多项式综合

多项式综合（共12篇）

多项式综合 篇1

在微积分中, 函数的泰勒展开式是非常重要的内容, 在分析和研究数学问题方面有着重要应用。但由于展开式中需要用到函数的高阶导数值, 因此计算量很大, 求起来不方便, 学生很容易出错。这里给出了巧用综合法求n次多项式函数f (x) 在x=x0泰勒展开的一种方法。

设为n次多项式, 则f (x) 在x-x0处的泰勒展示为

求 (1) 式的关键是计算f (k) (x0) , k=0, 1, 2, …, n, 可见直接计算量很大, 且易出错。以下定理给出了泰勒展式系数的求法:

定理n次多项式f (x) 可以惟一地表示为的多项式。

证明用x-x0除f (x) , 再用x-x0逐次除所得的商, 设为

将q1 (x) , q2 (x) , …, qn-1 (x) 逐次代入f (x) 中, 则得

另设有

则由 (2) 、 (3) 式知

于是由 (3) 式得

此式与 (2) 中第一式比较, 得

此式与 (2) 中第二式比较, 得

如此继续下去, 有

即f (x) 表为x-x0的多项式惟一

与 (1) 式比较, 得

因此将求导数值f (k) (x0) 的问题转化为求rk的问题, k=0, 1, 2, …, n

由以上证明可知rk通过综合除法获得, 下面通过一个简单的例子来说明展开的具体过程

例1将多项f (x) =x4-6x3+12x2-7x-4按x-1的方幂展开如图1。

于是f (x) = (x-1) 4-2 (x-1) 3+3 (x-1) -4

例2将多项式x5-6x4+11x3-2x2-12x+8按x-2的方幂展开如图2。

于是f (x) = (x-2) 5+4 (x-2) 4+3 (x-2) 3

可见利用综合除法求多项式的泰勒展式要比直接应用泰勒公式简洁, 特别是对于幂指数较高的多项式, 利用综合除法更简洁准确。

小结

应用综合除法, 将多项式f (x) 表示为x-x0的展开式, 只要以x-x0除f (x) , 所得余式就是表达式中的常数项, 再以x-x0除前一次所得的商, 所得余式就是x-x0的一次项系数, 依次类推, 直至求得xx0的n-1项系数为至, 而x-x0的n次项系数就是原多项式f (x) 的首次项系数。

摘要：巧用综合除法求n次多项式函数 (fx) 在x=x0的泰勒展开。

关键词：泰勒展式,综合除法,多项式函数

参考文献

[1]杨子胥.高等代数习题解 (下) [M].修订版.济南:山东科学出版社, 2001.

[2]陈咸平, 翟森荣.高等代数与解析几何习题精解[M].北京:科学出版社, 2002.

[3]王正文.高等代数分析与研究[M].济南:山东大学出版社, 1994.

多项式综合 篇2

三、答案中，至少有两项是正确的，将正确多项选择题：（下面各题所给的备选答案的字母序号填入括号内）

并购中，对目标公司价值评估模式中的非现

金流量折现模式包括（）。B.市场比较法D.账面资产净值法A.市盈率法E.清并购中，对目标公司价值评估模式中市场比

算价值法

较法的第一步是选择可比公司。可比公司一般要求满足（）等条件。同A.行业相风险类似B.规模相近E.具有活跃交易C.财务杠杆相当

D.经营财务风险是审慎性调查中需要重点考虑的风

险。A.资产质量风险财务风险所涉及的核心问题包括B.资产的权属风险（）C.。债务风险D.净资产的权益风险E.财务公司作为非银行金融机构，其风险大体

收支虚假风险

财务来自于偿债能力可以分为（市场风险（）E.。操作风险A.战略风险B.信用风险D.A.短期偿债能力

C.长期

从价值驱动因素角度，通过总资产周转率指

偿债能力）等大类。

标分析，主要关注的问题有（）。A.现有资产效率能剩余资产现有设备、生产线的产出质量是否符合C.B.总资产结构是否合理是否存在闲置资产或产E.从母公司角度，金融控股型企业集团的优势

生产要求

主要体现在（）B.资本控制资源能力的从投资方向及集团增长速度角度，企业集团

放大C.收益相对较高E.风险分散 投资战略大体包括的类型（）。A.扩张型投资战略当前，发展型投资战略B.收缩型投资战略E.稳固企业集团组建与运行的主要方式有（）。

短期融资券筹资的缺点是（）。B.并购C.重组D.投资

短D.筹资风险大

C.发行期限

多元化投资战略的优点主要有（）。于分散经营风险用D.有利于企业集团内部协作，C.有利于降低交易费A.有利

提高效率E.有利于构建内部资本市场，提高资反映资产使用效率的财务指标（）。本配置效率

C.资产

周转率D.应收账款周转率E.资产负债根据集团战略及相应组织架构，企业集团管

率

控主要有（）基本模式。关系到企业集团融资这样重大决策事项时，B.战略控制型D.财务控制型A.战略规划型

应遵循（）等基本原则。集团多级法人制要求建立多级预算管理组

重点决策E.授权管理

A.统一规划D.织。多级预算管理组织包括（）。东大会工作组E.B.各责任中心董事会C.预算委员会A.股

D.预算集团公司是企业集团内众多企业之一，常被

称为司

（）B.集团总部D.母公司E.控股公集团股东对企业集团整体业绩评价主要包括

财务业绩和非财务业绩两方面。下列指标属于财务业绩的有（）。A.偿债风险指标集团投资战略有两层涵义，一是从导向层面

标E.资产运营能力指标B.经营与增长指标

C.盈利能力指理解，二是从操作层面理解。下列内容从导向层面理解的是（）。投资方向E.企业集团增长速度D.企业集团

集团下属成员单位预算的内容包括（）。业务经营预算流预算E.财务报表预算B.资本支出预算

D.现金A.集团战略与分部财务业绩评价指标（化战略、战略、分部业绩与评价指标）。分部业绩与评价指标E.D.多元化一体

金融控股型企业集团的劣势主要表现在（）

A.险税负较重

B.高杠杆性D.“金字塔”风企业集团总部管理费用较低H型组织结构，有（）等优点。A.司损失C.总部风险分散B.可弥补亏损子公D.总部可自由企业集团财务风险控制的重点包括（）。运营子公司E.便于实施分权管理 资产负债率控制C.担保控制D.表外融B.企业集团财务管理的特点包括（）。资控制E.财务公司风险控制

整体价值最大化的目标导向B.A.多级理集团

财主体及财务职能的分化与拓展务管理理念的战略化的集中化倾向E.集团财务的管理关系D.总部管理模式C.财企业集团财务管理分析至少包括“超越”法律关系

B.集团整体财务管理分析D.()等大类。

集团分部财务管理分析

企业集团财务战略主要包括（）等方面。B.企业集团分权式财务管理的优点主要有（）。

投资战略D.融资战略

C.具有较强的市场应对能力和管理弹性D.性有利于调动下属成员单位的管理积极与重大财务决策E.使总部财务集中精力于战略规划

企业集团集权式财务管理体制不足之处有

（）。力E.不利于发挥下属成员单位财务管B、存在决策风险D、降低应变能企业集团收缩型投资战略通常以（）等为主

理的积极性

要实现形式。A.资产剥离B.股份回购D.企业集团业绩评价工具主要有（子公司出售

绩评价B.360度评价E.平衡计分卡A.多棱角业

企业集团预算中的经营预算包括（）等内容。

（BSC））等。

C.业务收支预算D.费用预算E.利润预企业集团战略管理作为一个动态过程，主要

算

包括（）等阶段。B.战略分析D.战略选企业集团战略可分的级次包括有（）。择与评价E.战略实施与控制

团整体战略B.经营单位级战略C.A.职能集

企业集团资金集中管理模式有多种，主要包

战略

括（）。A.总部财务统收统支模式B.总部结算中心模式部财务备用金拨付模式C.内部银行模式D.式

E.财务公司模总企业集团总会计师作为企业集团经营团队的重要成员，受国资委或集团董事会的直接聘任，履行()等职责。B.财务管理与监督C.财会内控机制建设D.企业会计企业集团最大优势体现在基础管理E.重大财务事项监管()。A.资源整合D.全面预算中的财务预算包括（）等内容。管理协同

现金流预算C.资产负债表预算E.利润B.任何财务管理分析都是对信息的剖析与再利

表预算

用。而信息归纳起来主要有内部信息和外部信息两大类。下列信息属于内部信息的有（）。附注D.公司预算A.集团战略E.管理报告B.财务报表及

审慎性调查可以发现并购交易中可能存在的各种风险，如（）等。务方面的风险C.法律风险A.税务风险D.人力资本B.财授权管理是指总部对成员企业融资决策与具

风险E.劳资关系风险

体融资过程等，根据三权分离的风险控制原则，明确不同管理主体的权责。其中的“三权”指的是（）。执行权E.监督权

B.决策权D.通过公司价值计量模式可以看出，导致公司

价值增加的核心变量主要有（）。由现金流量C.加权平均资本成本A.E.自时下列比例是集团公司对成员企业的持股比

间上的可持续性

例。如果在任何成员企业里，拥有30%的股权即可成为第一大股东，那么，与集团公司可以母子关系相称的有（）C．C35%D．D51%E．E100% 下列指标中，利润总额属于反映盈利能力指标的有（值）。

D.净资产收益率E.经济增加C.相对单一组织内各部门间的职能管理，企业

集团战略管理最大特点就是强调整合管理，它具有（）特征。A.全局性C.高层相关多元化企业集团的“相关性”是谋求这

导向D.动态性

类集团竞争优势的根本，主要表现为（）等方面。B.优势转换C.降低成本D.共享学习与成长维度的概括性指标有（品牌

B.员工满

意度C.人均产出效率D.一般而言，资产负债率水平的高低除考虑宏

时间）。

员工人均培训观经济政策和金融环境因素外，更取决于（）等各方面。征B.集团成长速度A.C.集团所属的行业特集团盈利水平D.资产负债间的结构匹配程度一般认为，反映企业财务业绩的维度主要包

营风险

E.集团经括（）等方面。B.一般认为，企业集团财务管理体制按其集权

E.偿债能力

营运能力C.盈利能力化的程度包括有（）等类型。财务管理体制、A.D.合一式财务管理体制B.分权式财务管理体制集权式

盈利能力分析可以从（）等维度进行。益投资与利润的关系C.润的关系E.规模增长及其与利润的关D.资产利用与利权

系

影响企业集团组织结构选择的最主要因素有

与单一企业组织相比，企业集团业绩评价具

()。C.公司环境D.公司战略

有（）等特点。A.多层级性B.复杂性D.与金融控股型企业集团相比，产业型企业集

战略导向性

团母公司不仅关注对下属成员单位的股权投资及其收益实现，以谋求产业竞争优势。而且更为关注战略C.产业布局及整合A.企业集团整体（），D.内部运营与预算管理的环节一般包括（）。管理协调

C.预算编制D.预算调整E.预算考核B.预算执行

预算管理具有以下基本特征（）。预算监控指标中的财务性关键业绩指标有

C.机制性D.全程性E.全员性

A.战略性

（）。A.收入C.产品单位成本D.预算监控指标中的非财务性关键业绩指标有

转率

资产周（）。B.产品产量C.产品质量D.在会计上，现金流量表要反映出企业额

市场份()的现

金流量。B.投资活动C.筹资活动E.经营在企业集团的存在与发展中，主流的解释性

活动

理论有（）。A.交易成本理论E.专业化投资战略的优点主要有（）。合与风险分散理论

资产组A.有利

于在集中的专业做精做细自己擅长的领域创新C.有利于在理水平

单项式乘多项式法则的再认识 篇3

关键词:教学设计;因式分解;再认识

教学内容:

苏教版七年级下册第九章第5节第一课时“单项式乘多项式法则的再认识——因式分解(一)”。

教材分析:

1.教材的地位和作用。

本节课是“单项式乘多项式法则的再认识”第一课时,与整式乘法是互逆的过程。其知识基础是建立在学生已经掌握整式乘法运算,并且以小学知识里已经涉及相关分解因式之上的。其重要作用在之后的分式运算、化简和一元二次方程中皆有体现,是数与式运算中不可缺少的知识部分。

2.教学目标。

认知目标:①理解因式分解的概念和意义。②认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形,并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法(提公因式法)。

能力目标:由学生自行探求解题途径,培养学生观察、分析、判断能力和创新能力,发展学生智能,深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

情感目标:培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

3.教学重点。

(1)理解因式分解的概念和意义。

(2)认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形,并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法(提公因式法)。

4.教学难点。

寻求因式分解的方法(提公因式法),并会应用去进行分解因式。

5.教学方法。

(1)采用以设疑探究的授课方式,激发学生的求知欲望,提高学生的学习兴趣和学习积极性。

(2)把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线,训练学生思维,以设疑——感知——概括——运用为教学程序,充分遵循学生的认知规律,使学生能顺利地掌握重点、突破难点、提高能力。

(3)在课堂教学中,引导学生体会知识的发生发展过程,坚持启发式教学,鼓励学生充分地动脑、动口、动手,积极参与到教学中来,充分体现了学生的主动性原则。

6.设计理念。

(1)教学是多边互动过程,不仅重结果,更重过程;教学的重心是人而不是学科。

(2)人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。

(3)建立在建构主义学习理论基础上。

教学过程及设计意图:

一、提出问题,创设情境

问题:看谁算得快?(投影出示问题)

(1)若a=101,b=99,则a²-b²=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400.

(2)若a=99,b=-1,则a²-2ab+b²=(a-b)2=(99+1)2=10000.

(3)若x=-3,则20x²+60x=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0.

(设计意图:通过问题的提出,采用比赛的形式,增强学生的竞争意识,活跃课堂气氛,调动学生学习的积极性和主动性。)

二、观察分析,探究新知

类比小学学过的因数分解概念(例42=2×3×7),得出因式分解概念。

板书课题:§9.5因式分解

1.因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解,也叫分解因式。

(设计意图:通过对等式的观察比较,得出并加深对因式分解的概念的理解。)

2.练习:下列由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是?为什么?

①(x+2)(x-2)=x²-4②x²-4=(x+2)(x-2)

③a²-2ab+b²=(a-b)²④3a(a+2)=3a²+6a

⑤3a²+6a=3a(a+2)⑥x²-4+3x=(x-2)(x+2)+3x

(设计意图:及时对因式分解的概念进行巩固。)

3.因式分解与整式乘法的关系:

因式分解:a+ab=a(1+b)

整式乘法:a(1+b)=a+ab

提出问题:观察并说出因式分解与整式乘法的关系。

(设计意图:通过因式分解和整式乘法的关系的比较,进一步加深对因式分解的概念的理解和掌握。通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论,了解学生观察、分析问题的能力,逆向思维能力及创新能力。发现问题,及时反馈。)

4.例:把下列各式分解因式。

(1)am+bm(2)6a3b-9a²b²c

(3)-2m3+8m²-12m

思考:如何利用整式乘法来探求因式分解方法的思路?

(设计意图:提出问题,让学生积极思考,活跃思维,分组讨论,培养他们观察问题、解决问题、协调合作的能力。)

5.提公因式法概念。

(1)公因式如何确定?

(2)提公因式时要注意什么?

(设计意图:提出问题,巩固学生对提公因式法的理解,引导学生抓住提公因式法的关键。)

6.练习:教材:90~91页第2、3、4题。

(设计意图:巩固学生对分解因式和提公因式法的掌握。)

7.回顾所得。

请大家自主概括:通过本节课的学习,你获得了什么?有哪些希望与大家共同注意的地方?

(设计意图:培养学生的概括、归纳能力,理清解题的一般步骤,落实重点,建立完整的知识结构。)

8.布置作业。

教材第91页习题1、2(其中第2题为选做题)。

(设计意图:不过多延伸本节课的知识,确保教材的设计意图,并确保学生的有效学习能力的提高,设计选做题是考虑到学生的差异性。)

教学评析与反思:

1.体现建构主义理论。把因式分解的知识建立在学生小学所学过的因数分解和前几节单项式乘多项式法则的基础上进行,不强迫学生去重复接受已有的知识,通过教学设计引导学生去自主发现因式分解的概念和提公因式法并进行应用。

2.体现新课程下教师的角色定位。本节课采用以设疑探究的授课方式,激发学生的求知欲望,提高学生的学习兴趣和学习积极性。全面体现了教师在新课程下作为“引导者、组织者和合作者”的角色。摆脱了传统教学中的教师为主导的教学模式,促使学生形成学习主人翁的意识,培养了学生的自主探究能力和小组合作能力。

多项式综合 篇4

关键词：技术,深基坑,管涌,应用

当前, 我国的建筑数量不断增多, 一定程度上推动了社会的发展与进步。但从整体的情况来看, 建筑的各个组成部分, 都表现出了一些特定的问题。在深基坑施工当中, 管涌所表现出的问题是非常严重的, 个别工程的周边环境产生了非常严重的损坏, 如果深基坑施工中未能对管涌做出有效的处理和弥补, 将造成极为严重的影响, 甚至是造成较大的安全事故。在此, 本文主要对深基坑管涌问题, 讨论多项技术的综合应用。

一、工程概况

天安南海数码新城-4栋工业厂房 (天安科技大夏) , 工程位于佛山市南海区桂城简平路, 场地现状较平坦。地貌上处于珠江三角洲平原腹部, 地势较为平整。建筑面积共69155m2, 钢筋混凝土框架-剪力墙结构体系, 地下-2层, 地上20层。首层层高为5.800m, 二层层高为4.200m, 三层至十九层层高为3.800m, 二十层层高为4.200m, 总高度80.8m, 地下二层高为3.800m, 地下一层高为4.800m, 地下二层13148m2均为停车库, 地上二十层均为办公写字楼。基坑支护结构采用桩锚支护结构, 止水采用桩间高压旋喷桩。

二、管涌原因分析

管涌问题的出现并非偶然情况, 在很多的深基坑工程当中, 管涌发生后, 都具有一定的迹象可以寻找。经过系统的分析发现, 本次施工过程中, 开挖工作到达基坑西北角的坑底时, 在该位置出现了比较严重的管涌问题。管涌在刚开始管涌的水量不大。但为了确保不影响项目的正常进行, 必须对管涌进行处理, 所以本项目在管涌出现后, 及时的停止施工, 针对管涌做出了具体的分析。

经过现场的大量观察、分析后认为, 管涌所产生的原因集中在以下几个方面:

第一, 本次工程在施工的过程当中, 局部采用了高压旋喷桩的技术, 但该技术并没有形成良好的、整体性较强止水帷幕。

第二, 施工过程中, 西北段有障碍物, 止水帷幕施工时技术的差异和条件的限制, 导致深基坑的西北段出现了渗漏点的情况, 最终造成了管涌的发生。

三、管涌处理的综合技术选择

从深基坑工程的特点和管涌造成的影响来看, 要想在客观上更好的解决管涌, 并且避免其反复的发生, 必须要从客观实际出发, 要在多方面来有效的治理管涌问题。值得注意的是, 深基坑工程并不是一项容易的工程, 必须要结合工程的特点、进度、质量要求等等, 从指标的角度出发, 联合实际来处理管涌问题, 以此来达到较高的处理效果。因此, 管涌处理的技术选择, 必须引起高度的注意。

(一) 套筒反滤——引排——封堵方法分析

深基坑管涌在处理的过程中, 很多工程选择了单一的手段来进行, 虽然在短时间内较好的处理了管涌问题, 但在后续的施工中仍然不断的出现, 造成了极大的负面影响。本文认为, 针对深基坑管涌问题, 必须要选择综合的技术处理。结合本工程的特点和要求, 建议选择应用套筒反滤——引排——封堵方法来进行管涌的处理。该技术方法在应用的过程中, 从降低水位的方向、改良土性的常规处理方向出发, 先将管涌问题控制在一定的范围内, 避免不利影响继续扩大。然后, 针对性的选择套筒反滤——引排——封堵方法, 逐步的将管涌进行治理, 形成施工上的良性循环。该方法的优势在于, 能够在经济成本上得到有效控制, 不会影响深基坑的工程成本;同时, 套筒反滤——引排——封堵方法的使用效率较为突出, 能够在最短的周期内, 实现最高的管涌处理效果。该方案的执行, 与客观情况要密切联系, 对基坑止水帷幕失效下的管涌处理具有较大的参考意义。

(二) 注浆法

除了上述的方法外, 处理深基坑管涌的过程中, 还可以选择注浆法来完成, 也就是俗称的灌浆法。注浆法的优势在于, 针对深层搅拌桩止水帷幕的失效, 可进行有效的处理, 再次发生的概率是非常低的。注浆法的工作原理为:在搅拌桩的开叉位置, 进行有效的封堵处理。同时, 应用高压灌注的方法, 应用早强水泥浆来进行管涌的治理工作。在管涌获得有效的控制后, 使用人员应在对应的深基坑方面做出干预, 在塌陷的位置选择回填砂的方法来治理。之后, 有效的实施冲灌早强水泥浆的方法, 实现管涌的全面克制。注浆法在具体的使用过程中, 其优势主要表现在以下几个方面:处理方法比较简单, 能够快速的执行;注浆法在止水封堵效果方面比较突出, 针对性较强;该方法针对塌陷问题的处理, 可以取得良好的效果, 基本上不会发生复发问题。

四、多项技术的综合应用分析

深基坑内的管涌问题发生后, 必须引起高度的注意, 不能单纯的从某一个角度出发, 而是要站在全局的角度来进行问题的有效处理。从工程案例来看, 深基坑管涌的出现绝对不是偶然的情况, 应在多方面来做出系统的干预, 并且更好的避免恶性情况的出现。当前国家在建设工程的数量上获得了较大的增长, 如果想要在技术上、水平上获得提升, 管涌问题是一项必须要有效克制的问题。多项技术的综合应用, 可对管涌问题进行系统的处理, 告别以往单一方法处理带来的不利影响。

(一) 加强维护措施、环境监测

深基坑管涌在发生后, 必须要在维护方面、环境方面进行探讨。随着人口的增加和社会对建筑的需求增大, 很多的建筑物都建设在比较远的地区当中, 这些区域在以往的开发并不深, 因此有很多的情况未必了解。深基坑管涌的出现, 要从内部出发, 进一步的加强维护措施执行, 加强对周边环境的有效监测, 以此来获得更多的数据、资料, 选择针对性的方法来处理, 告别以往的恶性循环。

结合以往的工作经验和当下的工作标准, 认为加强维护措施、环境监测, 可从以下几个方面出发:

第一, 必须要对周边建筑的情况深入分析, 这主要包括周边建筑的沉降问题、裂缝问题等等。建筑物在增加的过程中, 地质的沉降会表现的非常明显, 尤其是在深基坑外部的地下水位方面, 多数地区都可能出现不同程度的围护体位移情况, 这就需要进一步的加强观测。同时, 在观测频率上, 应每间隔1小时, 进行1次的数据搜集, 提高数据的全面性, 为具体的干预措施提供较多的参考和指导。

第二, 经过观测后发现, 深基坑的管涌处理时, 深基坑外部的水位并没有出现显著的变化, 深基坑外部的地面沉降也没有特别显著的变化, 周边的建筑物在沉降过程中并不明显, 这就证明管涌的发生与沉降关系并不是特别的大。

第三, 在管涌处理过程中, 应按照上述的监测方法, 一直执行到管涌的处理完毕。在很多时候, 管涌处理会导致沉降发生变化, 所以不能有任何的懈怠。

(二) 深基坑内双液注浆

深基坑管涌问题的发生, 注浆法的应用虽然取得了突出的效果, 但也要从客观实际出发。本次案例的研究中发现, 为了能够更好的发挥出注浆法的优势, 可尝试应用深基坑内双液注浆法来完成。经过大量的讨论与分析, 认为深基坑内双液注浆的应用, 可通过以下方法来完成:

第一, 在发生管涌并停止施工后, 项目部提出意见, 并与围护设计人员讨论决定, 采用以出水点为中心进行坑内双液压密注浆处理, 为了取得最佳效果, 水泥浆与水玻璃体积比采用1∶0.25, 水玻璃浓度为16Be’, 注浆深度为坑底至坑底以下6m, 注浆范围为管涌点两侧各5m范围内。经过7h多的注浆, 情况得以控制, 原出水点已有浆液冒出, 水头逐渐减少后不再冒水, 第一次管涌得以控制。

第二, 然而第一个管涌点得以控制后, 距离原管涌点东侧又新出现了第二处管涌点, 经过分析, 我们认为此段围护体可能存在较多薄弱环节, 单独注浆已不能产生明显效果, 很可能管涌出水点继续出现, 需要采取另外技术处理。

选择双液注浆处理的过程中, 能够针对深基坑管涌做出有效的防护处理, 充分考虑到了多次管涌发生的可能性及具体的损害。但是, 部分深基坑工程所处地区比较特殊, 双液注浆的使用遇到了一些限制性的条件, 应联合其他的巩固技术来完成, 力求将管涌的处理一次性解决, 将各方面的损失降到最低。

(三) 坑外高压旋喷桩止水

随着深基坑工程的难度和复杂性不断的增加, 选择多项技术综合应用过程中, 坑外高压旋喷桩止水是一项可行性较高的技术。从优势上来分析, 坑外高压旋喷桩止水主要表现为以下几点:

第一, 该技术拥有完善的技术体系, 适用范围比较广泛, 能够根据不同的工程, 制定出相互匹配的技术方案, 执行效果较好。

第二, 坑外高压旋喷桩止水的兼容性突出。该项技术可与其他的技术有效联合应用, 符合深基坑管涌综合处理的要求, 且得到的效果较好, 在业界内获得了较高的肯定。

第三, 由于当前的深基坑管涌问题, 多数都出现在帷幕止水方面, 选择坑外高压旋喷桩止水是比较合理的。

在本次的工程案例当中, 坑外高压旋喷桩止水的应用, 利用以下思路来完成:通过以上对新管涌产生的分析, 经讨论拟在坑外打设高压旋喷桩进行止水, 具体措施为:在基坑外, 以出水点为中心两边各打长3m、深度为-9m~-15m、双排间距70mm的高压旋喷桩, 同时坑外双液注浆, 以补充流失掉的土层内的水分, 保持坑外土体稳定, 减少对周边建筑的影响。然而在旋喷桩施工后, 坑内管涌仍未止住。通过分析, 我们认为:由于坑内外水头压力过大, 浆液在水流冲刷下无法固结, 导致了旋喷桩难以成型, 必须采取新的措施予以解决。

另一方面, 为了平衡坑内外水头压力, 我们决定采用坑外降水、坑内回填的措施。坑外降水是建立在充分考量各方面因素的前提下作出的, 管涌点出现的几天时间内, 监测数据表明未出现不利影响, 说明短时间抽取微承压水不会对周边产生不利影响。

结语

本文对多项技术在深基坑管涌处理中的综合应用展开讨论, 从获得的效果来看, 多项技术联合应用后, 针对深基坑管涌的处理, 取得了非常好的效果, 充分制止了管涌所带来的各项危害。未来, 我国的建筑工程和深基坑工程会深入的建设, 管涌问题的发生和影响也会加深, 应针对技术的综合应用、体系制定进行探索, 要在多方面确保管涌发生后能够被客观的处理, 进一步的加强防范措施, 促使深基坑工程可按时完工。

参考文献

[1]丁勇.基于建筑工程深基坑支护施工技术的分析[J].四川水泥, 2014 (11) :191+186.

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[9]洪琪.高层建筑深基坑工程中的常见问题分析及质量控制措施[J].安徽建筑, 2014 (03) :94-95.

多项式与多项式相乘教案 篇5

第7课时

多项式与多项式相乘

教学目标

1．能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项式。会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算；

2．通过导图中的问题理解多项式与多项式相乘的结果；

3．培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望。教学分析

重点：多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用； 难点：多项式乘以多项式的法则的正确应用；多项式的乘法应先转化为单项式乘多项式相乘进行运算，进一步再转化为单项式的乘法。教学过程

一、复习活动。

指名学生说出单项式与多项式相乘的法则。

(单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加。)

二、引导观察，图形演示。1．式子p(a＋b)=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式。如果p=m＋n，那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题。(由此引出课题。)你会计算这个式子吗?你是怎样计算的?(教师引导学生由繁化简，把m＋n看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：[(m＋n)(a＋b)=(m＋n)a＋(m＋n)b=ma＋mb＋na＋nb。] 2．你能用图形验证你算出的式子吗? 某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米。请你表示这块林区现在的面积。

问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积?(2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢?(学生分组讨论，相互交流得出答案。)学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m＋n)(a＋n)米2；另一个是(ma＋mb＋na＋nb)米2.以上的两个结果都是正确的。

3．观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的?(教师示范。)你能用语言叙述这个式子吗? 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(m＋n)(a＋b)=ma＋mb＋na＋nb。

多项式综合 篇6

摘 要： 本文结合数值分析的课程特点和作者教学感悟，以多项式插值教学为例，提出教学思考：注重学生主体地位，引导学生分析算法；重视实验课教学，引导学生深入探究算法改进；结合多媒体教学，利用知识结构之间的联系进行知识迁移。

关键词： 数值分析 多项式插值 教学思考

数值分析不仅是信息与计算科学和应用数学专业的专业基础课，而且是很多工科专业的一门重要课程，是依据数学原理构造算法利用计算机等计算工具求解数学问题数值解的一门科学，是一门应用性非常强的课程，有利于学生实践能力和应用能力的培养。传统的教学方法是教师传授算法，学生似乎“学懂”了，但是在应用中还是不能解决实际数学问题，或者只能依瓢画葫芦，问题稍有变化便束手无策，达不到课程学习的真正目标，对学生能力培养达不到预定的效果。这不得不引起教师对课程教学方法、教学模式的思考。博士生导师万中和韩旭里[1]认为数值分析教学中要强调算法构造的基本思想，算法的创造过程，重视算法的评价和改进方法，以及算法的执行等。学生只有理解了算法的思想和创造过程才能对算法进行改进，针对具体问题才能自己设计算法。所以笔者认为，在实际教学中应该充分发挥课程的特点，充分发挥学生的主体作用，引导学生探究、发现，自己总结规律，在实践中得出结论，这样才能真正学懂这门课程。

多項式插值是数值分析中非常重要的知识点，是函数逼近的一种重要方法。主要内容包括Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段多项式插值等。内容多，理论复杂繁琐，学生在有限的教学时间内掌握有一定困难，因此教学中要合理利用知识体系间的联系，符合学生认知规律，循序渐进地开展教学。下面结合笔者的教学经历、体会和感悟，针对多项式插值教学中遇到的问题提出教学思考与同行一起探讨。

一、通过分析评价算法，激发学生进一步探究热情

学习《数值分析》这门课程必须让学生明白，任何一种新的算法有优越性的同时往往还存在一定局限性，正因为这些局限性的存在才推动算法的不断改进，推动着学科的发展。比如学习分段多项式插值这一节之前，学生已经学习了几种经典的多项式插值，如，Lagrange插值、Newton插值和Hermite插值，对插值逼近思想已有初步了解，那么分段的多项式插值与前面学习的多项式插值有什么联系？学习分段多项式插值的有何必要？为了引导学生弄明白为什么要学习分段多项式插值，我们通过一个例题让学生自己分析算法的不足：用不同次数的Lagrange插值逼近函数1≤x≤1，取等距节点，并分析误差。引导学生探究分析，让学生观察误差的变化，学生会发现：随着插值次数增加时，Lagrange插值误差不但没有减少，在区间的两端点处误差反而增加了，而且随着次数增加波动得越来越大，这与之前学习Lagrange插值时形成的一种认识“增加插值次数可以减少误差”相矛盾。因此一味增加插值次数并不能优化插值效果，由于Lagrange插值Runge现象的存在，有必要对算法进行改进。这种以实例探究，层层深入的方法激发学生进一步学习的热情。

二、利用知识结构之间的联系进行知识迁移，帮助学生理解新知

每门学科知识点之间或者存在某种联系，如果孤立地讲授某一个知识点，学生往往觉得每个知识点都很难，学起来吃力，甚至索然无味，所以教师多总结知识点之间的联系，引导学生探究彼此之间的规律，循序渐进、层层深入，自然而然达到学习目的。比如：分段线性插值其实只是将插值区间分成许多小区间，在每个小区间进行线性插值，所以在构造分段插值函数的折线函数时，类比Lagrange线性插值解析式，将Lagrange插值区间，让学生自己类比得出折线函数解析式。另外，对于分段线性插值基函数的构造，也是学生理解的难点，教学过程中我们同样采用类比的方法，让学生自己总结。我们充分利用知识之间的联系，进行知识迁移，利用类比的方法引导学生自己总结新知，这比直接教给学生效果要好得多。

三、充分利用多媒体等现代教学手段，帮助学生突破难点

多项式插值效果如何，为了让学生更直观地了解可以借助Matlab软件作出函数逼近的效果图，帮助学生理解。又如Runge现象是插值理论中一个重要的知识点，在教学过程中，通过多媒体演示：随着插值节点的增加，Lagrange插值在两端点处波动越来越大。这种直观演示，加深了学生对Runge现象的理解。当然教学过程中，要合理利用多媒体教学，不能因为利用了多媒体而忽略必要的板书，尤其像数学类课程，对于定理证明、计算过程的理解，必要的板书是不可少的。所以，在本节课教学中，我们采用PPT教学和传统板书相结合的教学方法。

四、重视实验课教学，引导学生进行探究性学习

数值分析是一门注重实践、注重学生能力培养的课程，学生学这门课不仅是掌握算法理论，更重要的是解决实际数学问题的求解，所以应该重视实验课教学，学生只有通过实验才能感受算法理论的精妙[2]，才能真正利用算法解决问题。

比如，对Runge现象的理解可以让学生自己做实验去感受；为了比较分段线性插值比高次Lagrange插值效果好，可以让学生用分段线性插值方法自己作出Runge函数，-1≤x≤1的逼近效果图与Lagrange高次插值进行对比。引导学生实验探究：如果不取等距节点而取n+1次切比雪夫多项式的零点，i=0，1，…，n作为插值节点，此时Lagrange插值还会出现Runge现象吗？学生通过自己做实验发现同样取11次的插值，切比雪夫多项式插值效果最好，分段线性插值不是克服Runge现象的唯一方法，这就是我们在后续学习中将学到的最优一致逼近[3]。

参考文献：

[1]万中，韩旭里.《数值分析》课程教学的新认识及改革实践[J].数学教育学报，2008（17）2：65-66.

[2]李光云，李娇芬.数值分析中函数插值实验的教学设计[J].教育教学论坛，2015，6：233-234.

[3]曾金平.数值计算方法[M].长沙：湖南大学出版社，2006，8.

多项式综合 篇7

1 资料与方法

1.1 一般资料

选取2010年3月～2012年3月于我院进行治疗的90例银屑病患者为研究对象,将其随机分为对照组(泽它洗剂组)和观察组(消银汤配合泽它洗剂组),每组各45例。对照组的45例患者中,男26例,女19例;年龄17～66岁,平均(35.4±4.3)岁;病程0.4～20.5年,平均(9.2±1.4)年;其中进行期26例,静止期19例。观察组的45例患者中,男27例,女18例;年龄17～67岁,平均(35.6±4.1)岁;病程0.5～21.0年,平均(9.4±1.3)年;其中进行期27例,静止期18例。两组患者的性别比、年龄、病程及分期比较,差异均无统计学意义(均P>0.05),具有可比性。本研究经医院伦理委员会审核通过,且患者均签署知情同意书。

1.2 方法

1.2.1 治疗方法

对照组单纯采用泽它洗剂进行治疗,首先将头发湿润,四肢则需采用温水洗净,然后取泽它洗剂置于患处,并进行轻柔的按摩,然后将药物置于患处15～20 min,然后将其洗净,3次/周,连用4周。观察组则采用消银汤配合泽它洗剂进行治疗,泽它洗剂用法与对照组一致,在此基础上加用消银汤进行治疗,组方为生地、白茅根、鸡血藤、板蓝根及土茯苓,各15 g,赤芍、紫草、当归、丹参、白鲜皮及刺蒺藜则各取10 g,水煎,2次/d,口服,最少应用4周。后将两组患者治疗前和治疗后2、4周的血清免疫球蛋白及其补体、外周血T淋巴细胞亚群及红细胞CD35分子、CD59分子、红细胞平均血红蛋白浓度(MCHC)、红细胞平均体积(MCV)、红细胞免疫黏附促进因子(RFER)、免疫黏附抑制因子(RFIR)的水平进行比较。

1.2.2 检测方法

取治疗前1 d和治疗第2、4周患者当日晨起时的空腹外周静脉血5.0 mL送检,其中血清免疫球蛋白及其补体检测项目为免疫球蛋白A(IgA)、免疫球蛋白G(IgG)、免疫球蛋白M(IgM)及补体C3、C4,均采用免疫比浊法进行检测,试剂盒均购自上海易利生化试剂有限公司的定量试剂盒;外周血T淋巴细胞亚群检测项目包括CD3+、CD4+、CD8+、CD4/CD8及自然杀伤细胞(NK),均采用Beckman Coulter Gallios流式细胞仪进行检测,由机器读数并记录;红细胞检测指标包括红细胞CD35分子、CD59分子、MCHC、MCV、RFER及RFIR,红细胞CD35分子及CD59分子采用Beckman Coulter Gallios流式细胞仪进行检测,MCHC、MCV采用XFA9500全自动血液细胞分析仪进行检测及读数,RFER及RFIR采用郭峰法进行检测。

1.3 统计学方法

软件包选用SPSS 17.0,计数资料进行χ2检验,计量资料采用均数±标准差(±s)表示,重复测量的计量资料采用方差分析,两两比较采用LSD-t检验,以P<0.05为差异有统计学意义。

2 结果

2.1 两组治疗前后血清免疫球蛋白及其补体水平比较

治疗前两组患者的IgA、IgG、IgM及补体C3、C4水平比较,差异均无统计学意义(均P>0.05),而治疗后2、4周观察组的IgA、IgG及补体C3、C4均低于对照组,IgM高于对照组,且治疗后4周变化幅度大于治疗后2周,差异均有统计学意义(均P<0.05)。见表1。

2.2 两组治疗前后外周血T淋巴细胞亚群比较

治疗前两组患者的CD3+、CD4+、CD8+、CD4/CD8及NK水平比较,差异均无统计学意义(均P>0.05),而治疗后2、4周时观察组的CD3+、CD4+、CD4/CD8及NK均高于对照组,CD8+低于对照组,且治疗后4周变化幅度大于治疗后2周,差异均有统计学意义(均P<0.05)。见表2。

2.3 两组治疗前后红细胞多项指标水平比较

治疗前两组患者的红细胞CD35分子、CD59分子、MCHC、MCV、RFER及RFIR水平比较,差异均无统计学意义(均P>0.05),而治疗后2、4周观察组的红细胞CD59分子、RFIR及MCV均低于对照组,红细胞CD35分子、RFER及MCHC均高于对照组,且治疗后4周变化幅度大于治疗后2周,差异均有统计学意义(均P<0.05)。见表3。

3 讨论

银屑病可由多种因素引起,患者的皮肤表现出明显的银白色鳞屑的红色斑块,对于患者的机体和心理可造成极大的不良影响,对其研究显示,患者的表皮增生分化和免疫系统均较为异常,而这种免疫系统异常可表现为两方面,即适应性免疫系统异常和表皮细胞的天然免疫功能异常[4,5],而体现在血液中则可表现出免疫球蛋白及其补体、细胞免疫的异常,这两方面是反映机体免疫状态的价值较高的指标,对其异常程度的改善可以作为疾病改善的有效监测指标。另外,较多研究显示,银屑病患者还往往伴有红细胞较多检测指标的异常,其中MCHC、MCV可以较为有效地反映血液黏滞程度[6],其主要与银屑病患者红细胞变形和聚集能力受损有关,故也可以作为了解银屑病发展转归的指标,红细胞的CD35分子和CD59分子则与红细胞的天然免疫障碍有关,而其与适应性免疫失衡有关[7,8],因此是反映患者免疫状态的较佳指标,另外RFER及RFIR则是红细胞免疫指标中较具代表性的指标,研究显示其在银屑病患者中处于明显的低下状态,在实施干预手段后,患者上述指标的改善幅度可以作为了解干预手段是否有效的指标。

注:与对照组比较,*P<0.05;与本组治疗后2周比较,#P<0.05

注:与对照组比较,*P<0.05;与本组治疗后2周比较,#P<0.05

注:与对照组比较,*P<0.05;与本组治疗后2周比较,#P<0.05

消银汤中的药物组成具有较佳的免疫调节和抗炎作用,其对银屑病免疫失衡的状态具有较佳的调节作用,且其药物的功效对银屑病热毒蕴结的疾病机制具有较佳的效果[9,10],因此对于银屑病患者具有较佳的效果。

本文中笔者就消银汤配合外用药治疗前后银屑病患者综合免疫状态及红细胞多项指标的变化规律进行观察,发现较单纯采用外用药进行治疗的患者,消银汤配合外用药治疗的患者在治疗后的综合免疫状态得到有效调节,同时红细胞指标低下的状态也得到改善,进一步肯定了消银汤在银屑病患者中的应用价值,肯定了其在调节免疫状态和红细胞受损状态中的作用。

综上所述,笔者认为消银汤配合外用药可显著改善银屑病患者综合免疫状态及红细胞多项指标,对于改善患者的疾病状态发挥着积极的临床作用。

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Legendre多项式及推广 篇8

早在1785年, 为了研究球体间的吸引力以及行星的运动问题, Legendre引进了Legendre多项式。Legendre多项式是数学物理中的一个重要的特殊函数, 对线性微分方程的定解问题有着广泛的应用。因为在正交曲线坐标系的分离变量中, 会对Legendre多项式进行广义的Fourier展开等问题, 所以我们要充分理解其性质。计算数学领域, Legendre多项式在函数逼近方面有着重要的应用, 尤其是在最小二乘拟合上避免了一般多项式拟合出现解法方程的病态问题。

2 Legendre多项式的几种形式和重要性质

n次Legendre多项式的一般表达式为:

其中

它的微分表示是:

其中 (2) 式被称为Rodrigues公式是Legendre多项式的最简表示形式。 (1) 和 (2) 的等价性证明从略, 见[1]。

它的Laplace积分表示是

Legendre多项式有许多重要的性质:

3 Legendre多项式解性质

定理1:Pn (x) 在实数域上有n个零点, 且全部是在区间[-1, 1]内部相异的。

证明:引入函数q2n-m (x) =dmdxm (x2-1) n, 当m=0, 1, 2, …, n-1时, 各项都含有 (x2-1) 因子, 也就是说, 当m

在函数逼近中, 解析函数基于Legendre多项式零点的插值逼近是Legendre多项式解的重要应用。

4 Legendre级数

设C0, C1, C2, …, Cn…为常数项序列, 则

叫做Legendre级数, 其中Pn (x) 是Legendre多项式。

上面提到计算数学中, 用Legendre多项式逼近函数, 所以研究Legendre级数有以下两个方面的问题:

(1) 已知函数如何求它的Legendre级数展开式;

(2) 已知Legendre级数如何求它所表示的函数的性质。

设函数f (x) 在实数轴的闭区间[-1, 1]上可积, 则f (x) 的Legendre级数展开式如下:

确定 (7) , 即要确定系数Cn, 上式两端同乘Pm (x) 并在区间[-1, 1]上积分:

由Legendre多项式的正交性 (4) 可得:

关于Legendre级数的收敛性, Pollard给出了结论:

定理2:若43

证明见[4]。

5 整函数

1956年, 莫叶曾用Legendre级数

来表示整函数f (x) , 并且, 用系数来确定阶与型。

定理3[5]:设Legendre级数表示整函数f (x) , 令

设v>1, 并且令.则

如果上面这个式子的右端为有限正数, 则f (x) 的阶为零, 并且不退化为多项式, 这时f (x) 具有型函数 (logr) v;如果f (x) 的阶为有限正数ρ, 则

其中, E (x) 为x=ylog (ye) 的反函数, 如果 (10) 的右端为有限正数, 则f (x) 具有型函数rρlogr。

设整函数f (x) 的阶ρ为有限函数。如果f (x) ) 的下阶ρ=ρ, 则称f (x) 为正则滋长;如果f (x) 的型δ也为有限正数, 并且下阶δ=δ, 则称f (x) 为完全正则滋长。

定理4[6]:设整函数) 的阶为有限正数, 设 (nk) 为无界严格上升正整数序列, 且

如果处去Cnk≠0外, 其余Cn均为0, 则f (x) 不为正则滋长。如果整函数f (x) 的阶为有限正整数ρ, 并且存在, 且为一个有限正数, 则f (x) 为完全正则滋长。

6 推广

Legendre多项式可以从多方面进行推广, 这里仅叙述那些推广后仍是多项式, 并且无论在理论和应用中都很有价值的结果。

从母函数出发, 推广可得Gegenbauer多项式[5]:

Gegenbauer多项式是由函数 (1-2xt+t2) -λ的展开式按系数定义的:

称Cnλ (x) 为Gegenbauer多项式。

从微分形式 (Rodrigues公式) 出发, 推广可得Jacobi多项式:

称Jnα, β (x) 为Jacobi多项式, 和推广的Legendre多项式:

它的许多性质类似于Pn (x) 。

Legendre多项式还有很多中推广, 这里就不一一列举。虽然它有多种推广, 但无论在理论上或实际方面, 这些推广均未发现有显著的应用, 因而现在对它们的继续探讨已经很少进行。

参考文献

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[6]杨连中.关于用Legendre级数定义的整函数[J].湖南数学年刊, 1985, (2) .

多项式的求值问题 篇9

一、整体代入法求值

1.根据所求多项式项的排列规律, 找到与已知条件有关的因式之间的和、商、积、差关系, 再代入已知条件求值。

例1已知的值?

2.当直接代入计算量很大时, 可以从已知条件中找到突破口, 将已知条件变形或通过一些运算后再整体代入所求多项式的值。

二、降次法求值

所求多项式的次数与已知条件中的次数差值很大时, 不易直接求出多项式各项的值, 可通过对多项式因式分解后再求值。

三、有理化因式后求值

所求多项式或已知条件都含有无理数时, 可先将无理式化为有理式再求值。

四、应用参数法求值

如果已知条件为比例式时, 常常先设参数, 求出参数的值, 再代入多项式求值。

例5设的值。

五、通过因式分解先解方程再求值

六、应用巧乘因式法求值

例7已知的值。

解:由题意可得x≠0.

∴由题设两边同乘以x得:x4+x3+x2+x=0.

故将此式减去题设得:x4=1.

七、应用隐含条件的非负性求值

观察题设中是否有隐含条件, 常见的有满足完全平方式的值、绝对值、根式的值非负。

例8若u、v满足的值?

数据结构一元多项式的实现 篇10

1.1 问题描述

设计一个n元多项式程序, 并完成多项式的乘法运算。从实际的角度出发, 这里设计的程序是基于一元n次多项式的数学模型。

1.2 问题的数学模型

在数学上, 一个一元多项式Pn (x) 可按升幂写成:Pn (x) =a0+a1 x+a2 x^2+…+an x^n-1.它由n+1个系数惟一确定, 因此, 在计算机里, 它可用一个线性表P来表示:Pn= (a0, a1, a2, …, an) 每一项的指数i隐含在其系数ai的序号里。

多项式的乘法规则:多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的.计算时 (a+b) (m+n) , 先把 (m+n) 看成一个单项式, (a+b) 是一个多项式, 运用单项式与多项式相乘的法则, 得到 (a+b) (m+n) =a (m+n) +b (m+n) , 然后再次运用单项式与多项式相乘的法则。

1.3 构造数据结构

通过分析多项式的特征, 不难看出多项式是由单项式构成的, 而每个单项式都具有系数和指数, 当系数为0时, 该项就失去了意义, 在计算机内要表示一个多项式, 至少以下数据信息:系数信息、指数信息和指向下一个单项式的指针。通过指针, 我们就可以把多个单项式连接起来, 形式一个多项式, 需要说明的是从广义的角度讲, 单项式也是一个多项式。基于以上的分析, 我们定义多项式的数据结构为如下形式:

2 系统分析

2.1 可行性研究

该程序主要从技术的角度来分析可行性。技术上的可行性研究主要分析技术条件能否顺利完成开发工作, 硬、软件能否满足开发者的需要等。该系统采用了Windows XP操作系统结合eclipse7.0等软件开发。

2.2 系统结构与主要功能模块

从实现多项式式运算过程的角度来分析, 至少需要这样一些子功能模块。如:多项式创建功能;多项式运算功能;操作界面显示功能;销毁多项式的功能;多项式复制功能等。

3 系统设计

3.1 系统设计目的与要求

通过多项式运算程序设计 (用java语言实现) , 使我们进一步掌握和利用java语言进行面向对象程序设计的能力;进一步理解和运用面向对象程序设计的思想和方法;初步掌握开发一个小型系统程序设计的基本方法;学会调试一个较长程序的基本方法;学会利用流程图或N-S图表示算法。学会编制结构清晰、风格良好的java语言程序, 从而具备解决综合性实际问题的能力。

3.2 系统设计内容

多项式运算程序具有以下基本功能:1.界面输出, 提示如何输入数据。要求先输入多项式的项数;2.创建多项式。接收输入的数据, 并保存到链表中;3.显示程序的功能表, 允许使用者选择运算类型;4.显示已经创建好的多项式;6.实现加法运算;7.实现减法运算;8.实现乘法运算;9.清除内存内容, 销毁创建的链表, 退出程序。

3.3 功能算法描述与数据结构说明

该多项式程序除了main () 函数外, 主要有以下函数:

Polyn CreatePolyn (Polyn head, int m) 、void Insert (Polyn p, Polyn h) 、Polyn AddPolyn (Polyn pa, Polyn pb) 、int compare (Polyn a, Polyn b) 、Polyn SubtractPolyn (Polyn pa, Polyn pb) 、Polyn MultiplyPolyn (Polyn pa, Polyn pb) 。下面对这些函数逐一介绍。

(1) Polyn CreatePolyn (Polyn head, int m)

该函数功能是创建新的多项式链表。int m保存的多项式的项数, 使用for语句, 控制输入多项式的每一项。当创建的链表长度为m时, 将不再提示用户继续输入多项式的系数和指数。

(2) void Insert (Polyn p, Polyn h)

该函数功能:将新的节点p插入到现有链表的后面, 并确保多项式的指数exp是升序。将s节点插入到head所指向的链表。在该函数的操作中, 要注意指针是如何移动的。

(3) Polyn AddPolyn (Polyn pa, Polyn pb)

该函数功能:实现两个多项式pa、pb相加, 并将计算结果存储于新建立的pc中, 它的原理是将指数相同的单项式相加, 系数相加后为0, 则pa、pb的指针都后移。在加法计算中要求pa, 与pb的幂次序都是升序, 否则可能得到错误的结果。

该函数调用了int compare (Polyn a, Polyn b) 的结果, 用来判断多项式在同一指数下a、b是否有为系数为0。

(4) int compare (Polyn a, Polyn b)

该函数功能:判断两个多项式在同一指数下是否有其中一个为系数为0。用来辅助加法和乘法运算。

(5) Polyn SubtractPolyn (Polyn pa, Polyn pb)

该函数功能:实现两个多项式pa、pb相减, 其原理根加法类似, 将指数相同的指数相减。与加法不同的是在送在减法中, 创建了新的链表来存放结果, 并返回该链表的头指针。

(6) Polyn MultiplyPolyn (Polyn pa, Polyn pb)

函数功能:实现两个多项式相乘, A (X) *B (x) 。计算时运用单项式与多项式相乘的法则, 然后再次运用单项式与多项式相乘的法则。

4 系统实现

该程序实现了多项式的创建、多项式的加法、减法、乘法运算。为完成这些功能, 还用到了一些辅助函数。下面举例讨论多项式乘法函数具体实现过程及其参数的意义:

Polyn MultiplyPolyn (Polyn pa, Polyn pb) 该函数同加法一样, 拥有相同的参数并且同样将新建立的链表pf的指针返回, 用来实现输出乘法结果。下面给出关键代码:

5 结束语

本文通过数据结构角度对一元多项式进行研究, 实现相关方面的应用开发操作, 进一步加深了对数据结构的理解, 得到的算法思想可以应用到以后的编程实践中。

经过这次课程设计, 深刻认识到算法在程序设计中的重要性, 一个完整的程序总是由若干个函数构成的, 这些相应的函数体现了算法的基本思想。

参考文献

[1]严蔚敏, 吴伟明.数据结构 (C语言版) 清华大学出版社1997.

例谈二元二次多项式的因式分解 篇11

关键词：二元二次多项式 因式分解 数学 方法

原初中代数课本，对二元二次多项式的因式分解，没有明确的、系统的指出其分解方法，学生在学习掌握这部分知识时，感到困难。历年来，一些地区的中考数学试题中，也常涉及到二元二次多项式的因式分解。虽然现行初中代数课本未讲述二元二次多项式的因式分解，但在中学数学中，有许多知识都与这类多项式的因式分解有直接或间接的联系。为此，笔者根据教学实践和课余专题讲座经历，谈谈这类多项式因式分解的几种方法。

一、待定系数分解法

待定系数法是初中代数中的一种常用的解题方法。用待定系数法分解二元二次多项式是一种最基本的一种方法。其根据是“若二元二次多项式能分解，则它分解的结果是两个二元一次因式之积”;“如果两个多项式对应项的系数相等，那么这两个多项式相等; 反之，如果两个多项式相等，那么两个多项式对应项系数必相等。”

例题1：把二元二次多项式12x2＋14xy－20y2＋20x－11y＋3分解因式

解析：原式＝(12x2＋14xy－20y2)＋(20x－11y)＋3

因为12x2＋14xy－20y2＝(6x－5y)(2x＋4y)

所以设原式＝(6x－5y＋m)(2x＋4y＋n)

则原式＝12x2＋14xy－20y2＋20x－11y＋3

＝12x2＋14xy－20y2＋(2m＋6n)x＋(4m－5n)y＋mn

由多项式相等，对应项系数相等，得

2m＋6n＝20 ………………………(1)

4m－5n＝－11 ……………………(2)

mn＝3………………………………(3)

联立解(1)、(2)、(3)得: m＝1, n＝3.

∴原式＝(6x－5y＋1)(2x＋4y＋3)

点评：二元二次多项式因式分解结果为“(a1x＋b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2)”，其中系数a1、b1、c1、a2、b2、c2用待定数法确定。

二、一元二次方程求根公式分解法

一元二次方程求根公式分解法是将所分解的二元二次多项式,看作是其中一个未知数(如x或y)的一元二次方程，求出根，再利用“若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，则ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)”的原理来分解。

例题2：把二元二次多项式x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式

解析：令x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝0.

即x2＋(y＋2)x－(2y2－7y＋3)＝0.

∴x＝————————————————

－(y＋2)±(3y－4)

＝—————————

2

∴x1＝y－3,x2＝－2y＋1

故原式＝[x－(y-3)][x-(-2y+1)]＝(x－y＋3)(x＋2y－1)

点评：这里将二元二次多项式看成x的二次方程，求解出x1、x2即两个y的一次式，从而分解成“a(x－x1)(x－x2)”，最后整理为“(a1x1＋b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2)”的一般形式。

三、双十字相乘分解法

方法是：把所给二元二次多项式ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f中含x、y和xy各项分为三组，先将含x的项和常数项组成的二次三项式ax2＋dx＋f用①式分解成(a1f2x＋a2f1x＝dx)；再将含y的项与常数项组成的二次三项式cy2＋ey＋f用②式分解成（c1f2y＋c2f1y＝ey)；最后将x、y项用③式分解成(a1xc2y＋a2x·c1y＝bxy)，从而得出两个因式(a1x＋c1y＋f1)(a2x＋c2y＋f2)。

这一过程可用下列草式进行:(对二元二次多项式ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f，a、b、c、d、e、f为常数，且abc≠0)。

若a1xc1yf1

a2xc2yf2

————————————————————

ax2＝a1x·a2x,cy2＝c1y·c2y,f＝f1·f2.

a1c2xy＋a2c1xy＝bxy,a1f2x＋a2f1x＝dx,c1f2y＋c2f1y＝ey.

則原式＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝(a1x＋c1y＋f1)(a2x＋c2y＋f2).

点评：双十字相乘法的关键在于组合二次项，并进行“第一个十字”的确立，并注意了上述“草式”下面的条件式。

第二课堂的专题讲座实践表明，对初中学生课余讲授二元二次多项式的因式分解，对于数学中“变量”与“常量”的相对性有了进一步的认识；使学生对数量概念的理解得到了强化、思维能力得到了升华。况且，对学生学习和掌握代数式、方程尤其是二次方程、不等式乃至解析几何，都有积极的帮助，可以有效地培养学生的数学能力，对提高学生的思维水平有积极的意义，值得尝试。

单纯矩阵多项式的谱分解 篇12

矩阵的多项式的谱分解对于与矩阵有关的数值计算和理论分析都有极为重要的意义.将一个矩阵多项式f (A) 分解为一系列幂等矩阵Ai (i=1, 2, …, s) 的加权和

无论从代数上, 还是从几何上进行研究, 都有极大的方便之处.在控制理论中尤其如此[1].本文在单纯矩阵的谱分解[2]的基础上, 提出了关于单纯矩阵的多项式的谱分解的一般结论, 并给出了实例和几点补充.

1 单纯矩阵及其多项式的定义和性质

设矩阵A∈Cn×n, λi (i=1, 2, …, s) 为A的互异特征值且A的特征多项式为

det (λI-A) = (λ-λ1) r1 (λ-λ2) r2… (λ-λs) rs.

其中ri为矩阵A的特征值λi的代数重数, 满足${\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{r}}{}_{\text{i}}=\text{n}$.设mi为矩阵A的特征值λi的几何重数, 即mi=dimVλi.对于A的任一特征值λi, 一般有mi≤ri (i=1, 2, …, s) .

定义1[3] 如果矩阵A的每个特征值λi的几何重数等于它的代数重数, 则称A为单纯矩阵.

引理1[4] 单纯矩阵与对角矩阵相似.

定义2 设A为单纯矩阵, f (x) 为任意多项式, 称f (A) 为关于单纯矩阵A的多项式.

定理1 单纯矩阵的多项式仍为单纯矩阵.

证明 设A为单纯矩阵, 由引理1, ∃P (n阶可逆阵) , 使A=Pdiag{λ1, λ2, …, λn}P-1.显然Ak=Pdiag{λ${}_1^{\text{k}}$, λ${}_2^{\text{k}}$, …, λ${}_{\text{n}}^{\text{k}}$}P-1.

f (A) 与对角矩阵相似, 故f (A) 为单纯矩阵.

2 单纯矩阵的多项式的谱分解

引理2[2] 设矩阵A∈Cn×n, λi (i=1, 2, …, s) 为A的互异特征值, 则A为单纯矩阵的充分必要条件是:存在Ai∈Cn×n, (i=1, 2, …, s) , 使

定理2 设矩阵A∈Cn×n, f (λi) (i=1, 2, …, s) 为f (A) 的互异特征值, 则f (A) 为单纯矩阵的充分必要条件是:存在Ai∈Cn×n, (i=1, 2, …, s) , 使

证明 必要性.因f (A) 单纯, 由定理1存在可逆阵P, 使

将P, diag{λ1, λ2, …, λn}, P-1三矩阵按A的特征值的重数ri分块, 有

$\begin{array}{l}\text{f}(\text{A})=\text{Ρ}diag\{\text{f}(\text{λ}{}_1)\text{Ι}{}_{\text{r}{}_1}‚\text{f}(\text{λ}{}_2)\text{Ι}{}_{\text{r}{}_2}‚\\ \cdots ‚\text{f}(\text{λ}{}_{\text{s}})\text{Ι}{}_{\text{r}{}_{\text{s}}}\}\text{Ρ}{}^{-1}\\ =[\text{X}{}_1‚\text{X}{}_2‚\cdots \text{X}{}_{\text{s}}]diag\{\text{f}(\text{λ}{}_1)\text{Ι}{}_{\text{r}{}_1}‚\text{f}(\text{λ}{}_2)\text{Ι}{}_{\text{r}{}_2}‚\\ \cdots ‚\text{f}(\text{λ}{}_{\text{s}})\text{Ι}{}_{\text{r}{}_{\text{s}}}\}[\text{Y}{}_1‚\text{Y}{}_2‚\cdots ‚\text{Y}{}_{\text{S}}]{}^{\text{Τ}}\\ ={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{f}}(\text{λ}{}_{\text{i}})\text{X}{}_{\text{i}}\text{Y}{}_{\text{i}}^{\text{Τ}}‚\end{array}$

其中Xi∈Cn×ri, Y${}_{\text{i}}^{\text{Τ}}$∈Cri×n, i=1, 2, …, s.

令Ai=XiY${}_{\text{i}}^{\text{Τ}}$∈Cn×n, i=1, 2, …, s.

知Ai (i=1, 2, …, s) 为幂等矩阵

$\begin{array}{l}\text{Ρ}\text{Ρ}{}^{-1}=\text{Ι}{}_{\text{n}}‚[\text{X}{}_1‚\text{X}{}_2‚\cdots ‚\text{X}{}_{\text{s}}][\text{Y}{}_1‚\text{Y}{}_2‚\cdots ‚\text{Y}{}_{\text{s}}]{}^{\text{Τ}}\\ ={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{X}}{}_{\text{i}}\text{Y}{}_{\text{i}}^{\text{Τ}}={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{A}}{}_{\text{i}}=\text{Ι}{}_{\text{n}}.\end{array}$

充分性.已知Ai∈C${}_{\text{r}{}_{\text{i}}}^{\text{n}\times \text{n}}$, 取Ai的列向量组的一个极大无关组构成矩阵Xi∈C${}_{\text{r}{}_{\text{i}}}^{\text{n}\times \text{r}{}_{\text{i}}}$, 则Ai=XiY${}_{\text{i}}^{\text{Τ}}$, Y${}_{\text{i}}^{\text{Τ}}$∈C${}_{\text{r}{}_{\text{i}}}^{\text{r}{}_{\text{i}}\times \text{n}}$, i=1, 2, …, s.

令X=[X1, X2, …, Xs]∈Cn×n, Y=[Y1, Y2, …, Ys]T∈Cn×n, 则

$\begin{array}{l}\text{X}\text{Y}=[\text{X}{}_1‚\text{X}{}_2‚\cdots ‚\text{X}{}_{\text{s}}][\text{Y}{}_1‚\text{Y}{}_2‚\cdots ‚\text{Y}{}_{\text{s}}]{}^{\text{Τ}}\\ ={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{X}}{}_{\text{i}}\text{Y}{}_{\text{i}}^{\text{Τ}}={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{A}}{}_{\text{i}}=\text{Ι}{}_{\text{n}}‚\end{array}$

知X可逆.

又由Ai与Xi的等价性, 知Xi=AiQi, Qi∈C${}_{\text{r}{}_{\text{i}}}^{\text{n}\times \text{r}{}_{\text{i}}}$, 从而

$\text{A}{}_{\text{i}}\text{X}{}_{\text{j}}=\{\begin{array}{l}\text{X}{}_{\text{i}}‚\text{i}=\text{j}‚\\ \text{Ο}‚\text{i}\ne \text{j}‚\end{array}\text{i}‚\text{j}=1‚2‚\cdots ‚\text{s}$

使$\text{f}(\text{A})\text{X}{}_{\text{i}}={\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^{\text{s}}\text{f}}(\text{λ}{}_{\text{j}})\text{A}{}_{\text{j}}\text{X}{}_{\text{i}}=\text{f}(\text{λ}{}_{\text{i}})\text{X}{}_{\text{i}}‚\text{i}=1‚2‚\cdots ‚\text{s}.$

进一步得

X为可逆矩阵, 故f (A) 为单纯矩阵.

A有2个互异的特征值, λ1=-1, λ2=λ3=2, f (-1) =6, f (2) =3, 取

$\begin{array}{l}\text{A}{}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right]‚\\ \text{A}{}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ -1& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{得}\text{f}(\text{A})=\text{A}{}^2-2\text{A}+3\text{Ι}\\ =\text{Ρ}diag\{\text{f}(-1)‚\text{f}(2)‚\text{f}(2)\}\text{Ρ}{}^{-1}\\ =\text{f}(\text{λ}{}_{\text{i}})\text{A}{}_{\text{i}}=\text{f}(-1)\text{A}{}_1+\text{f}(2)\text{A}{}_2\\ =6\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& 0& 0\\ \frac{4}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& 1& 0\\ -\frac{4}{3}& \frac{1}{3}& \frac{4}{3}\end{array}\right].\end{array}$

3 几点补充

(1) 单纯矩阵A的谱族[2]是唯一的[1], 且A的任意多项式f (A) 与A有完全相同的谱族;

(2) 矩阵A单纯且可逆时, 则$\text{A}{}^{-1}={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{λ}}{}_{\text{i}}^{-1}\text{A}{}_{\text{i}}‚\text{f}(\text{A}{}^{-1})={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{f}}(\text{λ}{}_{\text{i}}^{-1})\text{A}{}_{\text{i}}$;

(3) 当f (A) 可逆$({\displaystyle \prod _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{f}}(\text{λ}{}_{\text{i}})\ne 0)$时, f-1 (A) 的谱分解为$\text{f}{}^{-1}(\text{A})={\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{s}}\text{f}}{}^{-1}(\text{λ}{}_{\text{i}})\text{A}{}_{\text{i}}.$

参考文献

[1]贺旭东, 陈怀海.多点随机振动控制中的互谱矩阵研究[J].南京航空航天大学学报, 2004, (6) :744-747.

[2]高枫.单纯矩阵的谱分解[J].常州工学院学报, 2006, (8) :40-42.

[3]黄廷祝.矩阵理论[M].高等教育出版社, 2003:96-106.