多项式优化

多项式优化（共7篇）

多项式优化 篇1

1. 引言

滤波器设计问题被广泛应用于信号处理应用中[1,2]。为了达到相同频谱特征, 无限脉冲响应 (IIR) 滤波器与有限脉冲响应 (FIR) 滤波器相比具有的优势是更高的运算效率。这是由于无限脉冲响应滤波器使用了反馈过程, 所以通常要比同样性能的有限脉冲响应滤波器所需的滤波器系数更少, 耗费的资源要少。但是由于反馈的因素, 高阶的无限脉冲响应滤波器可能会有不稳定和运算溢出的问题, 因此其设计问题比有限脉冲响应滤波器更难。现有的无限脉冲响应滤波器设计方法计算出的稳定IIR滤波器往往是局部最优解, 所以即满足稳定条件又同时全局最优就成为IIR滤波器的设计目标。

本文提出IIR滤波器设计方法满足稳定条件, 同时还保证设计结果为全局最优, 具体设计算法的理论根据是基于优化理论的最新结果:多项式优化一些理论进展和算法。多项式优化 (polynomia optimization, PO) 比经典的凸优化理论更广泛, 其理论和算法结合了实代数几何与凸优化理论中半正定规划 (semidefinite programming, SDP) 的一些结果。

2. 多项式优化理论

设f (x) , 和为定义在上的多项式函数, 可以将多项式优化问题表述为

设S为 (1) 的可行性解集合且 (1) 的最小值为fmin, 则求解多项式优化问题 (1) 的标准解法由Lasserre提出[3,4], 原理是通过一序列SDP松弛问题最优值{fN}来逼近原问题的最优值fmin, 且这种收敛在一定条件下可以在有限步达到[3]。

3. 最优IIR滤波器设计

3.1 IIR滤波器

设为偶数, IIR滤波器的传递函数为

它的稳定性条件[5]为

其中1≤j≤k, ε>0为很小正数以便保证系统的稳定性。设IIR滤波器H需要逼近的滤波器为

我们希望最小化H与H0的最大误差δ:

需要求解的最优问题为

下面一节我们将 (6) 转化为多项式优化问题 (1) 。

3.2 多项式优化滤波器设计

我们设辅助向量

下面整理乘积式

那么约束条件 (5) 表示成如下形式,

我们将约束条件 (8) 中连续变化的变量ω∈[-π, π]离散化为个点的集合。这样最优问题 (6) 成为多项式优化问题:

多项式最优问题 (9) 可以根据Lasserre的SDP算法[4]求解。

4. 结论

本文提出一种新的全局最优IIR滤波器设计方法, 该方法给出的全局最优滤波器在满足稳定条件和全局最优的同时, 具有很好的频谱特征。

摘要：无限脉冲响应 (IIR) 滤波器最优化设计是非线性和非凸优化问题, 现有的设计方法获得的往往是局部最优解。本文提出一种新的基于多项式优化理论的滤波器设计方法, 该方法可以保证计算出的滤波器具有全局最优解和很好的频谱特征。

关键词：无限脉冲响应滤波器,多项式优化,半正定规划

参考文献

[1]P.P.Vaidyanathan, Multirate Systems and Filter Banks, Prentice-Hall, 1993.

[2]A.V.Oppenheim and R.W.Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd ed., Prentice-Hall, Inc.:Upper Saddle River, NJ, 2009.

[3]J.Lasserre.A semidefinite programming approach to the generalized problem of moments.Math.Program.112 (2008) , no.1, Ser.B, 65-92.

[4]D.Henrion and J.Lasserre.Detecting global optimality and extracting solutions in GloptiPoly.In Positive Polynomials in Control, D.Henrion and A.Garulli, eds., Lecture Notes on Control and Information Sciences, Springer Verlag, 2005.

[5]A.Antoniou, Digital Signal Processing, McGraw-Hill, 2006.

Legendre多项式及推广 篇2

早在1785年, 为了研究球体间的吸引力以及行星的运动问题, Legendre引进了Legendre多项式。Legendre多项式是数学物理中的一个重要的特殊函数, 对线性微分方程的定解问题有着广泛的应用。因为在正交曲线坐标系的分离变量中, 会对Legendre多项式进行广义的Fourier展开等问题, 所以我们要充分理解其性质。计算数学领域, Legendre多项式在函数逼近方面有着重要的应用, 尤其是在最小二乘拟合上避免了一般多项式拟合出现解法方程的病态问题。

2 Legendre多项式的几种形式和重要性质

n次Legendre多项式的一般表达式为:

其中

它的微分表示是:

其中 (2) 式被称为Rodrigues公式是Legendre多项式的最简表示形式。 (1) 和 (2) 的等价性证明从略, 见[1]。

它的Laplace积分表示是

Legendre多项式有许多重要的性质:

3 Legendre多项式解性质

定理1:Pn (x) 在实数域上有n个零点, 且全部是在区间[-1, 1]内部相异的。

证明:引入函数q2n-m (x) =dmdxm (x2-1) n, 当m=0, 1, 2, …, n-1时, 各项都含有 (x2-1) 因子, 也就是说, 当m

在函数逼近中, 解析函数基于Legendre多项式零点的插值逼近是Legendre多项式解的重要应用。

4 Legendre级数

设C0, C1, C2, …, Cn…为常数项序列, 则

叫做Legendre级数, 其中Pn (x) 是Legendre多项式。

上面提到计算数学中, 用Legendre多项式逼近函数, 所以研究Legendre级数有以下两个方面的问题:

(1) 已知函数如何求它的Legendre级数展开式;

(2) 已知Legendre级数如何求它所表示的函数的性质。

设函数f (x) 在实数轴的闭区间[-1, 1]上可积, 则f (x) 的Legendre级数展开式如下:

确定 (7) , 即要确定系数Cn, 上式两端同乘Pm (x) 并在区间[-1, 1]上积分:

由Legendre多项式的正交性 (4) 可得:

关于Legendre级数的收敛性, Pollard给出了结论:

定理2:若43

证明见[4]。

5 整函数

1956年, 莫叶曾用Legendre级数

来表示整函数f (x) , 并且, 用系数来确定阶与型。

定理3[5]:设Legendre级数表示整函数f (x) , 令

设v>1, 并且令.则

如果上面这个式子的右端为有限正数, 则f (x) 的阶为零, 并且不退化为多项式, 这时f (x) 具有型函数 (logr) v;如果f (x) 的阶为有限正数ρ, 则

其中, E (x) 为x=ylog (ye) 的反函数, 如果 (10) 的右端为有限正数, 则f (x) 具有型函数rρlogr。

设整函数f (x) 的阶ρ为有限函数。如果f (x) ) 的下阶ρ=ρ, 则称f (x) 为正则滋长;如果f (x) 的型δ也为有限正数, 并且下阶δ=δ, 则称f (x) 为完全正则滋长。

定理4[6]:设整函数) 的阶为有限正数, 设 (nk) 为无界严格上升正整数序列, 且

如果处去Cnk≠0外, 其余Cn均为0, 则f (x) 不为正则滋长。如果整函数f (x) 的阶为有限正整数ρ, 并且存在, 且为一个有限正数, 则f (x) 为完全正则滋长。

6 推广

Legendre多项式可以从多方面进行推广, 这里仅叙述那些推广后仍是多项式, 并且无论在理论和应用中都很有价值的结果。

从母函数出发, 推广可得Gegenbauer多项式[5]:

Gegenbauer多项式是由函数 (1-2xt+t2) -λ的展开式按系数定义的:

称Cnλ (x) 为Gegenbauer多项式。

从微分形式 (Rodrigues公式) 出发, 推广可得Jacobi多项式:

称Jnα, β (x) 为Jacobi多项式, 和推广的Legendre多项式:

它的许多性质类似于Pn (x) 。

Legendre多项式还有很多中推广, 这里就不一一列举。虽然它有多种推广, 但无论在理论上或实际方面, 这些推广均未发现有显著的应用, 因而现在对它们的继续探讨已经很少进行。

参考文献

[1]郭玉翠.数学物理方法[M].北京:北京邮电大学出版社, 2003.

[2]吴崇试.数学物理方法[M].北京:北京大学出版社, 1999.

[3]王坚定.数学分析[M].重庆:西南师范大学出版社, 1994.

[4]Pollard.H.The convergence almost everywhere of Legendreseries.Proc Amer, Moth.Soc.1972.

[5]莫叶.Legendre级数[J].山东大学学报, 1956, (7) .

[6]杨连中.关于用Legendre级数定义的整函数[J].湖南数学年刊, 1985, (2) .

多项式的求值问题 篇3

一、整体代入法求值

1.根据所求多项式项的排列规律, 找到与已知条件有关的因式之间的和、商、积、差关系, 再代入已知条件求值。

例1已知的值?

2.当直接代入计算量很大时, 可以从已知条件中找到突破口, 将已知条件变形或通过一些运算后再整体代入所求多项式的值。

二、降次法求值

所求多项式的次数与已知条件中的次数差值很大时, 不易直接求出多项式各项的值, 可通过对多项式因式分解后再求值。

三、有理化因式后求值

所求多项式或已知条件都含有无理数时, 可先将无理式化为有理式再求值。

四、应用参数法求值

如果已知条件为比例式时, 常常先设参数, 求出参数的值, 再代入多项式求值。

例5设的值。

五、通过因式分解先解方程再求值

六、应用巧乘因式法求值

例7已知的值。

解:由题意可得x≠0.

∴由题设两边同乘以x得:x4+x3+x2+x=0.

故将此式减去题设得:x4=1.

七、应用隐含条件的非负性求值

观察题设中是否有隐含条件, 常见的有满足完全平方式的值、绝对值、根式的值非负。

例8若u、v满足的值?

数据结构一元多项式的实现 篇4

1.1 问题描述

设计一个n元多项式程序, 并完成多项式的乘法运算。从实际的角度出发, 这里设计的程序是基于一元n次多项式的数学模型。

1.2 问题的数学模型

在数学上, 一个一元多项式Pn (x) 可按升幂写成:Pn (x) =a0+a1 x+a2 x^2+…+an x^n-1.它由n+1个系数惟一确定, 因此, 在计算机里, 它可用一个线性表P来表示:Pn= (a0, a1, a2, …, an) 每一项的指数i隐含在其系数ai的序号里。

多项式的乘法规则:多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的.计算时 (a+b) (m+n) , 先把 (m+n) 看成一个单项式, (a+b) 是一个多项式, 运用单项式与多项式相乘的法则, 得到 (a+b) (m+n) =a (m+n) +b (m+n) , 然后再次运用单项式与多项式相乘的法则。

1.3 构造数据结构

通过分析多项式的特征, 不难看出多项式是由单项式构成的, 而每个单项式都具有系数和指数, 当系数为0时, 该项就失去了意义, 在计算机内要表示一个多项式, 至少以下数据信息:系数信息、指数信息和指向下一个单项式的指针。通过指针, 我们就可以把多个单项式连接起来, 形式一个多项式, 需要说明的是从广义的角度讲, 单项式也是一个多项式。基于以上的分析, 我们定义多项式的数据结构为如下形式:

2 系统分析

2.1 可行性研究

该程序主要从技术的角度来分析可行性。技术上的可行性研究主要分析技术条件能否顺利完成开发工作, 硬、软件能否满足开发者的需要等。该系统采用了Windows XP操作系统结合eclipse7.0等软件开发。

2.2 系统结构与主要功能模块

从实现多项式式运算过程的角度来分析, 至少需要这样一些子功能模块。如:多项式创建功能;多项式运算功能;操作界面显示功能;销毁多项式的功能;多项式复制功能等。

3 系统设计

3.1 系统设计目的与要求

通过多项式运算程序设计 (用java语言实现) , 使我们进一步掌握和利用java语言进行面向对象程序设计的能力;进一步理解和运用面向对象程序设计的思想和方法;初步掌握开发一个小型系统程序设计的基本方法;学会调试一个较长程序的基本方法;学会利用流程图或N-S图表示算法。学会编制结构清晰、风格良好的java语言程序, 从而具备解决综合性实际问题的能力。

3.2 系统设计内容

多项式运算程序具有以下基本功能:1.界面输出, 提示如何输入数据。要求先输入多项式的项数;2.创建多项式。接收输入的数据, 并保存到链表中;3.显示程序的功能表, 允许使用者选择运算类型;4.显示已经创建好的多项式;6.实现加法运算;7.实现减法运算;8.实现乘法运算;9.清除内存内容, 销毁创建的链表, 退出程序。

3.3 功能算法描述与数据结构说明

该多项式程序除了main () 函数外, 主要有以下函数:

Polyn CreatePolyn (Polyn head, int m) 、void Insert (Polyn p, Polyn h) 、Polyn AddPolyn (Polyn pa, Polyn pb) 、int compare (Polyn a, Polyn b) 、Polyn SubtractPolyn (Polyn pa, Polyn pb) 、Polyn MultiplyPolyn (Polyn pa, Polyn pb) 。下面对这些函数逐一介绍。

(1) Polyn CreatePolyn (Polyn head, int m)

该函数功能是创建新的多项式链表。int m保存的多项式的项数, 使用for语句, 控制输入多项式的每一项。当创建的链表长度为m时, 将不再提示用户继续输入多项式的系数和指数。

(2) void Insert (Polyn p, Polyn h)

该函数功能:将新的节点p插入到现有链表的后面, 并确保多项式的指数exp是升序。将s节点插入到head所指向的链表。在该函数的操作中, 要注意指针是如何移动的。

(3) Polyn AddPolyn (Polyn pa, Polyn pb)

该函数功能:实现两个多项式pa、pb相加, 并将计算结果存储于新建立的pc中, 它的原理是将指数相同的单项式相加, 系数相加后为0, 则pa、pb的指针都后移。在加法计算中要求pa, 与pb的幂次序都是升序, 否则可能得到错误的结果。

该函数调用了int compare (Polyn a, Polyn b) 的结果, 用来判断多项式在同一指数下a、b是否有为系数为0。

(4) int compare (Polyn a, Polyn b)

该函数功能:判断两个多项式在同一指数下是否有其中一个为系数为0。用来辅助加法和乘法运算。

(5) Polyn SubtractPolyn (Polyn pa, Polyn pb)

该函数功能:实现两个多项式pa、pb相减, 其原理根加法类似, 将指数相同的指数相减。与加法不同的是在送在减法中, 创建了新的链表来存放结果, 并返回该链表的头指针。

(6) Polyn MultiplyPolyn (Polyn pa, Polyn pb)

函数功能:实现两个多项式相乘, A (X) *B (x) 。计算时运用单项式与多项式相乘的法则, 然后再次运用单项式与多项式相乘的法则。

4 系统实现

该程序实现了多项式的创建、多项式的加法、减法、乘法运算。为完成这些功能, 还用到了一些辅助函数。下面举例讨论多项式乘法函数具体实现过程及其参数的意义:

Polyn MultiplyPolyn (Polyn pa, Polyn pb) 该函数同加法一样, 拥有相同的参数并且同样将新建立的链表pf的指针返回, 用来实现输出乘法结果。下面给出关键代码:

5 结束语

本文通过数据结构角度对一元多项式进行研究, 实现相关方面的应用开发操作, 进一步加深了对数据结构的理解, 得到的算法思想可以应用到以后的编程实践中。

经过这次课程设计, 深刻认识到算法在程序设计中的重要性, 一个完整的程序总是由若干个函数构成的, 这些相应的函数体现了算法的基本思想。

参考文献

[1]严蔚敏, 吴伟明.数据结构 (C语言版) 清华大学出版社1997.

单纯矩阵多项式的谱分解 篇5

矩阵的多项式的谱分解对于与矩阵有关的数值计算和理论分析都有极为重要的意义.将一个矩阵多项式f (A) 分解为一系列幂等矩阵Ai (i=1, 2, …, s) 的加权和

无论从代数上, 还是从几何上进行研究, 都有极大的方便之处.在控制理论中尤其如此[1].本文在单纯矩阵的谱分解[2]的基础上, 提出了关于单纯矩阵的多项式的谱分解的一般结论, 并给出了实例和几点补充.

1 单纯矩阵及其多项式的定义和性质

设矩阵A∈Cn×n, λi (i=1, 2, …, s) 为A的互异特征值且A的特征多项式为

det (λI-A) = (λ-λ1) r1 (λ-λ2) r2… (λ-λs) rs.

其中ri为矩阵A的特征值λi的代数重数, 满足${\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{r}}{}_{\text{i}}=\text{n}$.设mi为矩阵A的特征值λi的几何重数, 即mi=dimVλi.对于A的任一特征值λi, 一般有mi≤ri (i=1, 2, …, s) .

定义1[3] 如果矩阵A的每个特征值λi的几何重数等于它的代数重数, 则称A为单纯矩阵.

引理1[4] 单纯矩阵与对角矩阵相似.

定义2 设A为单纯矩阵, f (x) 为任意多项式, 称f (A) 为关于单纯矩阵A的多项式.

定理1 单纯矩阵的多项式仍为单纯矩阵.

证明 设A为单纯矩阵, 由引理1, ∃P (n阶可逆阵) , 使A=Pdiag{λ1, λ2, …, λn}P-1.显然Ak=Pdiag{λ${}_1^{\text{k}}$, λ${}_2^{\text{k}}$, …, λ${}_{\text{n}}^{\text{k}}$}P-1.

f (A) 与对角矩阵相似, 故f (A) 为单纯矩阵.

2 单纯矩阵的多项式的谱分解

引理2[2] 设矩阵A∈Cn×n, λi (i=1, 2, …, s) 为A的互异特征值, 则A为单纯矩阵的充分必要条件是:存在Ai∈Cn×n, (i=1, 2, …, s) , 使

定理2 设矩阵A∈Cn×n, f (λi) (i=1, 2, …, s) 为f (A) 的互异特征值, 则f (A) 为单纯矩阵的充分必要条件是:存在Ai∈Cn×n, (i=1, 2, …, s) , 使

证明 必要性.因f (A) 单纯, 由定理1存在可逆阵P, 使

将P, diag{λ1, λ2, …, λn}, P-1三矩阵按A的特征值的重数ri分块, 有

$\begin{array}{l}\text{f}(\text{A})=\text{Ρ}diag\{\text{f}(\text{λ}{}_1)\text{Ι}{}_{\text{r}{}_1}‚\text{f}(\text{λ}{}_2)\text{Ι}{}_{\text{r}{}_2}‚\\ \cdots ‚\text{f}(\text{λ}{}_{\text{s}})\text{Ι}{}_{\text{r}{}_{\text{s}}}\}\text{Ρ}{}^{-1}\\ =[\text{X}{}_1‚\text{X}{}_2‚\cdots \text{X}{}_{\text{s}}]diag\{\text{f}(\text{λ}{}_1)\text{Ι}{}_{\text{r}{}_1}‚\text{f}(\text{λ}{}_2)\text{Ι}{}_{\text{r}{}_2}‚\\ \cdots ‚\text{f}(\text{λ}{}_{\text{s}})\text{Ι}{}_{\text{r}{}_{\text{s}}}\}[\text{Y}{}_1‚\text{Y}{}_2‚\cdots ‚\text{Y}{}_{\text{S}}]{}^{\text{Τ}}\\ ={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{f}}(\text{λ}{}_{\text{i}})\text{X}{}_{\text{i}}\text{Y}{}_{\text{i}}^{\text{Τ}}‚\end{array}$

其中Xi∈Cn×ri, Y${}_{\text{i}}^{\text{Τ}}$∈Cri×n, i=1, 2, …, s.

令Ai=XiY${}_{\text{i}}^{\text{Τ}}$∈Cn×n, i=1, 2, …, s.

知Ai (i=1, 2, …, s) 为幂等矩阵

$\begin{array}{l}\text{Ρ}\text{Ρ}{}^{-1}=\text{Ι}{}_{\text{n}}‚[\text{X}{}_1‚\text{X}{}_2‚\cdots ‚\text{X}{}_{\text{s}}][\text{Y}{}_1‚\text{Y}{}_2‚\cdots ‚\text{Y}{}_{\text{s}}]{}^{\text{Τ}}\\ ={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{X}}{}_{\text{i}}\text{Y}{}_{\text{i}}^{\text{Τ}}={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{A}}{}_{\text{i}}=\text{Ι}{}_{\text{n}}.\end{array}$

充分性.已知Ai∈C${}_{\text{r}{}_{\text{i}}}^{\text{n}\times \text{n}}$, 取Ai的列向量组的一个极大无关组构成矩阵Xi∈C${}_{\text{r}{}_{\text{i}}}^{\text{n}\times \text{r}{}_{\text{i}}}$, 则Ai=XiY${}_{\text{i}}^{\text{Τ}}$, Y${}_{\text{i}}^{\text{Τ}}$∈C${}_{\text{r}{}_{\text{i}}}^{\text{r}{}_{\text{i}}\times \text{n}}$, i=1, 2, …, s.

令X=[X1, X2, …, Xs]∈Cn×n, Y=[Y1, Y2, …, Ys]T∈Cn×n, 则

$\begin{array}{l}\text{X}\text{Y}=[\text{X}{}_1‚\text{X}{}_2‚\cdots ‚\text{X}{}_{\text{s}}][\text{Y}{}_1‚\text{Y}{}_2‚\cdots ‚\text{Y}{}_{\text{s}}]{}^{\text{Τ}}\\ ={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{X}}{}_{\text{i}}\text{Y}{}_{\text{i}}^{\text{Τ}}={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{A}}{}_{\text{i}}=\text{Ι}{}_{\text{n}}‚\end{array}$

知X可逆.

又由Ai与Xi的等价性, 知Xi=AiQi, Qi∈C${}_{\text{r}{}_{\text{i}}}^{\text{n}\times \text{r}{}_{\text{i}}}$, 从而

$\text{A}{}_{\text{i}}\text{X}{}_{\text{j}}=\{\begin{array}{l}\text{X}{}_{\text{i}}‚\text{i}=\text{j}‚\\ \text{Ο}‚\text{i}\ne \text{j}‚\end{array}\text{i}‚\text{j}=1‚2‚\cdots ‚\text{s}$

使$\text{f}(\text{A})\text{X}{}_{\text{i}}={\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^{\text{s}}\text{f}}(\text{λ}{}_{\text{j}})\text{A}{}_{\text{j}}\text{X}{}_{\text{i}}=\text{f}(\text{λ}{}_{\text{i}})\text{X}{}_{\text{i}}‚\text{i}=1‚2‚\cdots ‚\text{s}.$

进一步得

X为可逆矩阵, 故f (A) 为单纯矩阵.

A有2个互异的特征值, λ1=-1, λ2=λ3=2, f (-1) =6, f (2) =3, 取

$\begin{array}{l}\text{A}{}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right]‚\\ \text{A}{}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ -1& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{得}\text{f}(\text{A})=\text{A}{}^2-2\text{A}+3\text{Ι}\\ =\text{Ρ}diag\{\text{f}(-1)‚\text{f}(2)‚\text{f}(2)\}\text{Ρ}{}^{-1}\\ =\text{f}(\text{λ}{}_{\text{i}})\text{A}{}_{\text{i}}=\text{f}(-1)\text{A}{}_1+\text{f}(2)\text{A}{}_2\\ =6\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& 0& 0\\ \frac{4}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& 1& 0\\ -\frac{4}{3}& \frac{1}{3}& \frac{4}{3}\end{array}\right].\end{array}$

3 几点补充

(1) 单纯矩阵A的谱族[2]是唯一的[1], 且A的任意多项式f (A) 与A有完全相同的谱族;

(2) 矩阵A单纯且可逆时, 则$\text{A}{}^{-1}={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{λ}}{}_{\text{i}}^{-1}\text{A}{}_{\text{i}}‚\text{f}(\text{A}{}^{-1})={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{f}}(\text{λ}{}_{\text{i}}^{-1})\text{A}{}_{\text{i}}$;

(3) 当f (A) 可逆$({\displaystyle \prod _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{f}}(\text{λ}{}_{\text{i}})\ne 0)$时, f-1 (A) 的谱分解为$\text{f}{}^{-1}(\text{A})={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{f}}{}^{-1}(\text{λ}{}_{\text{i}})\text{A}{}_{\text{i}}.$

参考文献

[1]贺旭东, 陈怀海.多点随机振动控制中的互谱矩阵研究[J].南京航空航天大学学报, 2004, (6) :744-747.

[2]高枫.单纯矩阵的谱分解[J].常州工学院学报, 2006, (8) :40-42.

[3]黄廷祝.矩阵理论[M].高等教育出版社, 2003:96-106.

多项式优化 篇6

所谓多项式曲面拟合, 其主要目的是利用一些已知高程异常值的离散点来拟合出局部区域内的高程异常值, 通过GPS水准拟合获得所测区域的高程异常值的分布情况, 从而将GPS所测点的大地高转化为正常高。

多项式曲面拟合的数学表达式如下:

设待求点的平面坐标与待求点的高程异常值i关系式为:ξi=f (xi, yi) +ei (公式2)

上式中, 若f (x, y) =a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy+LL (公式3) 则称为多项式拟合。已知a0、a1、……、an是多项式曲面拟合公式的系数, 只要确定多项式拟合公式的系数, 就可以求解待定点的高程异常值。

此种方法只适用于地势起伏变化不是很大或者是地势较为平坦的测区。如果地势起伏很大或者是比较困难复杂的情况下, 运用此方法拟合误差就会比较大, 测量结果也不够精确。

当地势起伏较大时, 似大地水准面的起伏变化情况将会非常复杂更加难以拟合确定, 那么多项式曲面拟合的结果必然无法达到相应的精度标准。因此我们需要采取一些措施加以改进:

1) 从已知水准点和检验点的精度入手, 由于联测的已知水准点的精度情况直接决定了拟合后的精度, 所以要对已知水准点的精度加以检验和控制, 要使已知水准点的密度适中且尽量分布均匀, 最好能最大限度的覆盖整个测区, 这样就能够有效的减少所得高程异常值的误差, 从而提高高程异常值精度, 同时提高了正常高的精度。

2) 如果对多项式曲面拟合的方法有效合理的加入相应的改正参数或数学模型, 就可以减少复杂地形对多项式曲面拟合数学模型的影响, 就可以有效的减少复杂地形对所得高程异常值的误差影响, 就可以准确的求定在复杂地形下测区内点的高程异常值, 从而提高正常高的精度。

随着公式3中 (x, y) 幂次的不同, 多项式曲面拟合又可以分为平面拟合、二次曲面拟合、三次曲面拟合等。

1平面拟合

在地形起伏比较小的区域或地势较为平坦的区域, 可以考虑用平面逐渐逼近局部的似大地水准面的方法来拟合曲面求得高程异常值, 从而得到正常高值。在面积很小的范围内, 可以认为大地水准面近似和平面重合, 平面模型的数学表达式为:ξi=a0+a1xi+a2yi (公式4) , 平面拟合数学表达式中:x, y为平面点的坐标;a0, a1, a2为平面拟合数学模型的待定参数的系数。由已知点的正常高和GPS测得的大地高确定平面拟合模型的3个参数a0, a1, a2, 从而求得第i个拟合点的高程异常值。

2二次多项式曲面拟合

当测区内点在一定程度上布成区域面时, 可以采用二次多项式曲面拟合的数学模型来拟合局部曲面, 进而在拟合的局部曲面前提下利用多项式曲面拟合求出待测点的正常高, 也就是根据测区中的已知点的平面坐标 (x, y) 或大地坐标 (B, L) 以及相应点高程异常值ξ, 用二次多项式曲面拟合的方法来拟合局部曲面, 当多项式曲面拟合出测区的似大地水准面之后, 再通过多项式曲面拟合出该点高程异常值ξ, 最终求出待测点的正常高值。

二次曲面拟合算法的模型表达式为:ξ=f (x, y) +ei (公式5) , f (x, y) =a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2 (公式6) , 公式5中, e是相应的残差值, 利用一个方程就有一个对应水准联测点, 在[e2]=min条件下求出ai, 再代入公式6可求出剩余点的高程异常值。

3三次多项式曲面拟合

虽然三次多项式曲面拟合具有较好的精确性和通用性, 但是由于三次多项式曲面拟合计算过程相对困难复杂。

因此, 在精度要求不是很高的情况下, 一般不采用三次多项式曲面拟合, 三次多项式曲面拟合算法的数学模型表达式:f (x, y) =a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2+a6x3+a7x2y+a8xy2+a9y3 (公式7) 。

对于三次多项式曲面拟合的方法, 由于三次多项式的未知参数比较多, 而且 (x, y) 的幂次比较高, 所以在采用三次多项式曲面拟合计算高程异常值时, 计算方法和过程比较困难复杂, 因此要加倍细心。

综上所述, 相比较以上三种多项式曲面拟合方法, 如果有足够的几何水准联测拟合点和检核点, 进行高程拟合时采用二次多项式曲面拟合法能得到很好的拟合效果且更便捷。在实际工作运用中可以采用多种多项式曲面拟合的数学模型来拟合当地局部区域的似大地水准面, 通过相应的计算求出待测点的高程异常值ξ, 最终求出待测点的正常高。然后通过内符合精度、外符合精度、平均误差和拟合误差的分析, 选择最佳最优方案, 通过实践和研究证明只要使已知水准点密度适中且尽量的分布均匀, 最好能最大限度的覆盖整个测区, 这样就能够有效的减少所得高程异常值的误差, 同时也提高了正常高的精度。在满足水准高程的精度足够高的情况下, 即内符合精度、外符合精度、平均误差和拟合误差都满足的情况下, 在满足测量要求精度的前提下完全可以用GPS高程测量的成果来代替普通低等级水准测量, 且测量精度比普通低等级水准测量的精度还要高。

多项式曲面拟合是GPS高程拟合的一个热点, 有效和快速提高GPS高程转换精度, 可以提高测量精度和降低外业测量的困难程度。与传统水准测量相比, 既能满足全天候、自动化、高精度的要求, 又可以实现测量速度快、节省大量的人力和物力等优点, 从而真正的实现GPS测量的无可比拟的优越性, 使备受青睐和广泛关注的GPS有更加美好的研究价值和广阔的发展应用前景。

摘要：随着经济和科学技术的不断发展, GPS已成为测量工程领域中的一种极为重要的方法。将GPS测量得到的大地高转化为正常高通常来说是非常繁琐的, 但如果已知每个GPS点的高程异常值ξ, 那么将GPS大地高转换为正常高就会变得相对容易, 这样就可以在保证精度的前提下实现GPS高程测量代替普通水准测量。曲面拟合是实现这一过程的有效方法, 根据数学模型和原理的不同, 曲面拟合法主要分为:多项式曲面拟合法、多面函数拟合法、移动曲面拟合法等。

关键词：水准点,高程异常,多项式曲面拟合

参考文献

[1]孔祥元, 郭际明, 刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉大学出版社, 2003.

[2]李征航, 黄劲松.GPS测量与数据处理[M].武汉大学出版社, 2005.

方阵多项式的特征值问题探讨 篇7

命题1设 λ1, λ2, …, λn为n阶方阵A的n个特征值, f ( x) 为一个m次多项式, 则f ( λ1) , f ( λ2) , …, f ( λn) 为n阶方阵f ( A) 的n个特征值 ( 包括重根的情形) , 且A的属于特征值 λi ( i = 1, 2, …, n) 的特征向量也是f ( A) 的属于特征值f ( λi) 的特征向量.

即f ( λ1) , f ( λ2) , …, f ( λn) 为n阶方阵f ( A) 的n个特征值.

设A的属于特征值 λi的特征向量为 α, 则有Aα = λiα.即Akα = λikα, 进而可得f ( A) α = f ( λi) α, 故 α 为方阵f ( A) 的属于特征值f ( λi) 的特征向量. 证毕.

命题2设 λ1, λ2, …, λn为n阶方阵A的n个非零特征值, g ( x) = bxu ( u ∈ Z-, b ≠0) 为幂函数, 则g ( λ1) , g ( λ2) , …, g ( λn) 为n阶方阵g ( A) = b ( A-1) - u的n个非零特征值 ( 包括重根的情形) , 且A的属于特征值 λi ( i = 1, 2, …, n) 的特征向量也是g ( A) 的属于特征值g ( λi) 的特征向量.

证明由于n阶方阵A的n个特征值都不等于零, 则A可逆, 且 λ1-1, λ2-1, …, λn-1为n阶方阵A-1的n个非零特征值. 取幂函数f ( x) = bx- u ( u ∈ Z-) , 对于方阵A-1, 由命题1 得, f ( λ1-1) , f ( λ2-1) , …, f ( λn-1) 为n阶方阵f ( A-1) 的n个非零特征值, 即g ( λ1) , g ( λ2) , …, g ( λn) 为n阶方阵g ( A) 的n个非零特征值.

设A的属于特征值 λi的特征向量为 α, 则有Aα = λiα.即A-1α = λi-1α, 进而可得g ( A) α = g ( λi) α, 故有 α 为g ( A) 的属于特征值g ( λi) 的特征向量. 证毕.

命题3设 λ1, λ2, …, λn为n阶方阵A的n个非零特征值, f ( x) 为一个m次多项式, g ( x) = bxu ( u ∈ Z-, b ≠ 0) 为幂函数, 则f ( λ1) + g ( λ1) , f ( λ2) + g ( λ2) , …, f ( λn) +g ( λn) 为n阶方阵f ( A) + g ( A) = f ( A) + b ( A-1) - u的n个特征值 ( 包括重根的情形) , 且A的属于特征值 λi ( i = 1, 2, …, n) 的特征向量也是f ( A) + b ( A-1) - u的属于特征值f ( λi) + g ( λi) 的特征向量.

证明考虑| λE -[f ( A) + b Au]| = | A |u| - f ( A) A- u+ λA- u- b E | , 由命题1 可得,

设A的属于特征值 λi的特征向量为 α, 由命题1 和命题2 得, f ( A) α = f ( λi) α, g ( A) α = g ( λi) α, 即有[f ( A) +g ( A) ]α = [f ( λi) + g ( λi) ]α, 故 α 为方阵f ( A) + g ( A) 的属于特征值f ( λi) + g ( λi) 的特征向量. 证毕.

例1设四阶方阵A的特征值为1, 2, 2 和- 1, 判断方阵A3- A + 2E是否可逆.

参考文献