺服电机的最高转速 (r/min)

主伺服电机角加速度 (rad/s2)

主伺服电机自身转动惯量为Jm (kg·m2) 。

主伺服电机克服自身转动惯量加速的力矩 (N·m)

主伺服电机在加速时总输出最大力矩 (N·m)

根据伺服电机的最高转速n2, 在伺服电机样本中选择不同规格的伺服电机, 将参数代入式 (21) 、式 (22) 中, 查看该规格伺服电机参数是否满足计算结果。

2.4.3 相关校核

2.4.3. 1 惯量比

为保证系统在加减速过程中稳定运行, 负载惯量和驱动惯量应相互匹配, 由样本可得减速机自身转动惯量Jg (kg·m2) , 则负载惯量与驱动惯量的匹配值

一般取λ=1~3, 系统运行处于最佳状态。

2.4.3. 2 过载能力系数

为保护减速机不受伤害, 减速机的过载能力应满足要求, 由样本可得伺服电机的最大输出力矩Tdm (N·m) 、减速机的紧急制动力矩Tj (N·m) , 则减速机的过载能力系数

过载能力系数k>1时, 减速机满足过载要求, 如果k≤1时, 则需要限制伺服电机的最大电流来保护减速机。

2.4.3. 3 膨胀螺栓计算

设备通过膨胀螺栓将主机座固定于生产车间的混凝土地面, 需要计算膨胀螺栓的数量和尺寸, 根据前文已知主机座上减速机输出端负载扭矩T1, 根据主机座相关数据进行计算。

已知:主机座重量M3 (kg) ;最外沿膨胀螺栓距主机座中心线距离Sp (m) ;主机座受到扭矩Tp=T1 (N·m) ;最外沿膨胀螺栓作用于主机座底板的合力F1 (N) ;中心处膨胀螺栓作用于主机座底板的合力F2 (N) 。

取板状态时, 对主机座进行受力分析。主机座受力如图3所示, 则有

将计算结果放大一定的安全系数, 取1.2~1.5倍;选择膨胀螺栓的尺寸, 合理布置膨胀螺栓的位置和数量。

2.5 新型设备吸盘架驱动选型计算

吸盘架驱动由一台伺服电机和一台行星减速机组成, 其设计计算方法与主驱动完全相同, 将相关参数代入前述公式中即可根据结果选择合适的减速机和伺服电机。

2.6 新型设备计算机辅助校核设计

该文只讨论快速堆垛机的设计方法, 关于该设备的计算机辅助校核设计, 此处不再赘述。

3 结语

该文介绍了一种多功能平板玻璃快速堆垛机的设计理论和计算方法, 通过市场调研, 对其方案设计、结构设计、主要零件分析、系统配置选型等设计过程进行了检验论证。该新型设备的设计过程, 可以用于各种类似应用环境下的设计参考, 以进一步提高设计效率, 保证最终设计结果的准确性。

该快速堆垛机大大提高了玻璃堆垛效率和精度, 提升了产品质量, 填补了国产高端玻璃堆垛设备的空白, 对国内玻璃堆垛设备的设计制造水平有很大的推动作用, 已基本达到国际先进水平。该新型设备具备响应速度快、堆垛速度快、堆垛精度高等特点, 可用于取代常用堆垛设备。

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