复数三角形式的运算

复数三角形式的运算（精选5篇）

复数三角形式的运算 篇1

复数代数形式的乘除运算教案

教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不 易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教学重点：复数代数形式的除法运算。教学难点：对复数除法法则的运用。课型:新知课 教具准备：多媒体 教学过程： 复习提问：

已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：

一 ．复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究: 复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗? 二.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，2b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=

［

(a1+b1i)(a2+b2i)

］

(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=

［

(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3

］

+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)

=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.复数的乘法与多项式的乘法是类似的我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.例2计算：

（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i).解：（1）(3+4i)(3-4i)=3-（4i）=9-(-16)=25;(2)（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.练习课后第2题

三.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 2

2通常记复数z的共轭复数为z。

思考:若z1, z2是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?(2)z1z2是怎样的一个数? 探究: 类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法法则.四:除法运算规则：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者

abicdi

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.cxdya,由复数相等定义可知

dxcyb.acbdx,22cd解这个方程组，得 ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=

acbdbcad2 i.222cdcd2②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将

abi的分母有理化得： cdi5 原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i 22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i.2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=

acbdbcad2i.222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c+d2

2是正实数.所以可以分母“实数”化.把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)解：(12i)(34i)12i 34i(12i)(34i)386i4i510i12i 22(34i)(34i)3425551 先写成分式形式 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)3 化简成代数形式就得结果 练习:课后第3题(1)(3)小结: 作业:

教学反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.复数的除法法则是：

abiacbdbcadi(c+di≠0).cdic2d2c2d2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简.

复数三角形式的运算 篇2

一、结合数学的文化背景,激发学生的数学兴趣及提高学生的数学涵养

在数学的教学过程中,不应当片面的以解题至上的理念来教导学生,而应该让学生了解数学的历史由来,数学在古代的应用,以及数学未来的发展态势。同时可以在讲课时穿插一些数学家的名人轶事活跃课堂气氛,在传导数学家们的正能量时,减轻学生对于数学学习的恐惧。学生也可以在全面了解数学体系后,改变旧的数学观念,形成新的有利于他们自身发展的数学学习观。对于很多学生而言,对于数学的兴趣并不是很大,畏难心理也普遍存在,我们的老师在面对这种情况时,切不过操之过急,应该在充分了解学生心结的基础上,优化自己的教学模式,耐心的引导学生,用新颖的教学模型激发学生的学习兴趣,从根源上解决学生害怕数学的问题,给学生的数学学习创造良好的学习环境。如在复数的乘除运算中,布置学生提前查阅数系的发展,及数系扩充的背景.学生的课外阅读中了解到数系的每一次扩充,都解决了一定的矛盾,从而扩大了数的应用范围,这正好体现了数学的实用性,激发学生学习的欲望,增加数学学习的趣味性.让学生了解数学思想文化的璀璨光辉和文化价值,有利于提高学生对数学的学习兴趣,培养学生的个人文化修养.

二、优化教学模式,让学生主动学习

教师在传授数学知识时,要改变教学理念和教学模式,不能采用填鸭式教学.应及时发现“意外的通道”,抓取“美丽的图景”,机智灵活地引导目标,营造学生思维的平台.思维的发展,需要土壤,需要平台.好的教学方案是能够鼓励学生自己进行观察,发现问题并找出问题,进而探索问题的解决途径,最终在实践中检验自己结论的过程,才能进一步释放学生的思维潜能、进一步保护学生的思维火花.笔者在复数代数形式的乘除运算时的教学片断1:

学生A口头回答运算结果

师:那么刚才实数范围内多项式相乘的运算适合复数的乘法吗?请大家动手试一试

学生跃跃欲试,想展示自己的结果

师:类似实数范围内的多项式相乘,什么是复数代数形式的乘法?

学生B:两个复数的相乘,跟两个多项式的相乘差不多,把得到的结果里面的i2换做-1,同时将实部和虚部分别合并.这样,两个复数相乘得到的积依然会是复数.

此时笔者给以学生B肯定的评价,并继续追问“在3道题目的运算过程中发现了什么?”

学生C:第(1)和第(2)问的结果是一样的

师:说明什么呢?

学生C:复数的乘法满足乘法交换律

师:复数的乘法除了满足交换律之外,还有吗?

学生D很踊跃的说:老师,我刚刚验算了(3-2i)×[(-4+3i)×(5+i)],结果和刚刚第(3)一样的,所以复数的乘法满足结合律.

笔者对学生D的踊跃非常赞赏并给以肯定的评价,激发了其他学生的积极性.此时已经有学生开始自己用题目验证复数乘法运算的分配律.

至此,类似实数多项式的复数乘法的运算和运算法则,在笔者的引导下,均由学生自己主动的去探索问题,最终完美的解决了问题。只要学生能够在自己的努力下学会知识,教师就应该放手让他们去思索,去探寻,而不应该一味的灌输自己的教导理念。“授人以鱼不如授人以渔”,老师要把学生当成主体,让学生自主学习、自主探究.让学生在自主学习的过程中体会到自我成就感,培养数学兴趣.更重要的是在以学生为主体的发现式学习中,锻炼了学生的动手能力和发现问题解决问题的能力,使学生在自主学习的过程中得到思维和能力的提升.

三、搭建“脚手架”,追求严谨深刻的思维

在《复数代数形式的乘除法》教学中,对其中除法运算的结论产生环节,采取逐层递进的方式设计问题,使得除法法则在推导过程中充分呈现出来,带着学生缓缓靠近数学真相,沿着思维的路线,节节攀升。

教学片断2:

生:分子分母分别乘以有理化因式,进行分母有理化.

学生开始讨论——

这时,学生E站起来说:“能够实数化就最好了”

笔者继续追问:“非常好,能够类似分母有理化,找到问题的切入口.那么应该怎么样进行实数化呢?”

学生E不好意思的表示自己还没有想到.

经过学生的另一番讨论后,学生F有了自己的主意:“老师,类似有理化因式,发现

师:很漂亮!那能否用一般式验证你的结论吗?

至此,复数代数形式的除法运算法则和共轭复数的概念呼之欲出,水到渠成.

在上述案例中,笔者利用问题做“脚手架”,搭建了一个平台让学生充分展现自我,发挥自己在学习中的主人翁地位,积极表现自己的思考过程,而不是传统的自问自答式教学。在数学教学中,我们需重视学生的主观意志和自然意志,积极搭建思维平台,让学生的有空间和机会展示自我.学生通过“说”(回答问题)适时呈现了自己在数学学习过程中的思考方式和思维路径。“说”需要学生能够迅速的调动各个器官为自己所用,通过大脑的综合处理,最终输出自己的思索成果。在这个处理过程中,充分锻炼了学生的思维能力、信息处理能力和语言表达能力。与传统的数学教学相比,这样的方式显然更为新颖、动态和有趣,也更加有利于提高学生的综合能力。

四、结束语

“课程标准”要求,数学的教学不能只关注学生们的学习结果,更应当重视他们采用的学习方法以及呈现的学习过程,提高他们学习数学过程中的各项能力,让数学学习更为灵活有效。如上教学案例很好的践行了这个理念.笔者认为,怎样何提高学生们的数学能力,有效引导学生的学习兴趣,让学生充分发挥主观能动性和积极性,是培养学生数学核心素养的关键,如何落实在实际课堂教学中培养学生的学科核心素养还有很多值得我们去探讨研究.

摘要：培养学科核心素养是新课改的主旋律,也是新型课堂模式的基本要求.本文通过高中课堂实例,从三个方面展开讨论如何培养学生的数学核心素养,优化数学课堂教学:一、渗透学科知识的文化背景;二、优化课堂模式,让学生真正成为学习的主体;三、搭建“脚手架”,追求严谨深刻的思维等方面进行讨论。

关键词：学科核心素养,自主探究学习,数学思维,课堂教学

参考文献

[1]喻平.数学课程改革实践中的若干问题,2011.

[2]吴有昌.数学语言障碍初探[J].数学教育学报,2002,11(2):68-69.

[3]王善森.浅谈学生数学素养的培养[J].才智,2010,(30):91.

复数代数形式的四则运算 篇3

1. 理解复数的加减运算

掌握好两个知识点：运算法则和运算律.

例1 已知[Z1=-3-4i,Z2=5+2i,]复数[Z]满足[Z-Z1=Z2].求[Z].

解析 [∵][Z-Z1=Z2]，

[∴][Z=Z1+Z2=-3-4i+5+2i=2-2i].

点拨 （1）复数加法与减法是互为逆运算的. （2）复数加法满足结合律、交换律，其运算类似实数的加减. （3）把i看成字母，可类比多项式中的合并同类项. （4）可以推广到若干个复数进行连续加减.

2．复数代数形式加减运算的几何意义

理解掌握:(1)复数[Z]与复平面内的以原点为起点的向量[OZ]一一对应，复数的加减等价转化为向量加减.（2）若复平面内的任意两点[Z1、Z2]所对应的复数分别是[z1、z2],则[z1-z2=z1z2]表示[Z1、Z2]两点间距离.（3）复数加减的几何意义在于：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中;二是对于一些复数的运算也可以给予几何解释.

例2 已知平行四边形[OABC]，顶点[O、A、C]分别表示[0,3＋2i, -2＋4i]，试求：

（1）[AO]所表示的复数， [BC]所表示的复数；

（2）对角线[CA]所表示的复数；

（3）对角线[OB]所表示的复数及[OB]的长度．

解析 如图所示，

（1）∵[AO]＝－[OA]，

∴[AO]所表示的复数为－3－2i.

∵[BC]＝[AO]，

∴[BC]所表示的复数为－3－2i.

（2）∵[CA]＝[OA]－[OC]，

∴[CA]所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

（3）对角线[OB]＝[OA]＋[AB]＝[OA]＋[OC]＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，

[|OB|=12+62=37].

点拨 （1）画出图形，作出相应的向量借用向量加减法求复数；（2）要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点，或者利用相等向量．

3. 复数代数形式的乘除法运算

例3 计算：[(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i.]

解析 [(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i=5-3i+2+4i3+4i]

[=7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)]

[=21-28i+3i+425][=25-25i25=1-i.]

点拨 复数乘法与多项式乘多项式类似,注意[i2=-1]. 注意复数集内的一些不成立的结论，如：（1）[z∈R]时，[z2=z2].当[z∈C]时,[z2∈R],而[z2∈C, ∴z2≠z2]; (2)当[z1、z2∈R]时,[z12+z22=][0⇔z1=0]且[z2=0];当[z1、z2∈C]时，[z12+z22=0]不能推出[z1=0]且[z2=0],但[z1=0]且[z2=0]能推出[z12+z22=0]！

例4 设[z]是复数[z]的共轭复数，若[z+z=4,][zz=8,]求[zz]的值.

解析 设[z=2+bi(b∈R),]

[∵z+z=4]，又[zz=z2=8]，

[∴4+b2=8,∴b2=4]，[∴b=±2.]

[∴z=2±2i,z=2∓2i,∴zz=±i.]

点拨 （1）理解运用共轭复数的性质：a.在复平面内，共轭复数所对应的点关于实轴对称；b.若[z1]、[z2]是共轭复数，则[z1z2]是一个实数且有[z1⋅z2=z12=z22]；c.实数的共轭复数是它本身，即[z=z⇔z∈R].利用这个性质，可证明一个复数是实数.（2）要注意复数问题实数化和方程思想的应用.

4. 虚数单位[i]的性质

例5 求[1+2i+3i2+…+2012i2011]的值.

解 设[s=1+2i+3i2+…+2012i2011].

则[si=i+2i2+3i3+⋯+2012i2012].

错位相减整理得，

[s=-20121-i=-2012(1+i)2=-1006-1006i.]

点拨 对[in(n∈N*)]来说有如下性质：[i4n=1],[i4n+1=1],[i4n+2=-1],[i4n+3=-1],在此基础上有[i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0].

5. 几个特殊结论

例6 [i]是虚数单位，[(1+i1-i)4]等于（ ）

A. [i] B. –[i] C. 1 D. -1

解析 [(1+i1-i)4=(1+i)224=i4=1]，故选C.

点拨 （1）此题先化简内部，再利用特殊结论，可以快捷解题. (2)建议记住几个特殊结论：[(1±i)2=±2i]，[1+i1-i=i]，[1-i1+i=-i]；若[ω=-12+32i]，则[ω=-12-32i]，[ω3n+2=ω,ω3n=1,ω3n+1=ω,1+ω+ω2=0(n∈N*)]（[ω=-12+32i]是[x2+x+1=0]的一个根）.

1. [i]为虚数单位，[1i+1i3+1i5+1i7=]（ ）

A．0 B．[-i]

C．[1+i] D．[1-i]

2. [i]为虚数单位，若复数[z=1+i]，则[(1+z)z=]（ ）

A．[1+3i] B．[3+3i]

C．[3-i] D．3

3. 若复数[z=1-2i]（[i]为虚数单位），则[z⋅z+z=] .

4. 已知复数[z1]满足[(z1-2)(1+i)=1-i]（[i]为虚数单位），复数[z2]的虚部为２，且[z1⋅z2]是实数，求[z2].

5．已知[z=-12+32i]，求[z⋅z3+3z2+3z+9]的值.

1. A

2. A

3. [6-2i]

4. [4+2i]

5. [112+32i]

meal的复数形式 篇4

1.He likes the traditional meat and two veg for his main meal.

他主餐喜欢传统的一荤两素。

2.My father allowed me only a sip or two of wine with each meal

我父亲每餐只许我喝一两口酒。

3.What time would you like your evening meal?

你打算几点钟吃晚饭?

4.She was kind enough to stand us a meal.

她真好，请我们吃了饭。

5.What you need is a good meal.

名词的复数形式变化规则 篇5

一 规则变化（7 条）

1．一般情况下，直接在名词后 + s

例：book → books

bag → bags

tree → trees

2．-s,-ss ,-sh ,-ch ,-x ,-z 结尾 → + es

例：bus → buses

class → classes

brush → brushes

box → boxes

buzz → buzzes

watch → watches

3． 辅音字母 + y 结尾 → 改y为 i + es

例：factory → factories

baby → babies

lady → ladies

4．元音字母 + y 结尾 → + s 例：boy → boys

key → keys

monkey → monkeys 5．-f,-fe 结尾

① 一般情况下：-f,-fe 去掉 → v + es

例：leaf → leaves

wife → wives

knife → knives ②-f,-fe → 直接 + s

chief

→ chiefs

gulf → gulfs

safe →safes

6．-o → 三种情况

⑪ 一般情况 → + s

例：photo → photos

piano → pianos

⑫ → + es potato土豆→ patatoes

tomato西红柿

→

tomatoes

7．-oo → +s

例：zoo→zoos

kangaroo → kangaroos

二 不规则变化(10 个)

① man → men

② woman → women ③ foot → feet

④ tooth → teeth

⑤ goose → geese ⑥ mouse → mice

⑦ louse → lice

⑧ child → children

⑨ ox →oxen

⑩ German→Germans

三 单复数同形

sheep 绵羊→sheep

fish鱼→fish（fishes → 强调种类）

deer 鹿→deer Chinese 中国人→ Chinese