柔性机械臂

柔性机械臂（通用8篇）

柔性机械臂 篇1

从上个世纪七十年代开始人们着手对柔性机械臂进行研究, 佐治亚理工学院 (Georgia Institute of Technology) 的WJBook教授成为对机械臂数学模型建立和运动控制研究的第一人。随后, 越来越多研究人员对柔性机械臂进行研究, 各种专业期刊上也刊登了大量的相关研究论文, 相应的设备也应运而生。美国、日本等科技强国对柔性机械臂的研究十分看重并走在世界前沿, 我国的各个科学研究院所在机械臂研究领域也取得了不少的进展, 如上海交大的特种机器人研究室和北航的机器人研究所等。

1 柔性机械臂研究的主要内容

由于柔性机械手的多自由度以及结构的弹性导致在建模方面具有较大的困难, 这使得传统方式不再适合控制柔性机械臂, 人们提出一些职能控制方法应用与柔性机械臂的控制, 例如神经网络控制、模糊控制和遗传算法控制等。目前关于柔性机械臂的研究主要是在两个方面:一个是建立柔性机械臂的动力学模型;另一个是设计柔性机械臂的控制器。关于这两个问题的研究也是循序渐进的。正确的建模理论不但能够准确的描述出柔性机械臂的动力学特性, 同时也为接下来的控制器设计提供了模型保证, 因此, 要能够对机械臂进行精确的运动控制, 必须对其建立合理的数学描述方程。非线性系统的动力学建模是以柔性机械臂的动力学模型控制器设计为目的, 一般的控制系统描述包括频域描述 (传递函数) 和时域描述 (状态空间) 两个方面, 它们与传感器的执行定位、执行器到传感器的信息传递以及机械臂的动力学特性关系十分密切。如何建立合适的、准确的动力学模型, 并且根据此动力学模型设计高效的控制器来控制柔性机械臂的动作, 目前仍是众多机械臂研究的专家、学者必须面对和解决的问题之一。

2 柔性机械臂的研究主要方法

机械臂的柔性主要表现在连杆的柔性和关节的柔性两方面, 前者是指由于自身的材料弹性和形状细长的等原因易造成机械臂产生弯曲变形和剪切变形, 研究人员常用分布参数模型 (偏微分方程) 来表述, 后者是指电机传动以及机械臂耦合之间的变形, 常用集装参数模型来表述。国内外学者对柔性机械臂建模做了许多研究, 文献[1]做了详细的介绍。文献[2]介绍了关于柔性关节和柔性连杆的耦合作用。

经过近十多年的发展, 柔性连杆机械臂的动力学建模方法也日趋成熟。众所周知, 柔性机械因为自身材质形状等原因, 在运动过程中会产生挠曲变形、轴向变形和剪切变形。这些变形太过于复杂, 所以适当的假设显得尤其必要。目前常见的假设有Euler-Bemoulli梁和Timoshcnko梁。Euler-Bemoulli方法对梁的处理为略去梁的剪变形, 即假设梁只有弯曲变形, 而在杆纵向方向完全是刚性。这样的处理方式对于长度与截面比较大的梁所产生的误差可以忽略不计。但是对于长度与横截面比较小的梁则不能略去。Timoshenk粱则同时考虑了梁的剪变形和梁的弯曲变形, 适合运用于各种形状的梁。

柔性机械臂动力学模型的建立方法依据不同的原理可以分为两种:矢量力学方法和分析力学方法。其中运用较多的是哈密顿原理、拉格朗日方程、凯恩方法和虚位移、牛顿欧拉法和模型辨识法。柔性机械臂的变形描述也是机械臂研究领域的一个重点, 正确对机械臂变形进行描述是机械臂数学模型建立与运动控制的基础。此外, 柔性机械臂的控制方法是机械臂研究领域的另一个重点。因此, 首先选择一定的方式描述柔性体的变形, 同时变形的描述与系统动力学方程的求解关系密切。

关于柔性机械手的控制, 文献[3]进行了较详细的总结。文献[4]对柔性机械臂的控制进行了综述和深入的回顾。柔性机器人的研究是近年来控制界的一个难点和热点课题。柔性机械手的数学模型是一个多维的、非线性的复杂模型, 具有很强的时变性和不定因素, 为了控制这类复杂的系统, 研究人员提出了许多新的控制方法:极点配置方法、模态控制方法、最优控制方法、自适应控制方法、智能控制方法、鲁棒控制方法、能量法控制方法。

2.1 柔性体变形的描述

1) 有限单元法。有限单元法是以变分原理为基础发展起来的, 该方法的实质是瑞利-瑞兹解法的分片形式, 它将机械手离散为一组用节点来联系相互关系的单元, 单元的位移用节点位移的近似函数分片来表示, 近似函数一般为所求场函数和它的导数所在单元各个节点的插值函数来表示, 由于插值函数并不针对于完整的系统或下面的子结构, 所以插值函数可以设计的十分简便。通过有限单元法可以简化系统模型, 将复杂的无限维系统简化为适合计算机编程和运算的有限维系统, 并且计算的精度可以由单元数量的多少来决定。目前有限单元法在柔性机械臂领域中得到了十分广泛的运用, 在其数学建模方面诞生了许多专门为其设计的分析软件 (如:NASTRAN、ASKA、IDEAS、ANSYS以及SAP等) 。Tokhi M O、Fattah A、Theodore R J等学者利用有限元法作了大量的研究工作。

2) 假设模态法。在用有限单元法处理连续弹性体的离散问题时, 由于划分的单元较多节点数目较大, 导致数值计算量十分庞大, 给柔性机械臂的研究造成较大困难。为了大幅减少求解的自由度, 研究人员以Ritz法为基础, 通过模态分析和模态截断技术对动力学方程进行模态变换, 用模态坐标代替结点的位移, 利用系统中各个子结构的模态, 综合处系统的整个模态。研究人员认为, 柔性机械臂的振动是由无数个振动谐波构成的, 振动的能量主要集中在前几阶的模态中, 所以描述柔性机械臂振动时只需采用前几阶模态即可, 这种方法叫做假设模态法, 模态函数的选取也因为边界条件的不同而不同。蔡国平和洪嘉振用假设模态法对柔性梁作结构近似处理, 在计入柔性梁由于横向变形而引起的轴向变形的二阶耦合量的条件下建立旋转梁的动力学模型。王树新等在对曲线梁结构近似的处理上提出拟合模态法, 即将大型有限元分析软件计算得出的模态拟合成为多项式的形式, 得到曲线梁模态的近似解析表达式, 简化了曲线梁的动力学建模与计算过程。

3) 集中质量法。集中质量法是运用离散思想对柔性机械臂进行分段来离散化, 每个小段不计质量只有弹性, 各个小段之间通过有质量的节点连接, 对机械臂的作用力都等效作用在节点上。通过集中质量法对机械臂进行近似化处理后, 通过求解每个节点的受力平衡与边界条件, 就能够求得柔性机械臂动力学方程。集中质量法条理清楚, 善于处理物理形状十分复杂的机械臂, 但其与有限元法相比较, 在相同的自由度数目下精度要比有限元法要低。Feliu Jorge、Gamarra-Rosado V O等学者在这方面进行了很多的研究工作。

4) 有限段法。有限段方法是RL.Huston在研究缆索的大摆动中首先提出的, 它把缆索离散成为若干用铰链相连的刚体小段, 并用多刚体动力学的方程导出其动力学控制方程。早在1976年, Wittenburg J M提出了梁的动力学响应有限段解决方法。在国内, 陈乐生将该方法用于柔性机械臂模型的建立, 王营、张兴淮对约束多刚体系统固有频率进行了计算, 殷学刚对梁和圆环进行过动特性分析和大振动响应分析, 还作了杆的曲屈与后曲屈分析。有限段方法的最大优点是不必对梁的结构的变形场进行假设, 也不必小变形假设限制, 因此可以对梁结构进行大变形分析, 其收敛性与计算精度很令人满意。

2.2 柔性臂建模方法介绍

1) 利用哈密顿原理。哈密顿原理是爱尔兰物理学家于1833年提出的一种经典力学理论。哈密顿原理以能量方式代替了传统的空间坐标表述避免了方程中出现内力项。但是哈密顿原理只适合比较简单的柔性系统, 对于复杂的柔性结构, 函数的微分运算将变得非常复杂, 变分原理又有其特点, 由于它是将系统真实运动应满足的条件表示为某个函数或泛函的极值条件, 并利用此条件确定系统的运动。为了解决这个问题可以将该方法和控制系统一起综合分析和优化, 可以使得由系统的动力学模型向控制模型转化。Fung, R-F, Chang, H-C等人利用哈密顿原理建立了带有末端质量的非线性受限柔性机械臂的运动方程, 动态方程式以广义坐标的形式来表示表达机械臂的动能和势能。

2) Newton-Euler法。牛顿-欧拉法将系统的构件隔离开来分析, 运用质心动量矩定理列出隔离构件的约束方程, 进而求得系统中每个构件的约束方程组, 最后通过求解约束方程组消去系统的内力项来得到系统的动力学方程。该方法中的各个参数物理意义明确, 并且完整的表达了系统的受力关系, 但是系统内力项的计算过于繁琐, 如何消除大量的约束反力是随之而来的一个重要问题。Gamarra-Rosado V O、Bruno Siciliano等学者成功的利用Newton-Euler公式建立了柔性机械臂的动力学方程, 以牛顿方程和欧拉方程为基础, 通过柔性臂的速度分析和加速度分析得到系统的动力学方程。

3) Lagrange方程。拉格朗日方程通过引入广义力与广义坐标在虚位移原理和动静法的基础上列出不含约束力的系统动力学方程。拉格朗日方程式动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。所有对系统机械能无影响的力均不必考虑, 并不需计算理想约束力, 最后得到的方程是封闭形式的表达式。用Lagrange方程推导柔性机械臂模型, 特别是推导多节柔性机械臂动力学模型, 不必考虑复杂的约束力, 过程简单, 因此被广泛地应用在柔性多体系统建模中。

4) Kane方法和虚位移原理。研究人员在对多种动力学模型采取对比分析的方式, 提出了一种以约束质点系的达朗贝尔原理为基础, 对整个系统的主动力和主动力矩求和与系统的惯性力和惯性力矩相等, 从而可以得出系统动力学方程。凯恩法同时具有矢量力学与分析力学的特点, 在没有引入能量函数的情况下消除了不做功的约束内力, 它使得计算过程避免了复杂微分方程的计算过程, 让模型的推导更具有系统性, 并且更容易以计算机程序的形式来表达和计算, 这对多体系统的分析十分有利。Huston、张大钧等均采用该方法建立柔性多体动力学模型。H G Tanner和K J Kyriakopoulos在其文献中用Kane方法建立了柔性机械臂的动力学模型。

5) 模型辨识的方法。模型辨识法与经典分析力学完全不同, 它抛开了力学分析方法来建模, 而是利用模拟和学习柔性机械臂的动力学特征的方式来获得柔性机械臂的数学模型。常用的模型辨识法有系数估计法、动力学参数估计法、神经网络法。K Khosla和T Kanade对直接驱动型 (CMU DDⅡ型) 机器人的惯性量系数进行辨识, 董朝阳等人利用神经网络任意逼近分线性函数, 并建立了系统动力学模型。因为模型辨识法还处于研究和发展阶段, 理论体系还不够完善, 所以还有很多方法值得研究和开发。

3 柔性机械臂控制理论的研究现状

3.1 PID控制

PID控制由3个控制偏差量的线性组合而成:PID (P (proportion) 、I (integration) 、D (differentiation) ) , 它由于控制原理较为容易理解, 硬件操作较为简单, 加上不需要精确的系统模型等先决条件, 使得它在世界范围内得到广泛的运用。PID控制方法在机械臂领域也运用十分成熟, 研究人员发现因为机械臂自身的特征关系, 积分项I的变化对机械臂运动效果影响很小, 所以在机械臂控制中一般只使用P和D组合控制。Ozen Figen提出了依靠一些容易获得的量 (如关节角、角速度、每个杆的端点变形和端点的速度) 来控制柔性机械臂端点位置轨迹跟踪的新的控制策略, 它与传统的PD控制比较有很大的优点。Kelly用近似微分的法进行全局调节, 减小了柔性机械臂在PD控制中产生的噪声。Yigit在独立关节PD控制的鲁棒性研究中表明关节的PD控制稳定性取决于非离散化或线性化的运动方程, 并且对双杆柔性机械臂的PD控制器进行了研究。Xu对于双杆柔性机械臂设计了一种PD控制器。Lin对一个6自由度多杆系统应用Lyapunov原理设计了非线性反馈PID控制器。

3.2 模态控制法

将柔性机械臂放置到模态空间里研究, 柔性机械臂是一个无限自由度的系统, 其再时域内的振动可以由无数个不同频率对应的模态构成, 但是由于高频对应的模态对机械臂的运动效果影响很小, 所以机械臂的振动可以用低阶模态在模态空间内近似描述, 这些模态称为控制模态, 这种方法称为模态控制法。模态控制法包括两种控制方法:一种是模态耦合控制, 它利用模态之间的互相耦合, 用少量的传感器就可以对较多的模态进行控制, 另一种是独立模态控制, 它借助模态坐标变换把完整系统的运动控制变成对各阶主模态的控制, 该方法直接简单, 物理概念清晰明确, 充分利用了模态分析技术, 简化了柔性机械臂系统的控制。

3.3 最优控制方法

最优控制法是基于系统理想数学模型方法之上, 它首先要设计一个性能指标函数, 再通过最优控制律使得性能指标函数取得极小值。其中所说的性能指标函数是指我们所期望得到的控制结果以及得到该结果所要付出的控制代价。在一般情况下控制的效果越好所要付出的控制代价就越高, 最优控制法可以通过调节它们之间的均衡来达到自己想要的控制效果。需要指出的是, 最优控制法并不是指控制效果最优, 而是值在满足性能指标函数的前提下, 控制效果最优, 这样做法同时考虑到了经济优先原则也考虑到了控制效果优先原则。但是, 最优控制法需要计算里卡蒂方程, 使得运算时间较长从而导致了控制延时, 影响控制效果。

3.4 自适应控制

由于机械臂系统复杂各种参数较多, 所以研究人员并不一定能知道系统的所有参数, 在描述机械臂结构时就会有些偏差。另外由于外部环境变化以及测量时产生的误差等影响, 这就需要所建立的机械臂控制器能够在抵抗这些扰动的情况下还能使得控制达到最优或近似最优。但是, 自适应所需要的反馈控制比起一般反馈控制要更加复杂, 所需费用也较为昂贵, 如果控制对象的扰动不是影响特别大, 还是常规反馈控制要实用。Yang针对了模型中存在不确定性的参数提出了非线性控制律的自适应方法。Cao和Xu运用自适应变结构控制对双连杆机械臂进行了控制设计。Chen和Etimsahy设计了一种混合自适应控制器, 提供了一个统一的框架设计, 不需要预先给出精确的数学模型、机械臂动态参数或负载参数, 如质量和刚度等。李晓理等人给出多模型自适应控制产生的背景, 对模型集的建立、多模型控制器的形成以及算法的收敛性和稳定性进行了分析, 介绍了多模型自适应控制在工业生产过程中的应用和最新研究成果, 同时提出了存在的问题及进一步发展方向。

3.5 变结构控制

为了解决柔性系统的非线性、不确定性等特点, 研究人员引入了变结构控制 (LVSC) , 它能通过一种简单的学习机制来提高系统的稳态精度, 并对系统的摄动和干扰都具有良好的自适应性。今年来变结构控制有了长足的发展, 并在国内外得到了十足的关注, 例如滑膜控制得到了广泛的使用。但是, 由于系统相点在接近切换面的时候因为惯性导致了其在切换面不停的穿梭, 使得系统容易产生抖振, 影响控制效果。处理该问题通常用变结构控制律中的符号函数用饱和函数和优化到达条件, 使得相点在接近切换面时运动速度减慢来减小惯性这两个方法。Sundareshan MK等提出神经网络变结构控制在机械臂方面的应用。熊翌竹, 郭华芳提出将变结构控制方法运用到双柔性机械臂中。

3.6 智能控制方法

智能控制是控制的自动化研究达到一定水平的高度, 其理论内容包含多个学科并且相互交叉和融合, 它的目的是控制那些用传统控制方法难以控制的非线性系统, 提高控制精度并提供相应的理论。智能控制是用语言实行控制的一种方法, 它体现了人类在控制过程中的思想变化, 它的其中一个特点是它并不需要控制对象具体的数学方程式, 而是需要控制对象经过操作后所提供的数据和操作经验。刘建昌和苗宇考虑到机械臂动力学模型的非线性和参数的不确定性, 提出了采用神经网络作为补偿器的机械臂轨迹控制策略。林雷等人利用模糊控制对模型不确定部分采用变结构集中补偿控制, 在存在模型误差和外部扰动的情况下既能达到快速跟踪, 又能很好的消除控制器的抖震。

3.7 鲁棒控制

由于柔性机械臂的参数不确定性及复杂运动特征, 其运动方程中许多参数存在明显的不确定性和参数太范围摄动, 所谓鲁棒控制就是指控制系统在某种类型的扰动作用下, 包括自身模型的扰动下, 系统某个性能指标保持不变的能力, 即抗干扰能力较强, 鲁棒控制是一种适宜于补偿这种不确定性的方法。田彦涛i采用多模态鲁棒自适应控制算法控制柔性机械臂的运动轨迹, 结构简单, 收敛性很好。此外, Choi给出一种新型混合驱动器方案, 用来主动地、鲁棒地控制一个非常柔软的单连杆操作器的末端点位置。Song和Cai将柔性机械臂系统分成刚性子系统和柔性子系统, 假设刚性子系统的输入为柔性子系统的输出来设计鲁棒控制器。Lee等设计了基于能量的自适应鲁棒控制策略, 理论上适用于n连杆机械臂, 最后通过一个双连杆机械臂进行了仿真计算。李元春等利用基于准静态偏差校正的神经网络理论设计了一种鲁棒控制器, 用来控制双连杆机械臂的振动问题。

3.8 能量法

能量法是近年来兴起的一种对于柔性系统的控制方法, 其基本思想是认为能量在柔性系统中传递, 会反馈一部分回来, 根据反馈的这部分信息 (可以是反馈的力, 反馈的速度, 反馈的位移等等) , 从而可以判断柔性体的振动形态, 从而施加控制, 达到振动抑制的目的。

4 结束语

综上所述, 关于柔性机械臂的研究目前在世界范围内已经取得了长足的发展, 也积累了丰富的经验, 但其具体的应用过程仍然存在一些有待攻克的问题。本文对相关研究加以总结与分析, 希望为此类研究起到抛砖迎玉的作用。

参考文献

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柔性机械臂 篇2

关于机械臂问题的评论

分析问题要求和约束条件,将关于机械臂的`转角坐标与目标空间坐标关系的欠定方程组转化为多目标规划模型,进一步归纳解决此问题的三种技术,并给出求解的基本思路.

作 者：王以治 WANG Yi-zhi  作者单位：华中科技大学,机械科学与工程学院,武汉,430074 刊 名：数学的实践与认识  ISTIC PKU英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 年，卷(期)：2008 38(14) 分类号：O1 TH12 关键词：欠定方程组   多目标规划  

柔性机械臂 篇3

采用空间机器人协助人类完成太空探索任务已成为太空发展的趋势,先进的空间机械臂的应用能够提高大型空间站建设、使用、维护等各个环节的效率和安全性,可以代替航天员进行太空监测、空间装配、太阳能电池帆板维护、故障卫星的修理、辅助交互对接等太空任务,大大减少宇航员出舱活动面临的风险。

考虑到发射成本及工作环境,空间机械臂通常由轻质、细长的杆件组成。在工作时需要将大质量的物体进行较大范围的转移,因此空间机械臂是一种柔性机械臂。由于柔性的影响,在大载荷与大范围运动过程中会产生振动,对空间机械臂的控制精度与控制难度以及整个系统的稳定性都带来了巨大的挑战。

因此,必须对柔性空间机械臂进行动力学仿真,分析柔性体对空间机械臂动态性能的影响。

本文以二自由度柔性空间机械臂为研究对象,利用ANSYS和ADAMS进行联合动力学仿真,分析柔性对机械臂动态特性的影响,最后在MATLAB中建立控制环节对机械末端轨迹进行调控,实现机械臂精确点位控制。

1 柔性机械臂虚拟样机的建立

柔性机械臂建模的流程为,先利用ANSYS创建柔性体的模态中性文件,导入到ADAMS中,替换原来相应的刚性结构部分,便可建立刚柔耦合动力学仿真模型。

1.1 柔性机械臂虚拟样机的理论基础

柔性体动力学仿真问题的主要特点是,系统中的柔性体部件,在运动过程中经历着大的刚性整体移动和转动,同时又有变形运动,而且这2种运动又是高度耦合的。在建立系统动力学控制方程式,可以采用不同的原理和方法,如牛顿-欧拉法,拉格朗日方法,Kane方法等[1]。

拉格朗日方程是柔性连杆机械臂建立动力学模型的理论基础,柔性空间机械臂的拉格朗日动力学一般方程表示如下[2]:

式中,T表示柔性空间机械臂的系统动能,U表示柔性空间机械臂的系统势能,Q表示柔性空间机械臂的广义力,q表示柔性空间机械臂的广义速度向量,柔性双杆机械臂简化模型如图1。

柔性空间机械臂的柔性主要表现为关节的柔性和臂杆的柔性,关节柔性是指机械臂传动机构和关节轴的扭转变形;臂杆柔性则指机械臂连杆的弹性变形、剪切变形等,由于机械臂臂杆长度较长且截面积相对较小,运行过程中产生的轴向变形和剪切变形相对于挠曲变形而言非常小,因而在动力学建模过程中可忽而略,将柔性杆简化为Euler-Bernoulli梁处理[3]。本文所研究的柔性空间机械臂,只考虑臂杆柔性而将关节看成是刚性关节,整个机械臂可看作刚柔耦合仿真模型。

1.2 刚性机械臂的建立

空间机械臂由2条长臂和2个旋转副组成,机械臂尺寸L1=L2=0.8 m,截面尺寸为0.04 m×0.02 m,在ADAMS中创建机械臂刚体模型如图2所示。

1.3 模态中性文件的生成

在ADAMS中,有3种建立柔性体的方法:1)通过一个构件离散成多段刚性构件,进而建立所需要的柔性体,用柔性体来进行连接;2)用ADAMS/Auto Flex模块,可以直接生成柔性体的模态中性文件,替换原来的刚性件;3)利用有限元软件将构件离散成一些细小的网格,通过模态计算,将文件转换为建立柔性体的模态中性文件,再导入到ADAMS中。为了分析机械臂的模态及振动特性,本文选择第3种方法,即利用ANSYS创建柔性体[4,5]。

在ANSYS中创建机械臂三维模型,选择solid45单元划分网格;定义材料属性,柔性机械臂的材料为碳纤维,密度ρ=1.8×103kg/m3,弹性模量E=250 GPa,泊松比u=0.3;定义机械臂旋转副轴心为外部接触点,建立刚性区域。

完成以上步骤后,导出模态中性文件,则模态中性文件MNF中包含了柔性体的质量、质心、转动惯量、频率、振型以及对载荷的参与因子等信息[6]。

1.4 模态中性文件的导入

将ANSYS生成的模态中性文件导入到ADAMS中,替换掉原来的刚性体,得到机械臂柔性体模型,在图形区用鼠标双击柔性体,可以查看柔性体的各阶模态,机械臂的柔性体及其第6阶模态振型如图3所示。

2 机械臂动力学仿真

在ADAMS中创建好柔性体模型后,设置仿真参数,便可进行柔性机械臂的动力学仿真,得到机械臂的动力学特性。

2.1 仿真参数的设置

由于机械臂在太空处于失重状态,将ADAMS重力加速度设置为0,在机械臂1和2之间添加旋转副,机械臂各关节的运动是通过各杆件上连接块中的电机驱动来实现的,在3个关节处分别添加驱动,驱动函数为θ1=60d×t,θ2=30×t。

2.2 刚、柔模型对比仿真

参数设置好后,进行动力学仿真,得到柔性机械臂在某一时刻的状态如图4。

以机械臂末端执行器中心为观测点,得到刚性体和柔性体末端位置曲线如图5。

同时还可得到柔性机械臂末端执行器速度曲线如图6。

2.3 仿真结果分析

由图5、图6可以看出,机械臂末端由于柔性影响,末端执行器位置产生误差,通过机器人末端执行器在x、y方向上的速度曲线可以看出机械臂产生了振动,柔性机械臂的轻质、柔性化大幅度地提高了工作效率和机动性,降低了能耗,响应快速,但带来了振动问题。

3 MATLAB控制系统的建立

设计和制造柔性机械臂的主要目标之一,就是为了获得较高的运动速度和高精度的控制性能,空间机械臂对控制精度与稳定性的要求非常高,轨迹跟踪控制是机器人控制的基本任务之一。

针对柔性机械臂容易发生弹性振动影响系统稳定性和机械臂末端定位精度的问题,设计有效控制策略实现柔性机械臂的轨迹规划和末端精确定位[7],以提高机械臂的工作稳定性和系统可靠性。

3.1 控制系统原理

柔性机械臂的位置控制是使其末端达到既定位置或者跟踪既定轨迹,为实现这一目标,有2条途径:一是末端控制,以末端位置为输出进行输出跟踪和调节;其二是关节控制,通过运动学关系控制关节角来控制末端位置[8]。

目前应用较为广泛的控制算法主要有PID控制,反馈控制、自适应控制、鲁棒控制、智能控制等,每种控制算法都有各自的优缺点,PID控制是最简单的控制算法,适用性好,鲁棒性强,使用也非常方便[9]。控制系统原理图如图7。

3.2 机械臂末端预定轨迹

为了实现机械臂末端轨迹的反馈控制,必须求出机械臂末端轨迹的理论期望运动规律。刚性机械臂简化模型如图8。

设机械臂末端位置坐标为P(x,y),则有:

式中:θ1、θ2为关节驱动函数,x、y为机械臂末端位置理论期望轨迹坐标分量函数。

3.3 MATLAB控制方案的建立

ADAMS软件通过ADAMS/controls模块与MATLAB/simulink进行联合仿真,仿真之前需在ADAMS中创建好状态变量[10],在关节1、2处添加单分量力矩T1,T2作为输入状态变量,将机械臂执行器末端观测到的位置坐标x_position、y_position以及执行器末端实际期望坐标x_spline、y_spline作为输出状态变量,导出控制参数,生成adams_matlab文件,在matlab中打开adams_matlab如图9。

在MATLAB/simulink中添加PID环节,建立控制方案如图10。其中,x_spline,x_spline的值分别为:

建立好控制方案后,设置MATLAB与ADAMS之间的数据交换参数,进行联合仿真,不断调整PID控制的增益系数,使机械臂末端轨迹曲线与理论期望轨迹曲线重合[11]。PID的大小可调整系统的响应速度和稳定性。

通过仿真可知,建立PID反馈控制可调整机械臂末端位置精度,实现点位跟踪,此外,通过改变比例积分微分环节的增益系数大小,可调节系统的稳定性和相应速度[12],还可以在simulink控制方案中设定机械臂末端轨迹坐标x_spline和y_spline的值,让机械臂末端执行器按指定的轨迹运动,实现柔性空间机械臂末端轨迹的精确控制。

4 结语

本文以二自由度柔性空间机械臂为例,介绍了AN-SYS建立柔性体的过程,并对虚拟样机进行联合仿真,得到了柔性机械臂的运动特性和动力学特性,通过刚柔模型对比分析,验证了柔性体对机械臂运动精度的影响,最后在MATLAB/simulink中建立控制方案,采用ADAMS与MATLAB联合仿真的方法,对机械臂末端执行器位置进行调控,验证了反馈控制方案的可行性,对分析三自由度或多自由度柔性机械臂的动力学特性具有一定的参考价值和指导作用。

摘要：介绍了柔性机械臂的基本理论及建模方法,利用有限元软件ANSYS创建机械臂的模态中性文件,并导入到多体系统动力学仿真软件ADAMS中,替换掉机械臂的相应刚性结构部分,进行运动学和动力学仿真,对比分析柔性体对机械臂末端执行器运动精度及动力学特性的影响,再进行ADAMS和MATLAB的联合仿真,在simulink中建立反馈控制方案,实现机械臂末端执行器运动轨迹的精确调控,为空间机械臂的优化设计提供参考和依据。

关键词：机械臂,柔性体,动力学仿真,反馈控制

参考文献

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机械臂运动路径规划的算法设计 篇4

机械臂运动路径规划的算法设计

我们对题目中所给的特定的六自由度机械手臂设计一整套通用的算法.让它能够实现点到点移动,有障碍的曲线跟踪,和避障点对点移动三种基本功能.并能自动生成控制台所需要的指令序列,最后我们会对模型的.适用范围和准确性进行评价.

作 者：朱猛 邓国兴 姜宇 ZHU Meng DENG Guo-xing JIANG Yu  作者单位：华南理工大学,计算机科学与工程学院,广州,510006 刊 名：数学的实践与认识  ISTIC PKU英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 年，卷(期)：2008 38(14) 分类号：O1 TH12 关键词：齐次坐标变换   避障问题   路径规划   曲线跟踪   人工势场   机械优化设计  

柔性机械臂 篇5

LQG、LQR、滑模变结构控制、独立模态空间 控制 (IMSC) 等方法被广泛采用于柔性结构的振动主动控制中。但LQG、LQR依赖精确的数学模型而导致其使用时变得繁琐 [1];变结构控制通常会在滑动平面原点附近产生高频颤动, 使其控制效果不佳[2];IMSC虽具有物理概念清晰、易于实现的优点, 但在多模态控制时, 需要多个压电作动器[3];PPF算法具有简单易行、对溢出不敏感等优点。本文采取PPF算法实现对柔性机械臂的振动主动控制, 仿真结果表明, 该方法具有较好的稳定性和控制效果。

1.PPF算法原理[4]

正位反馈控制 (PPF) 的基本思想是采用位置测量, 将受控结构的位置坐标正反馈至控制器, 同时将控制器的位置坐标正反馈给受控结构, 达到抑制结构振动的目的。PPF算法原理如图1所示:

其中:q和η分别是结构位移和补偿器的坐标, ζ和ζC分别是结构和补偿器的阻尼比, ω和ωc分别是结构和补偿器的固有频率, g为PPF算法反馈增益, u为激励信号, uPPF为PPF控制器输入到作动器的电压, s为拉氏变换因子, τ为一正值。

2.结 构参数确定

考虑到系统的振动能量主要集中在前几阶模态, 本文选择机械臂的前两阶模态作为主要控制 目标 , 当步进电 机在驱动器的作用下以某恒定速度转动时, 会激起机械臂振动。采集压电片的响应信号, 进行傅里叶变换后得到幅频特性曲线, 可观察出其一阶和二阶模态分别为15Hz、81Hz。然后采取频 率响应法 , 计算出系 统前两阶 模态阻尼 比分别为0.09、0.04, 最后将前两阶模态正位反馈补偿阻尼比分别设为0.2、0.1。

3.柔性机械臂振动主动控制仿真

3.1仿 真 程 序

Lab VIEW程序中控制循环时钟设为与扫描引擎同步 , 循环周期设为0.0003s, 循环时间设为0.3s。激励信号为幅值为1V, 频率为15Hz的正弦信号, 激励时间为0.1s。经多次仿真确定, 正位反馈系数g取0.1, 其他的模态参数设置参照第2节所述。整个后面板程序如图2所示。

3.2仿 真 结 果 与分析

当使用PPF算法对随机信号激励引起的振动进行控制时, 对于第一、二阶模态, PPF的控制均取得较好的效果。图3显示了PPF控制时的振动抑制效果。

结语

本文针对压电柔性机械臂前两阶振动模态, 采用PPF算法进行振动控制, 该算法简单易行。仿真结果表明, PPF算法对柔性机械臂的振动具有很好的控制效果, 从而可进一步提高柔性机械臂的工作稳定性。

摘要：柔性机械臂的振动严重影响其应用效果。因此, 要以单关节柔性机械臂为研究对象, 使用LabVIEW软件运用PPF的算法进行柔性机械臂的振动控制。文章首先介绍了PPF算法原理, 然后详细论述了仿真过程。仿真结果表明, PPF算法能有效控制柔性机械臂的前两阶模态振动。

关键词：柔性机械臂,振动控制,正位移反馈

参考文献

[1]王宗利, 林启荣, 刘正兴.压电智能梁的状态相关LQR振动控制[J].上海交通大学学报, 2001, 35 (4) :503-508.

[2]邱志成.柔性机械臂的变结构振动控制研究[J].动力学与控制学报, 2007, 5 (1) :62-67.

[3]邱志成, 谢存禧, 张洪华, 吴宏鑫.压电柔性机械臂的主动振动控制研究[J].机器人, 2004, 26 (1) :45-48.

[4]宋朝东, 张菊香, 郑建华.主动振动控制中PPF+PD的应用[J].噪声与振动控制, 2009, 4 (8) :14-16.

[5]熊诗波, 黄长艺.机械工程测试技术基础[M].北京:机械工业出版社, 2009.

柔性机械臂 篇6

由于操作对象的特殊性, 所以要求与环境接触的作业机器人需具有一定的柔顺性。此种机器人的设计较多采用轻质材料以减小惯性或在关节处添加弹簧阻尼调节器。机器人可通过力矩传感器检测关节力矩, 当力矩过大时启动急停措施[1]。急停虽能降低误操作损害, 但当机器人和环境障碍物发生接触碰撞时, 机械臂的惯性还是会对机械臂和接触物体造成一定程度的破坏。阻抗控制方法是实现机器人主动柔顺控制最为有效的方法之一[2], 该方法是由Hogan[3]在1987年提出的。后期许多学者在此基础上基于积分流形[4]、奇异摄动法[5]发展了众多的阻抗控制方法。阻抗控制方法相比力位混合控制方法具有鲁棒性好、动作规划较少等优点[6]。阻抗控制可分为基于动力学模型的方法[7]和基于位置的方法[8]。基于动力学模型的方法需知机器人的精确模型, 而不需要检测力的变化, 但机器人的精确模型通常难以得到;基于位置的阻抗控制方法需知环境位置的精确信息, 而由于测量误差, 环境位置往往不能精确得到。考虑到机器人模型的不精确, 自适应方法被应用到阻抗控制中[9]。机器人自适应阻抗控制多采用刚体模型进行研究。文献[9]虽考虑了关节柔性, 但忽略了机器人的材质柔性影响。而实际情况是, 机器人材质柔性在一些精度较高的场合不能被忽略。本文在综合考虑机械臂材质柔性、环境未知和动力学模型不精确等情况下, 设计了自适应阻抗算法。

本文首先建立柔性机器人动力学模型, 并针对接触运动设计了自适应阻抗控制算法, 分析了稳定条件;而后利用Simulink搭建了不规则环境下可对柔性机械臂进行自适应阻抗控制的仿真平台;通过仿真对比分析了三角形凹陷对柔性机器人一阶模态的影响, 刚性和柔性机器人在自适应阻抗控制下位控和力控效果, 以及自适应项对机器人位控和力控效果的影响。最后给出了实验结果。

1 柔性机器人自适应阻抗控制器设计

1.1 机械臂的阻抗控制

阻抗控制的实质是调节机械臂末端接触力与末端位置两者之间的关系。借鉴文献[10], Cartesian坐标系下的机器人目标阻抗模型为

式中, 珟X为机械臂末端位置误差;Xd、X分别为期望位置 (当目标为与环境发生接触时, 环境位置就是期望位置) 和实际位置;Fe为作用在机械臂末端的接触力;Md、Cd、Kd分别为机械臂的目标惯性矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵。

式 (1) 表明阻抗控制需已知环境位置, 而实际中往往很难得到精确的环境位置;为实现高精度的位置控制, 要求机械臂自身的阻抗参数比较大, 而这样会导致机械臂与障碍物接触力过大[11]。根据接触环境设定新的阻抗参数, 既可以实现精确的位置控制, 又可以减小机械臂和接触物的损伤。

1.2 自适应阻抗控制器设计

考虑柔性处理后机器人运动更符合实际情况, 但柔性机器人动力学方程具有非线性、多变量、强耦合等特点, 不利于控制[12], 所以采用模态假设法对动力学方程进行解耦, 建立解耦后柔性连杆机械臂动力学方程如下:

其中, τ为连杆所受到的外加转动力矩, θ为连杆的广义转角, q1=[q11q12]T为连杆的径向模态 (取前两阶模态) , q2=[q21q22]T为轴向模态, q1、q2为时间t的函数, M (ijI) (i=1, 2, j=1, 2, 3) 、Ci (J) (i=1, 2) 、Ki (K) (i=1, 2) 分别为广义质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵中的元素, 上标表示维数。

式 (2) 可简写成矩阵形式

式中, p= (θ, q1, q2) T为广义坐标;M、C、K、τ分别为广义质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和关节总力矩矩阵。

柔性机器人关节所受总力矩为

式中, τt为关节力矩;τf为摩擦力矩;τe为环境接触力矩;J为Jacobian矩阵。

考虑发生接触时, 用实际环境位置Xe代替式 (1) 中的Xd, 且在式 (1) 右端减去末端期望接触力Fd, 可得柔顺接触阻抗模型

将环境建模为弹性体, 则

式中, Ke为环境刚度矩阵。

由求解微分方程 (式 (6) ) 可得, 当控制接触力达到Fe=Fd时, 为满足理想稳定状态, 力控方向上刚度应满足Kd=0。当忽略摩擦力时, 接触力方向与接触面法线方向相同。假设机械臂末端只在x方向受力, 并用矩阵小写符号表示矩阵对应方向的元素, 对于机器人自由空间和接触空间, 式 (6) 可分别写成

由于环境未知, 实际环境位置xe很难预先得到精确值, 往往只能获得估计值。用估计的环境位置x'e代替实际环境位置xe, 定义e'=x'e-x, 则

为保证在有位置估计误差下实现稳定的接触力, 在式 (10) 中增加自适应调整项Ω (t) , 可得

为保证式 (11) 中的误差收敛, 自适应调整项需根据接触力误差进行调节。本文采用自学习方法, 设计Ω (t) 为

式中, λ为控制器采样周期;η为学习率。

将式 (12) 代入式 (11) , 求Laplace变换, 可建立位置误差和接触力误差的传递函数。根据二阶时滞系统稳定条件及其Taylor级数展开, 可得

式 (3) 中的实际质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵中的参数很难精确获得, 即动力学模型不精确, 模型参数需采用估计值, 则式 (3) 变为

式中, ^M为M矩阵的估计值。

进一步取H的估计值为

并将其代入到式 (13) 中, 可得

将式 (15) 代入式 (9) 和式 (11) , 并拓展到整个Cartesian空间, 可推导出柔性机器人自适应阻抗控制算法为

2 仿真与实验

2.1 仿真平台

对由两相同的匀质细长连杆 (为凸显柔性) 组成的机械臂进行水平面运动仿真, 并忽略摩擦力。机械臂物理参数如表1所示。

机械臂运动情况如图1所示。实际环境位置在x方向0.8 m处, 估计环境位置为x方向0.83 m处, 大于实际环境位置, 从而保证机械臂末端与环境接触[13]。为验证自适应阻抗控制算法对未知环境位置的自适应能力, 实际环境具有三角形凹陷。控制目标为机械臂从自由空间开始运动, 到达约束空间后, 与环境发生接触碰撞, 且一直保持接触滑动。

连杆1与x正向的夹角为θ1, 连杆2相对于连杆1的夹角为θ2, 逆时针为正。利用MATLAB Simulink搭建柔性机器人自适应阻抗控制仿真平台, 如图2所示。

仿真采用MATLAB中提供的基于RungeKutta算法的变步长ode45微分方程求解函数, 仿真时长为3 s。机械臂初始位置分别为。x方向的环境刚度ke=4000 N/m, y方向环境刚度为0, x方向的期望接触力fd=10 N, 忽略摩擦力。仿真中, 只考虑径向模态q1, 忽略轴向模态q2, 并设定连杆平面内转动的动力学和目标阻抗参数为

2.2 柔性和刚性机械臂自适应阻抗控制对比

自适应阻抗控制下, 机械臂从自由空间开始运动, 在0.1 s左右, x≥xe (实际应用中, 由于xe未知, 可用力传感器来检测机器人末端是否与环境接触) , 机械臂与环境接触, 到达约束空间, 开始自适应阻抗控制;在0.6 s左右, 进入三角形凹陷区;在1.4 s左右, 到达三角形的顶点;在2.2左右, 离开三角形凹陷区。仿真表明机械臂末端与环境始终保持接触状态。

柔性机械臂末端径向振动一阶模态如图3所示。由图3可见, 柔性机械臂的一阶振动模态坐标最大可达0.081 m, 因此忽略机械臂的柔性将会带来较大的误差。机械臂从自由空间运动到约束空间后, 由于接触作用, 柔性变形大幅减弱到-0.02~0.02 m内, 且一阶模态坐标趋于零, 柔性对机械臂运动影响降低;机械臂末端在遇到环境三角形凹陷时, 一阶模态有小幅变化。

柔性和刚性机械臂位控和力控效果对比如图4所示。由图4b可见, 柔性机械臂与环境的接触碰撞力峰值小于刚性机械臂与环境的接触碰撞力峰值;但由于柔性机械臂存在横向弹性变形, 柔性机械臂的位置和接触力仿真曲线均在刚性机械臂曲线上下振动。在0.32 s时, 刚性机械臂末端接触力已经能稳定在期望的接触力 (10 N) 附近;而柔性机械臂末端接触力达到稳定在期望接触力附近所需时间延长。刚性机械臂接触力经过三角形凹陷后, 逐渐趋于期望的稳定状态;柔性机械臂接触力则存在振动。由于柔性变形, 柔性机械臂末端的位移和接触力有振荡, 但其均值与刚性机械臂一致。

2.3 自适应项对位控和力控的影响

本文进一步对比分析了有无自适应项情况下, 柔性机械臂阻抗控制的力控和位控效果。为便于比较, 对柔性机械臂末端的位移和接触力作均值滤波处理。对比结果如图5所示。

由图5a可见, 两种控制对理想平面环境的位控效果相差不大;但对于环境的三角形凹陷, 自适应阻抗控制算法下的位置波形相位超前于阻抗控制算法下的位置波形相位, 所以自适应阻抗控制对环境位置变形的响应快于阻抗控制对环境位置变形的响应。由图5b可见, 阻抗控制下, 机械臂在遇到三角形凹陷的第一个折点后力稳定在6.25 N左右, 误差为37.5%;遇到第二个折点后力维持在17.28 N左右, 误差为72.8%;自适应阻抗控制下, 机械臂在遇到三角形凹陷的折点后, 每次都能较快地稳定在期望力10 N左右。说明自适应阻抗控制较单纯的阻抗控制其力控响应快, 但折点处接触力超调较大。

2.4 实验

采用Staubli RX90工业机器人进行了实验研究, 实验环境和力控效果如图6所示。

由图6可见, 本文设计的自适应阻抗控制在实物实验中也能将接触力控制在理想值附近。实际得到的接触力有波动, 波动大小与实际存在的摩擦力、细长铝杆的柔性变形以及压力传感器的测量误差有关。

3 结论

(1) 设计的自适应阻抗控制算法可实现机械臂在不规则环境表面的稳定接触和运动。

(2) 柔性变形对精确的位置控制不可被忽略, 且会导致柔性机械臂末端接触力波动比刚性机械臂剧烈, 使得柔性机械臂的位控和力控效果变差。

(3) 自适应阻抗控制会改善机械臂在不平整接触环境下位控和力控的响应速度、精度。

柔性机械臂 篇7

许多工业机械臂采用谐波齿轮减速器进行传动, 谐波传动具有体积小、承载能力大、效率高、传动比大等优点, 内部柔性元件的存在一方面给关节带来了附加的自由度, 另一方面影响和限制了机器人性能和精度。为了使机器人达到高性能, 在动力学建模和控制器设计时必须考虑关节的柔性。

许多研究人员对柔性关节机械臂这类刚柔耦合系统进行了研究。Spong[1,2]研究了弹性关节的建模和控制, 建模时把弹性关节等效为一刚性的线性扭转弹簧, 在推导模型时考虑了驱动器和连杆之间的动力学耦合, 分别研究了积分流形、反馈线性化以及自适应控制策略, 分析了系统闭环性能和鲁棒性。Erbarur等[3]研究了三自由度柔性关节的反馈线性化控制, 并与传统PD、PID控制器进行了比较。邱志成[4]提出了基于特征模型的柔性关节机械臂的控制, 不需计算系统动力学模型, 只需根据系统的输入输出估计出时变差分方程的参数就可设计控制器。彭济根等[5]提出了基于奇异摄动理论的机器人神经网络控制方法, 在关节柔性较弱情况下, 将关节处的柔性力和关节角分别看成快慢变量, 对降阶子系统设计神经网络慢速控制器, 达到轨迹跟踪控制的目的。目前, 柔性关节机械臂的动力学建模与控制方法的研究多为自由度较少的情况, 且控制轨迹参考曲线多为常用的阶跃曲线、正弦曲线等。此外, 杨玉维等[6]研究了具有柔性臂杆的轮式移动机械臂的动力学模型, 但没有考虑关节的柔性。

本文通过研究实验室现有的六自由度导轨式移动机械臂系统, 建立了该系统刚柔耦合动力学模型, 采用反馈线性化控制对同一路径下两种不同运动状态的轨迹进行了跟踪控制, 并对跟踪效果进行了分析。

1 系统模型

1.1 运动学分析

六自由度的导轨式移动机械臂包括1个移动关节P和5个旋转关节R, 其结构简图见图1。设:d1为移动关节变量;θi (i=2, 3, …, 6) 为转动关节变量;da1为轴 (位于刚性减速后、弹性变形前) 的移动变量;θai (i=2, 3, …, 6) 为轴的转动变量;dm1为电机转子的位移;θmi (i=2, 3, …, 6) 为电机转子的角位移。相应的连杆参数如表1所示, 表中, ai-1表示从zi-1轴到zi轴沿xi-1轴测量的距离;αi-1表示从zi-1轴到zi轴绕xi-1轴旋转的角度;di表示从xi-1轴到xi轴沿zi轴测量的距离;θi表示从xi-1轴到xi轴绕zi轴旋转的角度。

根据连杆参数, 建立各个连杆i的齐次变换矩阵${}_i^{i-1}$T, 将连杆变换矩阵依次相乘得到手臂变换矩阵

末端执行器相对于基点的变换矩阵为

式中, 角标B、T分别表示基点 (basis) 和末端执行器 (tool) ;s2=sin θ2, c2=cos θ2, s345=sin (θ3+θ4+θ5) , c345=cos (θ3+θ4+θ5) , s33445=sin[2 (θ3+θ4) +θ5], 余类推;p为末端执行器坐标系oTxTyTzT的原点oT在基点参考坐标系oBxByBzB中的坐标;n、o、a为末端执行器的方位;f4为坐标系o0x0y0z0原点o0在基系oBxByBzB中zB方向上的坐标值。

式 (2) 即为六自由度机械臂运动学方程。

1.2 动力学模型

采用Lagrange法建立系统的动力学模型, 设q1= (d1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6) T为关节实际变量, $\mathit{q}{}_2=(d{}_{\text{a}1},\theta {}_{\text{a}2},\theta {}_{\text{a}3},\theta {}_{\text{a}4},\theta {}_{\text{a}5},\theta {}_{\text{a}6}){}^{\text{Τ}}=(\frac{d{}_{\text{m}1}}{n{}_1},\frac{\theta {}_{\text{m}2}}{n{}_2},\frac{\theta {}_{\text{m}3}}{n{}_3},\frac{\theta {}_{\text{m}4}}{n{}_4},\frac{\theta {}_{\text{m}5}}{n{}_5},\frac{\theta {}_{\text{m}6}}{n{}_6}){}^{\text{Τ}}$为轴变量, 则系统的总动能为

${\rm K}=\frac{1}{2}\dot{\mathit{q}}{}_1^{\text{Τ}}\mathit{D}(\mathit{q}{}_1)\dot{\mathit{q}}{}_1+\frac{1}{2}\dot{\mathit{q}}{}_2^{\text{Τ}}\mathit{J}{}_{\text{a}}\dot{\mathit{q}}{}_2$ (3)

其中, D (q1) = (di j (q1) ) 为“刚性”机器人的转动惯量;Ja=diag (n21Jzz1, n${}_2^2$Jzz2, n${}_3^2$Jzz3, n${}_4^2$Jzz4, n${}_5^2$Jzz5, n${}_6^2$Jzz6) 为轴的转动惯量, 对角线上的元素是电机的转动惯量乘以各自齿轮齿数比的平方, 这里齿轮齿数比分别为n1=12, n2=160, n3=200, n4=160, n5=102, n6=102。

根据

式中, Ji为各连杆的伪惯性矩阵, 且连杆i绕轴xi、yi和zi的质量惯性矩分别为Ix x i、Iy y i和Iz z i。

选取中间变量

Z1=m2ycm2+ (m3+m4+m5+

m6) d3+ (m4+m5+m6) d4

Z2=m3xcm3+ (m4+m5+m6) a3

Z3=m4xcm4+ (mcm55+m6) a4

Z4=m6 (d6+zcm6) +m5ycm5

Z5=d3Z2+ (m4+m5+m6) d4a3

求解式 (4) 中矩阵D (q1) , 可以得到

d11=m1+m2+m3+m4+m5+m6

d12=d21=s2Z1-c2 (c3Z2+c34Z3-s345Z4)

d13=d31=s2 (s3Z2+s34Z3+c345Z4)

︙

d55=Iz z 5+Ix x 6s${}_6^2$+Iy y 6c${}_6^2$+m6d6 (d6+2zcm6)

d56=d65=0, d66=Iz z 6

这里, 省略号表示其他项有类似的结果, 为省篇幅, 结果不一一列出。下同。

系统的总势能为P=P1 (q1) +P2 (q1-q2) , 其中关节弹性势能和为

连杆的重力势能和为

k=diag (k1, k2, k3, k4, k5, k6)

g=[0 0 -g 0]

1rcm1=[0 ycm1 0 1]T, 2rcm2=[0 ycm2 0 1]T

3rcm3=[xcm3 0 0 1]T, 4rcm4=[xcm4 0 0 1]T

5rcm5=[0 ycm5 0 1]T, 6rcm6=[0 0 zcm6 1]T

式中, k为关节刚度矩阵;g为重力在基系oBxByBzB下的行矢量;g为重力加速度;ircmi (i=1, 2, …, 6) 为质心cmi在坐标系oixiyizi中的齐次坐标。

将上述动能与势能代入拉格朗日函数L=K-P, 则有

将拉格朗日函数L代入系统动力学方程$f{}_i=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}{}_i}-\frac{\partial L}{\partial q{}_i}(i=1,2,\cdots ,6)$中, 得到

其中, $\mathit{h}(\mathit{q}{}_1,\dot{\mathit{q}}{}_1)=\mathit{C}(\mathit{q}{}_1,\dot{\mathit{q}}{}_1)\dot{\mathit{q}}{}_1+\mathit{G}(\mathit{q}{}_1)$表示哥氏力项、离心力项和重力项, $\mathit{C}(\mathit{q}{}_1,\dot{\mathit{q}}{}_1)\dot{\mathit{q}}{}_1=\dot{\mathit{D}}\dot{\mathit{q}}{}_1-\frac{1}{2}\dot{\mathit{q}}{}_1^{\text{Τ}}\frac{\partial \mathit{D}}{\partial \mathit{q}{}_1}\dot{\mathit{q}}{}_1$。根据重力项公式

$\mathit{G}(\mathit{q}{}_1)=\frac{\partial {\rm P}{}_1(\mathit{q}{}_1)}{\partial \mathit{q}{}_1}=(\phi {}_1,\phi {}_2,\phi {}_3,\phi {}_4,\phi {}_5,\phi {}_6){}^{\text{Τ}}$

得出φ1=φ2=φ6=0, φ3=g (Z4s345-Z2c3-Z3c34) , φ4=g (Z4s345-Z3c34) , φ5=gZ4s345。

这里矩阵$\mathit{C}(\mathit{q}{}_1,\dot{\mathit{q}}{}_1)$的各个元素$C{}_{kj}={\displaystyle \sum _{i=1}^{6}C}{}_{ijk}(q{}_i)\dot{q}{}_i$, 其中$C{}_{ijk}=\frac{1}{2}(\frac{\partial d{}_{kj}}{\partial \theta {}_i}+\frac{\partial d{}_{ki}}{\partial \theta {}_j}-\frac{\partial d{}_{ij}}{\partial \theta {}_k})$。可以得到

$\begin{array}{l}h{}_1=\frac{\partial d{}_{12}}{\partial \theta {}_2}=\frac{\partial d{}_{21}}{\partial \theta {}_2}=c{}_2{\rm Z}{}_1+s{}_2(c{}_3{\rm Z}{}_2+c{}_{34}{\rm Z}{}_3-s{}_{345}{\rm Z}{}_4)\\ h{}_2=\frac{\partial d{}_{13}}{\partial \theta {}_2}=\frac{\partial d{}_{31}}{\partial \theta {}_2}=\frac{\partial d{}_{12}}{\partial \theta {}_3}=\frac{\partial d{}_{21}}{\partial \theta {}_3}=\\ c{}_2(s{}_3{\rm Z}{}_2+s{}_{34}{\rm Z}{}_3+c{}_{345}{\rm Z}{}_4)\end{array}$

︙

$\begin{array}{l}h{}_{21}=\frac{\partial d{}_{23}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{32}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{24}}{\partial \theta {}_6}=\\ \frac{\partial d{}_{42}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{25}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{52}}{\partial \theta {}_6}=({\rm I}{}_{xx6}-{\rm I}{}_{yy6})s{}_{345}c{}_{66}\\ h{}_{22}=\frac{\partial d{}_{33}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{34}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{43}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{35}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{53}}{\partial \theta {}_6}=\\ \frac{\partial d{}_{44}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{45}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{54}}{\partial \theta {}_6}=\frac{\partial d{}_{55}}{\partial \theta {}_6}=({\rm I}{}_{xx6}-{\rm I}{}_{yy6})s{}_{66}\end{array}$

将h1, h2, …, h22的表达式代入矩阵$\mathit{C}(\mathit{q}{}_1,\dot{\mathit{q}}{}_1)$的元素表达式中, 则有

$\begin{array}{l}C{}_{11}=0,C{}_{12}=h{}_1\dot{\theta }{}_2+h{}_2\dot{\theta }{}_3+h{}_3\dot{\theta }{}_4+h{}_4\dot{\theta }{}_5\\ ⋮\\ C{}_{65}=-[(h{}_{21}-h{}_{12})\dot{\theta }{}_2+h{}_{22}\dot{\theta }{}_3+h{}_{22}\dot{\theta }{}_4+h{}_{22}\dot{\theta }{}_5]/2\\ C{}_{66}=0\end{array}$

至此, 六自由度柔性关节机械臂动力学方程 (式 (5) ) 的全部系数矩阵已经求出。

2 反馈线性化控制

反馈线性化思想是采用非线性控制法则使非线性系统和非线性控制器在一个闭环系统中表现出线性可控。将动力学模型 (式 (5) ) 写成状态空间表达式形式, 令$\mathit{x}{}_1=\mathit{q}{}_1‚\mathit{x}{}_2=\dot{\mathit{q}}{}_1‚\mathit{x}{}_3=\mathit{q}{}_2‚\mathit{x}{}_4=\dot{\mathit{q}}{}_2$, 则非线性系统方程为

$\{\begin{array}{l}\dot{\mathit{x}}{}_1=\mathit{x}{}_2\\ \dot{\mathit{x}}{}_2=-\mathit{D}(\mathit{x}{}_1){}^{-1}[\mathit{h}(\mathit{x}{}_1,\mathit{x}{}_2)+\mathit{k}(\mathit{x}{}_1-\mathit{x}{}_3)]\\ \dot{\mathit{x}}{}_3=\mathit{x}{}_4\\ \dot{\mathit{x}}{}_4=\mathit{J}{}_{\text{a}}^{-1}\mathit{k}(\mathit{x}{}_1-\mathit{x}{}_3)+\mathit{J}{}_{\text{a}}^{-1}\mathit{u}\end{array}$

式中, x1、x2、x3、x4分别为连杆的角位移、角速度、轴的角位移、角速度。

非线性系统矩阵表达式为$\dot{\mathit{x}}=\mathit{f}(\mathit{x})+\mathit{g}(\mathit{x})\mathit{u}$, 其中

$\begin{array}{l}\mathit{f}(\mathit{x})=\left(\begin{array}{l}\mathit{x}{}_2\\ -\mathit{D}(\mathit{x}{}_1){}^{-1}[\mathit{h}(\mathit{x}{}_1,\mathit{x}{}_2)+\mathit{k}(\mathit{x}{}_1-\mathit{x}{}_3)]\\ \mathit{x}{}_4\\ \mathit{J}{}_{\text{a}}^{-1}\mathit{k}(\mathit{x}{}_1-\mathit{x}{}_3)\end{array}\right)\\ \mathit{g}(\mathit{x})=[000\mathit{J}{}_{\text{a}}^{-1}]{}^{\text{Τ}}\end{array}$

构造系统

式中, y1、y2、y3、y4分别为连杆的角位移、角速度、角加速度、角加加速度。

定义y4≜f4 (x1, x2, x3) +D-1kx4, 根据式 (6) , 反解得

令$\dot{\mathit{y}}{}_4=\mathit{\upsilon }$, 这里, υ是一个新的控制输入信号, 则有

$\begin{array}{l}\mathit{\upsilon }=\frac{\partial \mathit{f}{}_4}{\partial \mathit{x}{}_1}\mathit{x}{}_2-\frac{\partial \mathit{f}{}_4}{\partial \mathit{x}{}_2}\mathit{D}{}^{-1}[\mathit{h}+\mathit{k}(\mathit{x}{}_1-\mathit{x}{}_3)]+\frac{\partial \mathit{f}{}_4}{\partial \mathit{x}{}_3}\mathit{x}{}_4+\\ \frac{\text{d}\mathit{D}{}^{-1}}{\text{d}t}\mathit{k}\mathit{x}{}_4+\mathit{D}{}^{-1}\mathit{k}[\mathit{J}{}_{\text{a}}^{-1}\mathit{k}(\mathit{x}{}_1-\mathit{x}{}_3)+\mathit{J}{}_{\text{a}}^{-1}\mathit{u}]\end{array}$

这里定义υ≜F (x1, x2, x3, x4) +D-1kJ-1au, 并令β (x) =Jak-1D (x1) , α (x) =-β (x) F (x) , 则反馈线性化控制法则u=Jak-1D (x1) [υ-F (x) ]=α (x) +β (x) υ。

线性系统式 (6) 可写成矩阵形式$\dot{\mathit{y}}=\mathit{A}\mathit{y}+\mathit{B}\mathit{\upsilon }$, 其中

$\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}0& \mathit{{\rm I}}& 0& 0\\ 0& 0& \mathit{{\rm I}}& 0\\ 0& 0& 0& \mathit{{\rm I}}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ \mathit{{\rm I}}\end{array}\right]$

线性控制法则设计如下:$\mathit{\upsilon }=\dot{\mathit{y}}{}_4^{\text{d}}-{\displaystyle \sum _{i=1}^{4}C}{}_i(\mathit{y}{}_i-\mathit{y}{}_i^{\text{d}})$, 令e=y1-yd1, 则系统误差动力学方程整理为

$\frac{\mathit{d}{}^4\mathit{e}}{\text{d}t{}^4}+C{}_4\frac{\text{d}{}^3\mathit{e}}{\text{d}t{}^3}+C{}_3\frac{\text{d}{}^2\mathit{e}}{\text{d}t{}^2}+C{}_2\frac{\text{d}\mathit{e}}{\text{d}t}+C{}_1\mathit{e}=0$

该误差动力学方程为控制实际轨迹与期望轨迹之间误差的线性微分方程。通过适当选取增益系数Ci, 使得误差方程的根在左平面上, 从而保证轨迹渐进跟踪。

3 仿真分析

在工作空间内规划末端执行器的路径起点为 (-100, -250, 1450) , 终点为 (50, -550, 1500) 。

(1) 第一种方案——末端匀速直线运动。

执行器方位由三自由度机械臂取定, 运动方程为x=-100+150t/tt, y=-250-300t/tt, z=1450+50t/tt。总操作时间tt为6s, 时间间隔为0.01s。

(2) 第二种方案——末端变速直线运动。

即前0.5s加速运动, 中间5s匀速运动, 后0.5s减速运动, 其运动参数见表2, 表中u为末端执行器在不同阶段的速度, vc为规划的末端匀速阶段速度。

对运动学方程式 (2) 求逆解, 得到各关节变量变化曲线, 以此作关节的规划轨迹。选取增益系数C1=9600, C2=5200, C3=896, C4=53, 使闭环系统极点为 (-4, -5, -20, -24) 。

借助软件MATLAB7.0, 对前面所述的控制方法进行数值仿真, 结果见图2～图6。在图2～图6中, 曲线1～曲线6分别对应关节1～关节6的变化。末端执行器匀速运动与变速运动时的各关节期望轨迹曲线如图2和图3中实线所示, 控制跟踪曲线如图2和图3中虚线所示。由图2、图3可见, 当末端运动状态有启动与制动阶段时, 各关节变量在这两个阶段变化趋于缓慢, 有利于跟踪。

(a) 末端匀速运动 (b) 末端变速运动

(a) 末端匀速运动 (b) 末端变速运动

各关节跟踪误差如图4所示, 其中左侧纵坐标轴表示转动关节误差值, 右侧纵坐标轴表示移动关节误差值。在机械臂末端路径相同、误差系统增益系数相同的情况下, 当末端执行器匀速运动时, 各关节跟踪误差较大, 主要发生在初始阶段 (前2s) ;当末端执行器做启动-匀速-制动运动时, 各关节跟踪误差较小, 尤其是转动关节的误差精度比末端匀速运动时的跟踪误差精度提高了2个数量级, 误差主要在启动和制动阶段。

在实际控制中, 控制量为各个轴变量, 根据式 (7) 中第三式, 已知各关节刚度与关节变量变化轨迹, 求得各轴变量变化值。依据文献[7]选取关节刚度ki=7500N·m/rad, 同时为了对比关节柔性对各轴变量的影响情况, 再依据文献[3]选取关节刚度值ki=30N·m/rad, 以及自选关节刚度ki=5N·m/rad, 分别对上述三种刚度下各轴变量进行仿真。在反馈线性化控制中, 弹性变形前的轴变量由于吸收了各关节元件弹性带来的振动, 其末端匀速运动与变速运动时轴变量的变化趋势分别如图5和图6所示。关节刚度直接影响着各轴变量变化曲线, 当关节刚度很大 (ki=7500N·m/rad) 时, 轴变量的变化曲线与关节变量的变化曲线基本重合, 变化曲线如图2和图3中的跟踪曲线所示, 当关节刚度很小 (ki=30N·m/rad及ki=5N·m/rad) 时, 轴变量为了吸收弹性振动, 初始阶段产生与关节变量较大的角度差, 柔性越大, 角度差越大。但从图5和6中看出, 关节刚度的变化对移动关节变量的影响较小。

4 结语

本文建立了1P5R柔性关节机械臂的刚柔耦合动力学模型, 通过对末端执行器两种不同运动状态的反馈线性化控制, 较好地实现了对规划轨迹的跟踪控制, 跟踪误差曲线表明有光滑启动和制动阶段的轨迹跟踪效果更好。关节柔性直接影响实际控制变量的变化, 但对移动关节变量的影响很小。

目前关于柔性机械臂动力学模型的研究以关节刚度取常值为前提, 不是实时辨识出的时变值, 这对于模型的精确性造成了影响。本文的研究没有考虑末端载荷对柔性关节带来的影响, 同时关节刚度取常值, 不是实时辨识出的时变值, 这些都需要进一步研究。

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柔性机械臂 篇8

目前, 有关空间机器人系统的动力学分析及智能控制的研究已得到各国科学研究人员的广泛关注, 并已取得了一定的成果。但值得注意的是, 大多数研究都建立在空间机器人系统结构中各分体均为纯刚性体的基本假设上, 并将空间机器人视为一个多刚体系统[1,2,3]。然而, 在实际的空间应用中, 空间机器人的机械臂与装配在关节处驱动该机械臂运动的电机转子之间的连接不可能为绝对刚性。同时, 在空间机器人轻型化的要求下, 带有柔性的机械臂已经得到了越来越广泛的运用。因此, 空间机器人系统实际上为刚-柔性耦合系统, 而具有柔性关节和柔性臂的空间机器人模型为最接近实际的空间机器人模型。值得注意的是, 空间机器人结构中柔性因素的存在是一把“双刃剑”。一方面, 柔性臂能够减轻空间机器人的质量, 降低能量消耗, 使机械臂获得较大的操作空间和较高的工作效率;柔性关节能够吸收空间机器人在运动过程中发生意外碰撞时受到的冲击力, 降低空间机器人的损伤。另一方面, 柔性关节和柔性臂在运动过程中所引起的弹性变形和弹性振动会对系统的控制精度和稳定性造成不利的影响。而随着空间机器人技术朝着轻质、高速、高精度的方向发展, 空间机器人的大位移刚性运动与柔性关节和柔性臂的小位移弹性变形之间的耦合作用已不容忽视, 目前, 有关刚-柔性耦合的空间机器人系统的动力学分析和智能控制方法研究已成为了科学研究的重点, 但是大多数的研究对象为刚性关节-柔性臂空间机器人系统[4,5], 或柔性关节-刚性臂空间机器人系统[6,7]。虽然有少数研究同时考虑了柔性关节和柔性臂对系统的影响, 但是其研究对象主要为地面机器人[8,9,10], 而对柔性关节-柔性臂空间机器人系统的研究仍然比较少见。尤其对于载体自由漂浮的漂浮基空间机器人系统, 该系统呈现出的非线性和强耦合性使得空间机器人的动力学建模过程比固定基的地面机器人更加复杂[11], 进而又使得惯常用于地面机器人的一些控制方法无法直接应用和推广到空间机器人的控制中。因此, 有关漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人的研究难度较大, 同时也更具有挑战性。

基于以上讨论, 本文同时考虑了柔性关节和柔性臂对漂浮基空间机器人系统的影响, 首先利用动量、动量矩守恒关系和拉格朗日-假设模态法建立系统的动力学方程。接着基于奇异摄动法, 将系统分解为“刚性关节-刚性臂”慢变子系统、“柔性关节-刚性臂”快变子系统和“刚性关节-柔性臂”快变子系统, 并分别针对这三个子系统设计相应的控制律来实现系统期望运动轨迹的渐近跟踪和关节、臂弹性振动的抑制。最后通过仿真实验证明所提出的混合控制律的有效性。

1 漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统动力学建模

为不失一般性, 考虑如图1所示的双柔性关节、单柔性臂的漂浮基空间机器人系统。该系统由载体B0、刚性臂B1和柔性臂B2组成。Oi (i=1, 2) 为各分体与电机转子连接的关节转动铰。建立惯性坐标系 (OXY) 及各分体Bj (j=0, 1, 2) 的主轴坐标系 (Ojxjyj) 。假设各分体在 (OXY) 平面内作平面运动。

1.1 柔性关节的简化模型

根据Spong所提出的“转子-扭簧系统”简化模型[12]:在小变形的情况下, 柔性关节可简化为一个用来连接电机转子和机械臂的刚度系数为ki的无惯量线性扭转弹簧, 结构如图2所示。此时, 当关节Oi处的电机转子转过角度φi时, 与其相连接的机械臂Bi由于受到扭转弹簧弹性力的作用, 其实际的转动角度为qi=φi-σi, 其中σi为扭转弹簧引起的关节弹性变形偏差角。而关节Oi处电机转子与机械臂之间相互作用的弹性力大小可表示为ki (φi-qi) =kiσi。

1.2 柔性臂的简化模型

假设柔性臂B2为细长杆, 忽略其在运动过程中的剪切变形和转动惯量的影响, 于是可将B2视为Euler-Bemoli梁, 并利用假想模态法[13], 将B2的横向弹性变形v (x2, t) 表示为

式中, n为保留模态数;фi (x2) 为第i阶模态函数;δi (t) 为与фi (x2) 相对应的模态坐标。

本文对前二阶模态进行分析, 于是有:n=2, v (x2, t) =ф1 (x2) δ1 (t) +ф2 (x2) δ2 (t) 。

1.3 系统动力学模型

如图1所示, 令载体B0的质心Oc0与O0重合, 其相对于O的矢径为r0, 刚性臂B1的质心Oc1相对于O的矢径为r1, 柔性臂B2上任意一点相对于O的矢径为r2, 系统总质心C相对于O的矢径为rc。Oc0与O1之间的距离为l0, Oc1与O1之间的距离为d1, Bi的长度为li。B0的质量为m0, B1的质量为m1, B2的线密度为ρ, 电机的质量可忽略不计[12], 于是系统的总质量M=m0+m1+ρl2。B2的抗弯刚度为EI。根据系统几何位置关系和总质心定理, 各分体矢径rj及其一阶导数可分别表示为

式中, ei (i=0, 1, 2) 为系统各分体主轴坐标系xi轴的轴向基矢量;e3为柔性臂B2的主轴坐标系y2轴的轴向基矢量;Rj0、Rj1、Rj2、Rj3、Rj4为系统惯性参数的组合函数。

为不失一般性, 设定漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统不受外力作用, 系统相对惯性坐标系 (OXY) 满足动量、动量矩守恒关系。假设系统的初始动量、动量矩为零, 于是系统的动量、动量矩守恒关系可表示为

式中, w0、w1分别为B0、B1的转动角速度矢量;wφi为电机转子的自转角速度矢量;J0为B0的转动惯量;J1为B1的转动惯量;Jφi为关节Oi处电机转子的自转惯量。

柔性关节的存在使得在对漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统进行动力学分析时不能再将电机转子与机械臂简化为一整体进行分析, 而需要分别对电机转子的动力学和由载体、刚柔机械臂组成的空间机器人的动力学进行分析。于是, 系统的总动能T为电机转子的动能Tφ和空间机器人的动能Tq之和, 即

忽略宇宙中微弱的重力作用, 系统的总势能U为柔性关节简化扭转弹簧的弹性变形势能Uφ和柔性臂的弯曲应变势能Uq之和, 即

基于以上的讨论, 并结合拉格朗日方程, 可获得载体位置、姿态均不受控的漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统完全驱动形式的动力学方程:

其中, φ为由电机转子的转角φ1、φ2组成的向量, φ=[φ1φ2]T∈R2;q为由机械臂的转角q1、q2组成的向量, q=[q1q2]T∈R2;δ为由柔性臂的模态坐标δ1、δ2组成的向量, δ=δ1[δ2]T∈R2;θ=q[0qδ]T∈R5, q0为载体姿态角;δ为柔性关节引起的关节弹性变形偏差角组成的向量, σ=φ-q∈R2;Jφ为电机的对角正定惯量矩阵, Jφ=diag (Jφ1, Jφ2) ∈R2×2;D (θ) 为空间机器人的对称正定惯量矩阵, D (θ) ∈R4×4·;为包含科氏力和离心力的列向量, ;Kφ为柔性关节刚度系数矩阵, Kφ=diag (k1, k2) ∈R2×2;Kδ为柔性臂刚度系数矩阵, Kδ=diag (kδ1, kδ2) ∈R2×2;τ为由关节O1、O2处电机的输出力矩τ1、τ2组成的向量, τ=[τ1τ2]T∈R2。

式 (8) 可分解为电机转子和空间机器人两部分, 即

其中, D11∈R2×2、D12=DT21∈R2×2和D22∈R2×2均为D (θ) ∈R4×4的子矩阵;C1∈R2×1和C2∈R2×1均为C (θ, θ·, qa·) ∈R4的子矩阵。显然, 式 (9) 为电机转子的动力学方程, 式 (10) 为空间机器人的动力学方程。

2 系统动力学奇异摄动分解及控制律设计

柔性关节和柔性臂在运动过程中所引起的弹性变形会影响系统的控制精度, 所引起的弹性振动会影响系统的稳定性。为了克服这些问题, 本文基于奇异摄动法, 将漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统分解为表示系统刚性运动部分的慢变子系统和表示系统柔性运动部分的快变子系统, 并分别为子系统设计控制律。其中, 慢变子系统控制律τs用来实现系统期望运动轨迹的渐近跟踪;快变子系统控制律τf用来主动抑制柔性关节和柔性臂的双重弹性振动, 保证系统的稳定性。于是, 系统的总控制律可表示为τ=τs+τf。

2.1“刚性关节-刚性臂”慢变子系统

由于对称、正定惯性矩阵D (θ) 可逆, 于是由式 (9) 、式 (10) 可解得

定义奇异摄动因子ε2=1/min (kδ1, kδ2) , 变量zδ=δ/ε2、zσ=σ/ε2和矩阵。将它们代入式 (11) ~式 (13) , 可得到

为了获得“刚性关节-刚性臂”慢变子系统的动力学方程, 需要消除系统中的柔性变量。于是令ε=0, 则可将式 (14) ~式 (16) 重新写为

式中, C1σ和C2σ分别为消除矩阵C1和C2中有关柔性关节的变量 (即令) 后得到的新矩阵;上横线“-”表示消除有关柔性臂的变量后获得的新矩阵和新变量。

由式 (17) 可解得, 将其代入式 (19) 可得到

再将所求得的zσ和zδ代入式 (18) , 便可得到“刚性关节-刚性臂”慢变子系统的动力学方程:

定义qd=[qd1qd2]T为慢变子系统的期望输出向量, 则其与实际输出向量q之间的输出误差向量, ei=qi-qdi;对时间的一阶导数, 即速度误差向量。

考虑如下的非线性滑模面:

式中, α、β为正常数;p1、u1、p2、u2为正奇数, 且p1>u1, p2>u2。

由式 (22) 可看出, 该非线性滑模超曲面实际上为常规的线性滑模面和终端滑模面的组合和改进。以往研究表明:当系统状态远离平衡点时, 线性滑模的收敛速度优于终端滑模;而当系统状态在平衡点附近时, 终端滑模的收敛速度优于线性滑模。因此, 为了使系统从任意初始状态到达平衡点的过程中能够始终获得较高的收敛速度, 本文将线性滑模面和终端滑模面进行合理结合。同时注意到, 式 (22) 还对线性滑模面进行了改进:如果令p2>u2, 则此时e的指数大于1, 从而进一步加快了远离平衡点的系统状态的收敛速度。

将s对时间求导, 可得

为了消除滑模自身的抖振并提高趋近速度, 选取如下的双幂次趋近律:

式中, si为s的第i个元素。

于是结合式 (23) 和式 (24) 可得到慢变子系统如下的滑模控制律:

定理对式 (21) 所描述的慢变子系统, 滑模控制律式 (25) 可保证:当系统到达滑模面后, 对给定的任意初始状态e (0) , 系统都将保持稳定并在有限时间内到达平衡点。

证明在滑模面上, 令s=0, 则由式 (22) 可得到系统误差的收敛速度表达式:

选取如下形式的Lyapunov函数:

将V对时间求导, 并结合式 (26) 可得

由于α、β为正常数, p1、u1、p2、u2为正奇数, 故。于是由Lyapunov稳定性定理可知:系统渐近稳定。

假设系统误差的初始状态ei (0) >1, 则可将系统从初始状态收敛到达平衡点的过程分为两个阶段。

阶段1:从初始状态收敛到ei (t) =1的过程。此时e的收敛速度主要取决于式 (26) 中的改进线性滑模部分, 即

对式 (29) 两边取积分, 得完成该阶段所用的时间为

阶段2:从ei (t) =1收敛到平衡点的过程。此时e的收敛速度主要取决于式 (26) 中的终端滑模部分, 即

对式 (31) 两边取积分, 得到完成该阶段所用的时间为

注意到, 在求解t1和t2时都分别忽略了式 (26) 中的其中一项, 即采用了小于实际收敛速度的运动速度来计算到达时间, 因此, 系统从初始状态收敛到平衡点的总时间应该为

2.2 快变子系统

由于柔性关节和柔性臂都会引起系统的弹性振动, 而且振动级别不一定相同。因此, 我们考虑将快变子系统再次分解为两个子系统:描述柔性关节引起的系统弹性振动的“柔性关节-刚性臂”快变子系统和描述柔性臂引起的系统弹性振动的“刚性关节-柔性臂”快变子系统。对“柔性关节-刚性臂”快变子系统设计控制律τf1来抑制柔性关节引起的系统弹性振动;对“刚性关节-柔性臂”快变子系统设计控制律τf2来抑制柔性臂引起的系统弹性振动。于是, 快变子系统的总控制律可写为τf=τf1+τf2。

2.2.1“柔性关节-刚性臂”快变子系统

为了获得该子系统的动力学方程, 由上文的分析, 消除式 (14) ~式 (16) 中有关柔性臂的变量, 有

设计如下的基于转角速度差值的反馈控制律:

式中, K2为正定对角矩阵。

于是由式 (37) 可看出该控制律的控制原理如下:根据反馈回的电机转子和机械臂的转动角速度的差值来不断调节参数Kf, 从而保证系统的稳定性。

将式 (37) 代入式 (34) 可得到“柔性关节-刚性臂”快变子系统如下形式的动力学方程:

2.2.2“刚性关节-柔性臂”快变子系统

为了获得“刚性关节-柔性臂”快变子系统的动力学方程, 令系统动力学方程式 (14) ~式 (16) 中φ=q、, 消去系统中有关柔性关节的变量, 可得到

由式 (39) 可解得, 并将其代入式 (40) 、式 (41) , 整理后可得

引入快变时标tf=t/ε及边界层修正项。因为在快变系统中d于是结合式 (43) , 并令ε=0, 可得到“刚性关节-柔性臂”快变子系统如下形式的动力学方程:

由于式 (44) 为线性完全能控系统, 因此, 本文采用线性二次型最优控制器 (LQR) 来将系统状态ζ调节到零, 从而抑制柔性臂引起的系统弹性振动。若选取最优控制的性能泛函为 (Qf∈R4×4为对称正定常值矩阵, Rf∈R2×2为对称半正定常值矩阵) , 则可将LQR控制器设计为如下形式:

式中, P为Ricatti方程 (-PAf-AfTP+PBfRf-1BfTP-Qf=0) 的唯一解。

综上, 式 (21) 、式 (38) 和式 (44) 描述的即为漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统的奇异摄动模型。而式 (25) 、式 (37) 和式 (45) 分别为各子系统的控制律。

3 仿真算例

利用本文提出的慢变子系统的滑模控制律 (式 (25) ) 、快变子系统的速度差值反馈控制律 (式 (37) ) 及LQR控制器 (式 (45) ) 对图1所示的作平面运动的漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人系统进行数值仿真实验。系统的惯性参数为:l0=1.5m, l1=3m, l2=2.5m, d1=2m, m0=40kg, m1=2kg, J0=34.17kg·m2, J1=3kg·m2, Ja1=Ja2=0.53kg·m2, ρ=1kg/m, EI=300N·m2, Kφ=diag (200, 200) 。假设空间机器人的机械臂转角期望运动轨迹为qd1=0.5π (0.1t-0.5sin (0.2πt) /π) , qd2=0.5π (1-0.1t+0.5sin (0.2πt) /π) 。仿真初始值:q0 (0) =0, q (0) =0[.05 1.6]Trad, φ (0) =0[.05 1.6]Trad。仿真时间:t=10s。为了对比, 采用常规的线性滑模面与本文提出的非线性滑模面式 (22) 进行比较。仿真结果如图3~图8所示。其中, 图3为空间机器人的机械臂转角运动的轨迹跟踪对比图, 虚线表示采用基于线性滑模面的控制方法得到的空间机器人的机械臂转角qc的运动轨迹, 实线表示采用基于本文提出的非线性滑模面的控制方法得到的空间机器人的机械臂转角q的运动轨迹;点线表示空间机器人的机械臂期望转角qd的运动轨迹。图4所示为柔性关节引起的关节弹性变形偏差角。图5所示为关闭“柔性关节-刚性臂”快变系统控制律τf1后关节弹性变形偏差角。图6所示为柔性臂模态坐标变量δ的变化曲线。图7所示为柔性臂末端变形曲线。图8所示为关闭“刚性关节-柔性臂”快变子系统控制律τf2后柔性臂模态坐标变量δ的变化曲线。

从图3可看出, 本文所提出的混合控制方法能保证空间机器人的机械臂转角的运动精确且稳定地跟踪上期望运动轨迹, 保证了控制系统的精度和稳定性。而且与常规的基于线性滑模面的控制方法比较来看, 本文提出的基于非线性滑模面的控制方法的趋近速度得到了提高。从图4可看出, 柔性关节所引起的关节弹性变形偏差角σ虽然不为零, 但是被限制在一个非常小的范围内, 足以保证系统的控制精度。而从图5可看出, 当关闭τf1后关节弹性变形偏差迅速变大, 从而证明了τf1对抑制柔性关节引起的系统弹性振动的有效性。从图6和图7可看出, 柔性臂的振动得到了有效的抑制, 柔性臂末端的变形也很小。而从图8可看出, 当关闭τf2后柔性臂的二阶模态在3.5s的时候就变得很大, 进而仿真失效, 这说明此时柔性臂的振动无法得到抑制, 从而证明了τf2对抑制柔性臂的振动的有效性。

4 结束语

在考虑漂浮基空间机器人系统的机械臂和关节都存在柔性的情况下, 本文利用系统动量、动量矩守恒关系和拉格朗日-假设模态法建立了漂浮基柔性关节-柔性臂空间机器人的动力学模型, 并基于奇异摄动法提出了由控制系统运动的非线性滑模控制、抑制关节柔性振动的速度差值反馈控制和抑制臂柔性振动的LQR控制组成的混合控制律。仿真实验表明, 所提出的混合控制律能够补偿系统的关节转角弹性变形偏差, 保证空间机器人快速、精确、稳定地完成期望运动轨迹的渐近跟踪, 且能够有效地抑制柔性关节和柔性臂引起的系统弹性振动, 保证系统的稳定性, 体现了该混合控制律的良好控制品质。