初等证明

初等证明（共4篇）

初等证明 篇1

三百多年前,法国数学家费马提出: 当整数n > 2时,Xn+ Yn= Zn无正整数解,其中xyz≠0,这就是著名的费马猜想[1],该问题从提出到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯解决,整整历时358年. 一代又一代数学家和数学爱好者为此付出过艰辛的努力. 有趣的是,三百多年前,费马本人在一本书的旁边写到: “我已发现了一种巧妙的证法,可惜这里空白太小,写不下[2]”,由于怀尔斯的数学证明足足有600多页,今天几乎所有数学家都认为费马当年并没有证明费马猜想. 不过笔者认为,数学家是严谨的,一贯秉承实事求是的科学精神,尤其是对于费马这样的大数学家来说,完全没有必要也不可能去记录自己没有证明的数学方法或灵感. 根据费马之后300多年的数学发展史分析,有一点可以肯定的是,费马的“巧妙证法”应该是一种初等数学的证明方法,唯有此,才有可能是一页书的旁白不能写下,而不是需要一整本书才能写下. 在这种思维指导下,笔者发现了如下的费马猜想证明方法,不敢说就是费马的证明方法,至少是一种探索吧,供大家参考.

费马猜想:

当n > 2时,Xn+ Yn= Zn无正整数解,其中xyz≠0.

证明: 对于X,Y,Z的奇偶性要求,若要等式成立,考虑以下两种情况:

1. 奇( Xn) + 偶( Yn) = 奇( Zn) ,

2. 奇( Xn) + 奇( Yn) = 偶( Zn) . 下面就情况1作讲解:

设X = a - d,Z = a + d,由X、Z的奇数性可知,a和d必一奇一偶. 得出: ( a - d)n+ Yn= ( a + d)n.

合并同类项后有:

为保证等式A的右边是一整数的n次方,首先须提取公因式andn,有:

初步讨论n的自然数取值,了解Yn的一般规律和使Y有整数解的内在要求.

1. 当 n = 1 时,显然成立.

2. 当 n = 2 时,,只要a乘d为平方数时,Y即可为整数.

3. 当 n = 3 时,,只要a > 1,d >1,括号内分数多项式和为分数,而要整个Y3有23因子,必须使括号内的分数多项式的和等于22,此种情况仅有当a =d = 1时才成立,而此时和a与d一奇一偶矛盾,且导致X =0,与费马猜想的题设矛盾,故n = 3时,费马等式无正整数解.

不失一般性,当n > 2时( n = 3,4,5,6,7,8……) ,

由于有组合公式: C1n+ C3n+ C5n…… = 2n -1,因此

研究等式A的多项式组合特征,发现当且仅当a = d =1时,

等式A中Yn= 2andn( C1n+ C3n+ C5n……) = 2andn* 2n -1= ( 2ad)n,

此时,Yn才为完全n次方数,Y才能为正整数. 但此时X = a - d = 0,与题设X,Y,Z任一不为0矛盾. ( 情况2的证明同情况1)

综合以上可知: 当n > 2时,Xn+ Yn= Zn无正整数解.

初等证明 篇2

引理1设有限自然数集N = { 1, 2, …} , 将它的博雷尔σ - 代数记为2N.

引理2每个大于1的正整数都可以被唯一地写成素数的乘积, 在乘积中的素数因子按照非降序排列, 称为算数基本定理.

黎曼ζ函数欧拉公式设为黎曼ζ函数 ( 1 < α < ∞ ) , 欧拉公式断言, ζ ( α) 满足如下的关系式:

其中p1, p2, …为大于1的素数序列.

证明根据引理在 ( N, 2N) 上对子集AN定义概率测度P = P (·) 为

设A ( pi) = { pi, 2pi, …} 为所有可被素数pi整除的自然数n∈N的集合.

2) 事件A ( p1) , A ( p2) , …相互独立.

设p1≠p2≠…≠pn, 取pi与pj且i≠j.

所以事件A ( p1) , A ( p2) , …相互独立.

证明根据德摩根公式, 可知

令t∈N, t≠1, 根据算数 基本定理 则可以表 示为t = pk…pm,

由A ( p1) ∩A ( p2) ∩…A ( pm) = kp1p2…pm, k∈N,

所以t∈A ( p1) ∩A ( p2) ∩…∩A ( pm) , 得证.

接下来考虑如下问题: 由2) 可知, 事件…也相互独立. 因此我们可根据1) 和3) 推出, 一方面

参考文献

[1]A.H.施利亚耶夫.概率 (第一卷) .北京:高等教育出版社, 2007.

初等证明 篇3

托勒密( Ptolemy) 定理: 圆内接四边形的两组对边的乘积之和等于两对角线的乘积.

已知: 四边形ABCD内接于圆O. 证明: AB·CD + AD·BC = AC·BD.

证法分析1此定理从几何角度证明方法较多,从中选择其中之一给予说明.

证法1如图所示,四边形ABCD内接于圆O,在BD上取一点P,使∠PAB =∠CAD,则△ABP∽△ACD,于是

又△ABC∽△APD,则有BC·AD = AC·PD. ②

①②相加,得: AB·CD + BC·AD = AC( BP + PD) = AC·BD.

评注 初等平面几何中对于许多题而言,添加适当的辅助线能帮助解决问题,其实读者从证明的过程中应该已经看到,证明过程中没有运算,通过作出辅助线,构造相似形成比例,简单而又直接,但是作辅助线的技巧要求却很高,对结论敏感直观的分析和平时解题经验积累及解题技巧提出很高要求,尽管很多题中的辅助线十分奇怪,但归根结底是运用一些基本想法,要作出成功的辅助线应当熟悉平面几何中的基本定义、定理、性质.

证法分析2此结论全是边的关系等式,可以利用正余弦定理将边的等式关系转化为三角恒等式证明问题.

证法2 记四边形ABCD外接圆的半径为R,AB,CD相交于点O( 如上图) .

评注此题利用正、余弦定理将几何问题中边的结论转化为三角等式证明问题,再用三角公式进行化简与证明, 证明思路比作辅助线构造三角形相似成比例更为直接,当然对三角函数公式提出更高的要求.

证法分析3利用解析法,将平面几何问题代数化,利用三角函数坐标定义,将A,B,C,D四点坐标化,通过距离公式证明结论.

证法3以圆心O为坐标原点, OD所在的直线为x轴,OD的垂线为y轴,建立如图所示平面直角坐标系.

评注通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,解题领域再次得到拓宽. 解题方法虽有优劣之分,但解题领域的拓宽是在平时的学习过程中慢慢领悟出来的,正确规范中解题,错误订正中修复,查漏补缺中归纳, 习题练习中巩固,基础知识和学科素养都源自平时整个的学习过程,宝贵的学习资源需要加强反思和总结.

初等证明 篇4

关键词：行列式,初等变换,初等矩阵,可逆矩阵

一、引言

矩阵是线性代数的一个主要研究对象, 是一个极其重要且应用广泛的工具.矩阵的概念及其运算规则是由英国数学家A.Cayley和J.J.Sylvester于19世纪50年代提出的.行列式的出现先于矩阵一百多年, 但现在可以看做是方阵的一个数字特征.

n阶方阵A的行列式记为|A|, 关于“|AB|=|A||B|”的证明有好几种方法, 主要有构造2n阶行列式的方法[1], [2], 利用分块矩阵的方法[3], 本文利用初等矩阵及行列式的性质给出一个证明[4].

行列式有好几条性质, 其中四条性质为:

性质1:行列式与它的转置行列式相等.即|AT|=|A|.

从而, 行列式所有对行成立的性质对列也成立.

性质2:行列式的两行互换, 行列式的值变号.即

性质3:行列式某一行的公因子可以提到行列式记号外.即

性质4:将某一行的l倍加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变, 即

定义1:对于n阶方阵A, 如果存在n阶方阵B, 使得

AB=BA=I

那么矩阵A称为可逆矩阵, 而B称为A的逆矩阵.逆矩阵是唯一的.

定理1:n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的行列式|A|≠0.

定义2:以下三种变换叫矩阵的初等变换:

2.以一个非零常数乘以某一行 (列) ;kri (kci) k≠0

定义3:单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵.

初等矩阵有以下三种:

(1) 对I施以第1种初等变换得到1) 对I施以第1种初等变换得到

(2) 对I施以第2种初等变换得到

(3) 对I施以第3种初等变换得到

上述三类矩阵分别记作P (i, j) , 和P (i (k) ) 和P ( (ij (l) )

由行列式的性质可得初等矩阵 (1) P (i, j) , (2) P (i (k) ) , (3) P (ij (l) ) 的行列式分别为|P (i, j) |=-1, |P (i (k) ) |=k, |P (ij (l) ) |=1

初等矩阵是可逆的, 且逆矩阵仍为初等矩阵.

初等矩阵与初等变换的关系:

定理2:设Am×n= (aij) m×n

(1) 对A的行施以某种初等变换得到的矩阵, 等于用同种的m阶初等矩阵左乘A.

(2) 对A的列施以某种初等变换得到的矩阵, 等于用同种的n阶初等矩阵右乘A.

同理

可逆矩阵与初等矩阵的关系:

定理3:n阶矩阵A为可逆的充分必要条件为A可以表示为一些初等矩阵的乘积.

二、“|AB|=|A||B|”的三个例子

行列式的上述后三条性质, 对应着矩阵的三种初等变换, 也隐含着初等矩阵.

同理

行改为列后, 同样有

三、“|AB|=|A||B|”的证明

在证明之前, 我们先给出一个引理.

引理:当矩阵A为初等矩阵时, |AB|=|A||B|.

证明:从上述三个例子可得, 当初等变换为

时, 即当矩阵A分别为初等矩阵 (1) P (i, j) , (2) P (i (k) ) , (3) P (ij (l) ) 时,

由行列式的性质及|P (i, j) |=-1, |P (i (k) ) |=k, |P (ij (l) ) |=1

显然有

同样也有

推论1:对两个初等矩阵P1, P2, 有

推论2:对S个初等矩阵P1, P2…, Ps, 有

推论3:对S个初等矩阵P1, P2…, Ps及B, 有

下面我们给出证明.整个证明分成两部分:

(1) 当矩阵A为可逆矩阵时, “|AB|=|A||B|”的证明.

证明:当矩阵A为可逆矩阵, 由定理3, 则A=P1P2…Ps, 其中P1, P2…, Ps为初等矩阵, 由引理及推论3, 显然有

(2) 当矩阵A为不可逆矩阵时, “|AB|=|A||B|”的证明.

证明:当矩阵A为不可逆时, 矩阵A的行列式|A|=0,

并且AB也不可逆.所以AB的行列式|AB|=0从而“|AB|=|A||B|”也成立.

参考文献

[1]同济大学数学系编.线性代数第五版[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]吴赣昌主编.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社, 2006.

[3]居余马等编.线性代数[M].北京:清华大学出版社, 1995.