“函数的对称性与周期性的探究”课例分析

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析（共11篇）

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析 篇1

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析

教学课例课例设计说明：《函数》是高中数学的重点章节，对函数性质的考察一直是高考的热点。学生在此之前已经对函数的周期性和对称性有了基本的了解，但认识还比较肤浅，缺乏全面、深入的研究。我设计这堂课是为了适应学生的认知需求，也是培养创新意识和应用能力的需要为激发学生的兴趣，用生活实例作为本节课的导入，使学生感觉到数学就在自己身边，运用自己所学的数学知识就能够合理解释生活中的实际问题。本节课运用了“问题解决”的课堂教学模式，通过创设问题情境，让学生在教学活动中独立思考问题和解决问题，增强学生自主学习的意识，锻炼学生解决问题的能力。引导学生选择恰当的研究策略，使研究具有可操作性、合理性、可持续发展性。引导学生合作交流并及时反思，在交流和反思中学生的.思维水平不断提高、得以升华。教学反思：在教学中教师的教学观念和对数学素质直接影响到教学的效果。一堂有价值的数学课，来自教师的精心设计，来自同学们的热情参与。本节课充分调动学生学习积极性和主动性，恰当的引入激发学生研究的兴趣，引导学生提出问题，研究问题，解决问题，让学生从感性体验过渡到理性证明。本节课的设计与实施基本能实现教学目标，达到了预期的目的。学生潜能的开发不是一朝一夕可以完成的，它是一项长期而又艰苦的工程，我将在今后的教学研究和教学实践中以我的勤奋好学不断地完善自己，用我的才智和汗水培育出有创新能力的人才。教研组评价：李红老师在学生研究了函数单独性质的基础上，提出《函数的对称性与周期性的探究》，使学生原有的认知结构与新问题产生冲突，激起学生研究问题的欲望。李红老师在课堂上给予学生较大的思考空间，她先让学生自己设计的研究方案，亲自尝试从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的研究过程，再组织学生合作交流，扩大研究成果，并及时纠正学生的研究偏差，从学生的研究策略和研究成果来看，李红老师平日的教学是十分到位的。

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析 篇2

2. 若函数y=f (x) 的图像关于直线x=m对称, 则y=f (ωx+k) (ω>0%%) 的图像关于直线对称.

3. 若函数y=f (ωx+k) (ω>0) 的图像关于直线x=m对称, 函数y=f (x) 的图像关于直线x=ωm+k对称.

4. 若函数y=f (x) 定义域为R, ∀x∈R都有f (a+ωx) +f (b-ωx) =c成立, 则函数y=f (x) 的图像关于对称.特别地, 当%ω=1且c=0时, 函数%y=f (x) 的图像关于对称.

5. 若函数%y=f (x) 的图像关于点 (m, n) 对称, 则y=f (ωx+k) (ω>0) 的图像关于点对称.

6. 若函数y=f (ωx+k) (ω>0) 的图像关于点 (m, n) 对称, 则函数y=f (x) 的图像关于点 (ωm+k, n) 对称.

二、两个抽象函数图像的对称性

1.若函数y=f (x) 定义域为R, 则g (x) =f (a+ωx) 与h (x) =%f (b-ωx) (ω≠0) 的图像关于直线对称.

2.若函数y=f (x) 定义域为R, 则g (x) =f (a+ωx) 与h (x) =c-f (b-ωx) (ω≠0) 的图像关于点对称.

三、抽象函数的周期性

1.. 若函数y=f (x) 定义域为R, 且满足条件f (ωx+a) =f (ωx+b) (ω>0) , 则y=f (x) 是以T=a-b为周期的周期函数.

2. 若函数y=f (x) 定义域为R, 且满足条件f (ωx+a) =-f (ωx+b) (ω≠0) , 则y=f (x) 是以T=2 a-b为周期的周期函数.

3. 若函数y=f (x) 定义域为R, 且满足条件, 则y=f (x) 是以T=2 a为周期的周期函数.

四、抽象函数的对称性与周期性

1. 若函数y=f (x) 的图像关于直线x=a与x=b (a≠b) 对称, 则%y=f (x) 是以T=2 b-a为周期的周期函数.

2. 若函数y=f (x) 图像关于点 (a, 0) 与点 (b, 0) (a≠b) 对称, 则y=f (x) 是以T=2 b-a为周期的周期函数.

3. 若函数y=f (x) 图像关于直线x=a与点 (b, 0) (a≠b) 对称, 则y=f (x) 是以T=4 b-a为周期的周期函数.

五、高考题模拟题选

例1. (2010辽宁朝阳) 已知函数y=f (x) 定义域为R, 且满足f (3+2x) =-f (3-2x)

f (8+5x) =-f (6-5x) , %%f (1) =3, 则f (2010) =________

解:∵%f (3+2x) =-f (3-2x) ∴%y=f (x) 的一个对称中心是 (3, 0)

∵f (8+5x) =-f (6-5x) ∴y=f (x) 的一个对称中心是 (7, 0)

∴y=f (x) 的周期T=2 3-7=8

∴f (2010) =f (8×251+2) =f (2) =3

例2. (2008四川卷11) 设定义在R上的函数f (x) 满足%%f (x) ·f (x+2) =13, 若f (1) =2, 则f (99) = (%%)

解:∵%%f (x) ·f (x+2) =13∴∴周期T=4∴f (99) =f (1) =2

摘要：本文通过抽象函数图像本身的对称性、两个抽象函数图像的对称性、抽象函数的周期性等具体例子, 阐述了抽象函数的对称性与周期性.

抽象函数的对称性与周期性 篇3

关键词：函数；对称性；周期性

一、抽象函数图像本身的对称性

1.若函数y=f（x）定义域为R，?摇?摇?坌x∈R都有f（a+?棕x）=f（b-?棕x）?摇（?棕≠0）?摇?摇?摇成立，则函数y=f（x）的图像关于直线?摇x=?摇■?摇对称.特别地，当?摇?棕=1时，f（a+x）=f（b-x），?摇y=f（x）的图像关于直线x=?摇■对称.

2.若函数y=f（x）的图像关于直线x=m对称，则y=f（?棕x+k）（?棕＞0?摇?摇）的图像关于直线x=?摇■对称.

3.若函数?摇y=f（?棕x+k）（?棕＞0）的图像关于直线x=m对称，函数y=f（x）的图像关于直线x=?摇?棕m+k对称.

4.若函数y=f（x）定义域为R，?坌x∈R都有f（a+?棕x）+f（b-?棕x）＝c成立，则函数y=f（x）的图像关于（■，■）对称.特别地，当?摇?棕=1且c=0时，函数?摇y=f（x）的图像关于（■，0）对称.

5.若函数?摇y=f（x）的图像关于点（m，n）对称，则y=f（?棕x+k）（?棕＞0）的图像关于点（■，n）对称.

6.若函数y=f（?棕x+k）（?棕＞0?搖?摇）的图像关于点（m，n）对称，则函数y=f（x）的图像关于点（?棕m+k，n）对称.

二、两个抽象函数图像的对称性

1.若函数y=f（x）定义域为R，则g（x）=f（a+?棕x）与h（x）=?摇f（b-?棕x）（?棕≠0）的图像关于直线x=?摇■?摇对称.

2.若函数y=f（x）定义域为R，则?摇g（x）=f（a+?棕x）与h（x）=c-f（b-?棕x）（?棕≠0）的图像关于点（■，?摇■）对称.

三、抽象函数的周期性

1..若函数y=f（x）定义域为R，且满足条件f（?棕x+a）=f（?棕x+b）（?棕＞0），则y=f（x）是以T=a-b为周期的周期函数.

2.若函数y=f（x）定义域为R，且满足条件f（?棕x+a）=-f（?棕x+b）（?棕≠0），则y=f（x）是以T=2a-b为周期的周期函数.

3.若函数y=f（x）定义域为R，且满足条件?摇f（?棕x+a）=±■（?棕≠0，a≠0），则y=f（x）是以T=2a为周期的周期函数.

四、抽象函数的对称性与周期性

1.若函数y=f（x）的图像关于直线x=a与x=b（a≠b)对称，则?摇y=f（x）是以T=2b-a为周期的周期函数.

2.若函数y=f（x）图像关于点（a，0)与点（b，0）（a≠b)对称，则y=f（x）是以T=2b-a为周期的周期函数.

3.若函数y=f（x）图像关于直线x=a与点（b，0）（a≠b)对称，则y=f（x）是以T=4b-a为周期的周期函数.

五、高考题模拟题选

例1.（2010辽宁朝阳）已知函数y=f（x）定义域为R，且满足f（3+2x）=-f（3-2x）

f（8+5x）=-f（6-5x），?摇?摇f（1）=3，则f（2010）=

解：∵?摇f（3+2x）=-f（3-2x）∴?摇y=f（x）的一个对称中心是（3，0）

∵f（8+5x）=-f（6-5x）∴y=f（x）的一个对称中心是（7，0）

∴y=f（x）的周期T=23-7=8

∴f（2010）=f（8×251+2）=f（2）=3

例2.（2008四川卷11）设定义在R上的函数f（x）满足?摇?摇f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（?摇?摇）

（Ａ）13?摇 （Ｂ）2 （Ｃ）■ （Ｄ）■?摇

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析 篇4

教学目标：

一、知识与技能：

1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．

2．会求一些简单三角函数的周期.二、过程与方法：

从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图象的比较,概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合的方法研究正弦函数的周期性，通过类比研究余弦函数的周期性．

三、情感、态度与价值观：

让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力． 教学重点： 1.周期函数的定义。

2.正弦余弦函数的周期性。

教学难点：1.周期函数定义。

2.运用定义求函数的周期。

教学过程：

一、复习回顾，引入新知：

1.如何画出正余弦函数在[0,2]上的图象？ 2.如何画出正余弦函数在R上的图象？

3.如何画出余弦函数图象，并思考正弦、余弦函数的图象联系？(关键：形状相同，位置不同)

二、讲授新课：

1.创设问题，情景引入：（1）、观察正、余弦曲线，想一想与之前学习的函数相比最显著的特点是什么？

学生根据常识会回答：周期性（2）、生活中有哪些周而复始现象？你能说出几个？

【设计意图】：激发学习兴趣，让学生感受数学离生活很近。如：（演示动画）昼夜更替、四季轮回、日出日落、宇宙星空运行。

今天周四，14天前周几？98天后周几？

有一首古诗：离离原上草，一岁一枯荣，夜火烧不尽，春风吹又生。(勾起高一学生对小学一年级学习情景的回忆和感慨，进而陶冶学生情操，激发学习积极性）

„„

2、演示三个动画让学生从三角度观察进而归纳总结周期函数的定义。这三个动画分别是：

（1）演示[0，2π]上的图象不断重复（2）演示R上任意长度为2π的区间上的图象重复

（3）演示任意一点加减2π后的函数值重复

3、通过这三个动画使学生由直观到抽象，由感性到理性地思考： ① 正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，这一点可以从正弦线的变化规律中看出，还可以从诱导公式sin(x2k)sinx(kZ)中得到反映，即当自变量x的值增加2的整数倍时，函数值重复出现.②周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.（周期函数f(x)的周期不唯一，kT,kZ都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期）

③由刚才的讨论可知正弦函数是周期函数，它的周期性为2k(kZ且k0)，最小正周期是2。

④余弦函数也是周期函数吗，为什么？（找正余弦曲线的），它的周期2k(kZ且k0)，最小正周期是2。

4、巩周期性概念，辩论研讨： 判断下列说法是否正确：

（1）因为sin()sin，所以是ysinx的周期。（）

4242（2）周期函数的周期是唯一的。（）（3）常函数f(x)5是周期函数。（）

体会：

（1）周期的定义是对定义域中的每一个X值来说的，只有个别的X值满足f(xT)f(x)，不能说

T是函数的周期。

（2）周期函数的周期不唯一，非零整数倍也是周期。（3）常函数是周期函数，但不存在最小正周期。

5、例题：

例1：求下列函数的周期：（1）y3sinx,xR；（2）ycos2x,xR；

1（3）y2sin(x),xR.26（师生共析→教师板书→学生观察→总结规律：这些函数的周期与解析式中哪些量有关？）

方法：

① 周期函数定义 ②由函数图象观察得到周期

x),xR（或yAcos(x),xR）的函数的最小正周期④结论：形如yAsin(2.T1例

2、求满足不等式sinx的X的集合。

三、练习：

1、求下列函数的周期：

(1)ysin3x,xR 4(2)ycos4x,xR(3)y1cosx,xR 21(4)ysin(x),xR

2、求函数ysinx,xR的周期。

设计意图：知道利用函数图象也可以快速求出周期。

解：由正弦函数ysinx,xR的图象可变换出ysinx,xR的图象，即把正弦曲线X轴下方的翻折到X轴上方，此时会出现周期为。

0]上的解析式为f(x)x，3、已知偶函数f(x)在[1,且满足f(x2)f(x)，求f([设计意图]考察周期性的符号表示及周期函数的应用。也可培养学生数形结合的能力。

解：f(17)的值。21717111)f(8)f()f() 2222

2四、小结归纳：

1、复习了五点作图法及正余弦曲线的区别。

2、重点掌握周期函数的定义。

3、理解正余弦函数的周期性及会求形如：yAsin(x)（或yAcos(x)的周期。

4、掌握求周期的一般方法并会利用周期性解决问题。

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析 篇5

1． AB和平面M所成的角为，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是，设∠BAC=,则coscoscos

2． 在二面角MlN的面M内，有直角三角形ABC,斜边BC在棱上，若A在平面内N的射影为D,且∠ACD=1，∠ABD=2，二面角为，则sin2sin21sin22

x2y23． 设F1,F2为椭圆221（a>b>0）的焦点，M是椭圆上一点，若∠F1MF2=

ab则SF1MF2=b2tan2，b1e

2.ax2y24． 设F1,F2为双曲线221（a>b>0）的焦点，M是双曲线上一点，若∠F1MF2=,ab则SF1MF2=b2cot2，be21.ax2y25．已知椭圆221（a>b>0）上一点，F1,F2为左右两焦点，∠PF1F2=，ab∠P F2F1=，则ecacos2.cos2x2y2x2y26.设直线ykxb与椭圆221(双曲线221)相交于不同的两点

ababb2x0b2x0A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则k2(k2).ay0ay07.过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A,B两点，则线段AB2Psin2

函数图像的对称问题(小结)函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点成中心对称与函数自身的对称轴或对称中心是有本质区．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。

一、同一个函数图象关于直线的对称 结论1：设a,b均为常数，函数yf(x)对一切数学x都满足f(ax)f(bx)，则函数的图象关于直线xab对称。2推论1：在直角坐标系中，满足f(ax)f(ax)的函数y=f(x)关于直线x=a对称（其中a为常数）

推论2：在直角坐标系中，满足f(ax)f(xa)的函数的图象关于直线x=0对称。例1 已知函数的定义域为

R，且对于一切实数

x

满足，当x[2,7]时，f(x)(x2)2 f(x2)f(2x),f(x7)f(7x),，当x[16,20]时，求函数g(x)2xf(x)的表达式。

解：由

f(x2)f(2x),f(x7)f(7x)知，函数yf(x)的图象关于直线x=2和x=7

对

称，且

有f(x)f[(x2)2]f[2(x2)]f(4x)f[7(3x)]f[7(x3)]f(x10)f(x10)f(x)

当x[16,17]时，x10[6,7]，此时f(x)f(x10)(x102)2(x12)2； 当x(17,20]时，x20(3,0),4(x20)[4,7]，f(x)f(x20)f[4(x20)][4(x20)2]2(x22)2，22x(x12)(16x17)g(x)=

22x(x22)(17x20)

二、两个函数图象关于直线的对称

结论2：在同一直角坐标系中，函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线xba对称（其中a，b均为常数）2推论1：在直角坐标系中，函数yf(ax)与函数yf(ax)的图象关于直线x=0对称。推论2：在直角坐标系中，函数yf(ax)与函数yf(xa)的图象关于直线x=a对称（其中a为常数）。例2 设函数f(x)2x1,g(x)21x，则它们的图象（）

A．关于原点中心对称

B．关于直线x=0对称 C．关于直线x=1对称

D．既不成中心对称也不成轴对称

解析：由推论1知，这两个函数图象的对称轴方程为x=0，即y轴，故应选B。

三、同一个函数图象关于点成中心对称

结论3：设a，b均为常数，函数yf(x)对一切实数x都满足f(ax)f(ax)2b，则函数yf(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。例2 已知函数yf(x)满足f(x)f(x)2002，求f1(x)f1(2002x)的值。

解：由已知，在等式f(ax)f(ax)2b中，令a=0，2b=2002，则函数yf(x)关于点(0,1001)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数yf1(x)关于点(1001,0)对称。f1(x1001)f1(1001x)0

将上式中的x用x－1001换，得f1(x)f1(2002x)=0。

bac,)2

2四、两个函数图象关于点成中心对称

结论4：设a，b，c均为常数，则函数 yf(ax)与ycf(bx)关于点(成中心对称图形。

例4 已知函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(6x)与yf(x4)的图象（）

A．关于直线x=5对称

B．关于直线x=1对称

C．关于点(5,0)对称

D．关于点(1,0)对称

解析：由题意，已知式变形为yf(x4)，yf(6x)，则有a=4，b=6，c=0。

由结论4知，yf(6x)与yf(x4)关于点((1,0)对称，故应选择D。

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析 篇6

本文利用指数函数展开法, 研究了(2+1)-维Boussinesq方程, 在一个特定的变换下, 借助于数学软件的符号运算功能,获得了(2+1)-维Boussinesq方程的混合型指数函数解和三角函数周期解. 当参数变化时, 一些混合型指数函数解包含了奇异的和非奇异的.孤子解.

作 者：丁玉敏 DING Yu-min  作者单位：红河学院数学系,云南蒙自,661100 刊 名：西南民族大学学报（自然科学版）  ISTIC英文刊名：JOURNAL OF SOUTHWEST UNIVERSITY FOR NATIONALITIES(NATRUAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2009 35(6) 分类号：O175.2 关键词：(2+1)-维Boussinesq方程   指数函数展开法   混合型指数函数解   奇异的孤子解  

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“函数的对称性与周期性的探究”课例分析 篇7

定理1: 函数y = f( x) 的图像关于直线对称的充要条件是f( a - x) = f( b + x) 对定义域内的每一个x都成立.

证明充分性: 若f( a - x) = f( b + x) 对定义域内的每一个x都成立,设P( x0,y0) 是y = f( x) 的图像上的任一点,则,点P关于直线的对称点是

必要性: 若函数y = f( x) 的图像关于直线对称,设A( x,y) 是y = f( x) 的图像上的任一点,则y = f( x) 上点A关于直线的对称点为B( a + b - x,y) . ∵y = f( x) 的图像关于直线对称,点B在y = f( x) 的图像上,

特殊地,当a = b = 0时,定理1为: 函数y = f( x) 的图像关于y轴对称的充要条件是f( - x) = f( x) 对定义域内的每一个x都成立. 这是偶函数的一个性质.

推论1: 函数y = f( x) 的图像关于直线对称的充要条件是f( a + b - x) = f( x) 对定义域内的每一个x都成立.

推论2: 函数y = f( x) 的图像关于直线对称的充要条件是f( a + b + x) = f( - x) 对定义域内的每一个x都成立.

定理2: 函数y = f( x) 的图像关于点对称的充要条件是f( a - x) = - f( b + x) 对定义域内的每一个x都成立.

证明充分性: 若f( a - x) = - f( b + x) 对定义域内的每一个x都成立,设P( x0,y0) 是y = ( x) 的图像上的任一点,则y0= f( x0) 上点P关于点的对称点为Q( a +b - x0,- y0) .的图像上. ∴y = f( x) 的图像关于点对称.

必要性: 若y = ( x) 的图像关于点对称,点A( x,y) 是y = f( x) 的图像上的任一点,则y = f( x) 上点A关于点(的对称点为B( a + b - x,- y) . ∵y = f( x) 的图像关于点(对称,∴点B在y = f ( x) 的图像上.

特殊地,当a = b = 0时,定理2为: 函数y = f( x) 的图像关于原点对称的充要条件是f( - x) = - f( x) 对定义域内的每一个x都成立. 这是奇函数的一个性质.

推论1: 函数y = f( x) 的图像关于点(对称的充要条件是f( a + b - x) = - f( x) 对定义域内的每一个x都成立.

推论2: 函数y = f( x) 的图像关于点对称的充要条件是f( a + b + x) = - f( - x) 对定义域内的每一个x都成立.

定理3: ( 1) y = f( x) 的图像关于直线x = a对称; ( 2) y =f( x) 的图像关于直线x = b( b≠a) 对称; ( 3) y = f( x) 是周期函数,且T = 2( b - a) 为其一个周期.

以其中任两个论断为条件,另一个论断为结论,得到的三个命题均是真命题.

若以( 1) ( 2) 为条件,( 3) 为结论.

证明∵y = f( x) 的图像关于直线x = a与x = b对称,

∴ f( 2a - x) = f( x) ,f( 2b - x) = f( x) .

∴ f[x + 2( b - a) ]= f[2b - ( 2a - x) ]= f( 2a - x) = f( x) .

∴y = f ( x) 是周期函数,且T = 2 ( b - a) 是它的一个周期.

若以( 1) ( 3) 为条件,( 2) 为结论.

证明∵y = f( x) 的图像关于直线x = a对称,∴f( 2a x) = f( x) . 又∵y = f( x) 是周期函数,且2( b - a) 是它的一个周期,∴f[x + 2( b - a) ]= f( x) . ∴f( 2b - x) = f[2a - x +2( b - a) ]= f( 2a - x) = f( x) .

∴y = f( x) 的图像关于直线x = b对称.

同理可证以( 2) ( 3) 为条件,( 1) 为结论所得的命题的正确性.

推论: ( 1) y = f( x) 是偶函数; ( 2) y = f( x) 的图像关于直线x = a( a≠0) 对称; ( 3) y = f( x) 是周期函数,且T = 2a为其一个周期.

以其中任两个论断为条件,另一个论断为结论,所得的三个命题均是真命题.

定理4: ( 1) y = f( x) 的图像关于点( a,0) 对称; ( 2) y =f( x) 的图像关于点( b,0) ( b≠a) 对称; ( 3) y = f( x) 是周期函数,且T = 2( b - a) 为其一个周期.

以其中任两个论断为条件,另一个论断为结论,所得的三个命题均为真命题.

若以( 1) ( 2) 为条件,( 3) 为结论.

证明∵y = f( x) 的图像关于点( a,0) 与( b,0) 对称,

∴y = f ( x) 是周期函数,且T = 2 ( b - a) 是它的一个周期.

若以( 1) ( 3) 为条件,( 2) 为结论.

证明∵y = f( x) 的图像关于点( a,0) 对称,∴f( 2a x) = - f( x) . 又∵y = f( x) 是周期函数,且T = 2 ( b - a) 是它的一个周期,∴f[x + 2( b - a) ]= f( x) .

∴ f ( 2b - x ) = f[2a - x + 2 ( b - a) ] = f ( 2a - x ) =- f( x) .

∴y = f( x) 的图像关于点( b,0) 对称.

同理可证以( 2) ( 3) 为条件,( 1) 为结论所得的命题的正确性.

推论: ( 1) y = f( x) 是奇函数; ( 2) y = f( x) 的图像关于点( a,0) ( a≠0) 对称; ( 3) y = f( x) 是周期函数,且T = 2a为其一个周期.

以其中任两个论断为条件,另一个论断为结论,所得的三个命题均是真命题.

定理5: 若y = f( x) 的图像关于直线x = a对称,且关于点( b,0) ( b≠a) 对称,则y = f( x) 是周期函数,且T = 4( b a) 为其一个周期.

证明∵y = f( x) 的图像关于直线x = a对称,且关于点( b,0) 对称,

∴ f( 2a - x) = f( x) ,f( 2b - x) = - f( x) .

∴ f[x + 4 ( b - a) ]= f[2b - ( 4a - 2b - x) ]= - f( 4a 2b - x) = - f[2a - ( 2b - 2a + x) ] = - f ( 2b - 2a + x ) =- f[2b - ( 2a - x) ]= f( 2a - x) = f( x) .

∴y = f( x) 是周期函数,且T = 4( b - a) 为其一个周期.

推论1: 若y = f( x) 是偶函数,且其图像关于点( a,0) ( a≠0) 对称,则y = f( x) 是周期函数,且T = 4a为其一个周期.

推论2: 若y = f( x) 是奇函数,且其图像关于直线x = a( a≠0) 对称,则y = f( x) 是周期函数,且T = 4a为其一个周期.

例1已知函数f( x) 定义在实数集R上,且对一切实数x满足等式f ( 2 + x) = f( 2 - x) 和f( 7 + x) = f( 7 - x) ,设x = 0是f( x) = 0的一个根,记f( x) = 0在[- 1000,1000]中的根的个数为N,求N的最小值. ( 1984年第2届美国数学邀请赛试题)

解依题意,f( x) 的图像关于直线x = 2和x = 7对称,据定理3知f( x) 是周期函数,且T = 2( 7 - 2) = 10为其一个周期,又f( 4) = f( 2 + 2) = f( 2 - 2) = f( 0) = 0,f( 10) = f( 7 +3) = f( 7 - 3) = f( 4) = 0,∴f( x) = 0在[0,10) 上至少有两个根. ∴f( x) = 0在[- 1000,1000]上至少有200×2 + 1 = 401个根. 故N的最小值为401.

例2已知y = f( x) 是奇函数,且f( 3) = 50,g( x) = f( x+ 2) 也是奇函数,试求f( 2003) 的值.

解∵g( x) = f( x + 2) 是奇函数,∴其图像关于点( 0,0) 对称. ∴y = f( x) 的图像关于点( 2,0) 对称. 据定理4的推论知f( x) 是周期函数,且T = 4为其一个周期.

摘要：函数是中学数学的主要内容,本文将阐述函数的图像具有对称性的充要条件以及函数图像的对称性、函数的周期性、函数的奇偶性三者之间的关系.

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析 篇8

一、问题情境

我们知道二次函数y=ax2+bx+c图象关于直线x=-对称,那么一般的多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)的对称性究竟怎样呢?

二、探究准备

1. 知识准备

①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)图象关于直线x=对称;

②若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=2c,则函数f(x)图象关于点(,c)对称.

2. 实验准备

请打开几何画板,在x轴上任取一点M,同时选取点M和x轴,菜单栏“构造”—“垂线”,作出一条直线l,在直线l上任取六点A,B,C,D,E,F,并度量出它们的纵坐标,利用工具栏中的“文字工具”,将刚才A,B,C,D,E,F的纵坐标的标签分别改为a,b,c,d,e,f,这些参数将作为多项式函数的系数,如图1.

3. 探究指导

我们要探究多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)的对称性,可以从特殊到一般的方法来探究. 可以先通过探究二次函数(已知)、三次函数、四次函数、五次函数这些比较特殊的函数的对称性,然后推广到一般的多项式函数. 在探究的过程中我们借助几何画板作图的简便性和图形、数据的动态性的优点,通过观察多项式函数的系数变化与图形变化之间的联系,猜想多项式函数的对称性,通过几何画板的再实验,检验刚才的猜想是否成立,如果成立,进行推理论证;如果不成立,再进行实验,提出新的猜想,······见图2.

三、探究过程

问题1:三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称性怎样?

实验:利用菜单栏“绘图”—“新建函数图象”,作出的图象. 通过拖动点A,B,C,D来改变参数a,b,c,d的大小.

发现:在图象的不断变化中发现三次函数图象没有对称轴,有没有对称点不好判断. 为了进一步研究三次函数是否存在对称点,我们的探究可以采用从特殊推广到一般的研究思路开展.

(1) 三次函数y=ax3(a≠0)图象的对称性怎样?

操作:将参数b,c,d的值都变为0. 在几何画板中选取点B和点M,菜单栏中“编辑”,“操作类按钮”,“移动”,点击“移动”按钮,则点B移到点M位置,此时参数b的值变为0,同理操作点C,D,使得c和d的值变为0.

实验:通过移动点A的位置,观察函数y=ax3(a≠0)的图象,见图3,猜想其对称性?

猜想:函数的图象关于点(0,0)对称.

检验:在几何画板中再次通过拖动点A多次改变参数a的值,发现猜想正确.

证明:由于函数y=ax3(a≠0)是奇函数,故图象关于原点对称.

(2) 三次函数y=ax3+cx(a≠0)图象的对称性怎样?

实验:把点C从点M处移开,通过移动点A和点C的位置,观察函数y=ax3+cx(a≠0)的图象,猜想其对称性?

猜想:图象也关于点(0,0)对称.

检验:同(1)相同,略.

证明:同(1)相同,略.

(3) 三次函数y=ax3+bx2+cx+d图象的对称性怎样?

实验:再把点D从点M处移开,通过移动点A,C和D的位置,观察函数y=ax3+cx+d(a≠0)的图象,见图4,猜想其对称性?

猜想:函数y=ax3+cx+d(a≠0)的图象关于(0,d)点对称.

证明:函数y=ax3+cx+d(a≠0)的图象是y=ax3+cx(a≠0)的图象向上平移了d个单位,故图象关于(0,d)点对称.

(4) 三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称性怎样?

实验:在前面的基础上,再把点B从点M处移开,通过移动点A,B,C和D的位置,观察函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象,见图5,猜想其对称性?

猜想:图象若有对称点,则图象上任意一点的对称点仍然在原图象上,图5中的两个峰谷点G和H应该关于该对称点对称,则点G,H的中点为对称点.

检验:连接点G和H线段,选取线段GH的中点I,在三次函数上任取一点J,作点J关于点I的对称点J',拖动点J,发现点J'一直在三次函数图象上,猜想成立.

求解:假设三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点(m,n)对称,则有

f(m+x)+f(m-x)=2n恒成立.

即a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d+a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d=2n,

(3ma+b)x3+am3+bm2+cm+d=n恒成立.

?圯m=-,n=f(m)=f(-).

故三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象关于点(-,f(-))对称.

问题2:四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)图象的对称性怎样?

(1) 四次函数y=ax4+cx2+e(a≠0)图象的对称性怎样?

操作:将参数b, d的值都变为0. 选取点B和点M,菜单栏中“编辑”,“操作类按钮”,“移动”,点击“移动”按钮,则点B移到点M位置,此时参数b的值变为0,同理操作点D,使得d的值也变为0.

实验:通过移动点A,C,E的位置,观察函数y=ax4+cx2+e(a≠0)的图象,猜想其对称性?

猜想:函数图象关于y轴对称.

证明:四次函数y=ax4+cx2+e(a≠0)为偶函数.

(2) 四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)图象的对称性怎样?

实验:将点B和D从点M处移开,通过移动点A,B,C,D,E的位置,观察函数的图象变化.

发现:从实验操作可以看出,四次函数不一定有对称轴,如图6;但是也有可能有对称轴,如图7,那么在什么条件下,四次函数有对称轴呢?

求解:假设四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)的图象有对称轴x=m,则

f(x+m)=f(m-x)恒成立.

a(x+m)4+b(x+m)3+c(x+m)2+d(x+m)+e

=a(m-x)4+b(m-x)3+c(m-x)2+d(m-x)+e

(4ma+b)x3+(4m3a+3m2b+2mc+d)x=0恒成立

4ma+b=0,4m3+3m2+2mc+d=0?圯m=-,d=-(b2-4ac),

即当参数a,b,c,d,e满足d=-(b2-4ac)条件时,四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)图象有对称轴x=-.

问题3:探究五次函数y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)图象的对称性.

实验:移动点A,B,C,D,E的位置,观察五次函数的图象变化,探究其对称性.

发现:从图8和图9可以看出,五次函数图象没有对称轴,有可能有对称点,也有可能没有对称点.

求解:假设函数y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)图象的对称点为(m,n),

则f(m+x)+f(m-x)=2n.

a(m+x)5+b(m+x)4+c(m+x)3+d(m+x)2+e(m+x)+f+a(m-x)5+b(m-x)4+c(m-x)3+d(m-x)2+e(m+x)+f=2n.

(5ma+b)x4+(10m3a+6bm2+3cm+d)x2+am5+bm4+cm3+dm2+em+f=n.

?圯m=-,n=f(m)=f(-),d=-(4b2-15ac),

当d=-(4b2-15ac)时,五次函数y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)的对称点为(-,f(-)).

探究结论:二次函数图象有对称轴,三次函数图象有对称点;而四次函数、五次函数等图象不一定具有对称性,在它们的系数满足某种特定的条件下才有对称点或对称轴,且最高次数是奇数(大于1)的多项式函数图象若对称,则关于点(-,f(-))对称;最高次数是偶数的多项式函数图象若对称,则关于直线x=-对称.

四、活动体会

舞蹈学科教材与课例分析 篇9

1、什么是教学内容？

教学内容因素体现为音乐（舞蹈）教育的课程计划、课程标准、系列化教材等。教学内容是学校教学活动中实质性最强的因素，它是由一定思想、知识、能力等方面的内容所组成的体系，是教师为实现一定教学目标，在教学活动中使用的、供学生选择和处理的、负载着知识信息的一切手段和材料。它既包括以教科书为主的图书教材，又包括视听教材、电子教材以及来源于生活的现实教材；既是教师进行教学的基本材料，又是学生认识世界的媒体。教材可分为有形的（物质的）和无形的（精神的）。

2、{教学程序}

①教师的：教的程序通常包括备课、上课、作业的布置与批改、课外辅导、学生学业成绩的检查与评定、教学反思、听课、评课等。这些环节环环相扣、相互联系，组成教学基本程序。这一程序的逻辑点是备课，终点是学生成绩的评定，中心环节是上课。其中，备课和上课是教学质量的基础和关键。

学生的：通常包括预习、上课，参与课堂练习、复习、作业和系统小结等基本环节。学生的学是教学过程的出发点和归宿。

②教学程序特征：具有系统性和整体性、有序性和连贯性、开放性和多样性、宏观调控性和统一性等特征。

3、教的程序：备课

教学程序的逻辑起点是教师的备课，备好课是上好课的先决条件。课堂教学能否达到预定的目标要求，能否收到应有的教学效果，在很大程度上取决于课前准备工作是否充分、是否切合实际。备课是教师创造性的劳动，也可以说是教学艺术的案头设计。备课是教师依据《音乐课程标准》和教科书的有关内容，结合学生发展的需要选择合理的教学方法、教学媒体，设计教学过程，形成以课时或课程内容为单元而编写的、供课堂教学之用的具体方案，其中包括教案和说课方案。

备课步骤有：no.1分析音乐课程标准和研究音乐教材（音乐课程标准和音乐教科书是教师备课的主要依据，它为音乐教师备课提供基本材料和指导方向。钻研教材是为了掌握教材和正确处理教材，这是备课的核心，也是搞好音乐课堂教学的根本。钻研教材分熟悉和掌握2阶段。熟指教师要反复聆听、演唱、演奏教材中的歌曲、乐曲，熟悉教材的指导思想和内容，理解教材的审美教育要求和知识、技能的要求，对教材的思想性、艺术性和表现手段等有全面、正确的理解。）

no.2调查了解学生，进行学习者分析（在教学活动中，学生是学习的主体。只有调查了解学生，了解学生的学习准备状态及特点、学习初始能力、学习风格等，才能有针对性上好每节课。包括7方面。A学生年龄、性别、生理、心理、心理发展状况，进入变声期的状态b学生个性心理特征，业余爱好与特长、智力发展程度、思想状况及一般的学习情况c对音乐课兴趣和态度、目的和方法，对音乐审美情趣、审美爱好状况d已掌握

no.2调查了解学生，进行学习者分析（在教学活动中，学生是学习的主体。只有调查了解学生，了解学生的学习准备状态及特点、学习初始能力、学习风格等，才能有针对性上好每节课。包括7方面。A学生年龄、性别、生理、心理、心理发展状况，进入变声期的状态b学生个性心理特征，业余爱好与特长、智力发展程度、思想状况及一般的学习情况c对音乐课兴趣和态度、目的和方法，对音乐审美情趣、审美爱好状况d已掌握音乐基础知识和基本技能的情况，尤其是原知识与新知识的联系及对学习内容的认识和态度情况e对教师的态度f对参加课外音乐活动、家庭音乐活动和接触社会音乐活动的情况g班级的学习风气、组织纪律性、集体荣誉感的状况）

no.3查阅相关资料，创造性地选择与组合教学材料和汲取教学经验no.4确定教学目标及对应的课程标准（教学目标表述必须科学、规范、明确、具体，它是教师教学和学生学习的起点和归宿。教学目标应从学习者出发，根据课程标准和教材来设计的目标要求及目标水平，是可观察和可测量的教学行为的表述。）

no.5确定教学重点和难点（前者就教学内容而言，后者就学生的掌握程度而言。）no.6进行任务分析（a.分析学生的起点的能力；b.分析使能目标和其他支持性条件;c.写出结果类型和课的类型）

no.7设计教学组织形式（a.课堂桌椅空间形式b.常用的教学组织形式{全班、分组、个别}组织形式）

no.8合理安排教学方法no.9设计教具、教学媒体等

no.10设计教学过程（a.教学方案中的教学过程<导论——开场白或开场活动；主体——一系列的教学活动；结束语>b.说课方案中的教学过程<教什么——怎么教——为什么这样教的思路>及说清教学板书设计）

no.11板书设计（为了突出重点、难点，理清学生学习思路，提高教学质量；集中学生注意力，引导和发展逻辑思维和形象思维，提高学习效率。）

no.12教学反思（是对课时计划完成情况的总结，对教学效果的自我评估）

4.上课时教师展开的教学活动过程是什么？

一堂课通常由导论、主体、结束三部分组成。

A导论

（1）导论的功能：导论通常指导入环节。良好的开端是成功的先导。巧妙设计导课环节就像歌剧中的序曲，乐曲中的前奏一样重要。

（2）常用导入的种类{故事导入、问题导入、谜语导入、生活经验导入、电教手段导入、律动导入、游戏导入、情境导入、利用旧知识导入、利用生动实例导入、直观教具导入、绘画导入、动画导入}

B主体部分（它是教学的主要部分，即根据设计的程序展开一系列的教学活动。不同的教学内容，会选择不同的教学模式，即使是同一教学内容也会选择不同的教学方法和不同的教学模式，不同的教学模式采用的程序是不同的）

C结束部分（它是在完成一个教学内容或活动时，教师引导学生对知识进行归纳总结，使学生所学知识和技能形成系统，以达到转化、升华的行为方式）

a结束部分的功能①强调知识、技能技巧的重点，概念和规律的关键及概括所学知识的结构②引导学生回忆知识、技能技巧形成的过程，接受新知识技能的思维方法；对完成各种类型的练习，实验操作，回答问题等进行小结、评价；使所学内容和已有知识结构紧密联系起来，建立知识系统③重申所学知识、技能技巧的重要性和注意事项④设计悬念，促使学生思维活动延展延伸，并可以此来诱发学生继续学习的积极性及主动性、创造性⑤检查或引导学生自我检测学习效果，及时促进学生将所学知识转化为能力。

结束教学方式的分类、结束教学的效果取决于教师自身素质，而不同的教学内容、不同的教学活动、不同的教学目的、不同的教学对象也决定着不同类型的结束教学.B常用的结束类型（归纳式/比较式/练习式/活动式/系统归类式{结束}/系统归类总结——包括讲解、列表、图示{法}）

5．结合舞蹈（上课——学生音乐学习的过程包括以下几个阶段）

①感知阶段（教师通过示范，借助实践练习、生动语言，引导学生在感知阶段获得感性认识。学生通过观察、模仿，由感知开始，然后逐步形成技能技巧）

②理解阶段（学生通过理性认识、理解。教师须反复引导学生在感性认知的基础上不断向理性转化。让学生理解动作内在动律、要点及名称）

③巩固阶段（教师须通过多种形式及时引导学生变化练习，进行深刻领会，反复记忆。且在复习的同时应结合学生和实际情况，提出新要求，这样才能调动学生积极性，增强记忆，保持并深化知识与技能）

④运用阶段（在掌握好所学知识、技能后可运用到实践过程中，例如在舞蹈中的即兴创编，创新）

6.音乐教学过程性要素包括哪些因素？

教学目标（为促进学生全面和谐发展）、教学内容、教学方法手段（是教师顺利达到教学目标而采用的教学方式、方法、手段及教学技术等）、教学活动的组织形式（直接影响教师教学过程展开和实施）、教学反馈（评价）是师生双方围绕教学活动进行信息传递的交换活动。

7.教学模式的含义、特点

含义：把构成课程、选择教材、指导在教室和其他环境中进行教学活动的一种计划或范型叫做教学模式。它是建立在一定教学理论或思想基础之上，为实现特定的教学目的，将教学的诸要素以特定方式组合成具有相对稳定且简明的教学结构框架，并具有可操作性程序的一种教学范型。

特点：优效性、直观性、操作性、开放性、针对性

8.音乐教学模式

含义：在一定的音乐教学理论与实践相结合的基础上，为实现特定教学目的而构建的、具有相对稳定而简明的教学结构框架，并具有可操

8.音乐教学模式

含义：在一定的音乐教学理论与实践相结合的基础上，为实现特定教学目的而构建的、具有相对稳定而简明的教学结构框架，并具有可操作性程序的教学范型。

分类：A以教育目标分类理论为依据的音乐教学模式分类

Ⅰ.情感模式以感知美、体验美、理解美、表现美为目的的一种教学模式。eg参与——体验模式、情境——陶冶模式

①理论基础②教学目标③操作程序（为情感唤起、定向激趣阶段——情感深入、感知体验理

解阶段——情感外化、创造阶段）④实现条件⑤评价Ⅱ.行为模式（它是以动作和心智的技能为目的的一种教学模式）eg示范——模仿教学模式、辅助教学模式

①理论基础（讲授示范模式是历史上最古老的，使人类经验得以产生和传递的基本模式之一，也是创造活动的基础；是指教师有目的地把示范技能作为有效的刺激，以引起学生相应的行动，使他们通过模仿，有效地掌握技能的一种教学模式）②教学目标（学生掌握一些音乐舞蹈技能）③操作程序（定向-参与性练习-自主练习-迁移）（1）定向阶段：教师对技能示范有效的刺激学生相应的行为反应，使他们通过模仿，有成效地掌握技能的操作原理程序。

（2）

应。

（3）参与练习阶段：由教师指导，学生经过模仿，纠正，重复，改进形成正确的技能反自主练习阶段：学生基本掌握动作要领，加大学生活动量，自主练习。

（4）迁移阶段：对模仿进一步深化，学生能够举一反三，灵活运用于新的学校或进行创造性活动。Eg通过老师讲解和示范，让学生先学习傣舞的基本手位/脚位；通过老师的讲解示范后，学生在脑子建立定向练习后，同时配上肢体的参与；最后分组练习，激励学生）④实现条件⑤评价

行为-辅助教学模式（定向-辅助练习-自主性练习-迁移应用）

（一）Ⅲ.认知模式（是以发展学生智力为主要目的的一种教学模式eg传递-接受教学模式

{复习旧课，注重新旧知识的结合}、引导-发现教学模式{以问题解决为中心，注重

学生独立活动}、自学-指导教学模式、探索-创造教学模式）探索——创造教学模

式（结合实际舞蹈教学展开）

1、理论基础：以研究问题解决问题为中心，注重培养学生独立钻研能力和创造

能力。

2、教学目标：着重培养学生的学习音乐舞蹈兴趣，提高学生感受，创造美得能

力和创造性思维。

3、操作程序

（1）准备阶段：教师设问或学生自问，提出问题把握特点；

（2）分析探索：收集资料，分析问题，把握问题阶段。教师指导学生从多角度

分析问题的重点、关键、建立解决问题的框架、顺序；

（3）创造解决：学生在这一阶段充分利用创造性思维，提出独特的观点，并用

聚合性思维加以综合集中，选择解决问题的最佳方案。

9.当代教学评价改革的国际特点是什么？

1、重视发展，弱化选拔，评价功能发生转化：当代课程功能以从原来传授知识转向注重培养学生积极的学习态度，创新意识和实践能力及身心品质的综合发展；

2、关注个体差异，评价指标多元化：尊重个体差异性和独特性，必须以评价指标多元化为

前提条件；

3、注重发展过程，实现评价重心的转移：传统教学侧重关注评价结果，注重总结性评价，是面向过去的评价，而新课标教学评价是面向未来，重在发展、关注过程的形成性评价。

10.舞蹈艺术教育学：它是研究舞蹈艺术教育的实践及其理论的一门学科。舞蹈艺术教育学作为舞蹈学、艺术教育学相结合相互渗透和相互融合的结晶，乃是一门交叉的独立学科，它研究整个舞蹈艺术教育全过程中的教育特点和规律，注重实践性与理论性相结合，从而全面指导舞蹈艺术教育的实施。

11.舞蹈艺术教育的本质：普通舞蹈艺术教育是以舞蹈为审美媒介进行的一种艺术教育，它通过培养学生的身体协调能力、运动能力和感知能力，从身体官能感觉“悦目健体”到直觉体验的“悦心悦意”，再到理性解读的“悦志悦神”，进而达到提高学生的审美能力和文化素养，陶冶心灵，完善人格，培养创新意识，使教育者身心得到和谐发展，综合素质得到全面提高。

12.舞蹈艺术教育的特征：普通舞蹈艺术教育作为素质教育的主要组成部分，它存在着自身的特征，舞蹈本体特质决定了普通舞蹈艺术教育具有情感性、主体性、愉悦性、引导性。

13.舞蹈艺术教育的功能有：

㈠审美教育的功能

①舞蹈艺术教育是学校实施美育的主要内容和途径。从教育任务看，美育的任务是为了构建人的审美心理结构。舞蹈等艺术是人类“按照艺术规律，根据人们的审美理想、审美情趣对生活进行概括、提炼、加工、想象的一种创造性反映”②舞蹈艺术教育是学校实施美育的最佳方式③舞蹈艺术教育是学校实施美育的有效手段。例如课程内容不仅有舞蹈欣赏、还有舞蹈集训、民舞、芭蕾舞、现代舞和舞蹈创编等，在表演形式上有独舞、双人舞、三人舞、群舞、歌舞、组舞、歌表演等

㈡非审美功能

①育德功能（对培养青少年一代高尚的思想情操、树立正确世界观，既是潜移默化，又是旷日持久的）②益智功能（不仅可健体，也是一种增强智力手段）③健美强身功能（对人健康有益，且舞蹈艺术教育还可以按照人体自身身体发育规律和标准规范尺度，从而增进形体美得协调发展。）

14.普通舞蹈教育学与专业舞蹈教育学的区别

1、学校舞蹈教育包括：学前、小学、中学、职业学校、高校、特殊教育学校中的舞蹈教育。

2、普通舞蹈艺术教育和专业舞蹈艺术教育区别之处：

（1）两者都包括舞蹈艺术教育理论和动作技能教育实践；

（2）两者的培养目标不同

（3）两者的教育对象、教育方式、教育方法、教育内容、教育标准等方面不同。

3、普通舞蹈艺术是整个舞蹈教育的基础，在舞蹈教育体系中占有十分重要的位置。15.舞蹈课程性质

普及性舞蹈教育，指让每位学生获得舞蹈教育，并面向全体学生。

基础性的舞蹈教育可从以下几方面理解：（1）舞蹈艺术教育同姊妹艺术一样是学校基础教育

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析 篇10

与导数有关的函数题的统一解题技巧分析

与导数有关的函数题是各省市检测和高考年年必考的题目，形式层出不穷，绝大多数还是区分度颇高的压轴题。许多中上水平的考生往往处理完第一问后，对第二、三问或是匆忙求导眼到手不到形成一堆烂账，或是写了一堆解答过程发现走进死胡同再出来，这样做的结果往往是得分较低，浪费时间，长此以往对科学备考的负面影响较大。究其原因，很多考生表现为不知道自己“起步”错误，具体来说就是对哪个函数求导不明确，或为什么要构造新函数F (x)和如何构造函数F (x)不明确。本文结合近两年的高考题，就解答与导数有关的区分度颇高的函数题，如何走好“动一发而系全身”的第一步，谈如何构造函数F (x)，给出程序化的构建模式，以达到“好的开始是成功的一半”的目的。

一、与导数有关的函数题概述

与导数有关的区分度颇高的函数题主要包括：讨论含参(一元参数或二元参数)方程根的个数与范围，含参(一元参数或二元参数)不等式的证明，求含参函数的最值或单调区间，含参(一元参数或二元参数)不等式恒成立时已知含参函数的最值或单调区间求某参数的范围，已知含参(一元参数或二元参数)方程根的个数和范围求某参数的范围等。题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本质上就是一道题。本文为使问题说明得更加方便，不妨以 f(x)≥g(x)的形式来说明。

二、程序化构造函数F (x)的统一模式

1.直接法：令F (x)= f(x)-g(x)。

2.化积法：若 f(x)-g(x)=h(x)k(x)，且h(x)≥0,令F (x)= k(x)。

3.伸缩法：若 f(x)≥ f1(x)，则令F (x)= f1(x)-g(x)，其中，f1(x)通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论得出。

4.控元法：含参问题若已给出参数k的范围，由单调性控元、消元、消参，构建F (x)(F (x)不含参数)。

5.分离变量法：若能分离出变量k≥k(x)，则令F (x)=k(x)。

三、程序化构造函数F (x)的统一模式在高考题中的运用

例1 (高考新课标全国Ⅱ卷理科卷第21题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m)。

(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论 f(x)的单调性。

(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)>0.

(Ⅰ)解：m=1. f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。(解答过程省略)

(Ⅱ)证明：当m≤2,x∈(-m,+∞)时，ln(x+2)≥ln(x+m)。记F (x)=ex-ln(x+2)，则F ′(x)=ex- .

∵F ′′(x)=ex+ >0,∴F ′(x)在(-2,+∞)上单调递增。

∵F ′(0)=1- >0,F ′(-1)= -1<0,即 = ,x0=-ln(x0+2)，∴F (x0)= -ln(x0+2)= +x0= >0.

当x∈(-2,x0)时，F ′(x)<0,此时函数F (x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时，F ′(x)>0,此时函数F (x)单调递增。

∴ f(x)≥F (x)≥F min(x)=F (x0)>0.

小结 本题是一道含参不等式的`证明题，考生若不假思索地直接采用构造F (x)=左-右，则在求F ′(x)=0时会走进死胡同。问题出在含参，因此应该控元，将两个变量变为一个变量，使其常态化。

例2 (高考山东理科卷第22题)已知函数f(x)= (k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。

(Ⅰ)求k的值。

(Ⅱ)求 f(x)的单调区间。

(Ⅲ)设g(x)=(x2+x) f ′(x)，其中 f ′(x)为 f (x)的导函数。证明：对任意x>0,g(x)<1+e-2.

(Ⅰ)解：k=1.(解答过程省略)

(Ⅱ)解：函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。(解答过程省略)

(Ⅲ)证明：g(x)=(x2+x)・ =(1+x)・ .

欲证g(x)<1+e-2,即证1-x(ln x+1)< (1+e-2)。①

令F 1(x)=1-x(ln x+1)，则F (x)=-ln x-2.令F (x)=0,得ln x =-2,∴x = e- 2∈(0,+∞)。

当x∈(0,e- 2)时，F (x)>0,此时F 1(x)单调递增;当x∈(e- 2,+∞)时，F (x)<0,此时F 1(x)单调递减。∴F 1max(x)=F1 (e- 2)=1+e- 2.

令F 2(x)= .∵F (x)= = > 0,∴F 2(x)在(0,+∞)上单调递增。∴F 2(x)>F 2(0)=1.∴不等式①得证。∴ g(x)<1+e- 2(x>0)。

小结 如何构造函数F(x)，关键在于F ′(x)=0是否易求(或易估)。若直接求g(x)，则g′(x)=0的求解将陷入泥潭。

例3 (20高考辽宁理科卷第21题)设f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a,b∈R,a,b为常数)，曲线y= f(x)与直线y= x在(0,0)点相切。

(Ⅰ)求a,b的值。

(Ⅱ)证明：当0 (Ⅰ)解：a=0,b=-1.(解答过程省略)

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知f(x)=ln(x+1)+ -1.

∵ < (0 构造F (x)=ln(x+1)+ - ,则F ′(x)= + - = .

当x∈(0,2)时，∵x2+15x-36<0,∴F ′(x)<0.∴F (x)单调递减。∴F (x) ∴ln(x+1)+ < .∴ln(x+1)+ -1< ,即f(x)< .

小结 本题若直接对f(x)求导，则会在计算f ′(x)=0时碰壁。原因在于对 求导时，既有根式又有分式，而ln(x+1)的导数仅有分式，使得在求f ′(x)=0时眼到手不到。

(作者单位：厦门工商旅游学校;厦门英才学校)

(责任编校/周峰)

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《利用二次求导巧解高考函数压轴题》

“函数的对称性与周期性的探究”课例分析 篇11

例:已知对一切x∈R都有f(x)=-f(2-x)且方程f(x)=0有五个不同的根,则这五个根的和为多少?

分析:函数y=f(x)满足对x∈R都有f(x)=-f(2-x),所以函数y=f(x)关于点(1,0)对称.

设方程f(x)=0五个不同的根分别为x1<x2<x3<x4<x5,有对称性得

x3=1,x1+x5=2,x2+x4=2,所以x1+x2+x3+x4+x5=5.

3.若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期.

4.若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,0)和点B(b,0)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期.

例:定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1+x)=-f(1-x),且x∈(-1,0)时f(x)=2x,则f(log220)=?

分析:利用周期和对称性把log220化为属于(-1,0)的值即可.

所以函数同时关于点(0,0)和点(1,0)对称,则周期T=2

又因为x∈(-1,0)时f(x)=2x,

5.若函数y=f(x)图像既关于点A(a,0)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.

分析:函数y=f(x)在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)(关于原点对称)且f(0)=0,

所以周期T=2,

6.函数y=|f(x)|的图像的作法:作出y=f(x)的图像,将图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,上方的图像不变.

7.函数y=f(|x|)的图像的作法(该函数是偶函数):作出y=f(x)的图像,将图像位于轴左边的图像擦掉,以y轴为对称轴将y轴右边的图像翻折到y轴左边,得到y=f(|x|)在y轴左边的图像,右边的部分不变.