多项式乘法

多项式乘法（通用3篇）

多项式乘法 篇1

在工程实践与科学实验中, 常常需要从一组带噪声的试验观测数据 ( xi, yi) ; i = 1, 2, …, n中找出自变量x与因变量y之间隐含的函数关系, 数据拟合［1］是一种常用的处理方法。其中多项式曲线拟合又是一种较常用的数据拟合方法。当数据点较多时, 多项式阶数太低, 拟合精度和效果不太理想。要提高拟合精度和效果就需要提高曲线阶数, 但阶数太高又带来计算上的复杂性及其他方面的不利。因此, 如果只采用一种多项式曲线函数拟合较多的数据点, 难以取得较好的拟合精度和效果。为有效的解决上述问题, 一般采用分段曲线拟合, 在每段区间上进行局部最小二乘拟合［2—4］。

传统的分段曲线拟合根据主观经验和绘制数据散点图来确定拟合的经验函数和分段点。文献[5] 提出分段区间重合的拟合方法, 由每4个数据点决定一个三次曲线, 但分段区间太密, 不适用于密集的数据拟合。文献[6]提出的多项式基函数的全局连续拟合方法, 只限于2个分段区间。文献[7]提出多分段区间全局连续的曲线拟合方法, 但基函数只限于一次多项式。文献[5—7]提出的方法都是根据主观经验来确定经验函数和分段区间, 然后进行拟合。文献[8]引入拟合误差限度 εmax, 在误差大于该限度的点处分段, 但该限度 εmax不容易界定。

提出一种自动分段多项式曲线拟合方法, 该方法在实际运用中具有如下有点: 1提供几种不同的经验函数, 根据不同经验函数拟合的数据和实测数据的误差的方差, 自动确定较优的经验函数; 2自动确定数据的分段区间, 在各个区间进行最小二乘拟合。通过数值实验, 证明该方法有较高的拟合精度。

1经验函数的确定及拟合步骤

1. 1经验函数的确定

数据拟合方法有很多, 例如对数曲线拟合, 反函数曲线拟合, 二次曲线拟合, 三次曲线拟合, 幂函数曲线拟合, 指数曲线拟合等。一般先观察散点图来确定曲线的类型, 不过散点图都是相关关系的粗略表示, 有时候散点图可能与几种曲线都很接近, 这时建立相应的经验函数可能都是合理的, 但由于选择不同的曲线, 得到同一个问题的多个不同经验函数, 怎样从这些经验函数中选择最优的一个。文献[1] 提出的, 用几种函数进行拟合, 计算历史数据点实测值和拟合值的误差平方和最小的为最优经验函数这一方法, 可能存在这样的问题: 误差平方和最小, 但误差波动较大, 即一些点误差很小, 一些点误差相对较大。针对这种情况, 本文提出一种新的确定经验函数的方法, 用几种不同的函数进行拟合, 从中选取最优的经验函数, 最优经验函数确定的条件如下:

1) 历史数据点误差为正和误差为负的个数之差小于适应性参数, 在本文试验中选用的适应性参数为3。

2) 计算误差的方差, 方差最小的为最优的拟合函数。

方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。通俗点讲, 就是各点与平均数偏离的程度, 来衡量一批数据相较于平均数的波动的大小。方差的数学描述为

式 ( 1) 中把x－视为第一个历史点的误差, xi为后面各历史点的误差, 该公式即可理解为各点误差相较于第一个点的误差的波动大小, 波动越小, 说明各个点的误差相差越小, 分布较均匀, 那么该函数即为最优经验函数。经验函数确定的流程图如图1所示。

1. 2自动分段拟合的步骤

本文选取三种较为典型的回归方程类型

分段拟合步骤如下, 分段拟合流程图如图2所示。

1) 根据1. 1节提出的方法拟合所有的历史数据, 在上述的三种拟合函数中选择最优的拟合函数。

2) 由第1) 步选取的经验函数, 计算历史数据点拟合值和实测值的误差, 计算历史数据点误差绝对值的均值S。

3) 比较各历史点误差与误差均值S, 若连续3个点的误差绝对值大于均值S, 则从第一个误差大于均值的点处分段, 执行第4) 步, 若不存在拟合值和实测值误差大于均值的点, 或者这种点只有一个或两个, 则不进行分段, 执行第5) 步。

4) 从分段点处到历史数据最后一个点重新拟合, 选择最优的函数, 重复以上步骤。

5) 根据以上步骤得到的分段, 以及各段选出的最优经验函数对历史数据进行拟合。

2数值实验

2. 1自动分段拟合实验

为检验所论述的自动分段多项式曲线拟合方法, 采用两组数据, 厦门高崎机场1990 ~ 2012年的起降架次的数据［9］和1990 ~ 2004年中国人均GDP的数据来进行拟合。

提出的自动分段多项式曲线拟合方法对厦门高崎机场1990 ~ 2012年起降架次统计数据和1990 ~ 2004年中国人均GDP数据进行拟合, 用JAVA编程实现, JFree Chart绘制曲线。表1和图3是厦门高崎机场起降架次的数据与经过分段曲线拟合后的数据的比较, 表2和图4是中国人均GDP数据与拟合后的数据的比较。

对于厦门高崎机场起降架次的数据, 提出的该方法自动将数据分为3段, 即数据1990 ~ 1994, 1994 ~ 2003, 2003 ~ 2012, 这三段数据选取的最优经验函数都是指数函数形式。对于中国人均GDP的数据, 程序自动将数据分为三段, 即数据段1990 ~ 1995, 1995 ~ 1999, 1999 ~ 2004, 这三段数据选取的最优经验函数分别是多项式函数形式, 直线形式和多项式函数形式。由表1、表2和图3、图4可以看出, 提出的自动分段拟合方法拟合精度较高, 能够很好的拟合历史数据。

2. 2对比实验

本文选取1990 ~ 2004年中国人均GDP数据, 分别用本文提出的自动分段拟合方法和传统直线拟合、指数拟合、多项式拟合方法对该组数据进行实验, 对比实验各种方法的相对误差如表3所示。

由表3可以看出, 自动分段拟合方法相对误差比传统拟合方法相对误差小, 且相对误差波动比传统方法波动小。自动分段拟合方法不仅在拟合精度上比传统方法高, 而且分段方便, 不需用户根据主观经验和绘制散点图来分段, 方便用户使用。

3结论

提出的自动分段曲线拟合方法采取对历史数据进行拟合, 自动选取较优的经验函数, 自动进行分段, 使得在进行数据拟合时, 不需要人为的绘制出历史数据散点图来选取经验函数和分段。通过编程实现和数值实验验证, 该方法不仅便于在计算机上编程实现, 而且拟合效果较好。

摘要：针对传统的分段曲线拟合方法在选择拟合函数和确定分段区间时经验成分较多的不足, 提出一种自动分段多项式曲线拟合方法, 根据误差方差和误差均值, 自动确定经验函数和分段区间。通过实际数据的检验, 验证了该方法的拟合效果。

关键词：数据拟合,分段拟合,多项式曲线,最小二乘法

参考文献

[1] 吴宗敏.散乱数据拟合的模型、方法和理论.北京:科学出版社, 2007

[2] 杨维, 张晓明.利用最小二乘法进行回归分析及经验公式的确定.沈阳工业大学学报, 1991;13 (2) :1—6

[3] 侯超钧, 曾艳姗, 吴东庆, 等.全局连续的分段最小二乘曲线拟合方法.重庆师范大学学报 (自然科学版) , 2011;28 (6) :44—48

[4] Grama L, Rusu C.Phase approximation by divide-and-conquer piecewise linear fitting of gain.International Symposium on Signals, Circuits and Systems, 2009:1—4

[5] 蔡山, 张浩, 陈洪辉, 等.基于最小二乘法的分段三次曲线拟合方法研究.科学技术与工程, 2007;7 (3) :352—355

[6] 刘晓莉, 陈春梅.基于最小二乘原理的分段曲线拟合方法.伊犁教育学院学报, 2004;17 (3) :132—134

[7] Gluss B.An alternative method for continuous line segment curve-fitting.Information and Control, 1964;7 (2) :200—206

[8] 王成山, 黄碧斌, 李鹏, 等.燃料电池复杂非线性静态特性模型简化方法.电力系统自动化, 2011;35 (7) :64—69

[9] 刘强, 朱敏, 王小维, 等.灰色神经模型在空中交通流量预测中的应用.全国第19届计算机技术与应用学术会议, 乐山, 2008

多项式乘法 篇2

从教学效果来看，学生配合到位、参与积极，交流展示环节处理的很好，学生展示的量大、人数多，对学生及时的评价和鼓励也激发了他们的热情。学生在自主探究中掌握单项式与多项式相乘的法则，重点、注意点强调训练到位。教学环节比较流畅，时间分配基本合理，完成了教学预设任务。

在教学过程中仍有很多亟待改进的地方。

1、在导入和学生自主学习环节之间的过渡语没有处理好，显得不自然、僵硬。

2、教师板书安排不合理，显得凌乱。给学生练习的时间比较合适，若能适当进行板演指导安排会更好。

3、在变式训练板书时，练习题目抄写错误。虽不影响计算效果，但缺乏了数学的严谨性。

单项式乘法评课稿 篇3

特色一：整体结构合理，教学过程流畅，环环相扣。从复习到新授再到练习，无处不见老师安排之精心。李老师在安排复习题时很有针对性，复习题服务于新授知识，通过复习，再现笔算两位数乘一位数的过程和笔算三位数乘一位数（不进位）的规律，为探索笔算三位数乘一位数（连续进位）的顺序及理解笔算乘法的算理准备了条件。进行这样有效的复习，使学生已掌握的知识技能对新知识、新技能的学习产生了积极的影响，更有利于发挥学生学习的主体作用。

特色二：讲练结合，练习题内容全面，题型丰富且有代表性，有计算题、填空题、解决问题。每道题的选择都是精挑细选的。计算题让学生及时多次用竖式计算，经历三位数乘一位数（连续进位）的笔算过程，从而让学生掌握计算方法。

特色三：计算教学与解决问题教学有机地结合在一起，让学生感觉到数学源于生活。这个特色体现在本节课的例题和应用题中。我相信，通过学习，学生们都能切实体会到计算在生产和生活中的意义和作用。

特色四：正面教学与反例教学的有机结合。李老师在让同学试做的过程中，列竖式计算24×9时，请同学上黑板计算。首先讲正确的竖式计算，答案为216，然后又特别提了其他两种错误的算法，错误答案分别为：1836和146，并让学生说说他为什么这样做。就在同学

分析的过程中，李老师就有针对性地纠正错误，加深同学的印象，让他们更好的掌握笔算乘法的规律。

李老师在教学中还有很多的优点，但我觉得这些地方可以再注意一下：

第一、充分利用教材提供的素材，创设生动有趣的具体情境，将学生置于学习活动的主体地位，让学生主动探索计算方法。例如，在呈现例题4解决运动场最多可坐多少人的情境，让学生将要解决的问题当作自己的问题来解决，将自己置于学习活动的主体地位，使学习材料包含生气，对学生更具吸引力，很容易激起学生学习的兴趣。此时，可以放手让学生自主解决“怎样算”的问题。此时已经调动了所有学生的参与意识，人人的思维都很活跃，在这个基础上，运用合作学习方式，让学生分小组合作学习，在交流中互相学习，体验解决问题策略的多样化。

第二、李老师可以将练习题组织成生动有趣的练习活动。比如，判断纠错之后，可以设计这样的提问：你想提醒大家在计算三位数乘一位数笔算时要注意什么？既可加深对知识的理解、梳理，也让学生有了积极健康的体验。将计算题设计成一个游戏，灰姑娘在晚宴上掉了一只鞋子，在大屏上出示6只写有算式的鞋，说明鞋上两个数相乘得数是672的那只鞋就是灰姑娘的，你能帮她找到吗？这样设计练习，既可以增加练习的乐趣，又使学生在计算游戏中体验助人的快乐。

第三：将估算与检验、改错结合起来。李老师设计了竖式计算一环节，我觉得在计算之前可以让学生先估一估再计算，学生笔算后再提醒学生用估算检查一下笔算的结果，这样不但增强了学生估算的意识，培养了学生估算的能力，而且有利于提高做题的正确率。