数学：1.2《极坐标系》教案(新人教A版选修4-4)

数学：1.2《极坐标系》教案(新人教A版选修4-4)（精选4篇）

数学：1.2《极坐标系》教案(新人教A版选修4-4) 篇1

参数方程 目标点击：

1． 理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；

2． 熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；

3． 会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4． 灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.基础知识点击：

1、曲线的参数方程

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，(1)并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序：

(1)设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)选参：选择合适的参数；

(3)表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x，y的关系

式，并由此分别解出用参数表示的x、y的表达式.(4)结论：用参数方程的形式表示曲线的方程

3、曲线的普通方程

相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（x,y）的方程F（x,y）＝0叫做曲线C的普通方程.4、参数方程的几个基本问题

(1)消去参数，把参数方程化为普通方程.(2)由普通方程化为参数方程.(3)利用参数求点的轨迹方程.(4)常见曲线的参数方程.5、几种常见曲线的参数方程(1)直线的参数方程

(ⅰ)过点P0()，倾斜角为 的直线的参数方程是

（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段 的数量，P()为直线上任意一点.(ⅱ)过点P0()，斜率为 的直线的参数方程是

（t为参数）（2）圆的参数方程

(ⅰ)圆 的参数方程为(为参数)的几何意义为“圆心角”(ⅱ)圆 的参数方程是

（为参数）的几何意义为“圆心角”（3）椭圆的参数方程

(ⅰ)椭圆

()的参数方程为

（为参数）(ⅱ)椭圆

()的参数方程是

（为参数）的几何意义为“离心角”

(4)双曲线的参数方程(ⅰ)双曲线的参数方程为

（为参数）(ⅱ)双曲线 的参数方程是

（为参数）的几何意义为“离心角”（5）抛物线的参数方程

(p>0)的参数方程为

（t为参数）

其中t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜

率的倒数（顶点除外）.考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质.题型一般为选择题、填空题.一、参数方程的概念 一）目标点击：

1、理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；

2、熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；

3、能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；

4、能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题； 二）概念理解：

1、例题回放： 问题1：（请你翻开黄岗习题册P122,阅读例题）

已知圆C的方程为，过点P1(1,0)作圆C的任意弦，交圆C于另一点P2,求P1P2的中点M的轨迹方程.书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？

设M()，由，消去k,得，因M与

P1不重合，所以M点的轨迹方程为（）

解法六的关键是没有直接寻求中点M的轨迹方程 ,而是通过引入第三个变量k（直线的斜率），间接地求出了x与y的关系式，从而求得M点的轨迹方程.实际上方程（1）和（）（2）都表示同一个曲线，都是M点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数k是参数，方程（2）是曲线的普通方程.由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律，得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意

义是什么？参数的取值范围？

通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：

1）形如 的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置()

和时间t的对应关系.2）我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如 的方程组表示质点的运动规律.3)参数t的取值范围是由t的物理意义限制的.2、曲线的参数方程与曲线C的关系

在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程

t

（*）与曲线C满足以下条件：（1）对于集合D中的每个t0，通过方程组（*）所确定的点（）

都在曲线C上；

（2）对于曲线C上任意点（），都至少存在一个t0，满足

则

曲线C

参数方程

t

3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系

曲线的普通方程 ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量 与y之间的直接联系；而参数方程

t 是通过参数t反映坐标变量 与y之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.参数方程

普通方程

； 普通方程

参数方程 这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.问题3：方程（）；方程（）是参数方程吗？

参数方程与含参数的方程一样吗？

方程（）表示圆心在原点的圆系，方程（）表示共渐近线的双曲线系。曲线的参数方程

（t为参数，t）是表示一条确定的曲线；

含参数的方程 ＝0却表示具有某一共同属性的曲线系，两者是有原则区别的.三）基础知识点拨：

例1：已知参数方程

[0,2)判断点A(1,)和B(2,1)是否在方

程的曲线上.解：把A、B两点坐标分别代入方程得

(1)，(2)，在[0,2)内，方程组(1)的解是，而方程组(2)无解，故A点在方程的曲线上，而B点不在方程的曲线上.1、参数方程化普通方程

例2：化参数方程（t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什么图形.解:

由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得

(y≥1)即

(y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分.点拨：先由一个方程解出t，再代入另一个方程消去参数t,得到普通方程，这种方法是代入消参法.例3：当t R时，参数方程（t为参数），表示的图形是（）

A

双曲线

B 椭圆

C 抛物线

D 圆

解法1：原方程可化为(1)÷(2)得：代入(2)

得(y≠-1)

答案选B 解法2： 令tg =

Z)则

消去，得(y≠-1)点拨：解法1使用了代数消元法，解法2观察方程（1）、（2）的“外形”很像 三角函数中的万能公式，使用了三角消参法.当x和y是t的有理整函数时，多用代入或加减消元法消去参数；

当x和y是t的有理分式函数时，也可以用代入消参法，但往往需要做

些技巧性的处理.至于三角消参法，只在比较巧合的情况下使用.例4：将下列方程化为普通方程：

(1)

（为参数）

(2)

（t为参数）

解:(1)做 ＝(cos2 +sin2 +sin)－(1+sin)＝0

＝0，但由于，即0≤ ≤.∴参数方程只表示抛物线的一部分，即（0≤ ≤）

(2)解方程组得(1)

(2)

(1)×(2)得 ＝1

从

知 ≥1（提示应用均值定理）

所求的普通方程为 ＝1(≥1)点拨：(1)从方程组的结构看含绝对值，三角函数，通过平方去绝对值，利用三 角消参法化为普通方程；

(2)观察方程组的结构，先利用消元法，求出，,再消t.方法总结：将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参）

(1)代入消参法；(2)代数变换法（＋，－，×，÷，乘方）

(3)三角消参法

注意：参数取值范围对 取值范围的限制.(参数方程与普通方程的等价性）

2、普通方程化参数方程

例5：设，为参数，化方程 为参数方程。

解： 消y得

∴

由于

R，所以 和所确定的 取值范围是一致的，故主要任选其一构成参数方程即可.所求的参数方程为

R 例6：以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数，将方程4 ＝16化成参数的 方程是

.解：设M()是椭圆4 ＝16上异于A的任意一点，则，(≠0）以 代入椭圆方程，得 =0, ∴

另有点

∴所求椭圆的参数方程为

或

方法总结：将普通方程化参数方程方法：

已知

四）基础知识测试：

1、曲线（t为参数）与 轴交点的坐标是（）

A（1，4）

B（，0）

C（1，－3）

D（±，0）

2、在曲线（t为参数）上的点是（）

A（0，2）

B（－1，6）

C（1，3）

D（3，4）

3、参数方程（为参数）所表示的曲线是（）

A 直线

B 抛物线

C 椭圆

D 双曲线

4、与参数方程（t为参数, t R）表示同一曲线的方程是（）

A

（t为参数, t R）

B

（t为参数, t R）

C

（为参数，R）

D

（t为参数, t R）

5、曲线

（0< <1）的参数方程是（）

A

（为参数, ,k Z）

B

（t为参数, t≠0）

C（为参数, 为锐角）D

（为参数, , k Z）

6、根据所给条件，把下列方程化为参数方程：(1),设，是参数，为正常数；(2), ，t为参数；(3)，是参数.7、已知动圆方程（为参数）那么圆心轨迹是（）

A

椭圆

B 椭圆的一部分

C 抛物线

D 抛物线的一部分

8、（提高）已知曲线系C的方程16x2+4y2-32xcos-16ysin2-4sin22 =0（为任意值）求曲线系中各条曲线中心的轨迹.五）同步练习：

1、解析几何习题册：P46,一

参数方程

2、黄冈习题册：P156、演练平台；P157演练平台.

数学：1.2《极坐标系》教案(新人教A版选修4-4) 篇2

人教A版必修2

一、教学目标

1、知识与技能：掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体顶点的有关坐标，掌握空间两点间的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。

2、过程与方法：通过空间直角坐标系的建立，空间两点距离公式的推导，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习，培养学生类比，迁移，化归的能力。

3、情感态度与价值观：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想，进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与，大胆探索的精神。

二、教学重点、难点

重点：建立空间直角坐标系；

难点：用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。

三、教学过程

（一）创设问题情景

问题1：借助平面直角坐标系，我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置，那么空间的点如何表示呢？

（二）知识探求

1、空间直角坐标系：

问题2：如何建立空间直角坐标系？

（1）在平面直角坐标系的基础上，通过原点再增加一根竖轴，就成了空间直角坐标系。

（2）如无特别说明，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。（3）空间直角坐标系的“三要素”：原点、坐标轴方向、单位长度。（4）在平面上画空间直角坐标系O-xyz时，一般使xOyxOz135，yOz90，且使y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半，即用斜二测的方法画。

2、思考交流：

为什么空间的点M能用有序实数对(x，y，z)表示？

设点M为空间直角坐标系中的一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R点，设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就有唯一确定的有序实数组(x，y，z)；

反过来，给定有序实数组(x，y，z)，可以在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R点各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x，y，z)确定的点M。

3、例题剖析：

例

1、如图，在长方体OABC—D1A1B1C1中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD1| = 2，写出D1，C，A1，B1四点的坐标。

分析：D1（0，0，2），C（0，4，0），A1（3，0，2），B1（3，4，2）。

例

2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为

1的小正方体堆积成的正方2体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子。如图建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

分析：

11，0）； 2211111111中层钠原子的坐标：（，0，），（1，），（，1，），（0，）；

2222222211上层钠原子的坐标：（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，1）。

22下层钠原子的坐标：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0），（0，1，0）（4、反馈练习：课本P136，练习1，2，3。

（三）知识迁移：空间两点间的距离公式

1、思考：类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点间的距离公式吗？ 解决问题：

（1）设点P的坐标是(x，y，z)，求点P到坐标原点O的距离。

如图，设点P在xOy平面上的射影是B，则点B的坐标是(x，y，0)，在平面xOy上，有|OB|x2y2，|OB|2|BP|2

2222在Rt△OBP中，根据勾股定理，|OP|因为 | BP | = | z |，所以|OP|x2y2z2。

（2）探究：如果 | OP | 是定长，那么xyzr表示什么图形？

数学：1.2《极坐标系》教案(新人教A版选修4-4) 篇3

知识改变命运，学习成就未来

(2)K：静电力恒量。重要的物理常数K=9.0×10Nm/C，其大小是用实验方法确定 的。其单位是由公式中的F、Q、r的单位确定的，使用库仑定律计算时，各物理量的单位必须是：F：N、Q：C、r：m。

(3)关于点电荷之间相互作用是引力还是斥力的表示方法，使用公式计算时，点电 荷电量用绝对值代入公式进行计算，然后根据同性电荷相斥、异性电荷相吸判断方向即可。

（4）库仑力也称为静电力，它具有力的共性。它与高一时学过的重力，弹力，摩 擦力是并列的。它具有力的一切性质，它是矢量，合成分解时遵从平行四边形法则，与其它的力平衡，使物体发生形变，产生加速度。若点电荷不是静止的，而是存在相对运动，那么它们之间的作用力除了仍存在静电力之外，还存在相互作用的磁场力。

(5)FK9

22Q1Q2r2,F是Q1与Q2之间的相互作用力，F是Q1对Q2的作用力，也是Q2对Q1的作用力的大小，是一对作用力和反作用力，即大小相等方向相反。不能理解为Q1Q2，受的力也不等。

三、库仑研究定律的过程 1.提出假设 2.做出假说 3.实验探究:（1）实验构思（2）实验方案

（3）对假说进行进行修正和推广 4.思考：（1）库仑通过什么方法比较力的大小？

（2）库仑通过什么方法比较电荷量的大小？

5.研究方法：控制变量法.实验方案：

a.q1、q2一定时，探究F与r的关系

2结论：F∝1/r

b.r一定时，探究F与的q1、q2关系 结论：即 F ∝q1q2 6.思想方法:(1)小量放大思想(2)电荷均分原理

四、库仑定律的应用

完成课本例题1和例题2.五、课堂训练:

1、下列说法中正确的是：（AD）

A.点电荷是一种理想模型，真正的点电荷是

不存在的．

B.点电荷就是体积和带电量都很小的带电体

C.根据FKQ1Q2r2 可知，当r趋近于0 时,F趋近于∞

D.一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研

究的问题的影响是否可以忽略不计．

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知识改变命运，学习成就未来

2、两个半径为0.3m的金属球，球心相距1.0m放置，当他们都带1.5×10−5 C的正电时，相互作用力为F1，当它们分别带+1.5×10−5 C和−1.5×10−5 C的电量时，相互作用力为F2 , 则（）

A．F1 = F2 B．F1 ＜F2 C．F1 ＞ F2 D．无法判断

3、已知电子的质量m1=9.10×10-31kg，质子的质量m2=1.67×10-27kg，它们之间的距离为5.3×10-11m（结果保留一位有效数值）（1）它们之间的万有引力？

(2）异种电荷相互吸引质子给电子的的引力为多少？（3）电子给质子的库仑力？

（4）电子绕质子运动的向心力由谁提供？

(5）在电子、质子连线的垂直平分线上放一电子，与质子、电子构成等边三角形，求此时质子受到的合力？

答案：F引=3.6×10-47N F电=8.2×10-8N F电=8.2×10-8N F合=14.2×10-8N

六、小结：

（1）电荷间相互作用规律：同性相斥，异性相吸，大小用库仑定

数学：1.2《极坐标系》教案(新人教A版选修4-4) 篇4

四种命题间的相互关系1.3 ．1)教师用书独具(●三维目标1.知识与技能掌握四种命题的形式；逆否命题这四种命题的概念，否命题、逆命题、初步理解原命题、初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．

．过程与方法2分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象提出问题、培养学生发现问题、概括能力和思维能力．．情感、态度与价值观3 勇于探培养学生勤于思考，优化学生的思维品质，激发学生学习数学的兴趣和积极性，索的创新意识，感受探索的乐趣． ●重点、难点 重点：四种命题之间相互的关系． 难点：正确区分命题的否定形式及否命题．从而引发学生学习四种通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，让学生掌握四种并配以适量的课堂练习，然后主要通过对概念的讲解和分析，命题的兴趣，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真会写四种命题，命题的概念，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，假； 问题，从而突破重难点．)教师用书独具(1

●教学建议这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方宜采取的教学让学生充分地思考和动手演练．并在讲解过程中引导和启发学生的思维，法，启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动(1)方法：讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析(2)建构，从而发现数学规律； 问题和解决问题的能力得到进一步的提高．由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实(1)学习方法：讲练结合法：让学生知道(2)例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；

数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．利用原命题与逆否命题，了解命题的四种形式及其关系，通过本节的学习，逆命题与否

命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．

●教学流程 创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？

⇒.引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系⇒

.通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系⇒

.及其变式训练，使学生掌握四种命题的概念及相互转化1通过例⇒ 2通过例⇒.及其互动探究，使学生掌握四种命题真假的判断方法

!错误⇒!错误⇒!错误)页4对应学生用书第(了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和1.)重点(逆否命题． 课标解读)难点(认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．．2)难点，易错点(．利用命题真假的等价性解决简单问题．3 四种命题的概念 2

【问题导思】 给出以下四个命题： 对顶角相等；(1)相等的两个角是对顶角；(2)

不是对顶角的两个角不相等；(3)不相等的两个角不是对顶角；(4)

的条件与结论有什么关系吗？(2)与(1)．你能说出命题1

它们的条件和结论恰好互换了． 【提示】的条件与结论有什么关系？命题(3)与(1)．命题2 呢？(4)与(1)的(1)条件的否定和结论的否定．命题(3)的条件与结论恰好是命题(1)命题 【提示】结论的否定和条件的否定．(4)条件和结论恰好是命题 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把两个如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫做互逆命题，那么把这样的两个命题叫如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，命题叫做互否命题．

做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆 否命题．

四种命题的关系 【问题导思】pqpqp”，”和“綈的否定分别记作“綈与为了书写方便常把．1，如果原命题是“若q

”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？则pq.，则逆命题：若 【提示】qp.，则綈否命题：若綈pq.，则綈逆否命题：若綈．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命2

题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？ 互逆、互否、互为逆否． 【提示】

四种命题的相互关系

四种命题的真假关系 3

【问题导思】的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？1．知识1

真命题．(4)假命题，(3)假命题，(2)真命题，(1)【提示】2 ．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？

原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真． 【提示】 一定与原命题真假性相同的是逆否命题．逆否命题中，．在原命题的逆命题、否命题、1.．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系2 对应学生用书第()页5 四种命题的概念 qp则，把下列命题改写成“若 否命并写出它们的逆命题、”的形式，题与逆否命题． 全等三角形的对应边相等；(1)2xxx2＋3－时，2＝当(2)0.＝ 原命题的条件与结论分别是什么？(1)【思路探究】

把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？(2)

原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．(1)【自主解答】 逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．

否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等． 2xxx，0＝2＋3－，则2＝原命题：若(2)2xxx－逆命题：若，2＝，则0＝2＋32xxx3－≠2，则否命题：若 ＋2≠0，2xxx ≠2.＋2≠0，则3－逆否命题：若 4

．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结1qpqp

”的形式．，则”的形式，应改写成“若，则论，若给出的命题不是“若．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定2 结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．

分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题． 负数的平方是正数；(1)22bcacba.＞，则＞若(2)(1)【解】 原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数； 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．22babcac

；＞，则＞逆命题：若(2)22bcacba

；≤，则≤否命题：若22babcac

.≤，则≤逆否命题：若

四种命题真假的判断

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假． 菱形的对角线互相垂直；(1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)

弦的垂直平分线平分弦所对的弧．(3)判断真假→写出三种命题→确定条件与结论 【思路探究】 是假命题．则它是菱形，逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，(1)【自主解答】 否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．

逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．

逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．(2)

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．

逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．(3)否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．

是真命题．则这条直线不是弦的垂直平分线，若一条直线不平分弦所对的弧，逆否命题： 5

qp”，则可以先改写成“若为了不出错误，．本例题目中命题的条件和结论不明显，1 的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利2qpqp确定”为真；，则”，则命题“若经逻辑推理得出用相关知识进行判断推理．若由“qp ”为假时，则只需举一个反例说明．，则“若．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假3来判断．)(下列命题中正确的是22yxyx 不全为零”的否命题；，≠0，则＋①“若

②“正三角形都相似”的逆命题；2mxxm有实根”的逆否命

题

．

0

＝

－

＋，则

0

＞③“若 ．①③B ．①②③A ．①D ．②③C22yxyx，则0＝＋①原命题的否命题为“若 【解析】 全为零”．真命题．，②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．2mmxx ≤0”．无实根，则0＝－＋③原命题的逆否命题为“若2mxx 无实根，0＝－＋∵方程1mm.＜－，0＜4＋1＝Δ∴判别式 4m

≤0，为真命题．故

B.故正确的命题是①，③选 B 【答案】 等价命题的应用 222cbacba 不可能都是奇数．，，求证：＝＋若 cba

不可能都是奇数包含几种情况？，(1)【思路探究】

它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？(2)22222bacbacba 【自主解答】为偶数，而＋都是奇数，所以，都是奇数，则，若

2222222cbacbac

≠＋即为奇数，＝＋所以若故原命题为真，即原命题的逆否命题为真命题，.cba

不可能都是奇数．、、则 6

cba不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，、、．因为“1cba 都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．、、即“．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化2也就是我们讲的“正难则因为互为逆否命题的真假是等价的，为判断它的逆否命题的真假，反”的一种策略．3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与

其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．

22aaxaxxxa的解集是空集，则＋2≤0＋1)＋(2＋的不等式为实数，若关于，“已知＜2”，判断其逆否命题的真假． 22axaxxa 的解集是空集．＋2≤0＋1)＋(2＋，且R∈，∵ 【解】22aa＝Δ∴，0＜2)＋4(－1)＋(27aa

.＜，解得0＜7－4则 4a，原命题是真命题．2＜因此.又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题)页6对应学生用书第(因否定错误致误 22yxyx全为零”的逆命题、否命题，并判，则0＝＋写出命题“若 断它们的真假．22yxyx全为零，则，逆命题：若 【错解】，是真命题；0＝＋22yxyx

全不为零，是假命题．，≠0，则＋否命题：若yx全为零”，本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“ 【错因分析】yxyx的否定，应为“ 全不为零”．，不全为零”，而不是“，否定时一定又否定结论，要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，【防范措施】 7

要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．2222yxyxyx≠0，＋，是真命题；否命题：若0＝＋全为零，则，逆命题：若 【正解】yx

不全为零，是真命题．，则 ．写出四种命题的方法：1 交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(1)

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(2)

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．(3)

．四种命题的真假关系：2若原命题为真，互为逆否命它的逆否命题一定为真；它的逆命题、否命题不一定为真，我们可借助它的逆否命若一个命题的真假不易判断时，因此，题的两个命题的真假性相同．.题进行判断)页7对应学生用书第(122bababa”的否命题≥＋．(2013·福州高二检测，则1＝＋，命题“若R∈，已知1)2 8)(是122baba ≠1＋，则＜＋．若A 2122baba ＜＋，则1＝＋．若B 2122baba ＜＋≠1，则＋．若C 2122baba 1 ＝＋，则≥＋．若D 2112222babababa＋”的否定分别是“≥＋“＝1”，＋“ 【解析】故”，＜＋“≠1”，22122baba ”．＜＋≠1，则＋否命题为：“若 2 C 【答案】．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边2)(形”的．逆命题A ．否命题B ．无关命题D ．逆否命题C 从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题． 【解析】

A 【答案】2xxx

．____＝0”的逆否命题是6－＋时，2＝．命题“当3【解析】 原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可． 2xxx ≠2.时，－6≠0＋当 【答案】 ．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．42nxmxmn若(1)有实数根；0＝＋－，则方程0＜baab，则0＝若(2)0.＝或0＝2mnnxmx有实数根，则0＝＋－逆命题：若方程(1)【解】 假命题；0.＜2nxmxmn 没有实数根．假命题；0＝＋－≥0，则方程否命题：若2mnnxmx逆否命题：若方程 ≥0.真命题．没有实数根，则0＝＋－abba0＝或0＝逆命题：若(2)真命题；0.＝，则baab ≠0.真命题；且≠0≠0，则否命题：若abba且≠0逆否命题：若 ≠0.真命题．≠0，则 9

一、选择题qp)(”是真命题，则下列命题一定是真命题的是，则．命题“若綈1pqqp．若B

，则綈．若A，则綈pqpq，则綈．若綈D，则．若綈Cpqqp则，若“綈 【解析】”，又互为逆否命题真假性相则，”的逆否命题是“若綈 同．pq ”一定是真命题．，则∴“若綈 C 【答案】rqrpqp的否命题为．若命题2)(的关系是与，则的逆否命题为，命题 ．互否命题B ．互逆命题A ．互为逆否命题C ．以上都不正确DBrBAqBAp，则綈为“若綈”，则綈为“若綈”，那么，则为“若设 【解析】rqA

为互逆命题．与”，故 A 【答案】2xaxap，0＞若：已知命题)(2013·台州高二检测．3则其原命题、有解，0＝2＋则方程)(否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为 2 ．B 3 ．A0 ．D 1 ．C B.易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选 【解析】

B 【答案】)．(2013·大庆高二检测4)(下列判断中不正确的是ABABBA

”的逆否命题为真命题＝∪，则＝∩．命题“若A

．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题B22babmammba ”的逆命题是真命题＜，则<，若R∈，．“已知C2*xx．“若D ＞0”是假命题1)－(，则N∈ABAABBBA，从而有⊆，则有＝∩若 【解析】，＝∪ 正确；A∴正B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B 确．“已中的逆命题为：C

22bmambamba，知 不正确．C为假命题，故＜，则＜，若R∈，2xx时，1＝中D 正确．D显然是假命题．故0＝1)－(C 【答案】)(．下列命题中，不是真命题的为522acbxaxxacb“若．A≠0)有实根”的逆否命0(＝＋＋的一元二次方程则关于≥0，4－ 10

题 ．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题B2xx ＝3”的否命题，则9＝．“若C

．“对顶角相等”的逆命题D中命题的逆命题为“正方形B中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；A 【解析】2xxD≠3”为真命题；≠9，则中命题的否命题为“若C的四边相等”，为真命题；中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． D 【答案】

二、填空题BABBA ．________”的否命题是⊆，则＝∪．命题“若6BABBA≠∪若 【答案】.，则mxmxm的取值范围是则＜2”的逆命题为真命题，＜1则，1＋＜＜1－已知命题“若．7 ．________mxmx由已知得，若 【解析】 也成立．1＋＜＜1－成立，则2＜＜11≥

2m

－1≤1 ≤2.，∴1≤∴＋ [1,2] 【答案】 给定下列命题：)．(2013·菏泽高二检测82xaxa 有解．0＝2＋，则方程0＞①若 ②“等腰三角形都相似”的逆命题；3xx

是无理数”的逆否命题；是有理数，则－③“若 2baba

＞2”的否命题．＋，则1＞且1＞④“若

．________其中真命题的序号是3xx是无理是有理数，则－显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若 【解析】 2 数”为假命题，∴逆否命题为假命题．babababa≤2”＋则≤1，或≤1＞2”的否命题是“若＋则，1＞且1＞“若对于④中，为假命题． ① 【答案】

三、解答题bcacbac”，写出它的逆命题、否命题、逆否＞，则＞时，若0＞．设原命题是“当9

命题，并分别判断它们的真假． 原命题是真命题． 【解】 11

babcacc

”，是真命题．＞，则＞时，若0＞逆命题是“当bcacbac，则≤时，若0＞否命题是“当 ”，是真命题．≤babcacc

”，是真命题．≤，则≤时，若0＞逆否命题是“当2cbxaxacp：“若．已知命题10 没有实根”．0＝＋＋≥0，则二次方程p 的否命题；写出命题(1)p 的否命题的真假，并证明你的结论．判断命题(2)2cbxaxacp 【解】 有实根”．0＝＋＋，则二次方程0＜的否命题为：“若命题(1)acp＜的否命题是真命题，证明如下：∵命题(2)，022cbxaxacbac＋＋二次方程⇒0＞4－＝Δ⇒0＞∴－ 有实根．0＝

∴该命题是真命题．abfafbaxf(，若R∈，的增函数，R是定义域为)(．已知奇函数11)≥0，求证：(＋)b

≥0.＋baba＜－，则0＜＋假设 【证明】.xf

上是增函数．R在)(∵xfbfaf，又∵)－(＜)(∴ 为奇函数．)(bfafbfbf＜－)(，∴)(＝－)－(∴ ．)(bfaf

0.＜)(＋)(即∴为题命原故，真为题命否逆的题命原.真)教师用书独具(2mxxm 有实数根”的逆否命题的真假．0＝3－2＋，则方程0＞判断命题“若mmm 【解】0.＞4＋12，∴0＞12，∴0＞∵22mmmmxx3－2＋∴方程，∴原命题“若0＞12＋4＝)3－4×1×(－2＝Δ的判别式0＝2mxx，则方程0＞ 有实数根”为真．0＝3－2＋

又∵原命题与它的逆否命题等价，2mxxm－2＋，则方程0＞∴“若 有实数根”的逆否命题为真．0＝3 12

2222cdabdcbabcad＋＋＋＋，求证：1＝－已知 ≠1.＋＋＋＋＋＋设 【证明】＋2＋2＋2＋2则，1＝22222222adcdbcabdcbacdabdcba2－2＋2＋2adbc2＋2－，2＝2222bcaddadccbba＋)＋(＋)＋(即2－2＋)－(＋)＋(，2＝2222bcaddcbadadccbba＋)＋(＋)＋(若＝，则0＝)－(＋)＋(；1＜－，于是0＝＝＝2222dadccbba(若(＋)＋(＋)＋(＋)＋ ≠0，)－2222bcaddadccbba＋(＋)＋(则－为正数，所以必有)－(＋)＋(＋)1.＜，则1＝＋＋＋＋＋综上，命题“若≠1”成立，由原命2222bcadcdabdcba题与它的逆－