哈密顿方程（精选3篇）
哈密顿方程 篇1
0 引言
近几年来,各种类型的非完整控制系统在航空航天领域和机器人领域受到越来越多学者的关注。控制问题的相关难点与非完整系统特性及控制目的有关。文献[1]介绍了许多先进的非完整运动规划方法。Lafferriere等[2]在考虑幂零系统情况下,提出了使用分段定常输入的通用运动方法。Li等[3]使用标准路径研究了球面指端在物体上的运动。Brockett等[4]受典型系统最优控制的启发,采用了以频率表示的正弦信号作为输入来完成非完整运动控制系统的设计。航天器多体系统在忽略微弱的重力梯度力矩时,相对于质心的动量矩守恒使得系统成为非完整约束系统[1],其动力学方程是非线性微分方程组,求出其显式解非常困难,一般采用数值积分求其数值解。而且方程的积分要求满足始末两个状态的运动条件,属于解两点边值问题,此问题的求解非常困难。带有经典约束的未受控制的机械系统可以被写成与一般形式的泊松括号、约束状态空间及内部能量相关的哈密顿运动方程[5]。哈密顿控制系统通过哈密顿正则方程描述系统,它代表了普遍的物理意义。
本文研究了带非完整约束的哈密顿控制系统,并将其应用到了航天器多体系统的姿态控制中,避免了求解非线性方程组的边值问题,而且使得系统的运动控制更加容易从物理意义上进行解释。
1 非完整约束系统哈密顿系统
经典的带约束机械系统的Euler-Lagrange方程[6]为
其中,L为Lagrange函数,B(q)是控制输入u的系数矩阵,为表示列函数相似。这里约束力A(q)λ通过约束AT(q)q·=0确定。
通过Legendre变换,定义一般形式的哈密顿函数H(q,p)[7]为
把式(1)变换成其在切空间上的约束哈密顿方程[8]:
因为A(q)的秩为k,所以存在一个局部光滑的n×(n-k)矩阵S(q),其秩为(n-k),使得
现定义且
在新的坐标中,约束哈密顿方程(式(3))转换为
其中,i,j=1,2,…,n,{,}为正则泊松括号。
是哈密顿函数在新坐标中的表达式。现在截去泊松结构转换矩阵J的最后k列和k行,使得满足约束方程。根据文献[7],Euler-Lagrange方程(式(3))通过前乘矩阵ST(q)消去Lagrange乘子λ,在约束状态空间p)=0}上及新坐标(q,p)下,非完整约束多体系统的哈密顿形式的动力学方程[9]为
其中,Br(q)是秩为m=n-k的满秩矩阵;斜对称矩阵Jr为(2n-k)×(2n-k)维,有
其中,Si(q)表示S(q)的第i列,[Si,Sj]表示在q上的李括号运算,有
其中,为雅可比矩阵。
新的哈密顿函数Hr有如下形式:
其中,V(q)是势能函数;G(q)是新坐标下的广义质量矩阵,G(p)>0。
2 稳定性分析及控制律设计
注意到动力学方程(式(7))是能量守恒的。通过反对称矩阵Jr可以直接获得:
假定是哈密顿函数Hr的一个固定点,也就是因此是无控制(u=0)约束动力学系统的一个平衡点,即
如果Hr恰好有一个严格的最小值在点,在u=0时它符合式(11),是一个式(12)的Lyapunov稳定平衡点。另一方面,像一般哈密顿控制系统[10],式(11)提出了改良的稳定的光滑的状态反馈:
它导致了能量减小,即
注意到式(13)可以被写成u=-y,如果Hr在点上有一个严格的最小值,那么(q0,会至少存在一个Lyapunov稳定平衡点在式(7)、式(13)组成的闭环系统中。而且,轨迹符合与式(12)相关最大的不变量,设置约束
然而,通过文献[7]可以发现,式(7)不满足Brockett必需的条件,不能通过一个光滑的状态反馈渐近稳定,所以,最大不变量的设置应当总是大于单独的
如果Hr没有一个严格的最小值在点,那么在普通的哈密顿控制系统的例子[11]中,我们应尽量在处通过反馈内部能量Hr得到一个有严格最小值的函数:
必须现在考虑方程
对任意光滑函数对所有的q,我们可以定义一个光滑反馈控制输入,它通过式(17)解得。应用反馈控制是新的控制变量,会导致一个修正的系统(代替式(7)):
其中,这个结果从式(6)中Jr的特殊结构得来。如果存在一个函数在位置q0有一个严格的最小值,那么在(q0,0)会有一个严格的最小值,所以其附加的反馈控制为式(13),通过v代替u会使系统更加稳定。那么结果组合反馈为
u(q)通过式(17)解得。
文献[8]中对应的特殊例子Br(q)的秩为m=n-k。每一个函数可通过式(17)得出,所以势能能够形成任意形式。所以,式(16)中Hr通过式(19)中的反馈控制形式在点(q0,0)∈Xr处达到Lyapunov平衡。注意到,在式(15)中与式(12)最相关的不变量设置的约束为
符合式(6)中给出的Jr的形式,其中V+V代替V有一个严格的最小值在q0位置。类似的结果通过文献[8]获得(简化的Lagrange框架),本文的方法与其主要的不同是,Hr是在约束空间上表达的动力学直接内部能量形式,所以式(19)中u与普通控制力矩有不同的物理解释,也是基于约束上的反馈控制力矩。而且,与文献[8]中相反,我们考虑了任意Br和任意数目的控制的稳定性问题。
3 应用实例
以文献[1]中的通过铰接机械臂来控制姿态变化的平面型空间双臂机器人(图1)为例,通过以上理论方法分析通过空间机器人的机械手臂进行姿态调整的过程。
其中边界条件为q(0)=q0=(π/3,-π/6,π/4)和q(t)=qf=(0,0,0)。本体质量M=4kg,质点质量m=2kg,l=1.5m,r=1m,本体转动惯量I=4.2kg·m2
设θ为本体与水平线的夹角,ψ1和ψ2分别为左臂和右臂与本体之间的夹角,r(二维矢量)为本体上质心的位置。系统的动能为
注意系统的动能与变量θ无关。在无外力情况下,由Lagrange方程得
因此是与运动无关的常数,即系统的角动量μ为
假定初始角动量为零,根据式(4)得
因此,A(q)=(a13,a23,a33)T,总的能量为
根据式(5)得新的坐标为
根据式(7)得到新的坐标(ψ1,ψ2,θ)下的哈密顿动力学方程为
并且,那么反馈控制率为
假定初始条件为
ψ1、ψ2、θ轨迹最终稳定于ψ1=0、ψ2=0、θ=0处,如图2所示。
通过图2所示的空间机器人本体的姿态角的历程变化曲线图可以发现本体的姿态大约在第10s时达到期望值,说明通过非完整约束的哈密顿控制系统方法可以对航天器多体系统的动力学及姿态稳定控制进行分析,避免了对Euer-Lagrange方程中的λ求解及非线性动力学微分方程的两点边值问题,而且也验证了可以通过航天器的铰接附件对其姿态进行调整。
4 结束语
本文通过结合带经典约束的机械多体系统的动力学方程,研究了带非完整约束的哈密顿系统的动力学方程,并分析了其稳定性及控制律。哈密顿正则方程描述的哈密顿控制系统代表了普遍的物理意义。本文将该方法应用到了航天器多体系统的姿态稳定控制分析当中,并且避免了求解两点边值非常困难的问题。
参考文献
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[4]Brockett R W,Dai L.Nonholonomic Kinematics andthe Role of Elliptic Functions in Constructive Con-trollability[C]//Nonholonomic Motion Planning,Kluwer.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1993:1-22.
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[6]Bloch A M,Baillieul J,Crouch P E,et al.Nonholo-nomic Mechanics and Control[M].Berlin:Springer,2003.
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[9]Maschke B M,van der Schaft A J.A HamiltonianApproach to Stabilization of Nonholonomic Mechan-ical Systems[C]//Proc.IEEE 33rd Conf.on Deci-sion and Control.Lake Buena Vista,1994:2950-2954.
[10]Ehlers K J,Koiller R.Montgomery,NonholonomicMechanics via Moving Frames:Cartan’s Equiva-lence and Hamiltonizable Chaplygin Systems[C]//Breadth of Symplectic and Poisson Geometry:Fest-schrift for Alan Weinstein.Boston:Birkhauser,2004:75-120.
[11]Bloch A M,Chang D,Marsden J E,et al.Con-trolled Lagrangians and the Stabilization of Me-chanical SystemsⅡ:Potential Shaping[J].IEEETransactions on Automatics Control,2001,46(10):1556-1571.
组合型哈密顿圈 篇2
关键词：哈密顿圈,马步哈密顿圈,组合,递归,回溯
1 双拼组合型
1.1 设计要点
设一个起点为 (1, 1) 的n行m列马步遍历路径的终点为 (2, 2) 或 (3, 1) , 则可按图1的形式横向双拼组合为一个n行2m列的组合哈密顿圈。
注意遍历B为原遍历A的“列倒置”形式, A的终点 (2, 2) 或 (3, 1) 可以与B的起点构成“日”形关系;而B的终点又可以与A的起点构成“日”形关系, 如图1中的实线箭头或虚线箭头所示, 因而形成为一个n行2m列的双拼哈密顿圈。
既然是一个圈, 无所谓起点与终点。为方便查阅, 习惯把棋盘的左上角置“1”。
注意到B是原遍历A的列倒置, 组合后的棋盘左上角实为遍历A的 (1, m) 上的元素chessb (1, m) 。因而设diff=chessb (1, m) -1, 棋盘上的每一项均减去diff, 这样使得棋盘左上角置“1”。同时, 原遍历A的所有元素需加上mn, 而B中出现的所有非正项均需加上2mn。
设原遍历应用递归求解, 在递归求解马步遍历设计基础上, 把起点 (即入口) 改为 (1, 1) , 终点 (即出口) 改为 (2, 2) 或 (3, 1) 。当找到一个解后, 即返回主程序, 输出把棋盘的左上角置“1”的n行2m列的双拼组合哈密顿圈。
1.2 程序设计
1.3 程序运行示例
组合元素为n行m列, 请确定n和m (空格分隔) :7 5
一个7行10列组合型哈密顿圈:
查看以上双拼组合的7行10列组合型哈密顿圈, 其结合部从“29”到“30”实现由B到A的跨越, 从“64”到“65”实现由A到B的返回。终点“70”与左上角“1”形成“日”形, 构成哈密顿圈。
把马步路径递归函数中的遍历终点改为 (3, 1) , 可探求新的双拼组合。
如果原遍历起点为 (1, 1) , 终点为 (2, 2) 或 (1, 3) , 可纵向双拼组合哈密顿圈, 具体列举从略。
2 环绕组合型
2.1 组合要点
如果n行m列原遍历A起点为 (1, 1) , 终点为 (2, 2) , 可按图2构造模式组合为环绕哈密顿圈。
由图2可知, A的终点与A的行倒置遍历B的起点构成“日”形, 而B的终点与A的行列倒置遍历C的起点构成“日”形, 而C的终点与A的列倒置遍历D起点构成“日”形, 最后D的终点与A的起点构成“日”形, 因而形成一个2n行2m列封闭的环绕哈密顿圈。
同样为方便查阅, 把棋盘的左上角置“1”标准化。
注意到组合后的棋盘左上角实为原遍历A的 (n, m) 位置上的元素chessb (n, m) , 因而可设diff=chessb (n, m) -1, 棋盘上的每一项均减去diff, 这样左上角置“1”。同时, 遍历D的所有元素需加上mn, 遍历A的所有元素需加上2mn, 遍历B的所有元素需加上3mn, 而C中出现的所有非正项需加上4mn。
原遍历探求的递归函数tour (step, cur_x, cur_y) 同上, 在递归求解遍历基础上, 把起点定为 (1, 1) , 终点定为 (2, 2) 。找到一个解后, 返回主程序后, 即按上述把棋盘的左上角置“1”标准化输出2n行2m列组合环绕哈密顿圈。
2.2 程序设计
2.3 程序运行示例
组合元素为n行m列, 请确定n和m (空格分隔) :5 5
一个10行10列组合型哈密顿圈:
顺便指出, 应用起点为 (1, 1) , 终点为 (1, 3) 或 (3, 1) 的n=m的遍历, 可通过旋转方式组合为另外形式的环绕组合哈密顿圈。
3 连排环绕组合型
3.1 组合要点
设原n行m列遍历A起点为 (1, 1) , 终点为 (2, m-1) 。
连排环绕组合的特点为:下排B, C为原遍历A的顺排 (行、列都与A相同) ;上排F、E、D都是为A行列倒置遍历。
(1) 下排中, 各遍历的终点 (2, m-1) 可与右边遍历的起点 (1, 1) 形成“日”形衔接。
(2) 下排最后一个的终点 (2, m-1) 与上面的行列倒置遍历的起点形成“日”形衔接。
(3) 上排中, 各遍历的终点 (2, m-1) 可与左边遍历的起点形成“日”形衔接。
(4) 上排最后一个的终点 (2, m-1) 与下面的原遍历的起点形成“日”形衔接。
如图3所示, 构成连排环绕组合环绕哈密顿圈。图3中每一横排为3个遍历, 实际上每一横排可连排任意多个遍历。
同样为方便查阅, 把棋盘的左上角置“1”标准化, 需灵活的设计技巧。
注意到组合后的左上角实为A元素chessb (n, m) , 因而可设diff=chessb (n, m) -1, 棋盘上的每一项均减去diff, 这样左上角置“1”。
同时, 下排从左至右各遍历的所有元素需分别加上mn、2mn、3mn;而上排 (除左上角遍历外) 从右至左各遍历的所有元素需分别加上4mn、5mn。
最后, 棋盘的左上角遍历中出现的所有非正项需加上6mn。
原遍历应用回溯求解, 在回溯求解遍历 (见探索之3) 基础上, 把入口改为 (1, 1) , 终点改为 (2, m-1) 。找到一个解, 即按左上角置“1”标准化输出连排环绕组合哈密顿圈。
程序中, 连排遍历个数设计为一般w个 (w从键盘输入) , 这样构建一个2n行wm列的连排环绕组合哈密顿圈。从回溯求解遍历的时间考虑, 棋盘参数m, n不宜太大, 而参数w未受限制, 这样得到的非常宏大的连排环绕组合哈密顿圈。
3.2 程序设计
3.3 程序运行示例
棋盘为n行m列, 请输入n和m (空格分隔) :7 5
连排有w个遍历, 请确定w:3
一个14行15列组合型哈密顿圈:
请观察以上哈密顿圈中起点“1”与终点“210”的衔接, 各组成遍历之间的衔接:
参考文献
[1]任文岚, 李蔚, 朱玉龙.用勾连法解决8m×8n棋盘上的马周游闭路问题[J].小型微型计算机系统, 1999, (03) .
哈密顿方程 篇3
利用临界点理论研究Hamilton系统的次调和解和周期解的存在性,一直是微分方程与差分方程定性理论中的热点问题[1—6],特别地,研究具变号位势的Hamilton系统的次调和解和周期解也是很重要的课题[1,4]。
1 主要结果
本文考虑二阶离散Hamilton系统
式(1)中xn∈RN,n∈Z,A(·)是负定的实对称矩阵函数,b(n)是变号的实函数。
主要结果为:
定理1N是给定的正整数,假设b(·),A(·)分别是周期为T(正整数)的实函数和实对称矩阵函数,b(·),A(·),V(·)≥0满足以下条件:
(B)存在n0∈Z(1,T)={1,2,…,T}使得
(A)存在a>0使得
则方程(1)至少有一个非平凡的T-周期解。
2 变分结构
对任意给定的正整数T,定义向量空间ET为
ET上的内积和范数分别定义为:
其中xn·yn(n∈Z)表示RN中的内积,·表示RTN中的范数。
在ET上定义泛函F为
易知x∈ET是F的临界点当且仅当x={xn}是式(1)的T周期解。
3 定理的证明
为给出定理1的证明,我们先给出几个引理。
引理1在定理1的假设条件下,泛函F满足P.S.条件。
证明由于ET同胚于RTN,为证明F满足P.S.条件,假设F(x(k))有界及F′(x(k))→0(k→∞),要证{x(k)}在ET存在收敛的子序列,我们只须证明‖x(k)‖有界。
F(x(k))有界蕴含存在C>0使得对任意k∈N有|F(x(k))|≤C。再由F′(x(k))→0(k→∞)知对充分大的k,存在充分小的ε>0使得
从而由条件(V3)和(A)有
定理1的证明显然F(0)=0。由引理1知P.S.条件成立,为利用山路引理来证明该定理,只须验证山路引理的两个条件。
从而存在常数σ>0使得
因此,由山路引理知定理1的结论成立。证毕。
4 实例
例对给定的正整数T=4,考虑差分方程
参考文献
[1]Antonacci F.Existence of periodic solutions of Hamiltonian systems with potential indefinite in sign.Nonlinear Analysis,1997;29:1353—1364
[2]Guo Z M,Yu J S.Existence of periodic and subharmonic solutions for second-order superlinear difference equations.Science in China(Series A).2003;46:506—515
[3]Zhou Z,Yu J S,Guo Z.M,et al.Periodic solutions of higher-dimen-sional discrete systems.Proceeding of the Royal Society of Edin-burgh.2004;134A:1013—1022
[4]Yu J S,Deng X Q,Guo Z M,et al.Periodic solutions of a discrete Hamiltonian system with a change of sign in the potential,Journal of Mathematical Analysis and Applications.2006;324:1140—1151
[5]Deng X Q.Periodic solutions for subquadratic discrete hamiltonian systems.Advances in difference Equations,2007,Article ID13916,(2007)16