多项式预处理论文

2024-06-07

多项式预处理论文（精选7篇）

多项式预处理论文篇1

Krylov子空间方法[1],是求解大型稀疏线性方程组

Ax=b (1.1)

的主流方法,其中A∈Rn×n是非奇异的,x,b∈Rn。执行该方法产生近似解序列{xi}满足

xi=x0+qi-1(A)r0; i=1,2,…

其中x0是初始估计,qi-1(z)为一次数小于或者等于i-1的多项式。等价地:

ri=pi(A)r0; i=1,2,…。

其中ri=b-Axi为残量序列,pi(z)=1-zqi-1(z)为残量多项式,满足pi(0)=1。选取pi(z)使得

$∥ r_{i} ∥_{2} = ∥ p_{i} (A) r_{0} ∥_{2} = \min_{\deg [p (x)] \leq i, p (0) = 1} ∥ p (A) r_{0} ∥_{2}$ 。

定义了极小残量法(MR)。MR方法的最佳算法是GMRES算法[2],为加快整体GMRES收敛,执行GMRES算法m步后以所得的近似解xm为初始估计,重新开始执行GMRES算法m步,记为GMRES(m)算法:

rsm=ps,m(A)r(s-1)m (s=1,2,…)。

其中rsm第s次循环所得的残量,ps,m(z)是相应的残量多项式。最近,文献[3]指出GMRES(m)产生的残量多项式的积πs,m(z)=p1,m(z)p2,m(z)…ps,m(z)在矩阵A的谱上处于整体下降:

$\forall λ \in σ (A) | π_{s, m} (λ) | < 1 (2)$

式(2)中σ(A)是A的谱,并以此定义了积混合GMRES算法(PHGMRES(s,m))。

现利用积多项式这一性质提出一种新算法,称为右端多项式预处理GMRES算法。并证明在一定条件下,新算法具有很好收敛效果并给出数值例子。

1 右端多项式预处理GMRES算法

利用Krylov子空间方法求解(1.1)的等价变形AM-1Mx=b,称之为右端预处理Krylov子空间方法[4]。右端积多项式预处理GMRES算法,即给出一种选取预处理矩阵M-1的方法,然后使用GMRES算法求解预处理后的方程组。介绍M-1的选取方法之前先给出下述定理。

定理1[5] 设式(1)中A是可对角化的且其谱分解为 Z-1AZ≡diag(λ1,λ2,…,λn),其中A的特征值λ1,λ2,…,λn是实的且都是正的。不妨设λ1≤λ2≤…≤λn,则从初始估计x0开始,对方程组(1)执行GMRES算法至m步,有

$∥ r_{m} ∥ / ∥ r_{0} ∥ \leq 2 ∥ Ζ ∥ ∥ Ζ^{- 1} ∥ [1 - 2 / (\sqrt{κ (A)} + 1)]^{m}$ ,

其中 $κ (A) = \frac{λ_{n}}{λ_{1}}$ 是A的条件数。

该定理表明,要加快右端多项式预处理GMRES算法收敛,选取的矩阵M-1要使得κ(AM-1)充分接近于1,下面给出M-1的具体表达式。

由积多项式的定义可知:

下面的定理揭示了如上选取M-1的意义。

定理2 设式(1)中A是可对角化且其特征值λ1,λ2,…,λn都是实的。若 $| π_{s, m} (λ_{i}) | \leq τ < 1 i = 1, 2, \dots, n$ ,则有

$0 \leq \frac{(1 - τ)}{(1 + τ)} \leq \frac{λ_{\max} (A Μ^{- 1})}{λ_{\min} (A Μ^{- 1})} \leq \frac{(1 + τ)}{(1 - τ)}$ 。

其中M-1如前所述,λmax(AM-1)和λmin(AM-1)分别对应矩阵AM-1的最大特征值和最小特征值。

证明由于AM-1=In-πs,m(A),而A是可对角化的,则AM-1也是可对角化的。记矩阵A的任一特征值为λi,则AM-1的特征值为1-πs,m(λi)。又因为 $| π_{s, m} (λ_{i}) | \leq τ < 1$ 且πs,m(λi)是实的,则AM-1的特征值满足:

0≤1-τ≤1-πs,m(λi)≤1+τ。

于是:

0≤1-τ≤λmin(AM-1)≤1+τ,

0≤1-τ≤λmax(AM-1)≤1+τ

从而

$0 \leq \frac{(1 - τ)}{(1 + τ)} \leq \frac{λ_{\max} (A Μ^{- 1})}{λ_{\min} (A Μ^{- 1})} \leq \frac{(1 + τ)}{(1 - τ)}$ 。

由文献[3]可知适当选取πs,m(λ)可使其在矩阵A的谱上处于整体下降,即使得τ很小。由于矩阵条件数是大于等于1的,根据定理2,若τ足够小,AM-1的条件数将会接近于1,这样由定理2.1可知对预处理后的方程组执行GMRES算法将会得到很好的收敛效果。

算法1 右端多项式预处理GMRES算法GMRES-PP(s,m,k)(GMRES-ProductPolynomial(s,m,k)。

(1)开始:选取x0和m。定义 $\bar{Η}_{m} \in R^{(m + 1) \times m}$ 并且初始化其所有元素hi,j为0。

(2)计算积多项式:对方程组式(1)以x0为初始估计,执行GMRES(k)算法s次,得到近似解x(s-1)k和残量多项式序列 ${p_{l, k} (z)}_{l = 1}^{s}$ ,令x0=x(s-1)k。

(3)Arnoldi过程:

计算 $r_{0} = b - A x_{0} ‚ β = r_{0}_{2} ‚ v_{1} = r_{0} / β$

对j=1,2,…,m, 做计算zj=M-1vj,计算w=Azj。

对i=1,2,…,j, 计算 ${\begin{cases} h_{i, j} = (w, v_{i}), \\ w = w - h_{i, j} v_{i} 。 \end{cases}$

计算 $h_{j + 1, j} = w_{2} ‚ v_{j + 1} = w / h_{j + 1, j}$ ,

定义矩阵Zm=[z1,z2,…,zm]。

(4)形成近似解:计算xm=x0+Zmym,其中 $y_{m} = \arg \min_{y} β e_{1} - \bar{Η}_{m} y ‚ e_{1} = \underset{n}{[1, 0, \dots, 0]}^{Τ}$ 。

(5) 重新开始:若 $b - A x_{m}_{2} \leq ε$ ,其中ε是预先给定的误差限,则停止迭代;否则令x0=xm,回到第3步。

2 数值例子

例1 考虑大型矩阵

其中右端项 $b = \underset{n}{[1, 1, \dots, 1]}^{Τ}$ ,初始估计x0为零向量。从图1中看到虽然积混合GMRES算法PHGMRES(2,15)刚开始呈收敛趋势,但最终和PHGMRES(5,15)算法一样都发散了。由于新算法GMRES-PP(2,15,15)保证了残量范数在预处理的Krylov子空间上是最小的,所以较之积混合GMRES算法要安全得多。

参考文献

[1]Saad Y,Van der Vorst HA.Iterative solution of linear systems in the 20thcentury.J Comput Appl Math,2000;(123):1—33

[2]Saad Y,Schultz MH.GMRES:Ageneralized minimal residual algo-rithm for solving nonsymmetric linear systems.SIAM J Sci Statist Comput,1986;(7):856—869

[3]Zhong Baojiang.A product hybrid GMRES algorithm for nonsymmet-ric systems.J Comput Math,2005;(23):83—92

[4]Saad Y.A flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm.SI-AMJ Sci Comput,1993;(14):461—469

[5]Morgan R B.A restarted GMRES method augmented with eigenvec-tors.SIAMJ Matrix Anal Appl,1995;(16):1112—1135

多项式预处理论文篇2

【教学目标】：

知识与技能：理解并掌握多项式乘以多项式的法则.过程与方法：经历探索多项式与多项式相乘的过程，通过导图，理解多项与多项式的结果，能够按多项式乘法步骤进行简单的多项式乘法的运算，达到熟练进行多项式的乘法运算的目的.情感与态度：培养数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态度.【教学重点】：多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用【教学难点】：多项式乘以多项式法则正确使用【教学关键】：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘进行运算，进一步再转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索.【教具】：多媒体课件【教学过程】：

一、情境导入

（一）回顾旧知识。

1.教师引导学生复习单项式乘以多项式运算法则.并通过练习加以巩固：（1）(-2a)(2a 22ab)

（二）问题探索

式子p(a＋b)=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式。如果p=m＋n，那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题。(由此引出课题。)

二、探索法则与应用。

问题：某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米。请你表示这块林区现在的面积。问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积?

(2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢?

(学生分组讨论，相互交流得出答案。)

学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m＋n)(a＋n)平方米；另一个是(ma＋mb＋na＋nb)米平方，以上的两个结果都是正确的。问：你从计算中发现了什么？

由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一个量，故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb 问：你会计算这个式子吗?你是怎样计算的?

学生讨论得：由繁化简，把m＋n看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：[(m＋n)(a＋b)=(m＋n)a＋(m＋n)b=ma＋mb＋na＋nb。] 设计意图：这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，体会分配律可以将多项式与多项式相乘转化为单项多与多项式相乘。渗透整体思想和转化思想。引导：观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的？(教师示范。)你能用语言叙述这个式子吗? 多项式乘以多项式的法则：

多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(m＋n)(a＋b)=ma＋mb＋na＋nb。

设计意图：引导学生发现多项式乘多项式的法则，培养学生分析问题、归纳问题的能力。通过对同一面积的不同表示方式，使学生对多项式乘多项式的有一个直观的认识，给出了多项式相乘的一个几何解释。

三、例题讲解巩固练习例1:计算:（1）（x+2）(x+3)

(1)(2x-5y)(3x-y)设计意图：例1有两个特点：

1、两因式项数相同；

2、每个因式的项的最高次数都是1，应用多项式的乘法法则时应注意x·x=x1+1=x2,还应注意符号。归纳：（1）不要漏乘（2）注意符号

（3）结果能合并，要合并教师活动：讲解范例，提出问题

学生活动：参与例题的解答、探索、理解.课堂练习：(1)(2a–3b)(a+5b);(2)(x+1)(x2+x+1)

（3）(a+b)2

(4)(-2x+5y)(-3x-y)设计意图：设计各种不同类型的题目，让学生熟悉各种题型例2：求值：(x-8)(x-5)-(2x-1)(x+2)其中x=-1 设计意图：本题是学生易错题，出本题起到敲警钟的作用.学生往往在算出后面两项后忘了加括号.解完题后引导学生归纳易错点.通过例题讲解，使学生明确每一步运算的道理，发展他们有条理的思考能力和表达能力，通过讲练结合，及时巩固法则。）

课堂练习：1.先化简，再求值：3a(a-1)-2(a-2)(a+3)例3：（2)解方程（x-3)(x-2）+18=（x+9)(x+1)

四、课堂总结

1.通过这节课的学习你有哪些收获？

2.你认为在多项式与多项式相乘的运算中，还有什么需要注意的问题要提醒大家？

注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏；能合并同类项的要合并同类项.3.数学思想:转化思想

单项式乘多项式法则的再认识篇3

【关键词】因式分解；类比；探索

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）28-0117-01

案例分析教学过程设计

（一）情境引入情境一：如何计算3752.8+3754.9+3752.3，你是怎么想的？【评析】：（1）复习旧知，加深记忆，同时为下面的学习作铺垫。（2）学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高。情境二：分析比较把单项式乘多项式的乘法法则a（b+c+d）=ab+ac+ad①反过来，就得到ab+ac+ad=a（b+c+d）②思考：你是怎样认识①式和②式之间的关系的？【评析】：探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法的再认识，因此，在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程。

（二）『探究因式分解』1.认识公因式（1）多项式ab+ac+ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式。（2）议一议下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试找出公因式.a2b+ab2、3x2-3y、3x2-6x3【评析】（1）教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误。（2）对公因式的理解是因式分解的基础，所以在解决这个问题时要注意配以练习，特别是多次方及系数的公因式，要让学生注意。（3）找公因式的一般步骤可归纳为：一看系数二看字母三看指数。2.认识因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式的叫做把这个多项式因式分解。（课本）P71练一练第1题（1）下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？①ab+ac+d=a（b+c）+d②a2-1=（a+1）（a-1）③（a+1）（a-1）=a2-1【评析】（1）本题主要是为了加深学生对因式分解概念的理解，使学生清楚因式分解的结果应是整式乘积的形式。（2）教师安排本题意图就是引导学生进行分析讨论，鼓励学生勤于思考，各抒己见，培养学生的逻辑思维能力和表达、交流能力。让学生在主动学习中掌握了因式分解是整式乘法的互逆的过程，以及理解利用它们之间的关系进行因式分解的这种思想，从而降低了本节课的难点。

（三）『例题研究』例1把下列各式分解因式（1）6a3b-9a2b2c（2）-2m3+8m2-12m【评析】（1）因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握。这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解例。（2）教师在讲解例题时，应鼓励学生自己动手找公因式，让学生通过动手动脑、实际操作，教师可在下面收集错误，再加以点评，加深对因式分解方法的理解。

（四）『巩固练习』练一练：辨别下列因式分解的正误（1）8a3b2-12ab4+4ab=4ab（2a2b-3b3）（2）4x2-12x3=2x2（2-6x）（3）a3-a2=a2（a-1）=a3-a2【評析】（1）这些多是学生易错的，本题设置的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰。本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中。（2）当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。（3）进行多项式分解因式时，必须把每一个因式都分解到不能分解为止。

（五）想一想如何把多项式3a（x+y）-2b（x+y）分解因式？评析：公因式（x+y）是多项式，属较高要求，当多项式中有相同的整体（多项式）时，不要把它拆开，提取公因式时把它整体提出来，有时还需要做适当变形，如（2-a）=-（a-2），教学时可初步渗透换元思想，将换元思想引入因式分解，可使问题化繁为简。

多项式预处理论文篇4

非货币性资产交换是指交易双方主要以存货、固定资产、无形资产、长期股权投资等非货币性资产进行的交换, 该交换不涉及或只涉及少量的货币性资产。

非货币性资产交换资产的情况包括, 企业以一项非货币性资产交换资产换入另一企业的多项非货币性资产, 或以多项非货币性资产同时换入多项非货币性资产, 也可能涉及补价。《企业会计准则第7号——非货币性资产交换交换》规定:非货币性资产交换资产交换同时换入多项资产的, 在确定各项换入资产的成本时, 应当分别情况处理: (1) 非货币资产交换具有商业实质, 且换入资产的公允价值能够可靠计量的, 应当按照换入的公允价值占换入资产公允价值总额的比例, 对换入资产的成本总额进行分配, 确定各项换入资产的成本。 (2) 非货币性资产交换不具有商业实质, 或者虽具有商业实质但换入资产的公允价值不能可靠计量的, 应当按照换入各项资产的原账面价值占换入资产原账面价值总额的比例, 对换入资产的成本总额进行分配, 确定各项换入资产的成本。

二、多项非货币资产交换中换入资产成本确认与会计处理

(1) 企业发生的非货币性资产交换具有商业实质、且换入资产与换出资产的公允价值能够可靠计量时具体步骤如下:第一, 计算出换入资产和换出资产公允价值总额。第二, 计算出换入资产的总成本。第三, 计算出换入各项资产的公允价值占换入资产公允价值总额的比例。第四, 计算确定换入各项资产的成本。第五, 写会计分录。

(2) 企业发生的非货币性资产交换不具有商业实质或换入资产与换出资产的公允价值能够可靠计量时具体步骤如下:第一, 计算出换入资产和换出资产账面价值总额;第二, 计算出换入资产的总成本。第三, 计算出换入各项资产的账面价值占换入资产账面价值总额的比例。第四, 计算确定换入各项资产的成本。第五, 写会计分录。

三、改进建议及账务处理

(1) 以公允价值计量情况下, 若交易双方属于等价交换, 即未支付补价时, 换出资产公允价值总额等于换出资产公允价值总额;支付补价时, 支付的补价等于交换资产的公允价值之差。此时, 由于交换的资产的价值都是公允的, 笔者认为没有必要先算出换入各项资产的公允价值占换入资产公允价值总额的比例, 再据以确定换入各单项资产的公允价值。由于换入的各单项资产其价值是公允的, 可直接以换入的各单项资产的公允价值作为换入资产的账面价值。其他处理与单项非货币性资产交换处理相同。

[例1]甲公司和乙公司均为增值税一般纳税人, 适用的增值税均为17%。2009年7月, 经协商, 甲公司决定以生产经营过程中使用的设备以及原材料换入乙公司生产经营过程中使用的小汽车和客运汽车。甲公司设备的账面价值为500万元, 在交换日的累计折旧为320万元, 公允价值为140万元;原材料的账面余额为400万元, 公允价值为450万元, 公允价值等于计税价格。乙公司小汽车的账面价值为400万元, 在交换日的累计折旧为210万元, 公允价值为386.5万元;客运汽车的账面原价为300万元, 在交换日的累计折旧为170万元, 公允价值为180万元。乙公司另外向甲公司支付银行存款100万元。假定甲乙公司都没有对换出资产计提减值准备, 交易过程中仅发生了增值税, 其他税费不予考虑;甲公司换入乙公司的小汽车和客运车均作为固定资产使用和管理;乙公司换入甲公司的设备也作为固定资产使用, 换入的原材料也作为原材料使用和管理。甲公司开具了增值税专用发票。

首先计算收到的货币性资产站换出资产公允价值总额的比例, 即:100/ (140+450+76.5) =15%<25%, 因此, 该项交换属于非货币性资产交换。

甲公司的账务处理如下:

(1) 企业以原材料换入其他资产应视同销售处理, 计算缴纳增值税。

换出原材料应缴纳的增值税销项税额:450×17%=76.5 (万元)

(2) 计算换入资产和换出资产的公允价值总额:

换出资产公允价值总额=140+450=590 (万元)

换入资产公允价值总额=386.5+180=566.5 (万元)

由于换入资产公允价值+相关税费-换入资产公允价值=590+76.5-566.5=100 (万元)

由于支付的补价也是100万元, 所以该交易属于等价交换, 故换入资产总成本566.5万元。

小汽车公允价值=386.5万元, 客运汽车公允价值=180万元

(3) 会计分录 (单位:万元) :

借:固定资产清理180

累计折旧320

贷:固定资产——设备500

借:固定资产——小汽车386.5

——客运汽车180

银行存款100

营业外支出40

贷:固定资产清理180

应交税费——应交增值税 (销项税额) 76.5

其他业务收入450

借:其他业务成本400

贷:原材料400

乙公司的账务处理如下:

(1) 企业以其他资产换入原材料, 视同购买行为, 其增值税进项税允许抵扣。换入原材料的进项税额为450×17%=76.5 (万元)

(2) 计算换入资产和换出资产的公允价值总额:

换入资产公允价值总额=140+450=590 (万元)

换出资产公允价值总额=386.5+180=566.5 (万元)

换入资产公允价值总额-可抵扣的增值税额-换出资产公允价值=590-76.5-566.5=100 (万元)

(3) 会计分录 (单位:万元) :

借:固定资产清理320

累计折旧380

贷:固定资产——小汽车400

——客运汽车300

借:固定资产——设备450

原材料140

应交税费——应交增值税 (进项税额) 76.5

贷:固定资产清理320

银行存款100

营业外收入246.5

按照建议改进后, 则甲、乙公司的账务处理都会大大简化, 一旦判断非货币性资产交换是等价交换, 即可立即确定各项换入资产的成本, 无需计算换入各项资产的公允价值占换入资产公允价值总额的比例, 再根据此比例算出各项换入资产的成本。

(2) 以账面价值计量情况下, 若交易双方属于等价交换, 则也没有必要计算出换入各项资产的账面价值占换入资产账面价值总额的比例, 然后再根据比例算出各换入单项资产的成本。由于各换入资产的账面价值是已知的, 可以直接以换入的各单项资产的账面价值作为换入资产的账面价值。其他处理与单项非货币性资产交换处理相同。

按照建议改进后, 则以账面价值计量的非货币性资产交换的账务处理会大大简化, 一旦判断非货币性资产交换是等价交换, 即可立即确定各项换入资产的成本, 这样就减少了计算换入各项资产的账面价值占换入资产账面价值总额的比例和根据此比例算出各项换入资产的成本的步骤。

参考文献

多项式乘多项式教学反思篇5

这节课，先让学生自已阅读课本，了解相关的概念，然后完成自学检测，教师进行适当点评后，学生完成分层练习，巩固对概念的掌握。整一节课基本是以学生自学为主线，完成整个教学过程，意在培养学生的自学能力。如果学生可以养成自已阅读课本，在相应的教材内容中获得自已所需的知识，学生的自学能力会得到很好的锻炼。但从课堂的实施情况中可以看到，整个学习过程并不是一帆风顺，可以说学生是在磕磕碰碰中完成了学习任务，几个本来并不难理解的知识点，比如“多项式的项”，“多项式的排列”，如果学生有一定的数学学习的基础和独立分析问题的能力，应该可以自已顺利完成学习，但事实上，必须由老师不断加以点评、分析，学生才能较准确地把握相关语句的含义，说明学生对数学语言的理解和表达还是存在较大困难。这个让学生阅读课文的习惯必须要进一步培养。

这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握，配以学习卷上的分层练习，学生的双基训练很到位，单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好。但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了。事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自已阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约。

虽然表面上看，这节课采用这种自学模式好像浪费了不少时间，由于老师要不断的插入讲评，导致课堂的时间比较紧张，但是，从学生的长远发展出发，我还是觉得应该采用这种模式，使学生在起始年级开始养成一个良好的自主学习的习惯，对他们应该是有利无害的。这节课是一次初步的尝试，在今后的教学中我还要多加以运用。

2、教师的教学方式要根据学生的实际情况

本课的知识点比较简单，属于概念介绍型的，在教师的知识层面上看是非常简单、易懂的知识点。我在学生阅读课本以后，进行点评时，我向学生介绍了以加、减号为分界线把多项式带符号分段的方法解析“项”的概念，然后逐项逐项在单项式的有关知识的基础上求出各项的次数，解析“最高次项”，进而解析“多项式的次数”。学生在这样详细的剖析中，才能把在课本中阅读的相关概念慢慢地转化为相应的数学符号，理解这些概念。

所以我觉得，我们上课，不能只考虑要学生学什么，还应该更要考虑学生需要怎样学。作为初一的.学生，刚从小学生上来，还没有摆脱小学那种被动接受型的学习方法，如果我们初一的老师在这方面不注意引导的话，就容易出现脱节，造成学生提早分化。

这节课在这一点的处理上我觉得我是成功的。

3、教学的重构思

结合这节课暴露的问题，如果再次设计这一学习卷的话，在自学指导部分，学习“多项式的次数”时，我会再细化一些，让学生阅读课本的时候有一根拐杖，这样就可以更大限度的照顾到各层面学生的学习要求。在学习“多项式的排列”的时候，增设一个例题，让学生有一个规范的样板，学习起来不会造成这些不必要的困惑。

总之，一堂课的教学总存在这样那样的遗憾，我要在不断的思考和总结中调整，才能适应学生的要求，适应教材的变化和课标的要求。

多项式预处理论文篇6

关键词三角多项式;数据拟合;方法;地震数据

中图分类号P631.4 文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)051-0118-02

数据拟合的目的是寻找一条光滑曲线,使它在某种准则下最佳地拟合离散数据。传统的数据拟合多采用线性拟合或多项式拟合技术。多项式拟合技术已有较深入的研究和较广泛的应用。俞寿明提出的正交多项式拟合方法在生产中得到了广泛应用;洪瑞等将常规二次多项式拟合方法应用于地震数据分析和处理,得出了一些较好的结果;杨云升归纳总结了最小二乘法的多项式拟合性能特点和适用范围。

虽然幂次较高时,多项式拟合会带来统计计算上不可克服的困难,但利用多项式对光滑数据进行拟合,的确有很好的拟合效果。然而,实际问题有许多数据,如地震某些测项的数据中,较多的尖点往往可能是其统计规律的本质特征,而多项式拟合对尖点的磨平会损失许多数据信息。于是,本文提出用三角多项式拟合数据的方法,并对拟合效果进行了误差分析和模型复杂度分析。本文所提出的方法消除了多项式拟合多尖点型数据时所存在的缺陷。文中将所得方法用于西安地区多组地震数据的拟合,得到了精度很高的拟合曲线,为地震数据变点分析及预测奠定了良好的基础。

1尖波数据的三角多项式拟合方法

1.1相关定义

定义1 对观测数据,若存在正整数,且,使

则称为尖波数据。

定义2对三角函数系

及实数组,,(),对任意正整数,称

(1)

为三角多项式。

1.2拟合函数的确定

由于Fourier级数有良好的收敛性,且其和函数较幂级数的和函数所需同的分析性质少得多,对于尖波数据,我们选择三角多项式逼近尖波离散数据,以刻画其数据变化规律,寻求离散数据的函数表达式。

1.3三角多项式的最小二乘拟合原理

为叙述方便,记三角函数系

为

记尖波数据为。我们希望用这组数据估计系数以拟合函数

(2)

最小二乘原理是希望所寻找的函数在各处的函数值与观测值的总误差最小。即以

(3)

为拟合准则,来确定系数

1.4超定方程组的确定

对于解决大量离散数据的拟合问题中,我们取三角多项式作为拟合函数类,运用最小二乘原理对尖波数据进行拟合,估计三角多项式的系数。

对于样本容量为的尖波数据,三角多项式的系数(1)如式,且满足,那么该问题即为估计系数,,(),使残差平方和

最小。这等价于求解线性方程组:

(4)

记

和(5)

那么线性方程组(4)的系数矩阵可表示为

(6)

因为,矩阵的行数大于列数,那么对于任意给定的观测数据,线性方程组(4)的任意个方程构成方程组(4)的一个子方程组,该子方程组一般是一个超定方程组。而对于较大的,得到(3)式的正则方程组相当困难,而且也无法适应于变化的。因此,本文采用QR方法求得(3)式的最小二乘解。

1.5用方法求解超定方程组

将超定方程组(4)记为

(7)

其中,,。

由于方程组系数矩阵的各列线性无关,故系数矩阵总可利用正交化法,分解为的形式,其中有正交列,为上三角阵。规定的对角元的符号,则分解是唯一的。将代入式(7),注意到,有

由于非奇异,用左乘上式两端得到

(8)

先计算和,三角方程组(8)的解即为(3)的最小二乘解。亦即(1)式中的系数的最小二乘估计量()。

2误差分析及模型复杂度分析

由Fourier级数收敛性定理,任意,存在,当时,使得

即,记总体的真值函数为,当三角多项式的增大时,余项

可以任意小。

考虑到所得回归模型的实用性,在给定精度要求时,三角多项式项数应该取决非于满足的最小的。由三角多项式的属性,我们引入模型复杂度指标

(9)

其中由(3)决定。显然值越小,则模型越简单。

3三角多项式在地震数据中的应用

3.1地震数据的特征

地震数据是地震传感器从各个观测站点实时记录得到的与地震相关的多个测项(如水位、地温、电磁波、电压、气压及水温等等)的高维时间序列。针对地震数据的共性与复杂性作了较全面的总结,指出前兆有如下特征:①地震前兆数据的多样性与综合性;②地震前兆数据异常,持续时间的长期性与阶段性;③地震前兆数据分布范围的广泛性与均匀性;④地震异常的统计量与震级间存在正变关系;⑤地震的高度复杂性。因此,对地震数据进行挖掘分析,揭示其深层的统计规律,是地震预报的重要研究领域。

3.2用三角多项式拟合地震数据的优点

通过对地震数据中各测项数据的试算分析及其折线图趋势,可知许多测项的观测数据属于尖波数据,这些尖波往往是地震前兆的关键特征。若所选择的拟合函数不能充分地表现这些尖波,必然会丢失观测数据的核心信息.而采用三角多项式去拟合,即可将测项数据中所载有的尖波特征较充分地表现出来,从而更准确地表现地震的前兆特征。由理论分析,运用三角多项式方法去拟合地震数据有以下优点:

1)为拟合尖点,可以将项数充分增多,一般不至于导致类似于多项式拟合中,幂次较高会带来统计计算上的困难,及估计量的方差太大等不利效果。

2)三角多项式的正交性保证了设计矩阵的非奇异性,提高了点估计量的精度。

3)能避免其它类型拟合曲线为提高拟合精度而必然导致的龙格现象。

3.3西安地震数据的三角多项式拟合实例

笔者对西安地区2005年以来发生过的多次地震的前兆数据,采用三角多项式拟合,均取得了很好的拟合效果。限于篇幅,本文仅对2009年11月05日西安与高陵交界处发生的地震3.6M地震的前兆数据,按分钟提取震前12天的个气温测项的数据,分别作普通多项式拟合和三角多项式拟合,两类拟合函数的系数估计值、模型复杂度和残差均方和表示如下:

图1普通多项式拟合的系数估计值依次为

普通多项式的模型复杂度,残差均方和。

三角多项式拟合的系数估计值依次为

三角多项式的模型复杂度,残差均方和为。

图2普通多项式拟合`的系数估计为

普通多项式的模型复杂度,残差均方和为。

三角多项式拟合的系数估计值依次为

三角多项式的模型复杂度为,残差均方和为。

笔者对拟合得到的函数作图,对比多项式拟合与三角多项式拟合的差异,如图1和图2所示。显然,三角多项式曲线拟合几乎完全表现出地震数据的尖点特征。

图1 图2

图1普通多项式拟合与三角多项式拟合的项数均为=25,图2中的相应项数均为=61.可见,当越大时,三角多项式拟合的擬合明显变好,而且避免了多项式拟合中的拟合次数不够高,拟合函数收敛性不强,地震数据散点曲线中的许多尖点不能拟合到位等问题。由图1与图2两幅可知,多项式次数越大时,龙格现象越严重;而三角多项式拟合项数越多时,拟合越精确。

基金项目:国家大学生创新性实验计划项目(国081069714);西安地区地震活动特征研究项目。

参考文献

[1]俞寿朋.高分辨率地震勘探[M].北京:石油工业出版,1993,142-145.

[2]夏洪瑞,董江伟等.常规二次多项式拟合地震数据[J].石油勘探,2006,45(5).

[3]杨云升.Matlab曲线拟合及其在试验数据处理中的应用[J].电脑与信息技术,2009,17(2).

[4]郑慧妮,陈绍林等.数值计算方法[M].武汉:武汉大学出版社,2002,10.

[5]张军.时间序列数据中的模式挖掘及其在地震预报中的应用研究.计算机软件与理论,2006,3.

作者简介

陈振勋,西北大学数学系2007级信息与计算科学专业学生。

辛小龙(1955—)男,陕西西安人,西北大学教授,主要从事代数和编码理论研究。

多项式预处理论文篇7

为了提高经济领域统计数据的预测精度，代数多项式预测模型的建模方法应运而生.该方法使用代数多项式模型拟合给定的经济统计数据，并使用递推最小二乘法（RLS）对多项式拟合模型的加权系数进行递推计算以获得最优模型参数，然后通过获得的最优多项式模型计算未来预测数据.文章以实际统计的经济数据为例进行了仿真计算，研究结果表明，该方法不仅能实现统计数据的高精度拟合，而且具有很好的预测能力，在经济领域具有广阔的应用前景.

关键词多项式模型；递推最小二乘法；数据拟合；预测

中图分类号 O212 文献标识码 A

Research on Polynomial Prediction Model Based

on RLS Algorithm and Its Applications

ZENG Xiangyu

（Business School， University of International Business and Economics， Beijing 100029， China）

Abstract In order to improve the prediction accuracy of economic statistical data， modeling method of algebraic polynomial prediction model was put forward. In the proposed method， the given economic statistic data was fitted by algebraic polynomial model based on recursive least squares （RLS）， in which the optimal weighted coefficients were obtained through recursive calculation， and then the future data was computed by the obtained optimal polynomial model. This paper took the actual statistical data as an example to carry on simulation calculation. The research results show that the proposed method can fit the statistical data in high accuracy， and has good prediction ability. Therefore， it will have broad application prospects in the economic field.

Key words polynomial model； recursive least squares （RLS）； data fitting； forecasting

1 引言

在经济发展过程中，若能科学合理预测经济发展趋势，为决策制定提高有价值的参考，对我国经济健康快速发展具有重大意义.目前国内外最常用的经济预测方法主要有回归分析预测法、人工神经网络预测方法、灰色预测法、Logistic预测模型[1-5]等，由于这些方法都是用单一预测模型从某一个侧面去刻画数据序列的变化规律，反映序列的部分信息，存在一定的局限性.为了克服单一预测模型存在的局限性，国内外学者提出了组合预测方法，并取得了大量研究成果[6-10].如文献[1]，[6]将多种预测方法以合理的方法组合起来综合对经济现象进行预测，主要使用并联型组合预测模型和串联型组合预测模型，取得了明显效果.此外，文献[4]利用差分和最小二乘法，给出了Logistic模型的一种便于使用的参数估计方法；为了克服BP神经网络在经济预测中存在的对训练样本数量和质量的较高要求、容易陷入局部极小值、收敛速度慢、泛化能力差等问题，文献[11，12]利用非线性优化的遗传算法、演化算法以及模拟退火算法等进行前向神经网络的训练；文献[13，14]利用遗传算法及其改进算法优化网络权值和阈值，有效提高了收敛速度，但算法复杂；文献[3]提出了使用免疫人工鱼群算法来训练神经网络，并取得了良好效果；为了克服因观测数据过少而难以获得预期的预测效果问题，文献[15]提出了基于贝叶斯向量自回归的区域经济预测模型，取得了良好预测效果.

为了进一步完善经济预测理论体系，文章提出了基于多项式模型与递推最小二乘法的经济预测方法，该方法有效避免了各种假设条件可能引起的不确定性，充分利用原始数据建立经济预测模型.研究结果表明了多项式经济预测方法的有效性.

经济数学第 31卷第1期

曾湘宇：基于RLS算法的多项式预测模型及其应用研究

2 多项式预测模型描述

5 结论

文章根据实际统计数据建立了m阶多项式拟合模型，并利用具有噪声滤波功能的递推最小二乘法获得拟合模型的最优加权系数，由图1和图2的拟合结果可以看出，文章研究的多项式拟合模型能够很好地拟合实际统计数据.由表1可知，本文的相关指数为0.998 65，明显大于文献[4]的相关指数0.983 20，因此本文研究的曲线拟合方法具有更高的拟合优度；由表2可知，本文的平均绝对相对误差为2.27%，明显优于文献[6]的平均绝对相对误差4.23%，而且由图2b可知，本文的最大相对误差为6.6%，明显优于文献[6]的最大相对误差12.06%.通过上述两个不同领域的仿真实例可知，与文献[4]的Logistic模型预测方法以及文献[6]的正权重组合预测模型相比，本文研究的代数多项式拟合模型不仅有更好的曲线拟合优度和拟合效果，而且具有良好的预测功能.

nlc202309041803

参考文献

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