复数的概念

复数的概念（精选5篇）

复数的概念 篇1

新课程中复数教学突出复数的代数表示, 同时也强调复数的几何意义。本文就此浅谈第一节“复数的引入及数系的扩充”的教学应关注哪些问题。

一 复数教学的定位与教育价值

复数是高中生必备也是高考必考的的基础知识, 文理科内容相同, 要求一致。复数不像实数, 具有实在感, 复数是纯理论的创造, 无法直接感知。数的产生是生产实践的需要, 是用来记数或丈量的, 但复数是为了解方程而产生的。

数系的扩充对学生来说并不陌生, 学生已学习了负数、分数、无理数, 复数的引入, 实现了中学阶段数系的最后一次扩充。当然, 数系扩充必须满足的原则是:“ (1) 从数系A扩充到数系B必须是A真包含于B, 即A是B的真子集; (2) 数系A中定义了的基本运算能扩展为数系B的运算, 且这些运算对于B中A的元来说与原来A的元间的关系和运算相一致; (3) A中不是永远可行的某种运算, 在B中永远可行; (4) B是满足上述条件的唯一的最小的扩充。”

数学概念是数学这座大厦的基石, 是数学体系的起点。因此, 掌握复数的基本概念是学好复数的关键。复数的学习能强化学生分类讨论、类比以及数形结合的思想, 能激发学生勇于探索、创新的精神, 让学生感受数学发展过程的美。

二 处理教材应关注的几个问题

第一, 为什么引入复数;第二, 怎么引入;第三, 什么是复数;第四, 复数怎么分类;第五, 如何判断两个复数相等;第六, 复数的几何意义。建议对本节课的教时设定为一个课时, 因内容较多, 抽象不易理解, 加之在关键地方规定较多, 未讲清为什么要规定, 为什么这样规定。因此处理以上六个问题, 是帮助学生正确理解与掌握复数概念的关键, 也是上好本节课的重要线索。

三 教学的关键

复数比之前学过的数更抽象, 尤其是虚数单位“i”的引入, 引发学生认知上的冲突、心理上的排斥。因此本节课的关键是帮助学生理解虚数单位“i”, 并理解复数的代数形式。

四 对教学过程安排的建议

首先, 从学生已有的学习经验和知识背景出发, 提问所学过的数的分类, 以及常用数集的表示及其之间的关系。

紧接着, 解五个方程:x+1=2;x+2=1;5x=3;x2=2;x2=a。

从前四个方程的求解中, 学生间接回顾数系的扩充, 了解数系扩充的历史。第五个方程, 高二学生须具备一定的分类讨论思想, 当a≥0时能解, a<0时就解不了。学生感知已有的数集不够用, 数系自然就要扩充了。

问题1:能不能创造一类数使它的平方是负数呢?

大量实例表明任何一个负数都可以表示成-1与一个正数的乘积。因此, 要解决谁的平方是负数这一问题, 只需要解决谁的平方等于-1即可。这就说明引入虚数单位“i”的必要性及合理性了。

问题2:引入“i”能将原有的数系扩充吗?

从以往数系扩充的经验出发, 引导学生将虚数单位“i”与实数进行四则运算, 通过实数与“i”的基本的乘法与加法运算自然就产生了复数。于是, 学生对数的认识从实数域扩充到一个更大的领域——复数域。

解决完以上问题, 趁热打铁, 抽象概括复数的概念, 构建复数的表示形式:Z=a+bi (a, b∈R) 。

事实证明, 学生对复数概念模糊, 相当程度上是因为对复数代数形式的理解不到位。因此要强化实部与虚部的概念。学生常易在虚部的概念上出错, 要特别举例说明。

既然实部、虚部共同决定复数, 学生很自然地就可以想到根据实部、虚部的取值的不同, 对复数分类。通过对复数分类, 加深对复数代数形式的认识, 与此同时还能使学生体会复数和实数的区别与联系。

一个复数a+bi (a, b∈R) 有实部有虚部, 就可确定一组有序实数对 (a, b) , 同时, 一组有序实数对确定一个复数, 因此它们是一一对应的。帮助学生理解好了这个对应关系, 对于两复数相等的问题以及复数的几何意义问题, 学生就能轻松理解。因此复数的代数形式是关键, 后面三个问题都是复数代数形式的深化。

例题1:说出下列三个复数的实部、虚部, 并指出它们是实数还是虚数, 如果是虚数, 请指出是否为纯虚数: (1) 3+4i; (3) -7。以此例理解巩固复数的基本概念及分类。

例题2:设x, y∈R, 且 (x+2) -2xi=-3y+ (y-1) i, 求x, y的值。以此例理解巩固当且仅当实部与虚部都相等时, 两个复数相等。同时指出, 虚数一般不比较大小。

复数与点的一一对应关系, 引导学生联想向量的知识, 同时类比实数与数轴上点的一一对应关系, 帮助学生理解复数与平面内点的一一对应关系, 引出复数的几何意义以及复数模的概念。通过例题3, 在复平面内表示下列复数, 并分别求出它们的模: (1) -2+3i; (3) 3-4i; (4) -1-3i。对学生进一步渗透数形结合思想。

随后, 根据学生在处理课本上的练习产生的问题, 及时纠正并加强概念的理解。

最后, 师生共同小结, 一是以符号或图形的形式表示扩充后的数集, 二是总结复数的代数形式及相关概念。

整节课在学生解决一个又一个问题的过程中层层递进, 步步深化。顺着六个问题组成的线索, 复数的概念清晰可见, 从而为学生学习复数的表示、复数的运算及后继知识奠定了坚实的基础。

复数的概念 篇2

一 学习目标分析

学习目标是教学中最先要考虑的因素，明晰学习目标，做到有的放矢，是课堂教学的第一要素。我从以下几个方面考虑来制定本节课的学习目标：（1）明确《课程标准》要求；（2）分析教材；（3）分析学情。

1、本节课的《课程标准》要求：

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

2、分析教材

复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．但是，复数它完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性．实际的需要使实数具有某种实在感．可是，复数的情形却不一样，是纯理论的创造．

新课程中复数内容突出复数的代数表示，同时也强调了复数的几何意义．它的内容是分层设计的：先将复数看成是有序实数对，再把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义．同时，复数作为一种新的数学语言，也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想．

本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性．另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础．因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容．

3、分析学情

在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。 基于以上分析，本节课的学习目标如下：

（1）通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部。

（2）通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题。

（3）通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目。

二 评价方案分析（借助教学媒体）

1、 通过课堂检测1检测目标1的达成。

2、 通过例1、课堂检测2检测目标2的达成。

3、 通过例2、课堂检测3检测目标3的达成。

设计意图：通过过程性评价和结果性评价来激发学生的学习兴趣，提过课堂效率。同时能及时反馈学生信息，了解学生的学习效果。

三 重点、难点分析：

本节课是人教版《选修1-2》第三章第一课时，复数的概念为学生学习复数的表示、复数的运算及后继知识奠定了坚实的基础，因此，复数的概念是本节课学习的重点。

2象x=-1这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论，负数不能开平方是学生固有的思维模式，而虚数单位i的引入会引起学生认知上的冲突、心理上的排斥。故虚数单位i的引入是学生学习中的难点。

四 教法与学法分析（课堂结构）

结合以上分析，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中。

五 教学设计流程

从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动．在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质．基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成四个环节来进行，下面我向各位专家作详细说明： 1 创设情境

从学生已有的知识入手，提出问题串：

问题1 从小到大，我们认识了各种各样的数。进入高中，我们学习了集合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？

问题2你能用包含关系将这些数集“串”起来吗？（N?Z?Q?R）

问题3 “?”能换成“ ? ”吗？为什么？ ?

设计意图：一方面从学生已有的认知入手，便于学生快速进入学习状态，激发他们的学习热情，培养学生的归纳、概括与表达能力；另一方面为引入虚数单位“i”埋下伏笔，引入课题。 2 建构理论

问题4 我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思考一下，这些运算在各个数集中总能实施吗？

追问：这些问题是怎么解决的呢？

设计意图：让学生思考数集扩充的原因，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，这是本节课的生长点．

问题5 那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实施了吗？

由此，追问：

问题6 需要添加什么样的数呢？

设计意图：教师引领学生采用类比的思想，将问题转化为找一个数的平方为－1，从而让“引入新数”水到渠成．

此时，教师适时介绍与虚数单位i有关历史，，从而激发学生学习的兴趣，强化对i的认识，并让学生感受到科学上每一步的迈出是多么的艰辛！

引入i后，给出问题串：

问题7 添加的新数仅仅是i吗？

问题8 你还能写出其他含有i的数吗？

问题9 你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？

设计意图：学生通过问题7、8的铺垫，引导学生由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形

式，帮助学生主动建构复数的代数形式．

由此，追问： a?bi(a,b?R)一定是虚数吗？

问题10 实数集与扩充后的复数集是什么关系呢？

设计意图：学生通过讨论自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解，攻克本节课的重点．

问题11 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集它们之间是什么关系呢？你能用图表的形式画出来吗？

设计意图：让学生直观地感受复数的分类，进一步深化复数的概念。

3 检测反馈

为了检测学生对复数有关概念的理解，对应三个目标我分别设置了下列三组练习： 例1、指出下列复数的实部和虚部

（1）4 （2）2-3i（3）-6i（4）0（5）1i（6）2 ?2

例2、实数m取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i 是:

(1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？

设计意图：例题1主要是前后照应，采用概念同化的方式完善认知结构；例题2主要是巩固复数的分类标准．让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效．

并追问：对于复数z1?a?bi，z2?c?di(a,b,c,d?R)，你认为在什么情况下相等呢？ 从而为在直角坐标系中用点表示复数提供了可能．并设置了：

例3已知复数z1= (x + y) + (x－2y)i ,复数z2= (2x－5) + (3x+y)i , 若z1 = z2 ,求实数x,y的值.

设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解．

4 回顾反思 （学生的疑问和收获）

抛出问题：实数能用数轴上的点来表示，所有的复数也能用数轴上的点来表示吗？

设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力。提出问题激发学生对复数的后续学习的欲望。 六、反思：

本节课教学，采用问题驱动教学模式，从概念产生的背景到概念的建立、辨析再到概念的应用，层层深入，最后完成评价检测目标的达成。这样教学，符合 “感知—辨认—概括—定义—应用”的概念学习模式。此外，复数的概念，并不是通过教师的讲授来实现的，而是让学生在问题解决中感悟、体验。

当然，在本设计中，有些问题还有值得思考的必要。比如，由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有知识冲突，学生能否顺利接受从而理解复数的概念？学生能否将复数分类并能准确表示？评价方案是否切合学生实际？如果这些学习目标无法顺利实现，在教学过程中还要做哪些知识铺垫？这都是值得研究的。

复数的概念 篇3

1 让学生从“虚数”中学会发现问题

虚数是数系中的一颗“新星”,是数学中矛盾形成的产物,是人类纯数学创立的结果.让学生经历由“负数不可能开平方”到“虚构之数”的创造过程,了解复数概念的萌芽,形成问题意识.

1.1 与数学家一样,面临“负数开平方”的问题

任务1解方程:

(1) x2+3(x—2)=3x—7;

(2)x2+4=3x.

学生解:由(1)得x2=—1,于是没有实数解.对于方程(2),变形得到x2—3x+4=0.学生发现,△=—7<0,同样没有实数解.

教师点评:法国人舒开在解方程x2+4=3x时得到.他发现,被平方数是负数.于是,认为这方程不可能有解……公元3世纪著名数学家丢番图遇到“一个数的平方等于负数”,他认为负数不可能有平方根.公元9世纪印度数学家摩诃毗罗,12世纪数学家婆什伽逻都遇到“负数开平方”荒诞之事,他们都认为“负数没有平方根”.于是,问题静悄悄地放过了.

1.2 学习数学前辈,虚构“负数的平方根”

任务2解方程x2—10x+40=0.

学生解得.

卡丹也得到,他认为,这两个数和是10,其乘积是40.历史上,他第一个写下负数平方根.但是,他又觉得,5±不是数,计算出这样的“诡辩量”会受到良心责备的,“算术就是这样的精巧奇妙,它最根本的特点,正如我说过的,是既精妙又无用”.

2 像数学家一样深入思考,学会理性思维

2.1 遇到“负数开平方”,也可能有实根

任务3利用方程x2=px+q卡当求根公式解方程:

(1)x3=15x+4;

(2)x3=7x+6.

对于方程(1),学生得到

认为没有实数解.让学生也进入意大利数学家卡丹当时的情境.

教师:卡丹与同学一样,当时,也得到这个令他沮丧的结果.他说,方程x3=15x+4没有(实数)解.是不是没有解?还是没有实数解?4是不是方程的解?请仔细思考.求x3=15x+4的全部解.

学生解方程得,x1—4,,x2,学生陷入冲突的情境中.

教师:这是为什么?关键是,给我们提供了诱导错误的信息.历史上,数学家邦别利,卡当的追随者,面对这个结果,不盲从,仔细研究,结果发现

没有实数解,这是直觉错误.该方程对数学家卡丹开了一个让人们刻骨铭心的“玩笑”.我们的经历、复数的历史告诉我们,当方程求根中出现“负数开平方”时,也可能存在实根.

对于方程X3=7x+6,学生也得到了数学家邦别利曾得到的结果

至此,尽管,但学生不敢肯定,方程没有实数解.解是什么?

教师:讨论x3=7x+6的系数,方程有根x=—1,方程另外二根是:3,—2.

2.2 学会数学家的思考策略,感悟“虚数”根的合理

任务4解方程x4=4x—3.

方程变为x4—4x+3=0,观察,方程有根x=1,于是

因此方程有根

教师:x4=4x—3是4次方程,包括“虚构的”根共有4个.对“虚数”的根,数学家吉拉尔认为,“为了保证根的个数应该接受虚数,至少可以把它作为方程的形式解”,“复数的存在,保证了根的个数的合理性”.正是由于虚数,使方程出现了不可能不出现的根,才使“不可能解的问题显得象是可以解的样子”.数学家通过虚数对方程的根作出了合理的解释.

3 学会数学家的思维方式,创立复数概念

教师:对于被早期数学家称为“虚幻的量”得不到承认.笛卡尔、吉拉尔等数学家都认为,这些根不是实的,而是虚的.上面这些“虚幻的量”都具有形式.高斯把称为复数(complex number).受笛卡尔不幸地称“虚构的”数(imaginary number)影响,欧拉用i表示.

这样,我们用i作为虚数单位,构建虚数和复数:

定义1 i2=—1,即称为虚数单位.

定义2把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数a+bi叫做复数,其中i为虚数单位.全体复数所成的集合C叫做复数集.

定义3复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

定义4复数.

当a=0时,z为纯虚数bi(b≠0).

实数集与虚数集的并集就形成的复数集.即当b≠0时,a+bi是虚数,当a=0,b≠0时,a+bi即bi为纯虚数,当b=0时,a+bi即a是实数.

即实数和虚数合称为复数,即.由此,数系从实数集R扩充到了复数集C.于是,复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可用图1表示.

定义5在复数集C—{a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d;且b—0.

定义6在复数集中,当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是:

4 重温数学家的巧妙诠释,理解复数的丰富内涵

教师:复数概念还是在较长时间得不到数学家的承认.嘘声不断,笛卡尔称之为“虚幻之数”、“诡辩量”、对数的发明者耐普尔称为“实数的鬼魂”,莱布尼兹称之为“两栖物”.

欧拉也说这种“数”存在于“虚幻之中”,并说:“一切形如的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不是比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻”,“因为所有可以想象的数要么大于零,要么小于零,所以负数的平方根显然不能包含这些数之中,因此我们说,它们是不可能是数.”

思考复数的意义成为数学家的重要工作.经过数学家沃利斯、韦塞尔、吉拉尔、高斯、欧拉等几代人不懈努力,巧妙地构建复平面,运用坐标法,很好地诠释复数的意义.复数概念终于得到大家的承认.

1)韦塞尔用一坐标系表示复数的几何意义:以1为单位的一条实轴x,还有一条以为单位的虚轴y,相互垂直.这样,一个复数a+bi可用一条有向线段OA表示,如图2.与韦塞尔的几何解释类似,数学家吉拉尔,只是把实轴按逆时针方向旋转90°得到虚轴.他们认为,复数a+bi的四则运算可以用有向线段的运算法则进行,复数a+bi及其四则运算就可以用几何方法表示.

2)复平面的创立者高斯,是复数a+bi几何表示的重要贡献者.他认为,复数a+bi可用数对(a,b)表示,如图3.这样,复数a+bi就可以用平面上的点表示,表示复数的这个平面被高斯称为复平面,横轴是实数轴,竖轴称为虚轴,表示纯虚数.几何表示使复数有了深刻的内涵.

3)欧拉对复数做出很大贡献.欧拉找到了复数a+bi的三角表示,a+bi=r(cosθ+isinθ),其中,称为复数a+bi的模,θ为复数a+bi的幅角.特别是,欧拉还给出5个基本的数0,1,i,e,π的诗一样的欧拉公式.通过众多数学家的努力,复数的几何解释让人们看到了复数的重要意义和科学价值.这样,复数在数学中有了立足之地,并在数学中发挥越来越大的作用.

参考文献

[1]袁小明.数学史话[M].济南:山东教育出版社,1985,118.

[2]保罗·J·纳欣.虚数的故事[M].上海:上海教育出版社,2008,3-18.

复数的基本概念及其运算教案1 篇4

一、目标要求：

(1)复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数的代数表示与向量表示。(2)掌握复数的表示方法。

（3掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算（复数代数形式的加法与减法，乘法与除法）

二、思想方法

(1)化归思想—将复数问题实数化。

(2)方程思想—利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。

三、教学进程

1。引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根吗？

2．复数的有关概念和性质：

(1)i称为虚数单位，规定i1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b∈R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)

(3)复数的相等设复数z1a1b1i,z2a2b2i(a1,b1,a2,b2R)，那么z1z2的充要条件是：a1b1且a2b2．

(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．

复数z=a+bia,bR．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)

向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．

(6)复数与实数不同处: ①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．

②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．

3．复数的代数运算

（1）i4n=1，i4n1=i，i4n2=1，i4n3=i；

（2）in· in1· in2·in3=1，in＋in1＋in2＋in3=0；

；

5z1abi，z2cdia，b，c，dR，z1z2acbdi； z1z2acbdbcadi；特别，若zabia，bR，则

zzza2b2；z1abiabicdiacbdbcad22iz2022z2cdicdicdicdcd

四、典型例题分析 2

①实数？②虚数？③纯虚数？ ④在复平面上对应的点第三象限?

①复数z是实数的充要条件是：

∴当m＝2时复数z为实数． ②复数z是虚数的充要条件：

∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数 ③复数z是纯虚数的充要条件是：

∴ 当m＝1时复数z为纯虚数．

【说明】 要注意复数z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．

要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．

例2(1).若xR，x3iR，则x__________ 27i

(2).复数a+bi与c+di（a，b，c，dR）的积是纯虚数的充要条件是（）A． acbd0 Ｂ．adbc0

Ｃ．acbd0且adbc0

Ｄ．acbd0且adbc0

（3）已知zm333i，其中mC，且 求m的对应点的轨迹.21i（31i），若z2azb1i,求实数a，b的值.例3.设复数zm3为纯虚数 m32i

例4:计算: 23i123i2i1521i 299922(2)1+i+3i+…+1000i

【说明】 计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，(2)法 1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i 法2：设 S＝1+2i+3i+…+1000i∴(1i)S＝1+i+i+…+i29992999，则iS＝i+2i+3i+…+999i23999+1000i1000，1000i1000

【说明】 充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法． 例5（2004上海市普通高校春季高考数学试卷18）已知实数p满足不等式明.x10【解】由2，解得2x1，2p1.方程z22z5p20的判别式4(p24).2x222x10，试判断方程z22z5p20有无实根，并给出证x2p24，0，由此得方程z22z5p20无实根.2p1，142

课后训练

1、下列说法正确的是()A．0i是纯虚数 B．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点 C．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数 D．i是虚数

2、下列命题中，假命题是()A．两个复数不可以比较大小 B．两个实数可以比较大小

C．两个虚数不可以比较大小 D．一虚数和一实数不可以比较大小

3、复数1+i+i+…+i等于()A．i B．I C．2i D．2i

复数的概念 篇5

关键词：数系的扩充,复数的概念,人教A版,人教B版

2003年由国家教育部制定的《普通高中数学课程标准》关于“数系的扩充与复数的概念”的要求: 在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾( 数的运算规则、方程理论) 在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系,理解复数的代数表示法、基本概念即以复数相等的充要条件.

在学习这节课之前,学生已经学习了自然数、整数、有理数、实数的概念及运算,这些内容的学习为本节课的学习提供了基础. 复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充. 而本节课又为后边复数代数形式的四则运算学习提供了基础,同时,复数作为一种新的数学语言,也为今后用代数方法解决几何问题提供了新的工具和方法,体现了数形结合思想.

一、对于“数系的扩充与复数的概念”人教 A 版与 B版的设计比较

关于此内容,人教A版与人教B版在教学设计上存在如下几点异同.

1. 课时安排

人教A版把“数系的扩充与复数的概念”整个设计成一小节内容,即标题为: “3.1.1数系的扩充与复数的概念”,也就是说教师在一节课内上完. 而人教B版则把这部分内容设计成了两节课: “3. 1. 1实数系”和“3. 1. 2复数的概念”. 这样教师可以分成两节课来上这部分内容.

在实际教学中,大多数老师认为人教B版的设计更为合理一些. 因为“数系的扩充与复数的概念”包含两部分内容,无论是“数系的扩充”还是“复数的概念”都是非常重要的知识. 若安排在一节课内上完,有的老师在介绍数系的扩充的时候就会三言两语带过,重点讲解复数的概念. 这样学生对复数的引入就会觉得困惑,不清楚为什么要把实数系扩充到复数系,不符合学生的认知结构特点,显得较为突兀. 若详细地向学生介绍数系的扩充,则就无时间重点讲解复数的概念. 所以尽管大部分地区使用的都是人教A版教材,很多老师在实际教学中还是会把这节课一分为二,无论从时间或学生的角度来说按两次课来上更为合理.

2. 内容设计

( 1) 引入部分

针对数系的扩充,两个版本的教材都未一条一条地将数系的扩充所遵循的原则介绍给学生,而是通过回顾自然数系扩充到实数系的过程,总结出每次扩充都是实际需要.

A版选取了x2+ 1 = 0这一在实数范围内无解的方程引发学生认知冲突,激发学生们把实数系进一步扩充的欲望和意义,类比自然数扩充到实数系的过程,引入虚数单位i,将实数系扩充,进入复数的学习中.

B版在“3. 1. 2复数的概念”中先回顾一元二次方程根的判别式与实数解的问题,然后引发学生认知冲突: “一元三次方程x3- x = 0和x3- 1 = 0在实数范围内,方程解的个数与方程次数的关系并不确定. ”自然的想法是: “把实数系扩大,可否使二次方程都有两个解,三次方程都有三个解……”为了解决这个问题,引入一个新数i ( 虚数单位i2=1) .

这两个版本的引入部分从本质上来讲都是由解方程来引出复数的概念,具体说人教A版讨论x2+ 1 = 0解的问题更直接更明了,自然地得出进一步扩充实数域的需要. 人教B版也涉及这一点,但后来是由讨论n次方程n个解的问题作为引出,比人教A版的做法略显复杂一下,相对学生来说不是那么容易一下明白. 可能有学生会问: “为什么n次方程一定要有n个解呢?”

( 2) 概念部分

首先,A版和B版在这部分内容的设计上大体相同,教材通过介绍希望引进的虚数和实数之间仍能像实数系那样进行加减运算的设想,进而得出复数的代数表示形式: z =a + bi ( a,b∈R) ,其中a为复数z的实部,b为复数z的虚部,顺着规定了两个复数相等的充要条件让学生从直观感觉上对复数有初步认识. 但两版教材都未对复数为什么不能像实数那样比较大小这一点做精述,但都在此为后面学习复数与向量的关系埋下了伏笔.

其次,通过讨论复数的代数形式自然地得出实数集R与复数集C之间的关系. 之后为了及时巩固学生对知识的掌握情况,教材随即给出例题及习题部分针对复数的相关概念,复数相等的充要条件及复数的分类提出了较基础的题,也符合了《新课标》中“不偏不怪”的思想.

二、对于“数系的扩充与复数的概念”的教学建议

1. 概念引入

数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索. 数系扩充过程体现了数学发现和创造,也体现数学发生、发展的客观需求. 建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程( B版在这一点做的比较好) ,使数系的扩充与复数的引入更为自然,让学生充分领略数系扩充过程中所蕴含的数学和科学发展思想. 回顾自然数系到实数系扩充的过程,学生可能对数系扩充的知识不是很了解,还需从数学史、数学文化等多方面加以引导.

16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”. 他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40,他把答案写成 =40,尽管他认为这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无缥缈的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.

给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔,他在《几何学》中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来.

2. 概念讲解

针对复数的代数形式z =a +bi,由于之前学习代数方面的知识可能将bi当作虚部系数,在引导过程中需要潜移默化地强调这方面细节,对于两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小,若两个复数都是实数可以比较大小,否则不能比较大小,由于中学生大部分较难理解相关原则,教学中对这一点不需要大范围展开.

3. 概念分类

复数的概念是这一章的基础,复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开. 虚数单位、实部、虚部的命名,复数相等的概念,以及虚数、纯虚数等概念的理解,教学中可结合具体例子,以促进对复数的理解.