哈密顿系统

哈密顿系统（精选3篇）

哈密顿系统 篇1

利用临界点理论研究Hamilton系统的次调和解和周期解的存在性,一直是微分方程与差分方程定性理论中的热点问题[1—6],特别地,研究具变号位势的Hamilton系统的次调和解和周期解也是很重要的课题[1,4]。

1 主要结果

本文考虑二阶离散Hamilton系统

式(1)中xn∈RN,n∈Z,A(·)是负定的实对称矩阵函数,b(n)是变号的实函数。

主要结果为:

定理1N是给定的正整数,假设b(·),A(·)分别是周期为T(正整数)的实函数和实对称矩阵函数,b(·),A(·),V(·)≥0满足以下条件:

(B)存在n0∈Z(1,T)={1,2,…,T}使得

(A)存在a>0使得

则方程(1)至少有一个非平凡的T-周期解。

2 变分结构

对任意给定的正整数T,定义向量空间ET为

ET上的内积和范数分别定义为:

其中xn·yn(n∈Z)表示RN中的内积,·表示RTN中的范数。

在ET上定义泛函F为

易知x∈ET是F的临界点当且仅当x={xn}是式(1)的T周期解。

3 定理的证明

为给出定理1的证明,我们先给出几个引理。

引理1在定理1的假设条件下,泛函F满足P.S.条件。

证明由于ET同胚于RTN,为证明F满足P.S.条件,假设F(x(k))有界及F′(x(k))→0(k→∞),要证{x(k)}在ET存在收敛的子序列,我们只须证明‖x(k)‖有界。

F(x(k))有界蕴含存在C>0使得对任意k∈N有|F(x(k))|≤C。再由F′(x(k))→0(k→∞)知对充分大的k,存在充分小的ε>0使得

从而由条件(V3)和(A)有

定理1的证明显然F(0)=0。由引理1知P.S.条件成立,为利用山路引理来证明该定理,只须验证山路引理的两个条件。

从而存在常数σ>0使得

因此,由山路引理知定理1的结论成立。证毕。

4 实例

例对给定的正整数T=4,考虑差分方程

参考文献

[1]Antonacci F.Existence of periodic solutions of Hamiltonian systems with potential indefinite in sign.Nonlinear Analysis,1997;29:1353—1364

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[3]Zhou Z,Yu J S,Guo Z.M,et al.Periodic solutions of higher-dimen-sional discrete systems.Proceeding of the Royal Society of Edin-burgh.2004;134A:1013—1022

[4]Yu J S,Deng X Q,Guo Z M,et al.Periodic solutions of a discrete Hamiltonian system with a change of sign in the potential,Journal of Mathematical Analysis and Applications.2006;324:1140—1151

[5]Deng X Q.Periodic solutions for subquadratic discrete hamiltonian systems.Advances in difference Equations,2007,Article ID13916,(2007)16

[6]Rabinowitz P H.Minimax methods in critical point theory with appli-cations to differential equations.In:CBMS Regional Conference Series in Mathematics Vol.65.Providence,RI:American Mathematical So-ciety,1986

哈密顿系统 篇2

近几年来,各种类型的非完整控制系统在航空航天领域和机器人领域受到越来越多学者的关注。控制问题的相关难点与非完整系统特性及控制目的有关。文献[1]介绍了许多先进的非完整运动规划方法。Lafferriere等[2]在考虑幂零系统情况下,提出了使用分段定常输入的通用运动方法。Li等[3]使用标准路径研究了球面指端在物体上的运动。Brockett等[4]受典型系统最优控制的启发,采用了以频率表示的正弦信号作为输入来完成非完整运动控制系统的设计。航天器多体系统在忽略微弱的重力梯度力矩时,相对于质心的动量矩守恒使得系统成为非完整约束系统[1],其动力学方程是非线性微分方程组,求出其显式解非常困难,一般采用数值积分求其数值解。而且方程的积分要求满足始末两个状态的运动条件,属于解两点边值问题,此问题的求解非常困难。带有经典约束的未受控制的机械系统可以被写成与一般形式的泊松括号、约束状态空间及内部能量相关的哈密顿运动方程[5]。哈密顿控制系统通过哈密顿正则方程描述系统,它代表了普遍的物理意义。

本文研究了带非完整约束的哈密顿控制系统,并将其应用到了航天器多体系统的姿态控制中,避免了求解非线性方程组的边值问题,而且使得系统的运动控制更加容易从物理意义上进行解释。

1 非完整约束系统哈密顿系统

经典的带约束机械系统的Euler-Lagrange方程[6]为

其中,L为Lagrange函数,B(q)是控制输入u的系数矩阵,为表示列函数相似。这里约束力A(q)λ通过约束AT(q)q·=0确定。

通过Legendre变换,定义一般形式的哈密顿函数H(q,p)[7]为

把式(1)变换成其在切空间上的约束哈密顿方程[8]:

因为A(q)的秩为k,所以存在一个局部光滑的n×(n-k)矩阵S(q),其秩为(n-k),使得

现定义且

在新的坐标中,约束哈密顿方程(式(3))转换为

其中,i,j=1,2,…,n,{,}为正则泊松括号。

是哈密顿函数在新坐标中的表达式。现在截去泊松结构转换矩阵J的最后k列和k行,使得满足约束方程。根据文献[7],Euler-Lagrange方程(式(3))通过前乘矩阵ST(q)消去Lagrange乘子λ,在约束状态空间p)=0}上及新坐标(q,p)下,非完整约束多体系统的哈密顿形式的动力学方程[9]为

其中,Br(q)是秩为m=n-k的满秩矩阵;斜对称矩阵Jr为(2n-k)×(2n-k)维,有

其中,Si(q)表示S(q)的第i列,[Si,Sj]表示在q上的李括号运算,有

其中,为雅可比矩阵。

新的哈密顿函数Hr有如下形式:

其中,V(q)是势能函数;G(q)是新坐标下的广义质量矩阵,G(p)>0。

2 稳定性分析及控制律设计

注意到动力学方程(式(7))是能量守恒的。通过反对称矩阵Jr可以直接获得:

假定是哈密顿函数Hr的一个固定点,也就是因此是无控制(u=0)约束动力学系统的一个平衡点,即

如果Hr恰好有一个严格的最小值在点,在u=0时它符合式(11),是一个式(12)的Lyapunov稳定平衡点。另一方面,像一般哈密顿控制系统[10],式(11)提出了改良的稳定的光滑的状态反馈:

它导致了能量减小,即

注意到式(13)可以被写成u=-y,如果Hr在点上有一个严格的最小值,那么(q0,会至少存在一个Lyapunov稳定平衡点在式(7)、式(13)组成的闭环系统中。而且,轨迹符合与式(12)相关最大的不变量,设置约束

然而,通过文献[7]可以发现,式(7)不满足Brockett必需的条件,不能通过一个光滑的状态反馈渐近稳定,所以,最大不变量的设置应当总是大于单独的

如果Hr没有一个严格的最小值在点,那么在普通的哈密顿控制系统的例子[11]中,我们应尽量在处通过反馈内部能量Hr得到一个有严格最小值的函数:

必须现在考虑方程

对任意光滑函数对所有的q,我们可以定义一个光滑反馈控制输入,它通过式(17)解得。应用反馈控制是新的控制变量,会导致一个修正的系统(代替式(7)):

其中,这个结果从式(6)中Jr的特殊结构得来。如果存在一个函数在位置q0有一个严格的最小值,那么在(q0,0)会有一个严格的最小值,所以其附加的反馈控制为式(13),通过v代替u会使系统更加稳定。那么结果组合反馈为

u(q)通过式(17)解得。

文献[8]中对应的特殊例子Br(q)的秩为m=n-k。每一个函数可通过式(17)得出,所以势能能够形成任意形式。所以,式(16)中Hr通过式(19)中的反馈控制形式在点(q0,0)∈Xr处达到Lyapunov平衡。注意到,在式(15)中与式(12)最相关的不变量设置的约束为

符合式(6)中给出的Jr的形式,其中V+V代替V有一个严格的最小值在q0位置。类似的结果通过文献[8]获得(简化的Lagrange框架),本文的方法与其主要的不同是,Hr是在约束空间上表达的动力学直接内部能量形式,所以式(19)中u与普通控制力矩有不同的物理解释,也是基于约束上的反馈控制力矩。而且,与文献[8]中相反,我们考虑了任意Br和任意数目的控制的稳定性问题。

3 应用实例

以文献[1]中的通过铰接机械臂来控制姿态变化的平面型空间双臂机器人(图1)为例,通过以上理论方法分析通过空间机器人的机械手臂进行姿态调整的过程。

其中边界条件为q(0)=q0=(π/3,-π/6,π/4)和q(t)=qf=(0,0,0)。本体质量M=4kg,质点质量m=2kg,l=1.5m,r=1m,本体转动惯量I=4.2kg·m2

设θ为本体与水平线的夹角,ψ1和ψ2分别为左臂和右臂与本体之间的夹角,r(二维矢量)为本体上质心的位置。系统的动能为

注意系统的动能与变量θ无关。在无外力情况下,由Lagrange方程得

因此是与运动无关的常数,即系统的角动量μ为

假定初始角动量为零,根据式(4)得

因此,A(q)=(a13,a23,a33)T,总的能量为

根据式(5)得新的坐标为

根据式(7)得到新的坐标(ψ1,ψ2,θ)下的哈密顿动力学方程为

并且,那么反馈控制率为

假定初始条件为

ψ1、ψ2、θ轨迹最终稳定于ψ1=0、ψ2=0、θ=0处,如图2所示。

通过图2所示的空间机器人本体的姿态角的历程变化曲线图可以发现本体的姿态大约在第10s时达到期望值,说明通过非完整约束的哈密顿控制系统方法可以对航天器多体系统的动力学及姿态稳定控制进行分析,避免了对Euer-Lagrange方程中的λ求解及非线性动力学微分方程的两点边值问题,而且也验证了可以通过航天器的铰接附件对其姿态进行调整。

4 结束语

本文通过结合带经典约束的机械多体系统的动力学方程,研究了带非完整约束的哈密顿系统的动力学方程,并分析了其稳定性及控制律。哈密顿正则方程描述的哈密顿控制系统代表了普遍的物理意义。本文将该方法应用到了航天器多体系统的姿态稳定控制分析当中,并且避免了求解两点边值非常困难的问题。

参考文献

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[2]Lafferriere G,Sussmann H J.A Differential Geo-metric Approach to Motion Planning[C]//Nonholo-nomic Motion Planning.Dordrecht:Kluwer Academ-ic Publishers,1993:235-270.

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[4]Brockett R W,Dai L.Nonholonomic Kinematics andthe Role of Elliptic Functions in Constructive Con-trollability[C]//Nonholonomic Motion Planning,Kluwer.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1993:1-22.

[5]Anthony M.Bloch,Nonholonomic Dynamics[J].No-tices of the American Mathematical Society,2005,52:324-333.

[6]Bloch A M,Baillieul J,Crouch P E,et al.Nonholo-nomic Mechanics and Control[M].Berlin:Springer,2003.

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[8]Ortega R,Loria A,Nicklasson P J,et al.Passivity-based Control of Euler-Lagrange Systems[M].London:Springer-Verlag,1998.

[9]Maschke B M,van der Schaft A J.A HamiltonianApproach to Stabilization of Nonholonomic Mechan-ical Systems[C]//Proc.IEEE 33rd Conf.on Deci-sion and Control.Lake Buena Vista,1994:2950-2954.

[10]Ehlers K J,Koiller R.Montgomery,NonholonomicMechanics via Moving Frames:Cartan’s Equiva-lence and Hamiltonizable Chaplygin Systems[C]//Breadth of Symplectic and Poisson Geometry:Fest-schrift for Alan Weinstein.Boston:Birkhauser,2004:75-120.

哈密顿系统 篇3

哈密顿图问题于1858年由爱尔兰皇家科学院院长哈密顿题出。在我国，中科院系统所在哈密顿图方面硕果累累，因本文篇幅所限及本文主要概论“一般图”就不涉及。他们在“一般图”虽也得到若干工作，但他们的工作主要还是在无爪图、正则图、坚韧图等“特殊图”方面。

1.1 哈密顿圈

1931年Wolf奖获得者、哈佛大学Whitney院士得到:“4连通平面三角剖分图有哈密顿圈”，1952年伦敦大学Dirac得到哈密顿圈的度条件，1960年耶鲁大学Ore院士推广Dirac条件，1972年Wolf奖得主Erd.o.s和Chvátal研究它的独立数和连通度关系，1976年Bondy等建立闭包运算关系，1984年范更华创立范条件，1996年Chen、Egawa等推广上面相关条件。

2007年，赵克文和美国西弗吉尼亚大学研究生院赖院长等在美国《应用数学快报》得到推广除闭包运算外的上面所有条件如下:

k连通n阶图G的任一含满足1≤|N(x)∩N(y)|≤α-1的两点x,y的k个独立点组成的点集S，若有max{d(v):v∈S}≥n/2,则G是哈密顿图。

在邻域并方面，1986年巴黎十一大学Fraisse教授得到条件|N(S)|≥k(n-1)/(k+1)，1989年美国孟菲斯大学校长Faudree等得到它的条件NC≥(2n-2)/3,1991年Bauer、范更华教授等进一步得到NC≥(2n-3)/3。1994年宋增民和张克民教授再推广上面条件。

现在，赵克文和美国第九名大学-Emory大学学术委员会主席Gould改进上面邻域并方面的所有条件为:

G是独立数为a的k连通n≥3阶图，对图G的任一含距离是2的两点的恰有k+1的点的独立点集S，若满足下列条件之一，则G是哈密顿图。

(i)存在u,v∈S,使d(u)+d(v)≥n或|N(u)∩N(v)|≥a;

(ii)对S中任意两点u,v,均有|N(u)∪N(v)|≥n-△(S)(已投SCI期刊《离散数学》)

赵克文和Gould教授2006年发表在SCI核心杂志Arkiv Mate的论文也得到一个极限条件

最近，赵克文、赖宏建教授等合作的更深刻的两篇论文均已被北美SCI杂志Ars Combin.接受

1.2 哈密尔顿连通性

1963 Ore得到若d(x)+d(y)≥n+1则是哈密顿连通图，1989年Faudree等研究NC≥(2n-1)/3的哈密顿连通性，1993年卫兵研究d(u)+d(v)+d(w)-|N(u)∩N(v)∩N(w)|≥n+1的哈密尔顿连通性。

最近，赵克文这方面的度型条件和邻域并型条件的最新进展的几篇论文已分别被SCI杂志Comput.Math.Appl.和美国Missouri J.Math.Sci.以及台湾Soochow J.Math.及J.Sci.Tech.接受或发表。

1.3 泛圈性

1971年Bondy得到若d(u)+d(v)≥n，则图是泛圈图或Kn/2,n/2。

1991年，赵克文投稿但被退回的论文的论文已做距离是2的邻域并条件NC≥n-δ的δ=3、4、…等的全部情况，得到和上面Bondy的结论:“泛圈图或Kn/2,n/2”完全一致的结果。

而柳林教授和尚增科教授其后才做δ=3,2003年李明芳和徐三星教授才做δ=4。

1991年Faudree校长等也得到条件NC≥(2n+5)/3。

最近，赵克文得到大大改进上面Faudree校长等条件的NC≥(n-3)/3(n≥10)，并也解决3≤n≤9的情况(已被瑞典皇家科学院1903年创刊SCI核心杂志Arkiv Mate评价为非常重要和非常有兴趣)。

1.4 点泛圈性

1995年，赵克文在澳大利亚组合数学杂志得到点泛圈图的条件NC≥n-δ+1，证明Faudree等人的猜想。其后，1996年左右赵克文独立完成距离是2的NC≥n-δ的δ=3、4、…等的全部情况。而王建中和储茂权教授只做δ=4，王殿军和李光春教授才做δ=5。

1.5 泛连通性

1974年Faudree和Schelp研究d(x)+d(y)≥n+1的泛连通性，1977年Williamson得到d(x)+d(y)≥(3n-2)/2的泛连通性，1984年美国北Dakota大学博士蔡小涛在《中国科学》发表“论Ore图的泛连通性”一文推广上面所有结果，但因蔡小涛的此证明长达十页，而且他的方法不能解决的部分，他另借用Harary的《图论》一书近九页图解才解决。

因此，赵克文2001年在《南开大学学报》仅用一页半且没有引用结果的情况下就给出蔡小涛的结果的一个简单证明。

1998年左右赵克文也独立完成泛连通图的距离是2的NC≥n-δ的δ=3、4、…等的全部情况，国际SCI杂志《图论和组合》评价为非常有兴趣。

1.6 最近赵克文等也得到最长圈、迹、齐次可迹以及无爪图的一些结果。因篇幅所限待另述。

2 组合矩阵论

同济大学、中科大、上海交大等三个大学校长院长合作的获得教育部科技进步一等奖时，他们在我国最权威的《中国科学》的全部两篇均用十页证明的论文，赵克文只用一页左右且没有引用结果就分别在《自然杂志》和《应用数学》解决。他们在本领域国外最权威的《LAA》的几篇，赵克文也在《纯粹数学与应用数学》等给出简单的证明，得到万哲先院士在欧洲《数学文摘》高度评价及张景中院士等评为有重要意义等。

3 极值集合论

Sperner是世界著名数学家，Sperner定理是一个世界著名定理

下面是赵克文独立得到的定理:设S是n元集合，S1,S2…Sk为S的一个k分划，F是S的子集系，使得没有A,B∈F，存在k分划中两个Si,Sj有A∩Si=B∩Si和A∩SjB∩Sj，而对其余的Sr(r=3,4,…k,和r≠i,j)有A∩SrB∩Sr，则|F|≤(n[n/2])。

证明:记S1=S1,S2=∑i=2k∪Si。则S1,S2是二分划。断言:没有A,B∈F，满足定理3的条件。

否则若有A∩S1=B∩S1,A∩S2 B∩S2，则至少存在一个Sj(j=2,3,…k)使A∩SjB∩Sj，而其余Si(2≤i≠j≤k)均有A∩SiB∩Si，这与定理条件矛盾。若有A∩S1B∩S1,A∩S2=B∩S2，即有A∩Si=B∩Si(i=2,3,…k)，也与定理条件矛盾。即断言正确，由Kleitman-Katona定理，有|F|≤(n[n/2])。

推论：设S是n元集合，S1,S2,…,Sk是S的k分划，F是S的子集系，使得没有A,B∈F满足:存在某个Si有A∩Si=B∩Si，而对所有Sj(j≠i)有A∩SjB∩Sj，则|F|≤(n[n/2])。

证明:没有A,B∈F满足推论条件，则显然也没有A,B∈F满足定理的条件，从而由定理得证。

(注:关于上面三个(n[n/2])的刮号里的n要放在[n/2]的正上方。但我的计算机上无法显示正确位置，请原谅)

4 琼州大学部分核心科研工作概况

2005年底，琼大被教育部批准为本科大学，至此，琼南地区结束了没有普通本科大学的历史。

正如香港学术评审局审批仁树学院升本科的总结：“学院整体上已建立适当的学术环境，值得授予大学资格”。

2005年底，赵克文发表论文一百篇，其中第一作者核心期刊论文60多篇，是海南省发表第一作者核心论文最多的专家。特别是，“哈密顿图”非常不容易，近几年招图论博士生的哈密顿图专家除了获得国家自然科学二等奖的范教授被美国《数学评论》收录的36篇，中国组合数学与图论学会某副理事长24篇，其他博士导师的论文都不到20篇。

在琼州大学被教育部批准筹备本科大学前，赵克文在哈工大学报、吉林大学学报和南开大学学报的论文6篇，还在其它重点大学学报发表第一作者论文10篇，而全校其它老师在重点大学学报一共才6篇，中文系发表在《东北师大学报》的是这6篇中最高的但仍是当时第六十名大学的;而我的前面6篇就是前十五名大学的。如此琼州大学建校至今仅获得三项省部级及其以上的科技奖中的其中两项排名较前的是赵克文为第一完成人的。

琼州大学2005年底升本科前全校仅数学系有省级学科省级课程，而数学十篇SCI、EI论文全是赵克文的。此外，海南省迄今为止在“影响因子”排名在我国综合权威期刊前2名的《中国工程科学》至今仅有的3篇论文中，除了黄宗道院士的1篇，另2篇都是赵克文的。

如此，赵克文成为海南第一个美国《数学评论》的评论员时，被美国《数学评论》收录的论文是海南第一个突破30篇的。如此，成为海南首位中国工业与应用数学学会理事，海南首位国外著名大学博士学位论文评审专家，海南首位美国科学促进协会会员，海南首位美国《数学评论》评论员，海南首位国外SCI专业杂志和首位国内最权威的《中国科学》特邀审稿人，海南首位入选世界最权威的Marquis名人录的人。现任《国际计算与应用数学杂志》主编，是琼州大学唯一一个70岁以下的海南省突出贡献专家称号获得者。

5 琼南地区科学事业展望

自从2002年琼大筹备本科大学后，已有很多老师得读博硕士学位，很多教师也得到国内外权威机构进修的机会，许多科研机构也已接近或达到国内外先进水平。如由4家科研事业单位于2005年3月合并组建的“三亚市南繁科学技术研究院”，在组建前只有5篇国内杂志论文，组建后的2005年和2006年却共发表了15篇论文。又如物理系康小平教授在2005年第升本科前已来学校十年但仅有7篇省级以上论文，2002年筹备本科前甚至仅有伊犁师院,海南师院和西北师院三篇。而如今，琼南科学已逐渐跨进国际化的新时代。

摘要：哈密顿图问题是图论的三大难题之一。“哈密顿圈及圈覆盖理论”又是2005年国家自然科学奖的38个获奖项目之一,其获奖的关键成果和各国已载入史册的Dirac条件、Ore条件、Chvátal-Erdos条件等均是里程碑性结果,它们全是“一般图”领域的工作。我国首届哈密顿图研讨会综述文章说“要给出一般图具有哈密顿圈的充分条件是一件非常不容易的事”。因此,本文概论世界各国和琼州大学在核心的“一般图”的国际最前沿工作。

关键词：哈密顿图,一般图,海南省

参考文献

[1]Bondy J A,Murty U S R.Graph Theory with Appli-cations[M].London:The Macmillan Press Ltd,1976.

[2]Gould R J..Updating the Hamiltonian problem—A survey[J],J.Graph Theory,1991,(15).

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