半周期对称（精选8篇）
半周期对称 篇1
在解抽象函数的某些问题时, 常常需要根据其图象的对称性求出函数的周期, 许多同学对这类题望而生畏, 一筹莫展.本文先将函数的图象关于点A (a, 0) 或直线x=b对称的对称性转化为函数的奇偶性, 再给出由函数的奇偶性求出其周期的若干结论, 然后举例说明这些结论的妙用, 供大家参考.
引理1:若定义在R上的函数f (x) 的图象关于点A (a, 0) (a∈R) 对称, 则f (x+a) 为奇函数.
证明:把y=f (x) 的图象和其对称中心A (a, 0) 同时向左平移a个单位长度, 即得y=f (x+a) 的图象和其对称中心O (0, 0) .令g (x) =f (x+a) , 则g (-x) =-g (x) , 所以f (-x+a) =-f (x+a) .
所以f (x+a) 为奇函数.
引理2:若定义在R上的函数f (x) 的图象关于直线x=b (b∈R) 对称, 则f (x+b) 为偶函数.
证明:把y=f (x) 的图象和其对称轴同时向左平移b个单位长度, 即得y=f (x+b) 的图象和其对称轴x=0 (即y轴) , 令g (x) =f (x+b) , 则g (-x) =g (x) , 所以f (-x+b) =f (x+b) .
所以f (x+b) 为偶函数.
定理1:已知函数f (x) 的定义域为R, a、b∈R, 且a≠b.若f (x+a) 与f (x-b) 均为奇函数, 则f (x) 是周期函数, 且2 (a+b) 为f (x) 的一个周期.
证明:由f (x+a) 与f (x-b) 均为奇函数, 得
由 (1) 得
由 (2) 得f (x) =-f (-x-2b) (4)
由 (3) 、 (4) 得
所以f (x+2a+2b) =f (x)
所以f (x) 是周期函数, 且2 (a+b) 为f (x) 的一个周期.
推论:已知f (x) 的定义域为R, a∈R, 且a≠0, 若f (x+a) 与f (x-a) 均为奇函数, 则f (x) 是周期函数, 且4a为f (x) 的一个周期.
定理2:已知函数f (x) 的定义域为R, a、b∈R, 且a≠b.若f (x+a) 与f (x-b) 均为偶函数, 则f (x) 是周期函数, 且2 (a+b) 为f (x) 的一个周期.
证明:由f (x+a) 与f (x-b) 均为偶函数, 得
由 (2) 得
由 (3) 、 (4) 得
所以f (x+2a+2b) =f (x)
所以f (x) 是周期函数, 且2 (a+b) 为f (x) 的一个周期.
推论:已知f (x) 的定义域为R, a∈R, 且a≠0, 若f (x+a) 与与f (x-a) 均为偶函数, 则f (x) 是周期函数, 且4a为f (x) 的一个个周期.
定理3:已知函数f (x) 的定义域为R, a, b∈R, 且a≠b.若ff (x+a) 是奇函数, f (x-b) 是偶函数, 则f (x) 是周期函数, 且44 (a+b) 为f (x) 的一个周期.
证明:由f (x+a) 是奇函数, 得
由f (x-b) 是偶函数, 得
由 (3) 、 (4) 得
令-x-2b=t, 则-x=t+2b, 代入上式得
所以f (x+4a+4b) =f (x) .
所以f (x) 是周期函数, 且4 (a+b) 为f (x) 的一个周期.
推论:已知f (x) 的定义域为R, a∈R, 且a≠0, 若f (x+a) 是是奇函数, f (x-a) 是偶函数, 则f (x) 是周期函数, 且8a为f (x) 的的一个周期.
巧用上述引理、定理及推论能妙解许多问题, 下面举例说说明.
例1若定义在R上的函数f (x) 的图象关于点A (1, 0) 、BB (-5, 0) 均对称, 且f (0) =1, 则f (14) +f (19) =___.
分析:由引理1知f (x+1) 与f (x-5) 均为奇函数, 再由定理理1知12为f (x) 的一个周期,
所以f (14) +f (19) =f (2) +f (-5)
由f (x) 的图象关于点A (1, 0) 对称得f (2) =-f (0) =-1.
由f (x) 的图象关于点B (-5, 0) 对称得f (-5+x) =-f (-5-x) ,
令x=0, 则f (-5) =-f (-5) , 故f (-5) =0.
所以f (14) +f (19) =f (2) +f (-5) =-1+0=-1.
例2已知函数f (x) 的定义域为R, 且f (x) 的图象关于直线x=2和x=-1均对称.若f (0) =1, 则f (4) =___.
分析:由引理2知f (x+2) 与f (x-1) 均为偶函数.
再由定理2知6为f (x) 的一个周期, 则f (4) =f (-2) ,
由f (x) 的图象关于直线x=-1对称得f (-2) =f (0) =1
所以f (4) =1.
例3若定义在R上的函数f (x) 的图象关于点A (1, 0) 和直线x=-1均对称, 则f (-8) +f (10) =____.
分析:由引理1知f (x+1) 为奇函数;由引理2知f (x-1) 为偶函数;由定理3的推论知8为f (x) 的一个周期.
所以f (-8) +f (10) =f (0) +f (2) .
由f (x) 的图象关于点A (1, 0) 对称得f (2) =-f (0) .
所以f (-8) +f (10) =f (0) +f (2) =f (0) -f (0) =0.
例4 (2009年全国) 函数f (x) 的定义域为R, 若f (x+1) 与f (x-1) 都是奇函数, 则 ()
(A) f (x) 是偶函数 (B) f (x) 是奇函数
(C) f (x) =f (x+2) (D) f (x+3) 是奇函数
分析:由定理1的推论知4为f (x) 的一个周期
所以f (x+3) =f (x+3-4) =f (x-1) ,
所以f (x+3) 是奇函数, 应选 (D) .
例5若定义在R上的函数f (x) 满足f (3+x) +f (3-x) =0, f (1+x) +f (1-x) =0, 且f (7) =1, 则f (-5) =____.
分析:由f (3+x) +f (3-x) =0得f (3+x) =-f (3-x) , 则f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称, 由引理1知f (x+3) 是奇函数.
同理可得f (x+1) 也是奇函数.
由定理1知f (x) 是周期函数, 且4为f (x) 的一个周期.
所以f (-5) =f (-5+12) =f (7) =1.
评注:在利用定理1解题时, 应注意这里的a=3, b=-1, 则2 (a+b) =2× (3-1) =4, 故4为f (x) 的一个周期.下面的个别题目也存在类似的问题, 不再一一说明.
例6若定义在R上的偶函数f (x) 满足f (x+4) =f (x-4) , f (x+1) =f (x-1) , 且f (1) =2, 则f (5) =____.
分析:由f (x) 是偶函数得f (x-4) =f (4-x) , 又f (x+4) =f (x-4) , 则
同理可得f (1+x) =f (1-x) .
所以f (x) 的图象关于直线x=4和x=1均对称.
由引理2得f (x+4) 与f (x+1) 均为偶函数.
由定理2得f (x) 是周期函数, 且6为f (x) 的一个周期.
所以f (5) =f (-1) =f (1) =2.
例7若定义在R上的函数f (x) 满足f (4+x) +f (4-x) =0, f (1+x) -f (1-x) =0, 则f (28) +2f (4) =___.
分析:由f (4+x) +f (4-x) =0得f (4+x) =-f (4-x) , 则f (x) 的图象关于点 (4, 0) 对称.由引理1知f (x+4) 为奇函数.
由f (1+x) -f (1-x) =0得f (1+x) =f (1-x) , 则f (x) 的图象关于直线x=1对称, 由引理2知f (x+1) 是偶函数.
由定理3得12是f (x) 的一个周期, 则f (28) =f (4) .
由f (4+x) +f (4-x) =0, 令x=0得f (4) =0
所以f (28) +2f (4) =f (4) +2f (4) =3f (4) =0.
例8已知函数f (x) 的定义域为R.若y=f (x) +3的图象关于点A (4, 3) 和直线x=-4均对称, 则f (x) 的一个周期为 ()
(A) 18 (B) 24 (C) 32 (D) 36
分析:将y=f (x) +3的图象和其对称中心A (4, 3) 同时向下平移3个单位长度即得y=f (x) 的图象和其对称中心A' (4, 0) ,
由引理1知f (x+4) 是奇函数.
由y=f (x) +3的图象关于直线x=-4对称知y=f (x) 的图象关于直线x=-4对称.
由引理2知f (x-4) 是偶函数.
由定理3的推论知32为f (x) 的一个周期, 选 (C) .
例9已知定义在R上的奇函数f (x) 满足f (x+4) =-f (x) , 且在区间[0, 2]上是增函数, 则 ()
(A) f (-25)
(C) f (11)
分析:由条件知f (x+4) =-f (x) =f (-x) , 则f (-2-x) =f (2+x) .
所以f (x) 的图象关于直线x=2对称.
由引理2知f (x+2) 为偶函数, 再由定理3知f (x) 是周期函数, 且8为f (x) 的一个周期.又f (0) =0.
所以f (80) =f (0) =0, f (-25) =f (-1) =-f (1) , f (11) =f (3) =f (2+1) =f (2-1) =f (1)
由f (x) 在[0, 2]上是增函数知f (1) >f (0) =0, 则f (-1) <0
所以f (-25)
半周期对称 篇2
一、函数对称性：
1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)关于x=a对称
f(a+x)= f(b-x)==> f(x)关于 x=(a+b)/2 对称 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)关于点（a，0）对称 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)关于点（a，b）对称
f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)关于点 [（a+b）/2，c/2] 对称 y = f(x)与 y = f(-x)关于 x=0 对称 y = f(x)与 y =-f(x)关于 y=0 对称 y =f(x)与 y=-f(-x)关于点(0,0)对称
例1：证明函数 y = f(a+x)与 y = f(b-x)关于 x=(b-a)/2 对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即证得对称轴为 x=(b-a)/2.例2：证明函数 y = f(ax)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右边通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即
/[f(xf(x)] ∴
/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴
半周期对称 篇3
注 这里代数关系式中两个“f ”(对应法则)内的“x”(变量)前的正负号相异,如果把两个“f”放在“=”的两边,则“f ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
思考1 满足f(x-a)=f(a-x)的函数f(x)的图像的对称性如何?(关于y轴对称.)
思考2 满足f(a+x)=f(b-x)的函数f(x)的图像的对称性如何?(关于直线x=对称.)
二、 函数周期性的充要条件和充分条件
1. 函数f(x)以实数a(a≠0)为周期f(x+a)=f(x)fx+=fx-.
2. fx+=-fx-f(x+a)=-f(x)(实数a≠0)函数f(x)以2a为周期.
3. f(x+a)=(实数a≠0)函数f(x)以2a为周期.
4. f(x+a)=-(实数a≠0)函数f(x)以2a为周期.
注 这里代数关系式中两个“f ”内的“x”前的正负号相相同.因为周期性关乎平移.
三、 对称性与周期性的关系
定理1 若定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期.
推论1 若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x)(a≠b),则f(x)是以2|a-b|为周期的周期函数.
定理2 若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,0)和直线x=b(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,且4|a-b|是它的一个周期.
推论2 若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)及f(b-x)=f(b+x)(a≠b),则f(x)是以4|a-b|为周期的周期函数.
定理3 若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期.
推论3 若函数f(x)满足f(a-x)+f(a+x)=20及
f(b-x)+f(b+x)=20(a≠b),则f(x)是以2|a-b|为周期的周期函数.
四、 运用这些条件和关系解决一些抽象函数问题举例
例1 (2009年山东文科卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()
A. f(-25) B. f(80) C. f(11) D. f(-25) 解析 因为f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以 f(x)是以8为一个周期的周期函数.则f(-25)=f(-1), f(80)=f(0),f(11)=f(3). 又因为f(x)在R上是奇函数,所以f(x-4)=f(-x),所以f(x)的图像关于直线x=-2对称.则f(3)=-f(-3)=-f(-1)=f(1). 又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1) 例2 (2009全国Ⅰ理科卷)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则() A. f(x)是偶函数 B. f(x)是奇函数 C. f(x)=f(x+2) D. f(x+3)是奇函数 解析 因为f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,所以 f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),所以函数f(x)的图像关于点(1,0)及点(-1,0)对称,所以函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数. 所以f(x-1+4)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x-1+4),即 f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函数.故选D. 例3 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,又f(2)=0.若关于x的方程f(x)=m在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,且x1 解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以 f(x)=f(-x). 故由f(x-4)=-f(-x),知f(x)的图像关于点(-2,0)对称. 由f(x-4)=-f(x),知f(x-8)=f(x),所以f(x)是以8为一个周期的周期函数. 又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上是减函数. 又关于x的方程f(x)=m在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,且x1 1. 若函数f(x)定义域为R,且满足条件f(x+a)= f(x+b),则f(x)是周期函数吗?如果是,请求出其周期. 2. 若函数f(x)定义域为R,且满足条件f(x+a)= -f(x+b),则f(x)是周期函数吗?如果是,请求出其周期. 1. f(x)是周期函数,且|a-b|是它的一个周期. 2. 若函数y=f (x) 的图像关于直线x=m对称, 则y=f (ωx+k) (ω>0%%) 的图像关于直线对称. 3. 若函数y=f (ωx+k) (ω>0) 的图像关于直线x=m对称, 函数y=f (x) 的图像关于直线x=ωm+k对称. 4. 若函数y=f (x) 定义域为R, ∀x∈R都有f (a+ωx) +f (b-ωx) =c成立, 则函数y=f (x) 的图像关于对称.特别地, 当%ω=1且c=0时, 函数%y=f (x) 的图像关于对称. 5. 若函数%y=f (x) 的图像关于点 (m, n) 对称, 则y=f (ωx+k) (ω>0) 的图像关于点对称. 6. 若函数y=f (ωx+k) (ω>0) 的图像关于点 (m, n) 对称, 则函数y=f (x) 的图像关于点 (ωm+k, n) 对称. 二、两个抽象函数图像的对称性 1.若函数y=f (x) 定义域为R, 则g (x) =f (a+ωx) 与h (x) =%f (b-ωx) (ω≠0) 的图像关于直线对称. 2.若函数y=f (x) 定义域为R, 则g (x) =f (a+ωx) 与h (x) =c-f (b-ωx) (ω≠0) 的图像关于点对称. 三、抽象函数的周期性 1.. 若函数y=f (x) 定义域为R, 且满足条件f (ωx+a) =f (ωx+b) (ω>0) , 则y=f (x) 是以T=a-b为周期的周期函数. 2. 若函数y=f (x) 定义域为R, 且满足条件f (ωx+a) =-f (ωx+b) (ω≠0) , 则y=f (x) 是以T=2 a-b为周期的周期函数. 3. 若函数y=f (x) 定义域为R, 且满足条件, 则y=f (x) 是以T=2 a为周期的周期函数. 四、抽象函数的对称性与周期性 1. 若函数y=f (x) 的图像关于直线x=a与x=b (a≠b) 对称, 则%y=f (x) 是以T=2 b-a为周期的周期函数. 2. 若函数y=f (x) 图像关于点 (a, 0) 与点 (b, 0) (a≠b) 对称, 则y=f (x) 是以T=2 b-a为周期的周期函数. 3. 若函数y=f (x) 图像关于直线x=a与点 (b, 0) (a≠b) 对称, 则y=f (x) 是以T=4 b-a为周期的周期函数. 五、高考题模拟题选 例1. (2010辽宁朝阳) 已知函数y=f (x) 定义域为R, 且满足f (3+2x) =-f (3-2x) f (8+5x) =-f (6-5x) , %%f (1) =3, 则f (2010) =________ 解:∵%f (3+2x) =-f (3-2x) ∴%y=f (x) 的一个对称中心是 (3, 0) ∵f (8+5x) =-f (6-5x) ∴y=f (x) 的一个对称中心是 (7, 0) ∴y=f (x) 的周期T=2 3-7=8 ∴f (2010) =f (8×251+2) =f (2) =3 例2. (2008四川卷11) 设定义在R上的函数f (x) 满足%%f (x) ·f (x+2) =13, 若f (1) =2, 则f (99) = (%%) 解:∵%%f (x) ·f (x+2) =13∴∴周期T=4∴f (99) =f (1) =2 摘要：本文通过抽象函数图像本身的对称性、两个抽象函数图像的对称性、抽象函数的周期性等具体例子, 阐述了抽象函数的对称性与周期性. 自我国1998年房地产市场化改革以来, 房地产价格吸收、传导和放大经济波动的能力越来越强, 它的发展已经在很大程度上影响到国民经济总体发展。货币政策作为国家宏观调控方面的重要手段, 在完成国家宏观政策目标的过程中发挥着关键性的作用。因此研究货币政策与房地产市场的周期波动规律是十分有必要的。 2 国内外研究综述 Grebler和Burns (1982) [1]通过对美国的整体建筑、公共建筑和住宅建筑 (1950—1978) 等进行分析后, 发现了住宅和非住宅的房地产周期, 并且发现了NGP (经济周期) 领先房地产周期11个月达到峰值。 Rangan Gupta (2010) [2]利用FAVAR模型分析了南非市场上房地产价格随着货币政策的变化产生的波动情况, 随后又通过脉冲响应分析发现:房地产价格会在某些时间段对货币政策产生负响应, 同时这种响应在不同层次的住宅市场也是不同的。 张元端 (2002) [3]通过对中国商品房销售额增长率与GDP增长率两者之间的对应关系进行分析, 发现了中国房地产业的周期波动大约是4年~6年。 谢平 (2004) [4]通过分析表明, 当我国在1998年1月取消对商业银行贷款的限额管理后, 越来越多的研究者开始了对货币政策工具和货币政策效应等方面的研究。 刘金全 (2002, 2008) 通过分析后表明, 我国货币政策在短期内具有一定程度的有效性, 货币政策操作具有一定程度的内生属性, 而且货币政策效应具有一定程度的非对称性。 本文在前人研究的基础上运用谱分析方法从房地产市场的需求、供给、价格这三个角度, 探讨了房地产与货币政策的周期波动规律, 同时研究货币政策与房地产市场周期的非对称性, 从而为相关领域的研究提供借鉴。 3 谱分析方法 谱分析法是把时间序列周期波动特征的信息从频域而非时域的角度反映出来, 它的基本思想是把时间序列看作是互不相关的不同频率分量的叠加, 将各频率分量利用傅立叶变换等技术手段进行分解, 进而通过估计出的谱密度函数来衡量各分量的相对重要性以识别序列中存在的主要频率分量, 从而掌握该序列的周期波动特征。 4 货币政策与房地产市场周期的识别 4.1 变量的选取 本文从房地产的需求、供给以及价格三个方面分析房地产市场的周期波动规律。基于需求、供给、价格视角分别选择商品房销售面积 (S) 、房地产开发投资完成额 (TZ) 以及商品房销售额累计值 (P) 作为房地产市场的分析指标。关于货币政策本文研究两个主要中介目标, 即从利率水平和货币供应量角度考虑货币政策的周期波动规律。数据来源于国研网和前瞻网。 鉴于相关数据资料的可获得性, 有关货币政策与房地产市场的指标我们均采用2001年—2015年的月度数据, 利用这些数据通过谱分析方法对中国的货币政策以及房地产市场的周期进行识别。 4.2 数据处理 为了消除长期趋势的影响, 首先利用HP (Hodrick-Prescott) 滤波方法将2001年—2015年度中国货币政策指标与中国房地产市场指标的月度统计数据分解为趋势成分和周期成分, 然后对各个指标的周期 (CYCLE) 序列运用谱分析方法来识别中国货币政策与房地产市场的周期波动情况。各个指标的周期成分序列由于篇幅所限在此不一一列出。 进行谱分析的前提条件是要求时间序列具有平稳性, 因此我们利用Eviews6.0通过ADF单位根检验来对中国货币政策与房地产市场的五个指标月度统计数据的周期成分序列 (CYCLE) 的平稳性进行单位根检验。经过检验得出, 货币供应量的周期成分序列是平稳序列。而同业拆借利率、商品房销售面积、房地产开发投资完成额以及商品房销售额累计值月度统计数据的周期成分序列进行一阶差分以后也是平稳序列。因此, 可以进行谱分析。 4.3 利用“谱分析法”识别中国货币政策与房地产市场周期 首先, 选择合适的窗函数使谱密度函数变得平滑, 并且减少样本谱的方差。本文根据相关文献进行多次尝试后选择了较常用的Tukey-Hamming窗, 窗宽定为29。 其次, 使用SPSS22.0对货币供应量的周期成分序列以及同业拆借利率、商品房销售面积、房地产开发投资完成额、商品房销售额累计值的周期成分进行一阶差分后的序列进行谱分析, 结果如图1~图5所示。 本例中选择图基—汉明 (Tukey-Hamming) 窗对谱密度进行了平滑处理, 得到如图1~图5所示的谱分析结果。 由图1窗谱分析可以看出基于供给视角的房地产市场指标, 房地产开发投资完成额在频率为0.279 3~0.284 9处出现了主谱峰, 这表明房地产开发投资完成额存在长度为3.5年~3.6年的主周期波动;在频率为0.173 1~0.184 3处出现了次谱峰, 这表明房地产开发投资完成额还存在长度为5.4年~5.8年的次周期波动。 由图2可以看出基于需求视角的房地产市场指标商品房销售面积在频率为0.234 6~0.240 2之间出现了主谱峰, 这表明商品房销售面积存在长度为4.16年~4.26年的主周期波动;在频率为0.430 1~0.441 3处出现了次谱峰, 这表明房地产市场商品房销售面积还存在长度为2.27年~2.32年的次周期波动。 由图3可以看出基于价格视角的房地产市场指标商品房销售额累计值在频率为0.234 6~0.240 2之间出现了主谱峰, 这表明商品房销售额累计值存在长度为4.16年~4.26年的主周期波动;在频率0.430 1~0.441 3处出现了次谱峰, 这表明商品房销售额累计值还存在长度为2.27年~2.32年的次周期波动。 由图4可以看出货币供应量M2在频率0.067 0~0.072 6处出现了主谱峰, 这表明货币供应量M2存在长度为13.77年~14.92年的主周期波动;在频率为0.329 6~0.335 2之间出现了次谱峰, 这表明货币供应量M2还存在长度为2.98年~3.03年的次周期波动。 由图5可以看出同业拆借利率在频率为0.162 0~0.167 6之间出现了主谱峰, 这表明货币供应量M2存在长度为6.00年~6.17年的主周期波动;在频率0.407 8~0.413 4处出现了次谱峰, 这表明货币供应量M2还存在长度为2.42年~2.45年的次周期波动。 5 结论与政策建议 本文运用谱分析法识别了中国货币政策与房地产市场的周期波动规律, 充分说明货币政策与房地产市场的周期波动长度以及波动规律是非对称的。 依据研究结论, 结合实际情况给出以下建议: 首先, 由于房地产市场的周期波动具有一定的规律性, 人们可以根据房地产市场周期波动长度和特征做出相应的房地产消费和投资决策。 其次, 由于我国货币政策对房地产市场具有非对称性效应并且具有一定的时滞性, 货币管理当局进行货币政策的选择时候应该做到因时因地制宜并且需要根据我国房地产市场当前的真实状况选择合理的货币政策工具和中介目标对房地产市场施加影响, 避免由于盲目选择货币政策而导致房地产市场出现过度波动的现象。 参考文献 [1]Grebler L., L.Burns..Construction Cycles in the U.S[J].Journal of the American Urban Economics Association, 1982, 10 (2) :201-222. [2]Rangan Gupta, Marius Jurgilas, Alain Kabundi.The effect of monetary policy on real house price growth in South Africa:A factor-augmented vector autoregression (FAVAR) approach[J].Economic modeling, 2010 (27) :315-323. [3]张元端.房地产业周期波动规律再探——兼论房地产业的冷与热[J].中国建设信息, 2002 (8) :25-30. [4]谢平.中国货币政策分析1998—2002[J].金融研究, 2004 (8) :111-116. (一)首先奇偶函数及周期函数的定义及定义式:f(-x)= (x);f(-x)=-f(x);f(x+T)=f(x)函数的奇偶性定义中涉及两个方面关系,f(-x)与f(x),f(-x)与-f(x)。有理由问一下周期函数定义中若考虑两方面关系又会怎样呢?即有问题:f(x+T)=-f(x)时,f(x)的周期性怎样呢?不难证明,此时2T为f(x)的周期;其次,再对比f(-x).f(x)。把f(x+T)=f(x)与f(x+T)=-f(x)中f(x)用f(-x)代换,则又将有什么结论呢?同样不难证明:若f(x+T)=f(-x),则f(x)为偶函数时,T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,2T为f(x)的周期.若f(x+ T)=-f(-x),则f(x)为偶函数时,2T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,T为f(x)的周期。但事实上此时f(x)不一定是偶函数或奇函数那么单从f(x+T)=f(-x)或f(x+T)=-f(-x)就不一定:若f(x+T)=f(-x能推出f(x)的周期,可以证明:若f(x+T)=f(-x),则f(x+T)为偶函数;若f(x+T)=-f(-x),则f(x+T)为奇函数。 至此,小结前面结果即有下面结论。 定理1:若f(x+T)=f(x),则f(x)是周期函数,且T为f(x)的周期;若f(x+T)=-f(x),则f(x)是周期函数,且2T为f(x)的周期;定理2:若f(x+T)=f(-x),则f(x)为偶函数时,T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,2T为f(x)的周期.定理3:若f(x+T)=-f(-x),则f(x)为偶函数时,2T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,T为f(x)的周期。定理4:若f(x+T)=f(-x),则对定义域内任意x都成立;若f(x+T)=-f(-x),则(x+T)为奇函数。(以上定理中函数定义域假定为R,同时等式对定义域内任意x都成立,且T≠0) 把定理2,3结合起来,即有f(x+T)为偶函数且f(x)为偶函数,则f(x)是周期函数,且T为f(x)的周期;f(x+T)为奇函数且f(x为奇函数,则f(x)是周期函数,且2T为f(x)的周期;从而可得下列定理;定理5:给出三个判断:(1)f(x+T)为偶函数。(2)f(x)为偶函数,(3)f(x)是周期函数,且T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。定理6:给出三个判断:(1 f(x+T)为奇函数。(2)f(x)为奇函数,(3)f(x)是周期函数,且2T为(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。 (二)另一方面,从奇函数与偶函数函数图象的对称性方面联想f(x+T)的奇偶性与f(x)函数图象的对称性又有:定理7: (x+T)为偶函数。f(x)的图象关于直线x=T对称;f(x+ T) 为奇函数。f(x) 的图象关于点( T ,0)对称。 至此, 再结合对称性与奇偶性的等价关系及定理4.5又有定理8:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于直线x=0对称。(2)(x) 的图象关于直线x= T对称。(3)f(x) 是周期函数,且T为f(x的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。定理9:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于点(0,0)对称(2) f(x) 的图象关于点( T ,0) 对称(3)f(x) 是周期函数,且2T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。 推论1: f(x) 为偶函数且图象关于直线x= T对称,则f(x) 是周期函数,且T为f(x)的周期;推论2: f(x) 为奇函数且图象关于直线x= T对称,则f(x) 是周期函数,且2T为f(x)的周期。 (三)最后考虑对称的一般性 f (x) 的图象关于直线x= a对称且关于直线x= b对称。 同样可得到。定理10:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于直线x= a对称。(2) f(x) 的图象关于直线x=b对称。(3)f(x) 是周期函数, 且2(a-b)为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。定理11:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于点(a,0)对称(2) f(x) 的图象关于点(b,0) 对称(3)f(x)是周期函数, 且4(b-a)为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。 以上结论从一定成度上反映了函数的奇偶性,周期性与图象的对称性的内在联系,利用这些结论不难解决一些相关问题。 一、统计模式和方法的选择 对经济周期波动的非对称性以及持续性的研究, 需要借助大量的计量方法和模型, 因此选择合适的统计模式和方法成为研究的第一步。因为在经济的发展中, 经济周期是由于宏观经济的变量在趋势水平的随机或者不随机的偏离出产生的, 这就需要对时间变量的趋势成分进行有效的分离, 然后对剩余的周期成分进行统计, 因此利用二阶自回归方法和贝叶斯抽样和估计方法是有效的方法和途径。 在对经济周期波动的研究中利用了大量的线性和非线性模型, 但是线性模型无法对经济周期波动的非对称性难以进行合理的描述, 需要借助非线性时间序列模型进行分析和研究。其中利用广泛的有阈模型、平滑转移自回归模型以及马尔可夫区制转移模型等, 并且不同的模型对经济周期波动描述的侧重点不同, 阈模型难以对不同阶段的转移和衔接进行合理的描述, 而平滑转移自回归模型侧重于对平滑特征的描述, 相比而言, 马尔可夫区制转移模型对经济周期波动的研究最为合理, 借助样本数据对不同阶段的转换概率进行推导, 并且可以利用模型中的系数统计和条件均值以及异方差性和持续期, 对不同阶段的变化形式进行分析, 进而得出扩张和收缩的非线性特征进行描述。 二、数据和单整性检验 为了实现对经济周期波动的特性的研究, 本文从《各国宏观经济指标》数据库和《中国统计年鉴》中, 选取了我国从2002年到2012年的实际国内生产总值的季度数据进行研究。这段时间一共具有104个样本数据, 并且利用2002年为基期的不变价消除了价格因素对分析结构的影响。将原始的数据作为基本的季度数据, 利用Census X-12进行季节性调整, 进而计算出季度实际的GDP增长率: 反映出实际季度GDP与实际季度GDP增长率之间的关系。 表一反应了我国实际季度的GDP增长率以及某一阶段的差分描述性统计量, 从对数据的分析可知, 我国GDP增长率是正态分布的假设是成立的, 在利用一定的检验方法的基础上, 对单位根的统计研究发现, 我国的经济GDP增长率存在单位根的假设不成立, 即GDP增长率不存在单位根, 这是对我国经济发展真实情况的合理反映。 三、实证结果以及分析结果 (一) 参数估计结果分析 通过对参数数据的分析得出, 所有的估计参数的后验概率区间都在95%以上, 这就充分说明了对参数的估计是十分可靠的, 并且数据模型的整体效果较好, 进而支持了马尔可夫区制转移模型的设定。在我国经济增长的过程中, 对三个区制的均值的估计值进行了分析和比较, 得出的数据符合模型设置的初始区制的条件, 即该模型支持了我国经济增长周期波动的三区制划分, 符合我国经济发展的实际情况, 可见, 对我国的经济进行三区制划分是正确的。 我国经济增长主要分为三个时期:低速增长期、适速增长期和高速增长期。数据反映出的值的不同, 主要表现在低速增长的波动明显高于高速增长期和适速增长期, 可见我国经济周期波动呈现出明显的非对称性。同时由低速增长阶段向着适速增长阶段的可能性远远大于由低速增长阶段向着高速增长阶段转移的可能性, 当然我国经济的增长也存在着跳跃式的可能性。从经济增长的转移性数据发现, 处于低速增长的区制存在很大的懒惰性, 这就需要政府采取一定的宏观调控手段进行适当的调整和刺激, 实现经济区制的转移。在经济增长由低速阶段向着适速阶段的转变时, 呈现出很高的稳定性, 即较高的抗变能力, 这一阶段经济的增长构成了我国增长速度的底部基础。 通过对各个区制的数据分析得出, 存在着一定的持续概率, 大小分别为高速增长区制、适速增长区制和低速增长适度, 并且低速增长阶段的平均持续期最短, 适度增长阶段其次, 高速经济增长阶段的的持续性最长。可见, 我国经济周期波动的持续性存在较大的差异。同时, 在对数值进行比较时, 发现我国经济季度实际产出增长率的前一期均值偏离值对其当期均值偏离值的影响很大而且是同方向的, 也就是当前一期增长率对该区制均值有正的偏离时下一期还可能是正的偏离, 并且偏离大小的程度收缩较小。因此, 当我国经济增长率负向偏离区制均值时, 其下一季度的还可能负向偏离均值但其幅度绝对值减小, 说明区制内的经济增长过程总会慢慢地趋向于区制内均值。 (二) 平滑概率和经济周期的形状分析 下表为我国经济的区制持续数据 可见在高速增长阶段的持续性最为明显, 适度阶段其次, 而低速增长阶段的持续性最小, 这就需要把握好这一持续性, 适度的对经济进行刺激, 促使其从低速阶段向着适速阶段和高速阶段的发展, 并且保持在高速发展阶段的持续性。说明我国经济在不同的时期出现了不同程度的调整:实现由“卖方市场向买方市场的转变”、“经济政策从扩张性向紧缩性的转变”、“总供给不足向需求不足的转变”的重要时期, 期间我国经济增长所出现的“过热现象”, 不仅形成了当时经济稳定的适速增长, 也由于严重通货膨胀的出现, 直接促使了当时紧缩性货币政策的实施。 四、结论和启示 在对我国经济周期波动的非对称性和可持续性的研究中, 利用了三区制马尔可夫均值和方差转移的二阶自回归模型以及贝叶斯抽样的的方法, 对我国从2002-2012年的经济发展情况进行了分析, 将我国经济发展分为三个基本的区制, 可以得到以下几个结论: (一) 转移概率的不同 我国经济周期的非对称性主要体现在各个增长阶段的均值、方差、阶段性之间的转移概率的不同。具体说, 我国经济处于适速增长阶段时, 其波动性最低;处于高速增长阶段时, 其波动性次之;处于低速增长阶段时, 其波动性最高。这表明, 我国经济处于低速增长阶段时, 其稳定性最差, 而处于适速或高速增长阶段时, 其稳定性往往比较高。阶段性之间的转移概率的不同则表明了我国经济从低速增长阶段向适速增长阶段转移的可能性远高于从低速增长阶段向高速增长阶段转移的可能性;而从高速增长阶段向低速增长阶段转移与高速增长阶段向适速阶段转移的可能性则相差无几。 (二) 持续性的不同 在经济发展的不同区制, 其持续性也不尽相同, 高速阶段的自维持概率最高, 适速区制, 其次是适速区制, 低速阶段的持续性最低, 持续的时间最短, 我国经济增长各区制的持续性表现不尽相同, 而高速增长阶段的持续时间最长。 摘要：在经济的发展中, 存在着周期性, 同时经济周期波动又表现出非对称性和持续性, 在这一方面的研究会对我国经济的发展起到指导作用, 为我国经济发展指明方向。本文笔者以时间序列等计量模型, 对经济周期波动的非对称性和持续性做了相关研究, 目的是为我国经济的发展提供指导和借鉴, 进而为经济的发展提供有力的支持和保障。 关键词：经济发展,周期波动,计量,非对称性,持续性 参考文献 [1]刘金全, 范剑青.中国经济周期的非对称性和相关性研究[J].经济研究, 2011 在中学, 我们就已经知道偶函数和奇函数都具有对称性:偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称[1]。 设函数f (x) 的定义域D关于原点对称 (即若x∈D, 则必有-x∈D) , 若果对于任何一x∈D, 都有 f (-x) =f (x) 恒成立, 则称f (x) 为偶函数; 若果对于任何一x∈D, 都有 f (-x) =-f (x) 亦即: f (-x) +f (x) =0 恒成立, 则称f (x) 为奇函数. 在这里, 我们着重分析一下对称的实质。所谓的偶函数, 即是当其定义域关于原点对称时 (注:在后文的叙述中, 凡是提到奇、偶函数时, 都假定其定义域是关于原点对称的, 不再赘述) , 满足:f (-x) =f (x) 。于是得出其图形是关于原点对称的, 也就是说, 如果A (x, f (x) ) 是图上的点, 则它关于y轴对称的点A` (-x, f (x) ) 也在图形上。这是从几何的角度分析的, 如果从代数的角度来看, 我们发现函数f (x) 和f (-x) 的自变量之和的一半刚好为零 (即[x+ (-x) ]/2=0) , 于是其图形是关于直线x=0对称的 (即y轴) 。所以, 我们可以对此结论加以推广, 即有如下的结论: 设函数f (x) 的定义域为D, 如果存在不为零的实数a, 使得对于任一x∈D有 (x+a) ∈D、 (a-x) ∈D且 f (x+a) =f (a-x) 或f (2a-x) =f (x) 那么, 此函数f (x) 的图形关于直线x=a对称。 同理, 对于奇函数f (x) , 从几何的角度分析, 如果A (x, f (x) ) 是图形上的点, 则其关于原点对称的点A`` (-x, -f (x) ) 也在图形上, 而从代数的角度来看, 由f (-x) +f (x) =0, 我们发现, 函数f (-x) 和f (x) 的自变量之和的一半为零且它们的函数值之和的一般亦为零, 于是其图形关于点 (0, 0) 对称 (即原点) 。对此, 我们亦可加以推广, 有如下结论: 设函数f (x) 的定义域为D, 如果存在不为零的实数a、b, 使得对于任一x∈D有 (x+a) ∈D、 (a-x) ∈D且 f (x+a) +f (a-x) =2b 那么, 此函数f (x) 的图形关于点 (a, b) 对称。 2 周期思想 设函数f (x) 的定义域为D, 如果存在一个不为零的数T, 使得对于任一x∈D有 (x+T) ∈D, 且 f (x+T) =f (x) 恒成立, 则成f (x) 为周期函数。T称为f (x) 的周期, 而通常我们说周期函数的周期是指其最小正周期。 对于周期函数, 根据其定义, 我们可以将其与偶函数的定义加以对比, 周期函数的要求是:f (x+T) =f (x) , 而偶函数的要求则是:f (2a-x) =f (x) 。通过对比我们发现, 二者的区别在于其自变量的符号刚好相反 (周期函数是x而偶函数则是-x) ! 3 周期函数与奇偶函数的联系 (1) 若函数f (x) 既关于直线x=a对称又关于直线x=b对称, 那么函数f (x) 的周期为:T=2︱a-b︱; (2) 若函数f (x) 既关于点 (a, 0) 对称又关于点 (b, 0) 对称, 那么函数f (x) 的周期为:T=2︱a-b︱; (3) 若函数f (x) 既关于直线x=a对称又关于点 (b, 0) 对称, 那么函数f (x) 的周期为:T=4︱a-b︱; (4) 若函数f (x) 既关于点 (a, 0) 对称又关于直线x=b对称, 那么函数f (x) 的周期为:T=4︱a-b︱; (5) 当函数f (x) 关于直线x=a对称时: ·若函数f (x) 为奇函数, 则其周期为:T=4a; ·若函数f (x) 为偶函数, 则其周期为:T=2a; (6) 当函数f (x) 关于点 (a, 0) 对称时: ·若函数f (x) 为奇函数, 则其周期为:T=2a; ·若函数f (x) 为偶函数, 则其周期为:T=4a; 上面扼要阐述了对称思想和周期思想以及二者之间的联系, 显然, 我们要着重讨论的正弦函数sinx是集二者于一身的! 这一点我们从其图像上可以看得更清楚!我想这对于Fourier级数为什么要展开成正弦函数 (注:余弦函数可以看成是正弦函数的转化, 对这一点地认识, 我们既可以从代数的角度来看, 也可以从物理学振动的旋转矢量法中获得启发) 及三角函数系具有正交性是不无联系的!而且, 为什么在我们的电路里, 对于一个给定的网络, 特别是三相网络, 我们总习惯于选择正弦信号作为标准信号? (从信号传递的角度来看, 既然正弦信号能够通过, 那么其它的信号也能通过, 因为其它信号在一定的条件下可以展开成Fourier级数, 即是正弦信号的序列。这从另一个角度说明了Fourier级数展开成正弦函数的重要性!) 在大学物理中, 对于一个振动的过程以及一列波的传播我们恰恰又是选择正弦函数作为其模型来描述其运动规律!而在化学课程中, 我们已经很清楚甲烷具有空间对称的结构——正四面体, 这种空间的对称又诠释了对称思想的精妙之处, 而在后面的有机化学的学习中, 这种对称的思想更是体现得淋漓尽致!在生物课里面, 我们又知道DNA分子具有双螺旋结构且其四种碱基之间具有严格的互补原则且周期性的发展。这些课程之间的这种紧密联系均系于对称思想和周期思想! 另外, 在我们高等数学的学习中, 对于定积分的计算, 如果其积分区间是关于原点对称的, 且其被积函数是奇函数或偶函数, 则对其的计算很简单;特别地, 在后面的二重积分、三重积分、曲线曲面积分的计算过程中, 我们对对称的思想体会得更深!在级数那一章, 我们对三角函数的周期思想又有了更深的理解, 特别是Fourier级数, 而其对复变函数中Fourier变换的理解也是有益的! 摘要：本文是作者在学习期间的几点感受, 综合了高等数学、复变函数等数学知识及电路、自动控制原理等专业基础课的理解与应用, 它体现的是一种数学思维与工科应用的结合。作者试图阐述一种联想式的学习方法, 这对于后续课程的学习是有帮助的。文章的开始, 作者给出了两种重要的数学思想, 即:对称思想和周期思想, 接着论述了它们在学习中与其它课程的联系, 这种联想式的学习方法有利于思维的锻炼。 关键词：对称思想,周期思想,联想式 参考文献抽象函数的对称性与周期性 篇4
半周期对称 篇5
半周期对称 篇6
半周期对称 篇7
半周期对称 篇8