形状控制

形状控制（共10篇）

形状控制 篇1

形状记忆合金 (SMA) 是近几十年内发展起来的一种新型的功能材料, 1963年美国海军武器实验室首次发现了Ni Ti合金的形状记忆效应, 这标志着SMA作为一门独立的交叉学科分支的诞生。

SMA材料具有“智能”特性, 它既有传感功能 (感知和接收应力、应变、电、热等信号) , 又有驱动功能 (对激励产生响应) 。此外, 由于SMA具有源于热弹性马氏体相变的所谓形状记忆效应, 又可根据热、力、电各种物理参变量之间的关系对响应进行主、被动控制。另一方面, SMA还具有独特的超弹性 (伪弹性) 性质, 应力应变之间呈现出迟滞循环效应.利用该特性, 在一个加一卸载循环中, 可消耗和吸收结构的相当一部分能量, 实现结构振动的被动控制目的。

1 形状记忆合金的特性

1.1 形状记忆效应

SMA的形状记忆效应是指SMA具有记忆并回复至它在奥氏体状态下的形状的能力。例如, 开始时在较高温度下, SMA组织为奥氏体, 将SMA冷却至低温 (如室温) , SMA中奥氏体发生相变, 转变为马氏体, 如果在马氏体状态下拉伸SMA并留下较大的塑性变形, 那么将SMA加热至一定温度后, 马氏体就会转变为奥氏体, SMA将回复到它开始时的形状。这种形状的回复过程非常快.如果在SMA回复的过程中, 对SMA施加约束, 那么SMA将会产生很大的回复应力 (可达700 MPa) 。此种回复应力可用作结构控制时的驱动力, 也可以用来控制结构的刚度。

1.2 超弹性效应

在一定温度以上恒温拉伸奥氏体SMA, 在热与力的共同作用下, SMA除产生变形外, 还产生马氏体相变, 马氏体相变也会引起SMA变形, 其单轴拉伸应力应变曲线如图1所示。图1中, o点至a点为奥氏体弹性变形;a点到b点的变形由应力诱发的奥氏体向马氏体的相变而引起, b点时, 奥氏体向马氏体的相变已经全部完成;b点到c点的变形是马氏体的弹性变形, c点的应变可以达到8%;c点到d点为马氏体SMA因卸载引起的弹性回复;d点到e点是由于卸载造成的马氏体向奥氏体的相变引起的变形, e点处, 马氏体已全部相变为奥氏体;e点到o点为奥氏体SMA弹性回复。o点应变为零。在合适温度和应力下, 同一般金属相比, SMA的超弹性效应耗散了较多的能量。

利用SMA的超弹性效应可以制成耗能器, 将SMA耗能器中SMA加热到合适温度并加载到合适的应力水平, 当结构振动时, 耗能器可以较大程度地消耗结构振动能量, 从而达到有效抑制结构振动的目的。

2 形状记忆合金在结构振动控制中的应用

不论是处于超弹性阶段还是处于形状记忆效应下的形状记忆合金, 都具有高阻尼的特性, 在振动荷载作用下, 能吸收大量的振动能量。利用这种材料制成的耗能阻尼器安装在机械、建筑及桥梁结构上可以减轻各种因素所造成的振动反应, 实现工程结构的振动被动或主动控制。

2.1 被动控制

利用形状记忆合金的超弹性特性具有高阻尼且经较大变形后能恢复的特点, 可以制作成振动被动控制耗能阻尼器。目前, 以形状记忆合金丝绕制的拉压型阻尼器居多, 这是由于丝材在反复荷载作用下, 由应力诱发马氏体相变变化较均匀, 且相变过程中所产生的热量散失较快, 同时, 丝材力学性能的研究也较成熟。在以丝材为主要阻尼材料的阻尼器设计中, 通过改变绕丝数量和对丝材施加预应变来改变阻尼器的承载力和阻尼性能, 使阻尼器的各性能参数达到最佳, 以满足工程结构抗振的需要。运用超弹性形状记忆合金丝作为耗能器安装在框架结构上, 利用结构的层间相对变形使耗能器消耗能量, 并进行了实验研究, 结果表明:这种耗能器能很好地抑制结构的振动响应。运用形状记忆合金的板材和棒材所设计阻尼器的受力性能较为复杂一些, 这是由于SMA在弯、剪、扭共同作用下受有复杂的应力, 在加卸载过程中, SMA各截面上的相变状态随位置的变化有所不同。因此, 此类阻尼器设计的基础理论问题急需研究。而探讨SMA棒材阻尼器的减振效果, 有关专家也进行了尝试。

在被动控制阻尼器中, 最典型的就是CT阻尼器。它是利用超弹性形状记忆合金发生相变时的相变应力变化小、可恢复的相变应变较大的特性来设计的, 这种阻尼器提供了一个数值不变的库仑抵抗力, 且具刚度始终接近于零。只要环境温度T>Af (保证超弹性工作阶段) , 那么温度变化对阻尼器承载力的影响可以忽略。另外, 由于阻尼力的大小是不变的, 因此振动频率的影响也可不考虑。这两点使得CT阻尼器的性能大大地优于常规的粘弹性阻尼器。

工程中, 不仅可以利用SMA作为主要材料制作阻尼器, 还可以在传统阻尼器上复合SMA材料, 利用传统阻尼器材料和SMA材料各自的优点, 来设计性能更加优良的耗能阻尼器。在橡胶隔震垫上复合SMA棒, 从而形成复合橡胶隔振器, 并把它安装在桥梁上, 进行数值仿真计算, 同普通的橡胶隔震垫的减震性能相比, 复合SMA橡胶隔震器的减震性能不仅明显地优于普通橡胶隔震器, 而且还具有很好的可控性和自适应能力。

2.2 主动控制

由于SMA具有形状记忆效应及电阻特性, 工程中, 利用这些特性可以设计成各种主动控制器。

处于低温下的SMA, 受到大于相变应力的荷载作用后, 产生较大残余变形, 加热后, 残余变形消失, 若SMA受到约束, 则温度的升高将产生很高的回复力。利用这种特性所设计的主动控制器有SMA管接头、汽车用节温器、机器人手爪、记忆合金弹簧等。若将SMA复合到梁、板结构中, 利用SMA的形状记忆效应可实现对此类结构的主动控制。

SMA的弹性模量与材料中所含的马氏体的体积数有很大关系, 而温度的改变会引起马氏体体积数的变化, 因此, 随温度的变化, SMA的弹性模量会产生较大的变化, 一般来说, 处于完全奥氏体下的弹性模量是处于完全马氏体下的3倍以上。利用这种性质, 可实现结构中的振动主动控制。

利用SMA的电阻特性可以实现主动报警或控制, 利用记忆合金丝制成过热信号发生器。这种控制器是把SMA丝作为惠斯通电桥的一个电阻。当SMA丝感温后电阻率发生变化, 从而引起电桥失去平衡, 电流信号通过放大器被放大, 从而激活继电器产生动作。

由于SMA的电阻、变形是温度、应力等的函数。利用这一特性可感知复合材料结构中的内应力分布、裂缝产生及扩展等, 从而制成SMA增强复合材料, 实现结构的振动主动控制;利用SMA在马氏体逆相变时的弹性模量的突发性增加及产生的较大恢复力可主动控制振动, 抑制裂纹的扩展, 自动改变结构的外形。

从上面的分析可以看出, 对结构振动主动控制的思想主要是由于形状记忆合金所具有独特的形状记忆效应和其高温奥氏体相和低温马氏体相之间的弹性模量差异较大, 通过合理调节温度来调整复合SMA结构的刚度或控制力, 来控制结构的振动。但是, 在土木工程中, 由于结构的振动主要是地震和风荷载所引起的, 要真正实现对结构风振和地震反应的主动控制, 通过调节温度来实现SMA力学参数的调整是困难的, 必须采用新的措施来实现。

3 工程实例

国外已利用形状记忆合金的超弹性性能加固了一些有历史意义的古建筑。1996年在意大利的Emilia Romagna地区的地震中, 佐治亚教堂的钟塔遭到严重的破坏, 加固方案采取在钟塔内加设连有SMA阻尼器的后张拉预应力筋, 在2000年6月的相同震级的地震中, 经过修复的钟塔经受住了考验。此外, 意大利的San Francisco教堂在1997年遭受地震破坏之后, 也采用了SMA装置, 将它安装到山墙的三角面和屋顶部位, 用于结构的修复。

形状的秘密 篇2

向上凸起的表面能够把外来的力沿着曲面均匀地分散，虽然蛋壳很薄，也能受得住较大外力。而凹面正好相反，因此，刚孵出的小鸡，才能轻轻一顶就破壳而出。

看来凸面向上的拱形最有力量，最稳定。瞧瞧经历了一千三百多年风霜的赵州桥，那拱形的身驱依然可以经受住地震和洪水的考验。

其实，在我们生活中，有着无数这样的例子，同样的材料在应用时，只要形状得当，方向正确，就能比最初的形态坚固稳定好多倍。你想想看，铁轨是什么形状的？对了，工字形。工字形钢是制造铁轨最常见的钢材，因为它的顶面有一定的宽度和厚度，可以承受火车沉重的压力，底面因为也有一定的宽度，可以使铁轨更稳定。另外，还有V形或L形的角钢、U形的槽钢、T形钢，它们都比直直的钢条更坚固。看看北京的奥运会场馆“鸟巢”，就是用很多弯曲的钢材构成的，即美观又结实。还有我们住的大楼，建筑师设计了一种空心的薄壳地基，这种薄壳地基就像一个倒扣在地上的蛋壳，向上凸起的表面能把来自大楼的巨大压力均匀地分散到下面的土石中，坚固程度一点都不比传统地基差，还能节省不少材料呢！

想想看，我们生活中还有哪些形状大力士？只要懂得形状的秘密，就能获得无穷力量哟～

形状控制 篇3

新一代航天器一般都可以看成中心刚体加柔性附件式的多体结构, 其突出的特点是具有大型的柔性附件 (包括太阳帆板、天线等) 。由于太阳帆板或大型天线的结构大、柔度大、阻尼弱, 在航天器的机动过程中, 航天器中心刚体和挠性附件之间存在着强烈的刚挠耦合, 会导致结构的持续振动, 又由于太空无空气, 不存在空气阻尼, 挠性附件的振动衰减缓慢。降低挠性结构的振动的最有效的方法是近年来发展起来的主动控制技术。变结构主动控制的一个特点是在滑动模态下对系统参数变化和外部扰动具有很强的鲁棒性。应用变结构控制对太阳帆板进行振动抑制[1,2], 设计出一种鲁棒性强的变结构控制律, 从而有效抑制了太阳帆板的大幅度振动。利用SMA丝在约束条件下改变其温度[3,4], 可以产生很大恢复应力的特点。将SMA丝植入帆板中, 形成SMA驱动器, 采用经典线性最优控制有效抑制了帆板的小幅度振动。

1 动力学模型

系统简化模型如图1所示, 它是由中心刚体和固连在刚体上太阳帆板 (可以看成挠性梁) 构成。假设刚体被限定在只能绕通过O点的垂直轴作旋转运动, 挠性梁在水平面内运动。忽略梁的轴向延伸和扭转变形, 只考虑梁的弯曲变形。挠性梁沿y方向振动位移为u, 主体转动惯量为JC, 转动角为θ, 固支点到中心O的距离为r, 设挠性梁的质量密度为ρ, 抗弯刚度为EI, 长为L, 宽为W, 厚为H。将一组SMA丝植入距离太阳帆板中心层b的上下两侧的孔内并且两端固定。其中每组分别由N根SMA丝构成, 如图2所示。

当通入电流使上半驱动器升温, 而下驱动器不通电时[图3 (a) ], 上半组SMA丝将收缩并产生应力, 该应力和SMA丝到帆板中性轴的距离b的乘积即为抵抗帆板运动的恢复力矩Ma。同时, 由于帆板本身的刚度, 也产生一定的恢复力抵抗梁的振动。当通入电流使下半驱动器升温, 而上半驱动器不通电时[图3 (b) ], 下半组SMA丝将收缩并产生一定的应力, 同时将产生抵抗悬臂梁运动的恢复力矩Mb。若根据一定的控制规律, 交替对两个SMA驱动器进行加热和冷却, SMA丝将会重复收缩和膨胀, 并产生所需的控制力矩。

由SMA丝所产生的任意时刻控制力矩为

M (t) =Fa (t) b-Fb (t) b=

[∑Amσm (t) -∑Anσn (t) ]b (1)

式中:Fa (t) 和Fb (t) 分别为t时刻SMA上下驱动器中所有SMA丝拉力的合力;m为上半SMA驱动器中SMA丝的代码;n为下半SMA驱动器中SMA丝的代码;Am, An分别为第m和第n根SMA丝的截面积;σm (t) , σn (t) 分别为第m和第n根SMA丝t时刻的应力。

应用SMA的Brinson本构模型[5], 即dσ/dt=D (ξ) dε/dt+Ω (ξ) (dξs/dt) +Θ (ξ) (dT/dt) , 其中, σ为第二类Piola-Kirchhof应力, ε为Green应变, ξ为马氏体的质量分数, D (ξ) 为形状记忆合金的弹性模量, Ω (ξ) 为形状记忆合金的相变系数, Θ (ξ) 为形状记忆合金的热弹性系数, T为温度。可以得到电流强度与应力之间的关系为[4,6]:

$\frac{\text{d}\sigma }{\text{d}t}=-\frac{\lambda {}_2}{1-\lambda {}_1}\left[\frac{4h{}_L}{\text{d}C{}_v}({\rm T}-{\rm T}{}_e)-\rho {}_e{\rm I}{}^2(t)\right]$ (2)

式中:Te——环境温度;

Cv ——材料的比热;

hL ——SMA的热交换系数;

d ——SMA丝的直径;

ρe ——SMA的电阻率;

I (t) ——电流强度;

λ1和λ2 ——与相变状态有关的量。

u (x, t) 表示帆板上坐标为x (ox的长) 之点于t时刻沿y向振动位移。并设帆板上x点的运动规律为:

$u(x,t)=\underset{j=1}{{\displaystyle {\displaystyle \sum }^n}}\phi {}_j(x-r)q{}_j(t)=\phi q$

其中φj ( x-r) ( j=1, 2, …, n ) 为帆板各阶振型, qj (t) 为模态坐标, 由Lagrange方程得到系统的动力学方程如下:

式中:J=Jc+∫${}_r^{r+L}$ρx2dx——卫星整体转动惯量;

G=∫${}_r^{r+L}$ρxφTdx——中心刚体与太阳帆板的耦合矩阵;

φTKφ=diag (ω${}_1^2$, ω${}_2^2$, …, ω${}_n^2$) ;

φTCφ=diag (2ζ1ω1, 2ζ2ω2, …, 2ζnωn) ;

C, K——分别为阻尼、刚度阵;

ζi, ωi (i = 1, 2, …, n) 分别为帆板的固有频率和阻尼比;

uc, up——分别为作用在中心刚体上的力矩和施加在SMA丝上的电流;

y——传感器的输出位移;

D ——SMA驱动器对各阶模态的影响矩阵;

Rs ——传感器的输出影响矩阵。

考虑到挠性振动的能量主要集中在低阶模态, 高频模态振幅小, 能量小, 不易被控制系统激励, 可以当作扰动看待。文中取一、二阶模态, 取状态向量, $x=[\theta q{}^{{\rm T}}\dot{\theta }\dot{q}{}^{{\rm T}}]{}^{{\rm T}}‚u=[u{}_{c}u{}_p^{{\rm T}}]{}^{{\rm T}}$, 则挠性卫星太阳帆板的动力学模型为:

$\begin{array}{l}\text{其}\text{中}:\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& {\rm I}\\ 0& J{}_{1}G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}{\rm K}\phi & 0& J{}_{1}G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}C\phi \\ 0& -J{}_{2}J\phi {}^{{\rm T}}{\rm K}\phi & 0& -J{}_{2}J\phi {}^{{\rm T}}C\phi \end{array}\right]\\ \mathit{B}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ J{}_1& -J{}_{1}G{}^{{\rm T}}R\\ -J{}_{2}G& J{}_{2}JR\end{array}\right]\\ E=[0R{}_S]\\ J{}_1=(J-G{}^{{\rm T}}G){}^{-1},J{}_2=(J{\rm I}-GG{}^{{\rm T}}){}^{-1}\end{array}$

3 变结构控制[7]

选取滑模超曲面:

$s=fe{}_{\theta }+\dot{e}{}_{\theta }$ (5)

式中:eθ——因外界扰动所产生的转角误差;f>0。

采用如下的趋近率:

$\dot{s}=-k\mathrm{sgn}(s)$ (6)

从而可以得到:

$\begin{array}{l}u=-G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}{\rm K}\phi q-G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}C\phi \dot{q}-(J-G{}^{{\rm T}}G)\times \\ [f\dot{e}{}_{\theta }+k\mathrm{sgn}(s)](7)\end{array}$

其中:k为任意正数;

sgn (s) 为符号函数。

该控制律必然引起变结构控制系统的固有颤振, 由于控制的高频切换可能激励挠性帆板的高频模态。因此, 必须对上式进行修正, 以消除颤振。

所以用饱和函数sat

$(s)=\{\begin{array}{cc}1& s＞\delta \\ \frac{s}{\delta }& |s|\le \delta \\ -1& s＜\delta \end{array}$

代替符号函数sgn (s) , 则式 (7) 修正为:

$\begin{array}{l}u=-G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}{\rm K}\phi q-G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}C\phi \dot{q}-\\ (J-G{}^{{\rm T}}G)(f\dot{e}{}_{\theta }+k\text{s}\text{a}\text{t}(s))(8)\end{array}$

图4～图6分别为太阳帆板受控制情况下卫星主体角位移θ以及太阳帆板自由端部位移u随时间的变化情况, 各个元素的参数值详见文献[8]。结果表明, 变结构控制律[式 (8) ]能有效地抑制太阳帆板的振动, 并可实现航天器大角度机动, 但在太阳帆板自由端部仍存在小幅度的弹性振动。

4SMA驱动器的经典线性最优控制

SMA驱动器的控制采用经典线性最优控制。

$u{}_p=F\left[\begin{array}{l}q\\ \dot{q}\end{array}\right]=-\frac{1}{2}R{}^{-1}{\rm H}{}^{{\rm T}}{\rm P}\left[\frac{q}{\dot{q}}\right]$

式中:R——控制力向量权矩阵;

H——位置指示矩阵;

L——nXm维控制装置位置矩阵, 当第i个自由度上装有第j个控制装置时, Lij=1, 其余元素为0;

P——Riccati矩阵。

代入式 (3) 中, 新的状态方程为

$\dot{x}=Ax+Bu{}_c$

其中:

$\begin{array}{l}\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& J{}_{1}G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}({\rm K}+DF)\phi & 0& J{}_{1}G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}(C+DF)\phi \\ 0& -J{}_{2}J\phi {}^{{\rm T}}({\rm K}+DF)\phi & 0& -J{}_{2}J\phi {}^{{\rm T}}(C+DF)\phi \end{array}\right]\\ \mathit{B}=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ J{}_1\\ -J{}_{2}G\end{array}\right]\end{array}$

采用如下的趋近率

$\dot{s}=-k\text{s}\text{a}\text{t}(s)$

则滑模变结构控制律为$u=-G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}({\rm K}+DF)\phi q-G{}^{{\rm T}}\phi {}^{{\rm T}}(C+DF)\phi \dot{q}-(J-G{}^{{\rm T}}G)(f\dot{e}{}_{\theta }+k\text{s}\text{a}\text{t}(s))$。

由图6可以看出, SMA驱动器能够快速抑制帆板的小幅度的弹性振动, 改善系统的性能, 实现大角度机动。

5 结论

在航天器的机动过程中, 通过滑模变结构控制策略以及SMA驱动器, 迅速抑制挠性附件因机动而激发的振动以及在机动末端不产生大超调, 从而保持机动过程平稳, 并迅速实现高精度姿态定位, 改善系统的性能。

参考文献

[1]周连文, 周军, 李卫华.挠性航天器姿态机动的主动振动控制[J].火力与指挥控制, 2000, 31 (6) :31-33.

[2]李新国, 陈士橹.挠性卫星太阳帆板的变结构主动控制[J].西北工业大学学报, 1997, 15 (1) :84-87.

[3]王军, 郦正能, 叶宁.形状记忆合金智能结构的主动振动抑制研究[J].航空学报, 2002, 23 (5) :427-430.

[4]刘建涛.应用形状记忆合金 (SMA) 的主动结构控制研究[D].天津:天津大学.

[5]Liang C, Rogers C A.One-dimensional thermo mechanical con-stitutive relations for shape memory materials[J].Intelligent Ma-terial Systems and Structures, 1990, 1:207-234.

[6]杨凯, 辜承林, 史铁林, 等.新型SMA驱动器设计与控制[J].机械设计与研究, 2004, 20 (2) :26-28.

[7]高为炳.变结构控制理论基础[M].北京:中国科技出版社, 1990.

最美的形状——圆和球 篇4

主持人：雨田

对现代绘画颇有影响的法国画家塞尚说过，画家要用圆柱体、球体和圆锥体来表示自然。绘画大师毕加索的画正是这些几何球形的奇妙运用。

圆是最常见的平面曲线之一，圆沿着它的直径旋转一周就形成了一个球。球是最常见的立体形状之一。

早先，人们就曾想像组成万物的原子是圆的。随着科学技术的发展，现代人可以用电子显微镜看到各种不同元素的原子，它们的确是圆的。

我国的“红绸舞”非常好看，其实，演员的一招一式，手和脚所画出来的曲线大多是圆弧线。

人类很早就知道圆，就会画圆、制作圆形的器皿。从考古发掘中发现，出土的公元前2000年的陶器大多是圆形的，有的上面还有圆形的图案。

那么，在三四千年以前，古人是怎样画圆的呢？难道古代人也有圆规吗？其实，找一枝树杈或一根藤条就可以画圆，这恐怕是世界上最原始的圆规了。

圆是最对称的平面图形，每一条直径都是它的对称轴，因此它有无数根对称轴。圆周上的每一点到圆心的距离都相等。自古以来，人类就把车轮做成圆形的，就是利用了圆的这个特性。车身是固定在轴上的，而车轴则位于车轮的圆心处。这样，车轮在不停地转动，车身却始终沿着水平方向前进，车辆行驶起来不但又快又平稳，而且省力。

把各种各样的盖子做成圆形的，也是利用了圆的对称特性。如果把饼干桶的盖做成正方形的，假设正方形的边长等于1，由勾股定理可以算出，正方形的对角线必然大于1，如果一不留神，盖子就会顺着对角线的方向掉进饼干桶里，由于口比较小，盖子掉进去还不好往外拿。圆形的盖子由于盖子边缘每一点到盖子中心的距离都相等，永远不会掉进桶里。

球还在美学和建筑学中占有重要地位。

近几十年来，球形的穹窿建筑在世界各地被广泛采用。这种建筑建设时间短、用料省、坚固美观。

1957年，美国夏威夷交响乐队要在火奴鲁鲁演出。票早已售完，第二天就要演出了，可是剧场连个影子还没有，场地上只堆放着许多金属杆件。观众都猜测，演出一定是在露天进行。但是，奇迹出现了。仅用了22个小时，一座直径44米的巨大的球形音乐厅便矗立在人们的面前。两个小时后，音乐会按时开始了。

穹窿建筑的“穹窿”是指圆球形的顶，它是用短而细的杆件构成的。严格地说，穹窿并不是一个的球体，而是由许多个多边形平面组合而成，杆件的点都在球面上，实际上是一个球的内接多面体。

穹窿建筑是由美国建筑师富勒于1948年首先建成的。穹窿建筑也叫做网格球顶。富勒最重要的贡献在于他看到了多面体、球与建筑之间的联系，并把它应用在网格球顶。由于网格球顶的结构更接近于球，它的性质也更接近球的性质，具有同体积下表面积最小的特点，因此，网格球顶建筑比其他形式的建筑要节省建筑材料。又由于网格球顶在拼接时用了很多三角形，而三角形具有稳定性，所以，网格球顶建筑又有结实可靠的特点。

在所有形状的容器当中，制作球形容器是用料最节省的。也就是说，用同样多的材料，做成球形容器装的东西最多。我们日常用的锅、碗、瓢、盆，都是球形的一部分，我们习惯把它们叫做圆形。为什么要做成圆形呢？一个重要原因就是为了节省原材料。另外，做成圆形的容器还有运输方便、便于存放、不易损坏等优点。

小时候玩过吹泡泡吗？用一根塑料管蘸一点肥皂水，用嘴轻轻一吹，一个球形的肥皂泡就飞起来了。

为什么吹出来的肥皂泡都是球形的呢？这是因为肥皂水有表面张力，这种张力总是把肥皂泡的表面收缩成最小。肥皂泡呈球形表明，在体积一定的各种形状的物体中，球形的表面积最小。

把粮仓建成球形，不仅节省修建粮仓的材料、粮食装得多，而且进出粮食方便、通气好、容易清底。出于相同的原因，煤气储气罐也做成巨大的球形。

纪塔娜女神的智慧

在非洲，流传着这样一个古老的神话传说：一位非洲酋长想考验一下纪塔娜女神的智慧，主动提出要赠给女神一块土地。

纪塔娜女神问：“酋长要给我多少土地？”

酋长笑了笑，拿出一张小小的灰鼠皮，说：“我要赠给您的土地，是可以用这张灰鼠皮围起来的，您自己去随便围吧！”酋长心想，一张小小的小灰鼠皮，你能围出多大一块土地？

纪塔娜女神接过灰鼠皮，先用剪刀把灰鼠皮剪成很细很细的小皮条，再把这些小皮条连接起来，成为一条很长的皮绳。纪塔娜女神的这一招把酋长惊得目瞪口呆：用这么长的绳子可以围出一块很大的土地呀！

纪塔娜女神并不着急去围土地，而是先去找一段合适的海岸线。她以海岸线为基础围出一个很大的半圆，得到了一块很大的土地。

纪塔娜女神为什么要围成半圆呢？

原来，用一定长度的绳子来围出一块土地，数围成圆形的面积最大。纪塔娜女神又巧妙地利用了海岸线，围出一个很大的半圆，使得围出的土地面积最大。酋长非常佩服纪塔娜女神的智慧。

形状控制 篇5

关键词：形状记忆合金驱动器,磁滞算子理论,自适应控制,计算机仿真

0 引言

形状记忆合金 (Shape memory alloy, SMA) 作为新型驱动器在航天、电子、土木、医疗、自动控制等多个领域具有广阔的应用前景[1,2,3]。然而其本身具有的复杂非线性迟滞特性, 不仅会带来控制难题, 而且还会影响系统性能。为了消除迟滞非线性对系统的不良影响, 往往需要在控制方案中考虑磁滞补偿。其中一种有效的方法就是利用描述迟滞行为的现象学模型 (如Preisach模型[4,5]) 构建逆模型作为前馈补偿器, 其作用是根据目标输出轨迹预测所需的输入, 而模型的参数识别是实现该方法的关键。

尽管通过实验可获取SMA驱动器在预设负载下的迟滞曲线, 再运用插值或最小均方拟合运算可获得其模型参数[6,7], 但这种识别方法对测量误差敏感, 而且SMA的迟滞行为会随着负载的不同及热机械循环次数的增加而变化[8]。因此, 上述“离线”方式识别的模型作为静态的输入-输出映射, 无法适应系统的动态变化。近年来, 国外研究者提出了一种将KP磁滞模型与梯度自适应法相结合的控制方案, 用以实现参数的在线更新及闭环磁滞补偿[9], 但应用梯度自适应法在每个采样周期更新全部参数 (以下称作全局性自适应律) , 一方面会造成参数收敛速度慢, 另一方面加大了运算负荷, 尤其不适用于涉及多个SMA驱动器的实时控制应用[10]。

针对上述问题, 本研究提出了一种基于改进的KP磁滞模型 (以下称作MKP模型) 与选择性自适应律的控制方案, 旨在简化运算量, 提高参数收敛速度和磁滞补偿的有效性, 达到准确控制的目的。

1 MKP磁滞模型

1.1 磁滞算子理论

MKP模型与KP模型都是由基于磁滞算子理论的传统Preisach模型演变而来。其基本原理是磁滞系统对输入信号的响应可视为基本磁滞算子的权重叠加[11]。将磁滞出现的区域范围 (即Preisach平面, 输入T∈[Tmin, Tmax]) 等分为K×K的网格, 其间距为ΔT= (Tmax-Tmin) / (K-1) , 网格节点数为N=K× (K+1) /2。每个节点sij= (αi, βj) 对应一个基本磁滞算子γsij (T, ξsij) 和一个加权因子μsij, 其中αi=Tmin+ (i-1) ΔT, βj=Tmin+ (j-1) ΔT, 而i、j=1、2、…、K且i≥j。由此可得到磁滞模型的离散化表达式:

undefined

式中:γsij是基本磁滞算子函数, 反映磁滞算子响应输入变化的当前状态, 变量ξsij代表其之前的状态。

1.2 MKP 磁滞算子

Preisach、 KP 与MKP模型的区别在于所采用的基本磁滞算子不同 (见图1) 。 Preisach 算子只有-1和+1 两个输出状态。KP算子可输出[-1, +1]内的任意值。而以+1、-1作为算子的状态值上下限源于磁滞算子理论最初的物理含义[12], 即每个基本磁滞算子都代表一个在正、负极性间变化的磁偶极子, 而并非该模型应用的限定条件。因此, 基本磁滞算子的定义不必恪守该边界条件, 尤其是在应用于构建其它材料的模型时。这里采用的MKP算子就是将KP算子的输出范围减半为[0, +1]。

由图1可知, MKP算子的边界函数可表示为:

undefined

式中:左边界取x=T-αi-1, 右边界取x=T-βj-1, x的变化上限a设为ΔT。 整个MKP算子的输出变化可表示为:

undefined

式中:undefined代表温度变化方向, ξsij将被γsij的当前值不断更新。

通过这样的改进, 处于最小输出状态的MKP算子因值为0而不必纳入模型输出的计算, 从而使MKP模型在计算效率上优于Preisach 模型和KP模型。随着Preisach 平面离散化精细程度的提高, 算子数量及模型参数大大增加, 这一优点将更加显著。

1.3 MKP 逆模型

根据磁滞算子模型的图形化解释, 先前的输入史会在Preisach平面上形成阶梯状的分界线, 在其下方的所有MKP算子处于最大状态值, 而其上方的所有算子处于最小状态值, 位于分界线上的算子则处于中间状态。当下一输入增加时, 该分界线在水平方向上的最后阶梯向上移动;当输入减小时, 其垂直方向上的最后阶梯向左移动。假设当前时刻的输入为Tc, 输出为Yc, 下一时刻的目标输出为Yd, 目标输入为Td, 根据上述机理推导出的MKP逆模型的数学表达式如下:

如果Yd>Yc且满足H (βm-1)

undefined

式中:n=0、1、…、f。由此可计算出f+1个可能的输入值, 从中选取最小值为目标输入Td。

如果Yd

undefined

式中:n=0、1、…、f。由此可计算出f+1个可能的输入值, 从中选取最大值为目标输入Td。

2 自适应控制方案

整个自适应控制方案的原理框图如图2所示。其中MKP估计逆模型 (undefined-1) 作为前置补偿器, 将目标输出 (Yd) 映射为预计输入 (undefined) , 以此作为SMA磁滞系统与MKP估计模型 (undefined) 的输入, 并由后者产生一个预计输出 (undefined) 。由于估计模型初始参数 (undefined) 由简单实验确定或任意假定, 并非精确模型参数, 使得估计模型初始不能准确反映磁滞系统的实际输入-输出关系, 导致输出误差 (undefined) , 因此再进一步通过选择性自适应律根据该误差对估计模型参数进行实时在线调节, 使得输出误差逐渐趋于0, 从而实现磁滞系统对目标轨迹的准确跟踪。

为了更好地理解选择性自适应律的机理, 先分析MKP算子如何响应输入变化。不失一般性, 假设先前的输入史在Preisach平面产生了如图3 (a) 所示的阶梯状边界。图3 (b) 、 (c) 为下一输入在增大和减小情况下的算子响应。

通过比较不难发现, 在两种输入情况下, 输出状态发生改变的所有MKP算子都位于实虚线围成的区域 (即Sa) 内, 而其它算子均保持先前的状态。假定之前的预测错误通过前一时刻的参数更新已消除, 则可以认为当前时刻的预测错误仅仅是由区域Sa中的算子所对应的模型参数不准确造成的, 因而只有这部分参数需要更新。由此产生选择性自适应律, 其只将梯度自适应法应用于调整区域Sa所含算子的对应参数, 同时以相反的方向修改区域Sb所含算子的对应参数, 以保证MKP模型的最大输出相对恒定。这样就将参数更新的范围由整个Preisach平面缩小到两个局部区域。在输入增加的情况下, 区域Sb位于区域Sa的正上方, 且与后者在α方向上的范围相同, 而在输入减少的情况下, 区域Sb位于区域Sa的左侧, 且与后者在β方向上的范围相同。令undefinedsij-为在每个采样周期更新前的参数值、undefined为更新前后的参数变化值, 根据上述分析, 结合模型参数应为非负值, 可将选择性自适应律表示如下。

当输入增加时, 假设:

Sa={sij:f≤j≤g, f≤i≤j}

Sb={sij:g+1≤j≤K, f≤i≤g},

对于sij∈Sa, 令:

undefined

则:

undefined

对于sij∈Sb, 令undefined, 则:

undefined

当输入减小时, 假设:

Sa={sij:h≤i≤f, h≤j≤w}

Sb={sij:1≤i≤h-1, h≤j≤w}

对于sij∈Sa, 令:

undefined

则

undefined

对于sij∈Sb, 令undefined,

undefined

则:

undefined

3 计算机仿真实验

采用Matlab/Simulink 对上述MKP自适应控制方案的参数收敛性及抗噪性能进行了初步的仿真实验测试。根据式 (1) - (9) , 将MKP磁滞模型、其逆模型、选择性自适应律及全局性自适应律编写为相应的函数, 并转换为该软件环境下4个用户自定义的Simulink模块, 分别命名为sf_MKP、sf_Inverse_MKP、sf_Selective_Adp 和 sf_Global_Adp。通过灵活组合这些模块, 实现不同的仿真实验。

3.1 数据准备

在仿真试验中, 采用MKP模型模拟基于SMA驱动器的磁滞系统的实际响应, 设其输入温度范围为T∈[20, 70]。Preisach 平面离散化为 10×10 (即K=10) 的网格。设精确MKP模型参数为双变量正态分布, 由式 (10) 进行计算:

undefined

其中σ=b=0.5, 并归一化为:

undefined

估计模型的初始参数为均匀分布, 即undefined。目标输入温度信号为衰减的正弦波, 即:

undefined

时长为100s, 而对应的目标输出由精确MKP模型计算, 采样周期为0.1s。

3.2 实验结果

自适应参数识别仿真实验测试比较了选择性自适应律与全局性自适应律的参数收敛效果。该实验的Simulink框图如图4所示 (以sf_Global_Adp 模块替换 sf_Selective_Adp 模块用于后者的测试) 。

图5以三维分布图的形式展示了精确MKP模型参数、估计MKP模型初始参数及由两种自适应律在不同时刻识别出的参数。

从图5中可以看出, 随着时间的延长, 两种自适应律识别的参数都趋于接近准确参数, 表明随着自适应过程的推进, 参数均具有收敛性。但选择性自适应律的参数收敛速度明显快于全局性自适应律。前者在2s时识别的参数已相当接近精确参数, 而后者在50s时仍不及前者的效果。

为了验证选择性自适应律的抗噪性能, 在信号中加入了由随机信号发生模块产生的3种不同级别的输入噪声 (ε1∈[-1, 1], [-2, 2], [-5, 5]) 和输出噪声 (ε2∈[-1%, 1%], [-2%, 2%], [-5%, 5%]) , 即对给定的输入T (t) 和输出Y (t) , 以Tε (t) =T (t) +ε1 (t) 作为估计模型的实际输入、Yε (t) =Y (t) +Y (t) ε2 (t) 为磁滞系统的实际输出。该实验的Simulink框图如图6所示。

图7对比了MKP估计模型输出与准确输出。由图7可见, 对于±1、±2范围的输入噪声及±1%、±2%的输出噪声, 估计的输出曲线与准确输出曲线很相似。较大的差异出现在输入噪声达到±5、输出噪声达到±5%时。对于通过温度触发而产生形状变化 (如位移变化) 的形状记忆合金驱动器而言, 输入及输出误差主要由用于测量其温度 (如热电偶) 和形状变化 (如LVDT) 的传感器产生。通常热电偶的准确性为±1℃和±2℃, 而LVDT的准确性为其测量范围的±1%或±2%。 因此, ±5范围的输入误差、±5%的输出误差已大大超出了实际应用中的测量误差范围, 而即使在如此大的噪声下, MKP估计模型输出与准确输出间的均方根误差仍然较小 (见表1) 。由此可见, 选择性参数自适应率有良好的抗噪性能。

4 结论

基于形状记忆合金驱动器的磁滞系统往往工作在负载动态变化的环境中, 存在初始参数的不确定性及运行过程中不可预测的参数变化等问题, 因此在响应的快速性、准确性、可调整性等方面对控制方案有很高的要求。本文提出的结合MKP磁滞模型与选择性参数自适应律的方案采用自适应机理进行在线参数更新, 尤其适合于这类的应用。与KP模型相比, 所采用的MKP模型大大简化了运算。计算机仿真实验结果也证明该改进的控制方案能够有效地补偿磁滞、实现快速的参数收敛, 并对测量噪声有很强的鲁棒性。目前, 该方案是以温度作为控制信号, 而在实际应用中形状记忆合金驱动器的温度变化主要是通过电加热实现的, 因此直接的控制变量并非温度, 而是加热电流。在后续研究中, 将进一步构建由电流控制温度的模块, 以完善整个控制方案, 并进行实时实验验证。

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[11] Krasonselskii M, Pokrovskii A.Systems with hysteresis[M].Heidelberg:Springer-Verlag, 1989

盂是什么形状 篇6

带着疑惑,我查了几本权威工具书。《现代汉语词典》对“盂”的解释为:“盛液体的敞口器具。”未言明其形状如何。《辞海》则明确解释说:盂是“盛饮食等的圆口器皿,如:水盂、钵盂、痰盂”。《汉语大词典》上也明确解释:盂是“盛汤浆或饭食的圆口器皿”。《汉语大字典》的解释为:“1盛液体的器皿;2盛饭的器皿。”虽然没有从文字上指出盂的形状是圆还是方,但是却给了一幅“盂”的图片(见图一)。《辞源》的解释是“:盛汤浆或食物之器。”也没有用文字说明其形状,不过同样附了一张图片加以补充说明(见图二)。从这两张图片不难看出:盂的确是圆形的,敞口,而且有足,比盘要深,更能盛装东西。它和盘的区别并不在形状之方圆,而在深浅之程度。

查完几本权威工具书,我们得出的结论都只有一个:盂是圆的。那么,《语文》教科书以什么为根据,注释“方者为盂”呢?我猜想,会不会是受到了成语“盂方水方”的影响呢?

“盂方水方”典出《荀子·君道》“:君者盘也,盘圆而水圆;君者盂也,盂方而水方。”意思是说,水因器而成形,装水的器物是圆的,水就是圆的,装水的器物是方的,水就是方的,比喻上行下效。无独有偶,《韩非子·外储说上》也有类似说法“:为人君者犹盂也,民犹水也,盂方水方,盂圆水圆。”意思同上文是一样的。如果以此为根据而断定盂是方的,那就大错特错了。

第一“,君者盘也,盘圆而水圆;君者盂也,盂方而水方”这句话是运用比喻和互文的修辞手法,借盘盂的形状对水的形状的决定作用,来形象说明君王对文武百官的影响。我们对它的正确理解应该是:君者,盘盂也,盘盂圆则水圆,盘盂方则水方。对于这句话,我们同样使用互文的手法,换个说法也是可以的:君者盂也,盂圆而水圆;君者盘也,盘方而水方。

第二“,盂方水方”实际上只是论说者阐述自己观点时的一种假设,而非现实生活中的真实情况。我们在理解时,都应该加上“如果……就……“”假如……那么……”之类的关联词,这样才更为准确:君王就像装水的盘盂,(文武百官就像盘盂里的水,)如果盘盂是圆的,那么水就是圆的;如果盘盂是方的,那么水也就是方的了。

主动形状模型的研究 篇7

主动形状模型 (ASM) 最初由Cootes[1]等人提出的, 它在思想上类似于主动轮廓模型[2], 即定义一个能量函数, 通过调整模型参数使能量函数最小化。与主动轮廓模型相比, ASM的优点是能根据训练数据对于参数的调节加以限制, 从而将形状的改变限制在一个合理的范围内。主动形状模型首先对一组标有特征点图像 (称为训练集) 的形状和局部灰度建模, 然后在搜索过程中不断调节形状和姿态参数从而使形状达到最优。

本论文使用点分布模型处理从一幅图像中寻找不在训练集中的对象实例的问题。将说明一个初始形状或模型模板如何逐步迭代变化直到找到数据和模型之间最好的匹配。同时研究ASM在图像分类中的应用。

2、使用ASM进行图像研究

2.1.初始形状估计

假设一对象实例可以由从训练集中获得的均值形状与主成分加权和的和来描述, 而且这个结果可以平移、旋转和缩放。也就是说, 可以将初始形状估计看作是以形状为参考进行缩放、旋转和平移得到的结果:

矩阵M (s, 6) 将形状缩放s倍, 旋转6角度, 而向量ti将其在x和y方向上平移。

2.2.更新形状估计

给定初始估计, 希望将其拟和到图像数据。通过检查包围每一个标记点Xi的图像区域, 可以获得一新的位置Xi+d Xi。

2.2.1.寻找姿态位置更新

为了使当前估计Xi尽可能靠近Xi+d Xi同时满足强加的形状限制以产生可接受的或适当的形状, 我们需要调整姿态位置 (缩放, 旋转和平移) 参数以及形状参数 (主成分的权重) 。为了做到这些, 首先需要找到增加的缩放1+ds、旋转d6以及平移 (dtx, dty) , 必须移动Xi尽可能靠近Xi+d Xi。用符号表示:

注意仍然存在一些只对变形形状Xt才满足的调整。

2.2.2寻找形状调整

已知1+ds, d6和dt, 需要解下面关于dx的方程:

总起来说, 结果向量是在2n维空间中, 但是由于在这里描述的模型中只有t (少于2n) 个变化模板, 所以只能在由前t个主轴描述的t维中移动, 也就是在t维空间中寻找最近似于dx的向量。如果采用最小平方方法, 那么dx'的解就是dx在t维空间 (由主成分向量或P的t列衍生的空间) 的投影。带入方程[3]有:dx'=Adx

由于P的列是正交的, 而且P不是方阵, 所以有:

所以Xt不是移向Xt+dx而是移到Xt+dx', dx'的表达式为dx'=Pdb', 左乘以PT得到:db'=PTdx'

2.2.3更新姿态位置参数和形状参数

现在要对初始估计进行形状参数和姿态位置参数更新, 从而获得一个新的估计Xi (1) , 这里:

然后和从xi开始一样从Xi (1) 开始, 直到形状中不再有重大的变化为止。

对所需参数的修正的一种有利的方法是如下迭代地进行更新姿态和形状参数:

这里wt, ws和wθ是标量。Wb是权重的对角线矩阵。为了对较大形状变化可以允许快速更新模板, Wb的元素选择那些与对应训练集中形状参数的标准差成比例的参数。保证结果 (更新) 形状在由于限制b值而产生的允许形状范围内。

2.3.使用灰度统计寻找期望的运动

这里将描述构建每一个标记的灰度统计如何用来决定每一个标记的调整 (dxi) 以达到一个较好的模型到数据的拟合。

为了找到这样的调整, 可以沿着一条通过标记且与由标记和其邻居形成的边界正交的直线搜索。通过这种方法, 可以得到搜索轮廓。在这个搜索轮廓内, 可以寻找一个可以匹配从训练中获得的轮廓的子轮廓。为了做到这一步, 沿着搜索轮廓搜集灰度值, 计算差值而且将其标准化。然后在标准差搜索轮廓 (长度为ns) 内搜索一个子轮廓, 使其能匹配从训练集中获得的平均标准差轮廓 (长度为np) 。

沿着标记的搜索轮廓Si为:

标记的搜索差值轮廓的长度为ns-1, 如下定义:

标准差搜索轮廓为:

现在为匹配yi (从图像训练集获得的平均标准差轮廓) 的子轮廓检查ysi。表示以ysi的第d个像素为中心的子区间为h (d) , 那么可以发现d的值使子区间h (d) 最近似于。这可以通过定义如下的平方误差函数 (拟合的越好其值越小) 并相对于d将其最小化做到。

这里Cyi-1是协方差矩阵yi的逆矩阵。标记i应该移动到的点的位置就决定了。相同的过程对所有的标记点重复一遍以获得运动向量dxi。

3.多尺度图像搜索

对图像搜索有很大影响的是选择搜索轮廓的长度ns。在这个选择中面临着两个矛盾的需求, 一方面, 搜索轮廓应该足够的长以包含目标点 (标记点要移动到的点) , 另一方面, 需要搜索轮廓尽可能的短以减少计算数量。同时, 如果搜索轮廓长且目标点靠近标记的当前位置, 那么很可能越过目标而移动到很远的地方。这个问题可以通过多尺度方法来解决。首先搜索应延伸到包括远处的点, 然后当搜索过程靠近目标结构, 搜索应限制在近处的点。

为了达到这样的多尺度搜索, 对不同的尺度产生一个图像金字塔。在金字塔的底部 (第0层) 为原始图像, 而在高层 (第一层到第L-1层) 根据两个因素中的一个逐步减小尺度 (见图1) 。

为了获得图像金字塔, 首先在较低层平滑图像, 然后按每两个像素取一个的方法获得高层图像[4]

从金字塔顶层开始搜索, 然后使用先前的搜索输出在较低层上继续搜索。重复这个过程直到到达金字塔的最底层 (原始图像) 。为了实现这种多尺度搜索, 必须使用每一层的灰度轮廓的信息。这就意味着在训练阶段, 需要获得所有金字塔层中的每一个标记的平均标准差轮廓。

用yi1表示金字塔的第l层的第i个标记的平均标准差轮廓, 其中0燮i燮n-1, 0燮l燮L-1。然后对一特定标记沿着训练集中的N幅图像取其平均标准轮廓。

在实行搜索以前, 需要一个决定什么时间改变金字塔内搜索层的标准。一种可能性是当一定百分比的标记没有很大的改变的时候移到较低层, 例如当95%的标记只在搜索轮廓中心的50%内移动时[4]。为了避免粘在较高层也可以限制最大迭代次数。

4.结论

NURBS曲线形状微调 篇8

非均匀有理B样条 (NURBS) 曲线成为几何设计中的重要曲线, 它不仅提供了曲线的统一数学表达式, 而且具有局部调整性, 在形状定义和设计方面有很大的灵活性。此外, NURBS曲线还拥有通用、有效的标准算法和强有力的配套技术, 使之成为计算机表示曲线曲面几何问题的标准。但是在设计当中常常遇到NURBS曲线形状调整的问题, Terzopoulos和Qin[1]曾经提出这样一个问题:调整曲线的形状, 是移动一个控制点呢, 还是改变一个权因子, 或者是移动两个权因子?Farin[2]认为可选的方法增加了, 与其说增加便利还不如说是个麻烦

NURBS曲线的形状可以通过调整控制点、权因子、节点向量和曲线的几何特性等实现。Piegl[3]提出了直接从数学定义的角度出发来修改NURBS曲线的方法, 重新计算权因子和控制点, 但是要求插入新的节点矢量。Au和Yuen[4]讨论了在权因子和控制点同时变化的情况下, NURBS曲线是如何变化的。在几何建模和图形应用当中, 有时需要修改曲线的几何特性来调整他们的形状[5,6,7,8], 如修改曲线上某一点的位置、斜率、曲率等, 但是上述方法都不能直接通过调整曲线上的任意点的几何特性达到调整整条曲线的目的。

此外, NURBS曲线形状的微调, 要求相应的控制点或者权因子的变化较小, 这对设计者来说是比较难把握的。现给出NURBS曲线形状微调, 以及直观调整权因子的方法, 更适合设计中交互的操作。

1 调整插值曲线的控制点

构造三次B样条曲线p (u) , 插值k次NURBS曲线l (u) 的控制点p0, p1, …, pm。移动插值曲线p (u) 的控制顶点, 改变曲线p (u) 的形状, 即改变NURBS曲线控制点的位置, 进而调整NURBS曲线的形状。

1.1 反算B样条插值曲线

1.1.1 确定B样条插值曲线节点矢量

构造一条三次B样条曲线p (u) 插值k次NURBS曲线l (u) 的控制点p0, p1, …, pm, 当首末数据点不重合时, 插值曲线p (u) 将有n+1个控制点dj (j=0, 1, …, n) , 其中n=m+2。节点矢量定义为U=[u0, u1, …, un+4]。取四重节点端点的固支条件及规范定义域u∈[u3, un+1]=[0, 1]。于是有u0=u1=u2=u3=0, un+1=un+2=un+3=un+4=1。对数据点qi (i=0, 1, …, m) 取规范积累旋长参数化得参数值序列ui (i=0, 1, …, m) , 相应的定义域内节点值为u3+i=ui (i=0, 1, …, m) 。

1.1.2 反算插值曲线得控制顶点

插值数据点qi (i=0, 1, …, m) 的三次B样条插值曲线方程为

求解三次B样条插值曲线未知控制顶点的线性方程组可写成如下矩阵形式

式 (2) 中

式 (2) 中m+1=n-1个方程不足以求解包含n+1个未知控制顶点的方程组, 增加边界条件如下

n+1个方程求解n+1个未知控制顶点, 从而确定三次B样条插值曲线p (u) 。

1.2 移动插值B样条曲线的控制点

当插值B样条曲线的控制点di移动距离d时, 插值曲线p (u) 变为p* (u) , 有下列关系

式 (3) 中v, d分别表示控制点di移动的单位向量和移动距离。

移动插值B样条曲线的控制顶点di, 至多影响定义在 (ui, ui+4) 区间上曲线段的形状, 该区间上包含NURBS曲线控制点pi, pi+1, …, pi+4, 其移动距离为

由此可见, 当插值B样条曲线的控制点di移动距离d时, NURBS曲线上的控制点pi, pi+1, …, pi+4移动距离小于d。

当插值曲线p (u) 为均匀B样条曲线或接近均匀B样条曲线时, B样条基在定义域内各个节点区间上都具有相同的图形, 其中任意区间上的B样条基都可由另一个节点区间上的B样条基平移得到, 因此有

这说明插值B样条曲线控制点di的移动距离与NURBS曲线的控制点pi, pi+1, …, pi+4的移动距离和基本相等, 因此方便设计者在交互方式下对NURBS曲线形状进行微调。

当NURBS曲线控制点pi沿v方向移动的时候, 对应曲线段上的点也沿v方向移动;当NURBS曲线多个控制点pi, pi+1, …, pi+4分别沿vi, vi+1, …, vi+4方向移动时, 对应曲线段上的点沿vi, vi+1, …, vi+4矢量和方向移动。

2 调整权点

调整NURBS曲线的形状, 除了修改控制点外, 还可以调整权因子。权因子对NURBS曲线的影响, 是当保持控制顶点与其他权因子不变, 减小和加大某权因子时, 起到把曲线推离和拉向相应顶点的作用, 但是权因子的调整不便于交互, 于是引入了权点。

在NURBS曲线的控制多边形的两端点pi, pi+1之间, 引入一个点qi, 按下列的比例分这两个端点

点qi称为权点, 表示权因子的相对值, 其位置可以通过下列式子得到:

给定端点pi, pi+1的权因子ωi, ωi+1, 根据式 (6) 可以得到qi;反过来, 给定权点qi也可以找到权因子ωi, ωi+1。交互地调整NURBS曲线的形状, 可通过沿di, di+1方向移动权点qi来完成。对设计者来说, 修改权点的方法比调整权因子更直接。

移动权点qi, 权值ωi+1, ωi的比值发生变化, 规定式 (5) 中分子不变, 只改变分母的值。于是, 权点qi向数据点pi方向移动, 则数据点pi+1的权值增大;反之, 权点qi向数据点pi+1方向移动, 则数据点pi+1的权值减小。权点qi移动距离p, 数据点pi+1的权值发生变化, 这也将影响另外一个权点qi+1, 权点qi+1满足下列关系:

要使数据点pi+2的权值ωi+2不变, 移动权点qi+1的位置, 它的移动距离为

式 (8) 中

权点qi向pi+1移动时, 新权值ω′i+1与ωi+1的关系如式 (9)

式 (9) 中, d表示权点qi的移动距离。当d>0时, 权点qi向数据点di+1移动;当d<0时, 权点qi向数据点pi移动。此时, 新的NURBS曲线l* (u) 为

在一个商业CAD系统中, 专门修改控制顶点或专门修改权因子都不易得到满意的结果, 两者的结合使用将容易地且满意地设计出所需要的形状。

3 实例

下面以三次NURBS曲线为例, 分别采用修改插值B样条曲线的控制点、NURBS曲线的权点来修改NURBS曲线形状, 其中阴影部分表示NURBS曲线前后变化区域。

图1中移动插值B样条曲线的控制点, NURBS曲线l (u) 上的控制点p1, p2沿控制点移动方向移动, 且B样条曲线的控制点p1′的移动距离大于控制点p1, p2的移动距离。

图2中NURBS曲线的权点q2向控制点p2移动时, 控制点p2的权因子ω2增大, 为避免权因子变化的传递, 权点q3也向控制点p2方向移动。此时, NURBS曲线l (u) 上的数据点都沿制点p2方向移动。

通过上述例子可以看到, 修改插值曲线控制点和NURBS权点的方法对NURBS曲线形状的修改不同。修改插值曲线的一个控制点, 影响NURBS曲线的若干控制点, 而调整NURBS曲线的权点, 只影响NURBS曲线的一个控制点。

4 结论

通过修改插值NURBS曲线控制点的B样条曲线的控制点来调整NURBS曲线的形状, 放大了控制点的移动距离, 适合设计中的形状微调。此外, 引入权点的概念, 将NURBS曲线的权因子修改转化为对权点的修改, 使得设计中的交互更方便, 并在实践中得到较好的效果。

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捕捉风的形状 篇9

松田正隆一九六二年出生在日本九州岛西南部的港口城市长崎，现居京都，在日本戏剧界大名鼎鼎。他长期创作实验性作品，尝试对舞台的整体景观进行诗性表现。早在一九九○年他就组建了剧团“时空剧场”。一九九七年“时空剧场”解散，二○○三年又组建戏剧团体“稀人会”（“稀人”意即“稀有之人”），以京都小剧场戏剧研究工作室为据点，努力探索现代戏剧的可能性。一九九四至二○○○年的七年间，松田在日本获得的大奖就有七项。

《海与阳伞》一九九六年获第四十届岸田国士戏剧奖，标明了它在当代日本戏剧中的重要位置。岸田国士（一八九○—— 一九五四）是日本现代戏剧与现代戏剧理论的奠基人之一，以他的名字命名的这个戏剧奖项，在日本文坛的位置相当于用芥川龙之介的名字命名的小说奖。《海与阳伞》最初由“时空剧场”在京都上演是一九九四年元月，获岸田国士戏剧奖是在公演两年之后。可见它经受了时间的考验。而它被翻译为中文搬上中国舞台，已经是在日本公演十三年之后。

根据日本戏剧评论家中西理的描述，在九十年代的日本，现代戏剧的潮流是以青年团的平田织佐为代表的“安静戏剧派”的崛起，松田正隆亦被看做该派的代表作家之一。《海与阳伞》是松田前期的代表作，也是“安静戏剧派”的代表作。安静的是舞台：平凡的日常生活图景，平淡无奇的对话，还有对话与对话之间的大段沉默。不过，安静的仅仅是舞台。登场人物平淡无奇的对话之中潜藏着疯狂的嫉妒与爱情，痛苦的灵魂在挣扎……对于排演该剧的年轻的中国戏剧人来说，把这样一个剧本搬上舞台是一种挑战。值得庆幸的是他们的挑战成功了。剧本中失业教师兼业余小说家佐伯洋次与妻子直子、情人久子三人见面的场面，我在翻译的时候就很感兴趣，想象演员如何用沉默、用肢体语言表达那种被深深压抑的剧烈情感。但是，阮娜（直子扮演者）和顾雷（导演兼洋次扮演者）的精彩表演超出了我的想象。自开幕到剧终，观众席上鸦雀无声。这种演出效果是挑战成功的最好证明。

不过，一个剧本被翻译为另一种语言、在另一文化环境中被搬上舞台的过程，也是它被重新阐释的过程。这一过程与脱落、变形相伴随。在中国版《海与阳伞》中，这种脱落、变形也不可避免地发生了。要言之有三。首先是舞台设计的变化。原作中的写实性舞台（庭院、走廊、铺着榻榻米的日式房间）变成了象征性舞台。整个舞台被白布覆盖，庭院、走廊或者房间的位置由登场人物的动作和台词来决定。其次是人物和情节的调整。原作中的医生柳本滋郎被减去，只剩下护士南田幸子。原作中第一幕开始时洋次是坐在廊下剪指甲，而在TNT剧场则成了洗脚。最后一幕（第六幕）众人给直子的灵位上香的情节也被省略。第三就是方言的消失。原作是用作者故乡长崎的方言写成，而翻译成中文，日本方言则必然地被中国普通话取代。舞台设计的变化大概与舞台制作的难度以及演出成本有关，但写实性的原作因为这种变化被赋予了象征性，很难说是失还是得。但人物和情节的调整值得商榷。护士（而非医生）对直子的病情做出诊断（所谓直子的生命“只剩下三个多月”）不合常理，洋次下午洗脚也有些奇怪。坐在廊下剪指甲本是因为被解雇之后回到家里百无聊赖。原作中众人无声地给直子的灵位上香的情节本是“安静戏剧”中最安静的场面，省略之后《海与阳伞》的“安静戏剧”特征受到削弱。方言问题则更为复杂。在长崎方言不可避免地变成标准中国语之后，原作通过方言暗示出的非正统、非中心姿态以及方言的喜剧性也自然消失。

在北京朝阳区文化馆的TNT剧场，《海与阳伞》仅仅是作为爱情剧、作为日常生活剧呈现在观众面前的。剧本自身的内涵并未得到完全展示，其与日本现代文学、与战后日本社会的关联则在很大程度上被“翻译”和“舞台”阻断。完整地理解《海与阳伞》，须回到日语的语境之中，且须将其还原为作为阅读对象的“剧本”。

《海与阳伞》叙述的故事是从诗开始的∶

也许，出生与死亡，都是/对于人类的某种遥远的复仇/确实是这样。唯其如此，男人与女人/才无非是一对圈套——为了使那复仇永远持续……

并且是用诗结束的：

不过，直到如今，我依然/在年轻时代的甜蜜困惑中迷失/省悟于妻子的重量而感到惊悚……//我想，也许/所谓遥远的复仇/是拥有另一种起源的遥远的送别，而且//托付于女人之身的，男人之心的重量/似神秘的慈爱/在永眠的妻子身旁，无穷无尽……

可以看出，一首完整的诗被一分为二，前半首放在了剧本前面，后半首放在了剧本后面。就是说，《海与阳伞》的故事是被置于一首诗之中的。不过，翻译完剧本我即感到困惑：一位三十二岁的青年（松田正隆创作《海与阳伞》的时候三十二岁）何以对夫妻之情有如此痛切的感悟？何以能写出这种刻骨铭心的诗？剧本结尾处写道：“该剧作参考、引用了寺田寅彦的《橡子》、吉野弘的《致妻》和《虹之足》。谨此致谢。”为了理解《海与阳伞》我去翻阅吉野弘的诗集，才知道那首诗确非松田正隆所作，而是对吉野弘《致妻》的引用。松田只是对诗句的排列做了简单调整，并且省略了原诗中的一句“——嵯峨先生写道。”这句话本是放在“也许，出生与死亡，都是／对于人类的某种遥远的复仇”后面。换言之，吉野弘的《致妻》是从引用嵯峨先生的话开始的。根据诗后吉野的注释，嵯峨先生即嵯峨信之，那句诗是引自嵯峨的诗集《魂中之死》。《虹之足》是吉野弘的另一首名作，中译本《日本当代诗选》（作家出版社二○○三年版）亦将其收录（诗题被译为“彩虹脚”）。诗的大意是：雨后我坐在盘山道上开往榛名峰的巴士中，看到彩虹从半空把脚伸到远处的原野上，笼罩了原野上的几户人家。乘客们高兴得红光满面，大喊“喂！你们的家在彩虹里哪！”但是，那里并没有人出来抚摸彩虹的脚。“也许有那样的事／在别人看得见，而自己看不见的幸福里／并不感到特别的惊奇／幸福地生活着……”——诗这样结束。在《海与阳伞》第五幕，直子在从女编辑多田久子那里夺回丈夫洋次之后站到雨后的院子里，问洋次是否看到了彩虹，并说自己就站在彩虹中。洋次说没有看到，直子就说：“那就是说……你也在彩虹里。所以，看不见。”显然，这个构思是来自于吉野弘的《虹之足》。

如果说《致妻》在主题方面给了《海与阳伞》灵魂，那么《虹之足》则是在细节上给了《海与阳伞》“意境”。一九二六年出生的吉野弘是战后日本屈指可数的名诗人，他对于夫妻关系的诗性表现尤其为人称道。评论家山田太一为《吉野弘诗集·续编》（现代诗文库，思潮社一九九四年四月初版）写的推荐辞，就引用了吉野弘以妻子为题材的另一首诗《某日早晨的……》。

《海与阳伞》对寺田寅彦（一八七八—— 一九三五）《橡子》（日文文题写作《团栗》）的借鉴，在于情节设置和角色安排，还有细节的构思。寺田寅彦是日本近代物理学家，明治四十一年（一九○八）三十岁时即被授予理学博士学位，后任东京大学教授。寺田也是著名作家。明治二十九年（一八九六）入熊本第五高等学校就读之后，有幸受到在那里当讲师的夏目漱石的文学启蒙。在日本近代文学史上寺田寅彦是以随笔著称，评论家小宫丰隆甚至说∶“作为日本文学形式的随笔，是在寺田寅彦出现之后才展示出最大的表现力。”《橡子》发表于明治三十八年（一九○五）四月的《子规》（《ホトトギス》），是寺田的随笔名篇，并且是日本近代随笔中的名篇。明治三十五年（一九○二）岁末妻子夏子亡故，两年之后寺田写下了怀念亡妻的《橡子》，回忆从前与妻子在一起的生活：新年前后怀孕的妻子病了，吐血倒地。新年过后天气暖和起来，某日征得医生的同意带妻子去植物园，病弱的妻子高兴得不得了，精心梳洗打扮。等在外面的“我”催得急了，妻子居然孩子似地哭起来。在植物园里，看到穿海军服的男孩子带着小女孩往冰面上扔石子，妻对“我”说“你是想有个女儿吧”。在山坡上，妻子看到落在草地上的橡子，高兴地去捡，不停地捡，包了两手帕……文章结束于妻子去世两年多之后“我”带着六岁的儿子去植物园。“快乐地捡橡子的妻子今已不在。坟上的青苔绿了一遍又一遍。山坡上橡子落下的时候，白头翁的叫声中树叶在飘落。”从前妻捡橡子的地方，儿子快乐地捡着橡子……将《海与阳伞》与《橡子》对照阅读，可以看出二者“丈夫照顾病妻→病妻亡故”这种基本的“男—女”结构完全一致，洋次对直子的珍惜可以看做寺田寅彦式的，直子的天真和顽皮亦可看做夏子式的。我甚至怀疑naoko（“直子”的日语读音）这个名字也是从natuko（“夏子”的日语读音）变换而来。《海与阳伞》中直子在公园里看到一个可爱的小女孩，回家之后说给洋次听；直子因病突然倒地；直子征得医生的同意去看海之前精心打扮并对洋次撒娇；……这些情节都可以在《橡子》中找到影子。

在某种意义上，可以说松田正隆是通过寺田寅彦、吉野弘这些前辈作家的作品深化了自己对夫妻之情的理解，领悟了那种刻骨铭心的生命的寂寞。在《橡子》、《致妻》与《虹之足》的延长线上，《海与阳伞》诞生了，它延伸了《橡子》、《致妻》等作品共同包含的爱情主题的生命。如同《橡子》、《致妻》是日本近现代文学的名作，《海与阳伞》也已成为日本当代文学的名作，并与前者一起构成日本文学中表现爱情主题的名作链。《海与阳伞》表现的爱情具有历史性和社会性，并非仅仅是松田正隆的个人理解。

不过，《海与阳伞》如果仅限于此，其价值将大大降低。

松田正隆何以用方言并且是用长崎方言创作《海与阳伞》？如果把“松田本人生于长崎”或者“故事的背景是长崎”作为答案，那么居住在京都的松田对长崎的执著依然是重要的。本来，既然《海与阳伞》的基本构思与寺田寅彦的《橡子》有关，那么故事背景设定在东京或者京都这种大都市是合乎逻辑的。因为《橡子》的故事本是发生在东京。长崎在战后日本的符号意义，主要在于它是一个曾经遭受原子弹袭击的城市，并因此成为思考战争、和平、国家、平民等问题的媒介，有的日本评论者就是把《海与阳伞》与长崎遭受原子弹袭击联系起来——将直子的病解释为“原爆”辐射引起的白血病。但这种解释未必符合松田本人的构思。长崎遭受原子弹袭击是一九四五年八月九日，而《海与阳伞》是创作于九十年代初。如果直子曾经遭受原子弹爆炸的辐射，那么她的年龄应当接近五十岁。去年六月初在东京与松田见面，我问及剧中人的年龄设定，松田回答说直子的年龄是在三十二岁左右。就是说直子是出生在一九六○年前后。不过，尽管那种解释未必符合松田的构思，但解释者对于松田正隆“非国家”立场的把握却是准确的。这种“非国家”立场从松田为《海与阳伞》单行本（白水社一九九六年四月初版）写的后记《风舞于旗》中可以窥见。此文开头写冬季的一个星期日自己坐在京都河原町大街的咖啡店里，漫不经心地望着窗外楼顶上白色的旗子发出啪嗒啪嗒的声音在舞动，由此展开对于戏剧本质的思考，得到“享受徒劳即为戏剧”的感悟。但随后他记起当天是日本的建国纪念日，并且发现远处的旗子原来是日本国旗太阳旗，于是发出“无论怎样，也存在着不能享受的徒劳”这种感慨。换言之，借助国旗和建国纪念日获得具体存在的“日本国”是非戏剧的。

意识到这种“非国家”的政治倾向，就会发现《海与阳伞》使用的方言及其刻意营造的“日常性”之中包含的某种政治性。方言是非标准语的，因而是非中心的。实际上，《海与阳伞》开头对于故事空间背景的设定仅仅是“某地方城市，有河水流过的街区”。这个“地方城市”成其为长崎，是因为剧中人说的是长崎方言。平民的“日常”同样是非政治、非权力的。决定《海与阳伞》中这种价值取向的显然是松田的“非国家”立场。如果这种解释能够成立，那么松田把《橡子》中发生在东京帝国大学学生与病亡之妻之间的故事改造成《海与阳伞》中发生在“原爆”城市长崎的失业中学教师与病亡之妻的故事就不是偶然的。场景从东京向长崎的转换即从日本国权力中心向权力边缘（并且是原子弹受害地）的转换，东京帝大学生向失业中学教师（兼业余作家）的转换则是上流社会向下层社会的转换。这种转换使《海与阳伞》成为多重意义上的“民众戏剧”。在曾经遭受原子弹袭击的长崎，在长崎方言和长崎平民的日常生活图景（房租、生病、治病、找工作、修房子、街道运动会等等）中，国家、中心、权力等价值被相对化，被排斥在舞台之外。

这样一来，松田在《海与阳伞》的创作中引用、借鉴吉野弘的诗歌也就并非仅仅是因为《致妻》、《虹之足》等作品感情强度大或者意境优美，同时也具有意识形态的因素。吉野弘在战争结束之前已经参加工作，并且和那个时代的大部分日本青年一样接受了征兵体检。正式入伍五天之前日本战败，年轻的吉野弘受到巨大的思想冲击。战后他投身劳工运动，反对资本家剥削、解雇工人。积劳成疾，一九四九年在斗争高潮中患了肺结核。诗歌成为吉野弘控诉社会的工具，对于人生苦难的承受使他的诗中蕴涵着一种特殊的温和。可以说，松田正隆与作为资本主义日本抵抗者的吉野弘之间存在着反正统、反权力的一致性。无独有偶，第四十届岸田国士戏剧奖评审委员会委员之一的井上厦，从语言、结构、蕴涵等方面全方位地赞美《海与阳伞》。他说：“最为成功的是建立了台词的文体，再加上方言的效果，每一行都鲜明地打上了作者的独特印记”（引自《海与阳伞》单行本所附评审材料）。井上大概也并非仅仅从台词艺术性的角度进行评价，所谓“方言的效果”之中应当包含着意识形态层面的含义。因为身为日本笔会会长的井上厦本人也是反体制者。二○○四年他作为九位资深文化人之一参与发起了“九条会”。该会以捍卫日本和平宪法中规定着永远放弃军队、放弃战争的第九条为宗旨，在日本社会产生了广泛影响。

《海与阳伞》是植根于日本近代文学的土壤之中，植根于战后日本的社会和思想之中，同时也是植根于松田正隆本人的世界观、价值观之中。松田的高明之处，在于能够广泛吸取多方面的思想、艺术养分，运用古典主义的严谨手法建构出一个具有高度完整性、充满诗情画意的舞台艺术品。相对于这样一个与近现代日本的文学、历史、思想保持着多种关联的、作为阅读对象存在的《海与阳伞》而言，舞台的表现力是有限的，被“翻译”阻隔的中国舞台的表现力则更有限。当然，如果使用另外一种表演方式、有效地利用多媒体的舞台手段（比如打出长崎港或者长崎和平公园的布景、用字幕展示吉野弘的诗等等），被“翻译”阻隔的、另一语言环境中的舞台的表现力也许能够得到进一步的提升。

松田正隆是一位戏剧家，也是一位“文章家”。那篇题为“风舞于旗”的后记写得十分精彩。遣词别致，文脉曲折，含蓄而又深刻，颇有几分寺田随笔的风格。他在文中通过跳跃性的比喻探讨戏剧的本质以及剧本与舞台的关系，曰：“戏剧相似于旗。旗者旗也，故有舞于风之必要。同样，戏剧也总是以上演作为前提而成立。当然，不能上演的戏剧——即作为‘读物’的戏剧——当中，大概也存在着许多精妙之作。就像存在着尽管不在风中舞动但也同样美丽的旗。”持此种戏剧观，大概是因为他意识到了舞台的局限性。进而，他把《海与阳伞》中的“爱”定义为需要借助某种媒介获得形状之物——如同风需要通过旗获得形状。如此说来，戏剧创作、舞台的建构乃至对于“爱”的表达，都近似于捕捉风的形状。当“爱”（以及“爱”之外的其他情感）被比喻为风的时候，风确实是需要形状的。风的形状能够被获得，也能够改变，并且经常改变，特别是在它吹过历史的时间和被国境线分割的空间的时候。此乃风之为风。

三角形形状的判定 篇10

一、应用函数的性质

例1 (2007年全国初中数学联赛题) 设a, b, c是△ABC的三边长, 二次函数在x=1时取最小值则△ABC是 () .

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.直角三角形

解 由题设, 根据二次函数的性质, 得

因此, 有a2+b2=c2.

故△ABC是直角三角形.选答案D.

二、应用质数的性质

例2 (第十一届“希望杯”初二第二试) 一个三角形的三条边长分别是a, b, c (a, b, c都是质数) , 且a+b+c=16, 则这个三角形的形状是 () .

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.直角三角形或等腰三角形

解 ∵a, b, c都是质数, 又是一个三角形的三条边长, 且a+b+c=16, ∴a, b, c中只能是一个为2, 另两个都为7, 故这个三角形是等腰三角形.选答案B.

三、应用非负数的性质

例3 (2004年北京市初二复赛题) △ABC中, BC=a, AC=b, AB=c, 且满足试判定△ABC的形状.

解 由配方, 得

由非负数的性质, 得

∴a=b且a2+b2=c2.

因此, △ABC是等腰直角三角形.

四、应用三角形三边关系的性质

例4 (第19届“希望杯”初二第一试题) 已知△ABC的三边长分别为a, b, c, 且则△ABC一定是 () .

A.等边三角形B.腰长为a的等腰三角形

C.底边长为a的等腰三角形D.等腰直角三角形

解 由已知, 得去分母并因式分解得 (b+c) (b-a) (c-a) =0.

因为a, b, c是三角形的三边, 由三角形三边关系的性质, 有b+c>0.

故b-a=0或c-a=0, 即b=a或c=a.

因此△ABC一定是以a为腰的等腰三角形.选答案B.

五、应用三角形内角和的性质

例5 (2007年肇庆市初中数学竞赛题) 如果三角形一个内角等于其他两个内角的差, 那么这个三角形是 () .

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

解 设△ABC, 根据题设, 不妨设A=B-C, 由三角形内角和的性质, 得A+B+C=180, 代入上式, 得2B=180, 则B=90, 故知这个三角形是直角三角形.故选答案B.

六、应用一元二次方程根的判别式

例6 (2008年广东省初中数学竞赛初赛) 已知a, b, c为△ABC的三边长, 且关于x的一元二次方程 (c-b) x2+2 (b-a) x+ (a-b) =0有两个相等的实数根, 则这个三角形是 () .

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.不等边三角形

解 根据一元二次方程根的判别式, 得

化简, 得 (a-b) (a-c) =0,

所以, a-b=0或a-c=0, 从而得a=b或a=c.

又由已知, 可得c-b≠0, 从而得c≠b.

因此, △ABC是等腰三角形.故选答案C.

七、应用配方法

例7 (2007年肇庆市初中数学竞赛) 设a, b, c是三角形的三边长, 且a2+b2+c2=ab+bc+ca, 关于此三角形的形状有以下判断: (1) 是等腰三角形; (2) 是等边三角形; (3) 是锐角三角形; (4) 是斜三角形, 其中正确的说法的个数是 () .

A.4个B.3个C.2个D.1个

解 将题设中的关系式的两边同时乘以2后, 配方并整理得 (a-b) 2+ (b-c) 2+ (c-a) 2=0.

从而, 得a=b=c.

由此知, 此三角形的形状是等腰三角形, 也是等边三角形, 还是锐角三角形.故选答案B.