晶体管模型

晶体管模型（共5篇）

晶体管模型 篇1

（一）简介

在早期，Ebers和Moll提出了一组方程来表示晶体管中的电压电流关系。为了看起来简单，这组方程被写成了矩阵的形式。后来人们用这组方程建立了一些晶体管模型。Robert W.Dutton教授在此基础上建立了一个为计算机电路仿真服务的晶体管雪崩模型。胡正明教授则建立了一个关于SPICE的MOSFET准静态模型。其它科学家在晶体管建模方面也都各有成就。

在本文中，主要讨论晶体管的高频大信号模型。考虑高频效应和大信号的非线性效应等，基区体电阻和极间的电容效应都会被考虑。从EM的PN结方程出发，建立电路方程，用一些数值方法和解析方法来解决其中的非线性关系。

（二）基本模型

根据文献，E-M方程可以写成：

Vbe是基极与发射极之间的电压，是基极与集电极之间的电压，TV是热电压，在常温下近似为0.026V, Ie是发射极电流。其它参数定义如下：

由αF的定义，得到：

在大多数情况下集电极与发射极的电压，因此在(1)式中的第二项比第一项要小很多，可以忽略不计。并且把第一项中的指数项分成二个部分，于是有：

为直流偏置, 为输入信号。对于, 用泰勒展开, 得:

只取第一阶就是通常的小信号模型了。如果信号幅值较大，后面各阶都要考虑，就会有非线性效应，问题也会变得复杂，下面展开讨论。

（三）高频大信号模型

晶体管的接入电路如图1所示，为共射极接法。

当输入的是高频信号的时候，需要考虑结电容效应。有二个结电容要考虑：一个是bC'c，另一个是Cb'e。在晶体管手册中，有一个参数叫Cob，有的叫Cc，这个值很接近Cb'c。结电容bC'e的容值由加在BE结上的电压决定。因为输入信号的电压幅值比直流偏置电压要小很多，因此它主要还是由直流偏置电压决定。这样结电容Cb'e的容值可有下式给出：

其中s是晶体管的截面积，ε是介电常数，q是电子的电量，N是掺杂浓度，是BE结接触电势，bV'e是加在BE结上的直流偏置。由前面的牛顿迭代法得到，其它所有的参数都可以在晶体管手册中找到。

首先，我们分析输入部分的电路。应用基尔霍夫电流定律，得：

其中I是流过rbb'(基区体电阻)的电流，I1是在基本模型中的电流，I2是流过结电容Cb'e的电流。由KVL，有

联立 (2) 式和 (4) 式，得：

只考虑直流部分(第零阶项)，联立 (6) 、 (7) 、 (8) ，可得：

方程 (9) 是一个超越方程，没有解析解，只有数值解。我们用牛顿迭代法来解这个方程。定义函数如下：

给一个初值，如：V0=VD，则。然后用如下的迭代格式：

其中f'的导函数。定义误差限，如ε=.0001。由于DV的数量级为0.1V，这个界限已经足够准确了。如果Vn-Vn-1的绝对值比误差限小，迭代结束;否则继续迭代。

在数次迭代之后，我们就可以得到bV'D的值了，。

下面考虑交流成分。由电流的定义式和电容公式可写出I2，代入 (6) 式并整理得：

这个微分方程没有解析解，但可以用数值算法得到数值解。我们这里用改进的欧拉算法来解这个方程。首先离散化时间，并给定时间间隔h。通常h的取值和频率有关。定义函数如下：

然后给v一个初值，如：

这样，我们就可以开始做如下的迭代了

迭代完成时，就可以得到vb'在每个时间点上的值了。如果输入信号的导函数不连接，那么就要在间断点上重新赋予初值，然后再进行迭代。

下面计算输出部分。由基尔霍夫电流定律，输出部分的电路方程可写为：

其中Ic是集电极电流，i3是流过结电容bC'c的电流，可以用电容定义和电流定义式写出，VCC是电源电压，vO是输出电压的交流部分，VOD是输出电压的直流部分。这个方程可以用解析方法解出，这里不做讨论。这样，我们就最终得到了在每一个时间点上的vO值。

（四）仿真实例

应用牛顿迭代法，可得在b'点处的直流电压为Vb'D=.069V。由此节电容值就可以根据上面的分析确定下来，如为Cb'e=32pF、Cb'c=.064pF。设。然后应用改进的欧拉算法，可得在b'点处的交流电压波形，如图2所示。

最后再用解析方法解出输出部分的方程，得到输出电压波形。

（五）结论

由Ebers-Moll晶体管模型开始，推导了高频大信号晶体管模型。由于输入信号的幅值比较大，就会有非线性效应的产生，在b'点处直流电压和信号的电压分量就不能用解析方法得出。而用数值方法如牛顿迭代法来得到在b'点处的直流电压。由于输入信号的频率比较高，晶体管的结电容效应不能忽略，应用基尔霍夫定律可以建立电路方程，由于是一个一阶非齐次非线性的微分方程，解析法无能为力，用数值方法如欧拉算法得出在b'点处的信号电压分量。然后就可以直接套用基本模型的公式，并利用解析方法就可以算出输出电压了。与此同时，举例说明牛顿迭代是如何进行的，欧拉算法是如何运作的，最后得出输入输出波形图。这个模型也同时适用于小信号输入，当然小信号输入可以直接用解析方法近似解决。

摘要：Ebers-Moll模型提供了用PN结方程的方式来建立三极管模型的一种方法, 为推导三极管的高频大信号模型提供了一种理论基础。主要是考虑PN结本身的非线性效应和结电容、基区体电阻等的影响, 寻求一种简单有效的解决办法。利用牛顿迭代法来解决关于直流工作点的超越方程;利用欧拉算法来解决关于输出信号一阶非线性非齐次微分方程问题, 并得到一系列的数值解。最后, 举了一些例子来说明这些迭代算法是怎么样进行的。

关键词：EM模型,牛顿迭代法,欧拉算法,超越方程

参考文献

[1]Bipolar Transistor Modeling of Avalanche Generation for Computer Circuit Simulation By Robert W.Dutton IEEETRANSACTIONS ON ELECTRON DEVICES, VOL.ED-22, NO.6, JUNE1975.

[2]A Non-Quasistatic MOSFET Model for SPICE, Hong June Park, Ping Keung KO and Chenming Hu, Electron Devices Meeting, 1987International Volume33, 1987Page (s) :652-655.

[3]Large-Signal Behavior of Junction Transistors, Proceedings of the IRE, Volume42, Issue12, Dec.1954Page (s) :1761-1772.

晶体管模型 篇2

晶体结构模型制作大赛

策

划

书

二、大赛时间：2010年月

三、大赛地点：物理楼五楼实验室

四、大赛背景及意义：

一、主办单位：物理科学与技术学院社团联合会微电子协会

固体物理是微电子专业的主要课程之一，在固体物理晶体结构方面的学习较为抽象。为了方便广大学生对晶体结构的理解和认识，培养大学生的实践创新意识与基本动手能力、团队协作的人文精神和理论联系实际的学风；培养学生工程实践素质、提高学生针对实际问题进行设计制作创新的能力特举办本次比赛。

五、大赛主题：

互动、激情、创新

六、大赛内容：

此次晶体结构模型制作大赛是由物理科学与技术学院微电子协会主办，面向物理科学与技术学院微电子专业在校本科生的竞赛，有助于吸引、鼓励大学生踊跃参加课外科技活动，为优秀人才的脱颖而出创造条件。竞赛要求参赛者亲自动手完成晶体结构模型的制作，把书本上的理论知识应用到实际生活中去，在参赛的过程中享受动手制作的乐趣。

大赛组委会向院团委申请专项资金用于购买 橡皮泥，竹签等作为比赛道具。参赛者自愿组队，队员由大一和大二学生组成（每组成员2至3人）。成队后于报名截止日期前填写报名表并交至物理学院社团联合会办公室。竞赛期间学生可以也可查阅有关纸质或网络技术资料，队内学生可以集体商讨设计思想，分工负责、团结协作，以队为基本单位独立完成竞赛任务。

参赛作品的制作可以参考市面上的所有文献、产品和互联网信息，但是此次竞赛鼓励学生进行自我创新，对于作品中有创新、原创的部分，查实无异则有一定加分。递交作品时参赛者应对作

品进行编号并贴标签。参赛者应对作品具有清晰完整的的理论理解和认识。

各队伍必须在指定时间内完成并提交参赛作品，评委将根据用时长短和评分细则对各队作品评分。经过评选结果公示无异议后，将在科技文化艺术节闭幕式上公布得奖情况并对各获奖团队颁奖。

七、大赛具体安排：

1、大赛指导小组：

邹明玮、杨绍琼

2、大赛组委会：

组委会组长：

组委会成员：邹明玮、杨绍琼、王斌

组委会助理：马涛

3、大赛指导教师：

物理学院微电子系主任何军辉教授，参赛队在做赛前准备工作期间可向有关指导老师咨询相关信息。

4、参赛选手：

扬州大学物理科学与技术学院微电子专业在校本科生，每组成员可以为2至3人。

5、大赛时间安排：（具体时间待定）

1）大赛报名：2010年10月

2）器件采购：2010年10月

3）比赛进行：2010年10月

6、获奖名单公布：科技文化节闭幕式

7、每个报名的参赛队必须在报名时确定本队参赛的组别，报名截止后不得更改。

八、评奖方式及奖项设置：

1）评奖方式：本次竞赛评委为；评委将按照竞赛评分细则对各参赛作品公开评分，组委会将根据评委给分评出一、二、三等奖和优秀奖；大赛将对获奖者颁发荣誉证书。

2）奖项设置

一等奖一名：荣誉证书

二等奖二名：荣誉证书

三等奖三名：荣誉证书

优秀奖若干：荣誉证书

九、经费预算

电子元器件元

电烙铁

烙铁架

锡丝

松香

总计：

十、注意事项：

（1）如有疑问请发邮件至大赛邮箱： wlxyshelian@163.com

（2）主办方有权保留获奖者参赛作品，并将作品用于举办获奖

作品展等关联活动，但不会用于商业用途。主办单位将对作者和作品资格进行审查，对于不符合参赛资格或弄虚作假者，一经查实，立刻取消其参赛资格。本次活动主办方保留解释及修改各项竞赛程序、细则及评奖结果的权利，请参赛者留意学校宣传板，如有紧急情况，主办方将用短信通知。

（3）联系人：马涛TEL:***

物理科学与技术学院社团联合会

微电子协会

晶体管模型 篇3

由于噪声比传统可靠性表征参数更为灵敏且含有更为丰富的缺陷信息, 噪声表征参量在失效物理评估方法中发挥着越来越大的作用[3]。低频噪声通常由器件中的杂质和缺陷所引起的, 如氧化层陷阱、界面态、晶格位错等, 低频噪声尤其是过剩1/f噪声和g-r噪声与器件可靠性有密切的关系, 而这些缺陷也是影响双极器件可靠性的重要因素[4]。

文中研究了双极晶体管电离辐射效应的损伤机理, 分析辐射感生缺陷的微观机制。其次根据双极晶体管表面1/f噪声产生机理和辐射后噪声涨落机制, 建立晶体管辐射噪声模型, 并讨论1/f噪声与晶体管可靠性之间的关系。

1 理论模型

(1) 辐照损伤机理。

双极晶体管经电离辐射后增益退化主要是基区电流IB增大引起[5]。为便于讨论晶体管的辐射效应, 把IB分成两部分, 即体成分 (IB, bulk) 和表面成分 (IB, surface) 。电流增益β表达式如下

β=IC/IB=IC/ (IB, bulk+IB, surface) (1)

其中IC为集电极电流。基-射结 (eb) 附近的表面复合电流IB, surface对电离辐射最敏感, 是辐照诱使过剩基极电流的主要成分。表面复合电流表达式可表示为

${\rm I}{}_{B,\text{s}\text{u}\text{r}\text{f}\text{a}\text{c}\text{e}}\propto \frac{qS{}_0\text{Δ}w({\rm N}{}_{{\rm O}X})n{}_i\exp (V{}_{eb}/2V{}_{{\rm T}})}{2}$ (2)

其中q是电子电荷电量;△w (NOX) 是在表面处与氧化物正电荷相关发射极-基级耗尽层宽度的变量;S0为表面复合速率, 与快界面态有关;Veb为基级-发射极电压。

研究表明双极晶体管电离辐射效应主要是在SiO2钝化层内感生氧化物陷阱电荷NOX和界面态Nit[5]。氧化层陷阱电荷改变Si中表面势;界面陷阱成为复合中心, 增加表面复合速率S0。对于npn型双极晶体管的发射极-基级而言, 辐射诱生正电荷NOX的积累将耗尽p型基区, 即耗尽区向基区扩展, 导致总的耗尽层表面积增加。这样辐照诱生两种缺陷的共同作用使得eb结表面空间电荷区出现损伤, 表面复合电流增大, 基极电流IB增大, 从而导致电流增益随着IB增大而减小。而对于pnp型双极晶体管的eb结, 辐射诱生正电荷将使n型基区表面积累, 使得耗尽层表面积减小, 从而抑制表面复合, 如图1所示。

由于SiO2介质层是晶体管对电离辐照损伤最敏感的部位。在电离辐照过程中, 材料原子受到辐射能量作用有可能产生电子-空穴对。SiO2介质层具有绝缘特性, 电子-空穴对不会立即复合, 在电场的作用下, 由于电子的迁移率远远大于空穴的迁移率, 电子将离开氧化层, 而空穴集中在氧化层中。电离辐射产生的空穴输运到Si/SiO2界面附近, 被集中在离Si/SiO2界面约10 nm陷阱区的陷阱俘获所形成, 从而形成氧化物陷阱电荷的积累。对氧化物电荷贡献最多的E'中心、间隙氧施主中心Oi和3价硅施主中心。这些俘获中心俘获空穴形成氧化物陷阱电荷。界面陷阱 (Pb心) 的形成过程是电离辐射使某些硅氢键断裂, 产生原子H, 原子H与俘获辐射感生的空穴形成氢离子H+, 氢离子激活被氢钝化的3价硅悬挂键PbH, 激发出氢原子形成氢气H2, 通过简单的反应式

SiH+H+≡Si·+H2

晶体管的表面复合速率S0与界面态密度Nit有如下关系

S0= (πKT/2) Vth (σnσp) 1/2Nit (3)

其中Nit为界面态密度;k为波尔兹曼常数;Vth为载流子热运动速度;σn, σp分别为电子和空穴的俘获界面。可以看出表面复合速率与界面态密度成正比。界面态的不断形成和积累, 使表面复合速率随着界面态的增大而增大。根据MOS氧化层相关理论, 界面态随辐照剂量的变化量ΔNit表示为

$\text{Δ}{\rm N}{}_{\text{i}\text{t}}=\frac{1}{2}{\rm N}{}_{\text{S}\text{i}-\text{Η}}\sigma {}_{D{\rm H}}\sigma {}_{\text{i}\text{t}}{\rm N}{}_{D{\rm H}}\kappa {}_{g}f{}_{y}t{}_{ox}{}^{2}D$ (4)

其中NSi-H为Si-H键密度;σDH是钝化的3价键DH的俘获截面;kg为单位辐照剂量在单位体积氧化层中产生的电子-空穴对数目;fy为电子-空穴对逃脱再复合的几率;tox为氧化层厚度, D为辐照剂量。从式 (3) 和式 (4) 可见, 表面复合速率与辐照剂量呈线性关系。

(2) 噪声-辐照损伤模型。

双极晶体管中的表面1/f噪声起源于氧化层陷阱俘获和发射载流子, 引起陷阱电荷的涨落, 进而调制了表面势, 产生了基区表面和发射结空间电荷区表面复合电流的涨落, 最终表现为基极电流噪声。这意味着闪烁噪声是由基极表面电流Is引起。双极晶体管基极电流IB可以按以电流为I的二极管同样的方法处理。通过二极管的电流I可以分成两部分, 体内电流IV和表面生成-复合电流Is, 满足下面关系

I (t) =IV+IS (t) (5)

式中, ${\rm I}{}_s(t)=\overline{{\rm I}{}_s}+\delta {\rm I}{}_s(t)$。应用二极管生成-复合理论, 二极管表面复合电流可以描述为

${\rm I}{}_s(t)=qFv{}_{\text{t}\text{h}}\sigma {\rm P}(t){\rm N}{}_{\text{i}\text{t}}\left(\exp \frac{qV}{nk{\rm T}}-1\right)n{}_i\exp \frac{E{}_{{\rm T}}-E{}_i}{k{\rm T}}$ (6)

定义

${\rm I}{}_{S{}_0}=qv{}_{\text{t}\text{h}}F{\rm P}{\rm N}{}_{\text{i}\text{t}}\exp \frac{E{}_{{\rm T}}-E{}_i}{{\rm K}{\rm T}}$ (7)

式中, n≈2;q是电子电荷电量;F为复合面积;σ为电子或空穴的俘获截面, 对于ET<Ti, σ=σn;ET>Ei, σ=σp;P为费米分布函数, 如果ET=Ei, 则${\rm P}=\frac{1}{2}$, 其中, ${\rm P}=\frac{1}{1+\exp (E-E{}_F)/{\rm K}{\rm T}}$。

这种情况下Is有如ni同样的温度依赖关系。定义一个新的无量纲量, Tit=FN+it=FPNit, 则有

$\delta {\rm I}{}_s(t)=qV{}_{\text{t}\text{h}}\sigma n{}_{\text{i}}\left(\exp \frac{qV}{nk{\rm T}}-1\right)\delta {\rm T}{}_{\text{i}\text{t}}(t)\exp \frac{E{}_{{\rm T}}-E{}_{\text{i}}}{k{\rm T}}$ (8)

因此有

$\frac{\text{d}\delta {\rm T}{}_{\text{i}\text{t}}}{\text{d}t}-\frac{\delta {\rm T}{}_{\text{i}\text{t}}}{\tau },\overline{(\delta {\rm T}{}_{\text{i}\text{t}}){}^2}=\overline{(\delta (F{\rm N}{}_{\text{i}\text{n}}^{+})){}^2}=F{\rm P}(1-{\rm P}){\rm N}{}_{\text{i}\text{t}}$ (9)

联立上面式 (6) ～式 (9) , 噪声强度计算表达式为

$S{}_{{\rm I}}(f)=\frac{A}{f}\frac{{\rm I}{}_S^2}{F{\rm N}{}_{\text{i}\text{t}}}\frac{1-p}{p}$ (10)

根据式 (10) , 只有那些位于能级ET的产生-复合中心才起作用。如果存在界面态密度分布, 则上式仍旧正确[6]。表面电流IS主要是由费米能级附近的界面态生成。这种情况下, 费米因子P=1/2, 噪声强度是

$S{}_{{\rm I}}(f)=\frac{A}{f}\frac{{\rm I}{}_S^2}{F{\rm N}{}_{\text{i}\text{t}}}$ (11)

如果二极管中的电流完全是表面电流IS, 则1/f噪声强度正比于电流的平方。若双极晶体管的体电流IV不能忽略, 根据基极电流IB的表达式, IB=IB0exp qV/mkT, 其中1≤m≤2, 则噪声强度为

$S{}_{{\rm I}{}_B}(f)=\frac{A}{f}\frac{1}{F{\rm N}{}_{\text{i}\text{t}}}\frac{{\rm I}{}_{S0}^2}{{\rm I}{}_{B0}^{2m/n}}{\rm I}{}_B^{2m/n}$ (12)

从基极电流噪声模型可以看出, 辐照后由于界面态密度增加, 式 (12) 的分子表示表面复合电流的平方和界面态密度的平方呈正比, 总的基极电流噪声与界面态密度成正比。

上面模型中并没有体现表面势调制对噪声的影响, 基于表面电荷QS对表面势的调制, 建立基极电流噪声模型

$S{}_{{\rm I}{}_B}=\frac{q{}^4{\rm N}{}_{{\rm T}}\lambda }{{\rm K}{\rm T}A{}_{S}C{}_S^{2}f}{\rm I}{}_S^2$ (13)

其中AS是空间电荷区有效表面积;CS为表面单位面积有效电容;λ为有效隧穿衰减系数;Nt为陷阱密度[7]。

2 可靠性的噪声表征

当晶体管正常工作时, 输入电压较小, 辐照后则工作在复合机制下, 此时表现为复合1/f噪声占主导[8]。上面提出的噪声模型表明, 噪声的幅值随复合电流增大而增大。研究表明, 辐照前后噪声幅值的变化可相差几个数量级, 相比电学退化量大的多。说明噪声可以较电学参数更好反映器件的可靠性。噪声幅值越大, 电流指数越接近2, 则器件的可靠性也就越差。当器件工艺尚未达到完善, 表面依然是双极晶体管1/f噪声的主要来源的情况下, 辐照前的表面1/f噪声主要由表面空间电荷区和界面缺陷共同作用产生, 而辐照后复合1/f噪声的增大也主要与表面缺陷相关, 即辐照前后噪声产生的缺陷机制相同, 这就表明双极晶体管也能象MOSFET一样用辐照前1/f噪声幅值表征器件的可靠性。

3 结束语

文中对晶体管电离辐射效应进行了研究, 表明界面态和氧化层陷阱电荷的共同作用对晶体管界面材料产生损伤。其次通过对辐照损伤微观机理的研究和噪声产生的机制分析, 结合缺陷与电参量及1/f噪声参量之间的关系, 建立晶体管辐射损伤相关的1/f噪声模型, 通过1/f噪声模型可以有效表征辐射环境下晶体管的可靠性, 为晶体管的可靠性筛选提供理论依据。

摘要：在双极晶体管界面材料辐照损伤机理及缺陷产生微观机制分析的基础上, 结合缺陷与电参量及1/f噪声参量之间的关系, 建立了辐照损伤的1/f噪声模型。通过讨论噪声与晶体管可靠性之间的关系, 探讨所建立的噪声模型用于双极晶体管辐射表征的方法的可靠性。结果表明此方法为晶体管的可靠性筛选, 提供了理论依据。

关键词：晶体管,辐照损伤,缺陷,1/f噪声模型

参考文献

[1]陈盘训.半导体器件和集成电路的辐射效应[M].北京:国防工业出版社, 2005.

[2]Chen X J, Barnaby H J.The Effects of RadiaTion-in-duced Interface Traps on Base Current in Gated Bipolar Test Structures[C].Solid-state Electronics, 2008 (52) :683-687.

[3]Jevtic.Low-frequency Noise Diagnostic of Microelec-tronic Devices[C].Proc.20th International Confer-ence on Microelectronics, 1995 (12) :219-224.

[4]庄奕琪, 孙青.半导体器件中的噪声及其低噪声化技术[M].北京:国防工业出版社, 1993.

[5]Barnaby HJ, Smith S K, Schrimpf R D, et al.Analyt-ical Model for Radiation Effects in Bipolar Devices[J].IEEE Transactions on NuClear Science, 2002, 49 (6) :2643-2649.

[6]Ottomar Jantsch.Flicker Noise Generated by a Random walk of Electrons in Interfaces[J].IEEE Transactions on Electron Devices, 1987, 34 (5) :1100-1115.

[7]Enhai Zhao, Akil K, Suttun, et al.The Effects of Ra-diation on1/f Noise in Complementary SiGeHBT[J].IEEE Transactions on Nuclear Science, 2004, 51 (6) :3243-3249.

晶体相场模型的研究进展 篇4

朗道理论是固体物理的重要成果。相场方法以Ginsburg-Landau方程为基础,也称为Ginzburg-Landau相场方法。基于序参量表征微结构变化的原理,相场方法针对不同的物理现象,利用位置、时间相关的一个或多个场变量表征结构演化,包容多种构型。例如,采用浓度场表征相分离过程;采用长程序参数场表征有序-无序转变;采用位向场表征晶粒生长和粗化过程;采用滑移场表征位错反应;采用浓度场和有序度场2个场变量表征有序相析出;采用浓度场、有序度场和结构场3个场变量表征四方、六方到斜方的结构转变。相场方法模拟微结构演化有原理优势,已成功用于研究凝固、沉淀相变,共晶和共析转变,有序化,铁电转变,铁磁转变,失稳分解,晶粒长大,薄膜中的相变、超导,界面,表面合金化、氧化、电化学过程等,并且其应用还在不断扩大中。

晶体相场模型是连续相场模型的一种延伸。由于连续相场模型建立在平衡态均匀场的基础上,忽略了由晶体点阵周期性结构产生的物理特性[1],故不能从根本上阐明微观组织演化过程中原子尺度上的机理[2]。因此2002年Elder等提出了晶体相场模型[3]。

晶体相场模型相比于传统方法有以下特点:首先,晶体相场模型能够在原子尺度和扩散时间尺度上模拟材料的微观结构演化过程,它所对应的特征时间尺度介于连续相场方法和分子动力学之间的范畴,从而弥补了分子动力学方法和连续相场模型间的空白。其次,晶体相场模型能够自恰地耦合由晶体点阵周期性结构引起的多重晶粒位向和弹塑性形变等现象[4],因而在研究晶体缺陷的运动上具有很大优势。第三,晶体相场模型与经典密度泛函理论有着密切的联系[1,5],由此可以发展出不同类型的晶体相场模型,如Jaati-nen等[6,7]提出的八阶拟合晶体相场模型(Eighth-order-fitting)、Wu等[8]提出的双模数(Two-mode)晶体相场模型等。Elder等[9]在Goldenfeld等[10]研究的基础上将重整化群理论应用到晶体相场模型中,得到的二元合金幅值方程(Amplitude equation)模型是最近研究的重点,该模型可以在更大的空间尺度下模拟材料微观结构的演化行为。

本文将从晶体相场模型与密度泛函理论之间的关系出发,分别阐述晶体相场模型的基本原理和不同模型间的特点,并简单介绍该领域的研究前沿与主要发展方向。

1 晶体相场与经典密度泛函理论的关系

与经典密度泛函理论类似,晶体相场模型也是采用局域密度泛函来描述系统的自由能函数,它们只是使用不同的自由能泛函来达到不同的目的。经典密度泛函理论通过对晶体密度场作真实的平均场近似来尽可能准确地再现材料的性能。然而这要求将晶体密度场n(undefined)在某个参考密度n0处展开成密度波的形式,并截取大量展开项计算,如式(1)所示[8]:

undefined

式中:undefinedi为晶体点阵的倒易矢量, ui为傅里叶展开项的系数,n0为n(undefined)的平均值。相比较而言,晶体相场模型的自由能泛函表达式是通过对系统自由能泛函中的关联函数部分做近似处理得到的。只需要计算式(1)中n(undefined)少量的展开项就能使晶体密度场以尽可能大的空间和时间尺度演化,并能用于描述不同类型的晶相结构。例如,只保留式(1)中1组或2组倒易点阵矢量,分别可以得到单模数晶体相场模型(One-mode PFC model)和双模数晶体相场模型(Two-mode PFC model)[11]。最早由Elder等提出的晶体相场模型就是单模数晶体相场模型的一种。

从理论上讲,对式(1)的近似越精确,其描述的晶相结构类型就越多。然而这也同时要求对系统自由能泛函中的关联函数部分做更高阶的近似,否则得到的某些晶相结构难以稳定存在。最近,Jaatinen等提出的八阶拟合晶体相场模型和Wu等提出的双模数晶体相场模型均是在最初晶体相场模型的基础上对系统自由能泛函中的关联函数部分做更精确的近似得到的。

2 纯物质晶体相场模型

2.1 Swift-Hohenberg (SH)型晶体相场模型

最初,晶体相场模型是由Elder等根据Ginzburg-Landau理论的唯象方程得出的。在晶体相场模型中Elder等利用局域密度泛函来构建系统的自由能函数,将液相局域密度场设为常数而将固相局域密度场表示成周期性密度波的形式,系统自由能泛函的基态对应于具有某种晶体对称性的周期性结构。满足条件的最简单自由能泛函由Swift-Hohenberg提出,这种形式的晶体相场模型有时也称为SH型晶体相场模型[12]。

undefined

(2)

式中:F为系统的自由能泛函,n(r)为局域原子数密度,a和λ为唯象参数,ΔT为过冷度,q0为晶体点阵倒易矢量的模,ᐁ2为拉普拉斯算子。晶体相场模型通过自由能最小驱动的耗散动力学来模拟原子密度场的演化,可以用于研究位错的迁移[13]、纳米晶晶界的迁移[14,15] 、多晶凝固[8,13]、外延生长[16,17]、结构相变[18,19]等现象。

图1为在应变作用下晶体相场模型对纳米晶晶界与位错变化过程的模拟结果[16],其中箭头代表位错的运动方向。从图1中可以看出,纳米晶晶界是由大量位错按特定的方式排列形成的,其位错密度很高。由于尺度上的限制,现有实验手段难以观测出纳米晶晶界上的位错分布以及在应力场作用下位错的运动过程。晶体相场模型可以有效弥补这一不足,并能够从原子尺度对纳米晶晶界的结构进行更为系统的研究。任秀等[20]以此模拟了纯物质小角度晶界和大角度晶界结构及变形过程中的晶粒转动和晶界迁移过程。

通过改变系统自由能泛函中空间梯度算子的形式还可以直接将晶体相场模型扩展到三维[4]。图3为bcc和fcc结构的三维枝晶模拟结果[24]。与传统相场模型的枝晶模拟结果相比,图3中可以清晰地观察到枝晶各个晶面上的原子排列。这对于从原子层面研究小平面晶体生长机制及其动力学有着重要的指导作用[25]。

2.2 八阶拟合晶体相场模型

为了定量地将晶体相场模型的输入参数与材料的真实性能联系起来,2007年Elder等建立了经典凝固密度泛函理论与晶体相场模型间的关系,由此发展出不同类型的晶体相场模型,并且将某些给定材料的性能参数融入到模型中,从而使其不仅可以模拟材料微观结构的演化过程,还能够预测材料的某些性能。基于以上理论,Jaatinen等提出了一种改进的晶体相场模型即八阶拟合晶体相场模型[7],如式(3)所示,并提供了在数值上精确计算特定材料参数的方法。

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(3)

式中:ΔF为系统自由能与给定参考态的差值,KB为波尔兹曼常数,T为温度,ρ0为参考态液相密度,n(r)为局域原子数密度,km、Γ和EB是两点直接关联函数C在傅里叶空间中展开的系数,a和b为待定常数。在SH型晶体相场模型中仅将密度泛函理论中的两点关联函数展开到四阶,Jaatinen等将八阶梯度项引入到原方程,尽管这只是对原方程一个很小的修正,却使其在对材料热力学性能的预测上有了显著改进。它还被用于计算体心立方结构铁的晶界能、固相和液相的体模数及预测晶体的生长速率。值得注意的是,在表面能的预测上八阶拟合晶体相场模型与四阶晶体相场模型差别不大,但使用这种修正后其对固相和液相的体模数的预测与分子动力学的模拟结果符合得很好。

2.3 双模数晶体相场模型及其应用

在单模数晶体相场模型中,局域密度场的展开式仅包含1组倒易点阵矢量,因此难以描述复杂的晶相结构。最近,Wu等提出了双模数晶体相场模型:

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式中:α与r1是唯象参数,由于该模型中包含了2组不同的波矢q0和q1,故可以描述更多类型的晶相结构。Wu等用该模型研究了过冷熔体中的孪晶生长过程和fcc晶体结构的多晶凝固过程。图4为双模数晶体相场模型对fcc结构多晶凝固过程的模拟结果[8]。由于该模型能够模拟bcc和fcc晶体结构的转变过程,故在研究结构相变过程方面有很大潜力。

3 二元合金晶体相场模型

为了扩大晶体相场模型的研究范围,Elder等将晶体相场模型扩展到二元合金的形式[1]:

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式中:n为密度场,δN为浓度场,Bl、Bs和R均为δN的函数,t、v、γ、w和u均为Elder引入的参数。相比于纯物质的模型,在求解二元晶体相场模型时由于动力学方程中包含一些变化的系数,难以采用纯物质晶体相场模型的求解技术来求解。基于重整化群理论的自适应网格优化算法[26]能在一定程度上扩大模拟的稳定区域,然而该方法对二元晶体相场模型是无效的。最近,Tegze等[27]将半隐式傅里叶谱方法和算子分裂(Operator splitting)求解技术结合起来,应用于求解二元晶体相场模型的动力学演化方程。在该方法中,空间偏微分算子被分解成一系列子算子的和,使原来的复杂计算被一系列简单子算子的数值计算所取代。由于存在一定的算子分解误差,必须谨慎选择离散迭代格式以避免不必要的精度损失。算子分裂算法是求解二元晶体相场模型中高阶非线性偏微分方程的有力算法。张琪等[28]以此模拟了二元合金多晶凝固及后续调幅分解的全过程。

由于模拟的空间尺度小,晶体相场模拟技术并不能简单用于模拟大尺度微观组织结构的演化现象。为解决这一问题,Goldenfeld等将重整化群理论应用到晶体相场模型中并由此得出了描述系统局域密度场演化的幅值方程,它能够在更大空间尺度下模拟材料微观组织结构的演化过程。Elder与Zhifeng Huang等[5,9]在此基础上提出了晶体相场的二元幅值方程理论。幅值算法的特点在于幅值仅在缺陷处发生突变,这与序参量仅在相界面发生突变的连续相场模型有相似之处。它在数值求解上的一种显著优势就是可以采用自适应网格优化算法,因此在对较大的时间与空间尺度系统的模拟中,幅值算法可以大幅度提高计算效率。他们还以此模拟了奥氏体凝固、固溶偏析和量子点的形成过程,图5为对奥氏体结构的模拟结果[9]。图5(a)代表图5(b)-(d)中白色小方框处的原子密度场,图5(b)-(d)分别对应幅值场、浓度场和局域自由能密度场。从图5中可以清晰地看出位错核在奥氏体层片状结构上的分布情况。

4 结语

综上所述,目前对晶体相场的研究主要集中在以下几个方面:首先是对晶体相场模型进行多尺度扩展,使其能够模拟不同空间和时间尺度下材料微观组织结构的演化现象;其次是发展多模数晶体相场模型,从而可以研究多种对称性结构之间的相互转变现象;第三是将晶体相场模型推广到二元合金体系,并定量地将晶体相场模型中的输入参数与材料的真实性能联系起来;第四是研究先进的数值技术求解晶体相场模型中的高阶随机偏微分方程,以提高计算速度和效率。

晶体相场模型自2002年提出以来,其理论体系日趋完善,各种优化模型的提出大大扩展了其研究范围与模拟尺度,它已经能成熟应用于模拟晶体缺陷的运动和凝固微观组织的形成。

晶体管模型 篇5

材料的宏观性质取决于其微观结构[1],研究材料的微观结构对于分析材料的宏观性质有着非常重要的意义。由于实验条件的限制,材料的很多微观结构性能不能通过实验手段得到,传统实验方法已无法很好满足材料科学研究发展的需求。得益于计算机技术的快速发展,数值模拟技术在一定程度上有效弥补了实验手段的空白[2，3]。相场法(主要分为微观相场法和连续相场法)是目前最具优势的微观组织数值模拟方法之一,已在材料科学的各领域得到了广泛应用。然而传统的相场模型所采用的场变量都是空间均衡的(固相和液相的场变量都是恒定的)[4],这显然与实际晶体固有的周期性不符,因此传统相场模型不能最大限度地反映源于原子尺度上晶体周期性所引起的弹、塑性变形机制和相变动力学。近期,Elder等[5，6]提出了基于密度泛函理论的晶体相场模型(PFC模型),该模型采用周期性的局部时间平均原子密度(即液态密度为一常数,固态密度表示成周期性密度波的形式)作为序参量构造自由能函数,自洽地耦合了弹性能、各向异性、塑性变形等由周期性结构产生的所有物理特性[7], 克服了传统晶体相场方法的应用局限性。另外,该模型能够在空间原子尺度和扩散时间尺度上对材料的性质进行模拟, 揭示原子效应的影响,这样既包含了本质的物理性质,又不会被原子尺度限制,可以自洽地跨越从原子热振动到热质传输的不同时间尺度,实现多尺度模拟[4]。晶体相场模型由于其特殊的优势已广泛运用于晶界作用、晶体弹塑性变形、晶粒形核与长大、液相外延生长等方面的研究,并取得了显著成就。

晶体相场模型的优势是显而易见的,然而作为一种新模型还存在很多方面的不足,如原始的单模晶体相场只取一个倒易矢量,目前仅能用于二维六角和三维体心立方结构的模拟,虽然后来有研究表明单模晶体相场模型中也可包含面心立方(fcc)和密排六方(hcp)结构[8，9],但其能量差很小,在噪声作用下很难观察到相变过程。为了扩大晶体相场模型的适用范围,很多学者对该模型做了大量的改进工作,如Jaa- tine等[10，11]提出的八阶拟合晶体相场模型;Wu等[12]提出的双模数(Two-mode)晶体相场模型;Greenwood等[13，14]用高斯峰来代替直接相关函数中的尖锐峰,提出的一种具有实际物理意义相图的多模近似晶体相场模型,以及Elder等[15]在Goldenfeld等[16]的研究基础上将重整化群理论应用到晶体相场模型。本文分别介绍了由Kuo-An Wu和Greenwood提出的双模晶体相场模型,对比了用两种方法模拟三角相向正方相的转变过程(结果与实验相符),同时指出Kuo-An Wu模型相转变的部分影响因素以及高斯峰的峰宽、峰宽比和k=0处的峰对Greenwood模型相图的影响。

1 Kuo-An Wu等提出的双模晶体相场模型及研究进展

晶体相场法是通过适当地简化密度场的表达式而得到, 最原始的PFC模型[6，17]的自由能函数形式是单模自由能函数,得到的纯物质PFC模型的二维相图如图1所示。Wu等[12]延续Elder的PFC模型思想,提出了双模PFC模型,双模晶体相场模型在单模晶体相场模型基础上多引入一族倒易矢量从而能模拟更多的晶体类型,开拓了研究复杂点阵结构转变的新思路。Wu等用该模型研究了过冷熔体中的孪晶生长过程和fcc晶体结构的多晶凝固过程。图2给出了双模数晶体相场模型对fcc结构多晶凝固过程的模拟结果。由于该模型能够模拟bcc和fcc晶体结构的转变过程,故其在研究结构相变过程方面有很大潜力。

Kuo-An Wu等提出的双模晶体相场,其密度场为:

式中:n (r )表示晶体的密度场,n0表示n (r )的平均值;代表晶体点阵的倒易矢量,ui代表傅里叶展开项的系数(i=0,1)。

双模晶体相场的动力学方程与单模晶体相场动力学方程相同,为经典Cahn-Hilliard保守场动力学方程:

式中:ф为晶体的密度场;Γ为唯象常数;F*为自由能。

双模晶体相场自由能为:

式中:f表示自由能密度。

双模晶体相场自由能密度为:

对式(2)、式(3)、式(4)进行无量纲化,定义无量纲参数:

同时定义无量纲变量:

式中:d表示维度。

将无量纲参数和无量纲变量带入自由能、自由能密度、 动力学方程可以得到无量纲纯物质自由能为:

式中:ψ为具有周期性的局域原子密度(以下简称原子密度);q表示无量纲过冷度;Q1是与晶体相结构有关的常数; R1为控制模型稳定性的参量。

无量纲动力学方程为:

式中:t表示时间变量。Kuo-An Wu等计算得到的双模PFC相图如图3所示。

高英俊等[18]在Kuo-An Wu的基础上研究了二维六角晶格向正方晶格的结构转变过程。取分别对应倒易矢量〈10〉和〈11〉,故Q1为;为了突出次近邻原子的影响, 取R1=0,采用半隐式伪谱法[19]来求解上述动力学方程。计算时,空间步长为 Δx = Δy = π/4,时间步长为 Δt= 0.5。 设置边界条件为周期性边界条件,计算区域为512Δx× 512Δy。通过计算,得出二维相图如图4所示(灰色区域为两相共存区)。研究结果表明:(1)六角相向二维正方相的结构转变,首先是新相(正方相)形核,二维正方相最易在六角相的三晶粒的交汇处生成正方格子相的晶核,然后是正方相逐渐通过吞噬六角相的边缘而不断长大,最后,正方相完全占据整个区域,完成整个相变过程,如图5所示。研究中观察到晶粒内部存在位错排列结构,表明晶粒合并后晶粒内部存在亚晶结构,这是由于两个晶粒取向相差较小时形成了小角晶界。这些结果与常规的相变过程中实验观察到的新相形核长大规律相一致。(2)对于结构转变新生成的正方相晶粒,其晶粒取向角几乎是随机分布的,与原先六角相晶粒取向角没有明显的关系,说明正方相的形核取向不受母相的影响。(3)正方相转变的面积分数随时间变化的动力学曲线呈现典型的“S”形。研究发现第一阶段新相初期形核和长大阶段物理过程较为复杂,其Avrami曲线的时间指数并不完全服从JMAK理论的指数n规律;第二阶段转变速率趋于一致,直线斜率在Avrami指数n的范围,即在2.0~3.0之间, 与JMAK理论的指数n相符合。

张帅等[20]以三角相和正方相为对象,研究了非对称倾侧晶界对正方相形核和长大的影响。研究发现倾度角的改变对正方相在三角相非对称倾侧晶界形核时间没有明显影响, 只会影响非对称倾侧晶界处位错和位错组的分布,从而影响正方相晶核的取向和分布,最终影响正方相晶体的形貌。

2 Greenwood等提出的晶体相场模型及研究进展

Greenwood等[14]通过近似经典密度泛函自由能方程,提出了可以研究多种晶体结构的两点相关函数体系结构。与之前的研究相比,该模型的两点相关函数足够得到稳定的立方晶格,同时仍然可以忽略过剩能量中的高阶相。Green- wood用该模型得到了包晶转变以及不同晶体结构的第二沉淀相,如图6所示,图中放大部分为包晶转变点和σ=0.06 时液相、fcc及bcc相的能量曲线。同时,该模型还模拟了二维三角相转变为正方相的过程,如图7所示。先根据相图选取参数获得稳定的三角相晶核并使其长大一段时间,得到的小晶粒,如图7(a)所示;然后通过改变温度到正方相相区, 从而使三角相开始向正方相进行相结构转变,可以看到正方相优先在晶界处形核,如图7(b)所示,这与实验[21]所观察到的一致;继续演化可以看到正方相晶体生长,同时可以看到当新相受到晶核位相和接触应力的限制时,在其他容易形核的晶界处另一个正方相晶粒开始形核,如图7(c)所示;随后正方相晶粒继续长大,如图7(d)所示。

Greenwood相场模型以两点直接相关函数为基础提出, 两点直接相关函数通过任意晶粒状态最小化构造。经典密度泛函自由能为:

式中:ΔF为与参考状态密度ρ0相关的自由能差;ΔFid为非作用能项;ΔFex为过剩能量项,与结构相的形成有关;n为无量纲数密度。

式(14)是在参考密度ρ0的基础上扩展,参考密度用无量纲数密度表达,其中为局部密度。

非作用项可以近似为:

过剩能量项的扩展跟经典密度泛函和早期PFC模型发展到两阶相关相同:

式中:C2(|r-r′|)为两点直接相关函数;kB为Boltzmann常数;T为温度;ρ0为系统液相参考密度。无量纲数密度场根据守恒耗散动力学得到了及时改进:

式中:M为变动参数,η为守恒随机噪声。Greenwood模型区别于其他PFC模型,重点在于其对两点直接相关函数的构造:

式中:σ为有效温度参数;ρi和βi分别为与晶面族(与i相关) 相关的面密度和原子密度;αi为i峰的宽度,ki代表峰的位置。该函数在傅里叶倒易空间中构造,单胞中每一族平面i贡献给直接两点相关函数一个峰。

郭灿等[22]认为虽然Greenwood模型用高斯峰来代替直接相关函数中的尖锐峰,提出了一种多模近似晶体相场模型,得到了具有实际物理意义的相图,并能通过温度控制来进行结构相转变的研究,但他们没有考虑直接相关函数中小于零的峰,使得液相自由能几乎不随温度变化,这与真实物理过程不符。郭灿等通过选取直接相关函数低频处的两个具有一定峰宽的峰来描述bcc和fcc有序结构,再用温度参数来调整各个峰高的方法研究了峰宽大小对相图的影响,进而研究了峰宽比对相图的影响;然后引入温度对液相的作用项,考察直接相关函数在k =0处加入倒高斯峰对相稳定性的影响;同时直接相关函数峰宽的大小影响材料的弹性系数,是关联能在直接相关函数各个峰中分布情况的重要控制参数之一,通过改变峰宽比可以调整弹性各向异性的大小, 当α2/α1的值与两峰位置的比值相等时,材料的弹性各向异性消失[14],计算结果如图8所示。

图8(a)—(d)为α1=α2时α1分别取值为0.1、0.2、0.4、 0.8时的相图;图8(e)—(h)为时α1分别取值为0.1、0.2、0.4、0.8时的相图。研究结果表明:(1)随着峰宽的增加,有序结构相区范围扩大,稳定性增强;(2)峰宽比对能量在直接相关函数中的分布有很大影响,它不仅影响相区的相对位置,还改变相区范围;(3)k = 0处加倒高斯峰后相图被压缩,两相区变窄,在参考密度取值远离n = 0处随着倒峰高度的增加液相变得更加稳定。

3 结语

材料固态相变是材料科学和物理冶金学中很多问题的基础,相变的研究对材料的热处理及其工业应用的发展起着十分重要的作用。双模晶体相场模型的提出使晶体结构的研究范围从六角结构相(2D)和体心立方结构相(3D)拓展到正方结构相(2D)和面心立方结构相(3D),极大地扩大了晶体相场法的应用范围,为研究晶体结构的相变提供了新的方法和思路。Kuo-An Wu通过在单模晶体相场模型的基础上多引入一族倒易矢量的方法来构造双模晶体相场,而Green- wood则通过巧妙构造新的两点直接相关函数,两者都能很好地模拟复杂晶体结构的相变。