线面平行习题--精选精讲

2024-08-06

线面平行习题--精选精讲（精选5篇）

线面平行习题--精选精讲篇1

线面垂直的证明中的找线技巧

 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO1如图1，在正方体ABCDA平面MBD． 1BC11D1中，1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．1

2设正方体棱长为a，则A1O2AM在Rt△AC中，M111323a，MO2a2． 2492222a．∵AO，∴AOOM． ∵MOAM111

4OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．



利用面面垂直寻求线面垂直

2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求

证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC

平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一

条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图

形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线

面垂直线线垂直．

判定

性质判定性质线面垂直面一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA平面ABCD，∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAE．∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC．

∵PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC．

∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析:

①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。

证明:

①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A

∴BC平面SAB

∵AN平面SAB

∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B

∴AN平面SBC

∵SCC平面SBC

∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A

∴SC平面ANM

［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40

（1）求证：AB⊥BC；

（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD

（1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45°

（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则

EN AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

2CD 图9—

42（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值．

（1）【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145

∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

（2）【解】过N作NH⊥EF于H，连结MH．∵MN⊥平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，2

3∴由三垂线定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中，求得MN=2a，NH=3a，MN662，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为2． ∴tan∠MHN=NH

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—4

5（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．

（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则

GF 12CD又

AE 12CD，∴

GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．

（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC

∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPFPC，设AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CD

PC=PDCD423，2

226623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=2

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径

∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．

∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝2a，EC＝a．

（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；

（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，则MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′．

设MN交AE于P，a

∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．

（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

∴S△ADE＝2×AE×PD 13622aaa24＝2×．

证明线面平行篇2

二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法(线与面相交，再推翻)

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面

线面平行判定教学设计篇3

各位老师各位同学，今天我说课的内容是《直线与平面平行的判定》

接下来我将从这几方面来完成我的说课内容：

一、前期分析

教学内容：

本节内容选自人教版A版必修2第二章第二节直线、平面平行的判定及其性质》的第一课时，是学习了点、线、面的位置关系以后，进一步研究直线与平面的位置关系。平行关系是本章的重要内容，线面平行是平行关系的初步，也是面面平行判定的基础，而且还映射着线面垂直的有关内容，具有承上启下的作用。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．

教学对象：

学生通过对点、线、面位置关系的学习，初步理解了空间中点、线、面及位置关系，但学生的空间想象能力还有待提高。

由此我确定了本节课的教学重、难点如下：

重点难点：

重点：直线和平面平行关系判定的形成过程；

（通过直观类比、探究发现来突出重点）

难点：直线与平面平行判定定理的理解和应用。

（通过分组讨论、设计练习等教学手段来突破难点）

这样确定重点，既能夯实“双基”，又凸现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运用．而公式推导用到了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点．

根据以上内容、学生的认知水平和新课程标准，我制定了以下三维目标：

二、三维目标

1、知识与技能：掌握并能较灵活运用判定定理解决有关问题。

2、过程与方法：经历线面平行探索过程，掌握线面平行的判定定理的研究方法。

3、情感、态度与价值观：在新课程理念的指导下，以探究问题为中心，感受线面平行的必要性和实际意义，形成学习数学的积极态度。

四、教学过程

（一）复习引入

直线与平面有三种位置关系：在平面内，相交、平行 m，l，问题：怎样判定直线与平面平行呢？

根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？

（二）研探新知

1、观察

①当门扇绕着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门框所在平面具有什么样的位置关系？②将课本放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

问题本质：门扇两边平行；书的封面的对边平行从情境抽象出图形语言

探究问题：

平面外的直线a平行平面内的直线b ③直线a,b共面吗？ ④直线a与平面相交吗？

课本P55探究

学生思考后，小组共同探讨，得出以下结论

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。已知：已知:m，l，m//l 求证：l∥ α

证明：假设l不平行αl，∵∴l与α相交，设l ∩α=P，则点P 于是l和m异面，这和l∥m矛盾，∴ l∥ α。



直线与平面平行判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：

aα

bβ

∥α a∥b

问题：怎么判定直线与平面平行：

1、定义法

2、判定定理

2、典例

例1 课本p55求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。分析：先把文字语言转化为图形语言、符号语言，要求已知、求证、证明三步骤，要证线面平行转化为线线平行EF//BD

已知:如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.求证:.EF//平面BCD。证明:连接BD,因为AEEB,AFFB,所以EF//BD（三角形中位线定理）

因为EF平面BCD,BD平面BCD,由直线与平面平行的判定定理得EF//平面BCD

点评：该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。变式训练：如图，在空间四面体ABCD中,E,F,M,N分别为各棱的中点，变式一(学生口头表达)

①四边形EFMN是什么四边形？（平行四边形）②若ACBD，四边形EFMN是什么四边形？（菱形）③若ACBD，四边形EFMN是什么四边形？（矩形）变式二

①直线AC与平面EFMN的位置关系是什么？为什么？（平行）②在这图中，你能找出哪些线面平行关系？点评：再次强调判定定理条件的寻求

例

2、如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD//平面MAC．

证明：连接AC ∴PD//MO．

∵PD平面．

点评：本题利用了初中几何中证明平行的常用方法中位线

C D变式训练：1．如图，长方体A BA  B  C  D  中，（1）与AB平行的平面是 ABCDCCDD；

（2）与A A 平行的平面是平面平面C CDD；（3）与AD平行的平面是BBCC

2.已知E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱BC、Ｃ1Ｄ1的中点，求证:EF ∥平面BB1DD

1【作业布置】

1、教材第62页习题2.2 A组第3题；

关于线面平行问题的探讨篇4

刘玉扬中市第二高级中学中学二级教师

摘要:本文重要通过几个例题，对高考中常见的线面平行问题做一些简单的探讨，主要讨论如何运用判定定理来证明线面平行问题。

关键词: 高考线面平行立体几何

正文

直线和平面平行是立体几何初步中的一类重要题

型，如何判断并证明线面平行，也是历年高考中的常见

题型。本文拟从几个经典的线面平行例题出发，结合往

年高考题对线面平行做进一步的探讨。

【例1】如图，E，F，G，H分别是空间四边

形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

（1）四点E,F,G,H共面；（2）BD//平面EFGH，AC//平面EFGH。

分析：（1）要证明E,F,G,H四点共面，可以根据公理3的第3个推论，证明这四点所在的两条直线EH和FG平行，或者直线EF和HG平行；

（2）易得，BD//FG，AC//EF，从而根据线面平行的判定定理证明。解：（1）E,F分别为AB，BC的中点，EF//AC

同理HG//AC，从而EF//HG

所以，直线EF和直线HG可以确定一个平面，E直线EF，直线EF，E。同理，F,G,H

故E,F,G,H四点共面。

（2）由（1）知，EF//AC，又EF面EFGH，AC面EFGH，AC//面EFGH。同理，BD

//面EFGH

点拨：本题是苏教版数学必修2第36页习题第3题，第（2）问主要考查线面平行的判定定理，比较简单。

【探究一】将上例改为：E，F，G，分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，的中点，试在边DA上找一点H，使得四点E,F,G,H共面，并讨论当BD和AC满足什么关系时，四边形EFGH为菱形、正方形？

分析：本题可以利用线面平行的性质定理，将HG看成是平面EFGH与平面ACD的交线，从而EF//HG，从而易知四边形EFGH为平行四边形，再根据边的关系进一步探讨平行四边形ABCD的形状。

解：E,F分别为边AB，BC的中点，EF//AC

又EF面ACD，AC平面ACD

EF//面ACD

E,F,G,H四点共面，即平面EFGH平面ACDHG

从而，EF//HG，故HG//AC，所以，H为边DA的中点。11AC，GH//AC，所以EFGH，故四边形EFGH为平行四2

211边形。当EFFG，即ACBD，也即ACBD时，四边形EFGH为菱形；22

当ACBD时，有EFFG，从而，当ACBD且ACBD时，四边形EFGH易得，EF//为正方形。

【探究二】如果将例1中的E,F,G,H是各边中点弱化，改为：在空间四面体ABCD

G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，中，且满足E，F，AEAHCFCG，EBHDFBGD

结论还成立吗？

分析：要证明四点共线以及线面平行，只要找到线线平行就可

以了。例1中，遇到中点经常联系到中位线得到平行，其实，得到

平行的方法还有很多，思维不能定势，在做立体几何题目的时候要

注意思维的灵活性，抓住线面平行判定的常用方法，找准线线平行

就可以了。

牛刀小试：[2011·北京卷改]如图，在四面体PABC中，PCAB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE//平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

解：(1)证明：D，E分别为AP，AC的中点，DE//PC

又DE平面BCP，PC平面BCP



DE//平面BCP

(2)点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

DE//PC//FG，DG//AB//EF

四边形DEFG为平行四边形．

又PCAB，DEDG，从而平行四边形DEFG为矩形．

点评：证明线面平行的方法一般有三种：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质。而在高考中，常见的是运用判定定理来证明，这就需要在平面内找一条直线与已知直线平行。上面这几个题目找平行线都不难，下面我们再分析一下，一般情况下如何找平行线。

【例2】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是B1C，BD的中点，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：只要在平面AA1B1B中找到一条直线与MN平行即可。一种方法，因为M，N分别是B1C，BD的中点，容易联想到中位线，连结AB1和AC，易得MN//AB1；其次，可以将点C看成投影中心，MN在平面AA1，故MN//AB1B1B的投影正好是AB1。除了用判定定理之外，本题还可以取BC的中点G，通过证明平面MNG//平面AA1B1B得到MN//平面AA1B1B。

解：连结AB1和AC，因为M，N分别是B1C，BD的中点，故MN//AB1，又MN平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

【探究一】将原题改为：正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN//平面AA1B1B。

分析：将中点弱化为线段上的点，并没有改变由线线平行得到线面平行的本质，只是在找平行线时遇到了困难。用中心投影的方法，本题非常简单，但是不用这个方法，怎么找出交线呢？显然，CN必和AB相交，设交点为E，CMA1B1B1，从而，B1E可看做是

MN//平面AA过MN的平面CMN与平面AA1B1B成立，根据线面平1B1B的交线，若结论

行的性质定理，必有MN//B1E，也就是说，只要我们能够证明MN//B1E，就可以证明最终的结论了。而要证明MN//B1E，根据已知条件，结合正方体的特点，证明并不难。

证明：如图，延长CN交直线AB于点E，连结B1E。CMDN，

而CMDN，MB1NBDNCNCMCN，从而，即有MN//B1E，又MN平面AA1B1B，NBNEMB1NE

B1E平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

点评：本题是将线面平行的问题放在正方体这个背景中，但是，实际解决问题时，我们完全可以仅仅将这个问题放在四棱锥B1ABCD中，适当改变

相应的条件。

【探究二】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

为

菱形，BAD60，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMtPC，试确定实数t的值，使得PA//平面MQB。

分析：如图，MN是过PA的平面PAC与平面MQB的交线，若PA//平面MQB，PMANANAQ1PCACANNCAQBC3。则有PA//MN，从而

解：连结AC交BQ于点N，则过PA的平面PAC与平面MQB的交线为MN，若

PMAN，PA//平面MQB，由线面平行的性质定理，知PA//MN。从而，tPCAC

ANAQ1ANAN11，所以，即又在菱形ABCD中，有NCBC2ACANNC12

31t。3t

点评：解决这类探究性的命题，其基本方法就是将结论当作已知条件。立体几何中这类题型往往不是很难，只要能够抓住条件，如本题，充分运用线面平行的判定、性质定理，化难为易。

牛刀小试：如图，平面内两个正方形ABCD与ABEF，点M,N分别在对角线AC,FB上，且AM:MCFN:NB，沿AB折成直二面角。（1）证明：折叠后MN//平面CBE；

（2）若AM:MC2:3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE？若存在，试确定点G的位置。

分析：这是一类创新的题型——折叠问题，要能够把握折叠前后的不变量，问题就可以

迎刃而解。解决第二问时，只要根据面面平行的判定定理，由第一问的结论，再在面ABCD内过M点作AB的垂线，垂足即为点G。对于第一问，既可以通过面面平行来证，也可以在平面CBE内找一条直线与MN平行即可，还是可以利用线面平行的性质定理，延长AN交BE于点H，则直线CH为过MN的平面AMN与平面CBE的交线，则只要证明MN//CH即可，与例2的“探究二”类似。

解：（1）延长AN交BE于点H，则由AF//BE知，所以ANFNFNAM，而，NHNBNBMCAMAN，从而MN//CH。又因为MN平面CBE，CN平面CBE，所以，MCNH

MN//平面CBE；

（2）若平面MGN//平面CBE，由平面ABC平面MNGMG，AGAM2。平面ABC平面CBECB知MG//BC，从而，GBMC3

【小结】本文通过两个例题，对高考中常见的线面平行这一类重要证明题型做了简单的分析，并根据例题进一步展开，探讨一般情况下如何找线线平行，进而根据判定定理来证明线面平行，当然，线面平行大体上有三种证法，由于篇幅限制，本文主要对判定定理进行了

拓展，希望对同学们在复习这部分内容时有所帮助。

参考文献：

[1]鲍启静.线面平行之常见题型[N].中学生数理化.2008（2）

[2]崔君强.好记好用得“光照法”证明线面平行[N].中学生数学.2011-6月上（419）