直线与曲线联立问题

直线与曲线联立问题（共11篇）

直线与曲线联立问题 篇1

四棱锥PABCD中，底面为矩形，PA底，E为PD中点（1）证明：PB||面AEC

(2)AP1,AD,VPABD

4,求A到面PBD的距离

弦长公式：|AB|k2|x2x1|k2(x21x2)4x1x2

21.直线yx1与曲线xy2

32

1相交于A,B两点，求|AB| 85

2.直线yk(x1)(k0)与曲线

x

y21相交，求x1x2

3.y2k(x2)

y24x



yk(x1)4.

x24

y231

2x2y2

5.过点（1,0）且斜率为54

1交于A,B两点，O为坐标

原点，则OAB的面积53

6.已知一直线与曲线4x29y236相交于A,B两点，AB的中点坐标为（1,1）

求直线AB的方程

4x9y130

直线与曲线联立问题 篇2

例1:抛物线方程为y2=p (x+1) (p>0) , 直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边。求证:直线与抛物线总有两个交点。

证明:抛物线y2=p (x+1) 的准线方程是x=-1-, 直线x+y=m与x轴的交点为 (m, 0) , 由题设知, 交点在准线右边, 得m>-1-, 即4m+p+4>0。

由, 得x2- (2m+p) x+ (m2-p) =0,

而判别式Δ= (2m+p) 2-4 (m2-p) =p (4m+p+4) ,

又p>0及4m+p+4>0, 可知Δ>0,

因此, 直线与抛物线总有两个交点。

例2: (1) 过点P (, 5) 与双曲线=1有且只有一个公共点的直线有几条, 分别求出它们的方程。

点评:与双曲线只有一个公共点的直线有两种, 一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线, 另一种是与双曲线相切的直线也有两条。

例3:直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2 |x| (k∈R, 且k≠0) 的公共点的个数为 ()

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解:将y=2k代入显然该关于|x|的方程有两个正解, 即x有四解, 所以交点有4个, 故选择答案D。

点评:本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧, 同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。

直线与圆锥曲线有几个公共点的问题, 归纳如下:设直线l:Ax+By+C=0, 圆锥曲线:f (x, y) =0, 由, 消元 (x或y) , 若消去y, 得a1x2+b1x+c1=0。

(1) 若a1=0, 此时圆锥曲线不是椭圆, 当圆锥曲线为双曲线时, 直线l与双曲线渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时, 直线l与抛物线的对称轴平行或重合。

(2) 若a1≠0, Δ=b12-4a1c1, 则:

(1) Δ>0时, 直线与圆锥曲线相交, 有两个不同的交点;

(2) Δ=0时, 直线与圆锥曲线相切, 有唯一的公共点;

直线与圆锥曲线范围问题 篇3

例：已知抛物线的弦与直线有公共点，且中点到x轴的距离为1.求弦长度的取值范围.

分析：弦的长度必然要涉及到直线与曲线的关系，故“设直线方程并与抛物线方程联立”，根据判别式、弦长公式，分别用等式、不等式将与k、b联系在一起，从而破解问题。

解：设直线方程为，，.

直线方程与抛物线方程联立，得，消y得，则（1），（2），（3）.

则中点横坐标为，其纵坐标为，

依题得，即（4）.

由弦长公式及（2）、（3），得（Ⅰ），

又（4），则（Ⅱ）.

由（1）、（4），得；

因为弦与直线有公共点，所以，

即，由（2）、（3），得（*），

又（4），则，即；

所以.

令，则（Ⅱ）式为，，

所以，，所以.

题后反思：本类习题解法的关键步骤是

1.建立二元目标函数（见解法中的（Ⅰ）式），找到二元关系式（见解法中的（4）式），进而消元，得到一元目標函数（见解法中的（Ⅱ）式）；

2.通过及题中条件，建立不等式方程组（见解法中的（1）、（*）式和（4）式），依据关系式消元，得一元不等式组，确定一元目标函数定义域；

3.求函数值域或最值，得到目标范围。

此类问题只要抓住三个关键点，即函数、方程、不等式，问题就得以突破。

上述例题所代表的问题，可以通过求函数的值域来达到求解之目的。与直线和圆锥曲线相交有关，所以在解题过程中，要用到判别式和韦达定理，要利用多元方程进行减元，来得到一元函数或一元不等式。问题中确定函数定义域可以转化为“求解方程不等式混合组”的问题。我们可以通过解决下面的配套练习，进一步体会这些规律。

【配套练习】

1.若直線l与椭圆C交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦的垂直平分线的方程为，试求m的取值范围.（答案在本期）

解：依题，直线l与坐标轴不平行，设直线l的方程为，代入椭圆方程得：，由于l与C交于不同的两点，所以，，即.（*）

又线段恰被直线平分，所以，.

所以，.代入（*）可解得：.

设弦MN的中点.在中，令，

可解得：.

将点代入，可得，即.

所以，.

题后反思：：依据题意，确定m、k、b三个量的等量或不等量关系式：

，，；通过以上三个式子即可求解。

2.直线与椭圆总有公共点，求m的范围。

解法：由，得，

依题有对一切总成立，即对一切恒成立，而，

则等价于对一切恒成立，而最大值是1，则，依题有且，所以或

题后反思：本题解法有代数解法和几何解法，代数解法抓住关键点“”，几何解法抓住关键点“直线经过定点”.

3.建立函数式与不等式，通过求函数值域确定S的范围。

通过以上研究论述，我们明确了直线与圆锥曲线范围问题的求解方法。一方面该类问题可以通过建立目标函数或目标不等式，运用函数、方程、不等式等思想方法来解决，另一方面必要时也可通过数形结合法获得解决。以上有不当之处敬请批评指正。

直线与曲线联立问题 篇4

一．知识网络结构：

几何角度(主要适用于直线与圆的位置关系)直线与圆锥曲线的位置关系代数角度（适用于所有直线与圆锥曲线位置关系）1.直线与圆锥曲线利用一般弦长公式（容易）直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用两点间距离公式（繁琐）

2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到axbxc0。

①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若a0，设b4ac。a.0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。22

二．常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：

x2y2

例1.椭圆1上的点到直线x2y20的最大距离是（）164

A.3B.C.22D.x2y2

例2.如果椭圆1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）369

A.x2y0B.x2y40C.2x3y120D.x2y80

题型二：直线与双曲线的位置关系：

例3.已知直线L:ykx1与双曲线C:xy=4。

⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；

⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k的范围；

⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；

⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；

⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。22

题型三：直线与抛物线的位置关系：

例4.在抛物线y2x上求一点P，使P到焦点F与P到点A(3,2)的距离之和最小。

题型四：弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线斜率为k与圆锥曲线交于点Ax1,y1，Bx2,y2时，则



AB=k2x1x2=k2

=

x1x224x1x2 y1y224y1y

211yy=12k2k2

可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。

x2y2

例5.过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为300的直线交双曲线于A、B两点，求AB。

题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：

⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；

⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程；

⑶.设弦的两个端点分别为x1,y1,x2,y2，则这两点坐标分别满足曲线方程，又

x1x2y1y2,22

为

弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。

例6.已知双曲线方程2xy=2。

⑴求以A2,1为中点的双曲线的弦所在的直线方程；

⑵过点1,1能否作直线L，使L与双曲线交于Q1，Q2两点，且Q1，Q2两点的中点为1,1？如果存在，求出直线L的方程；如果不存在，说明理由。

题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：

例7.在抛物线y64x上求一点，使它到直线L：4x3y460的距离最短，并求这个最短距离。

高考题强化训练

1.过点A(1,0)作倾斜角为

2的直线，与抛物线y2x交于M、N两点，则MN。4

写出所涉及到的公式：

2.已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P2,2为AB的中点，则抛物线C的方程为。

x2y2

3.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标

原点，则△OAB的面积为

4.已知直线L过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，L与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（）A．18

B．2

4C．36D．48

5.设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()

A.y4xB.y8xC.y4xD.y8x

2222

x2y2

6.设双曲线221的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为()

ab

.A.B.5C.D.24

y2

7.设F1,F2分别是椭圆E：x+2=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过F1的直线L与E相交于A、B两点，b

且AF2，AB，BF2成等差数列。⑴求AB

⑵若直线L的斜率为1，求b的值。

8.已知过抛物线y2pxp0的焦点，斜率为22的直线交抛物线于Ax1,y2,Bx2,y2（x1x2）

两点，且AB9． ⑴求该抛物线的方程；

直线与曲线联立问题 篇5

解法一:假设在椭圆C上存在两点A (x1, y1) 、B (x2, y2) 关于直线l对称。

设直线AB的方程为:,

由得9x2-4mx+4m2-16=0。

∵直线AB与椭圆C有两个交点

设AB的中点为M (x0, y0) , 则。

∵点M在直线l上,

∴, 解得不满足条件 (1) ,

∴椭圆C上不存在两点关于直线l对称。

解法二:假设在椭圆C上存在两点A (x1, y1) 、B (x2, y2) 关于直线l对称, 且AB的中点为M (x0, y0) 。

∵A、B两点在椭圆C上,

又∵l⊥AB, 且点M在直线l上,

∴点M在椭圆外。

∴椭圆C上不存在两点关于直线l对称。

在平面解析几何中, 经常会遇到这样一类问题:圆锥曲线上存在两点关于直线对称, 求解参数范围问题。常见题型是圆锥曲线C的方程或直线l的方程中含参变量m, 圆锥曲线C上存在两点关于直线l对称, 求参数m的取值范围, 对于这类问题的求解方法一般是“判别式法”和“点差法”。“判别式法”:即利用垂直、平分及韦达定理, 由中点公式求得AB中点M, 根据中点M坐标, 满足对称方程列一等式, 而直线AB与椭圆相交满足Δ>0这一不等式, 两者结合得出结果;“点差法”:即利用平方差法, 巧用中点坐标公式和斜率公式求得AB的中点坐标, 利用弦中点必在椭圆内或抛物线的开口内, 列出不等式, 解出结果。

例1已知双曲线C:mx2-y2=1, 若双曲线C上存在两点关于直线l:y=x+1对称, 求m的取值范围。

解:设双曲线C上存在不同的两点A (x1, y1) 、B (x2, y2) 关于直线l对称, 线段AB的中点为M (x0, y0) 。

设直线AB的方程为:y=-x+n,

则由

得 (m-1) x2+2nx-n2-1=0。

∵直线AB与双曲线C有两个不同交点,

∴m≠1且Δ>0, 得mn2+m-1>0且m≠1, (1)

由韦达定理得:,

∴y1+y2= (-x1+n) + (-x2+n) =

∵点M (x0, y0) 为AB的中点,

∵点M在直线l上,

把 (2) 代入 (1) 中, 解得m>1,

解析几何·直线与圆锥曲线 篇6

1. 已知双曲线[kx2-y2=1]的一条渐近线与直线[l：2x+y+1=0]垂直，则此双曲线的离心率是（ ）

A. [52] B. [32] C. [43] D. [5]

2. 直线[y=x+1]被椭圆[x2+2y2=4]所截得的弦的中点坐标是（ ）

A. [13，-23] B. [-23，13]

C. [12，-13] D. [-13，12]

3. 椭圆[x24+y23=1]的离心率为[e]，点[（1，e）]是圆[x2+y2-4x-4y+4=0]的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（ ）

A. [3x+2y-4=0] B. [4x+6y-7=0]

C. [3x-2y-2=0] D. [4x-6y-1=0]

4. 设直线[l： mx+（m-1）y-1=0]（[m]为常数），圆[C： （x-1）2+y2=4]，则下列命题中正确的是（ ）

A. 当[m]变化时，直线[l]恒过定点（-1，1）

B. 直线[l]与圆[C]有可能无公共点

C. 若圆[C]上存在关于直线[l]对称的两点，则必有[m=0]

D. 若直线[l]与圆C有两个不同交点[M，N]，则线段[MN]的长的最小值为[23]

5. 已知双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]与抛物线[y2=8x]有一个公共的焦点[F]，且两曲线的一个交点为[P]，若[|PF|=5]，则双曲线的离心率为（ ）

A. [2] B. [22] C. [5+12] D. [6]

6. 抛物线[y2=2px（p>0）]的焦点为[F]，其准线经过双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左顶点，点[M]为这两条曲线的一个交点，且[|MF|=2p]，则双曲线的离心率为（ ）

A. [102] B. 2 C. [5] D. [52]

7. 已知双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左、右焦点分别是[F1，F2]，设[P]是双曲线右支上一点，[F1F2]在[F1P]上的投影的大小恰好为[|F1P|]且它们的夹角为[π6]，则双曲线的离心率为（ ）

A. [2+12] B. [3+12]

C. [3+1] D. [2+1]

8. 已知椭圆[C：x2a2-y2b2=1][（a>b>0）]的离心率为[32]，过右焦点[F]且斜率为[k（k>0）]的直线与[C]相交于[A，B]两点. 若[AF][=3FB]，则[k=]（ ）

A. [1] B. [2] C. [3] D. [2]

9. 直线[3x-4y+4=0]与抛物线[x2=4y]和圆[x2+（y-1）2=1]从左到右的交点依次为[A，B，C，D]，则[|AB||CD|]的值为（ ）

A. 16 B. [116] C. 4 D. [14]

10. 过抛物线[y=ax2a>0]的焦点[F]作一直线交抛物线于[P，Q]两点，则[1PF+1FQ]=（ ）

A. [2a] B. [12a] C. [4a] D. [4a]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 设抛物线[x2=4y]的焦点为[F]，经过点[P（1，4）]的直线[l]与抛物线相交于[A，B]两点，且点[P]恰为[AB]的中点，则|[AF]|+|[BF]|= .

12. 倾斜角为[π4]的直线交椭圆[x24+y2=1]于[A，B]两点，则线段[AB]中点的轨迹方程是 .

13. 已知过点[P（-3，0）]的直线[l]与双曲线[x216-x29=1]交于[A，B]两点，设直线[l]的斜率为[k1（k1≠0）]，弦[AB]的中点为[M，OM]的斜率为[k2（O]为坐标原点），则[k1?k2=] .

14. 曲线[C]是平面内与两个定点[F1（-1，0）]和[F2（1，0）]的距离的积等于常数[a2（a>1）]的点的轨迹. 给出下列三个结论：①曲线[C]过坐标原点；②曲线[C]关于坐标原点对称；③若点[P]在曲线[C]上，则[△F1PF2]的面积不大于[12a2]. 其中，所有正确结论的序号是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知点[P（x0，y0）]是椭圆[E； x22+y2][=1]上任意一点，直线[l]的方程为[x0x2+y0y=1].

（1）判断直线[l]与椭圆[E]交点的个数；

（2）直线[l0]过[P]点与直线[l]垂直，点[M（-1，0）]关于直线[l0]的对称点为[N]，直线[PN]恒过一定点[G]，求点[G]的坐标.

16. （10分）已知圆[M：（x-1）2+（y-12）2=r2（r>0）]与抛物线[C：y=（x+1）2]有一个公共点[A]， 且在[A]处两曲线的切线为同一直线[l].

（1）求[r]；

（2）设[m，n]是异于[l]且与[C]及[M]都相切的两条直线，[m，n]的交点为[D]，求[D]到[l]的距离.

17. （12分）设点[P]为圆[C1： x2+y2=2]上的动点，过点[P]作[x]轴的垂线，垂足为[Q]. 动点[M]满足[2MQ=PQ]（其中[P]，[Q]不重合）.

（1）求点[M]的轨迹[C2]的方程；

（2）过直线[x=-2]上的动点[T]作圆[C1]的两条切线，设切点分别为[A，B]. 若直线[AB]与（1）中的曲线[C2]交于[C，D]两点，求[|AB||CD|]的取值范围.

18. （12分）如图，[ΔPAB]的顶点[A，B]为定点，[P]为动点，其内切圆[O1]与[AB，PA，PB]分别相切于点[C]，[E]，[F]，且[AB=23，||AC|-|BC||=2].

（1）建立适当的平面直角坐标系，求动点[P]的轨迹[W]的方程；

（2）设[l]是既不与[AB]平行也不与[AB]垂直的直线，线段[AB]的中点[O]到直线[l]的距离为[2]，若[l]与曲线[W]相交于不同的两点[G，H]，点[M]满足[2OM=OG+OH]，证明： [2OM=GH].

直线与圆锥曲线综合题的解题策略 篇7

1. 弦长问题

一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A，B两点分别为(x1，y1)，(x2,y2)，

则弦长

|AB|=1+k2•|x2-x1|

=（1+k2）［（x1+x2)2-4x1x2］

=1+1k2•|y2-y1|

=1+1k2［（y1+y2)2-4y1y2］.

例1已知抛物线y2=2px(p＞0),

过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物

图1

线交于不同的两点A，B，且|AB|≤2p.

(1) 求a的取值范围；

(2) 若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB的面积的最大值.

解(1) 设直线l的方程为y=x-a,代入抛物线

方程，得(x-a)2=2px,

即x2-2(a+p)x+a2=0.

因为直线l与抛物线交于不同的两点A，B，所以Δ=4(a+p)2-4a2＞0,得2ap+p2＞0.又p＞0,所以a＞-p2.

由|AB|=2•4（a+p)2-4a2≤2p,得4ap+2p2≤p2,即4ap≤-p2.

又p＞0,所以a≤-p4.

故a的取值范围是-p2,-p4.

(2) 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),

由(1)知，y1=x1-a,y2=x2-a,

则有x=x1+x22=a+p,y=y1+y22=x1+x2-2a2=p.

所以线段AB的垂直平分线的方程为y-p=-(x-a-p),从而点N的坐标为(a+2p,0),

则点N到AB的距离为|a+2p-a|2=2p. 

从而S△NAB=12•2•4（a+p)2-4a2•2p=2p2ap+p2，

从而当a取最大值-p4时，S△NAB取最大值2p2.

2. 弦的中点问题

处理椭圆、双曲线、抛物线的弦的中点问题常用代点

相减法.设A(x1，y1)，B(x2,y2)为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则有kABkOM=-b2a2；对于双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），类似可得kAB•kOM=b2a2；对于抛物线y2=2px(p≠0)，有kAB=2py1+y2=py0.

例2已知双曲线C：2x2-y2=2与点P(1，2)

(1) 求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

(2) 若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.

分析涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.

解(1) 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程，并整理得

(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(A)

(ⅰ) 当2-k2=0,即k=±2时，方程(A)有一个根，l与C有一个交点.

(ⅱ) 当2-k2≠0,即k≠±2时，

Δ=［2(k2-2k)］2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k).

① 当Δ=0,即3-2k=0,k=32时，方程(A)有一个实根，l与C有一个交点.

② 当Δ＞0,即k＜32,又k≠±2,故当k＜-2或-2＜k＜2或2＜k＜32时，方程(A)有两不等实根，l与C有两个交点.

③ 当Δ＜0，即k＞32时，方程(A)无解，l与C无交点.

综上知：当k=±2,或k=32，或k不存在时，l与C只有一个交点；

当2＜k＜32,或-2＜k＜2,或k＜-2时，l与C有两个交点；

当k＞32时，l与C没有交点.

(2) 假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x21-y21=2,2x22-y22=2两式相减得：2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).

又因为x1+x2=2,y1+y2=2，

所以2(x1-x2)=y1-y2，即kAB=y1-y2x1-x2=2.

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

图2

例2如图2，已知某椭圆的焦点是F1(-4，0),F2(4，0)，过点F2且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列.

(1) 求该椭圆的方程；

(2) 求弦AC中点的横坐标；

(3) 设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.

分析第（1）问利用椭圆的第一定义写方程；第（2）问利用椭圆的第二定义(即用焦半径公式)求解，第（3）问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围.

解(1) 由椭圆定义及已知条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=a2-c2=3.

故椭圆的方程为x225+y29=1.

(2) 由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=95.

因为椭圆右准线的方程为x=254,离心率为45，根据椭圆定义，有|F2A|=45(254-x1),|F2C|=45(254-x2).

由|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列，得45(254-x1)+45(254-x2)=2×95,由此得出x1+x2=8.

设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=x1+x22=4.

(3) 由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上，

得9x21+25y21=9×25， ①9x22+25y22=9×25， ②

①-②，得9(x21-x22)+25(y21-y22)=0,

即9x1+x22+25y1+y22•y1-y2x1-x2=0(x1≠x2),

将x1+x22=x0=4,y1+y22=y0,y1-y2x1-x2=-1k (k≠0)代入上式，得

9×4+25y0(-1k)=0(k≠0),

即k=2536y0(当k=0时也成立).

由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0-4k=y0-259y0=-169y0.

由点P(4，y0)一定在线段BB′(B′与B关于x轴对称)上，得-95＜y0＜95,所以-165＜m＜165.

3. 过定点问题

例3已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点).

(1) 试问该椭圆是否过定点；

(2) 若该椭圆长轴长的取值范围是［5,6］，求该椭圆离心率e的取值范围.

解(1) 将x+y-1=0代入椭圆方程，整理得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2(1-b2)a2+b2,所以y1y2=(1-x1)(1-x2)

=b2(1-a2)a2+b2.

又因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,

所以a2(1-b2)a2+b2+b2(1-a2）a2+b2=0. 

化简得12a2+12b2=1，①

所以该椭圆过定点(±22,±22).

(2) 将b2=a2-c2代入①，得2-e2=2a2(1-e2).

所以2a2=2-e21-e2.

而2a∈［5,6］,

所以52≤2-e21-e2≤3.即 13≤e2≤12.

又0<e<1,所以33≤e≤22.

4. 位置关系的判定

例4已知曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx-1.

(1) 若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2) 若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为2，求实数k的值.

解(1) 曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组x2-y2=1，y=kx-1有两个不同的解.

代入整理，得(1-k2)x2+2kx-2=0.此方程必有两个不等的实根x1，x2，

所以1-k2≠0,Δ=4k2+8(1-k2）＞0.

解得-2＜k＜2且k≠±1时，曲线C与直线l有两个不同的交点.

(2) 设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以x1+x2=-2k1-k2,x1x2=-21-k2.

又直线l与y轴交于点D(0，-1)，

当-1＜k＜1时，x1x2＜0，S△OAB=S△OAD+S△OBD=12 |x1|+12|x2|= 12(|x1|+|x2|)=12|x1-x2|=2，

当-2＜x＜-1或1＜x＜2时，x1x2＞0,S△OAB=|S△OAD-S△OBD|=|12|x1|-12|x2||=12|x1-x2|=2.

所以(x1-x2)2=(22)2，即-2k1-k22+81-k2=8.解得k=0或k=±62.

所以k=0或k=±62时，△OAB面积为2.

5. 对称问题

例5已知抛物线y2=2px(p＞0)上有两点A，B关于点M(2，2)对称.

(1) 求p的取值范围；

(2) 当p=2时，AB的垂直平分线交该抛物线于C，D两点，问：平面内是否存在一点N到A，B，C，D四点的距离相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解(1) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是关于点M(2，2)

对称的抛物线上的两点.则x1+x2=4,y1+y2=4,y21=2px1,y22=2px2.

得y21+y22=2p(x1+x2)=8p，即(y1+y2)2-2y1y2=8p，得y1y2=8-4p，从而y1，y2是方程y2-4y+8-4p=0的两个不等实根.

所以Δ=16-4(8-4p)=16p-16＞0，所以p＞1.

(2) 抛物线方程为y2=4x，且A，B两点在抛物线上，则

y21=4x1,y22=4x2.

所以y21-y22=(y1+y2)(y1-y2)=4(y1-y2).

又y21-y22=4(x1-x2)，所以y1-y2x1-x2=1.

得AB所在直线的斜率kAB=1，从而CD所在直线的斜率kCD=-1，

则直线AB的方程为y=x，直线CD的方程为y=4-x.

由y2=4x,y=x,解得A(0，0)，B(4，4).

由y2=4x,y=4-x消去x，得y2+4y-16=0.

设C(x3，y3)，D(x4，y4)，

则y3+y4=-4，y3y4=-16，

从而x3+x4=12，

所以CD的中点P的坐标为(6，-2)，且|PA|2=40，

又(y3-y4)2=(y3+y4)2-4y3y4=80，

则|CD|2=2(y3-y4)2=160，

所以|PC2|=|CD|22=40.

所以|PA|2=|PC|2=|PD|2=|PB|2.

故存在这样的点N，其坐标为(6，-2).

直线与曲线联立问题 篇8

例1 已知椭圆C:undefined, 试确定 m 的取值范围, 使得对于直线L:y=4x+m 在椭圆C上存在不同的两点关于直线L对称.

解:设椭圆上存在不同的两点M (x1, y1) , N (x2, y2) 关于直线L对称, 线段MN的中点为P (x0, y0) , 则

①-②可得:undefined,

即undefined

由于MN⊥L, 所以undefined,

故 y0=3x, ③

又由P (x0, y0) 在直线L上得

y=4x0+m. ④

联立③④解得 x0=-m, y0=-3m.

因为点P (x0, y0) 在椭圆undefined内,

所以undefined, 即undefined,

解得undefined

所以 m 的取值范围为

undefined

例2 已知双曲线C:x2-y2=1及定点A (2, 0) , 若在该双曲线上存在不同的两点关于过点A的直线L对称, 试求出直线L的斜率的范围.

解:设双曲线C:x2-y2=1上存在不同的两点M (x1, y1) , N (x2, y2) 关于直线L对称, 线段MN的中点为P (x0, y0) , 由题意可得直线L的斜率K必存在, 设直线L方程为:

y=k (x-2) .

当 k=0时, 由双曲线的对称性知双曲线上存在关于直线L对称的两点M和N;当 k≠0时, 由 xundefined-yundefined=1, xundefined-yundefined=1两式相减得

(x1-x2) - (x1+x2) - (y1-y2) (y1+y2) =0,

即undefined

又由P (x, y) 在直线L上得:

y0=k (x0-2) . ②

联立①②解得 x0=1, y0=-k.

由 xundefined-yundefined>1, 或 xundefined-yundefined<0, 得1- (-k) 2>1, 或1- (-k) 2<0, 解得|k|>1.

综上:直线L的斜率的范围为 k>1, 或 k<-1, 或 k=0.

例3 若抛物线 y=ax2-1 (a>0) 上存在关于直线L:x+y=0对称的两点, 求 a 的取值范围.

解:设抛物线上存在不同的两点M (x1, y1) , N (x2, y2) 关于直线L对称, 线段MN的中点为P (x0, y0) , 则

y1=ax2-1, ①

y2=ax2+1. ②

undefined

因为MN⊥L, 所以 kMN=2x0a=1. ③

由点P (x0, y0) 在 x+y=0上的得

y=-x0. ④

由③④联立得undefined

因为 (x0, y0) 在 y=axundefined-1内部,

所以 y0>axundefined-1,

即undefined, 解得undefined

所以 a 的取值范围为undefined

直线与曲线联立问题 篇9

高三复习课案例片断简述:同学们直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题, 是解析几何中的重要内容之一, 也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型:1) 求中点弦所在直线方程问题;2) 求弦中点的轨迹方程问题;3) 求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。下面我们就第一个问题也就是求中点弦所在直线方程问题以例题的形式进行讲解。

例1:过椭圆内一点M (2, 1) 引一条弦, 使弦被点M平分, 求这条弦所在的直线方程。

注:教师给学生大约1分钟的时间审题, 然后开始引导学生分析题目, 同学们:本题已知了直线经过椭圆内一点M (2, 1) , 只要求出直线的斜率就可以求出直线的方程了。所以我们可以用待定系数法, 先设出直线的斜率K, 就可以求出直线的方程。请同学们写出解答过程。

解法一:设所求直线方程为y-1=k (x-2) , 代入椭圆方程并整理得: (4K2+1) x2-8 (2k2-k) x+4 (2k-1) 2-16=0

又设直线与椭圆的交点为A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则x1, x2是方程的两个根, 于是

故所求直线方程为x+2y-4=0。

点评:教师能从学生熟知的求直线方程的方法分析问题, 很自然地求出了直线的方程。从课堂教学的角度来说, 这位教师的基本功是比较扎实的, 教学效果也是比较好的。

同学们:刚才我们用了待定系数法, 解决了这个问题, 那么还有其它的方法解决这个问题吗?此时同学们回答:可以用设而不求的方法。那同学们写一下解答过程吧!此时老师请了一位同学到黑板上展示。大约10分钟, 这个学生写出了过程, 但逻辑性并不是很理想, 老师有点大失所望吧。老师也没有点评, 只是说:希望大家要注意书写过程的完整性。然后用多媒体展示了过程如下:

解法二:设直线与椭圆的交点为A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (2, 1) 为AB的中点,

所以x1+x2=4, y1+y2=2,

又A、B两点在椭圆上, 则x12+4y12=16, x22+4y22=16,

两式相减得 (x12-x22) +4 (y12-y22) =0,

故所求直线方程为x+2y-4=0。

从多媒体展示的过程来看, 这位老师准备是很充分的。师生共同把过程口头表述一遍。学生整齐的声音效果还是不错的。此时, 老师又问同学们:请大家想一想还可以用什么方法来解决这个问题呢?此时并没有人回答, 老师说同学们:大家想一想我们是否可以设出直线与椭圆的一个交点为A (x, y) , 把另一个交点从标, 用这A点及中点M坐标表示出来呢?学生们异口同声地回答可以。此时老师运用多媒体播放出了第三种解法如下。

解法三:设所求直线与椭圆的一个交点为A (x, y) , 由于中点为M (2, 1) ,

则另一个交点为B (4-x, 2-y) ,

两式相减得x+2y-4=0,

由于过A、B的直线只有一条, 故所求直线方程为x+2y-4=0

同学们, 如果是把椭圆改写成二次曲线可以吗?下面我们看一个例题2:设A、B是二次曲线C:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上的两点, P (x0, y0) 为弦AB的中点, 则

同学们, 当A→B时, 上面的结论就是过二次曲线C上的点P (x0, y0) 的切线斜率公式, 即k=-22ACxy00++DE, 这个结论说明了什么呢?学生进入了沉思之中。此时下课的钟声已经响起, 学生带着问题下课了。下课了, 我的思绪却久久不能平静。因为我在想一个问题, 那就是本节课老师要让学生经历什么样的过程, 在学生经历过程后, 学生能从本节课中“学会什么?”, 学生是否能从“学会”走向“会学”呢?从这位老师安排的内容来看, 前半部分让我能感觉到这是一堂不错的常规公开课, 老师能从一题多解的角度引导学生对学过的知识进行回顾与复习。但从后半部分来看, 老师好像是想尝试让学生从一般的规律中, 去发现问题, 掌握关于圆锥曲线中点弦所在直线方程这一类问题的解决方法, 我听出了新课程改革的味道, 但总觉得缺少点什么?

从课堂教学的维度来看, 对于一个主讲教师来说, 在组织教学过程, 应当把学生对知识产生的过程及运用知识解决问题的方法, 以自己已有的方式转递给学生。也可以说是通过课堂教学各个环节的驾驭, 把自己对新课程教学价值观念的理解, 以外在体现的方式, 以潜移默化形式影响学生的思维, 或者说诱导学生的思维, 从而达到心心交融的目的, 从而引导学生从“学会”走向“会学”, 提高课堂教学效率;从课堂学习的维度来看, 一节课对学生来说, 应当是学习体验认知的过程。在这个认知过程中, 学生可以通过教师的外在表达, 收容为自己的感悟———理解———判断———抉择。详细的说就是学生在学习过程中通过五官获得感官知觉信息, 在理解的基础上头脑中产生想象, 将所获得的经验意识提升为悟性意识, 通过内省洞察去理解问题、反省问题得出判断, 应该如何行动, 最后选择合适的方案去执行, 从“学会”走向“会学”。从一个听课者的维度来看, 我认为从本节课中教学过程中, 我看到的及听到的都是老师直接把自己的答案呈现给学生。我认为这是一种启发诱导的假象, 并不是真正的关注学生的主动性, 关注学生的个性特征。我认为教师应该抛弃一根粉笔、一块黑板的单纯说教, 不要以为用了多媒体就是新课程改革的课堂。我们只能引导学生走近丰富多彩的科学世界, 而不是把他们带进丰富多彩的科学世界, 要研究如何让学生真正自主经历科学学习的过程, 使学生在理解、掌握学科基本概念、理论的同时, 获得学习某学科的方法。在此学习过程中, 也许学生有可能花费大量的时间、精力, 没有取得预期的结果, 但这是更深刻的学习。通过此种学习, 学生学会了科学地提出问题、认识问题、解决问题, 形成了表现、交往、评价、批判能力等;学习将更加自由, 主体意识得到升华。

在一线教学中, 我们常常去听课, 作为一名听课者, 我们要善于跳出课堂中教师与学生的平面维度, 应当从第三个维度去认识、理解课堂, 也就是以一个研究者的身份, 去认识、理解课堂教学中的“过程与方法”目标的落实。以超宽超广的视域, 站在更高的层次去思考, 寻找学生学习学科知识结构与学生认知结构的有机结合的点。提出更加合适的、灵活的方法, 去落实课堂教学中的“过程与方法”目标, 真正实现学生从“学会”走向“会学”, 这也是教师自我成长的助推器。基于这样的思考, 我认为本节课可以从如下的角度去设计教学过程, 抛弃例题1, 以例2开始教学。

设抛物线y2=2px的弦AB的中点为P (xp0, y) 0 (y0≠0则 (假设点P在抛物线上, 则过点P的切线斜率为。

此时可以让学生通过练习体会成功的快乐。设置如下的练习已知抛物线的方程是x2=4y, 过引一条弦MN, 使P为MN的中点, 求M、N的坐标。

总之, 在教学过程中, 教师应该联系学生的生活实际, 认真挖掘教材, 利用丰富的教学资源, 引导学生经历过程, 自主寻求或建构答案。通过参与课堂讨论、合作小组等解决问题。在经历活动过程中学生的智育得到发展, 情意目标得到培养, 实现了教学过程的最优化。新的教学价值观念下“三维目标”的达成是一个新兴的工程、复杂的工程, 在教学中, 多以对话的形式将学生从教师的话语霸权中解放出来, 从而相互造就, 共同成长。师生都以活动主体、独立人格的身份自由地参与到课堂活动中去, 平等交流, 互尊互爱, 在经验共享中创生着和谐, 从而建构知识, 生成智慧, 完善情感态度和价值观。

参考文献

职业女性,直线生子曲线“升职” 篇10

现实生活中，生育影响到事业这是必然的。即便是公司给足够的产假并补发工资，或者产后保留岗位等等。女性有了孩子后，孩子占据妈妈大部分的精力和时间，一些挑战性的工作，实施的可能性与质量将大打折扣。与其在自己喜欢、看重的岗位上承受失败，或是有力不从心的局面，倒不如趁着生宝宝而主动撤下来。何况，女人的事业不应该仅仅局限在为他人创造效益上，自己也可以开创自己的事业。

从事贸易业务的美美，手上拥有大批客户资源。在目睹一位女同事因为怀孕被辞退的事件之后，就开始为自己将来生子打算，积极培养自己的人脉关系和客户资源。待时机成熟后，美美辞了职，和朋友一起开了一问贸易公司，自己当老板。这样一来，无论何时怀孕都不用担心失业的问题。有时只要转换一下思路，一切都会豁然开朗的。

小本创业，花小钱赚大钱

创业一：特色奶茶店

如果你希望事业宝宝都可兼顾，建议在闹市区开一家有特色的奶茶店。自己做老板兼伙计，加上房租、置办用具，所需流动资金和其他费用，投资可控制在几万元以下，每天为客人冲冲奶茶，跟孩子说说笑笑，生活充实而快乐，而且相信每个月的收入不会比做白领时少。无非是一个听起来是小老板，一个听起来是某大公司白领，除了一些名誉上的东西，生活并没有本质的改变。

创业二：幼儿早教机构

望子成龙是中国家长的普遍心态，为了孩子出人头地，很多家长认为“花再多精力与金钱都值”。投资儿童早教机构的门坎。平均约10～20万元。选址较适合在少年宫、儿童游艺场所及学校附近。选择熟悉儿童心理、拥有丰富实践经验的老师，是此行业竞争致胜的关键。只要打出了口碑，生意就会源源不断。

创业三：婴幼儿用品专卖店

目前投资国内品牌婴幼儿用品专卖店的资金一般约在1 5～25万左右，由于采取的是品牌专卖经营形式，货品质量能得到严格保证，所以利润较丰厚。但创业者必须注意：品牌婴幼儿用品专卖店中产品价格较高，易受区域消费水平的限制，所以在选址时应特别小心，一般应选在高档或成熟社区附近。

女性创业要注意什么?

首先要保证诚信经营，把目光放长远些，多数女性对于迅速盈利的期望并不很高，她们更愿意有稳定的收益和长久的规划，这就要求在经营过程中必须以诚信为首要原则，树立口碑。

其次是不轻言放弃，创业过程中难免遇到挫折。此时寻求家人朋友的鼓励很有必要，避免产生自怨自怜的情绪，坚持就是胜利。也就是说，顺境时能居安思危，逆境时能调整好心态。

直线与曲线联立问题 篇11

分析如图所示, 直角坐标平面内有一条曲线y=f (x) 和一条直线y=kx+b, 将直线向曲线位置平移, 发现当“平移直线”与曲线相切时, 曲线y=f (x) 上的所有点中切点P (x0, y0) 到直线y=kx+b的距离最短.而点P (x0, y0) 处“平移直线” (即该点处的切线) 的斜率就是原直线y=kx+b的斜率k, 这个斜率也是P (x0, y0) 处曲线y=f (x) 的导数.换而言之, 求曲线y=f (x) 上到直线y=kx+b的距离最短的点, 就是求该曲线上导数为k的点.

结论求已知曲线上的点到已知直线的最短距离, 就是先求出该曲线上导数等于已知直线斜率的点, 再用点到直线的距离公式求出该点到已知直线的距离, 这个距离就是“最短距离”.

下面, 通过几个例子认识﹑理解上述结论:

例1设有曲线y=x2-4x+5和直线y=2x-3, 求该曲线到直线的最短距离.

解析根据上述“结论”, 应先求出曲线y=x2-4x+5上导数等于2的点:

则曲线上导数等于2的点是P (3, 2) .

再求点P (3, 2) 到直线y=2x-3的距离:

例2已知直线3x+y-5=0和曲线y=x3-3x2-3x+2, 求该曲线上的点到这条直线的最短距离.

解析方法和上题基本相同, 计算过程如下:

则曲线上导数为-3的点是P1 (0, 2) 和P2 (2, -8) , 分别求这两点到直线的距离: