振动建模

振动建模（共4篇）

振动建模 篇1

在分析框架结构在竖向振动下的动力特性时常按一定假定将结构简化为串并联多质点系模型, 然后采用有限元方法求解。对悬挂结构这种新型结构体系, 本文参考传统模型, 建立一种新的串并联多质点系模型, 并在单元矩阵组合成总矩阵时分别考虑节点刚接与节点铰接两种不同的情况, 最后得出模型的动力矩阵用在结构振动分析中, 可以得出结构竖向振动下较为真实的动力性能。

1 计算模型建立与分析

串并联多质点系模型 (图1) 适用于普通框架结构竖向振动作用下的计算, 但其一般采用集中质量法建立单元动力矩阵, 本文对悬挂结构建立考虑节点转动影响的串并联多质点系模型 (图2) , 竖直粗直线与水平粗直线分别代表中央核筒与悬挂楼层的水平刚性大梁, 吊杆铰接于等截面大梁两侧下端, 悬挂楼层一端与吊杆固接, 一端与核筒铰接, 采用一致质量法建立单元动力矩阵, 计算结果更接近实际。

建立单元的动力矩阵后, 再用单元集成法将单元动力矩阵集合成总动力矩阵, 其原理即是采用节点位移编码的方法, 具体如下:

图3、4分别为悬挂结构模型刚接与铰接计算单元, 图3 (a) 和图4 (a) 中, 对刚架各节点位移分别统一进行编号, 称为总码;图3 (b) 和图4 (b) 中, 各单元节点位移在单元中单独编码, 称为局部码, 局部码加括号与总码相区别。局部码与总码之间有一一对应的关系。称由单元总码组成的按单元局部码顺序组成的向量为“单元位移向量”, 记为。对图3所示刚架, 在节点处刚接, 位移总码统一编号, 故单元1、2位移向量分别为;图4所示刚架, 在节点处铰接, 铰节点处两杆杆端节点具有相同的线位移, 但其角位移不同, 此两节点应看作半独立节点 (B1与B2) , 总码编码线位移采用同码, 角位移采用异码, 因此, 单元1、2位移向量分别为。对所有铰接单元与刚接单元分析完毕, 按单元集成法进行处理, 即可得结构总动力矩阵。

2 算例分析与结论

本文选取了一悬挂结构的算例进行计算, 得出该结构的竖向振动特性结果如下:

对上述计算结果的分析表明, 用本文方法建模计算得出的悬挂结构, 其竖向振动特性与框架结构竖向振动的特点相近, 对结构的工程抗震研究具有一定的参考价值;同时与传统的结构竖向振动分析建模时将节点统一看作刚节点的方法相比, 本文的方法考虑的更加全面, 无疑能够更好的模拟出悬挂结构乃至大多数框架结构的竖向振动特性, 得出结果真实度更高。

参考文献

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振动建模 篇2

旋转机械是工业生产中的主要设备之一, 其传动系统的运行稳定状态影响整个生产过程。随着生产速度和生产规模的逐步提高, 传动系统中的扭振问题也日益突出。目前, 对旋转机械传动系统的扭振研究一般集中在求解系统固有频率以及传动系统轴系的扭矩动态响应上。在传统动力学模型中, 通常采用离散化方法将整个传动系统分割成由多个集中质量和弹簧连接而成的弹簧-质量系统[1,2,3,4,5]。这种集中质量模型虽然能够较准确地描述轴系的低阶、高阶扭振特性, 但当传动系统中存在质量较大而刚度又较小的传动部件时, 通过离散简化容易造成较大误差。文献[6]采用传递矩阵法建立了含连续质量的单轴动力学方程, 得到了连续传动轴的频响函数。文献[7]采用拉格朗日方程建立了单个连续轴的动力学方程, 并得到了该轴在各种外力作用下的响应曲线。

本文在考虑旋转机械传动系统的连续分布质量的基础上, 将单个连续轴动力学方程进行拓展, 基于拉格朗日方程建立了旋转机械传动系统连续动力学模型。然后采用传递函数法推导出了传动系统中任意轴段上的扭振响应公式, 同时研究了存在间隙时的传动系统连续动力学模型。最后以轧机传动系统为例, 与离散模型进行了比较, 表明了该连续模型能很好反映出传动系统的扭振特性, 为分析旋转机械传动系统扭振提供了一种新的途径。

1 旋转机械传动系统连续动力学建模

为更精确地分析旋转机械传动系统的扭振特性, 可将传动系统等效为由多个粗细不同的连续弹性转轴连接而成的系统。弹性转轴一般通过两个端面建立与其他零件的连接关系, 因此当建立了单个弹性转轴的两端面动力学方程后, 依次可将整个传动系统的动力学方程也建立起来。

1.1单个弹性转轴连续动力学模型

设一均匀弹性转轴的长度为l, 轴的单位长度转动惯量为Jp, 某一截面p处的角位移为θp, 则整个轴的动能为

$E={\displaystyle {\int }_0^l\frac{1}{2}}J{}_p\dot{\theta }{}_p^2\text{d}x$ (1)

设轴的扭转变形沿轴向是线性变化的, 截面p处的变形为

$\alpha {}_p=\frac{x}{l}\alpha$ (2)

α=θ2-θ1

式中, x为截面p与轴端的距离;θ1和θ2为传动轴两端扭转角度。

则

$\theta {}_p=\theta {}_1+\alpha {}_p=\theta {}_1+\frac{x}{l}(\theta {}_2-\theta {}_1)$ (3)

对式 (3) 求一阶时间导数, 得

$\dot{\theta }{}_p=\dot{\theta }{}_1+\frac{x}{l}(\dot{\theta }{}_2-\dot{\theta }{}_1)$ (4)

将式 (4) 代入式 (1) , 可得到轴的动能为

$\begin{array}{l}E=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{l}J}{}_p[\dot{\theta }{}_1+\frac{x}{l}(\dot{\theta }{}_2-\dot{\theta }{}_1)]{}^2\text{d}x=\frac{1}{2}J{}_{p}l[\frac{1}{3}\dot{\theta }{}_1^2+\\ \frac{1}{3}\dot{\theta }{}_1\dot{\theta }{}_2+\frac{1}{3}\dot{\theta }{}_2^2]=\frac{1}{6}J(\dot{\theta }{}_1^2+\dot{\theta }{}_1\dot{\theta }{}_2+\dot{\theta }{}_2^2)(5)\end{array}$

式中, J为整个弹性转轴的转动惯量。

式 (5) 即为单个连续弹性轴的能量方程。同时, 可得弹性转轴中的势能为

$U=\frac{1}{2}{\rm K}(\theta {}_2-\theta {}_1){}^2$ (6)

式中, K为弹性轴的扭转刚度。

考虑传动系统中存在结构阻尼力矩

${\rm M}{}^{\text{c}}=-C(\dot{\theta }{}_1-\dot{\theta }{}_2)$ (7)

式中, C为弹性轴的结构阻尼。

则存在耗散阻尼的弹性轴两端面上的广义力矩分别为

$Q{}_1={\rm T}{}_1-C(\dot{\theta }{}_1-\dot{\theta }{}_2)$ (8)

$Q{}_2={\rm T}{}_2-C(\dot{\theta }{}_2-\dot{\theta }{}_1)$ (9)

式中, T1、T2分别为轴两端受到的外部力矩。

将式 (5) 、式 (6) 、式 (8) 和式 (9) 代入以下拉格朗日方程:

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial E}{\partial \dot{\theta }{}_r}-\frac{\partial E}{\partial \theta {}_r}+\frac{\partial U}{\partial \theta {}_r}=Q{}_{r}r=1,2,\cdots ,k$ (10)

得

式 (11) 即为考虑连续分布质量的单个弹性轴连续动力学方程。

1.2传动系统连续动力学模型

假设旋转机械传动系统由n个轴段组成 (图1) ,

由式 (5) 可得整个传动系统中的动能为n个轴的动能之和, 表示如下:

$E=\frac{1}{6}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}J}{}_i(\dot{\theta }{}_i^2+\dot{\theta }{}_i\dot{\theta }{}_{i+1}+\dot{\theta }{}_{i+1}^2)$ (12)

由式 (6) 可知, 整个传动系统的势能为n个弹性轴的势能之和, 可表示为

$U=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\rm K}}{}_i(\theta {}_{i+1}-\theta {}_i){}^2$ (13)

式中, Ki为第i个弹性轴的扭转刚度。

由式 (8) 、式 (9) 可知, 每个轴端面处的广义力矩为

$Q{}_i={\rm T}{}_i+C{}_{i-1}(\dot{\theta }{}_{i-1}-\dot{\theta }{}_i)-C{}_{i+1}(\dot{\theta }{}_i-\dot{\theta }{}_{i+1})$ (14)

将式 (12) 、式 (13) 和式 (14) 代入拉格朗日方程, 可得

式 (15) 即为考虑整个传动系统连续分布质量以及包含结构阻尼及外扰的传动系统连续动力学方程。

2 传动系统连续模型扭振求解

传动系统扭振响应影响着整个传动系统的运行性能和稳定性。因此求解传动系统扭振响应能更深入了解扭振对传动系统的影响。

为了分析传动系统中的扭振响应, 将式 (15) 写为

$\mathit{J}\ddot{\mathit{\theta }}+\mathit{C}\dot{\mathit{\theta }}+\mathit{{\rm K}}\mathit{\theta }=\mathit{{\rm T}}$ (16)

式中, J、C、K分别为传动系统的转动惯量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。

对式 (16) 进行拉普拉斯变换得

Js2θ (s) +Csθ (s) +Kθ (s) =T (s) (17)

可得

θ (s) = (Js2+Cs+K) -1T (s) (18)

令φ1=θ1-θ2, φ2=θ2-θ3, …, φn-1=θn-1-θn。其中, φ1, φ2, …, φn+1依次为传动系统中轴端的扭转角度。

则式 (18) 可转换为

φ (s) =s1 (Js2+Cs+K) -1T (s) (19)

$\mathit{s}{}_1=\left[\begin{array}{cccccc}1& -1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& -1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & -1& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& -1\end{array}\right]{}_{(n-1)\times n}$

令

G (s) =s1 (Js2+Cs+K) -1 (20)

显然

$\mathit{G}(s)=\left[\begin{array}{cccc}G{}_{11}& G{}_{12}& \cdots & G{}_{1n}\\ G{}_{21}& G{}_{22}& \cdots & G{}_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ G{}_{(n-1)1}& G{}_{(n-1)2}& \cdots & G{}_{(n-1)n}\end{array}\right]{}_{(n-1)\times n}$

G (s) 中的每一项Gij (i=1, 2, …, n-1;j=1, 2, …, n) 可表示如下[8]:

$G{}_{ij}=\frac{b{}_{2m-1}s{}^{2m-1}+b{}_{2m-2}s{}^{2m-2}+\cdots +b{}_{1}s+b{}_0}{s{}^{2m}+a{}_{2m-1}s{}^{2m-1}+\cdots +a{}_{1}s+a{}_0}(21)$

其中, a0、a1、…、a2m-1, b0、b1、…、b2m-1是与系统结构有关的参数。

当第i个轴上的刚度为Ki时, 传动轴上的扭矩为Kiφi, 则式 (19) 可写为

M (s) =K′G (s) T (s) (22)

M (s) =[M1 (s) M2 (s) … Mn (s) ]T

K′=diag (K1, K2, …, Kn)

式中, M1 (s) 、M2 (s) 、…、Mn (s) 依次为各个轴段上的扭矩。

由式 (22) 可求得第i个传动轴段的扭矩为

${\rm M}{}_i(s)={\rm K}{}_i\phi {}_i={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}G}{}_{ik}(s){\rm T}{}_k(s)$ (23)

式 (23) 经拉普拉斯反变换后可表示为多个衰减的正弦项之和。由式 (23) 可知, 每段转轴上的扭矩是多个输入力矩影响下动态扭矩的叠加响应。

3 含间隙时传动系统连续模型

传动系统中的间隙是不可避免的, 存在于传动系统的很多环节中。在连续模型中, 间隙存在于两转轴的连接处, 此时连接处的两个轴段将不再保持相同扭转角度, 由于间隙影响将出现不同的扭转角度。令两转轴连接处的扭转角度分别为θi和θ′i, 设连接处的间隙最大值为2Δ, 当第i个连接端面上存在间隙时, 式 (15) 中第i个方程可写为

由式 (24) 可知:当有间隙产生时, 两个轴段的连接处脱落, 系统化为两个独立的连续传动系统, 见式 (24) 的第一个子方程组, 此时, Ti=T′i+T″i;当间隙闭合时, 系统重新变为一个系统, 见式 (24) 的第二个方程和第三个方程。

4 数值仿真

以某厂1780轧机F1机架传动系统为例, 采用本文的方法将传动系统中传动部件和传动轴都考虑为转动惯量和刚度并存的轴段进行数值仿真, 仿真模型由17根轴组成, 其计算参数和离散模型的计算参数见表1。其中, 传动轴的阻尼系数为0.008[9]。

可得如式 (16) 所示的连续模型的动力学方程, 其中

$\begin{array}{l}\mathit{J}=\\ \left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{3}J{}_1& \frac{1}{6}J{}_1& & & 0& \\ \frac{1}{6}J{}_1& \frac{1}{3}(J{}_1+J{}_2)& \frac{1}{6}J{}_2& & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & \frac{1}{6}J{}_{16}& \frac{1}{3}(J{}_{16}+J{}_{17})& \frac{1}{6}J{}_{17}\\ 0& & & & \frac{1}{6}J{}_{17}& \frac{1}{3}J{}_{17}\end{array}\right]{}_{18\times 18}\end{array}$

$\mathit{C}=\left[\begin{array}{cccccc}c{}_1& c{}_1& & & 0& \\ c{}_1& c{}_1+c{}_2& c{}_2& & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & c{}_{16}& c{}_{16}+c{}_{17}& c{}_{17}\\ 0& & & & c{}_{17}& c{}_{17}\end{array}\right]{}_{18\times 18}$

$\mathit{{\rm K}}=\left[\begin{array}{cccccc}k{}_1& k{}_1& & & 0& \\ k{}_1& k{}_1+k{}_2& k{}_2& & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & k{}_{16}& k{}_{16}+k{}_{17}& k{}_{17}\\ 0& & & & k{}_{17}& k{}_{17}\end{array}\right]{}_{18\times 18}$

可见, 连续模型考虑了传动部件和传动轴的刚度和惯量, 因此比离散模型的自由度要高。通过MATLAB编制相应的计算程序, 可得传动系统的固有频率 (表2) 。由表2可看出, 采用离散模型由于忽略系统中一些质量较大而刚度较小的部件, 简化造成较大误差, 因而计算出的系统固有频率较高。而采用了连续模型, 充分考虑了系统的连续质量和刚度, 因而计算结果较准确。同时, 采用本文连续模型计算出的低阶固有频率不会随着系统中轴的数目的增多 (即系统的自由度) 而发生明显变化。可见采用连续模型计算可有效减小人为划分系统自由度对系统低阶固有频率的影响。

Hz

因轧机传动系统接轴最为薄弱, 因此本文对接轴在不同轧制工况下的扭矩响应进行研究。这里离散模型中的接轴为第7根轴, 其扭矩用M′7表示, 连续模型中接轴为第15根轴, 其扭矩用M15表示。图2所示为模拟轧机启动时, 离散模型和本文连续模型的扭振响应比较曲线。图3所示为模拟轧机咬钢时的轧机传动系统上扭振响应曲线比较。可以看出, 采用连续模型与离散模型的模拟曲线有着相同的响应趋势, 这说明本文连续模型是有效的。同时还可看出, 采用连续轴段模型的响应曲线的扭振信息更丰富, 能反映出系统中较高频率的扭振特性。

取传动系统接轴间隙值为0.4mm, 可得传动系统含间隙时扭振响应曲线 (图4、图5) 。其中, 图4所示为模拟轧机启动时传动系统扭矩响应曲线比较, 图5所示为模拟轧机咬钢时模拟曲线。由图4可知, 间隙的存在使系统中扭振波动加剧, 使得系统的扭振变得比较复杂。而咬钢状态下 (图5) , 由于加载力矩较大, 而间隙较小, 间隙对传动系统扭振的影响不太明显。

图6所示为传动系统中的间隙取较大值1mm时接轴中的扭振响应曲线。可见, 间隙的增大使系统的扭振响应变得剧烈起来。

由上述几组曲线可以看出, 本文所提出的连续模型, 无论是对无间隙还是有间隙的传动系统, 都可以很好地模拟系统中的扭振响应, 与离散模型取得了很好的一致性。与集中质量法相比, 两者的计算时间相差不大, 但本文连续模型计算结果有较高精度。同时还可看出, 采用连续轴段模型的扭振振幅响应更丰富, 能够反映出传动系统中较高频率的振幅特性, 更真实地反映出传动系统中的振动变化特性。

5 结束语

考虑旋转机械传动系统的连续分布质量, 本文提出了旋转机械传动系统连续扭振动力学模型。该模型能有效地计算出系统的固有频率, 并能够减小建模过程中人为划分自由度对系统基频的影响, 减小了计算误差。同时对无间隙和有间隙的连续动力学模型进行了仿真研究, 与传统离散方法比较, 该连续模型能够有效地反映传动轴上的扭振响应, 与离散模型保持很好的一致性, 而且表现的扭振形态更丰富, 为更准确地分析旋转机械传动系统的扭振特性提供了一种新的参考途径。

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振动建模 篇3

干摩擦广泛存在于机械系统的摩擦副中,如金属丝减振器,金属橡胶元件,车辆中离合器的主动盘与从动盘的摩擦面中,如图1所示。其减振的频带宽,可有效的降低系统的振幅,是一类行之有效的被动隔振和减振装置,因此得到了工业界的广泛关注。

由于干摩擦力学特性的强非线性(如回复力与位移曲线呈迟滞特性),使得干摩擦元件的设计较为困难,通常依靠经验或大量的试验试制等手段进行设计,成本高,周期长。为此,建立合理的干摩擦力学模型和推导计算量适当的数值方法就显得尤为重要。至上世纪三十年代以来,国内外众多学者对此展开了大量研究。

Den.Hartog在1931年提出了理想的干摩擦模型(coulomb模型)。假设一物体在干摩擦交接面上运动,干摩擦阻力总是阻碍运动,因此,干摩擦力的方向总与运动方向相反,但其大小不变。从时域上看,干摩擦阻力的波形为方波,其变化规律可表示如下:

其中,Ft为干摩擦阻力的大小,为物体的运动速度。

Den.Hartog的模型表达了理想的干摩擦。然而,大量的实验研究表明,物体与干摩擦表面相接触时,物体速度方向的改变并不是突然发生的,而是存在一个过渡过程。由于接触面本身有一定的弹性,在外力的作用下,造成了接触面有一定的弹性变形。当外力的方向改变时,物体的运动方向并没有立刻改变,当外力的大小增大到一定程度,物体与接触面才产生相对位移。

考虑到接触面的弹性性质,Iwan在1961年提出了著名的双折线迟滞模型,该模型将干摩擦阻力看成一根弹簧和一个标准的coulomb摩擦副串联,且能更好的表达干摩擦阻力的非线性性质。

本文针对一个含有干摩擦元件的单自由度系统,实测了其在谐波激励下出现的粘滑运动,并将计算值与实测值进行了对比。结果表明,文中给出的建模和计算方法是有效的。

1 单自由度干摩擦系统的实验研究

测试对象为一含干摩擦的单自由度系统,图2为测试原理图。由MTS的作动端对物体施加垂直方向的位移激励x(t)=x0+xm sin(2πft),其中,f为激励频率(Hz),xm为激励幅值(mm),x0(mm)为预载。图2中,OA所示的位置是初始位置。在预载x0的作用下,OA由初始位置运动至水平位置OB,然后在水平位置OB附近作往复摆动。

假设在位移激励Δx下,OB运动到了OC。假设OA的长度为l,则的摆角为:

图3为时间-摆角关系的测试结果,可见单自由度系统时间—摆角呈现明显的粘-滑运动。

2 单自由度干摩擦系统的力学模型

研究对象为图3所示的振动系统。该系统由两轮、一带和一个集中质量组成。其中,集中质量连接弹簧k(N/m),阻尼c(Ns/m),集中质量受到幅值为P(N)、频率为ω(rad/s)、相位为0度的激励力作用。假设集中质量与带之间的摩擦为干摩擦,则该集中质量的受力情况与图2中的单自由度物体类似。文中只考虑集中质量在力激励作用下的位移的时域响应和频域响应,不计算两轮和带的运动,因此,图1中振动系统可视为单自由度系统。

以地面为参考坐标系,以集中质量的静平衡位置为坐标原点,设集中质量的位移为x(m)且向右为正,带的速度为vb(m/s),干摩擦为Z(t),则集中质量的运动微分方程为:

由于干摩擦的作用,使得集中质量的运动出现滑移—粘着—滑移交替出现的情况,因此分别讨论滑移、粘着时的运动方程及相应的解。

其中,Z(t)表示干摩擦的大小为时间的函数,其增量形式的本构关系为:

3 系统响应的求解方法

由于干摩擦的作用,使得集中质量的运动出现滑移—粘着—滑移交替出现的情况,因此分别讨论滑移、粘着时的运动方程及相应的解。

3.1 集中质量的运动为滑移时的运动方程

当集中质量的运动为滑移时,在用双折线模型描述干摩擦力的情况下,干摩擦相当于刚度为ks的弹簧,因此,式(3)变为:

定义如下的变量:

则(6)变为:

式(8)为二阶常系数非齐次微分方程,其解由对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解组成。通解只对应于振动响应的过渡阶段,会随时间推移而消失,因此不予考虑。可设式(8)的特解的形式为:

其中:

3.2 集中质量的运动为粘着时的运动方程

其中,xslip为当集中质量由滑移变为粘着时的临界点所对应的位移,t为粘着段对应的时间区间的长度。

3.3 滑移—粘着临界时刻的确定

当滑移和粘着的运动方程分别确定后,集中质量的时域位移响应可在滑移、粘着段分段可导,因此,求解滑移—粘着—滑移变化的临界时刻就十分重要。当集中质量的速度时,系统由滑移变为粘着,因此可将作为判断临界时刻的标准。

本文采取变步长法,求解滑移—粘着的临界时刻,图5为计算程序的流程图。集中质量处于粘着的时间与处于滑移的时间之和为周期的一半,因此粘着—滑移转变的临界时刻可由此确定。

3.4 系统幅频响应的求解方法

由于双折线本构关系Z(t)为非线性的泛函,其示意图如图6所示,造成直接求频响方程十分困难,因此考虑Z(t)的简化形式。

双折线迟滞模型的阻力具有周期性,且没有第一类间断点,并绝对可积,因此,可将其阻力展开成Fourier级数。

如图7所示,可将双折线迟滞模型的阻力分段表示:

在2处,1—2与2—3分别表示的分段函数应连续,可得:

xy为双折线本构关系的滑移极限。所以,利用分段积分定理,可得阻力F的Fourier级数为:

其中:

以往的文献曾对式(12)进行频谱分析,指出,式(12)中的高次谐波位移与基频位移之比均低于5.5%,甚至往往低于1%。因此,可取式(13)中n=1的各项来近似代替双折线迟滞模型的阻力。

当n=1时,简化后可得:

因此,双折线迟滞模型的等效阻力为:

将式(13)代入式(1)中,再对式(1)进行傅里叶变换,经整理、简化后最终可得:

其中,xm为集中质量位移响应的幅值,利用Newton迭代法求解非线性方程(18)即可得到集中质量的幅频响应曲线。

4 计算结果及分析

为分析不同的系统参数对集中质量粘滑运动的影响,在幅值为20N,频率为5HZ的简谐激励下,分别计算了不同参数时系统的时域位移响应。系统的各参数如表1所示。

4.1 时域响应

为分析不同的系统参数对集中质量粘滑运动的影响,在幅值为20N,频率为5HZ的简谐激励下,分别计算了不同参数时系统的时域位移响应。系统的各参数如表1所示。图7为集中质量的位移响应。由图7可见,文中的计算方法可表征集中质量的粘滑运动,且带速的大小对位移的幅值有影响,带速增大时位移的幅值增大。

4.1.1 不同阻尼时集中质量的位移响应

图8为集中质量的位移响应,由图8可见,阻尼的大小对位移的幅值有影响,带速增大时位移的幅值减小。

4.1.2 不同刚度时集中质量的位移响应

由图9可见,刚度k的大小对位移的幅值有影响,k增大时位移的幅值减小。

4.2 幅频响应

取系统参数为m=0.05,c=0.5,k=25,zs=20,ks=22,在幅值为30N,频率为0~10HZ扫频的激

5 结论

文中给出了干摩擦系统的建模及计算方法,分析了干摩擦系统中的参数对系统响应的影响,结果表明,文中的建模和数值方法是有效的,可供干摩擦设计借鉴。

摘要：以一具有干摩擦副的单自由度系统为研究对象,实测了其在外界谐波激励下出现的粘滑运动。并建立了基于双折线迟滞单元的干摩擦系统力学模型,模型中的参数均有明确的物理意义。针对这一力学系统,提出了相应的振动响应的求解方法,并分析了系统参数的变化对振动响应的影响。文中给出的参数识别方法和振动响应的求解方法可给工程中含有干摩擦交接副的系统设计提供借鉴。

关键词：干摩擦力学模型,实测分析,计算方法,参数识别

参考文献

[1]Den Hartdog,Forced vibration with combined coulomb and viscous friction[J].Trans ASME,1931:APM-52-15.

[2]Iwan W.F.The dynamic response of the bilinear hysteretic system[D].Califonia:Califonia institute of technology,1961.

[3]胡海岩,李岳峰.具有记忆特性的非线性减振器参数识别[J].振动工程学报,1989,2(2):17-26.

[4]李冬伟,白鸿柏,杨建春,等.非线性迟滞系统建模方法[J].机械工程学报,2005,41(10):205-210.

振动建模 篇4

通过对新型智能材料磁控形状记忆合金MSMA(magnetically controlled shape memory alloy)的研究发现,其具有变形率大、易于控制、功率密度大、高动态响应速度和高机电能量转换效率,且在外加振动力和磁场作用下MSMA会产生马氏体相变,变形量和磁电转换效率远远大于PZT和Terfenol-D,且MS-MA的磁控形状记忆功能具有可逆性,不仅在磁场作用下MSMA可产生变形和输出力,而且在振动力作用下通过磁性能的变化进而产生较大的电磁信号变化。实验表明,测量线圈感应出的电压瞬时值在没有经过任何放大情况下可达46 V以上[6],而较小的振动信号使MSMA产生一定形变时,输出的电压瞬时峰值也能达到几伏。这样,不仅为直接收集的振动能量转变为电能提供了方便,而且提高了能量收集信号的抗干扰能力,同时也为研制基于MSMA的新型振动能量发电新技术应用提供了条件,已经得到广大科技工作着的重视和青睐。

国内利用MSMA收集振动能量的研究刚刚起步,本文在前期研究成果的基础上,通过分析MSMA磁畴运动、马氏体相变及微观特性,采用振动发电技术,将环境中存在的机械振动能量转变为电能,利用MSMA的逆效应和吉布斯自由能函数,建立了MS-MA振动发电机的数学模型,求出在磁场和振动力共同作用下振动发电机输出的感应电动势与磁化强度和应变量的数学关系。分析了不同外加振动力、磁场变化对输出电压的影响。仿真和实验结果表明,MSMA振动发电机可以实现将环境中机械振动能量转换为电能。

1 MSMA振动发电机原理及数学模型

利用MSMA进行振动发电原理主要是依靠MS-MA的维拉利效应,即对处于恒定磁场的磁控形状记忆合金施加一定的振动力时,合金材料的形状就会发生变化,本身的磁化强度也将会发生改变,导致感应线圈的磁通量随之改变,磁感应强度也发生变化,在感应线圈中出现感应电压信号。因此,模型建立的重点就是寻找外加机械振动力、应变量和输出电压的关系。

1.1 MSMA振动力与应变的关系

MSMA合金是由不同的马氏体变体组成,且每种马氏体变体都有自己本身的磁场方向和易磁轴,当对合金施加外部磁场时,每种变体的易磁轴方向会趋向于与外部的磁场相一致。为有效的分析MS-MA的机械-电磁效应,需要细致研究MSMA材料的微观结构,通过前人研究成果可知MSMA中马氏体相变和磁域的结构[7],假设MSMA中存在两种变体,分带形式如图1所示。

采用Kiefer和Lagoudas设计的模型[8],如图2所示,可以方便有效的观察磁化强度与偏转角度。

只考虑外部施加的单轴磁场或沿轴向的振动力,设变体2的体积分数为ξ,变体1的体积分数为1-ξ,则变体1的线应变为ε1=(1-ξ)εr,max,变体2的线应变为ε2=ξεr,max,εr,max是合金的轴向最大线应变。

在Lai,Y.W.等人的实验研究中表明,MSMA中磁畴的演化模式受制于外部磁场[9]。对于变体1,可以观察到外磁场只能诱导磁化强度的旋转远离易磁化轴。而对于变体2,外磁场将引起畴壁运动,但是磁化强度总是沿着y轴的[10]。

每个变体存在两种磁域,由于外部磁场的影响,在每个磁域的磁化强度矢量都有一个远离易磁化轴的旋转角度θ,在每个磁域中,磁化强度矢量平行于外部磁场且彼此相反,在此基础上四个区域中的有效磁化可以定义为

式(1)中,Msat为饱和磁化强度[11]。实验表明,即使对MSMA合金施加很微小的外部磁场(9.9 m T)时,第二磁域的体积分数也趋近于1,可以认为MSMA合金在施加外部磁场时只有第二磁域存在。

此时MSMA合金马氏体体积分数可以表示为

式(2)中,σ为对合金施加的振动力,H为施加的恒定磁场,ρk2为合金的磁晶各向异性能,与材料本身有关,本实验中选用的材料ρk2=1.9×105J/m3,A、B1、B2、Yξ为模型的校准常数,分别取19.80,1.956,7.62,56.42[12]。

由于只存在第二磁域变体,可得到振动力与线应变的关系式

不同的振动力强度下MSMA合金所能达到的轴向最大线应变不同,即εr,max不同,当温度、磁场一定时,利用如图3所示的实验装置[13],得到外加振动力与变形之间的关系曲线如图4,在恒定磁场H为477 k A/m时,对MSMA合金施加振动力增大到一定程度,合金的应变基本不再变化,达到稳定,当施加振动力为2×106Pa时,MSMA合金产生最大的线应变为4%左右。

根据实验数据进行拟合,得到MSMA所受到的振动力与最大轴向线应变函数εr,max(σ)表达式可写为

式(4)中,σ是施加的动态振动应力。

将最大轴向线应变函数中,得到振动力与线应变的关系,关系曲线如图5所示。

1.2 MSMA发电机的数学模型

由式(1)得到磁控形状记忆合金的磁化强度的x轴和y轴分量分别为:

式(5)、式(6)中,ξ为变体2的体积分数,Msat为最大磁化强度,μ0为真空磁导率,H为施加的磁场强度,ρk2为磁晶各向异性。

对合金施加沿y轴的磁场,磁场垂直穿过合金,此时合金几乎可获得最大的形变[13],即合金的磁化强度M=My。

把磁化强度My代入式B=μ0(H+M)中,其中H为恒值,再把B代入式即可得到发电机的输出电压表达式

式(7)中,V即为输出感应电压,μ0为真空磁导率,Msat为最大磁化强度,ξ为变体2的体积分数,θ3为有效磁化强度偏转角,N为感应线圈匝数,S为感应线圈横截面积。

2 MSMA振动发电机的特性仿真

根据所建数学模型,采用Matlab进行仿真与数值计算,分析振动发电机的输出特性。

2.1 振动力大小与输出电压的关系

选定其中参量值:真空磁导率μ0为4π×10-7H/m,饱和磁化强度Msat为574 360 A/m,线圈匝数N为1 200匝,线圈横截面积S为202.3 mm2,施加磁场强度为477 k A/m,振动频率为12.5 Hz,仿真结果如图6所示。图6(a)~(f)为频率一定时,振动力分别是1×106Pa、4×106Pa、6×106Pa、10×106Pa、12×106Pa、15×106Pa时,输出电压与振动力之间的关系,峰峰值分别是0.12 V、0.5 V、0.64 V、0.9 V、1.0 V、1.1 V,振动力与输出电压数据拟合曲线如图7所示。

从图7中可以看出,发电机的输出电压随着输入振动力的增加而增加,当振动力大小超过15×106Pa时,输出电压基本处于饱和状态,输出电压达到最大值,与实验结果吻合。

2.2 振动力频率与输出电压的关系

基于之前的条件不变,将施加的磁场强度设定为477 k A/m,施加15×106Pa的恒定振动力时,改变振动力的频率,可以得到如图8所示不同振动频率下的电压输出随时间变化的关系曲线,图8中(a)~(d)振动力频率分别是10 Hz、12.5 Hz、25Hz、35 Hz,输出的最大电压值分别是0.85 V、1.02V、2.0 V、2.6 V。

由波形曲线可以看出当施加振动力的频率为35 Hz时,波形略微出现了失真,频率增加到50 Hz和100 Hz时,出现了图8(e)、(f)所示的波形,峰值出现了较大偏差,而且波形图失真严重。由此可知:在同一振动力大小的条件下,随着外加振动力频率的增加,MSMA发电机的输出电压增大,但是当施加振动力的频率超过25 Hz时,输出电压可以达到2 V左右,但是输出电压开始出现波形失真现象。

3 结论