谐波频率估计

谐波频率估计（通用8篇）

谐波频率估计 篇1

0 引言

1近年来,随着电力电子技术的广泛应用,电力系统谐波污染日益严重,成为影响电能质量的公害,谐波及间谐波问题已经引起广泛关注[1]。谐波一般指频率为工频(基波频率)整数倍的成分。电力系统分数谐波可分为间谐波(inter-harmonics)和次谐波(sub-harmonics)。间谐波是介于工频谐波之间的频谱分量,次谐波是间谐波的一种特殊形态,是频率低于基波频率的频谱分量。对谐波进行准确的检测和分析是实现谐波治理的前提条件。

谐波信号成分的频率估计一直是一个重要的研究内容。频率估计技术从经典的傅立叶分析开始,先后经历了熵谱法、AR、MA、ARMA等线性模型法以及基于子空间分解的频率估计。在这些方法中,FFT的频谱分析表现出不可替代的优越性[2~4],但由于电网基波频率总是不断波动的,被测信号中除了含有基波和整数次谐波之外还含有非整数次的谐波,因此难以做到同步采样。而且,由于采样时间的限制,运用傅立叶变换仅可以测量到部分整数次谐波分量,而且有些分整数次谐波本身还会给幅频特性和相频特性带来失真现象,这是傅立叶变换用于间谐波测量方面的局限性。但是以谐波信号模型为基础的MUSIC方法从理论上说可以达到无限的精度,但它需要在整个频段进行谱峰搜索,耗时较长,实时性差。本文结合FFT、MUSIC算法的特点,利用FFT算法对电力系统中的间谐波信号的频率进行预估计,缩小搜索范围,再利用MUSIC反复进行频率细化,实现了对间谐波频率的准确估计。

1 MUSIC算法

MUSIC算法是基于特征结构分析的空间谱估计方法,是空间谱估计技术的典型代表,其原理是根据矩阵特征分解的理论,把信息空间分成两个正交的子空间,即信号子空间和噪声子空间。由噪声子空间的矢量正交于信号子空间的矢量的性质,可以估计信号中所包含的频率成分[5~7]。

设时间序列y(n)为带有附加混合色噪声的复正弦信号,即:

式中:αi为复数谐波信号幅值;ωi为待估计信号频率;ϕ为随机初始相位,且在(-π,π)区间内均匀分布;ξ分别为谱密度未知的零均值色噪声,方差为σ2。

对于(M+)1维观测信号矢量y(n),若令:

有(M+1)×(M+1)维相关矩阵:

对矩阵Ry(τ)进行奇异值分解得

式中:V,U分别为Ry(τ)的左右奇异向量构成的酉阵;∑为除(i,i)位置(i=1,2,…,M)是Ry(τ)的奇异值外,其余元素皆为零的矩阵。令:R=E(Ry RyH)=H∑2VH

由此可见,矩阵Ry(τ)的奇异向量V,即为R的特征向量,令V=[V s,V N],从而可由矩阵yR(τ)的奇异值分解获取信号子空间sV和噪声子空间NV,由MUSIC原理构造空间谱为:

从而,根据MUSIC伪谱的谱峰位置就能获取信号各组成分的精确频率,其归一化频率为

2 FFT与MUSIC算法结合的频率估计

FFT算法是在一个信号周期内进行频谱分析的,其表达式为:

式中:x(n)、X(k)分别代表信号的采样序列及其相应的谐波系数;其中,。在实际工作中常常遇到的是非周期序列,它们可能是有限长,也可能是无限长。为了应用式(5)作傅立叶变换,常用矩形窗将其截成N点,然后把这N点序列视为一周期信号的一个周期序列。这样,原始信号x(n)就相当于由x(n)作周期延拓而成,x(n)是x(n)的主值序列;X(k)将是x(n)的傅立叶变换或者是其傅立叶变换的某种程度上的近似。

在MUSIC算法中,数据的行向量信号的N次采样,根据采样定理,在满足fs≥2 fmax的情况下,可以获取该信号的全部频谱。但是,由于利用式(1)给出的随机过程无法准确获取信号的周期,对N次采样直接进行FFT变换只能获取信号频谱的近似值。证明如下:

设在进行MUSIC分析时,某一信号的采样数据长度为N0,数据序列为x(n)。如果在一个信号周期内的采样数据为N0,必有N=(r+m)N0,其中,m是非负整数,0≤r<1。根据信号的周期性有:x(n)=x(n+N0)则使用长度为N的数据做FFT,频谱为:

式中第二部分可以看成是被窗截断后补零形成的N0点数据的DFT,存在一定的泄漏;m X(k)是信号的精确频谱。因此,式中包含了周期信号的频谱及由泄漏引起的伪谱[8]。

另一方面,式(1)中,第k条谱线对应的频率(这里用归一化频率表示)为

式(6)的第(r+m)k条谱线的频率由下式给出

由以上可知,对任意信号长度数据序列,都可以通过直接FFT变换获取其相应频率的近似值。

MUSIC算法是在整个频域内搜索获取信号精确频谱的,利用式(6)和(8),可以获取信号频率的粗粒度估计(信号频谱的获取利用了FFT算法对噪声的不敏感性),真实频率就在很小的领域内;可见,如果只在这个很狭小的区域内搜索,无疑会大大缩短搜索过程。虽然通过式(6)获取的频谱中包含了伪谱,这些伪谱在一定程度上扩大了搜索域,但并不影响整个算法性能的大幅度提高。

3 仿真分析

电网电压、电流信号中谐波、间谐波分量的幅值一般为基波分量幅值的百分之几或更小。对其进行非同步采样时,基波分量的频谱泄漏将严重影响邻近的间谐波以及2次、3次等谐波分量的频谱,导致谐波测量产生很大的误差。若相邻谐波、间谐波的幅值相差太大,幅值大的频率分量有可能淹没幅值小的频率分量信号[9,10]。

本文采用的仿真信号来自于文献[11],有某电力系统谐波为:

式中:f1,f2,f3,f4,f5,f6频率依次是25 Hz、35.85 Hz、50 Hz、86.6 Hz、100 Hz、150 Hz,其中50 Hz是系统基频分量;100 Hz、150 Hz是2、3次高频谐波分量;86.6 Hz为非线性元件产生的间谐波分量;25 Hz、35.85 Hz为次谐波分量;w(t)是一噪声信号。采样频率取480 Hz,采用本文的方法进行仿真,结果如下:

由仿真波形可以看出,图1是加噪声后FFT对间谐波的频率进行估计,可以看出在运用FFT分析谐波和间谐波时,间谐波的存在会造成“频谱泄漏”的现象,使得幅频特性图像失真,需要对其中谐波和间谐波的含量做出判断,这由图2的局部放大图可以看出,由于FFT的“泄漏效应”峰值点并不是真实的峰值,但却是最接近真实峰值的一个点,真实峰值应该在两个相邻点之间(35.85 Hz有明显频谱泄漏)。而且间谐波源时时发生变化,采样时间也不能过长。图3采用MUSIC算法,虽然在所估计的频率处有明显的谱峰,但由于其伪谱的存在,使其谱峰大于实际的峰值,要判断其频率要去处伪峰,运算量大;另外,MUSIC算法要在整个频域内搜索,所需时间较长。图4是两种方法的结合,先用FFT缩小搜索频域,对所估计频率确定一个很小的范围,再运用MUSIC法在其小频域内进行频率估计,这样不但提高了频率估计的准确性,还提高了其搜索运行的速度。并且MUSIC法的频谱中的伪谱,在一定程度上扩大了搜索域,并不影响整个算法的提高,由于MUSIC算法中伪谱的存在,虽幅值归一化后仍有误差,但其对间谐波频率估计的准确性,仍有一定的适用范围。如何提高其幅值的检测精度有待进一步的研究。

4 结论

虽然MUSIC方法是现代谱估计的代表,对信号的估计精度、分辨率很高,而且谱估计的稳定性好,但它要在整个频域内搜索,耗时较长,并且由于伪谱的存在,影响了其在实际中的应用;FFT又存在频谱泄漏和栅栏效应,影响其精度。本文将两种算法有机的结合在一起,利用FFT对谐波频率进行预估计,减少搜索区间,再利用MUSIC算法的分辨率高的特性进行频率的精确估计。仿真结果证明了此方法对电力系统中间谐波检测的有效性,结果具有一定的准确度,实际应用有待于实践的检验和完善。

参考文献

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[11]Nguyen T T.Parametric Harmonic Analysis of Power Systems[J].IEE Proc on Generation Transmission and Distribution,2000,144(1):21-25.

谐波频率估计 篇2

1、提供贴近生活的学习素材，是激活学生学习动机的基础。

在问题的设计中，让学生首先亲身经数学问题的现实场景——池塘里有多少鱼?从而看到有价值的数学，促使其用数学观点进行解释与应用，使得整个学习活动更为生动活泼，学生也在这种生动的问题情景中，获得了对数学知识的理解与认同。

2、设计动态平衡的活动方案，是激发学生积极动手的基础。

在活动的设计中，我们考虑的是一种动态平衡，而不是一种盲动和简单的图热闹。基于此，活动给了学生相同的起点(相同的白棋数目，相同的样本容量，相同的实验次数，相同的实验时间)，这有效地协调了各组活动的进度，避免了课堂节奏的失控。但同时我们也能看到，学生到达的终点却可能是不同的(不同小组的不同结果，不同方案的不同精确度，不同方案的不同可行度，不同成员的.不同收获)。

3、组织实力相当的活动小组，是激励学生协作竞争的基础。

对于活动的分组，注意了把握“组内异质，组间同质”的原则，一方面发挥了组内成员相互协作的意识，不同的人可以发挥不同的作用，如基础较差的学生可以进行一些操作活动，基础较好的学生可以进行数据的分析及结果的估计，使不同层次的学生有不同的提高，又不失对数学学习兴趣的一种持续发展，同时也实现了学生间的一种互动对话及交流。另一方面激发了组间成员相互竞争的意识，每个成员服务于自己的小团队，如果自己获得了成功，会感觉到为自己的小集体争了光，如果自己团队中的成员有上佳表现，自己也为自己在这个团队中而感到无尚光荣。

如何用频率来估计概率 篇3

一、填空题中的用频率估计概率

例1在课外活动中,小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验,结果如下表所示:

由此估计这种作物种子发芽率约为______(精确到0. 01).

解 : 由公式种 子的发芽 率 =(所有发芽种子的和/种子总数)可求出种子的发芽率为0.939,因为精确到0.001,故答案为0.94.

【点评】本题考查了百分率问题:(1)种子的发芽率=所有发芽种子的和/种子总数;(2)注意括号中的要求为精确到0.01.

例2有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1 000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个,小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回箱子中,多次重复上述过程后,发现摸到红球的频率约为0.6,据此可以估计红球的个数约为______.

解:∵摸到红球的频率约为0.6,∴红球所占的百分比是60%. ∴1000×60%=600.

故答案为:600.

【点评】本题考查用频率估计概率,因为多次重复上述过程后,发现摸到红球的频率约为0.6,所以红球所占的百分比也就是60%,根据总数可求出红球个数.

二、选择题中的用频率估计概率

例3“六一”儿童节,某玩具超市设立了一个如图1所示的可以自由转动的转盘,开展有奖购物活动.顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应奖品.下表是该活动的一组统计数据:

下列说法不正确的是( ).

A. 当n很大时,估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70

B. 假如你去转动转盘一次,获得铅笔的概率大约是0.70

C. 如果转动转盘2 000次,指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次

D. 转动转盘10次,一定有3次获得文具盒

解:由表中提供的信息可知,只有“转动转盘10次,一定有3次获得文具盒”的判断不正确,故选D.

【点评】正确理解频率与概率之间的关系是求解此类问题的关键. 由表中提供的信息,我们可以知道,当n很大时,指针落在“铅笔”区域的频率趋于0.70,由频率与概率之间的关系可知,假如你去转动转盘一次,获得铅笔的概率大约是0.70,如果转动转盘2 000次,指针落在“文具盒”区域的次数大约有2 000次×(1-0.7)=600次,而将转盘转动10次,却不一定有3次获得文具盒

三、解答题中的用频率估计概率

例4研究问题:一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球,怎样估算不同颜色球的数量?

操作方法:先从盒中摸出8个球,画上记号放回盒中,再进行摸球实验,摸球实验的要求:先搅拌均匀,每次摸出一个球,放回盒中,再继续.

活动结果:摸球实验活动一共做了50次,统计结果如下表:

推测计算:由上述的摸球实验可推算:

(1)盒中红球、黄球占总球数的百分比分别是多少?

(2)盒中有红球多少个?

解:(1)由题意可知,50次摸球实验活动中,出现红球20次,黄球30次,

∴红球所占百分比为20÷50=40%,

黄球所占百分比为30÷50=60%,

答:红球占40%,黄球占60%;

(2)由题意可知,50次摸球实验活动中,出现有记号的球4次,

∴总球数为(50/4)×8=100,

∴红球数为100×40%=40.

答:盒中红球有40个.

【点评】(1)根据表格数据可以得到50次摸球实验活动中,出现红球20次,黄球30次,由此即可求出盒中红球、黄球各占总球数的百分比;

(2)由题意可知50次摸球实验活动中,出现有记号的球4次,由此可以求出总球数,然后利用(1)的结论即可求出盒中红球个数.

谐波频率估计 篇4

随着电力系统中非线性负载和时变负载的广泛使用,电能质量尤其是谐波问题日益严重。电力系统中的谐波会引起电能损失、过电压及电压不平衡、电压闪变、延时、误操作等问题[1,2,3,4]。目前,用来检测谐波、间谐波和次谐波的方法主要有小波变换算法[2,5,6]、快速傅里叶变换算法、谱估计方法[7,8,9,10]等。小波变换算法可以有效地检测非平稳的谐波信号,但是存在小波基选择问题,同时对噪声敏感。快速傅里叶变换算法由于其独特的优点而被广泛应用,但是当基波频率变动时,会导致非同步采样,引起严重的频谱泄露问题,同时谐波之间的相互影响也会严重降低谐波和非整数次谐波的检测精度。

本文分析了AR(自回归)模型,深入研究了Yule Walker,Burg和Covariance这3 种参数谱估计方法的原理,并提出了一种改进Covariance检测方法。利用计算机对4 种参数谱估计方法进行仿真,结果表明,参数谱估计方法对谐波、间谐波、次谐波具有很好的检测效果。

1 AR模型基本原理

参数谱估计方法的原理是用参数模型来逼近真实,其在信号频谱分析上具有很大优势。AR模型、MA(滑动平均)模型和ARMA(自回归滑动平均)模型[11]是3种常用的参数模型,其中AR模型不需要对非线性方程求解,只需要对AR参数进行估计,因此,计算过程相对简单。此外,无论是在功率谱分辨率上还是平滑性上,AR模型都表现良好,因而应用广泛。

对电网系统中的连续信号进行采样,获得一个离散信号序列x(n),n=1,2,…,N(N为采样点数),在AR模型中,用式(1)表示该序列:

式中:p为AR模型的阶次;ak为AR模型参数,k=1,2,…,p;e(n)为白噪声序列。

由式(1)可知,将激励的现在值和多次过去值通过加权线性组合之后,可得到采样序列的现在值。因此,也可以把离散信号序列的第n个值看作是之前有限个过去值线性组合的预测结果。

根据随机信号功率谱密度的定义可以直接得到x(n)的功率谱公式[8,12,13]:

式中σ2为白噪声序列e(n)的方差。

由式(2)可以看出,只要得到AR模型参数(σ2和a1,a2,…,ak),即可求出所分析信号的功率谱P(f)。

2 参数谱估计方法

2.1 Yule Walker方法

Yule Walker方法的AR模型参数通过预测误差估计值最小原理得到,方差估计值为

由于白噪声序列的长度大于x(n)的长度,将无法观测到的采样点的采样值看成是0。预测误差功率的最小估计值通过模型参数ak的实部和虚部加以区分,可以利用复梯度法[14,15]得到:

式(4)也可以通过自相关函数估计,给出,即

其中:

联立式(5)和式(6)可以估计AR模型的参数:

白噪声方差估计值通过式(8)计算:

利用Yule Walker方法可得功率谱密度估计为

2.2 Burg方法

Burg方法利用前向、后向预测误差平均功率最小准则和反射系数对模型参数进行估计。先估计反射系数,再用Levinson递推公式依次求取AR模型参数。

第p阶模型的前向、后向预测误差分别为

与反射系数相关的AR模型参数为

为了使前向和后向预测误差和的平均功率最小,对其求偏导,得到反射系数:

各阶预测误差和由Levinson递推公式求出,即

通过式(14)和(15)求得前向、后向预测误差,再由式(13)估计出反射系数,将反射系数代入式(12)求出AR参数,最终可得Burg方法功率谱:

式中,是总体最小二乘误差。

2.3 Covariance方法

Covariance方法与Burg方法最主要的区别在于预测误差功率求和式的上下限不同。 在Covariance方法中,预测误差功率的求和式的区间为[p,N-1]。利用复梯度方法使预测误差功率达到最小,可得

其中:

将式(17)表示为,可得到AR模型参数的估计值:

白噪声方差估计值由式(20)估计:

通过上面的计算可得Covariance方法的功率谱:

2.4 改进Covariance方法

改进Covariance方法是基于前向、后向预测误差平均功率最小准则,其AR模型参数估计矩阵计算与Covariance方法相同,只是自相关估计值计算方法不同,在改进Covariance方法中,自相关估计值为

AR模型参数和白噪声方差估计与Covariance方法相同,因而有

3 Matlab仿真及分析

为了验证4 种功率谱估计方法的正确性,在Matlab中对4个谐波样本进行谐波分析,采样频率和时间窗口分别为10kHz和200ms。

4个谐波样本A1—A4的具体表达式如下:

A1—A4的波形如图1所示,其中纵坐标M为幅值。

利用4 种谐波分析方法,对谐波样本A1—A4进行仿真,仿真结果如图2—图5所示,其中纵坐标PSD表示功率谱估计。

样本A1中包含基波、5次谐波和7次谐波。从图2可以发现,4种方法均能有效检测原始信号。

样本A2中包含基波、3 次谐波和30 Hz次谐波。从图3可以发现,Yule Walker方法只能检测基波和3次谐波成分,其他3种方法均可以有效检测原始信号。

样本A3中包含基波、3次谐波、5次谐波、7次谐波、9 次谐波、26 Hz次谐波、180 Hz间谐波、230Hz间谐波。从图4可以发现,Yule Walker方法没有检测到26Hz次谐波,而对其他整数次谐波和间谐波都有很好的检测效果;Burg、Covariance和改进Covariance方法对各种次谐波都可以检测。

样本A4中包含基波、40 Hz次谐波、18 Hz次谐波。从图5 的仿真结果可以看出,Yule Walker方法只能检测出基波成分,不能检测40 Hz次谐波和18Hz次谐波,Covariance方法在检测中出现了错误,Burg和改进Covariance方法对谐波样本均能很好检测。

综合4 种参数谱估计方法的仿真结果可以发现,整数次谐波最容易被有效检测,尤其是3,5,7次这些在电力系统中危害较大的谐波;另外,间谐波也比较容易检测,而次谐波的检测难度较大。

4 结语

谐波频率估计 篇5

最近50年, 尽管控制理论和方法取得了很大的进步, 但PID控制器仍然是最通用、最普遍的控制器[1,2]。在所有的控制回路中, 超过90%是采用PID控制[2]。一项在冶金、化工和造纸等工业的统计表明, 97%的控制器采用了PID结构[3]。在嵌入式控制领域, PID控制器的应用也在不断增长[4]。因此, 用手动或自动方法, 高效可靠地获取PID控制器参数显得越来越重要。

2 估计方法

2.1 阶跃试验

阶跃试验通常在手动状态下以开环的方式进行。在试验数据的采样起始点, 即t=0的时刻, 要求系统处于稳态。这种稳态的起始条件要求很普遍, 在Hang, Wang等人[7,14]的FFT算法和Honeywell TDC3000XPID自整定控制器[16]的试验中, 都要求起始时刻系统处于稳态。为了满足这一要求, 可以在阶跃过程开始后, 启动一个稳态的识别过程, 只要判断出系统重新回到稳态, 就可以停止数据采样过程, 而完成FFT不足的采样数据和直到无穷区间的数据, 可用停止数据采样时刻的稳态值来填充。

2.2 高通滤波思想

如果一个过程可以用传递函数$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$来描述, 则该过程的频率特性可表示为:

$G(\text{j}\omega )=\frac{Y(\text{j}\omega )}{U(\text{j}\omega )}(1)$

式中:Y (jω) , U (jω) ——过程输出与输入信号的频谱。

粗略地看, 直接将FFT方法应用于y (t) 和u (t) 则很容易获得Y (jω) 和U (jω) , 继而确定G (jω) 。然而仔细分析会发现在这过程中存在两个问题:其一是y (t) 和u (t) 的稳态值一般不为零, 不逐渐收敛为零信号f (t) 的无穷区间的傅立叶积分式:

F (jω) =∫∞0f (t) e-jωtdt (2)

是不可积的;其二是试验的起始时刻y (t) 和u (t) 一般不为零, 由于对象频率特性G (jω) 是与传递函数G (s) 对应的, 而传递函数G (s) 的定义要求y (t) 和u (t) 及其各阶导数为零, 因此起始时刻y (t) 和u (t) 不为零的状态不满足传递函数定义的条件, 继而也不满足对象频率特性条件。

高通滤波器可以滤除稳态直流分量。将高通滤波器应用于对象输入输出采样数据中, 滤波后的稳态值只能是零。用同一高通滤波器来处理过程的输入输出数据, 并从滤波后的数据中按式 (1) 来获取对象频率特性。一方面解决了上述两大问题, 另一方面, 滤波器的影响又可以从式 (1) 的分式中彻底消去。

2.3 频率特性估计

设u (t) 、y (t) 为对象的输入输出信号, $\tilde{u}$ (t) 、$\tilde{y}$ (t) 为对象的输入输出经过相同参数的高通滤波器滤波后的信号。按照2.1所述的阶跃试验, 由于采样起始点和终止点对象都处于稳态, 因此u (t) 和y (t) 在采样起始点和终止点都为恒定不变的常数, 通过高通滤波器滤掉u (t) 和y (t) 的直流分量后, 将使$\tilde{u}$ (t) 和$\tilde{y}$ (t) 在采样起始点和终止点的数值, 以及终止点到无穷区间的数值都为零。对$\tilde{u}$ (t) 和$\tilde{y}$ (t) 信号进行傅立叶变换, 可得:

$\begin{array}{l}\tilde{U}(\text{j}\omega )={{\displaystyle \int }}^{\infty }0\tilde{u}(t)e{}^{-\text{j}\omega t}\text{d}t={{\displaystyle \int }}^{{\rm N}{\rm T}}0\tilde{u}(t)e{}^{-\text{j}\omega t}\text{d}t\\ \tilde{Y}(\text{j}\omega )={{\displaystyle \int }}^{\infty }0\tilde{y}(t)e{}^{-\text{j}\omega t}\text{d}t={{\displaystyle \int }}^{{\rm N}{\rm T}}0\tilde{y}(t)e{}^{-\text{j}\omega t}\text{d}t\end{array}(3)$

式中:N——FFT变换的数据点数;T——采样周期;NT——采样终止时刻。

对应于式 (3) 的傅立叶变换, 有相应的FFT:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\tilde{U}(\text{j}\omega {}_i)\approx {\rm T}\underset{{\rm K}=0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \text{Σ}}}}\tilde{u}({\rm K}{\rm T})e{}^{-\text{j}\omega {}_i{\rm K}{\rm T}}={\rm T}\underset{{\rm K}=0}{\overset{{\rm N}-1}{{\displaystyle \text{Σ}}}}\tilde{u}({\rm K}{\rm T})e{}^{-\text{j}\omega {}_i{\rm K}{\rm T}}\\ =FF{\rm T}[\tilde{u}({\rm K}{\rm T})]\\ \tilde{Y}(\text{j}\omega {}_i)\approx {\rm T}\underset{{\rm K}=0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \text{Σ}}}}\tilde{y}({\rm K}{\rm T})e{}^{-\text{j}\omega {}_i{\rm K}{\rm T}}={\rm T}\underset{{\rm K}=0}{\overset{{\rm N}-1}{{\displaystyle \text{Σ}}}}\tilde{y}({\rm K}{\rm T})e{}^{-\text{j}\omega {}_i{\rm K}{\rm T}}\\ =FF{\rm T}[\tilde{y}({\rm K}{\rm T})]\end{array}\\ (i=1‚2‚\cdots ‚m)(4)\end{array}$

式中:$m=\frac{{\rm N}}{2}$;$\omega {}_i=\frac{2\text{π}i}{{\rm N}{\rm T}}$;u (KT) 和y (KT) (K=0, 1, …, N-1) 为u (t) 和y (t) 的采样值。所以, 对象的频率特性G (jω) 为:

$\begin{array}{l}G(\text{j}\omega {}_i)=\frac{Y(\text{j}\omega {}_i)}{U(\text{j}\omega {}_i)}=\frac{G{}_f(\text{j}\omega {}_i)\times Y(\text{j}\omega {}_i)}{G{}_f(\text{j}\omega {}_i)\times U(\text{j}\omega {}_i)}=\frac{\tilde{Y}(\text{j}\omega {}_i)}{\tilde{U}(\text{j}\omega {}_i)}\\ (i=1‚2‚\cdots ‚m)(5)\end{array}$

式中:Gf (jω) ——高通滤波器频率特性。

由式 (5) 可见, 对象频率特性是由输出信号的频谱与输入信号的频谱的比值来确定的。滤波器的引入虽然会造成U (jω) 与$\tilde{U}$ (jω) , Y (jω) 与$\tilde{Y}$ (jω) 之间的较大误差, 但基于相同特性的滤波器却不会给G (jω) 带来误差。因此, 高通滤波器既可以使传递函数的定义条件得到满足、解决傅立叶积分的可积性和FFT的能量泄漏, 又不会给对象频率特性的计算带来误差。

2.4 参数的确定

正确选择采样周期和滤波器频带是实现对象频率特性估计的重要内容。对象特性不同, 采样周期和滤波器频带也应不同。本文采用对象的穿越频率ωc来表征不同对象的不同特性。仿真结果表明, 采样周期T可由下式获得:

${\rm T}={\rm K}{}_{{\rm T}}\frac{2\text{π}}{{\rm N}\omega {}_{\text{c}}}(6)$

式中:KT一般取在5～20之间, 可在时域采样信号的分辨率和离散频谱的分辨率之间折衷;N——FFT变换点数, 通常取在256～1 024之间, 由运算速度和识别精度来确定;ωc可通过迭代的方式逐步精确化, 而初始的穿越频率值ωc0, 可由阶跃响应的上升时间Tr来粗略估算:

$\omega {}_{\text{c}0}=\frac{\frac{100}{{\rm N}}}{\frac{2\text{π}}{{\rm T}{}_{\text{r}}}}(7)$

初始穿越频率估计值ωc0对ωc的迭代过程的影响不大, 只要ωc0与ωc的相对误差不超过500%, 都可以使精确求取ωc的迭代过程收敛。

通过穿越频率ωc确定采样周期后, 高通滤波器的转折频率ωh就可直接由采样周期确定:

$\omega {}_{\text{h}}={\rm K}{}_{\text{h}}\frac{\text{π}}{{\rm T}}(8)$

式中:Kh一般取在0.005～0.05之间, 可在滤除稳态直流分量的响应速度和识别稳态增益的精度之间进行折衷。

2.5 闭环试验

理论上, 阶跃试验既可以以开环, 也可以以闭环的方式进行。但在闭环试验情况下, 会受到更多的限制。一种通常的限制条件是对象输入输出信号频谱要充分的丰富, 要在频率特性识别感兴趣的频率范围内, 有一定精度的幅值和相位, 特别是处在分式分母上的输入信号, 频谱的幅值和相位越小时容易造成较大的误差。另一种常在闭环试验中出现的约束条件是对象输入信号中存在不连续的尖峰信号, 如图1所示。

这种信号常出现在微分作用比较强的PID控制器的闭环试验中。由于FFT不能同时兼顾时域分辨率和频域分辨率, 因而为了保证对象频率特性的频域分辨率和识别精度, 所选用的采样周期不能无限制地缩小以减小尖峰信号的采样误差。较大的采样周期会在尖峰信号的采样时造成误差, 进而影响对象频率特性和识别精度;较小的采样周期将使频域的分辨率降低, G (jω) 的识别精度同样受到影响。

解决闭环试验中尖峰信号带来的识别误差可采用两条途径, 其一是在试验前去掉微分作用, 避免尖峰信号的出现;其二是以加大运算量为代价, 在减小采样周期的同时增加样本数量。采样周期T、样本数量N和频率分辨率Δω的关系式如下:

$\text{Δ}\omega =\frac{2\text{π}}{{\rm N}{\rm T}}(9)$

3 实 例

半实物实时闭环仿真系统软件结构如图2所示:

现场智能测控组件既是闭环控制器, 又通过可组态的控制系统典型环节模块实现被控对象的实时仿真。被控对象仿真和控制器的工作周期都为100 ms。位于监控计算机内的OPC服务器通过RS-232和现场智能测控组件连接, 查询周期为100 ms。LabVIEW应用程序完成数据采样、高通滤波、FFT变换和对象频率特性的识别, 通过DataSocket接口实时读取OPC中的过程数据。

在现场智能测控组件中仍以带延迟的一阶惯性环节作为被控对象:

$G(s)=\frac{{\rm K}}{{\rm T}s+1}e{}^{-\tau s}$

式中:比例系数K=1;时间常数T=10;时滞τ=5。取采样点数N=512, 采样周期Ts=0.55, 带通滤波器的高、低截止频率分别为0.2、0.01。通过OPC服务器采集的测控组件中OP、PV实际信号及其滤波后结果如图3、图4所示。由于系统要求起始、终止时刻都处于稳态, 故应取类似图3、图4中虚线框内的一段信号进行算法处理。此时采样点数N<256, 则补充稳定终点值使N=256。若N>256, 则将信号进行截断处理。

最终, 得到实际系统的频谱图如图5所示。从图中可以看到, 实际系统的幅频特性在中、高频段产生了波动, 这是由控制系统的实时处理、数据的传输延迟等因素引起的。但重要的低频段几乎和真实值重合。其中-180°处的频率特性点:ωc=0.365 9, 其对应的增益Ac=0.265 3, 相对于计算所得的真实值:ωc=0.371 2, Ac=0.259 7, 误差分别为1.43%、2.16%。

又分别令K=0.1、0.5、1.0、1;T=10、50、100;$\frac{\tau }{{\rm T}}$=0.1、0.5、1.0, 得到了基本相同的精度, 详细结果如表1～表4所示。

4 结 论

本文基于阶跃响应和FFT, 提出了一种获取被控对象频率特性的新方法。该方法有如下主要特征:第一, 该方法在一次阶跃试验中就可获取完整的频率特性, 可大大节省试验时间;第二, 所获得的对象频率特性具有相当的精度, 特别是用于控制器设计的重要频段[0, ωc], 其幅频特性和相频特性的精度完全能满足控制器设计要求, 并可方便地用于控制器参数的自动整定;第三, 样本数据可在线获取, 可通过手动操作、设定值阶跃、负载阶跃等自然控制过程中的数据来获取样本, 避免人为的试验过程, 克服了控制器参数整定过程对系统带来的干扰。

本算法对一阶惯性环节加纯滞后系统的有效性, 在半实物实时闭环仿真中, 已经得到全面的验证。

谐波频率估计 篇6

随着电力电子等非线性设备的广泛应用,供电系统的谐波污染日趋严重。为了降低谐波污染对电能质量的影响,人们采用了各种措施进行谐波治理,电网谐波的动态治理对谐波的实时性检测提出了较高的要求[1,2,3,4,5,6,7]。常见的检测方法仅能检测全部谐波之和,而补偿特征次谐波(如3、5、7次谐波)可以减小有源滤波器容量,降低功率器件的开关频率,从而增加运行寿命,因此任意次谐波的检测方法越来越受到人们的关注和重视[8,9,10]。

基于瞬时无功理论的ip-iq算法已经成为谐波检测中应用最广泛的方法,但是由于采用了低通滤波器(LPF),存在响应速度慢、相位偏移、受频率偏移影响、响应速度与检测精度相互矛盾的缺点。文献[10]利用积分法代替LPF提取低频分量,并且用预设信号代替锁相环输出信号,但是当电网电能供用失配时,往往会引起电网基波频率在运行中发生波动,由此导致谐波电流的检测精度降低。文献[11]利用噪声对消理论实现了自适应谐波电流检测。文献[12]提出一种基于Prony谱估计的自适应频率跟踪的谐波检测算法。但是上述算法中下降梯度因子μ的选取还要结合实际情况,从而限制了算法的通用性。因此在被测信号存在频率波动情况下,准确有效地检测谐波成分,不但有益于解决电网电能质量问题,而且对实现电网系统的监控、保护和补偿也是十分重要的[13]。

本文提出一种基于复合SOGI的谐波检测算法,通过双重SOGI构造低通系统,具有滤波、改善锁频的功能,而该环节不引入低通滤波器,提高了检测的实时性,并结合交叉对消反馈网络,实现带通滤波提取任意次谐波分量的功能。针对锁相环(PLL)锁频结构复杂的特点,利用简化的锁频环(FLL)结构在线跟踪系统频率变化情况,最后通过仿真验证方法的正确性与有效性。

1 谐波检测原理

假设电源电压理想无畸变,us(t)=Ussinωt,而非线性负载电流利用傅里叶级数展开为:

其中,i1(t)为基波有功电流;ih(t)为高次谐波电流。所以只要利用低通滤波器滤去基波,就可以检测到谐波总和,而所需检测的第n次谐波,只需相应的带通滤波就可以实现。频率自适应谐波电流检测原理框图如图1所示。

文献[14]指出基于带通或者带阻滤波器的检测方法过分依赖于滤波器参数的调整,无法补偿滤波器引起的相移,易受系统频率的影响。针对这3个问题,本文利用双重SOGI实现低通滤波取反的环节,同时结合交叉对消反馈网络实现带通滤波效果,这些环节不引入滤波器,提高了检测的实时性,通过构造的复合系统既实现了滤波的作用,又不因滤波而引起相移,减少了相移补偿环节。同时利用改进的FLL结构在线跟踪频率变化,提高了谐波检测的精度。

2 基于复合SOGI环节的谐波检测

频率自适应总谐波检测由FLL、基波低通滤波器和移相器3个环节组成,主要用于滤波与锁频。因此,如何简单有效地实现低通锁频算子就成为基波检测实现的关键。

2.1 移相算子构造

为实现低通锁频算子,本文构造以SOGI[15]为核心的移相电路,如图2所示。

图2(a)中虚框所示为SOGI电路,其传递函数为:

由式(2)的幅频特性可知,当输入信号u频率为ω0时,SOGI电路表现为具有无穷大增益的积分器。

2.2 幅频特性分析

由图2可知,相应SOGI的闭环传递函数为:

时D′(s)和Q′(s)的bode图如图3所示。

从图3可以看出,双重SOGI构造环节具有如下特点:

a.输出信号d′相位滞后于输入信号90°,输出信号q′相位滞后于输入信号180°;

b.SOGI中的D′(s)具有带通的效果,而Q′(s)则具有很好的低通滤波效果;

c.闭环系统的带宽完全由谐振系数k决定,基波折中选择参数可以使D′(s)和Q′(s)在保证相位同步的同时,具有较好的动态性能;

d.电网频率对该系统有影响,但是可以用FLL来补偿。

2.3 滤波特性仿真

为进一步说明SOGI的滤波特性,采用MATLAB/Simulink对SOGI模块进行仿真。输入信号为基波(50 Hz)幅值100 A∠0°,5次谐波幅值20 A∠0°,7次谐波幅值10 A∠0°,白噪声方差为20。图4(a)为输出d、q与输入f的波形对比,图4(b)为输出d′、q′与输入f的波形对比。表1为滤波前后基波与各次谐波的幅值含量对比。

通过图4和表1可以看出,SOGI具有一定的滤波特性,当系统所含谐波次数越高,其分量衰减越大,而基波分量不受影响,其相位不因滤波作用而引起相移;在谐波检测要求苛刻的条件下,D(s)针对低次谐波(如3、5、7次等)的滤波效果并不理想。经过双重SOGI滤波之后,低次谐波的含量大幅减少,可以满足谐波检测的要求,而且双重SOGI的输出d′(s)和q′(s)畸变小、THD含量低,有利于后续FLL的控制。

2.4 基于交叉对消反馈网络的任意次谐波检测

由图1(b)可知,对任意n次谐波检测是由n次带通滤波器来实现的。本文中的带通滤波器由两部分构成:一个为交叉对消反馈网络,实现带通效果;一个为复合SOGI环节,实现滤波功能。基于交叉对消反馈网络的n次谐波检测原理图如图5所示,其中itest为待检测电流,i1为基波电流,in为n次谐波。

图5所示的复合双重SOGI谐波检测网络是由n个独立的双重SOGI以并行方式构成的交叉对消反馈网络。每一个SOGI的谐振频率等于n乘以基波频率,折中系数相应地变成并将SOGI输入端的ω0换成nω0。在检测电流畸变严重的情况下,该网络依然可以通过交叉对消反馈实现各个谐波分量之间的解耦,结合滤波环节实现带通滤波功能,从而达到检测任意次谐波分量的目的。

2.5 SOGI的离散化实现

为了消除模拟电路的不利影响,并保持离散后的频率响应,综合文献[16]中多种离散数字化实现方法,本文选择双线性变换法,则积分器离散化为:

其中,Ts为采样时间。

对式(3)、(4)进行双线性z变换可得[16]:

离散化后的SOGI如图6所示。

3 频率自适应跟踪

3.1 传统的锁频结构

为了实现频率自适应的功能,一般实现锁频的结构如图7所示,主要由带通滤波器(BPF)和PLL两部分构成。

该环节的特点如下。

a.PLL有2个输入,即给定角频率ωff和误差信号e,其中e=f-d;输出为2个正交分量sinθ′、cosθ′和角频率测量值ω′。

b.BPF有f、sinθ′和cosθ′3个输入;输出为m和n。由噪声对消理论分析可知,图7中BPF的功能是产生2个正交的基波信号m和n,m=Acosθ′,n=A sinθ′,而且f的基波与m同相位、同幅值。结合表1可知,可用SOGI中的f、d、q代替BPF中的f、m、n。

图8为FLL结构,通过比较图7和图8,可以得到FLL结构具有以下特点:

a.FLL结构中不包含PI环节,只有一个比例系数α需要整定;

b.由于没有使用三角函数就实现了频率估计,图8的FLL比图7的PLL简单;

c.SOGI实现了带通的功能,FLL也实现了频率估计的功能,图7和图8在功能实现上是等价的;

d.作为FLL的输入e和q,其自身的谐波含量对FLL的性能有一定影响,谐波含量越少,FLL的锁频效果越好。

3.2 改进的锁频结构

为了进一步提高FLL的锁频性能,结合双重SOGI的滤波特性,把谐波含量更小的e′和q′作为FLL的输入,由表1可知:一方面,e=f-d,而e′=f′-d′=q-d′,又因为f超前于q 90°,d超前于d′90°,所以e超前于e′90°,而e′∝je′(∝表示正比于,下同);另一方面,q超前于q′90°,所以q∝jq′。由此可知[e·(-q)]∝[j e′·(-jq′)]=e′q′。所以改进的锁频环(EFLL)结构如图9所示。

4 仿真分析

4.1 算例仿真

为验证本文提出方法的可行性,利用仿真软件MATLAB/Simulink对所提基于EFLL结构的双重SOGI的谐波检测算法进行仿真分析。仿真总时间设为0.4 s,首先假设输入电流信号中不含无功成分,且输入电流信号中各次谐波电流成分稳定。假定在0.2 s时负载电流的频率从50 Hz突变到49 Hz,畸变输入电流的相关参数见表2(表中,幅值为标幺值)。

仿真实验中,基于FLL的复合SOGI由4个单独的双重SOGI构成(谐振次数分别是1、5、7、11次),其中n次谐波双重SOGI中的折中系数(n=1,5,7,11)。则整个过程的仿真结果如图10、图11所示。

4.2 结果分析

从图10的仿真实验中可以看出,在频率突变的情况下,基于频率自适应的谐波电流检测算法仍能在一个工频周期内跟踪负载电流变化,实时性强,可以满足工程实际的需求。从图11所示检测5次谐波的仿真结果可见,稳态误差小,动态响应速度快,本文所提检测算法能够实时有效地检测电网电流中的任意次谐波。

5 结论

本文基于SOGI实现了较好的滤波效果。通过构造复合SOGI系统,能够独立实时地检测出电网电流中的基波和任意次谐波分量;针对电网频率波动的情况,采用改进的FLL,提高系统的自适应能力。该方法不引入滤波器,减少了滤波环节带来的时延和相移。仿真结果证明了构造的复合系统和所提方法的正确性和有效性。

摘要：提出了一种基于复合二阶广义积分的频率自适应谐波电流检测方法,利用双重二阶广义积分器实现滤波和改善锁频的功能;同时利用交叉对消反馈网络来实现各个谐波分量之间的解耦,利用该环节的带通滤波的功能,从而达到独立实时地检测出电网电流中的基波和任意次谐波分量的目的。针对电网频率波动的情况,采用改进的锁频环结构在线跟踪系统频率变化情况。该方法省略了低通滤波环节,用简化的锁频环节替代锁相环,稳态精度高,锁频效果理想。最后利用MATLAB进行仿真分析,仿真结果表明该方法可行有效。

谐波频率估计 篇7

关键词：系统谐波阻抗,偏最小二乘回归,用户谐波发射水平

在电力系统中, 供电系统谐波的定义是对周期性非正弦电量进行傅立叶级数分解, 除了得到与电网基波频率相同的分量, 还可以得到一系列大于电网基波频率的分量, 这一部分分量即被成为谐波。谐波频率与几波频率的比值称之为谐波次数。电网中有时也存在非整数倍谐波, 称之为非谐波或者分数谐波, 谐波实际上是一种干扰量, 使电网受到污染。

1 谐波的危害和抑制

1.1 谐波的危害

理想的公用电网所提供的电压应该是单一而固定的频率以及规定的电压幅值。谐波电流和谐波电压的出现, 对公用电网是一种污染。谐波对电网的危害十分严重, 使电力系统中电能的生产、传输和利用的效率降低, 使电气设备过热、产生振动和噪声, 并使绝缘老化, 使用寿命缩短, 甚至发生故障或者烧毁等等。谐波可引起电力系统局部并联谐振或串联谐振, 使谐波含量放大, 造成电容器等设备烧毁。谐波还会引起继电保护和自动装置误动作, 使电能计量出现混乱。对于电力系统外部, 谐波对通信设备和电子设备会产生严重干扰。

1.2 谐波的抑制

对于解决电力系统中电力装备和其他谐波来源的污染问题, 有两条可行的方法, 首先是装设一种谐波补偿装置来补偿谐波, 这一方法适用于各种来源的谐波, 其次是对电力系统中的电力设备进行种种技术上的改造, 尽量使其不产生谐波, 并且始终将功率因数控制到1, 这一条方法只适用于被谐波污染的电力系统中电子设备。在传统方法中, 装设谐波补偿装置的方法就是采用LC调谐波滤波器, 这种方法技能补偿谐波, 又能补偿无功功率, 而且LC调谐波滤波器结构简单, 操作方便, 因此一直被广泛使用。而LC调谐波滤波器的主要缺点则是对谐波的补偿特性会受到电网的阻抗和电力系统的运行状态的影响, 比较容易的和电力系统发生联通谐振, 致使谐波不仅没有被补偿, 反而持续放大, 最终导致LC滤波器过载运行直至烧毁。而且LC滤波器只能补偿固定频率的谐波, 补偿效率也不高。

2 偏最小二乘回归法对谐波检测的运用

对于电力系统的运行, 谐波的治理已经是必然要面对的重点问题。谐波的定位有两种方法, 第一种是将电力系统分成供电侧和用户侧两侧, 然后根据相应的等效电路模型确定发出主谐波源存在的那一侧, 这种方法成为基于等小电路吗, 模型的定位法, 根据定位依据的不同, 可以分为功率定位法、阻抗定位法、灵敏度定位法;第二种是估计电力系统整体谐波的方法, 计算出系统中各个节点的谐波电压一直各个支路的谐波电流, 从计算结果中判断出哪条支路或者哪个节点含有谐波, 根据不同的量测量的选择, 可以分为功率量测、电压量测和电流量测三种。

谐波源的监测就是指定量的计算出系统侧与用户侧对公共连接点的谐波畸变电压的大小, 并明确估算出用户侧谐波的发射水平。国内外对于谐波发射水平的估计方法主要还是围绕着对系统和用户谐波波阻抗的估算来展开。

偏最小二乘回归法, 是一种新型的多元统计数据分析方法, 它主要研究的是多应变量对多自变量的回归剑魔, 特别当各变量内部高度线性相关时, 用偏最小二乘回归法更有效。此外, 偏最小二乘回归法还可以较好的解决了样本个数少于变两个数等问题。偏最小二乘法是集主成分分析、典型相关分析和多元线性回归分析3种分析方法的优点于一身。它与主成分分析法都试图提取出反映数据变异的最大信息, 但主成分分析法只考虑一个自变量矩阵, 而偏最小二乘法还有一个“响应”矩阵, 因此具有预测功能。研究认为, 集多元线性回归分析、典型相关分析、主因子分析等方法于一体的偏最小二乘回归方法 (PLS) 更适用于FM分析, 可以避免数据非正态分布、因子结构不确定性 (factor indeterminacy) 和模型不能识别等潜在问题。偏最最小二乘回归与传统的多元线性回归模型相比, 有以下几个突出的特点:

(1) 能够在自变量存在严重的相关性的条件下进行回归建模;

(2) 允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模;

(3) 偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量;

(4) 偏最小二乘回归模型更易于辩识系统信息与噪声 (甚至一些非随机的噪声) ;

(5) 在偏最小二乘回归模型中, 每一个自变量的回归系数将更容易解释。

目前, 偏最小二乘回归计算方法在国内已经开始逐步实施, 该方法应用于负荷模型预测的研究成果, 并且在过去“二元回归”的方法的基础上, 已有将偏最最小二乘回归方法初步应用于配电网谐波源定位与检测中, 充分的发挥算法本身的特点, 对电力系统数据建模有了新的思路。在应用偏最小二乘回归方法进行谐波源的定位时, 首先应用PMU (相量测量单元) 对电力系统等效电路各个节点的电压和电流相量进行同步测量, 使得测量结果更加准确, 从而给偏最小二乘回归法的应用奠定了更好的基础, 使得计算结果更加符合实际情况, 以使谐波源的定位更加准确。谐波阻抗与谐波发射水平评估是近年来国内外较为关注的谐波源检测方面的研究内容。利用偏最小二乘回归方法可得到较好的评估效果。采用统计回归和其它建模方法, 可在大量相关的实验数据基础上对复杂系统进行建模, 但普通的多元统计回归方法在实际系统建模中往往存在一些难以解决的问题。传统的最小二乘法在其参数估计式的计算中, 要求其计算公式必须是可逆矩阵, 估计式才有意义。所以当模型变量的多重相关性严重时, 或者当系统中样本容量少于变量个数时, 参数估计一般就会失效。采用人工神经网络建模时, 网络模型的选取通常只能依据经验或采用随机试探的方法, 具有一定的随意性;另外, 由于网络采用“黑箱”结构, 它对所描述对象的输入输出变量之间的关系往往缺乏很好的解释性。这些问题在一定程度上制约了神经网络在系统建模方面的进一步发展。偏最小二乘回归方法借助提取主元的思路, 有效地提取对系统解释性最强的综合信息, 从而实现对高维数据空间的降维处理, 较好地克服变量多重相关性在系统建模过程中的不良影响。二元回归法是一种估算电力系统谐波阻抗和用户谐波发射水平的方法, 但在二元回归方程中, 两个自变量的相关系数较大, 存在严重的多重相关性, 这样会使最小二乘法失效, 得到的回归模型的拟合效果不好。为了较好地解决多重相关性问题, 基于电网各参数的复数关系的二元回归方程, 可以用偏最小二乘法来求解系统阻抗和用户谐波发射水平。综上所述, 根据偏最小二乘的基本原理、建模基本思想, 以及该方法在配电网谐波电源定位与检测中的应用, 已经可以证实偏最小二乘法在配电网谐波源定位与检测中得到了较好的效果。

由于实习系统中谐波源发射水平较低, 在数据处理的精度上出现误差相对较大的情况, 当系统中谐波含量越大, 偏最小二乘回归模型估算方法在数据建模上的效果将更加明显。

3 结语

随着电力企业的不断发展壮大, 为了适应社会和人民生活工作的要求, 必然要对电能的质量做出更高的要求, 谐波治理是电力系统中影响电能质量的重点, 应用偏最小二乘回归模型可以较好的估算出系统谐波阻抗以及用户谐波发射水平, 对于分清楚电力系统中系统侧和用户侧的对于电能质量恶化的责任。与传统方法相比, 偏最小二乘回归法算法集多元性回归、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体, 可以同时实现回归建模、数据结构简化以及变量间相关性分析, 能够有效的解决谐波检测中变量相关性给系统建模带来的误差, 并且更加的统一辨认出系统信息与造成, 对于电力系统中谐波的检测和定位有很大的帮助。

参考文献

[1]黄舜, 徐永海.基于偏最小而成回归的系统谐波阻抗与谐波发射水平的评估方法[J].中国电机工程学报, 2007, 27 (1) :94-97.

[2]侯丽丽.配电网谐波源的定位[D].山东大学, 2009.

谐波频率估计 篇8

含噪声正弦信号的频率估计是信号处理领域研究的重要课题之一, 被广泛应用于雷达、通信、声纳、电子对抗等多个领域。目前正弦信号频率估计方法众多[1,2,3,4,5], 各种现代谱估计方法可实现正弦信号频率的精确估计, 但这些方法算法复杂、计算量大[6]。基于DFT的经典幅值谱 (一维谱) 分析方法, 由于可利用FFT而具有运算速度快、对正弦信号具有显著的信噪比增益、算法参数不敏感等优点而被广泛使用[7]。但当采样频率为DFT频率分辨率[8]的非整数倍, 即信号截断长度不是信号周期整数倍时, 信号频谱就发生泄漏[9]。即使无噪声影响, 信号真实频率仍落于主瓣内两根离散的谱线之间, 导致频率估计精度无法满足要求。低信噪比情况下, 频率估计精度更低。基于FFT的各种插值算法改善了估计精度, 但以增大计算量或复杂算法为代价, 因此寻求一种算法简单、估计精度高, 且具有一定抗噪声能力的正弦信号频率估计方法成为人们的研究目标。本文从拓展信号幅值谱的表征方式出发, 以Matlab为平台, 在DFT的基础上将一维谱扩展到突显信号更多信息的二维幅值谱 (简称二维谱) , 并在其基础上推导出正弦信号频率与信号采样频率、信号一个周期内样本点数以及频率直线斜率之间的定量关系, 进而实现正弦信号的频率估计。实验结果验证了该方法具有鲁棒性好、估计精度高的特点。

1二维谱的理论依据及解读

1.1 二维谱的理论依据

设时域离散信号为x (n) , 频域为X (k) , 信号时域截断长度为N, 当N为定值、k为变量时, 可将X (k) 看成关于k的函数, 则根据有限长序列的DFT公式:

$X(k)={\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}x}(n)\text{e}{}^{-\text{j}2\text{π}kn/{\rm N}}‚k=0,1,2,\cdots ,{\rm N}-1(1)$

可做出x (n) 在某个频率点k的一维谱。若将DFT公式中信号时域截断长度N、频率点k均看作变量, 则信号幅值与N, k均有关, 可将信号幅值表达为X (k, N) , 那么有限长序列的DFT公式就可看作以信号时域截断长度N和频率点k为自变量、以信号幅值X (k, N) 为因变量的二元函数, 如式 (2) :

$X(k,{\rm N})={\displaystyle \sum _{n=0}^{{\rm N}-1}x}(n)\text{e}{}^{-\text{j}2\text{π}kn/{\rm N}}‚k=0,1,2,\cdots ,{\rm N}-1(2)$

式 (2) 确定了一个以信号长度和频率为自变量的二维信号谱。

对有限长信号序列, 非整周期截断时一维谱发生频谱泄漏而使其有用信息可能淹没于泄漏的能量之中, 致使信号分析时无法解读出足够的有用信息;而对于二维谱 (二维谱亦为双边谱, 文中二维谱均指频率点k取正值的右半边谱) , 由于将信号长度亦作为变量使采样信号中必包含信号的整周期点而使二维谱的可读性受能量泄漏影响较一维谱小, 故而二维谱突显了信号更多有用信息, 具有良好的可读性。

1.2 二维谱的解读

当用来作二维谱的信号长度满足条件N≥8T时, 二维谱频率分辨率好[10], 展示出的信号周期 (频率) 信息完整, 具有较佳表现力, 便于做谱分析来完成信号的频率估计, 故称之为二维谱较佳表现力条件。与一维谱相比较, 二维谱具有以下特点:

(1) 直观反映出信号周期及幅值信息

设T为信号一个周期里的样本点数, N为信号的样本点数, 则T=100, N=1 000的正弦信号在k取1～10时的二维谱如图1所示, 可解读为:一个直线走向的“山脊”表示信号中含有一个频率成分, 信号的频率信息包含在直线状的“山脊”中。“山脊”由若干“山顶”组成。实验观察发现:一个“山顶”对应信号的一个周期, 若作二维谱的信号长度不是信号周期的整数倍时, 则二维谱中会出现不完整的“山顶”。对“山顶”做定量分析有:二维谱中的“山顶”个数是作二维谱的信号中实际包含的信号周期个数的一半, 若作二维谱的信号长度不为T的整数倍, 则“山顶”对应的周期数为非整数。“山顶”高度对应信号的幅值大小。

二维谱中表征信号周期及幅值信息的“山顶”对应存在着尖点。对于确定的有限长信号序列, 在N方向, 尖点随着信号长度N的变化遵从信号周期而周期性地出现;沿k方向, 尖点随着信号长度N的变化有规律地平移, 尖点的这些特征包含了信号的周期信息, 尖点高度表征了信号的幅值信息。暂称这些尖点为信息点。有限长信号序列的信息点位于一条直线上。根据上文对信息点的分析可知, 信息点包含了精确的信号周期信息。这是基于二维谱实现正弦信号频率估计的重要依据。

(2) 受制约条件少、频率分辨率高

工程实际中, 信号的周期信息往往是未知的, 信号采集时很难做到整周期截取。对于有限长信号, 无干扰整周期截断时一维谱具有良好的频率分辨率, 此处指从谱中能够判断出信号所含的频率个数[10], 非整周期截断或信号含有噪声干扰时时频谱泄漏导致一维谱频率分辨率急剧下降。作二维幅值谱的信号长度只要满足二维谱较佳表现力条件, 就可得到频率分辨率高的二维谱, 信号周期信息未知时, 延长信号采集时间即可满足上述条件。对于信噪比低至-10 dB的含噪声正弦信号, 在满足二维谱较佳表现力条件时, 从其二维谱仍能清晰地判断信号能量集中的位置, 且易知该信号仅包含一个频率成分, 如图2所示。

(3) 可解读出更多信息

与一维谱相比较, 二维谱不仅包含了频率、幅值信息, 还包含了幅值随信号长度N的变换规律以及幅值随频率点k的变化规律。从不同角度观察二维谱可获得N, k及幅值各物理量之间的相互变化规律。

① 沿信号长度N方向纵切二维谱, 即频率点k一定时, 随着N的连续取值可得信号在某个频率点对应的幅值与信号长度N之间的变化规律遵从|sinc|函数, 如图3 (a) 所示。频率不同, 对应的|sinc|函数大小及出现周期亦不同。对于单频信号, 在采样信号的长度范围内N每变化一个周期里样本点数即T对应的长度时, |sinc|函数沿N轴做T长度的平移。

② 沿频率点k方向纵切二维谱, 即信号长度N为定值时, 即为经典幅值谱, 如图3 (b) 所示。幅值与频率点k的变化规律不再赘述。

2基于二维谱的正弦信号频率估计

根据二维谱理论依据, 对信号序列做DFT, 由变换后得到的数据做二维谱, 观察二维谱并根据二维谱规律特征建立模板将信息点所在的k, N位置找出。信息点的位置坐标 (k, N) 二维数据在二维谱的k-N平面中表征信号的周期信息。在以频率点k为横轴、以信号长度N为纵轴的二维平面 (以下简称k-N二维平面) 中根据信息点的 (k, N) 坐标描出信息点, 可获得一条由信息点组成的直线, 称之为信号的频率直线, 如图4所示, 其物理意义如图5所示。实验发现, 对有限长信号做DFT时, 随着信号序列采样位置的变化, 信息点的位置有规律地发生变化, 但信息点组成的频率直线的斜率不发生变化, 即频率直线所包含的信号周期信息不发生变化, 这是采用分析频率直线进而实现正弦信号频率估计的方法可靠性所在。下面依据此结论进行正弦信号频率估计原理的推导。

设信号采集设备的采样频率为fs, 信号采集时间为t, 采集到的信号长度为M, 那么有:

${\rm M}=f{}_{\text{s}}t(3)$

若设信号实际频率为f0, 信号一个周期内样本点数为T, 长度为M的信号中实际包含的周期数 (可为非整数) 为n, 则有:

$\begin{array}{l}{\rm M}={\rm T}n(4)\\ t=n/f{}_0(5)\end{array}$

由式 (3) ～式 (5) 可推导出:

$f{}_0=f{}_{\text{s}}/{\rm T}(6)$

式 (6) 即为正弦信号频率估计计算公式。可知, T的估计是实现正弦信号频率估计的关键。

在k-N二维平面中, N′表示频率直线起止信息点之间的信号长度, Δk表示起止信息点所占频率点k的范围差。则正弦信号一个周期里的样本点数T可表示为:

${\rm T}={{\rm N}}^{\prime }/\text{Δ}k(7)$

设正弦信号的频率直线为y=Ax+B, 如图5所示, 易知其斜率A为N′/Δk, 那么频率直线斜率A的物理意义为:正弦信号一个周期里的样本点数。则有:

$A={{\rm N}}^{\prime }/\text{Δ}k={\rm T}(8)$

故正弦信号频率估计公式亦可表示为:

$f{}_0=f{}_{\text{s}}/A(9)$

以上分析可知, 要实现正弦信号的频率估计, 只需求出频率直线的斜率然后将其代入式 (9) 即可。

3实验及结论分析

表1为在满足二维谱较佳表现力条件下, 对任意长度 (相对于一维谱要不发生频谱泄漏而须满足信号整周期截断而言) 、不同信噪比的正弦信号进行频率估计的实验结果。其中, N为做DFT的信号长度;T1为正弦信号一个周期里样本点数估计值;f1为正弦信号频率估计值;εf为频率估计的相对误差。不含噪声正弦信号的T=100、幅值为单位1、信号采样频率fs=100 Hz、信号频率f0=1 Hz。频率相对误差为$\epsilon {}_f=\left|f{}_0-f{}_1\right|/f{}_0$。具体频率估计精度及相对误差如表1所示。由表1可知, 对任意信号长度不为周期整数的正弦信号进行基于二维谱的频率估计时, 信号长度N对频率估计精度无影响。频率估计精度随信号信噪比的增大而升高, 当信噪比为-10 dB时, 通过二维谱仍可准确地估计出信号频率, 相对频率误差为0.026, 而当信噪比不断增大时, 相对频率误差不断减小, 信噪比SNR≥6 dB时, 相对频率误差降至0.006 6, 并趋于恒定。这个恒定误差是由生成时域离散信号仿真软件的系统误差引起的, 若不考虑上述因素, 理论上本频率估计方法的相对误差可趋于零。

4结语

通过扩展传统DFT计算公式中信号长度N亦为变量, 给出了能够突显出信号更多有用信息、具有一定抗噪声能力、频率分辨率高的二维谱。在信号长度满足N≥8T时二维谱具有较佳表现力和准确度。二维谱的应用可推广至多频信号的分析处理中, 为信号的谱分析提供了一种新的频谱表征方式。本文给出的是一种以适度增大数据量为代价获得二维幅值谱, 从而达到提高信号频率估计精度和稳定性的方法, 为正弦信号的频率估计方法提供了一种新的参考思路。

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