数学归纳法模拟试题

2024-09-05

数学归纳法模拟试题（共8篇）

数学归纳法模拟试题篇1

高三数学模拟试题精选

一、单选题(每小题5分，共50分)

1、已知集合，，则下列选项正确的是( )

A、

B、

C、

D、

2、已知的图像在上连续，则是在内有零点的( )条件。

A、充分不必要

B、必要不充分

C、充要

D、既不充分也不必要

3、下列函数中周期为且在上为减函数的是( )

A、

B、

C、

D、

4、设为定义R上在的奇函数，当时， ( 为常数)，则 ( )

A、

B、

C、1

D、3

5、若非零向量，满足，且，则向量，的夹角为( )

A、

B、

C、

D、

6、等差数列中，已知，则 ( )

A、

B、24

C、22

D、20

7、已知，是两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是( )

A、若 ∥ ，，则 ∥ ;

B、若 ∥ ，，，则 ∥ ;

C、若，，则 ∥ ;

D、若 ∥ ，，，则 ∥ 。

8、直线的倾斜角的取值范围是( )

A、

B、

C、

D、

9、已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为( )

A、

B、

C、

D、

10、若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数的图像上;②P和Q关于原点对称，则称点对是函数的一对友好点对( 与看作同一对友好点对)。已知函数，则此函数的友好点对有( )

A、0对

B、1对

C、2对

D、3对

二、填空题(每小题5分，共25分)

11、已知i是虚数单位，为实数，且复数在复平面内对应的点在虚轴上，则 =_______。

12、空间直角坐标系中，已知点，P点关于平面的对称点为，则 =_________

13、设满足，则的最小值为_________

14、已知数列满足，，则的最小值是_________。

15、下列命题中正确命题的序号是：___________

①两条直线，和两条异面直线，相交，则直线，一定异面;

② ，使 ;

③都有 ;

④ ，使是幂函数，且在上递减;

⑤函数都不是偶函数。

三、解答题(共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16、已知函数，

(1)若的解集是，求，的值;

(2)若 = ，解关于的不等式。

17、如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，为中点，

(1)求证：

(2)在线段上是否存在一点，使得 ∥平面，若存在，指出的位置;若不存在，说明理由。

18、如图，一艘轮船在A处正沿直线返回港口B，接到气象台的台风预报，台风中心O位于轮船正西40km处，受影响的范围是半径为20km的圆形区域。已知港口B位于台风中心正北30km处。

(1)建立适当的坐标系，写出直线AB的方程;

(2)如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的`影响?(不考虑台风中心的移动)

19、A，B，C是△ABC的内角，，，分别是其对边，已知，，且 ∥ ，B为锐角，

(1)求B的大小;

(2)如果，求△ABC的面积的最大值。

20、已知函数，数列的前n项和为，点，( )都在函数的图像上，

(1)求的通项公式;

(2)令，求的前n项和 ;

(3)令，证明：，。

21、已知，函数，，，(其中e是自然对数的底数，为常数)，

(1)当时，求的单调区间与极值;

(2)在(1)的条件下，求证： ;

(3)是否存在实数，使得的最小值为3。若存在，求出的值，若不存在，说明理由。

数学归纳法模拟试题篇2

1.下列运算的结果中, 不是正数的是 ( ) 。

A.- (-3) ;undefined;

C. (-1) 2007;undefined

2.“水立方”是北京2008奥运会场馆之一, 它的外层膜展开面积约为260000平方米, 将这一数字用科学记数法表示为 ( ) 。

A.0.26×106; B.26×104;

C.2.6×106; D.2.6 ×105.

3.为了了解某小区居民的用水情况, 随机抽查了10户家庭的月用水量, 结果如下表:

关于这10户家庭用水量, 下列说法错误的是 ( ) 。

A.中位数是5吨; B.众数是5吨;

C.极差是3吨; D.平均数是5.3吨.

4.某校初三 (2) 班有男生26人, 女生22人。班主任分发准考证时任意抽取一张是女生的准考证的概率是 ( ) 。

undefined;undefined;undefined;undefined

5.把图1所示的纸片折成一个三棱柱, 放在桌面上如图2所示, 则从左侧看到的面是 ( ) 。

A.Q; B.R; C.S; D.T.

6.对任意的实数x, 点undefined一定不在第 ( ) 象限。

A.一; B.二; C.三; D.四.

7.等腰三角形两个内角的度数之比为1∶4, 则它顶角为 ( ) 度。

A.20; B.120; C.20或120; D.36.

8.如图3, 将直角三角形纸片的斜边AB翻折, 使B点落在AC边的延长线上E处, 若AC=4, BC=3, 则CE长为 ( ) 。

A.1; B.1.5; C.2; D.3.

9.下列三角形纸片, 能沿直线剪一刀得到等腰梯形的是 ( ) 。

10.如图4, AB为⊙O的直径, 以A为圆心作⊙A交⊙O于C, 交AB于D,

P为⊙A优弧上一动点且不与C、D重合, 若∠ABC=20°, 则∠CPD等于 ( ) 。

A.35°; B.40°; C.70°; D.30°.

二、填空题

11.分解因式:4x3-x=______。

12.已知A (1, 1) 、B (4, 3) 、C (10, 8) 、D (7, 5) 、E (13, 9)

其中四个点在同一直线上, 则不在该直线上的点是______。

13.如图5, A、B是双曲线的一个分支上的两点, B点在A右侧, 则b的取值范围是______。

14.如图6, 以O为圆心的两个同心圆中,

大圆的弦AB切小圆于C点, 小圆的半径为2, 大圆半径为undefined, 则弦AB的长为______。

15.甲、乙两有汽车销售公司根据几近年的销售量分别制作如下统计图:

则从2002年—2006年, 这两家公司中销售量增长较快的是______公司。

三、解答题

16.某中学初二年级开设了排球、篮球、足球三项体育兴趣课, 要求每位学生必须参加, 且只能参加其中一项运动, 下图是二 (4) 班学生参加体育兴趣课统计结果:

(1) 参加排球的人数占全班的百分之几?

(2) 二 (4) 班共有多少学生?

(3) 补全频数分布直方图。

(4) 若初二年级共有500人, 请你估计全年级参加排球的人数。

17.如图7, 为了加固电杆AC, 分别在地上B、D两点拉了两根绳子, 请根据图中数据解答下面问题:

(1) 求电杆AC的高度; (2) BD之间的长度 (结果都精确到0.1m) 。

18.如图8, 点E、F、G、H分别是▱ABCD

中AB、BC、CD、AD的中点,

(1) 求证:△BEF≌△DGH; (2) 连接EH、FG, 若四边形ABCD是矩形, 则四边形EFGH是什么特殊四边形?并证明你的结论。

19.观察下列图形:

(1) 填写下表:

(2) 第2008个图形中有多少个不重叠的三角形?

(3) 图中能否有2008个不重叠的三角形;若能请问是第几个图形?若不能请说明理由。

20.为迎接“2008·中国贵州黄树瀑布节”, 园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个, 摆放在迎宾大道两侧, 搭配每个造型所需要花卉情况如表所示:

(1) 符合题意的搭配方案有哪几种?

(2) 若搭配一个A种造型的成本为1000元, 搭配一个B种造型的成本为1200元, 试说明选用 (1) 中哪种方案成本最低?

21.某公司经销一种绿茶, 每千克成本为50元, 经调查发现, 在近一段时间内, 销售量 y (千克) 随售价 x (元/千克) 的变化而变化, 且满足关系式y=-2x+240, 若设这段时间内的销售利润为w (元) , 解答下列问题:

(1) 写出w与x的关系式;

(2) 若成本不超过4000元, 公司又想利润达到2250元, 问售价应定为多少元?

参考答案

一、单选题

1.C; 2.D; 3.C; 4.B; 5.B; 6.C; 7.C; 8.A; 9.B; 10.A.

二、填空题

11.x (2x+1) (2x-1) ; 12.C (10, 8) , 13.0

14.4; 15.甲。

三、解答题

16. (1) 20%, (2) 40名, (3) 略, (4) 100人;

undefined

18. (1) 略, (2) 菱形, 证明略。

undefined

20. (1) 设A种造型 x个, 则 B种造型 (50-x) 个, 有:

undefined

解得:30≤x≤32.

∴x=30或31或32, 有三种方案。

(2) 设总成本为y元, 则y=1000x+1200 (50-x)

即 y=-200x+60000.

∵k=-200<0, ∴x=32时, 成本最低。

∴A需32个, B需18个。

21. (1) ∵y=-2x+240,

∴w= (x-50) y= (x-50) (-2x+240)

=-2x2+340x-12000;

(2) 由-2x2+340x-12000=2250

2010年高考数学模拟试题篇3

1已知集合M={-1，1}，N=x|12＜2x+1＜4，x∈Z，则M∩N=.

2命题x∈0，π2，tanx＞sinx的否定是.

3已知复数z1=m+2i，z2=3-4i若z1z2为实数，则实数m的值为. 

4已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA-3OB+2OC=0，则|AB||BC|＝. 

5已知函数f(x)=2x-1，x＞0

-x2-2x，x≤0，若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围.

6正三棱柱的侧面展开图是边长分别是2和4的矩形，则它的体积为. 

7已知函数f(x)=Asin(ωx+λ)(A＞0,ω＞0) 的图像与直线y=b(0＜b＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则函数f(x)的单调递增区间是.

8如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ=π6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是.

(第8题) （第9题）

9已知{an}是等差数列，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|(n∈N*)某学生设计了一个求Tn的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填入：Tn←  

10设a,b∈R+，且2a+b=1，则S=2ab-4a2-b2的最大值是. 

11在数列{an}中，a1=1，前n项和Sn和an满足an=2S2n2Sn-1（n≥2），则通项公式an=. 

12函数y=loga（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则1m+2n的最小值为. 

13已知实数x,y满足方程（x-a+1）2+（y-1）2=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f(x)，则抛物线y=-12x2的焦点F到点（a,b）的轨迹上点的距离最大值为.

14已知函数f(x)=x-1|x|，若不等式f(t2)+mf(t)≥f(-t2)+mf(-t)-2对一切非零实数t恒成立，则实数m的取值范围为.

二、解答题：本大题共6小题.共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明或演算步骤

15(本小题满分14分)

如图，在四棱锥中P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD ，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点

求证：（1） AE∥平面PBC；

（2） PD⊥平面ACE

16(本小题满分14分)

已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosx，sinx)，c=(sinx+2sinα，cosx+2cosα)，其中0＜α＜x＜π

（1）若α=π4，求函数f(x)=b•c的最小值及相应x的值；

（2）若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值.

17(本小题满分15分)

某公司生产精品陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为f(x)=1625x2,0≤x≤400

256,x＞400，每件产品的售价g(x)与产量x之间的关系式为

g(x)=-58x+750,0≤x≤400

500,x＞400．

（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润Q(x)与产量x之间的关系式；

（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．

18(本小题满分15分)

已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O∶x2+y2=1与x轴交于A、B两点

（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的14，求直线l1的方程；

（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；

（3）过M点作直线l2与圆相切于点N,设（2）中椭圆的两个焦点分别为F1,F2,求三角形△NF1F2面积

19(本小题满分16分)

已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p,q∈N*，有ap+q=ap+aq

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}满足：an=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+(-1)n-1bn2n+1(n∈N*)求数列{bn}的通项公式；

（3）设Cn=3n+λbn(n∈N*)，是否存在实数λ，当n∈N*时，Cn+1＞Cn恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由.

20(本小题满分16分)

对于定义在区间D上的函数f(x)和g(x)，如果对于任意x∈D，都有|f(x)-g(x)|≤1成立，那么称函数f(x)在区间D上可被函数g(x)替代

（1）若f(x)=x2-1x，g(x)=lnx，试判断在区间［1,e］上f(x)能否被g(x)替代？

（2）记f(x)=x，g(x)=lnx，证明f(x)在1m,m(m＞1)上不能被g(x)替代；

（3）设f(x)=alnx-ax，g(x)=-12x2+x，若f(x)在区间［1,e］上能被g(x)替代，求实数a的范围

21［选做题］在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将所选择的题目前面对应的方框涂黑，每小题10分，共计20分.

A. 选修41:几何证明选讲

如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC切半圆O于点C，DA切半圆O于点A，DA交PC于点D，已知CD=2，DP=4,求直径AB的长.

B. 选修42：矩阵与变换

若点A(2，2)在矩阵M=cosa-sina

sinacosa对应变换的作用下得到的点为B(-2，2)，求矩阵M的逆矩阵

C. 选修44：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点0与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1∶ρcosθ+π4=22与曲线C2∶x=4t2

y=4t(t∈R)交于A、B两点求证：OA⊥OB 

D. 选修45：不等式选讲

设函数f(x)=|x-1|+|x-2|..

(1) 解不等式f(x)＞3；

(2) 若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

［必做题］第22题、第23题，每题10分，共计20分．

22(本小题满分10分)

一个暗箱中有大小相同的3只白球和2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白球得2

分，取到黑球得3分甲从暗箱中有放回地依次取出3只球

（1）写出甲总得分ξ的分布列；

（2）求甲总得分ξ的期望E(ξ)

23(本小题满分10分)

已知数列{xn}中，x1=1，xn+1=1+xnp+xn（n∈N*，p是正常数）.

（1）当p=2时，用数学归纳法证明xn＜2(n∈N*)

数学模拟试题计算类型篇4

数学模拟试题计算类型

1、直接写得数。(5分)

3.02-0.2 = 40×2% = 1- 617 = 9981÷49 ≈

67 ÷3 = 7 : 11 = 198 + 256 = 2× 12 ÷2× 12 =

23 + 2 = 0.23×1000 =

2、脱式计算。(能简算的要用简便方法计算)(12分)

3.3×34 +0.75×5.7+75% ( 23 + 12 )×67 - 513

3- 58 ÷2528 - 310 715 - 711 + 815 - 411

3、解方程或比例。(6分)

1.5 x - 0.8×15 =18 4: 35 = 23 : x

4、列式计算。(4分)

(1)12 乘 23 的积减去211 ，差是多少?

小学六年级数学模拟试题篇5

一、填空题。

1、某工程投资986509000元，用“万”作单位是( )元，四舍五入到“亿”位约是( )元。

2、一个分数，分子既不是质数也不是合数，最小的合数作分母，这个的分数的倒数是( )。

3、3050毫升=( )升( )毫升 0.805公顷=( )平方米

4、两个比的比值等于3这个比例的两个外项分别为和，这个比例是( )。

5、王强把0元按年利3.8存入银行。两年后他应得本金和利息共计( )元。

6、鸡兔同笼，一共有49个头，100只脚，鸡有( )只，兔有( )只。

7、等地等高的圆柱和圆锥的体积之差是40立方米，圆柱的体积是( )立方米。

8、一个圆柱体的侧面积为平方厘米，半径是厘米，它的体积是( )。

9、以一个圆的半径为边长的正方形的面积是10平方厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。

10、长方体的底是面积为3平方米的正方形，侧面展开正好是一个正方形，长方体的侧面积是( )平方米。

11、教室的.面积是48平方米，如果长是8米，那么在1s200的平面图上，这间教室的图上的宽应该是( )厘米。

二、判断题。

1、甲数和乙数的比是4s5，那么乙数比甲数多25%。( )

2、小数点的后面添上0或去掉0，小数的大小不变。( )

3、长方形有4条对称轴，半圆有一条对称轴。( )

4、一个三角形3个内角的度数的比是1s2s3，其中较大锐角的度数是60°。( )

5、AsB = CsD,如果B扩大10倍，要使比例式成立，D也必须扩大10倍。( )

6、李师傅做了95个零件，全都合格，合格率是95%。( )

三、选择题。

1、面积相等的情况下，长方形、正方形和圆相比，( )的周长最短。

A、长方形

B、正方形

C、圆

2、在含盐30%的盐水中，加入6克盐14克水，这时盐水的含盐百分比( )30%。

A、大于

B、等于

C、小于

3、学校到书店，甲用12分钟，乙用10分钟，甲和乙的速度比是( )。

A、10s12

B、12s10

C、5s6

4、全班人数一定，出勤人数和出勤率( )。

A、成正比例

B、成反比例

C、不成比例

5、一批布料，如全做衣服可做20件，如全做裤子可做30条，若做同样的衣服和裤子可做( )套。

A、12

B、15

C、不能确定

四、计算题。

1、直接写出得数。

6.7 + 4.3 = 1÷25%×25 =

6÷1% = 48×12.5% =

2、计算下面各题，能简算的要简算。

[800×(1+ )-360]×2.5

7200÷25÷4

46.5×43.5+4.35×285-25×43.5

五、列式计算。

一个数的比3.5的1.6倍少2.6，这个数是多少?

六、解决问题。

1、王师傅生产一批零件，4天生产了128个，照这样月份节约用水20%，十二月份用水多少吨? 计算，要生产224个零件，需要多少天?

2、运一批货物，第一天运了总数的1/4，第二天运了余回家，自行车的轮胎直径是70厘米，如果自行车下的3/7，这时还剩1200件求这批货物的总件数。每分钟转80圈，小刚多长时间可以到家?

高考数学仿真模拟试题(一) 篇6

a.2 b.3 c.4 d.5

2.已知方程log在(0，1)上有解，那么实数a的取值范围是

a.a>1 b.a>1或a<0

3.a、b为互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β,那么下列各种情况中不可能出现的是

a.a∥β b.α⊥β

c.α∥β d.a⊥β

4.正数a、b、c、d满足a+d=b+c,|a-d|<|b-c|，则

a.ad=bc b.ad

c.ad>bc d.ad与bc大小不确定

5.函数y=cosx+1(-π≤x≤0)的反函数是

a.y=-arccos(x-1)(0≤x≤2)

b.y=π-arccos(x-1)(0≤x≤2)

c.y=arccos(x-1)(0≤x≤2)

d.y=π+arccos(x-1)(0≤x≤2)

6.一个迷宫中共有不同的出入大门五个，若这些门都相互连通，某人从一个门进去，从另一个门出去，不同的走法种数共有

a.25 b.20c.10d.9

7.函数f(x)=x|x|+px(p>0)定义在r上，则f(x)

a.既是奇函数又是增函数

b.既是奇函数又是减函数

c.既是偶函数又是增函数

d.既是偶函数又是减函数

8.球内接圆锥的底面半径是球半径的，则此圆锥的高是球半径的

a. b. c. d.以上都不对

9.已知椭圆的两条对称轴分别是x=5和y=3，有一个焦点在x轴上，则另一个焦点坐标是

a.(5，6) b.(-5，6)

c.(5，-3) d.(-5，3)

10.二次函数y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,n=1,2,3,4,…时，其图象在x轴上截得线段长度的总和是

a. b.

c.1d.以上都不对

11.若(ax+1)9与(x+2a)8展开式中，x3的系数相等，则数列1+a+a2+a3+a4+…的值为

a. b.

c. d.以上都不对

12.已知在△abc中，bc=ac=，ab>3,则c的取值范围是

a.[,π] b.(π, )

c.(,π) d.以上都不对

第ⅱ卷(非选择题共90分)

注意事项：

1.第ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

题号

二

三

总分

分数

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13.不等式logx(5-x)

14.等差数列{an}中，a1>0,s4=s9,则sn取最大值时，n=______.

15.双曲线(x-1)2-=1，其右焦点到渐近线距离是______.

16.对任意角α，给出以下结论：

①sinα·cosα=-;②tgα+ctgα=-;③若α,β是第二象限角，且sinα>sinβ,则cosα>cosβ;④若α,β∈(,π)，且tgα

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

设z=1-2i,求适合不等式log0.5≤的实数a的取值范围.

18.(本小题满分12分)

一架直升飞机用匀加速度从地面垂直向上飞行到高度是h米的天空，已知飞机在上升过程中每秒钟的耗油量y和飞机上升的匀加速度a(m/s2)之间近似为一次函数关系y=aα+β

(α,β为已知正常数量)，应选择多大的匀加速度才能使这架飞机从地面上升到h米高空时的耗油量最低，并求出最低的耗油量.

19.(本小题满分12分)

如图，矩形abcd中ab=2ad=2a,e是cd边的中点，以ae为棱将△dae向上折起，将d变成p位置，使面pae与面abcd成直二面角.

(1)求直线pb与平面abcd所成角的正切值;

(2)求证：ap⊥be;

(3)求异面直线ap与bc所成的角;

(4)求四棱锥p—abce的体积.

20.(本小题满分12分)

已知等比数列{an}的首项a1>0,公式q>-1且q≠0，设数列{bn}的通项bn=an+1+an+2(n∈n),记{an}、{bn}的前n项和分别为an、bn.

(1)证明an>0;

(2)当an>bn时，求公比q的取值范围.

21.(本小题满分12分)

若椭圆=1(a>b>0)两个顶点a(a,0)、b(0,b)，右焦点为f.

(1)要使直线y=mx截椭圆所得弦长为ab，求a、b的范围;

(2)若f到原点的距离等于f到ab的距离，求证：离心率e<-1.

22.(本小题满分14分)

设f(x)= (x∈r).

(1)求f(x)的值域;

(2)证明：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2);

数学归纳法模拟试题篇7

本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.

1.已知复数z满足 $(1 + \sqrt{3} i) z = i$ , 则复数z的实部是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \frac{\sqrt{3}}{2} (B) - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ (C) \frac{\sqrt{3}}{4} (D) - \frac{\sqrt{3}}{4} \end{array}$

2.已知集合 $A = {x | | x - 1 | \geq 1, x \in R} ‚ B = {x | \log_{2} x > 1, x \in R}$ , 则“x∈A”是“x∈B”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

3. 若向量 $a = (\frac{3}{2}, \sin α), b = (\cos α, \frac{1}{3})$ , 且a//b, 则锐角α为 ( ) .

(A) 30° (B) 60° (C) 45° (D) 75°

4.已知直线x+a2y-a=0 (a是常数) , 当此直线在x, y轴上的截距之和最小时, 正数a的值是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) 0 (B) 2 \\ (C) \sqrt{2} (D) 1 \end{array}$

5.下列函数: $① y = x^{\frac{1}{2}} ‚ ② y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) ‚ ③ y = | x - 1 | ‚ ④ y = 2^{x + 1}$ , 其中在区间 (0, 1) 上单调递减的函数序号是 ( ) .

(A) ①② (B) ②③

6.如图1所示的程序框图, 如果输入三个实数a, b, c, 要求输出这三个数中最小的数, 那么在空白的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( ) .

(A) c>x

(B) x>c

(D) b>c

7.一个体积为 $12 \sqrt[]{3}$ 的正三棱柱的三视图如图2所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为 ( ) .

8.用 $\min {a, b}$ 表示a, b两数中的最小值.若函数 $f (x) = \min {| x |, | x + t |}$ 的图象关于直线 $x = - \frac{1}{2}$ 对称, 则t的值为 ( ) .

(A) -2 (B) 2

9.设圆C:x2+y2=3, 直线l:x+3y-6=0, 对点P (x0, y0) ∈l, 存在点Q∈C, 使∠OPQ=60° (O为坐标原点) , 则x0的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) [- \frac{1}{2}, 1] (B) [0, 1] \\ (C) [0, \frac{6}{5}] (D) [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \end{array}$

10.若抛物线y2=2px (p>0) 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 有相同的焦点F, 点A是两曲线的一个交点, 且AF⊥x轴, 若l为双曲线的一条渐近线, 则l的倾斜角所在的区间可能是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (0, \frac{π}{4}) (B) (\frac{π}{6}, \frac{π}{4}) \\ (C) (\frac{π}{4}, \frac{π}{3}) (D) (\frac{π}{3}, \frac{π}{2}) \end{array}$

二、填空题:

本大题共5小题, 每小题5分, 共25分.将答案填在题中的横线上.

11. (理科) 已知a=∫π0 (sint+cost) dt, 则 $(x - \frac{1}{a x})^{6}$ 的展开式中的常数项为____.

(文科) 从某小学随机抽取100名同学, 将他们身高 (单位:厘米) 数据绘制成频率分布直方图 (如图3) .由图中数据可知a=____.若要从身高在[120, 130﹚, [130, 140﹚, [140, 150]三组内的学生中, 用分层抽样的方法选取18人参加一项活动, 则从身高在[140, 150]内的学生中选取的人数应为____.

12.已知不等式组表示的平面区域为M, 若直线y=kx-3k与平面区域M有公共点, 则k的取值范围是____.

13.若实数a, b, c成等差数列, 则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=5截得的线段中点的轨迹方程是____.

14.已知函数y=f (x) 是R上的偶函数, 对于x∈R都有f (x-6) =f (x) +f (3) 成立, 且f (0) =-2, 当x1, x2∈[0, 3], 且x1≠x2时, 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ .则给出下列命题:①f (2011) =-2;②函数y=f (x) 图象的一条对称轴为x=-6;③函数y=f (x) 在[-9, -6]上为增函数;④函数f (x) 在[-9, 9]上有4个零点.其中所有正确命题的序号是____.

15.选做题 (请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分)

A. (坐标系与参数方程选做题) 直线, (t为参数) 被圆为参数) 所截得的弦长为____.

B. (不等式选讲选做题) 不等式|x+1|+|x-2|>5的解集为____.

C. (几何证明选讲选做题) 如图4, 点A, B, C是圆O上的点, 且BC=6, ∠BAC=120°, 则圆O的面积等于____.

三、解答题:

本大题共6小题, 共75分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

16. (本小题满分12分) (Ⅰ) 若Sn是公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和, 且S1, S2, S4成等比数列, 求数列S1, S2, S4的公比;

(Ⅱ) 设 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 是公比不相等的两个等比数列, cn=an+bn, 证明数列 ${c_{n}}$ 不是等比数列.

17. (本小题满分12分) 已知函数f (x) =Asin (ωx+φ) (A>0, ω>0, |φ|<π) 部分图象如图5所示.

(Ⅰ) 求ω, φ的值;

(Ⅱ) 设 $g (x) = f (x) f (x - \frac{π}{4})$ , 求函数g (x) 的单调递增区间.

18. (本小题满分12分) (理科) 如图6, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧面AA1CC⊥底面ABC, AA1=A1C=AC=2, AB=BC, 且AB⊥BC, O为AC中点.

(Ⅰ) 证明:A1O平面ABC.

(Ⅱ) 求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值.

(Ⅲ) 在BC1上是否存在一点E, 使得OE//平面A1AB, 若不存在, 说明理由;若存在, 确定点E的位置.

(文科) 如图7, 四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是边长为a的正方形, E, F分别为PC, BD的中点, 侧面PAD⊥底面ABCD, 且 $Ρ A = Ρ D = \frac{\sqrt{2}}{2} A D .$

(Ⅰ) 求证:EF//平面PAD;

(Ⅱ) 求三棱锥C—PBD的体积.

19. (本小题满分12分) (理科) 某学校高一年级开设了A、B、C、D、E五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好, 要求每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的.

(Ⅰ) 求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数;

(Ⅱ) 求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率;

(Ⅲ) 设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数, 求X的分布列与数学期望.

(文科) 已知a= (1, -2) , b= (x, y) .

(Ⅰ) 若x是从-1, 0, 1, 2四个数中任取的一个数, y是从-1, 0, 1三个数中任取的一个数, 求a⊥b的概率.

(Ⅱ) 若x是从区间[-1, 2]中任取的一个数, y是从区间[-1, 1]中任取的一个数, 求a, b的夹角是锐角的概率.

20. (本小题满分13分) 已知椭圆C的对称中心为原点O, 焦点在x轴上, 左右焦点分别为F1和F2, 且|F1F2|=2, 点 $(1, \frac{3}{2})$ 在该椭圆上.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 过F1的直线l与椭圆C相交于A, B两点, 若△AF2B的面积为 $\frac{12 \sqrt[]{2}}{7}$ , 求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.

21. (本小题满分14分) (理科) 已知函数f (x) =ln (ax+1) +x3-x2-ax.

(Ⅰ) 若 $x = \frac{2}{3}$ 为f (x) 的极值点, 求实数a的值;

(Ⅱ) 若y=f (x) 在[1, +∞) 上为增函数, 求实数a的取值范围;

(Ⅲ) 若a=-1时, 方程 $f (1 - x) - (1 - x)^{3} = \frac{b}{x}$ 有实根, 求实数b的取值范围.

(文科) 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + \frac{1 - a}{x} - 1 (a \in R) .$

(Ⅰ) 当a=-1时, 求曲线y=f (x) 在点 (2, f (2) ) 处的切线方程;

(Ⅱ) 当 $a < \frac{1}{2}$ 时, 讨论f (x) 的单调性.

参考答案

$1 . C . z = \frac{i}{1 + \sqrt{3} i} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} i .$

2.B.化简集合得 A={x|x≤0或x≥2}, B={x|x>2}, x∈A不能推出x∈B, 而x∈B能推出x∈A, 故选B.

3. C.由a//b, 得 $\sin α \cdot \cos α = \frac{1}{2}$ , 即sin2α=1, 因为α为锐角, 所以

时, $a + \frac{1}{a} \geq 2$ , 当且仅当a=1时取等号, 故选D .

5.B.①是幂函数, 在 (0, 1) 上递增;②是对数型的复合函数, 在 (0, 1) 上递减;③的图象关于直线x=1对称, 在 (0, 1) 上递减;④是指数型的复合函数, 在 (0, 1) 上递增.故选B.

6.A.依题意得c>x .

7.A.设正三棱柱底面边长为2a, 高为h, 则 $V = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt[]{3} \cdot 2 a \cdot h = 12 \sqrt[]{3} ‚ (2 a)^{2} - a^{2} = (2 \sqrt[]{3})^{2} ‚ a = 2$ , 故左视图的面积为 $2 \sqrt[]{3} h = 6 \sqrt[]{3} .$

8.D.因为y=︱x︱图象与x轴的交点为坐标原点, 依题可知t=1 .

9.C.当Q为PQ与圆O的切点时, ∠OPQ最大, 依题有 $\frac{| Ο Q |}{| Ο Ρ |} \geq \sin 60 °$ , 即 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}} \geq \sin 60 ° . 又 x_{0} + 3 y_{0} - 6 = 0$ , 消去y0, 解之, 得

, 由c2=a2+b2, 得 $\frac{p^{2}}{4} = a^{2} + b^{2}$ .又 $\frac{\frac{p^{2}}{4}}{a^{2}} - \frac{p^{2}}{b^{2}} = 1$ , 即 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2}} - \frac{4 (a^{2} + b^{2})}{b^{2}} = 1$ , 即 $\frac{b^{2}}{a^{2}} - 4 \cdot \frac{a^{2}}{b^{2}} - 4 = 0$ .令 $t = \frac{b}{a} > 0$ , 则t4-4t2-4=0, 得 $t = \sqrt{2 + 2 \sqrt[]{2}}$ , 设l的倾斜角为θ, 则 $\tan θ = \frac{b}{a} = t \approx \sqrt{4.8} > \sqrt{3} = \tan \frac{π}{3}$ , 故 $\frac{π}{3} < θ < \frac{π}{2} .$

11. (理科) $- \frac{5}{2}$ .由题意及积分公式可求得 $a = 2 ‚ Τ_{r + 1} = C_{6}^{r} (- \frac{1}{2})^{r} x^{6 - 2 r}$ , 依题意知, 令6-2r=0 , 得r=3, 则 $C_{6}^{3} (- \frac{1}{2})^{3} = - \frac{5}{2} .$

(文) $0.030 ‚ 3 . a = [1 - (0.05 + 0.10 + 0.20 + 0.35)] \times \frac{1}{10} = 0.030$ .落在三个组内的学生人数分别为0.3×100=30人, 0.2×100=20人, 0.10×100=10人, 分层按 $\frac{18}{30 + 20 + 10}$ 抽样, 则从身高[140, 150]内抽取的学生人数为

设直线x+y=1与x-y=-1, y=0的交点为A, B, 由于直线y=kx-3k过定点P (3, 0) , 依题得kPA≤k≤kPB, 即

由2b=a+c, 得a-2b+c=0 , 所以直线ax+by+c=0过定点A (1, -2) .又A (1, -2) 在圆x2+y2=5上, 所以A点为圆与直线的一个交点, 设另一交点为B (x1, y1) , AB中点为P (x, y) , 则 $x = \frac{x_{1} + 1}{2}, y = \frac{y_{1} - 2}{2}$ , 所以x1=2x-1, y1 =2y+2 , 代入圆方程x2+y2=5, 得

$(x - \frac{1}{2})^{2} + (y + 1)^{2} = \frac{5}{4} .$

14.②④.令x=3, 得f (3) =0 , 所以f (x-6) =f (x) , 即f (x) 的周期是6.由已知条件知, f (x) 在[0, 3]上递增, f (0) =-2, f (3) =0, 所以f (2011) =f (6×335+1) =f (1) >f (0) =-2, 由f (x-6) =f (x) 知, x=3是f (x) 的一条对称轴, 所以f (x) 在[3, 6]上递减且f (6) =-2, 故f (9) =f (3) =f (-3) =f (-9) =0.所以正确的有②④.

15.A.6.将参数方程化成普通方程为3x+4y+10=0, (x-2) 2+ (y-1) 2=25, 弦心距为d=4, 半径r=5 , 则弦长的一半为3, 所求弦长为6.

B. (-∞, -2) ∪ (3, +∞) .根据绝对值的几何意义得x∈ (-∞, -2) ∪ (3, +∞) .

C.12π.∵ ∠BOC=120°, 作OD⊥BC于D , 则∠BOD=60°, 所以, $\sin 60 ° = \frac{B D}{B Ο} = \frac{3}{B Ο} ‚ B Ο = 2 \sqrt[]{3}$ , 故所求面积为12π.

16.解: (Ⅰ) 设数列 ${a_{n}}$ 的公差为d.

由题意得S $_{2}^{2}$ =S1·S4,

即 (2a1+d) 2=a1 (4a1+6d) .

因为d≠0 , 所以 d=2a1 .

故公比 $q = \frac{S_{2}}{S_{1}} = 4 .$

(Ⅱ) 设 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的公比分别为p, q (p≠q) , cn=an+bn, 欲证 ${c_{n}}$ 不是等比数列, 只需证c $_{2}^{2}$ ≠c1·c3.

事实上, c22-c1·c3= (a1p+b1q) 2- (a1+b1) (a1p2+b1q2) =-a1b1 (p-q) 2 ,

由于p≠q, 又a1, b1不为零,

所以a1b1 (p-q) 2≠0 ,

因此c $_{2}^{2}$ ≠c1·c3, 故 ${c_{n}}$ 不是等比数列.

$\begin{array}{l} 17 . 解 ∶ (Ⅰ) 由题图可知 ‚ Τ = 4 (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) = π, \\ ω = \frac{2 π}{Τ} = 2 . \end{array}$

又 $f (\frac{π}{2}) = 1 ‚ ∴ \sin (π + φ) = 1$ , 得sinφ=-1,

因为|φ|<π, 所以 $φ = - \frac{π}{2} .$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{2}) = - \cos 2 x .$

因为 $g (x) = (- \cos 2 x) [- \cos (2 x - \frac{π}{2})] = \cos 2 x s i n 2 x = \frac{1}{2} \sin 4 x,$

所以, $2 k π - \frac{π}{2} \leq 4 x \leq 2 k π + \frac{π}{2}$ ,

即 $\frac{k π}{2} - \frac{π}{8} \leq x \leq \frac{k π}{2} + \frac{π}{8} \leq (k \in Ζ) .$

故函数g (x) 的单调递增区间为 $[\frac{k π}{2} - \frac{π}{8}, \frac{k π}{2} + \frac{π}{8}] (k \in Ζ) .$

18. (理科) 解: (Ⅰ) 证明:因为A1A=A1C, 且O为AC的中点, 所以A1O⊥AC.

又由题意可知, 平面AA1C1C⊥平面ABC, 交线为AC, 且A1O⊂平面AA1C1C,

所以A1O⊥平面ABC.

(Ⅱ) 如图, 以O为原点, OB, OC, OA1所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知, A1A=A1C=AC=2.

又AB=BC, AB⊥BC.

所以, $Ο B = \frac{1}{2} A C = 1 .$

所以, $Ο (0, 0, 0), A (0, - 1, 0), A_{1} (0, 0, \sqrt{3}), C (0, 1, 0), C_{1} (0, 2, \sqrt{3}), B (1, 0, 0)$ ,

则有 $\vec{A_{1} C} = (0, 1, - \sqrt{3}), \vec{A A_{1}} = (0, 1, \sqrt{3}), \vec{A B} = (1, 1, 0) .$

设平面AA1B的一个法向量为n= (x, y, z) , 则有

${\begin{cases} n \cdot \vec{A A_{1}} = 0, \\ n \cdot \vec{A B} = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} y + \sqrt{3} z = 0, \\ x + y = 0 . \end{cases}$

令y=1, 得 $x = - 1, z = - \frac{\sqrt{3}}{3} .$

$\begin{array}{l} 所以 n = (- 1, 1, - \frac{\sqrt{3}}{3}) . \\ \cos 〈 n, \vec{A_{1} C} 〉 = \frac{n \cdot \vec{A_{1} C}}{| n | \cdot | \vec{A_{1} C} |} = \frac{\sqrt{21}}{7} . \end{array}$

因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与 $\vec{A_{1} C}$ 所成锐角互余, 所以 $\sin θ = \frac{\sqrt{21}}{7} .$

(Ⅲ) 设 $E = (x_{0}, y_{0}, z_{0}), \vec{B E} = λ \vec{B C_{1}},$

即 $(x_{0} - 1, y_{0}, z_{0}) = λ (- 1, 2, \sqrt{3})$ , 得

${\begin{cases} x_{0} = 1 - λ, \\ y_{0} = 2 λ, \\ z_{0} = \sqrt{3} λ . \end{cases}$

所以 $E = (1 - λ, 2 λ, \sqrt{3} λ)$ , 得

$\vec{Ο E} = (1 - λ, 2 λ, \sqrt{3} λ),$

令OE//平面A1AB, 得 $\vec{Ο E} \cdot n = 0$ ,

即-1+λ+2λ-λ=0, 得 $λ = \frac{1}{2} .$

∴存在这样的点E, E为BC1的中点.

(文科) 解: (Ⅰ) 证明:连结AC, 则F是AC的中点, E为PC的中点,

故在△CPA中, EF//PA, 且PA⊂平面PAD, EF⊄平面PAD, 所以EF//平面PAD.

(Ⅱ) 取AD的中点M, 连结PM, 所以PA=PD, PM⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,

所以, PM⊥平面ABCD.

在直角△PAM中求得 $Ρ Μ = \frac{1}{2} a$ ,

$\begin{array}{l} 所以 ‚ V_{C - Ρ B D} = V_{Ρ - B C D} = \frac{1}{3} S_{△ B C D} \cdot Ρ Μ \\ = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \frac{1}{2} a = \frac{a^{3}}{12} . \end{array}$

19. (理科) 解: (Ⅰ) 甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种,

故共有5×5×5=125 (种) .

(Ⅱ) 三名学生选择三门不同选修课程的概率为 $\frac{A_{5}^{3}}{5^{3}} = \frac{12}{25} .$

所以, 三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为 $1 - \frac{12}{25} = \frac{13}{25} .$

$\begin{array}{l} (Ⅲ) 由题意知 ‚ X = 0 ‚ 1 ‚ 2 ‚ 3 . \\ Ρ (X = 0) = \frac{4^{3}}{5^{3}} = \frac{64}{125} ‚ \\ Ρ (X = 1) = \frac{C_{3}^{1} \cdot 4^{2}}{5^{3}} = \frac{48}{125} ‚ \\ Ρ (X = 2) = \frac{C_{3}^{2} \cdot 4}{5^{3}} = \frac{12}{125} ‚ Ρ (X = 3) = \frac{C_{3}^{3}}{5^{3}} = \frac{1}{125} . \end{array}$

ξ的分布列为:

数学期望 $E X = 0 \times \frac{64}{125} + 1 \times \frac{48}{125} + 2 \times \frac{12}{125} + 3 \times \frac{1}{125} = \frac{3}{5} .$

(文科) 解: (Ⅰ) 设“a⊥b”为事件A, 样本空间为Ω.由a⊥b, 得x-2y=0.

Ω={ (-1, -1) , (-1, 0) , (-1, 1) , (0, -1) , (0, 0) , (0, 1) , (1, -1) , (1, 0) , (1, 1) , (2, -1) , (2, 0) , (2, 1) }, 共包含12个基本事件;其中A={ (0, 0) , (2, 1) }, 包含2个基本事件,

则 $Ρ (A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} .$

(Ⅱ) 设“a, b的夹角是锐角”为事件B, 由a, b的夹角是锐角, 可得a·b>0, 即x-2y>0, 且y≠-2x,

Ω={ (x, y) |-1≤x≤2, -1≤y≤1},

B={ (x, y) |-1≤x≤2, -1≤y≤1, x-2y≥0, y≠-2x},

则 $Ρ (B) = \frac{μ_{B}}{μ_{Ω}} = \frac{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} + 2) \times 3}{3 \times 2} = \frac{5}{8} .$

20. 解: (Ⅰ) 设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ , 由题意可知,

椭圆C两焦点坐标分别为F1 (-1, 0) , F2 (1, 0) .

所以 $2 a = \sqrt{(1 + 1)^{2} + (\frac{3}{2})^{2}} + \sqrt{(1 - 1)^{2} + (\frac{3}{2})^{2}} = 4$ , 所以a=2.又c=1, b2=4-1=3, 故椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} - 1 .$

(Ⅱ) ①当直线l⊥x轴时, 计算得到

②当直线l与x轴不垂直时, 设直线l的方程为y=k (x+1) .

由消去y, 得

(3+4k2) x2+8k2x+4k2-12=0,

显然Δ>0成立, 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则

$x_{1} + x_{2} = - \frac{8 k^{2}}{3 + 4 k^{2}}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{4 k^{2} - 12}{3 + 4 k^{2}} .$

又 $| A B | = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot \sqrt{(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} \cdot x_{2}} = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot \sqrt{\frac{64 k^{4}}{(3 + 4 k^{2})^{2}} - \frac{4 (4 k^{2} - 12)}{3 + 4 k^{2}}},$

即 $| A B | = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot \frac{12 \sqrt{k^{2} + 1}}{3 + 4 k^{2}} = \frac{12 (k^{2} + 1)}{3 + 4 k^{2}} .$

又圆F2的半径 $r = \frac{| k \times 1 - 0 + k |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = \frac{2 | k |}{\sqrt{1 + k^{2}}},$

所以 $S_{△ A F_{2} B} = \frac{1}{2} | A B | r = \frac{1}{2} \times \frac{12 (k^{2} + 1)}{3 + 4 k^{2}} \times \frac{2 | k |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = \frac{12 | k | \sqrt{1 + k^{2}}}{3 + 4 k^{2}} = \frac{12 \sqrt[]{2}}{7},$

化简, 得17k4+k2-18=0, 即 (k2-1) (17k2+18) =0, 解之, 得k=±1.

所以, $r = \frac{2 | k |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = \sqrt{2}$ ,

故圆F2的方程为 (x-1) 2+y2=2.

另解:设直线l的方程为x=ty-1,

由

消去x, 得

(4+3t2) y2-6ty-9=0, Δ>0恒成立.

设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则

$y_{1} + y_{2} = \frac{6 t}{4 + 3 t^{2}}, y_{1} \cdot y_{2} = - \frac{9}{4 + 3 t^{2}},$

$\begin{array}{l} 所以 | y_{1} - y_{2} | = \sqrt{(y_{1} + y_{2})^{2} - 4 y_{1} \cdot y_{2}} \\ = \sqrt{\frac{36 t^{2}}{(4 + 3 t^{2})^{2}} + \frac{36}{4 + 3 t^{2}}} = \frac{12 \sqrt{t^{2} + 1}}{4 + 3 t^{2}} . \end{array}$

又圆F2的半径为 $r = \frac{| 1 - t \times 0 + 1 |}{\sqrt{1 + t^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ ,

所以 $S_{△ A F_{2} B} = \frac{1}{2} \cdot | F_{1} F_{2} | \cdot | y_{1} - y_{2} | = | y_{1} - y_{2} | = \frac{12 \sqrt{t^{2} + 1}}{4 + 3 t^{2}} = \frac{12 \sqrt[]{2}}{7}$ , 解之, 得t2=1,

所以 $r = \frac{2}{\sqrt{1 + t^{2}}} = \sqrt{2}$ ,

故圆F2的方程为 (x-1) 2+y2=2.

21. (理科) 解: $(Ⅰ) f^{'} (x) = \frac{a}{a x + 1} + 3 x^{2} - 2 x - a = \frac{x [3 a x^{2} + (3 - 2 a) x - (a^{2} + 2)]}{a x + 1} .$

因为 $x = \frac{2}{3}$ 为f (x) 的极值点,

所以 $f^{'} (\frac{2}{3}) = 0$ ,

即 $3 a (\frac{2}{3})^{2} + \frac{2}{3} (3 - 2 a) - (a^{2} + 2) = 0$ ,

且 $\frac{2}{3} a + 1 \neq 0$ , 所以a=0.

又当a=0时, f′ (x) =x (3x-2) , 从而 $x = \frac{2}{3}$ 为f (x) 的极值点, 结论成立.故a=0 .

(Ⅱ) 因为f (x) 在[1, +∞) 上为增函数,

所以 $f^{'} (x) = \frac{x [3 a x^{2} + (3 - 2 a) x - (a^{2} + 2)]}{a x + 1} \geq 0$ 在[1, +∞) 上恒成立.

若a=0, 则f′ (x) =x (3x-2) ,

所以f (x) 在[1, +∞) 上为增函数成立;

若a≠0, 由ax+1>0对x>1恒成立知, a>0.

所以3ax2+ (3-2a) x- (a2+2) ≥0对x∈[1, +∞) 上恒成立.

令g (x) =3ax2+ (3-2a) x- (a2+2) , 其对称轴为 $x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2 a},$

因为a>0, 所以 $\frac{1}{3} - \frac{1}{2 a} ＜ \frac{1}{3},$

从而g (x) 在[1, +∞) 上为增函数.

所以只要g (1) ≥0即可, 即-a2+a+1≥0,

所以 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \leq a \leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

又因为a>0, 所以 $0 ＜ a \leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

故 $0 \leq a \leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .$

(Ⅲ) 若a=-1时, 由方程 $f (1 - x) - (1 - x)^{3} = \frac{b}{x}$ , 可得 $\ln x - (1 - x)^{2} + (1 - x) = \frac{b}{x}$ ,

即b=xlnx-x (1-x) 2+x (1-x) =xlnx+x2-x3在x>0上有解,

即求函数g (x) =xlnx+x2-x3的值域.

b=x (lnx+x-x2) , 令h (x) =lnx+x-x2.

由 $h^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1 - 2 x = \frac{(2 x + 1) (1 - x)}{x},$

因为x>0,

所以, 当0<x<1时, h′ (x) >0,

从而h (x) 在 (0, 1) 上为增函数;

当x>1时, h′ (x) <0,

从而h (x) 在 (1, +∞) 上为减函数.

所以, h (x) ≤h (1) =0, 而h (x) 可以无穷小.

所以, b的取值范围为 (-∞, 0].

(文科) 解: (Ⅰ) 当a=-1时,

$f (x) = \ln x + x + \frac{2}{x} - 1, x \in (0, + \infty) .$

所以 $f^{'} (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2}} ‚ x \in (0 ‚ + \infty)$ ,

因此f′ (2) =1, 即曲线y=f (x) 在点 (2, f (2) ) 处的切线斜率为1.

又f (2) =ln2+2,

所以曲线y=f (x) 在点 (2, f (2) ) 处的切线方程为x-y+ln2=0.

(Ⅱ) 因为 $f (x) = \ln x - a x + \frac{1 - a}{x} - 1$ ,

$\begin{array}{l} 所以 f^{'} (x) = \frac{1}{x} - a + \frac{a - 1}{x^{2}} \\ = - \frac{a x^{2} - x + 1 - a}{x^{2}} ‚ x \in (0, + \infty) . \end{array}$

令g (x) =ax2-x+1-a, x∈ (0, +∞) ,

①当a=0时, g (x) =-x+1, x∈ (0, +∞) .

所以, 当x∈ (0, 1) 时, g (x) >0, 此时f′ (x) <0, 函数f (x) 单调递减;

当x∈ (1, +∞) 时, g (x) <0, 此时f′ (x) >0, 函数f (x) 单调递增.

②当a≠0时, 由f′ (x) =0, 即ax2-x+1-a=0, 解之, 得 $x_{1} = 1, x_{2} = \frac{1}{a} - 1 .$

(i) 当 $0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$ 时, $\frac{1}{a} - 1 ＞ 1 ＞ 0 ‚ x \in (0, 1)$ 时, g (x) >0, 此时f′ (x) <0, 函数f (x) 单调递减;

$x \in (1 ‚ \frac{1}{a} - 1)$ 时, g (x) <0, 此时f′ (x) >0, 函数f (x) 单调递增;

$x \in (\frac{1}{a} - 1 ‚ + \infty)$ 时, g (x) >0, 此时f′ (x) <0, 函数f (x) 单调递减.

(ii) 当a<0时, 由于 $\frac{1}{a} - 1 ＜ 0 ‚$

x∈ (0, 1) 时, g (x) >0, 此时f′ (x) <0, 函数f (x) 单调递减;

x∈ (1, +∞) 时, g (x) <0, 此时f′ (x) >0, 函数f (x) 单调递增.

综上所述:

当a≤0时, 函数f (x) 在 (0, 1) 上单调递减, 在 (1, +∞) 上单调递增;

当 $0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$ 时, 函数f (x) 在 (0, 1) 上单调递减, 在 $(1, \frac{1}{a} - 1)$ 上单调递增, 在 $(\frac{1}{a} - 1, + \infty)$ 上单调递减.

数学归纳法模拟试题篇8

1.下列各数为负数的是（）.

2. 2014年南京青奥会期间有超过102万名志愿者参与城市志愿服务.102万这个数字用科学记数法表示为（）.

A.l0.2xl04

B.1.02xlO5

C.l.02xl06

D.0.102xl06

3.从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率为（）.

4.笑笑班长统计去年1—8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图1的折线统计图，下列说法正确的是（）.

A.极差是47

B.众数是42

C.中位数是58

D.每月阅读数量超过40本的有4个月

5.如图2是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体有（）.

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

6.已知关于x的一元二次方程（a-l）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）.

A.a<2

B.a>2

C.a<2且a≠1

D.a<-2

7.已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-1，0），B（5，0），C（2，2），D（O，2），直线y=2x+b将四边形分成面积相等的两部分，则6的值为（）.

A.-2

B.0

C.-3

D.1

8.如图3，在矩形ABCD中，

’ 爿ABC=1.现将矩形ABCD绕点C顺时针旋转900得到矩形A'B'CD’，则AD边扫过的图形（阴影部分）的面积为（）.

二、填空题（每小题3分，共21分）

9.因式分解：

10.计算：2a2·a3=____.

11.如图4，已知直线a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=40。，则∠2的度数为____.

12.若a，B是一元二次方程x2-5x-2=o的两个实数根，则的值是____.

13.如图5，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=500，则∠OCD的度数是____.

14.如图6，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，c、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为____.

15.已知直线与坐标轴分别交于点D.C，以线段DC为斜边作等腰直角△ADC，点A的坐标为____.

三、解答题（本大题8个小题，共75分）

16.（8分）化简，再从-3

17.（9分）某市对教师数学新授课中学生参与的深度与广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制了如图7的两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题.

（1）在这次评价中，一共抽查了____名学生.

（2）请将条形图补充完整.

（3）如果全市有16万名初中学生，那么在新授课中，“独立思考”的学生约有多少万人？

18.（9分）如图8，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.

（1）求证：△AED≌△CFB.

（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四边形4BCD的周长.

19.（9分）如图9，AE是位于公路边的电线杆，为了加固电线杆，需要在EC之间拉一条粗绳，为防止拉线CDE影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的一侧竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑高拉线.已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4。，求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）.

（参考数据：）

20.（9分）如图10，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标.

21.（10分）为了响应建设“美丽中国”的号召，郑州市某化工厂2012年购买了3台进口污水处理设备和2台国产污水处理设备，共花费资金54万元，且每台国产设备的价格是每台进口设备价格的75%，实际运行中发现，每台进口设备每月能处理污水200吨，每台国产设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台进口设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台国产设备的各种维护费和电费为1.5万元.2013年该厂决定再购买两种设备共8台，预算本次购买资金不超过84万元，预计2013年每月将产生不少于l300吨污水.

（1）请计算每台进口和国产设备的价格各是多少元.

（2）请求出2013年污水处理设备的所有购买方案.

（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+各种维护费和电费）

22.（10分）数学课上，张老师出示图11和下面的条件：如图11，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线Z上，DE=2，AB=1.将直线F，B绕点E逆时针旋转45。，交直线AD于点M.将图11中的三角板ABC沿直线ι向右平移，设C、E两点间的距离为k.

解答问题：（1）①当点C与点F重合时，如图12所示，可得的值为_；②在平移过程中，的值为____（用含k的代数式表示）.（2）将图12中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变，当点A落在线段DF上时，如图13所示，请补全图形，计算的值.（3）将图11中的三角板ABC绕点c逆时针旋转a度，O

23.（11分）两个直角边长为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED.按如图14所示的位置放置，点O与E重合.

（l）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴

以每秒2个单位长度的速度向有运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后.Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；

（2）当Rt△CED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，Rt△CED运动到如图15所示的位置，若抛物线y=1/4x2+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；

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