抽屉原理中

抽屉原理中（共8篇）

抽屉原理中 篇1

抽屉原理在初等数学中的运用

摘要：抽屉原理也称为鸽巢原理，它是组合数学中的一个最基本的原理.也是数学中的一个重要原理，抽屉原理的简单形式可以描述为：“如果把n+1个球或者更多的球放进n个抽屉，必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显，很容易被并不具备多少数学知识的人所接受，如果将其灵活地运用，则可得到一些意想不到的效果.运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。在解决数学问题时有非常重要的作用.抽屉原理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目，如几何问题、涂色问题等.各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用，使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则，抽屉构造得好，可得出非常巧妙的结论.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用,同时指出了它在应用领域中的不足之处.关键词：抽屉原理；初等数学；应用

一、抽屉原理（鸽巢原理）

什么是抽屉原理？先举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理.或者假定有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，当鸽子飞回巢中，那么一定至少有一个鸽笼里有两只鸽子，这就是著名的鸽巢原理.除了这种比较普遍的形式外，抽屉原理还经许多学者推广出其他的形式.比如陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式: 原理1 把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.原理2 把m个元素任意放到n(m>n)个集合里，则至少有一个集合里至少有k个元素，其中

原理3 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素.卢开澄在《组合数学》（第三版）中将抽屉原理（书中称为鸽巢原理）又进行了推广[2].鸽巢原理：设k和n都是任意正整数，若至少有kn+1只鸽子分配在n个鸽巢中，则至少存在一个鸽巢中有至少k+1只鸽子.二、抽屉的构造途径

在利用抽屉原理解题时，首先要明确哪些是“球”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一些巧妙的方法去构造。我们利用抽屉原理解题的关键,就在于怎样设计“抽屉”.三、抽屉原理在初等数学中的应用

初等数学问题的特点：只给出一些相关的条件，或者即使给出一些数值条件，也不能利用这些条件进行计算、或代入求值、或列方程、或做图、或证明等方法去解决，只能利用这些条件进行推理、判断，从而解决问题.讨论存在性问题是数学竞赛中的一类常见问题。处理这类问题常用到抽屉原理。下面我们就列举抽屉原理在初等数学(竞赛)中的应用.例9 某次考试有5道选择题，每题都有4个不同的答案供选择，每人每题恰选1个答案.在2000份答卷中发现存在一个n,使得任何n份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3题相同.n的最小可能值.(2000，中国数学奥林匹克)解：将每道题的4种答案分别记为1，2，3，4，每份试卷上的答案记为(g,h,i,j,k)，其中g,h,i,j,k∈{1,2,3,4}，令{(1,h,i,j,k),(2,h,i,j,k),(3,h,i,j,k),(4,h,i,j,k)}，h,i,j,k=1，2，3，4，共得256个四元组.由于2000=256×7+208，故由抽屉原理知，有8份试卷上的答案属于同一个四元组.取出这8份试卷后，余下的1992份试卷中仍有8份属于同一个四元组，再取出这8份试卷，余下的1984份试卷中又有8份属于同一个四元组.又取出这8份试卷.三次共取出24份试卷，在这24份试卷中，任何4份中总

有2份的答案属于同一个四元组，不满足题目的要求.所以，n下面证明n=25.令

≥25.}S={(g,h,i,j,k)|g+h+i+j+k≡0(mod4),g,h,i,j,k∈{1,2,3,4}.则S=256，且S中去掉6个元素，当余下的250种答案中的每种答案都恰有8人选用时，共得到2000份答案，其中的25份答案中，总有4份不相同.由于它们都在S中，当然满足题目要求.这表明，n=25满足题目要求.综上可知，所求的n的最小可能值为25.先运用抽屉原理给出n的下界，然后用构造法给出例子.这是一道典型的运用构造法解题的好题目.在解题中合理构造抽屉往往会收到意想不到的效果.例10 任给7个实数，证明必存在两个实数a,b满足0≤3

(a-b)<1+ab.ππ证明：设七个实数为a1,a2,a3,,a7，作Qi=arctgai(i=1,　2,　　,7),显然Qi∈(-,)，22ππππππππππππ把(-,)等分成六个区间：(-,-)，(-,-)，(-,0)，(0,)，(,)，(,)，222336666332由抽屉原理，Q1,Q2,,Q7必有两个属于同一区间，不妨设为Qi,Qj,而不论Qi,Qj属于哪个小Qi-Qj<区间都有0≤ππ1(*)，不，由正切函数的单调性可知，0

a-bab,b=tgQj，则tg(Qi-Qj)=妨记a=tgQ,而由()知0≤0(Qi>Qj),1+ab>0, 从而有0≤3(a-b)<1+ab.例11 从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。

分析：要解决该题，就得找到其关键，其实就在于“两个数”，他们的关系是“其中一个是另一个的整数倍”。我们要构造“抽屉”，就要在每个抽屉中任取两个数，并且有一个数是另一个的整数倍，而只有把公比是正整数的整个等比数列都放在同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N,K∈N，n∈N,则m=(2k-1)·2，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×2，3=3×2°，„

+

+

n

证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：

（1）{1，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2}；

（2）{3，3×2，3×2，3×2，3×2，3×2}；

（3）{5，5×2，5×2，5×2，5×2}；

（4）{7，7×2，7×2，7×2}；

（5）{9，9×2，9×2，9×2}；

„„

（25）{49，49×2}；

（26）{51}；

„„

（50）{99}。

这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。

说明：（1）从上面的证明中可以看出，本题能够推广到一般情形：从1-2n的自然数中，任意取出n+1个数，则其中必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。想一想，为什么？因为1-2n中共含1，3，„，2n-1这n个奇数，因此可以制造n个抽屉，而n+1＞n，由抽屉原则，结论就是必然的了。给n以具体值，就可以构造出不同的题目。例2中的n取值是50，还可以编制相反的题目，如：“从前30个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式地）取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小的数的倍数？”

（2）如下两个问题的结论都是否定的（n均为正整数）想一想，为什么？

①从2，3，4，„，2n+1中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？

②从1，2，3，„，2n+1中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？

你能举出反例，证明上述两个问题的结论都是否定的吗？

（3）如果将（2）中两个问题中任取的n+1个数增加1个，都改成任取n+2个数，则它们的结论是肯定的还是否定的？你能判断证明吗？

例12（第6届国际中学生数学奥林匹克试题）17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名

科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。

证明：视17个科学家为17个点，每两个点之间连一条线表示这两个科学家在讨论同一个问题，若讨论第一个问题则在相应两点连红线，若讨论第2个问题则在相应两点连条黄线，若讨论第3个问题则在相应两点连条蓝线。三名科学家研究同一个问题就转化为找到一个三边同颜色的三角形。（本例同第十二讲染色问题例4）

考虑科学家A，他要与另外的16位科学家每人通信讨论一个问题，相应于从A出发引出16条线段，将它们染成3种颜色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1条同色，不妨记为AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同红色，若Bi（i=1，2，„，6）之间有红线，则出现红色三角线，命题已成立；否则B1，B2，B3，B4，B5，B6之间的连线只染有黄蓝两色。

考虑从B1引出的5条线，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用两种颜色染色，因为5=2×2+1，故必有3=2+1条线段同色，假设为黄色，并记它们为B1B2，B1B3，B1B4。这时若B2，B3，B4之间有黄线，则有黄色三角形，命题也成立，若B2，B3，B4，之间无黄线，则△B2，B3，B4，必为蓝色三角形，命题仍然成立。

说明：（1）本题源于一个古典问题--世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识。（美国普特南数学竞赛题）。

（2）将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，（1）将化为一个染色问题，成为一个图论问题：空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色。求证：存在三点，它们所成的三角形三边同色。

（3）问题（2）可以往两个方向推广：其一是颜色的种数，其二是点数。

本例便是方向一的进展，其证明已知上述。如果继续沿此方向前进，可有下题：

在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目。证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目。

（4）回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题。反过来，我们可以继续推广。从以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的过程，易发现

6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958„记为r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，„

我们可以得到递推关系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4„这样就可以构造出327点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形。

参考文献

[1]陈景林,阎满富.组合数学与图论.北京：中国铁道出版社出版,2000.4-6 [2]卢开澄.组合数学（第3版）.北京清华大学出版社，2002.07

[2]曹汝成.组合数学.广州：华南理工大学出版社,2001.170-173 [3]忘向东,周士藩等.高等代数常用方法.山西：高校联合出版社,1989.64-66 [4]刘否南.华夏文集.太原：高校联合出版社,1995.88-90 [6]严示健.抽屉原则及其它的一些应用.数学通报,1998,4.10-11 [7]丁一鸣《中学数学教学》，1988年第02期 [8] 杨忠.《中学生数学》，2010年第08期

[9]石立叶，于娜，刘文涵.《抽屉原理及其应用》，2009，4.11 [10]《数学教学通讯》，1987年第03期 [11]《中学生数学》，2005年第18期

抽屉原理中 篇2

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,如在任意的367名学生中,一定存在两名学生他们在同一天过生日。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或哪个人),也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。解决这类问题的依据我们称为“抽屉原理”。“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容,该单元通过几个直观的例子,借助实际操作,向学生介绍“抽屉原理”。使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“抽屉原理”加以解决。

“抽屉原理”看似简单,但因为其实质是揭示了一种存在性,比较抽象,要让小学生建构起自己的实质性理解,还是很有挑战性的。对“总有一个抽屉里放入的物体数至少是多少”这样的表述,学生不易理解,教学中学生也很难用“总有”“至少”这样的语言来陈述。

如何在实际教学中正确把握和处理“数学广角”中这一全新的教学内容,正确运用教学方法,让学生的数学思维在探究学习中得到发展?我在进一步研读《数学课程标准》及人教版实验教材全册的基础上,对“数学广角——抽屉原理”的教学内容、教学目标等进行了梳理与分析,并结合在覃塘区数学课堂教学比赛参赛课《抽屉原理》中的课堂教学实践谈谈对“抽屉原理”教学的一些思考。

一、注重情境创设,激发学生学习兴趣

创设切合学生认知特点的情境,激发学生的学习兴趣,激起学生探究新知的学习欲望。例如教师准备了4把椅子,请5位同学上来,喊“开始”时,5位同学必须都坐到椅子上,让学生在游戏中体验不管怎么坐,总有一把椅子上至少要坐着两个同学,使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象,让学生在已有生活经验的基础上初步感知抽象的“抽屉原理”,并为下面的探究活动起到了很好的铺垫作用。

二、注重直观操作,经历探究过程

课程标准要求数学学习应注重让学生经历“数学证明”的过程。在小学阶段,虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的证明,但仍可引导学生用直观的方式进行“就事论事”式的解释。教学时可以鼓励学生借助学具、实物,通过操作或画草图的方式进行“说理”,既有助于逐步提高学生的逻辑思维能力,又为以后学习较严密的数学证明做了准备。

1. 采用操作的方法枚举“抽屉原理”的存在现象

例1:把4支铅笔放在3个文具盒里,不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进2支铅笔。为什么?

通过直观地摆铅笔,让学生动手操作、画图,发现把4支铅笔分配到3个文具盒中一共只有四种情况,即(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),引导学生理解“不管怎么放”“总有一个”“至少”的含义。

“抽屉原理”对于小学生来说,比较抽象,特别是“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这句话的理解。所以通过具体的小组合作操作,列举所有的情况后,引导学生直接关注到每种分法中数量最多的文具盒,理解“总有一个文具盒”以及“至少2支”。让学生初步经历“数学证明”的过程,让学生在这个连续的过程中初步感知方法的优劣,发展了学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。

2. 采用“假设法”证明“抽屉原理”存在的一般性

假设法最核心的思路就是把笔尽量多地“平均”分给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少支笔,剩下的笔不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉比平均分得的笔数多1支。在操作过程中要让学生体会到“平均分”即是为了突出“最不利情况”,如假设先在每个文具盒中放1支铅笔,3个文具盒里就放了3支铅笔。还剩下1支,放入任意一个文具盒,那么这个文具盒中就有2支铅笔了,即“为什么把(n+1)支铅笔放进n个文具盒,总有一个文具盒里至少放进2支铅笔”这个一般性的结论。

通过猜想、动手操作、发现、推理、验证等活动,让学生在经历“抽屉原理”的“数学证明”的过程中,鼓励学生积极地自主探索,寻找不同的证明方法,学生意识到了要考虑最少的情况,从而引出假设法渗透平均分的思想,去发现并理解“不管怎么放”“总有一个”“至少”的规律,让学生在自主探索中体验成功,获得数学思维的发展。

三、注重规律揭示,培养“建模”思想

数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化,建立近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。

“抽屉问题”的变式很多,应用更具灵活性。但能否将具体问题和“抽屉问题”联系起来,能否找到问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系,是能否解决该问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴,如果可以,再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。

例2:把5本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书。7本呢?9本呢?

教材提供了让学生把5本书放进2个抽屉的情境,在操作的过程中,学生发现不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书,从而产生探究原因的愿望。学生仍然可以采用枚举的方法,把5分解成两个数,有(5,0),(4,1),(3,2)三种情况。在任何一种结果中,总有一个数不小于3。更具一般性的仍然是假设的方法,即先把5本书“平均分成2份”。利用有余数除法5÷2=2……1可以发现,如果每个抽屉放进2本,还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉,该抽屉里就有3本书了。

在例1和做一做的基础上,学生会用平均分的方法解决“至少”的问题,将证明过程用有余数的除法算式表示,从余数1到余数2,让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分,余下的数也要进行二次平均分,为发现结论与商和余数的关系做好铺垫。

研究了“把5本书放进2个抽屉”的问题后,教材又进一步提出“如果一共有7本书,9本书,情况会怎样?”的问题,让学生利用前面的方法进行类推,得出“7本书放进2个抽屉,总有一个抽屉至少放进4本书,9本书放进2个抽屉,总有一个抽屉至少放进5本书”的结论。

在此基础上,让学生观察这几个“抽屉问题”的特点,寻找规律,使学生对这一类“抽屉原理”达到一般性的理解。让学生在概括提炼中建立模型,发现数学的规律建立解决这类问题的一般方法——用“有余数除法”的计算来解决平均分问题,进而关注商和余数的情况,学生的数学思维再一次得到发展。

四、注重知识应用,提高数学思维

扑克牌中的抽屉原理 篇3

关键词：抽屉原理；总有；至少；（n+1）个

中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）10-224-01

人教版教材自改版后，增加了“数学广角”这一环节，大大丰富了原有教材的信息量，使数学这门学科的趣味性、知识性和神秘性得到了很好的体现，并且内容密切联系现实生活，使学生体会到再平凡不过的日常生活中也暗藏着数学玄机，也给老师的教学一个很大的发挥空间，真可谓见仁见智。

六年级下册“数学广角”中有这样一道题：把三本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了2本书。这个问题很多学生都能接受，但它有一个由易到难的三个层次，最简单的层次：把m个物体任意放进（m-1）个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放进了至少2个物体。一般的层次为：要把a个物体放进几个抽屉，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少放进了（b+1）个物体。较深的层次为：把无限多个物体任意分放进几个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了无限多个物体。这类问题教材中阐述为“抽屉原理”，最先是由19世纪德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为鸽巢原理。这个原理的应用千变万化，可以用它来解决很多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面，我就来具体谈谈教学中遇到的问题和几点设想。

教学难点：把三本书放进两个抽屉，总有一个抽屉至少放进了几本书？有的学生认为“至少”应该是0本，一本也不放，这种理解是错误的。其实这个“至少”隐藏的真实信息是：在诸多放法中，我们是研究每种放法放得最多的抽屉，选择多的抽屉比较，再多中取少，最少的那个抽屉也不少于几本，这才是题目的本意。同学们恍然大悟。为了增加大家的理性认识，我让每个学生以小组为单位，从家里带来一副扑克牌，玩起了扑克牌游戏。

课堂摘要：我让每个学生从扑克牌中取出两张王牌不用，投影出示问题1：在剩下的52张中任意抽取几张，至少有2张是花色相同的？

学生们立即动手尝试抽取扑克，有的运气好，一次抽出了2张同花色的，有的运气差，抽了几张也没有抽到。

师：要保证在运气最差的情况下，也有两张花色相同的，我们把扑克牌里的花色当成4个抽屉试试看。

生：要抽出5张扑克，如果有4张分别是梅花、方块、红桃、黑桃，那么再抽一张肯定有与前面同花色的，所以任意抽5张至少有2张是同花色的。

投影出示问题2：52张扑克，任意抽取几张才能保证其中有2种花色，任意抽取几张才能保证其中有3种花色呢？任意抽取几张才能保证其中有4种花色？

本题初看与例1相似，但实际不同，我告诉学生，做这道题要把自己当成是运气最差的摸奖者，但运气再差，也要保证自己能中奖，怎么办呢？我让学生把相同的花色的扑克放到一起让一生抽取，他先抽到13张红桃，一脸失望的表情，但抽到第14张是方块，大家一看，有两种花色了。

师：这是运气最差的情况吗？

生：是。要保证抽到两种花色，要抽13+1=14张。

师收起扑克：大家推测一下，如果保证抽到3种花色，那么要抽取多少张呢？

生：应该是13+13+1=27张

师：4种花色都有呢。

生：13+13+13+1=40张、

我再次告诉学生，这里的“抽屉”是四种花色，其实，要使学生在实际问题和“抽屉原理”之间架起一座桥梁并不是件容易的事，如果学生在理解时有比较大的困难，可以让他们按照自己的意思来理解，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。

为了巩固对抽屉原理的灵活掌握情况，我将例2稍作改动，又出示下面问题了。

将扑克牌2、3、4、5、6各4张全部抽出，打乱顺序，问：至少要抽出几张，才能保证有一对数字相同的扑克牌？

生1：此题目把2、3、4、5、6这5个数字当作5个抽屉。

生2：应该抽6张，从最特殊的情况抽起2、3、4、5、6各抽取一张，剩下的一张就一定能与之凑成一对。

看到学生能顺利地解决问题，我又把它增加了一点难度，出示了问题4：将扑克牌2、3、4、5、6各4张全部抽出，打乱顺序，至少要抽出几张，才保证其中有两对数字相同的扑克牌。

生纷纷议论起来：6张！7张！8张！16张！

我让一生从最不可能的情况进行演示抽取

生：边抽取边解释，先抽取2、3、4、5、6各一张，再抽取一张2，又接着抽取一张2，如果是其他的就是两对数字了，但现在是3个2，凑不成两对，必须还抽取一张2，就凑成两对2，这是特殊的情况至少应该是5+2+1=8张了。

学生们很感兴趣，纷纷动手做起实验来。

《抽屉原理》教案 篇4

《抽屉原理》教案

一、教学内容

人教版小学数学六年级下册教材第68~69页。

二、教材分析

“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉原理”，即把n+1个物体任意分放进n个空抽屉里（m>n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。关于这类问题，学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。让学生通过本内容的学习，帮助学生加深理解，学会利用“抽屉问题”解决简单的实际问题。在此过程中，让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。还

要注意培养学生的“模型”思想，这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。

三、学情分析

抽屉原理是学生从未接触过的新知识，难以理解抽屉原理的真正含义，发现有相当多的学生他们自己提前先学了，在具体分的过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。

1．年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，引发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主体性。

2．思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数学证明”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，要让学生不知其然，更要知其所以然。

四、教学目标

1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

五、教学方法

1.适时引导学生对枚举法和假设法进行比较，并通过逐步类推，使学生逐步理解“抽屉问题”的“一般化模型”。

2.引导学生构建解决抽屉原理类问题的模式：明确“待分的物体”→哪是“抽屉”→平均分 →商+1

六、教学重难点

重点：经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理。难点：理解抽屉原理，并对一些简单的实际问题加以模型化。

七、教学准备 课件、学习单

八、教学过程

（一）创设情境 提出问题； 1.游戏导入

师：我们先来玩一个小游戏，有3本书放进2个抽屉里，怎样放？有几种放法？想想看。

生：有两种，一种是3本放在一个抽屉里。师：3本放在一个抽屉里，那么另外一个抽屉？

生：另外一个抽屉是空的。还有一种是一个抽屉放1本，另外一个抽屉放2本。

课件演示。

师：假设我们没有书，也没有课件，那我们应该怎么来思考这个问题呢？

生：画图„„

师画示意图，一起观察分析，得出3本书放进2个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2本书。

抽屉原理是一种很神奇规律，因为它能够帮助我们解决很多生活中的问题，大家想了解它吗？

师：谁能解释一下总有和至少这两个词的意思？ 生：总有就是肯定有，至少就是不少于的意思。„„ 2.揭示课题

师：刚才这个小游戏展示了抽屉原理中最简单的一种问题。抽屉原理很神奇，我们用它可以解决很多有趣的的问题，想弄明白这个原理吗？这节课我们就一起来探究这种神秘的原理。板书课题《抽屉原理》

（二）探究原理 建立模型 1.出示学习目标，全班齐读。

2.出示探究任务，先独立思考，再小组合作交流谈论。

用实物或画图的方法列举出，把4枝铅笔放进3个笔筒中，一共有（）种情况，从中发现不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进去（）枝铅笔。

利用假设法把4枝铅笔平均放进3个笔筒里，每个笔筒里只能放（）枝铅笔，剩下的（）枝铅笔还要放进其中一支笔筒里，所以至少有（）枝铅笔放入同一个笔筒。用一个有余数的除法算式表示。3.汇报展示

4.师生一起探究交流。

课件演示，利用列举法和假设法进行验证。6.学以致用（问题二）

1)7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？

2)把5本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。这是为什么？

3)把7本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么？

4)把9本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么？

5)8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（）只鸽子要飞进同一个鸽舍。为什么？ 7.归纳小结

“抽屉原理”类问题解决模式：明确“待分物体”—确定“抽屉”—平均分—商＋1 8.抽屉原理简介

（三）有效训练

一副扑克牌(除去大小王)52张中有四种花色，从中随意抽5张牌，无论怎么抽,为什么总有两张牌是同一花色的？

（四）总结提升

这节课你有哪些收获？可以从知识上、学习方法上、数学小知识上进行总结。

1.自我检测 1)把13本书分给4名学生，不管怎么分，总有一个学生至少分得（）本书。

2)四（1）班有学生38人，同一个月份出生的学生至少有（）人。

3)在某班学生中，有8个人都订阅了《小朋友》、《少年报》、《少年报》三种报刊中的一种或者几种，这8个人中至少有（）个人所订的报刊种类相同。

4)给正方体的6个面涂上红色或蓝色，不管怎么涂，至少有（）个面的颜色相同。

2.课后延伸

1）给6名学生分书，肯定有一个学生至少分到5本书，这些书至少有（）本。

2）请你任意写出4个自然数，在这4个自然数中，必定有这样的两个数，它们的差是3的倍数，试一试，想一想，为什么？

九、板书设计

抽屉原理

列举法 假设法 至少

3（3,0）4÷3=1„„1

明确“待分物体” 3（2,1）7÷5=1„„2

确定“抽屉” 4（4,0,0）5÷2=2„„1

平均分 4（3,1,0）7÷2=3„„1

商+1 4（2,2,0）8÷3=2„„2

抽屉原理 篇5

我们在四年级已经学过抽屉原理，并能够解答一些简单的 抽屉原理问题。这两讲先复习一下抽屉原理的概念，然后结合一些较复杂的抽屉原理问题，讨论如何构造抽屉。

抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。

理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。

（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。

（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。

（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。

例1 五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？

分析与解：关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。

44÷21= 2……2，根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。

例2 夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？

分析与解：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。

因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉。

2000÷6=333……2，根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333+1=334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。

例3把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

分析与解：这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。由

1255÷（4-1）＝41……2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。

同学们想一想，如果有42个人，还能保证至少有一人分到至少4本书吗？

例4五（1）班张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。张老师说：可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。那么，这个班最少有多少人？

分析与解：由“至少有6名学生各题的得分都相同”看出，应该以各题得分情况为抽屉，学生为物品。

如果用（a，b）表示各题的得分情况，其中a，b分别表示第一、二题的得分，那么有

（2，2），（2，1），（2，0），（1，2），（1，1），（1，0），（0，2），（0，1），（0，0）

9种情况，即有9个抽屉。

本题变为：已知9个抽屉中至少有一个抽屉至少有6件物品，求至少有多少件物品。反着用抽屉原理2，得到至少有9×（6－1）+1=46(人)。

例3与例4尽管都是求学生人数，但因为问题不同，所以构造的抽屉也不同，例3中将学生作为抽屉，例4中则将学生作为物品。可见利用抽屉原理解题，应根据问题灵活构造抽屉。一般地，当问“最少有多少××”时，应将××作为物品，如例1，2，4；当问“最多有多少××时，应将××作为抽屉，如例3。

例5任意将若干个小朋友分为五组。证明：一定有这样的两组，两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数。

分析与解：因为一组中的男孩人数与女孩人数的奇偶性只有下面四种情况：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。

将这四种情况作为4个抽屉，五组作为5件物品，由抽屉原理1知，至少有一个抽屉中有两件物品。即这五组中至少有两组的情况相同，将这两组人数相加，男孩人数与女孩人数都是偶数。

1．一个篮球运动员在15分钟内将球投进篮圈20次，证明总有某一分钟他至少投进两次.2．有黑、白、黄筷子各8只，不用眼睛看，任意地取出筷子来，使得至少有两双筷子不同色，那么至少要取出多少只筷子才能做到？

3．证明：在1，2，3，…，10这十个数中任取六个数，那么这六个数中总可以找到两个数，其中一个是另一个的倍数.4．证明：任意502个整数中，必有两个整数的和或差是998的倍数.5．任意写一个由数字1，2，3组成的30位数，从这30位数任意截取相邻三位，可得一个三位数，证明：在从各个不同位置上截得的三位数中至少有两个相等.6．证明：把任意10个自然数用适当的运算符号连接起来，运算的结果总能被1890整除.7．七条直线两两相交，所得的角中至少有一个角小于26°.8．用2种颜色涂3行9列共27个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两列，它们的涂色方式相同.9．用2种颜色涂5×5共25个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出现.10．求证存在形如11…11的一个数，此数是1987的倍数.抽屉原理习题答案

（苹果数总是比抽屉数少）

1、平均分假设，每分钟投进一个，那么还有5个球没时间投，无论在哪个一分钟内投都能够使得这一分钟投进至少两球。2、11只，最倒霉原则，先取出8只黄筷子，然后一黑一白，在任意取一只必能满足结果！

3、首先找到5个数，任意数都不是其他数的倍数！可能是4、5、6、7、9或者5、6、7、8、9，这能是这两种组合，然后任意再挑一个，都会出现倍数关系。

3、另解：把1到10分成5个组{5，10}、{3，9}、{1，2，4，8}、{6}、{7} 咱要从5个组里取6个数出来，必须从1个组里取2个数出来，而任意组拿出来的2个数都是倍数关系。4、998=499*2=500+498，0-499这500个数，不能满足条件，任意拿到一个数加上或者减这500个数中的一个数，必然是998的倍数

4、另解：每个整数被９９８除，余数必是０，１，２，…，９９７中的一个．把这９９８个余数制造为（０），（１，９９７），（２，９９６），…，（４９７，５０１），（４９８），（４９９），（５００）共５０１个抽屉，把５０２个整数按被９９８除的余数大小分别放入上述抽屉，必有两数进入同一抽屉．若余数相同，那么它们的差是９９８的倍数，否则和为９９８的倍数．

5、从30位数中截出个3位数来，这个三位数共有多少中情况呢？111，112，113。。。用乘法原理可知共3*3*3=27种情况，而如果从一个30位数上往下截，应该有28中截法，可见截法比种类还多，这说明，至少有两种截法截出来数要相同。

6、由于1890=9*7*5*3*2，也就是说1890同时是9，7，5，3，2的倍数，由于除以9的余数只有0到8共9中情况，所以任意取10个自然数，则至少有2个数被9除同余，同理，除去这两个被9除同余的数外，剩下的8个数中至少有两个数被7除同余 再除去这两个数，剩下6个数中至少有两个数被5除同余 再除去这两个数，剩下4个数中至少有两个数被3除同余 最后剩下2个数，要么有一个2的倍数，要么差是2的倍数。

把刚才所有同余的一对数求差，生成的5个数或者6个数中，一定会同时拥有9，7，5，3，2的倍数，因此，全部乘起来后一定能被1890整除

7．平面中的任意七条线，我们都可以把他们平移到一个交点上这样并不会改变原先角的度数。这样就能得到14个较小的角，如图所示，且对顶角相等。而又知，这14个角围成了一圈，也就是360度，那么14个角的平均度数就是360/14=25.7度<26度，所以必然有角度数小于26度。

8．总共有9列，每列有3个格子，而用两种颜色对3个格子进行涂色只有如下集中情况 000，001，010，011，100，101，110，111共8种情况，其实用乘法原理2*2*2=8也可得。但现在有9列需要涂色，可见列数大于涂色种类，因此必然存在至少2列的涂色方法一致。

9．先看第一行，有5个方格，用两种颜色去染色，根据抽屉原理必有3个方格同色。不妨设有3个方格为白色（设黑色也一样）（见图一），设在第1，3，5列。我们把第2，4列抛弃不看。如果不是1，3，5列是白色，我们不管是哪三个是白色的，只要留下第一行为白色的三列就OK！剩下的就5*3的阵列了（见图二）。有两种情况：

（1）在5*3的方格中，2-5行的某一行的3个方格中出现两个白格，则它们与第一行相应的两个白格可组成四个同为白色的长方形。

（2）在5*3的方格中，2-5行如果没有两个白格。那么只有白黑黒（记为1），黒白黑（记为2），黑黑白（记为3），黑黑黑（记为4）四种可能。（图三）如果4出现在后四行中，不管其他三行为1，2，3，4的哪种，必有一个四角为黑色小方格的长方形。如果4没有出现，则在这四行中只能出现1，2，3这三种情况。由抽屉原理，必有两行染色方式相同，显然这两行中的4个黑色的小方格可以构成四角同黑的长方形。

10、用1987去除任意自然数，其余数只有0-1986共1987个数，这就意味着：任意取1988个不相同的数，必存在2个数除1987同余。

抽屉原理 篇6

1、求抽屉中物品至多数

例：17 名同学参加一次考试，考试题是三道判断题（答案只有对错之分），每名同学都在答题纸上依次写下三道题的答案。请问至少有几名同学的答案是一样的？

分析：从问题出发找抽屉，相同的是答案，这就是抽屉。求抽屉数时可用乘法原理：每一道题都有2种答案，所以三道题的答案有2×2×2=8种，即有8个抽屉。物品为17名同学。17÷8=2……1，由抽屉原理2，至少有2+1=3名同学的答案是一样的。

例：人的头发平均有12万根。假设最多不超过20万根。13亿人中至少有多少人的头发根数相同？

分析：从问题出发，抽屉就是头发根数。头发根数最多不超20万，那么抽屉数为20万。物品为13亿人。1300000000÷200000=6500，由抽屉原理2，至少有6500人的头发根数相同。

2、抽屉原理的逆应用

例：新年晚会上，老师让每个同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同。只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人？

分析：取两个球，颜色搭配有15 种可能。15个抽屉，本题中物品即为取球的人。物品数至少为15+1=16个。

拓展 有三种图书：科技书、文艺书、故事书，每位同学可任借两本，问至少多少位同学借书，才能保证其中必有4人借的书类型相同？

分析：抽屉就是借的两本书的组合，共有6种（两本书种类可相同）。为保证必有4人借的书类型相同，物品数（也就是本题中的人数）至少为3×6+1=19人。

总结：结论为“总有a 个物品在一个抽屉里”时（a 不少于2），物品数至少=（a-1）×抽屉数+1。

这是因为将m个物品放入n个抽屉中时，当总有a个物品在一个抽屉中时，最不利情形就是平均分，抽屉中的物品数最多为a，其它抽屉中均有（a-1）个物品。此时就是满足结论的物品数最少的情形：物品数=（a-1）×抽屉数+1。

例：幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎么分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？

分析：200为物品数，小朋友为抽屉。结论为“无论怎么分都有人至少分到8块饼干”。根据抽屉原理2，把小朋友的人数设为n，那么200=(8－1)×n+k，k≥1。要求n的最大值。当k最小时，n最大。取k=1，n=199÷7，整数部分为28，所以这群小朋友至多有28名。

总结：当结论为“总有a个物品在同一个抽屉中”时（a不少于2），抽屉数至多=（物品总数-1）÷（a-1）的整数部分。

四、最不利原则

例：口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：

（1）至少取多少根才能保证三种颜色都能取到？

（2）至少取多少根才能保证有2 双颜色不同的筷子？（3）至少取多少根才能保证有2 双颜色相同的筷子？

分析：（1）最糟糕的情形就是两种颜色的都取完了，还没有取到第三种颜色的。这时只要再取一根就能凑足三种颜色，所以至少取10+10+1=21根。

（2）最糟糕的情形就是其中一种颜色的筷子取出来一甩，其它两种颜色筷子各取了1根，这时只要再取一根就能凑出两双颜色不同的，所以至少取10+2+1=13根。

（3）要取出2 双颜色相同的，也就是取出4 根颜色相同的。最糟糕的情形就是三种颜色每种都取了三根，这时只要再取一根就能凑出四根颜色相同的。所以至少要取3+3+1=10根。

抽屉原理中 篇7

师:在上课之前, 老师特别想和大家做个游戏, 谁愿意参加?好!请5位同学到这来, 这里有4个凳子, 当老师说开始, 你们5位同学都要坐在凳子上, 好吗? (好)

师 (背对5位同学) :准备, 开始!

师:大家帮老师看看, 他们都坐下了吗?

生:坐下了。

师:老师不用看就知道, 一定有一个凳子上至少坐了两位同学, 是这样吗?

生:是!

师:那我们来看看 (转过身来) , 果真如此。这个凳子上坐了两位同学, 请起立。假如我们请这5位同学反复再坐, 不管怎么坐, 我肯定总有一个凳子上至少有两位同学, 你们相信吗? (相信)

师:其实, 这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理, 想不想研究? (想)

思考:“兴趣是最好的老师。”从学生熟悉的“抢凳子”游戏开始, 让学生初步体验不管怎么坐, 总有一个凳子上至少坐着两个同学, 使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象, 从而激发学生的探究兴趣, 并为后面的探究活动作了有效地铺垫。

片段二:研究小棒的数量比杯子多1的情况

师:把6根小棒放在5个杯子里, 你觉得会有什么结果?

生:把6根小棒放在5个杯子里, 不管怎么放, 总有一个杯子里至少要放2根小棒。

师:老师想的也和大家一样, 可是我们想的到底对不对?我们应该怎么办? (验证一下) 对!用实验去验证, 那我们还要像刚才那样把所有的情况都一一列举出来吗? (不用) 那怎么验证?

生 (边操作边说) :我先在每个杯子里放上一根小棒, 还剩下一根, 这根小棒可以放在任意一个杯子里。不管它放在哪一个杯子里, 总有一个杯子里至少有两根小棒。

师:刚才他是怎么分的? (平均分) 为什么只用平均分这一种方法就能证明这个结论呢?

生:我是这样想的, 要想保证这个杯子里的小棒数量最少, 就得让每个杯子里都有小棒, 如果空着, 就不能保证杯子里的小棒最少, 因此我想到了平均分。

师:说得棒极了, 能用算式表示吗?

师:利用这种方法, 把7根小棒放在6个杯子里, 会怎么样?10根小棒放在9个杯子里呢?100根小棒放在99个杯子里呢?

……

师:你发现了什么规律?

生:我发现只要小棒数量比杯子数量多1, 就能保证总有一个杯子里至少有两根小棒。

思考:从最简单的数据入手, 步步为营, 通过平均分, 把“抽屉原理”的模型用“有余数除法”形式表示出来, 进而引导学生得出一般性的结论:只要放的小棒数量比杯子多1根, 就总有一个杯子里至少放进了两根小棒。在这样的教学活动中, 学生经历了知识的探究过程, 初步建构了“抽屉原理”的模型, 并初步感受了“抽屉原理”的魅力。

片段三:研究小棒的数量比杯子的数量至少多2的情况

师:把5根小棒放进3个杯子里, 会怎么样?

生:把5根小棒放在3个杯子里, 不管怎么放, 总有一个杯子里至少放两根小棒。

师:把5根小棒放进3个杯子里, 究竟总有一个杯子里至少有几根小棒呢?我们再来摆摆看。

生 (边摆边说) :我先在每个杯子里放上一根小棒, 还剩下两根。把这两根小棒继续平均分, 把它们分别放在两个杯子里, 不管它放在哪两个杯子里, 都能保证总有一个杯子里至少有两根小棒。

师:算式怎么列?

思考:通过动手操作, 使学生理解了余数不是1的情况, 要保证至少对余数也要进行平均分, 并将这一过程用除法算式表示出来。在这样的探究活动过程中, 学生充分感受了“抽屉原理”的魅力。

片段四:研究商不是1的情况

师:那如果9根小棒放进4个杯子里, 15根小棒也放进4个杯子里, 分别又会有怎样的结果呢?想知道吗? (学生分组讨论、交流。)

师:同学们, 我们研究到这了, 看一看有什么规律。

生:总有一个杯子里至少有小棒的根数是:商+余数。

师:谁有不同的意见?

生:总有一个杯子里至少有商+1根小棒。

师:你们的发现和他们的相同吗?

生:相同。

师:同学们, 今天我们研究的这个原理就是数学中有名的抽屉原理。现在, 你能利用所学的解释课前的“抢凳子”游戏的原理吗?

生:5个同学相当于物体, 4个凳子相当于抽屉, 因为5÷4=1……1, 1+1=2, 所以五位同学中至少有两位同学要坐在同一个凳子上。

抽屉原理的简单应用 篇8

一、抽屉原理

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。

把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则至少有一类中有2个或2个以上的元素。

原理2：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。其中k＝m/n（当n能整除m时）或k＝〔m/n〕＋1（当n不能整除m时），这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。

原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

原理2也可以变为：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至多要有k个元素。其中k＝〔m/n〕，这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。

二、应用抽屉原理解题的步骤

第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

利用上述原理容易证明：

“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”

因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

三、应用抽屉原理解题例举：

1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。

2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意

再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。

3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。

证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种；

若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。

4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜试证明：一定有两个运动员积分相同。

证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定

有两名运动员得分相同。

5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

解题关键：利用抽屉原理２。

解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这９种配组方式制造９个抽屉，将这

50個同学看作苹果50÷9＝5……5

由抽屉原理２k＝［m/n］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。

6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。

解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝

46（人）抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：

“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”

这个问题可以用如下方法简单明了地证出：在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。