余弦定理应用举例

余弦定理应用举例（通用4篇）

余弦定理应用举例 篇1

正弦定理和余弦定理揭示了三角形中的边角关系,有关三角形中边角关系的问题,则可以使用上述两个定理来实现边角的转化,使解题方向明确.

一、可以转化正弦余弦定理的问题

例1在△ABC中,若9a2+9b2=19c2,求

分析:通过将P化简,就可以结合正弦定理、余弦定理求解.

正弦定理、余弦定理有,,,代入P中，得到

又由已知有,代入上式得到

评注:对于某些三角问题,通过观察是需要找出边和角之间的关系,则不妨尝试采用三角形的方法,再用正弦定理和余弦定理,得出新颖而简捷的解法.

变式题:在△ABC中,如果

答案:，则，所以，所以

二、可以构造成正弦余弦定理的问题

例2求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

分析:注意到该三角函数式与余弦定理形式相似,可以构造三角形来解决.

解:sin220°+cos250°+sin20°sin40°的结构与三角形中的余弦定理形式相似,通过构造一个内角分别为20°,40°,120°的三角形,且使其外接圆的半径为1,那么由正弦定理知道这个三角形的三边分别为sin20°,sin40°,sin120°,再由余弦定理有sin2120°=sin220°+sin240。-2sin20°sin40。.cosl20°，从而sin220。+cos250°+sin20°cos50°=

评注:有些三角函数问题,观察其构造形式与三角形中的余弦定理形式相似,则这时也尝试通过利用正弦定理和余弦定理进行解决问题.

变式题:求值:sin285°+sin280°-2sin85°sin80°sin75°.

答案:在△ABC中,设∠A=85°,∠B=80°,∠C=15°,外接圆半径为R,

三、可以通过变形为正弦余弦定理的问题

例3已知α、β、γ都是锐角,且满足sin2求α+β+γ的值.

分析:该题同样也通过构造来解决.

解:已知等式变形为

上式与余弦定理类似,通过构造△ABC,使

根据正弦定理有,

而C>90°,α、β都是锐角,那么A、B、、都是锐角,则,,故A+B+C=

评注:注意到三角函数式的形式类似于余弦定理,则可以通过构造三角形,并结合正弦定理解决.

变式题:在任意一个△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-siiL4)+c(sinA-sinB)=0.

答案：左式=2/?sirb4(sinB-sinC)+2RsinB(sinC-sinA)+2/fsinC(sinA-sin8)=2R[sinAsinB-sinAsinC+sinfisinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB]=0.

四、可利用正余弦定理解决的函数问题

例4在平面上有A、B、P、Q四个点,A、B为定点,,P、Q为动点,且AP=PQ=QB=1,记△ABP与△PQB的面积分别为S、T;(1)求S2+T2的取值范围;(2)当S2+T2取最大值时,判断△APB的形状.

分析:本题主要通过余弦定理来研究函数知识,已知条件中有两个三角形的面积,应该想办法把两个三角形联系起来,可以分别在△APB与△PQB中由余弦定理得出PB的关系解决.

解:(1)在△ABP与△PQB中,由余弦定理可以得到:PB2=AB2+AP2-2AB·APcosA

PB2=BQ2+PQ2-2BQ•PQcosQ=1+1-2cosQ=2-2cosQ,

所以,即,

所以

因为-10,

所以S2+T2的取值范围是;

(2)由(1)可以知道当时,S2+T2的最大值为,此时,所以,故当S2+T2取最大值时,△APB是等腰三角形.

点评:此题的关键是想办法建立两个三角形之间的关系,从而得出函数S2+T2的表达式,利用函数知识求解.

练习:若△ABC的三边长为a、b、c,且f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,判断f(x)的图象与x轴的位置关系.

答案:f(x)的图象在x轴上方.

余弦定理应用举例 篇2

正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.重点难点

三角函数·正、余弦定理及其应用 篇3

1. 在[△ABC]中，三个内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a=2，b=22，C=π12]，则内角[A]的值为（ ）

A. [π3]或[2π3] B. [π6]或[5π6]

C. [π3] D. [π6]

2. 在[△ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a2=b2+bc+c2]，则角[A]等于（ ）

A. [2π3] B. [π3]

C. [3π4] D. [π6]

3. 三角形两条边长分别为2和3，其夹角的余弦值是方程[2x2-3x+1=0]的根，则此三角形周长为（ ）

A. [7] B. [7]

C. [5+7] D. [5+23]

4. 若[△ABC]的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则[△ABC]是（ ）

A. 直角三角形

B. 等腰直角三角形

C. 等边三角形

D. 钝角三角形

5. 已知[△ABC]中，[a=4]，[b=43]，[∠A=30°]，则[∠B]等于（ ）

A. 30° B. 30°或150°

C. 60° D. 60°或120°

6. 已知[△ABC]的面积为[32，][AC=3，][∠ABC=π3]，则[△ABC]的周长等于（ ）

A. [3+3] B. [33]

C. [2+3] D. [332]

7. 下列判断中正确的是（ ）

A. [ΔABC]中，[a=7]，[b=14]，[A=30°]，有两解

B. [ΔABC]中，[a=30，b=25，A=150°]，有一解

C. [ΔABC]中，[a=6，b=9，A=45°]，有两解

D. [ΔABC]中，[b=9，c=10，B=60°]，无解

8. 已知[ΔABC]中，[AB=3，AC=1]，且[B=30]°则[ΔABC]的面积等于（ ）

A. [32] B. [34]

C. [32或3] D. [34或32]

9. 若[ΔABC]的三边[a，b，c]，它的面积为[a2+b2-c243]，则角[C]等于（ ）

A. [30°] B. [45°]

C. [60°] D. [90°]

10. 已知[a，b]为[△ABC]的边，[A，B]分别是[a，b]的对角，且[sinAsinB=23]，则[a+bb]的值为（ ）

A. [13] B. [23]

C. [43] D. [53]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知[△ABC]中，[A∶B∶C=1∶2∶3]，[a=1]，则[asinA]= .

12. 设[△ABC]的三个内角[A，B，C]所对的三边分别为[a，b，c]，若[△ABC]的面积为[S=a2-（b-c）2]，则[sinA1-cosA]= .

13. 如图，在[△ABC]中，[AB=AC=2]，[BC=23]，点[D]在[BC]边上，[∠ADC=75?]，则[AD]的长为 .

14. 给定下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为[12]的扇形的面积为[12]；②若[α]，[β]为锐角，[tan（α+β）=-3]，[tanβ=12]，则[α+2β=3π4]；③若[A]，[B]是[△ABC]的两个内角，且[sinA

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）[△ABC]中，己知[A>B>C]，且[A=2C]，[b=4，a+c=8]，求[a，c]的长.

16. （10分）已知[a，b，c]是[△ABC]中[A，B，C]的对边， 关于[x]的方程[b（x2+1）+c（x2-1）-2ax=0]有两个相等的实根， 且[sinCcosA-cosCsinA=0]， 试判定[△ABC]的形状.

17. （12分）已知[A，B，C]是[△ABC]的三个内角，且满足[2sinB=sinA+sinC]，设[B]的最大值为[B0].

（1）求[B0]的大小；

（2）当[B=3B04]时，求[cosA-cosC]的值.

18. （12分）设[△ABC]的内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]. 已知[b2+c2=a2+bc]，求：

（1）[A]的大小；

（2）若[a=2]，求[△ABC]面积的最大值.

余弦定理应用举例 篇4

正弦定理、余弦定理的应用极为广泛,它将三角形的边与角有机地联系起来, 从而为解三角形、判断三角形形状、证明三角形边角关系提供了重要的依据.在运用正余弦定理解题时,往往涉及许多数学思想.

一、 化归与转化思想

化归与转化思想就是化未知为已知, 化繁为简,化难为易.在解决三角形边角关系时经常用正弦定理、余弦定理进行边角关系的转化,进而化难为易.

例1在△ABC中, 角A、B、C所对的边的长分别是a、b、c,求证:

分析: 由于所求证的结论是三角形的边角关系,很自然地我们就会联想到用正余弦定理进行边角关系的转化.

证明:由正弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

所以a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.

整理,得

由正弦定理,得

所以故所求证的等式成立.

评注:本题在求解过程中,充分利用正弦定理、余弦定理进行边角之间的转化,从而使问题获得解决.

二、 分类与整合思想

分类与整合思想就是当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.当已知三角形两边和其中一边的对角时,常常用到分类与整合的思想.

例2在△ABC中,已知A=45°,求 c,B,C.

分析:由于已知三角形两边a,b及一边的对角A,所以先用正弦定理求另一边的对角B(有两解),得到两种情况,在依角B的值进行分类求解.

解:由

∵bsinA﹤a﹤b.

∴这个三角形有两解.

∴B=60°或 B=120°,∴C=75°或 C=15°,

当B=60°,C=75°时,由

当B=120°,C=15°时,由

故B=120°,C=15°.

评注:本题在求解过程中按角B的大小进行了分类讨论.

三、 函数与方程的思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程的思想是从问题的数量关系入手, 运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.

例3在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对边的长,且a=4,b+c=5,求△ABC的面积.

分析: 用两角和的正切公式求出特殊角的函数值,再利用正弦定理、余弦定理列出方程组、通过解方程组求出三角形的边长,进而求得三角形的面积.

解:由

∵A+B+C=180°,∴即

∵0°﹤C﹤180°,∴C=60°,∴cosC=1/2.

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,即 c2= a2+b2-ab.

又∵a=4,b+c=5,以上三个方程组成方程组解得a=4,b=3/2,c=7/2. ∴