《循环小数》

《循环小数》（精选14篇）

《循环小数》 篇1

什么是纯循环小数_纯循环小数概念

纯循环小数解释

从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数.纯循环小数是从十分位开始循环的小数，如0.33333333...(1/3),0.1428571428571....(1/7)等。顾名思义，纯循环小数就是在纯小数的基础上变成循环小数。

纯循环小数特点

分母只含有2或5的因数的最简分数，可以化为有限小数;

分母中含有2或5以外的因数的最简分数，可以化为循环小数，但不一定是纯循环小数。

若最简分数a/b的分母b只含有2和5以外的质因数(即b的质因数不包括2和5)，则该分数能化为纯循环小数。

纯循环小数概念

整数部分是零的小数，称为纯小数.

循环小数是小数位发生循环的小数,依循环开始的数位,可以分为纯循环小数和混循环小数两种。

混循环小数是从十分位后开始循环的小数,如0.1666666666...(1/6),0.009090909....(1/110)等

知识点

两数相除，如果不能得到整数商，就会出现两种情况：一是除得尽，商的小数位数是有限的，这叫有限小数;二是除不尽，除到小数部分，余数重复出现，商中某些数字也不断重复出现，且商的小数部分是无限的，这叫无限小数。

【循环小数】

(一)循环小数的意义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 如：3.2222这个小数可以记作 23. 5.3272727这个小数可以记作725.3

(二)区分有限小数和无限小数，小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数;小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数的一种，但还有不少循环小数的无限小数。

【循环节】 (1)循环节的意义。一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 如：3.33333的循环节是“3” 5.28282828的循环节是“28” 10.051301730173017的循环节是“3017”

(2)循环小数的简写。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。

(3)纯循环小数和混循环小数的意义

①纯循环小数的意义。循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

②混循环小数的意义。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

【小数的比较】 比较两个小数的大小的时候，先比较它们的整数部分。整数部分大的那个数较大;整数部分相同时，比较它们的小数部分十分位上的数大的那个数较大;十分位上的数相同时，比较百分位 如果两个小数，所有数位上的数都相同，那么这两个小数的大小相等。

[什么是纯循环小数_纯循环小数概念]

《循环小数》 篇2

十进制的某个数, 如果从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或几个数字,就叫做循环小数。这里的“数字”指的是1,2,3,…,9.

比如 ,3.333… ,0.232323…都是循 环小数。 通常我们 把3.333…记为3.3,表示在这个小数中“3”是循环数字 ;0.232323…记为0.23,表示“23”是循环数字.

我们都知道,分数很容易化为小数(可能是有限小数,也可能是循环小数).

实数包括有理数和无理数, 如果我们将有限小数看做是无限0循环小数,比如,0.2可以看做0.20,那么有理数集就是所有循环小数构成的集合, 无理数集就是所有非循环小数构成的集合.

循环小数和分数可以互相表示,给定一个分数,我们可以很容易地得到一个循环小数;但是,给定一个循环小数,要由此得到一个分数,就不是那么简单了.

本文给出了循环小数的分数表示公式, 由此公式我们可以很方便地得到任何循环小数的分数表示.

我们的证明需要用到以下引理.

2.主要结果

3.例子

例3.1用分数形式表示下列循环小数

4.其他方法

下面以例子的形式给出一种简单的计算方法,以例3.1中的例子为例展示这种方法.

5.结语

中学数学就提及有理数是分数构成的集合, 有理数是循环小数构成的集合, 但是很少有参考书给出分数与有理数的转化公式.本文给出了一个简单的转化公式,运用这个公式,任何循环小数, 只要看一眼, 就知道它的分数形式是怎么样的.我们的结果对中学数学教师有很好的参考价值.

摘要：本文给出了循环小数的分数表示公式,由此公式我们很方便地得到任何循环小数的分数表示.

“循环小数”教学设计 篇3

苏教版义务教育六年制小学数学第九册“循环小数”。

教学目标：

1．使学生理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，掌握循环小数的两种表示方法，会判断循环小数、有限小数、无限小数。

2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高学生的观察、分析和抽象概括能力，激发学生的探究欲望。

教学设计：

一、创设情境。激趣引新

1．口算。(练习十二第5题)

请同学们在3分钟内直接写出答案，然后同桌之间交换互查。

2．先找规律，再填空。

(1)

(2)4、3、7、4、3、7、______、______、______……

①指名口答。

②说一说你是怎样想的?如果再写下去会是什么?

3．引新。

从刚才练习的题目可以看出，它们都有依次不断重复出现的图案或数字，你能给它起一个名字吗?(揭示：循环)在数学王国里也有这样的知识，你们想不想了解?

二、自主探索。实现创造

1．循环小数的意义认识。

(1)分组进行计算比赛，看谁先算出下面两题的商。

①32÷6②2．7÷11

a．学生独立完成，并指名板演。

b．当学生发现问题不再算下去时，教师及时引导学生观察这两个算式，并让学生进行小组讨论：“你们能从中发现哪些数学知识或现象吗?”

c．学生交流。

d．猜一猜：如果继续除下去，商会是什么?算一算：你的想法对吗?

e．你能说一说这是为什么吗?

(2)你认为这两题的商应该怎样写呢?(指名口答，教师板书)

(3)引导概括：你发现这样的小数有什么特点?你能为这样的小数起一个名字吗?(学生回答后，完善课题)

(4)同桌交流对循环小数的认识。

2．练一练：下面几个数中是循环小数的有()。

①4．2②3．222……③3．08787……

④5．7676⑤5．7676……⑥9．4208208……

⑦3．1415926……

(口答并说一说理由)

3．认识循环小数的简便写法。

(1)像以上这些循环小数还有一些特殊的写法，你知道吗?(学生交流并试一试)

(2)在练习中选两个你喜欢的循环小数，并用这种方法写一写。

4．理解小数的分类。

(1)小组讨论：两个数相除如果得不到整数商，会有几种情况?

(2)出示相应算式。

①0．666÷0．2=3．33

②17÷16=1．0625

③1．4÷0．3=4．66……

④15÷7=2．142857142857……

(3)指名说一说，根据商的这两种情况，小数可以分成哪两类?

(4)师生交流，整理板书。

5．独立完成书上的“练一练”。

三、运用新知。拓展提高

1．发展练习：判断下列各题中哪些是有限小数．哪些是无限小数，哪些是循环小数，思考并提出问题。

3．1415926……0．652652……4．1777……

5．333334．8686……0．00707……

(学生独立练习，然后师生讨论交流，介绍无限不循环小数)

2．思考：8．2763763……小数部分第80位上的数是几?

(学生独立分析，小组合作交流)

四、质疑问难。谈论收获

通过今天的学习，你有什么收获?

[评析]

为了体现新的课程观、教材观、教学观和学习观，本节课创设了开放的问题情境，通过计算比赛，让学生自己发现问题并提出问题，初步感知了无限小数、循环小数的数学现象，激起了学生强烈的探究欲望。教师为学生提供了一个思考与合作、交流与创新的空间，创设了一个主动探索和追求成功的意境，充分调动了学生的积极性，使他们主动参与到知识的形成过程中，自主体验探究与成功的乐趣。这样既培养了学生的创造性思维，又让不同的学生学习了不同的数学，享受到了成功的喜悦。

《循环小数》教案 篇4

《循环小数》教学设计

一、教案背景：以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数，到学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，学生认识到除了有限小数以外，还有无限小数，循环小数就是一种无限小数。

二、教学课题：人教版五年级上册第二单元中的一节：《循环小数》，在教材的第27-28页例8和例9。

三、教材简析：

循环小数是在学生学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值的基础上进行教学的。这部分内容概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。课本的例8，是教学从某一位起，一个数字重复出现的情况，为认识循环小数提供感性材料。例9通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复某个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。接着教材用想一想的方式组织学生讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得到的商会有哪些情况”。由两个数相除时商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。

1、教学目标

知识目标：初步理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，能正确地区分有限小数和无限小数，了解循环节的概念和循环小数的简便记法。

能力目标：培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高观察、分析、比较、判断、抽象概括能力。

情感目标：感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，增强学好数学的信心，初步渗透集合思想。

2、教学重点、难点及关键

教学重点难点：理解循环小数的意义。

教学关键：通过生活实例、实践、观察、分析，理解什么是“循环”，进而理解什么是循环小数。

四、教法与学法：

教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。“循环小数”正是一个能很好体现这一理念的题材。基于上述认识，在本节课的教学中，我将主要采用自主探究的方法引导学生学习，并注重师生、生生之间的互动与交流。

五、教学过程：

（一）认识循环

1、从生活现象中，感知“循环”

师：你们最喜欢星期几？为什么？

生：星期

六、星期天。

师：为什么？

生：星期

六、星期天不用上课。

师：星期

一、星期二、一直到星期日，一个挨一个按一定的顺序出现，我们把它叫做“依次”，（教师板书：依次。）一个星期之后又是星期

一、星期二至星期日，是“重复出现”，（板书：重复出现）之后又是星期

一、星期二至星期日…是“依次不断重复出现”，（完整板书：依次不断重复出现）

师：说说生活中还在哪些地方见过这种“依次不断的重复出现的”的现象。

学生举例后教师小结：生活中象这种“ 依次不断重复出现”的现象很多，我们把这种现象还可以叫做——（循环现象，板书：循环）

2、认识生活中的循环小数

（二）自主探索，学习新课

1、认识循环小数

师：请同学们看黑板，出示32÷6和2.7÷11

两个除法算式请同学们分组计算。通过计算你们有什么发现？

生：除不尽。

师：除了除不尽外你们还发现什么没有？

生：商不断的重复出现。

师：为什么商会重复不断的出现呢?

生：因为它们的余数会重复出现,所以商也会重复出现。

师：32÷6的商怎么表示？

生：商用5.333……表示。

师：5.333……会一直重复出现什么？里面会有多少个3呢？

师：“……”这个省略号表示什么意思？商是从第几位开始重复出现的？（板书：从第一位开始）请同学们用这样的方法表示出2.7÷11商。

师：0.24545……会一直重复出现什么？里面会有多少个45呢）那么这样的商怎么来表示呢？

2、小练习

能说出省略号表示的意思吗？

2÷9=0.222……

5÷12=0.4166……

9÷55=0.16363……

3、概括

师：像这些小数，就是我们今天要学习的“循环小数”，谁能说一说，循环小数都有哪些特征？（注意引导学生概括意义时候语言表达的科学性和完整性。）对照课本上的概念，你们概括的还有哪些地方不全面？概括出循环小数的意义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。

4、引导学生自学课本第28页。思考下面几个问题：

①什么是循环小数？你觉得重点词语有哪些？

②什么是循环节？

③怎样简便写出循环小数？

④怎样读循环小数？

（三）巩固练习

1、下面哪些数是循环小数？哪些不是？为什么？

8.252525

0.2020202…… 21.327327…… 1.548845458…… 12.4916916…… 9.03 3.1415926…… 0.9999……

师：说说你是如何判断的？为什么？

师：根据上面小数的特点，你能将这些小数进行分类吗？并说一说为什么这样分？

师：像3.1415926…… 1.548845458…… 小数与循环小数有什么共同的特点？尽管无限，但不满足依次不断重复出现的，我们称他是无限不循环小数。

无限小数和无限不循环小数又统称为无限小数。像9.03 8.252525 小数位数是有限的，我们称他是有限小数。

2、对于循环小数，也可以根据实际需要，取它的近似值。像2.7÷11 ＝ 0.24545……

（1）这道题的商保留两位小数，近似值（）

（2）商保留三位小数，近似值是（）。

（3）商保留四位小数，近似值是（）。

3、比一比

（1）0.37676…… 与 0.376376……哪个更大？

（2）0.37676……与 0.376376……小数位数第10位各是几？第30位呢？第100位呢？

5、动脑筋：

循环小数0.48536536……的小数部分第60位上的数是几？第100位上的数呢？

六、教学反思：

（一）关注学生已有的生活经验和知识背景——为学生架起知识迁移的桥梁。

《数学课程标准》强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”新课开始，我用两道“找规律，再填空”的练习题，以及学生身边的循环现象为导入点，让学生体验“循环”的意思，从而说说生活中的“循环现象”，将生活与数学融合在一起，使学生真正理解了“循环”含义，从而为进一步探究“循环小数”的意义及写法架起桥梁。

（二）关注学生发展——给学生提供自主合作探究的空间

《数学课程标准》指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。数学学习不应是简单个体接受知识的过程，而是一个主体对自己感兴趣的且是现实的生活性主题的探究与发展的过程。在新课中，我首先从生活中的现象入手，计算大枣和核桃的单价，从而引导学生主动探究数学中的问题，通过让学生笔算、计算器验证，不断地观察、分析、比较、讨论等学习方式充分调动学生多种感官的参与，给学生提供自主合作探究的空间，让学生全面参与新知的发生、发展和形成过程，使学生真正体验到探究的乐趣和做数学的价值。

（三）关注学生实际应用——让学生在练习中巩固、内化

从认识的过程来说，形成概念是从感性认识上升到理性认识的过程，即从个别的事例总结出一般性的规律；巩固概念则是识记概念和保持概念的过程，是加深理解和灵活运用概念的过程，即从一般到个别的过程。好的练习设计能够巩固学生的知识，进而延伸知识，培养学生的创新意识。教学完新知后，根据由浅入深的原则，力求做到人人学有必须的数学，我设计了三个不同层次的练习，使不同层面的学生都学有所获。第一题是基本题，是通过从数字乐园中，找循环小数。第二题综合题，通过根据实际情况，取循环小数的近

循环小数导入设计 篇5

师：同学们，你们喜欢听故事吗？ 生：喜欢。

师：今天老师给大家讲一个有趣的故事:从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚正在给小和尚讲故事，讲什么故事呢，从前有座山，山上有座庙······（这个故事讲不完，重复）

师：那位同学能接着往下讲，指名继续讲故事。生：接着讲故事 师:怎么不讲了

生:老师，这个故事总也讲不完 师：为什么呢？

生：因为这个故事总是不断重复这几句话，没完没了。

师：说的真好，那老师如果让你们不断地重复，一直讲下去，不停的讲，不能停止，想想要讲多少遍，要讲到何年何月？ 生：要讲无数遍

生：那要讲到猴年马月。

师：呵呵，你真有趣。像这样讲的遍数是有限的还是无限的？ 生：无限的（板书）

师：是的，我们听和讲这个故事的时候，总是有顺序依次说四句话：“从前有座山，山上有座庙，······”然后依次不断地重复出现，像这样，“依次不断地重复出现”的现象，我们可以用一个什么词来表示？ 生：重复 生：循环 生：······

师：其实在日常生活中，也有许多这样有意思的循环现象，想想你还能举出什么例子。生：一年四季春夏秋冬，一个挨一个，来年依次又是春夏秋冬 生：十字路口红灯绿灯的交替出现 生:太阳东升西落，白天黑夜交替出现 生：钟摆来回摆动

生：我们还知道一周有7天，从星期一到星期日，然后第二周又是从星期一到星期日。生：一天有24小时，1时、2时······然后第二天开始又是1时、2时，直到24时。第三天、第四天，周而复始，重复出现。

循环物流与循环经济联动发展研究 篇6

2010年10月18日, 第十七届五中全会通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十二个五年规划的建议》再一次明确提出要“大力发展循环经济”。这是加快建设资源节约型、环境友好型社会, 提高生态文明水平的一个重要举措。循环物流是贯穿包括生产、流通、消费各经济环节的一条主线, 是促进循环经济发展的一把钥匙, 对推动我国经济发展方式的转变有重要作用。

二、循环物流与循环经济的联动发展效应

1、循环物流。

社会再生产是一个循环不断的过程, 伴随此过程物的流动也是一个循环不断的过程。物流可分为正向物流和逆向物流两大部分。正向物流是指从供应链上游向下游运动所引发的物流活动, 逆向物流则与此相反。正向物流和逆向物流的有机结合就构成了循环物流。循环物流取代了传统物流的单向运行模式, 具有资源节约、循环利用、绿色低碳等特点, 代表了现代物流发展的新趋势。

2、循环经济。

循环经济也即物质闭环流动型经济, 它以资源的高效利用和循环利用为核心, 以“低开采、高利用、低排放”为特征, 以“减量化、再利用、资源化”为原则。它运用生态学规律把经济活动组织成一个“资源一产品一再生资源”的反馈式流程, 以最大限度地利用进入系统的物质和能量, 减少污染物排放, 提高资源利用率, 提升经济运行质量和效益, 并保护生态环境。循环经济是一种促进人与自然和谐发展的经济模式, 是对以“大量生产、大量消费、大量废弃”的传统经济增长模式的根本变革。

3、二者之间的联动发展效应。

循环物流与循环经济之间具有联动发展效应。循环物流以循环经济发展理念为指导, 它有利于节约资源, 提高经济效益, 改善生态环境, 是建设资源节约型、环境友好型社会的一种新型物流模式, 也是发展循环经济, 实现科学发展和可持续发展的有效途径。循环物流贯穿循环经济的全过程, 是循环经济发展的有力支撑、重要手段和根本保障。要发展循环经济, 就必须考虑物的流动过程中的循环化, 所以发展循环经济就必须发展循环物流。循环物流体系的构筑为循环经济的实施搭建了平台, 而循环经济的发展又会推动循环物流的良性发展, 进而形成相互依赖、相互促进的有机整体。

三、促进循环物流与循环经济联动发展的策略

促进循环物流与循环经济联动发展的手段就是要构筑循环物流体系。循环物流体系的构筑是一项系统工程, 它包括社会物流循环体系、产业物流循环体系、供应链物流循环体系、企业物流循环体系和生活物流循环体系五个层面, 涉及到政府、行业、企业和公众各级主体。就当前的形势而言, 要重点把握住逆向物流、第三方物流和物流平台建设等循环物流的重点发展内容。各级主体要联合行动, 形成合力, 把握重点, 为构筑我国循环物流体系, 促进循环经济发展创造条件。

1、加强政府的主导作用。

我国物流产业虽已被确立为新兴产业, 但它并不是一个独立的产业系统, 而是分散在若干个行业内, 运输、包装、储存、信息等分别由各部委进行管理。因此构筑循环物流体系, 促进循环经济发展不可避免要从政府入手。政府是构筑循环物流体系的总体规划者和监督管理者, 是促进循环经济发展的主导力量。政府要做的工作主要有:通过政府宏观政策引导, 确立循环物流发展的战略目标。以法律的形式明确各行业对环境保护和再生资源循环利用的法律责任, 规范其经营活动, 逐步将循环物流与循环经济的发展工作纳入法制化轨道。目前我国虽然已出台了《环境保护法》、《固体废物污染环境防治法》等法律, 但相关法律还不完备, 应当借鉴欧盟、美国等发达国家经验的基础上加以完善。要加强规划, 畅通循环物流资金来源渠道, 改善循环物流的投资环境, 充分调动民间投资, 形成了多元化的投资格局。此外, 政府还要积极传播循环理念, 使循环生产、循环消费的理念深入人心, 为循环物流和循环经济发展创造良好的文化氛围与社会环境。

2、彰显行业协会的自律作用。

行业协会是构筑循环物流体系, 促进循环经济发展的中坚力量。它是循环物流发展的自律者, 也是循环经济发展的引领者。这里所说的行业协会不仅指物流行业相关协会也包括其他行业的相关协会。要引导物流企业积极践行循环物流。因此, 能否形成物流企业与生产制造企业、商贸企业良性互动的行业环境, 对循环物流的发展与构筑循环物流体系至关重要。物流行业协会要积极联合其他行业协会构建行业物流循环网络, 充分发挥行业协会的物流整合功能与自律功能。

3、突出企业的核心作用。

企业是构建循环物流体系的主要实施者, 是发展循环经济的核心力量。在此方面, 生产制造企业与商贸企业责无旁贷, 专业物流企业即第三方物流更不能缺少。循环物流不但对保护环境、节约资源、实现可持续发展具有重要意义, 对企业降低物流成本和环境风险成本、提升核心竞争力和社会形象也具有积极的作用。因此, 企业应将经营战略与循环物流结合起来, 积极构建既能实现企业正常经营的正向物流, 又能实现退货、返修、缺陷产品召回、资源回收利用等功能的逆向物流所共同组成的有机体系, 即企业物流循环体系。鼓励企业注重循环物流人才的引进与培养, 并对企业流程进行循环再造和转型, 把握好发展循环物流的重点是发展逆向物流这个主要任务。专业物流企业是构筑企业物流循环体系和促进循环经济发展的中坚力量。鼓励产业内龙头企业牵头, 联合各合作企业, 积极搭建供应链层面的物流循环信息平台, 促进供应链物流循环体系的形成, 以达到推进供应链循环经济发展的目的。

4、调动公众的参与作用。

发展循环物流, 促进循环经济发展, 需要公众的参与。公众是构筑循环物流体系, 促进循环经济发展强有力的推动者与最终受益者。要积极培育公众的循环意识和循环发展理念, 使“环保、生态、绿色、低碳”的现代理念深入人心。鼓励公众支持废物回收与再利用活动, 自觉把可回收和不可回收的垃圾分类投放, 以达到简化垃圾回收处理流程和降低回收费用的目的。积极倡导循环消费、绿色消费和低碳消费, 促进消费领域的生态化和科学化。通过消费领域的革命, 可以促使企业循环生产, 可以推动政府规范循环物流与循环经济管理。

参考文献

[1]黄贤金.循环经济学[M].东南大学出版社, 2009.

[2]高凤莲.绿色物流在发展循环经济中的地位与对策[J].中国流通经济, 2008, (8) .

[3]汪波.物流及其在循环经济中的作用[J].商业研究, 2007, (3) .

[4]张东生, 方惠.绿色物流与循环经济一体化发展[J].烟台职业学院学报, 2008, (6) .

[5]陈建中.大物流与循环经济[J].中国流通经济, 2007, (11) .

创新中循环 循环中增效 篇7

确立可持续发展观。这是发展循环经济的前提。可持续发展观主张，发展经济时不仅应考虑扩大经济总量，还应考虑生态承载能力；不仅应关心经济的发展，还应关心子孙后代的生存。必须改变高消耗、高污染、高排放和“先污染、后治理”的传统发展模式，走以生态工业为主导的可持续发展道路，通过减少经济活动中的物质资源消耗和废弃物排放，保护生态环境，实现经济建设与环境保护的协调发展。钢铁企业发展循环经济，必须从实际出发，重在先进实用、经济高效。济钢在发展循环经济时，并不片面追求国际最新的技术和装备，而是要求技术和装备先进实用、经济高效。对于济钢节能降耗、发展循环经济的实践，有关专家认为，这是一种系统创新，是一种先进技术的有效集成。

树立循环使用资源的新资源观。这是发展循环经济的关键。传统工业经济的生产是通过最大限度地开发利用自然资源来获取利润。循环经济的生产观念则主张充分考虑自然生态系统的承载能力，尽可能地节约资源，循环使用资源，不断提高资源的利用率，形成对自然资源减量化利用及多次重复利用的良性循环。济钢的做法是：在资源利用上，以提高资源综合利用率为目标，由单一的资源利用机制转向综合利用机制，通过科技进步，加快资源的综合利用、重复利用、循环利用，推进废物资源化；通过调整产业结构，提高低能耗技术密集型产业的比例；通过优化能源配置，提高能源利用率。在生产过程中，尽可能地利用可循环再生的资源替代不可再生资源，使生产合理地依托在自然生态良性循环之上；尽可能地利用高科技，以知识投入替代物质投入，达到经济、社会与生态的和谐统一。

发展以清洁生产为主的生态产业。这是发展循环经济的主要途径。生态产业要求合理、充分地利用资源，尽量使产品在生产和消费过程中对生态环境和人体健康的损害达到最小，实现废弃物多层次综合再生利用。在应用科学技术时，不仅应考虑其开发利用自然的能力，而且应充分考虑其修复生态系统的能力，使之有益于改善环境；在制定企业自身发展规划时，不仅应淘汰和关闭浪费资源、污染环境的落后工艺、设备，而且应使用清洁生产技术，鼓励节能、降耗、减污。济钢以实施清洁生产为切入点，把循环经济的过程具体化，坚持“源头削减、过程控制、末端资源化治理”的思路，积极开发清洁生产工艺，大力生产清洁产品。济钢成功投产的燃气—蒸汽联合发电装置，国产化率达到95％，节省了大量的资金，效果令人满意。1995年到2004年，济钢年产钢从170万吨增加到687万吨，吨钢综合耗新水由21.4立方米下降到4.9立方米，吨钢综合耗能由1 204千克标准煤下降到698千克标准煤，取得了明显的节能效益。

建立科学完善的绿色管理技术体系。这是发展循环经济的保证。制定支持循环经济的政策法规，包括制定充分利用废物资源的经济政策、在税收和投资等方面对废物回收采取激励措施等，将会大大促进循环经济的发展。政府应加强引导，探索新的循环经济模式。应建立绿色环境保护制度和绿色激励约束制度等，制定符合国际惯例和我国国情的可持续发展认证认可体系以及产品质量标准体系，以促进经济与资源环境协调发展。

《 循环小数》课堂实录 篇8

一、讲故事引入新课，认识循环。

师：今天老师给你们讲一个故事，但这个故事讲着讲着会出现问题，请同学们认真听，看谁最先发现问题，“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，讲什么故事呢？讲从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，讲什么故事呢？讲......” 学生听到这儿笑了，纷纷举起小手。生1：这个故事永远也讲不完。

生2：这个故事不断重复出现“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，讲什么故事呢？”这几句话。

师：我们把这种依次不断重复出现的现象叫循环现象，今天我们就来学习跟这种现象有关的数学知识----循环小数，板书课题《循环小数》

（以讲故事的形式引入新课，将数学趣味化，调动起学生学习的兴趣，另外又使学生容易理解循环的含义，为后面学习新知识做好铺垫。）

一、出示学习目标

1、知道循环小数的意义。

2、会判断什么是循环小数。

3、会求循环小数的近似值。学生齐读学习目标。师：明确学习目标了吗？ 生：明确了。师：为了顺利的达到这些学习目标，请认真看老师为同学们带来的自学指导。

二、出示自学指导

（一）认真看课本69页内容，并自己动手做做这两个算式，观察计算过程和结果，你有什么发现？把你的发现在小组内交流。

（5分钟后比一比谁学得最棒）

学生根据自学指导学习，然后在小组内交流自己的发现，师巡视，了解每一组的学习情况，对自学不好的小组给予指导。5分钟后反馈

师：谁把自己的发现说一说？

生1：第一个算式余数不断重复出现1，商不断重复出现3.第二个算式不断重复出现余数6、5，商不断重复出现数字5、4.生2：第一个算式的商是从小数部分的第一位开始重复的，第二个算式的商是从小数部分的第二位开始重复的。

生3：重复出现的数字可以是一个，也可以是两个。

生4：商的位数是无限的，用“...”表示重复出现的数字。师：像24.333...、0.85454...这样的小数就是循环小数。（板书）

（这一环节，老师放手让学生自学、小组合作学习，让学生自己发现循环小数的特点，初步认识了循环小数，体现了学生的主体地位。）

三、出示试一试

（1）你能写出几个这样的循环小数吗？（至少写两个）

学生自由写，写好后交流。

生1：5.333...4.1212...3.05353...生2：0.888...0.9292...生3：12.5151...0.125125...生4：.......（2）判断下面哪些数是循环小数，在小组内说一说判断结果和理由。

1.777...3.2525

3.1415926...4.375375...学生先自己判断，然后在小组内交流判断结果和理由，最后全班展示。

生1：1.777...是循环小数，因为小数部分不断重复出现数字7.生2：3.2525是循环小数，它重复出现25两个数字。

其他生纷纷举手要求订正。

生3：3.2525不是循环小数，因为25只重复出现两次，并不是不断的重复出现，所以不是循环小数。

同学们给他热烈的掌声。

生4：3.1415926...不是循环小数，因为它没有不断重复出现的数字。生5：4.375375...是循环小数，因为它的小数部分不断重复出现375这几个数字。

（让每一个学生都在写一写中参与到学习中，并在学生做数学之后进行有效的交流，学生全面参与新知识的发生、发展和形成过程，真正体验到探究的乐趣和做数学的价值）

（五）出示自学指导

（二）认真看课本69页最下面两行内容，同桌互相交流求循环小数的近似值的方法。

（2分钟后做检测题，比谁最棒）

生自学并交流求循环小数的近似值的方法后课件出示检测题。

下面的循环小数各保留三位小数，写出近似值。

1.29090...0.183183...0.444...7.275275...让学生思考后回答。

生1：1.29090保留三位小数约等于1.291.生2：0.183183...保留三位小数约等于0.183.生3：0.444...保留三位小数约等于0.444.生4：7.275275保留三位小数约等于7.275.（六）师：通过这节课的学习，你有什么收获？你还有什么疑惑？

生1：我知道循环小数的意义。

生2：我学会判断什么是循环小数。

生3：我学会了怎样求循环小数的近似值。

｛七）布置作业

课本70页练一练第一题、第三题。

循环小数教学目标 篇9

1.使学生初步认识循环小数、知道什么是“循环”能准确找到循环节掌握循环小数的简便记法。

2.掌握循环的特点：商和余数都依次不断的重复出现。

3.认识有限小数、和无限小数，从而知道循环小数与无限小数的关系。4.让学生经历猜想、验证的探究过程，培养学生的探究精神。

《小数乘小数》微课程教学设计 篇10

本节课内容是人教版数学五年级上册第一单元《小数乘法》的第三课时（第4页）“小数乘小数”中的例3，是小数乘小数（不需添0占位）。这是学生在整数乘法的基础上对小数乘小数的计算方法进行探究。本节课设计分为三个环节：①复习旧知，铺垫新知。这部分内容主要是让学生复习整数乘整数的竖式运算。此环节的设置，主要是帮助学生在学习新知识的过程中，利用旧知识的迁移很快地掌握新知识。②探究算法，明白算理。利用竖式计算小数乘小数，使学生了解计算的算理。③总结方法，拓展思考。此部分是小数乘小数的计算方法的总结，以及由此引发的思考。这样设计的目的在于引导学生了解一节课的结束，并不是本节课知识的结束，而是新知识的开始，长期的训练能培养学生们深入思考的习惯。

学情分析

第一，小数乘小数是在学生学习了小数乘整数的基础上进行的，学生有了知识铺垫。

第二，五年级的学生具备一定的知识迁移类推理能力，他们能在做题过程中，借助小数乘整数的计算经验，自主探索，把小数乘小数转化成整数乘法进行运算。

第三，五年级的学生对新鲜事物比较好奇，会运用多种感官来接受外部世界。

教学目标

知识与技能目标：通过自主探索，能正确笔算小数乘小数（不需添0占位），提高计算的速度和正确率;理解并掌握小数乘小数的算理。

过程与方法目标：在解决问题的过程中，探究小数乘小数的算法，发现两个乘数的小数位数和积的小数位数的关系，并理解算理。

情感态度与价值观目标：进一步体会数学知识之间的内在联系，感受数学探索活动本身的乐趣，增强学好数学的信心。

教学环境与准备

在计算机上安装播放器;建立班级QQ群;在“一起作业网”上建立网上班级，每位学生拥有一个账号和对应的密码。

教学过程

1.巧妙创境，激趣引入

我们利用我国神话中的人物形象——唐僧师徒四人创设了一个情境，即在21世纪，唐僧为了使徒弟们更快地适应新生活，特意开办了“三藏课堂”。根据学生的年龄特点，用动画人物导入本课，能吸引他们的注意力，使其很快进入到对知识的学习中。

2.找准起点，复习引入

出示“43×58”，复习整数乘整数的竖式计算方法。

小数乘小数是基于整数乘整数的学习而进行的学习活动，因此，可以先让学生对这个知识点进行复习，以便其更好地利用知识的迁移进行本节课的学习。

3.探究算法，明白算理

（后续以师徒四人为主线抛出的几个学习任务，被放在一个故事情境中，这样学生学习起来自然兴趣浓厚，接受起来也更容易一些。）

①唐僧出示例题：“一斤桃子0.8元，要买2.4斤，为师要付多少钱？”

猪八戒抢答：“师父，这个简单，我会用竖式计算。2.4×0.8，列竖式时，小数点对齐。因为24×8=192，所以192的小数点与乘数的小数点对齐，结果是19.2。师父，快表扬我吧。”

（反例是纠正错误的常用方法，也是发现问题的重要途径。在数学教学特别是在新知识的传授过程中，适时选用反例，可以激发学生的求知欲，加深其对基础知识的理解，有助于数学教学质量的提高和学生数学素质的培养。在这里，借助猪八戒“粗心”的人物特点出示一个学生在此知识的学习中最容易出现的错误反例，让学生在学习新知的过程中带着审视、批判的思想，有助于学生对数学知识的运用和掌握。）

②悟空发言：“哈哈，过了这么多年，你还是不爱认真思考。不用师父教你，俺老孙来给你说说。把2.4看成24，它扩大了10倍;把0.8看成8，它也扩大了10倍，它们的积就扩大了100倍，所以应当把24×8的积缩小100倍才对。2.4×0.8的积应当是1.92。师弟们，懂了没？”

（利用“悟空”聪明的人物特点来纠正猪八戒的错误，这样既能给学生以正确方法的示范，也能让在前期发现猪八戒的错误的学生，对自己予以肯定，认为和悟空一样聪明，可谓“一举两得”。）

然后师徒四人一起来观察这个竖式，发现“2.4是一个一位小数，0.8也是一个一位小数，那么它们相乘的积是两位小数”。

③沙僧：“猴哥，俺懂了，让我来说说‘1.92×0.9’这道题吧。先把1.92扩大100倍，看作192;把0.9扩大10倍，看作9。192×9等于1728，它是1.92×0.9扩大1000倍后的结果，所以要把1728缩小1000倍，就是1.728。”

悟空：“完全正确。八戒，你懂了吗？”

（此环节中，利用沙僧“勤学、踏实”的人物性格来再次帮助学生巩固小数乘小数的计算方法，以便他们消化新知识。）

最后师徒四人再一起来观察竖式，发现“1.92是一个两位小数，0.9是一个一位小数，那么它们的积的小数位数应该是两个乘数的小数位数之和，因此，积应该为三位小数”。

（两次对竖式中小数位数的观察，是对难点的突破。）

4.总结方法，拓展思考

①猪八戒总结小数乘小数的方法：第一步，先按照整数乘法算出积，再点上小数点。第二步，点小数点时，看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。（此环节是为了让学生知道只要细心、肯学，及时纠正之前的错误，同样还能成为优秀的学生。这也是对平常爱犯些小错误的学生给予心理暗示，告诉他们不要灰心，不要放弃。）

②总结小数乘小数的儿歌：小数乘法很简单，先看整数乘整数。乘数小数共几位，积中小数与之同。（儿歌朗朗上口，便于学生对小数乘小数方法的记忆。）

③如果我们在积上点小数点时，位数不够点，该怎么办呢？（学习应该是开放互通的，所以此处设疑是为了留给学生思考的空间，激发他们更好地进行后续学习。）

5.巩固训练，提升技能

学生在完成本节课的学习之后，进入“一起作业网”完成测试题，以检测学习效果。学生不仅能及时看到自己的做题情况，而且遇到错题时还可以点击查看错题解析，以便及时纠正错误思路。同时，教师也可以根据计算机在线生成的全面分析数据对学生的完成效果和成绩进行及时的评价，以帮助学生及时地消灭知识薄弱点。

设计亮点

随着信息技术对教育的影响，我们的教学方式也在悄悄发生变化。微视频作为一种新的知识载体，它具备了时间短、问题聚焦、主题突出、易传播、可反复观看等特点。利用它，可以开放学生学习的空间，拓宽学生学习的渠道。本节课制作的微视频，基于中小学生的认知特点和学习规律，旨在帮助学生快乐自学，突破重难点，提高学习效率。

1.正误对比，凸显重点

在微视频制作中，针对2.4×0.8=，我们呈现了两种计算方式：一种是正确的计算方式，另一种是学生易犯的错误形式。受到“用竖式计算小数点加减时，要把小数点对齐”知识的负迁移的影响，在用竖式计算时，学生往往会把积的小数点与乘数的小数点对齐，这样得到的积是19.2。这一错误的计算形式与正确的计算形式形成对比，会给学生留下深刻的印象，加深其对本节课重点的了解。

2.及时总结，突破难点

当正确的竖式方法被写出来后，学生及时对算式进行观察总结：一个乘数是一位小数，另一个乘数也是一位小数，那么它们的积就是两位小数;一个乘数是两位小数，另一个乘数是一位小数，那么它们的积就是三位小数。同时，我们也对小数乘小数的方法进行了总结。这样从两方面实现了对难点的突破。

3.儿歌助力，提高效率

儿歌是学生喜闻乐见的形式。相对于枯燥的文字叙述来说，学生对儿歌更容易理解并记忆。因此，我们编写了一首儿歌：小数乘法很简单，先看整数乘整数。乘数小数共几位，积中小数与之同。朗朗上口的语言节奏，在无形中帮助学生提高了学习效率。

4.巧妙留白，引发思考

此次微视频针对的是小数乘小数（不需添0占位）制作的。如果最后的结尾只是总结新知识，长此以往会对学生的思维发展不利。所以在视频的最后，我们提出了一个问题：如果我们在积上点小数点时，位数不够点，该怎么办呢？这样让学生的思维处于时刻延伸的状态，从而促进学生的思维发展。

5.表现丰富，引人吸睛

《循环小数》 篇11

考察团首先考察了庄河市城市规划展览馆、将军湖、 庄河港等庄河市容市貌及重要基础设施, 并以大连国家生态工业示范园区 (国家城市矿产示范基地) 为重点考察了庄河市循环经济的发展。 考察团走访了园区海关、商检等公共设施以及废塑料回收利用、 废弃电器电子产品回收拆解等重点企业。最后, 考察团与庄河市政府、园区主要负责人、企业代表就中日循环经济合作诉求尤其是中日企业在循环经济领域的合作进行了深入探讨。

通过实地考察和探讨, 考察团一致认为大连循环产业经济区作为国家级沿海循环经济示范区、辽宁沿海经济带最重要的产业集聚区, 具有开展中日循环经济合作的先天条件, 在中日合作基础、地区产业基础、区位物流条件、政府支持力度、园区发展空间方面都具有显著优势。

循环小数数学反思 篇12

一.不能够冷静处理学生课堂中的生成资源，没有让学生自我去体验。

上课一开始，我先根据一个故事，让学生发现其中的规律，说出：依次不断重复等循环小数意义中的关键性词语，可是第一发言的学生就说这个故事的内容是循环的，直接说出“循环”一词，而我也给这个学生及时评价，没有让学生自己去说说循环的意思，而是按我的教学设计继续引导学生去说：依次不断重复等词语，如果当时能够让学生自己说说循环的意义的同时说出：依次不断重复。我认为能让学生自我去体验循环的意义，也许效果会更好。

二.时间安排与预设的有误，没有合理的去“增、删”练习题。

循环小数的意义在本课时中是个难点，所以在引导学生通过观察---比较---总结，循环小数意义时，为了让学生理解的透彻，耽误了一点时间，而在练习中我设计了闯五关能和循环小数做朋友的环节来激发学生的学习兴趣，致使拖堂了三四分钟，我课后想当时为什么没有说闯三关或四关，也许以后就会为针对课堂的内容进行合理的“增删”一些习题，使课堂更完美。

三.收尾草率，失去了精彩

本节课是个概念课，学习了不少的新知识，如：循环小数、循环节、有限小数、无限小数以及循环小数简写读写法等，如果时间允许的情况下学生会很有说头，但是由于时间上的关系，我只是形式上让学生说说今天都有哪些收获，就这样草草的收尾，又使本节课失去了另一个亮点，又一个遗憾。

《循环小数》教学案例 篇13

【教材分析】

循环小数是人教版《义务教育课程标准实验教科书·小学数学》五年级上册第二单元的教学内容。教材通过例8和例9，先让学生做除法，通过实际计算，发现这些除法无论除到小数点后面多少位都除不尽。接着让学生观察它们商有什么特点，根据学生列出的除法竖式，引导学生发现商和余数的关系，从而引出循环小数的概念。再通过两个数相除如果不能得到整数商，商会出现的情况来进行分类比较，认识有限小数和无限小数。【教学目标】

知识目标：初步理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，能正确地区分有限小数和无限小数，了解循环节的概念和循环小数的简便记法。能力目标：培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高观察、分析、比较、判断、抽象概括能力。

情感目标：感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，增强学好数学的信心，初步渗透集合思想。【教学重难点】

教学重点：使学生理解循环小数的意义，区别有限小数和无限小数。教学难点：使学生感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望。【教学片段】 片段一：

谈话：同学们最喜欢什么季节？

学生各自陈述了自己喜欢的季节，并说明了喜欢理由。

师：一年有四季，四季是按什么顺序出现的？ 生：是按照春季、夏季、秋季、冬季的顺序出现的。

引导：春季、夏季、秋季、冬季，一个挨一个按一定的顺序出现，我们把它叫做“依次”，（教师板书：依次。）

师：冬天过去了，接下来呢？（指名回答）

生：冬天过去了，接下来又是春季、夏季、秋季、冬季。

师：春夏秋冬之后又是春夏秋冬，这就是“重复出现”，（板书：重复出现）之后又是春夏秋冬、春夏秋冬„„这是“依次不断重复出现”。（完整板书：依次不断重复出现）

师：说说生活中还在哪些地方见过这种“依次不断的重复出现的”的现象。（学生举例）

生：日复一日，周复一周，年复一年。生：“从前有座山，山里有座庙”的故事。生：昼夜交替的现象。„„

师：生活中象这种“ 依次不断重复出现”的现象很多，我们把这种现象还可以叫做——循环现象。（板书：循环）

【以学生生活中最熟悉的一年四季,循环往复的现象入手,将数学学习与学生的生活紧密联系在一起,让学生在实际例子中逐步理解“依次不断重复出现”的具体含义。在此基础上，让学生列举生活中类似的现象，生活资源信手拈来，数学与生活间的桥梁悄然搭建，对新知的铺垫悄然无息。】 片段二：

计算73÷3之后，观察竖式：

师：（出示问题）余数不断重复出现几？商呢？

商不断重复出现的是几个数字？是从哪一位开始重复出现的？ 生：余数不断重复出现1,商不断重复出现3。生：商不断重复出现一个数字。

（板书：一个数字）

生：“3”是从小数部分的第一位开始重复出现的。

（板书：小数部分，从第一位起）师：那你知道算式后面的商应该怎样写吗？

生：可以写成24.333„„，“„„”表示没有除尽，后面有无数个3。

（板书：73÷3=24.333„„）

师：观察9.4÷11的竖式，你又有什么发现？ 生：余数依次不断重复出现6和5,商依次不断重复出现5和4。生：商依次不断重复出现两个数字。（板书：两个数字）

生：“5”和“4”是从小数部分的第二位开始依次不断重复出现的。

（板书：小数部分，从第二位起）师：商怎么写？

生：可以写成0.85454„„，表示后面有无数个“54”。

（板书：9.4÷11=0.85454„）

师：象24.333„、0.85454„这样的小数我们也给它取个名字？叫——循环小数（板书课题）

师：24.333„、0.85454„都是循环小数，那么什么是循环小数呢？

（学生讨论，然后汇报）

生：从小数部分的 “第一位起”和“第二位起”等等，有一个数字和两个数字依次不断重复出现，这样的小数就是循环小数。师：(引导)从小数部分的“第一位起”和“第二位起”就是从小数部分的某一位起；“一个数字”和“两个数字”可以说成是一个数字或几个数字；

板书：一个小数，从小数部分的某一位起一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数

【先让学生通过做题发现问题，然后教师为学生提供了一个思考与合作交流的空间，充分调动学生的学习积极性，成为学习的主人，让他们动脑、动眼、动口研究问题，获取新知。学生在亲自体验知识的形成过程重，了解了知识的来龙去脉，形成知识的经验，产生情感的体验。】

【课后反思】

一、创设有效的问题情境，激发学生的求知欲望

一节课是否能让学生有兴趣的、自觉的、有效的学习，课堂导入很重要，它直接影响着一节课的教学质量。合适的导入，能大大激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，启迪学生思维，促使学生主动参与学习。而且，合适的导入，有承上启下，降低认识坡度、分散教学难点的作用。课堂教学中，合理创设和运用情境，能激发学生的学习兴趣，帮助学生理解教学内容，提高教学效率。在这节课的教学中，我通过简单轻松的谈话引入新课，一环扣一环，使问题更加深入，将难以理解的概念的在谈话中分解成块，逐个击破，在学生头脑重形成深刻的概念。而且，在谈话的过程中，把学生的情感活动与认知活动有机结合起来，使学生在生动和谐的课堂氛围中充分锻炼、提高自己。

二、引导学生探索，让学生成为课堂学习中真正的参与者。

每一个概念的形成，学生都知道它的形成过程，而不是知道结论，教师应充分利用教科书，尝试练习，互相讨论等方法，让每一位学生都在积极的状态下参与学习。在这节课中，我采用多种多样的教学方法来吸引学生的注意。把数学知识融入生活，让学生更有兴趣，更易理解和掌握。如让学生列举生活中依次不断重复出现的现象，使学生对依次不断重复出现有更加深刻的认识，从而顺利引出循环的概念，加深了学生的印象，然后逐步过渡到计算中的循环小数。我从学生的实际出发，抓住学生学习中出现的问题，帮助他们进行分析，让学生在观察中发现共性，掌握概念。学生往往容易忽视那些显而易见的规律，对于问题往往停留在表象上，没有进行深刻思考，这个时候，教师就要引导学生仔细观察，对主要部分的关键问题一定要提醒学生，引起他们的注意力，吸引学生进行深入思考，并养成注意听课的习惯。在这样长期有效的学习中，学生对于学习的参与度才会贯穿到整节课的始终，反之，如果课堂教学的效率不高，教师的引导可有可无，抓不住应该引导的地方，则会让学生养成上课注意力不集中，参与度不高，学习效率低下的情况。

《循环小数》 篇14

在一个小学数学教师的交流群里, 有一个帖子引发了不少小学教师的讨论。这个帖子是“课本上说小数是一种特殊的分数, 既然小学已经系统地学习了分数, 那么, 将小数问题转化为分数问题来处理就行了, 为什么还要学习小数呢?”教师中主要有两种观点:一种观点是, 小数是一种特殊的分数, 在日常生活中有广泛的运用, 系统地学习一下是有必要的;另一种观点是, 小数不是特殊的分数, 它是独立于整数和分数之外的第三种数, 它的意义和运算与整数和分数都有较大差异, 因而需要专门学习。

小数是一种特殊的分数吗?笔者带着疑问查阅了一些相关书籍, 得到比较有代表性的的答案是:人们为了应用上的方便, 把十进分数改写成不带分母的形式, 并且按照十进制的进位原则把个位右边的第1位、第2位、第3位、……分别表示十分位 (计数单位是) 、百分位 (计数单位是) 、千分位 (计数单位是) 、……并在个位和十分位之间加一个标记“.”, 这样十进分数就可以写成与整数相仿的形式。比如, 。像3.24这样不带分母, 按照十进制的位制原则写出来的十进分数叫做十进小数, 简称小数。[1]

同时, 笔者还查阅了现行人教版、北师大版、苏教版和北京版的小学数学教科书。遗憾的是, 这些教科书都没有明确给出小数的定义, 而仅仅是一种描述性说明。有意思的是, 这些说明几乎相同, 其中比较有代表性的是这样的:[2]

首先给出一些具体的生活实例, 把1米平均分成10份, 一份是1分米, 也就是米, 可以表示成0.1米, 三份是3分米, 也就是米, 可以表示成0.3米, ……把1米平均分成100份, 一份是1厘米, 也就是米, 可以表示成0.01米, 三份是3厘米, 也就是米, 可以表示成0.03米, ……

然后给出小数的描述性意义:“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……相邻计数单位之间的进率是10。”

由此, 似乎可以认为:小数就是不带分母的十进分数, 小数是一种特殊的分数。现行课程标准和各版本的小学数学教科书也正基于此, 在学习小数的意义之前, 简单学习一下分数的意义。课标制定者和教科书编写者们似乎认为, 有了分数的一般意义做基础, 学生似乎更容易理解小数的意义。

然而, 情况果真如此吗?笔者听了一节四年级“小数的意义”的新授课, 发现学生学习的实际情况并非如此。教师将一张纸条平均分成10份, 取出一份用分数表示是, 写成小数是0.1;取出两份用分数表示是, 写成小数是0.2, 学生很容易就认可了这一点。可当教师给学生一张空白纸片, 让学生画出自己喜欢的小数时, 问题就出现了。一些学生将纸片平均分成6份, 选择一份涂上颜色, 用分数表示是, 用小数表示还是0.1或者不写小数。笔者问了一个不写小数的学生, 他回答道:“如果, 就会出现, 这与原来学过的矛盾。”

这个案例在一定程度上说明, 从分数入手认识小数, 教学效果并不理想。原因是多方面的, 除了教师和学生方面的人为因素外, 我们还需要思考知识本身的原因, 即像课本上这样认识小数的意义是否恰当, 是否符合数学逻辑, 是否揭示了小数的真实意义。

不难发现, 按照这种观点描述的仅仅是有限小数, 仅仅是我们观念中的小数的一部分。除了有限小数外, 还有很多无限小数 (高等数学中还可以证明, 无限小数个数远远多于有限小数的个数) , 像0.333…、圆周率π等都是无限小数。而不是由十进分数改写的, 而π是一个无理数, 更不能用分数表示。

由此可见, 小数并非一种特殊的分数。上述资料和教科书对小数的认识是存在缺陷的, 这或许是导致学生学习小数时出现上述问题的原因之一。因此, 为了让学生顺利学习和更深刻地理解小数的意义, 我们需要从数学上真正认识小数的意义, 并由此科学地设计和实施“小数意义”的教学。

二、小数的意义

回顾一下小数的历史, 将有助于我们更好地认识小数的数学本质。

(一) 小数的历史

在人类历史上, 认识和使用小数比分数晚得多, 最早认识小数的是我国魏晋时期的数学家刘徽。公元3世纪, 他在《九章算术注》的《少广章》中的“开方术”中说:“微数无名者以为分子, 其一退以十为母, 其再退以百为母, 退之弥下, 其分弥细, ……”他的意思是说, “在开平方求无理根的近似值时, 得到方根的整数值以后, 继续依法开方求出微数”, 这里的“微数”就是指小数。[3]

按照刘徽的注解, 设被开方数为n, 其平方根的整数部分为a, 剩余部分为r, 那么有。继续求微数, 以a1为第一个数字, 就把它作为分子, 以10做分母 (“一退以十为母”) , 再求一次得到数字a2, 把a2作为分子, 以100做分母 (“再退以百为母”) 。依次求下去, 比如第k次开尽, 这样得到的分数即为开得的小数部分, 进而。

由于中国古代的计算依靠算筹来进行, 所以小数只有文字表示。例如, 用寸T=1表示6.21寸。到了13世纪, 元朝数学家刘瑾把小数部分降低一格, 比如将61.62表示为┴1┴=, 这是世界上最早的小数表示法。

1585年, 比利时工程师斯蒂文 (S.Stevin) 出版了小册子《十进小数》, 比较系统地阐述了小数理论, 并创建了一种表示小数的方法。他用小圆圈把整数部分与小数部分隔开, 小数部分后面画一个小圆圈, 在小圆圈内标记小数的位数, 比如将23.86表示成23Θ8 (1) 6 (2) 或者23Θ8 (1) 6 (2) 。[4]

小数点的记号, 也经历了比较复杂的过程。1530年, 德国的数学家鲁尔多夫 (C.Rudolff) 用一根竖线将小数部分与整数部分隔开, 比如他将23.86表示为23|86。1614年, 英国数学家纳皮尔 (J.Napier) 用逗号将小数部分与整数部分分开, 比如23.86表示为23, 86。1593年, 德国数学家克拉维斯 (C.Clavius) 用“.”表示小数点, 他是最早用小圆点表示小数点的人。

到19世纪末, 小数的写法还有很多种形式, 比如, 2.5就可以写成2 5、2’|5、2·5、2’5、2Δ5、2, 5、2.5等。[1]现在, 世界各国关于小数点的使用大体分为两派:欧洲大陆派, 以德国、法国和俄罗斯等为代表, 将小数点用逗号表示, 小圆点作为乘法的符号;英美派, 用小圆点表示小数点, 逗号用作分节号。我国对小数点的记法倾向于后者, 用小圆点表示小数点。

(二) 小数的意义

从刘徽发明小数的思想来看, 是按照整数的计数原则, 将小于1的数也用类似于整数的形式表达出来。对此, 20世纪知名数学家柯朗 (P.Courant) 进行了更深刻的阐述:“把一个单位区间分成10, 然后100, 1000等等个相等的线段, 这样得到的点对应着十进位小数。……一个十进位小数f, 如果在小数点之后还有n个数码, 可以写成f=z+a1×10-1+a2×10-2+…+an×10-n, 这里z是一个整数, 而ai是表示十分之一、百分之一等等的数码——0、1、2、…、9”。[5]

由此可见, 小数的本质是整数的延续, 都是十进制数。也就是说, 以1为基本单位, 向大小两个方向延伸得到整数和小数:单位1向大的方向延伸, 10个1构成十, 10个十构成百, 10个百构成千, ……单位1向小的方向延伸, 把1平均分成10份, 一份就是0.1 (相当于十分之一) , 再把0.1平均分成10份, 一份就是0.01 (相当于百分之一) , ……所以, 一个十进制整数或者小数

其中, ni, mi (i=0, 1, 2…) 为0~9这十数字之一。

小数的这一本质意义, 体现了小数四则运算与整数四则运算的高度相似性和整数与小数表示数目的直观性。

三、小数的教学

“小数意义”的教学需要让学生明白:小数的本质是十进制数, 是整数的延伸, 而不是分数的附庸。因此, 教学的重点就是要让学生理解“小数是自然数的单位1沿着小的方向延伸产生的数, 相邻计数单位之间的进率为10”。

(一) 类比引入小数

师:目前我国使用的人民币中, 最常用的单位是……

生:元。

师 (出示一张1元的人民币) :这是1元, 如果三张这样的人民币就是……

生:3元。

师:10张这样的人民币是……

生:10元。

师 (拿出一张拾元的人民币) :一张拾元的人民币就等于10张1元的。 (拿出10张拾元的人民币) 这是……

生:100元。

师 (拿出一张百元的人民币) :一张百元的相当于10张拾元的, 相当于100张1元的。拾元、百元都是比元更大的面值, 有没有比元更小面值的人民币呢?

生:有, 角和分。

师:角是怎么得来的?角有什么用?

生:把1元平均分成10份, 每份就是1角, 也就是“1元等于10角”。角表示比元更小的单位, 就是不足1元时, 可以用角来支付。

师:一个空矿泉水瓶子的价值为1角, 一个作业本的价格为5角, 用元作单位可以怎么表示?

生:分别是0.1元和0.5元。

师:6个矿泉水瓶的价值为多少元?

生:0.6元。

师:0.5元、0.6元里面有几个0.1元?

生:5个, 6个。

师:有比角更小的货币单位吗?如果有, 它是怎么得来的?

生:有, 分。把1角平均分成10份, 1份就是1分, 也就是1角=10分。

师:一张作业本纸的价值约为1分, 一张A4打印纸的价值约为4分, 一张创可贴的价值约为25分。如果用元作单位, 它们可以表示为多少元呢?

生:分别是0.01元、0.04元和0.25元。

师:0.04元、0.25元里面有几个0.01元?

生:4个, 25个。

(评析:通过生活实例, 学生认识到, 人们在度量物体的时候, 总把容易感知的量作为单位“1”, 然后依据十进制发展出大数目的位置系统。然而社会生活中有时还需要比单位“1”更小的单位, 人们还可以按照十进制的原则产生更小的单位。)

(二) 理解小数的意义

师 (出示一把米尺, 没有刻度) :这把尺子的长度为1米, 用它来测量课本的长度, 行吗?

生:不行, 课本长度远不够一米, 看不出长度。师:怎么办呢?

生:把它平均分成10段, 每一段是0.1米, 看看能不能测量?

师: (换了一把已经平均分成10份的尺子, 并测量课本的长度为两格) 那么课本的长度是多少呢?

生:两个0.1米, 即0.2米。

师:现在用这把尺子来测量课本的宽度, 可以吗?

生 (量一量, 一格多一些) :不行。

师:那怎么办呢?

生:把每一格分成10个小格, 再来测量。

师:现在这把尺子每小格的长度是多少?课本的长度是多少?

生:0.01和0.15, 0.15里面有15个0.01。

师:测量一下课桌的长度和宽度, 看看结果是多少?并说明里面有几个0.1和0.01?

生:长0.6米, 里面有6个0.1, 60个0.01。宽0.45米, 里面有45个0.01, 它里面有4个0.1还多一些。

师:根据前面这些例子, 请你说一说, 0.1和0.01是怎么从1得到的?

生:把1平均分成10份, 每份就是0.1;把1平均分成100份, 每份就是0.01, 而且0.1等于10个0.01。

师:假如我想要表示0.001呢?

生:那就把1平均分成1000份, 一份就是0.001。

(评析:根据实际需要, 创造小数来度量物体的长度, 以解决相关问题;通过现实体验, 启发学生体味到小数是在已有数学概念不够用的基础上自然引进的, 由此产生内在的学习需求, 进而抽象概括出小数的意义。)

四、结束语:重视对数学概念的真正理解

由于种种原因, 小学数学教科书和教学参考书不可能把每个数学概念都表述得非常清楚和准确。当按照教科书上描述的概念进行教学时, 如果发现学生在一些关键内容的理解上出现偏差, 教师需要考虑一下教科书对该概念的表述是否准确。这时, 教师可以查阅一下相关的权威书籍, 或者了解一下该数学概念的发展历史, 以便准确了解所教数学概念的本质意义。如果发现教科书上对概念的表述不是十分准确, 教师需要修正教科书上的错误, 用适当的方式将准确的数学概念教授给学生。因此, 无论是教师的教, 还是学生的学, 都需要对数学概念有真正的理解。否则, 教和学的效果将会大打折扣。

参考文献

[1]顾汝佐, 叶季明, 王明欢.小学数学全书[M].上海:上海教育出版社, 1995.

[2]课程教材研究所.数学 (四年级下册) [M].北京:人民教育出版社, 2005.

[3]张奠宙.数学史选讲[M].上海:上海科学技术出版社, 1997.

[4]范立瓅, 高荆.小学数学中最容易误解的概念[M].北京:地质出版社, 2008.