从植树问题谈数学建模

从植树问题谈数学建模（共9篇）

从植树问题谈数学建模 篇1

从《植树问题》谈数学建模 哈尔滨市经纬小学校 刘洋

教学片段：

师：同学们，你们知道最早的计数方法是什么吗？对了，结绳计数。这节课，老师也带来了一根绳子。这是一根长0.4米的绳子，平均0.1米分一段，可以分几段？ 生：0.4÷0.1=4（段）师：为什么用除法？ 生：因为是平均分。

师：在这根长0.4米的绳子上，每隔0.1米打一个结，共可以打几个结？ 生：0.4÷0.1=4（个）

师：究竟可以打几个结，请利用学具在小组中实际验证一下，看看有哪些情况？ 生：小组操作

师：哪个小组可以汇报你们的验证结果？

生1：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打5个结。生2：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打4个结。生3：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打3个结。师：仔细观察这三组结论，有什么发现？

生：第一组绳子的两端打了结。第二组绳子的一端打结，另一端没有打结。第三组绳子的两端都没有打结。

师：这么多种情况，我们逐一研究。先从第一组绳子两端都打结的情况开始，好不好？ 师：我们一共解决了两个问题，这两个问题一样吗？ 生：不一样

师：几段，几个有什么不一样呢？

生：段是指两个点之间的部分，个在这里表示打了几个结，结是打在段与段之间的点上的。师：段和点的差别又是什么？ 生：1段有2个点。师：2段有几个点？ 生：3个点。

师：点和段有什么联系？ 生：点比段多1。师：我们一起来数一数。

在数学中，我们可以用一条适当长度的线段来表示这条长度为0.4米的绳子，把这条线段平均分成4份，线段上的每一个点就可以表示绳子上的结。我们再来数一数，看看在这条线段上点和段之间是否还有这样的关系。

师：请你也选择一条适当长度的线段来表示这条绳子，用线段上平均分得的点来表示绳子上的结。生：展示作品

师：说一说你是怎样画的？为什么这样画？一共可以打几个结？

生：我用这样长的一条线段表示这条绳子。在这条绳子上每隔0.1米打一个结，就是把这条绳子平均分成了4分，所以我把这条线段也平均分成4份，这样线段上一共有5个点，那么这条绳子就可以像这样打5个结。

师：不用画线段图，如果这条绳子长1米、2米、3米……又该打几个结呢？请同学们拿出学习卡，填写表格。

师：认真观察表格，你发现在这样的一条线段上画点，段数和点数之间有什么关系？将自己的发现在小组内说一说。生：汇报发现。

师：为什么两端都打结，点数比段数多1？

借助课件帮助学生进一步直观理解。

师：在这种两端都打结的情况中，我们发现点与段之间有这样的关系，那么其他两个小组汇报的情况中，点和段又有怎样的关系呢？ 生2：我们小组发现，点和段数量相同。师：能用线段图表示你们的结论吗？试一试 生：展示作品

师：我们一起来数一数。

生3：我们小组发现，点比段少1。我们也可以用线段图这样表示。（展示作品）师：我们一起来数一数。

师：你们都是善于观察发现并乐于研究的孩子。

师：在数学中，我们把类似于这样的问题称为植树问题。这也是我们本节课要重点来研究的问题。像这样直直的线段我们可以把它看做一条直直的小路，通常我们可以把树植在像这样平均分的点上。在数学中，通常把这样的段叫做间隔，每一段的长度就是间隔长，那么段的数量就是间隔数，把这样的点称为棵，那么点的数量就是棵数。

像第一种两端都植树的情况，棵数与间隔数之间有什么关系？ 生1：棵数=间隔数+1 生2：老师我知道了。像第二种一端植树另一端不植树的情况，棵数与间隔数之间的关系是，棵数=间隔数。

生3：像第三种两端都不植树的情况，棵数与间隔数之间的关系是，棵数=间隔数-1。教学反思：

课标中对建模有这样的描述：建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立等式等表示数学问题中数量变化和变量规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用知识。对几何直观又有这样的描述：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。本节课从实物模型到数学图形（线段图），教者用这样的方式借助几何直观帮助学生分析问题并学会一种分析问题的方法，不失为这节课的亮点之处。

一、面向全体，暴露已有认知经验

“师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。”学生的已有经验中包括已有认知经验、已有知识经验，也包括已有活动经验。本课以“同学们，你们知道最早的计数方法是什么吗？”这样的问题导入新课是面向全体学生的，照顾到全体学生的已有认知经验——结绳计数，又照顾到学生刚刚掌握的已有知识经验——小数除法。由一个问题沟通已有经验和探究问题，照顾到全体学生的发展水平。

二、构建模型，充分利用数学思想

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。广义的讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。狭义的讲，只有反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫数学模型。选择从实物模型过度到数学模型（线段图）就是一种广义上的建模。儿童的思维特点就是形象思维优于抽象思维，因而对于比较抽象的数学知识，借助几何直观，通过建模，帮助学生进行思维转换的做法是比较科学的。让学生借助绳子这一实物模型探究数学问题，可以帮助学生很好的将外部世界和数学沟通起来。学生在观察和操作的过程中，在相同的解决问题的情境下反复经历由实物模型到数学模型的抽象过程，培养学生的模型思想，锻炼学生的抽象思维。选择贴近学生已有认知经验的，形象性更强的实物模型符合儿童的形象思维特点。

学生通过对比观察所展示的成果，从中学生发现：在同一问题情境下却出现三种不同结果，从而引导学生观察思考，发现三种不同结果之间的内在联系与本质区别。学生在对比观察的过程中，发现三种结果平均分得的份数相同，而所画的点数却不同。进而归纳出三者不同之处的关键在于绳子的端点处是否画点以及画几个几点。学生根据不同猜测点数与平均分得份数之间有怎样的数量关系。

仅仅通过猜测得出结论并不科学，还需要继续验证。由于本课要对三种情况都进行验证，课程容量非常大，因此，课上重点验证第一种最基本的情况，即“两端都画点”。其他两种情况学生可以自主选择运用画图分析、合情推理等方法进行验证。

三、落实四基，积累基本活动经验

课标中指出数学学习的四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。通过画图分析和数据积累帮助学生积累基本活动经验的同时，使学生掌握了探究问题的方法，即画图分析和数据积累。

本节课以这样的问题：“仅通过一组数据，就能验证结论是正确的吗？”引导学生经历举例验证积累数据的过程，进一步发展学生的抽象思维，经历由一般到特殊的思维发展过程。考虑到探究容量大及学生的接受能力，将填表举例的过程中难度降低，只研究加减情况，使学生经历绳长变化，间隔长不变，仿照上述探究活动，用画线段图的方法在画一画，分一分，填一填，在一系列探究活动中再次经历验证规律的过程。

本节课借助几何直观，激发学生已有认知经验，通过建模，逐步深入的引导学生通过合理猜测、画图分析、寻求规律、解决问题一系列掌握一种数学活动经验。学生在本节课不仅仅学会解决一类问题的方法，感受几种数学思想，而是学会了一种探究问题的方法，这才是学生最应该积累的数学学习经验，在“做数学”中将生活“数学化”。

从植树问题谈数学建模 篇2

“植树问题”是人教版教材四年级下册内容, 教师对于这一课的教学往往是从“间隔数”入手进行的 (教材也是这样编的) , 但笔者在实践后发现这样教学的实际效果不是很理想。对部分学生展开调查了解后发现主要有以下几个问题。

题目:在长度为20米的路的一边种树 (两头被房子挡住) , 每隔5米种一棵, 一共种树多少棵?

学生1 (画出图1) :这明明是2个间隔, 怎么能说是4个间隔呢?

题目:在长度为20米的路的一边种树 (一头被房子挡住) , 每隔5米种一棵, 一共种树多少棵?

学生2 (画出图2) :这明明是3个间隔, 怎么也说有4个间隔呢?

原来都是“间隔数”惹的祸, 把学生搞糊涂了。

一方面, 没有间隔教师却说有间隔, 如图1的首尾两段, 图2的最后一段, 这与低年级教师讲的间隔有出入, 也与学生在生活中认识的间隔数不相一致, 与学生的经验相矛盾。

另一方面, 植树问题的间隔数与棵数有三种情况, 学生要学会不同情况不同分析, 增加了记忆的负担和思维的难度, 这对中下学生来说, 难上加难。因此教学效果不佳。学生由于注意不全面, 所以往往顾此失彼, 碰到三种具体的情况要想搞清楚“间隔数”与“棵数”的关系有一定的难度。教材这样编, 是从“两头都种” (间隔数=棵数-1) 入手, 再到“只种一头”或“两头都不种”, 这样思考是没有错的。但学生不这样思考, 如上例, 学生不关注房子, 不是思考先假设两头都种有几个间隔, 再分析间隔数与棵数的关系, 而是直接画图观察, 发现树与树之间只有2个间隔、3个间隔, 哪里有4个间隔?于是就产生了困惑。

那么, 有没有方法既能降低内容的难度, 又能帮助学生理解算理掌握解法?从题目中可以知道, “段数” (份数) 是不变的, 如在长度20米的路的一边种树, 每隔5米种一棵, 不管你怎么种, 都是4段, 段数不变。学生所说的图1、图2两例中, 这4份不是“间隔数”, 而是“段数” (份数) 。这就可以引导学生思考:能不能从“段数”入手探究“植树问题”呢?对此, 笔者进行了尝试, 发现效果不错。

【教学尝试】

一、引出“段数”, 铺垫孕伏

问题:

1. 把一根12米长的木条, 锯成每段长3米, 可以锯成多少段?

2. 把一根30米长的绳子, 剪成每段长2米, 可以剪成多少段?

3. 在一条长24米的路上, 每6米画一段作为停车用, 可以分成多少段?

总结并板书:怎样求出段数?总长度÷每段长度=段数 (这一知识学生已经知道)

二、基于“段数”, 探究新知

第一层次:讨论并形成共识, 植树有三种情况。

引导:如果在这条24米长的路的一边, 每隔6米种一棵树, 一共要种多少棵树?你认为有几种种法?

学生在纸上模拟植树, 思考讨论后汇报:

植树有三种情况:

第一种:两头都不种;第二种:只种一头;第三种:两头都种。

初步观察思考:总长度多少?每段长多少?可以分成多少段?段数与棵数有什么关系?

第二层次:独立模拟植树, 充分感知。

材料:发给每位同学一张纸, 纸上打印有4条不一样长的线段 (20厘米、18厘米、15厘米、12厘米) , 标出每1厘米处。

在纸上进行模拟植树, 要求:

1. 每隔几厘米种一棵自己确定, 但每一段相等。

2. 在某处种树就在这点上画“○”, 上面的三种情况, 只种一头的情况种两种, 其他两种情况各种一种。

3. 种好后思考上面四个问题:总长度多少?每段长多少?可以分成多少段?段数与棵数有什么关系?并按照这四个问题汇报。

第三层次:观察分析, 归纳方法。

以“只种一头”为突破口建构知识。让学生先汇报“只种一头”的情况。

生:总长度20厘米, 每段长5厘米, 可以分成4段, 4段只种一头就是种4棵。

生:总长度18厘米, 每段长3厘米, 可以分成6段, 6段只种一头就是种6棵。

生:总长度15厘米, 每段长5厘米, 可以分成3段, 3段只种一头就是种3棵。

……

总结:什么情况下段数等于棵数? (只种一头的情况下) 段数怎么求? (总长度÷每段长度=段数)

第四层次:类化拓展, 完善知识。

如果“两头都不种”, 那么如何求棵数? (段数-1=棵数) 结合上面例子说一说:总长度为20厘米, 每段长5厘米, 可以分成4段, 4段只种一头就是种4棵, 两头都不种就去掉1棵, 即:4-1=3 (棵) 。 (其他略)

如果“两头都种”, 那么如何求棵数? (段数+1=棵数) 结合上面例子说一说:总长度20厘米, 每段长5厘米, 可以分成4段, 4段只种一头就是种4棵, 两头都种就加上1棵, 即:4+1=5 (棵) 。 (其他略)

让学生根据自己的模拟植树去理解:总长度÷每段长度=段数, 在只种一头的情况下, “段数”就等于“棵数”。只种一头的情况会了, 两头都不种就减去1棵, 两头都种就加上1棵。这样, 学生就容易理解。

三、运用段数, 巩固知识

设计练习, 让学生灵活解答三种不同情况的植树问题, 巩固知识, 发展能力。

【教学思考】

通过教学尝试, 笔者取得了比较好的教学效果, 并达到了以下几个教学目的。

一、切合了学生学习实际

在教学中, 笔者从段数入手, 不管怎么种, 都是4段, 段数不变。这样就没有了本文开头所说的问题, 并且学生能够接受理解。实际上植树问题所讲的“间隔数”就是“段数”, 但用了“间隔”这个词就很容易与低年级教师讲的“间隔”及生活中的“间隔”相混, 那何不直接用“段数”呢?从实际教学效果看, 从“段数”入手符合学生的学情, 便于学生理解本课内容。新课程改革后提倡“以学论教”, 意思就是教师的“教”要植根于学生的“学”, 学生怎么学, 教师就怎么教;学生有什么困惑, 教师就要帮助解决或引导学生自己学会解决。因此, 学生每一节课的学习会存在哪些困难, 教师要了如指掌。只有全面了解了学生的学习困难, 才能对症下药帮助解惑。从本课看, 学生面对“间隔数”无所适从, 这是学生的“惑”, 教师要“解惑”就应创造性地使用教材, 从学生能够接受的“段数”入手重组教材, 这样做, 才是体现“以学论教”的精髓。

二、减轻了学生记忆负担

原来的教学, 学生既要记“间隔数” (何况学生还搞不清楚“间隔数”) , 又要记每种情况下“间隔数”与“棵数”的关系, 负担很重。现在这样教学, 整节课下来, 学生只要记住“只种一头的情况下, 段数等于棵数”就好了, 记忆的负担轻。如何求“段数”属于旧知识, 比较简单, 学生早已知道并且能够熟练计算, 况且“段数”不像“间隔数”那样变化不定, 而是一定的, 学生不需要灵活分析把握。通过大量的例子搞清楚了“只种一头”的情况, 那么, 另外两种情况就可以依此类推、触类旁通, “两头都不种”就减去1棵, “两头都种”就加1棵, 学生容易理解并记住。

三、整体建构了知识体系

原来是以“两头都种”入手建构知识体系, 但由于学生搞不清楚“间隔数究竟是多少”而影响教学效果。现在, 以学生熟知的“段数”入手, 重点分析“只种一头”的植树情况, 发现“棵数”就等于“段数”, 降低了思维的难度, 化繁为简, 便于掌握, 在此基础上拓展学习“两头都种”或“两头都不种”就显得水到渠成、驾轻就熟了, 这样以点带面、整体建构植树问题的知识体系, 是一种创新, 实践之后, 教学过程简洁流畅, 结构比较协调, 重点突出, 难点突破。学生既掌握了植树问题的知识, 又形成了比较熟练地求出各种情况下的“植树棵数”的技能, 还发展了分析、概括等各方面的能力, 并且学得轻松愉快, 效果较好。

从“植树问题”看模型思想的教学 篇3

小明从第1棵树匀速走到第6棵树用了3分钟，那么以相同的速度从第一棵树走到第30棵树需用几分钟？（每两棵树之间的距离相等）

思路简析：很显然，这道题属于“植树问题”的拓展应用，解答这道题首先要知道“植树问题”的间隔规律（棵树比间隔数多1），然后根据间隔规律分别推算第1到第6棵树之间有5个间隔，每个间隔时间为3÷5=0.6分钟。然后再根据1到30棵树有29个间隔，将0.6×29 求出共需要的时间。访谈中，我们了解到大多数学生对不同“植树问题”的间隔规律不是很理解，不清楚这道题要归结为哪一种模型的“植树问题”来解决。

原因分析：“植树问题”在人教版四年级下册已经学习过，2014年修订教材调整到五年级上册，按道理应该不难理解。可学生的得分率如此之低很是出乎笔者的意料。经过访谈，笔者了解到，大多数学生都能说出间隔数和植树棵树之间的关系，但是将植树问题模型与生活实际相关联不熟悉，笔者认为这可能与教师授课时的侧重点有关系。该班级的教师在四年级教学时，采用整体教学的办法，把“植树问题”的三种类型，即所谓的“两端都种”“只种一端”与“两端都不种” 在一节课中同时呈现。并将“三种情况”的区分以及相应的计算方法（“加一”“不加不减”与“减一”）看成一种“规律”，要求学生熟练记住，牢固掌握。由于时间紧张，该教师在比较三种类型后没有时间进行把生活中的问题转化成“植树问题”的环节，课后也没有花时间进行专项训练，致使学生对模型的理解仅仅停留在典型的“植树问题”上。有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把“植树问题”的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律解决问题。

二、对“植树问题”教学中问题的反思

1. 教学时应注重“植树问题”的模型应用。

“植树问题”的教学涉及两种层面的数学活动：其一，“植树问题”可区分出三种不同的数学模型，即“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”；其二，以“植树问题”为原型引出普遍性的“间隔现象”的思考模式，然后再利用这一模式去解决各种新的实际问题，如“路灯问题”“排队问题”“锯树问题”“爬楼问题”等。在实际教学中，教师们往往过于重视第一个层面的教学活动，即注重三种不同模型的区分，而对第二个层面的教学活动缺乏应有的重视。这样就可能导致学生未能清楚地认识到上述现实问题都与“植树问题”有着相同的数学结构，可以被归结为同一个数学模式，这样的“植树问题”教学无疑是有问题的。本题较低的得分率提醒我们：“模式应用”要比“三种情况的区分”有着更大的重要性。

俞正强老师执教的“植树问题”一课。他在引导学生理解了“植树问题中的树是种在平均分的点上”后，随即提出一个问题让学生思考“除了植树人把树种在点上，还有什么人把什么也放在平均分的点上？”这个问题很巧妙地将“植树问题”引入生活，让学生回到生活中找“植树问题”。学生列举这些例子：服务员杯子的放法，工人每隔几米打地基，路灯的建设，每隔40米建一幢房子等都是放在平均分的点上。显然，学生所说都是比较平常的事例。此时，俞老师有意举出不同的例子：“高速公路，每隔50米设1个服务区”“美国选总统每5年选一次”“每隔一学期一张奖状”等引导学生理解这些例子与植树类似。在俞老师的拓展启发下，学生想出的生活例子更多了。最后俞老师小结：“生活中的‘植树问题’，研究的是平均分中的点。”在这个环节中，俞老师花的时间比较多。其实就是从抽象的数学模型出发，联系生活实例，拓宽学生思路，不断加深对“植树问题”这类数学模型的理解，取得了很好的教学效果。

2. 改进“植树问题”的模型建构策略。

策略一：从除法的意义入手建构模型。

笔者认为，学生在学习“植树问题”之前已经学会用除法算式解决实际问题，那么，在解决“植树问题”的过程中可以基于学生的学习基础，从除法的意义入手，将“植树问题”作为用除法解决问题中的一类特殊情况加以处理，可以采用“一一对应”的思想，在理解“间隔数和棵树”这两者关系的基础上，引导学生逐步建构“商+1，商，商-1”的植树问题模型，并在解决问题的过程中学会具体问题具体分析，判断数学模型，应用数学模型解决问题。

俞正强老师分四个层次解决“植树问题”的建构问题。

（1）从除法意义入手。第一个问题：“20米，每5米分一段，共分几段？”这个问题是二年级平均分的问题。学生一下就列出了算式：20÷5=4（段）。“为什么用除法来做？”“你什么时候会做这种题目的？”通过一连串问题，回归除法的意义，帮助学生复习——用除法算式解决问题的最根本的意义是平均分。

（2）变式思考。第二个问题：“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树？”学生的普遍想法是：20÷5=4（棵），都认为也是在把20平均分，所以是4棵。而只有一位学生的想法是不同的，他认为是“20÷5+1=5（棵）”，因为在0米时要种一棵。俞老师通过一连串追问，学生不断地进行思考与表述，最后通过画图得出是5棵。利用数形结合思想，帮助学生理解“树是种在哪儿的？”

（3）两题比较。俞老师追问：“这两题一样吗？不一样在哪里？”学生通过对问题的思考，区分出平均分是一段一段地分，而种树是种在段与段之间两端的点上。教师板书：点。 接着，教师不断追问：“点与段的差别在哪里？”“点多，还是段多？”“怎么个多法？”“ 1段是2点，2段是3点，3段是4点，4段是5点……”当学生清楚地得出“棵（点）=1+平均分”时，教师小结：“植树是植在点上的。”

（4）问题变式。如果把20米改成50米，改成100米，200米呢？还能解决吗？“不管换成多远，方法都是一样的。”俞老师将例题引申到更为普遍的现象中。

策略二：从基本模型拓展到其他模型。

前文提及，在“植树问题”中涉及“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”这三种模型，笔者认为，这三种模型应该以“两端都种” 为基本模型，教学中不应该对三种模型平均用力，可重点教学“两端都种”，在此基础上通过变式发展得到“只种一端”与“两端都不种”的数学模型。这样既把握了三种数学模型的内在联系，又避免了教学时间不足的矛盾。仍以俞老师执教的“植树问题”为例：教师在引导学生建立“20÷5+1”这个数学模型后，巧设了两个变式情境，并做拓展。

（1）一端不种。教师问：“某某小朋友，你扛着5棵树准备去种，如果其中一端被一栋房子挡住了，你怎么办？”在教师的引导下，学生得出方案：带回一棵树，即“20÷5+1-1”，也就是一端不种减1。

（2）两端不种。教师又问：“某某小朋友，你也扛着5棵树去种，两端都被房子挡住了，你怎么办？”此为呈现出另一种特殊情况，即两端不种，带回两棵。学生得出方案：“20÷5+1-2”，即两端不种减2。

这两个模型则是在“20÷5+1”这一经典模型的基础上演变出来的。带回1棵就减1，带回2棵就减2。清楚直观，不易混淆。

（3）模式拓展。教师又追问：“除了种树外，什么情况下可以一端不种，什么情况下可以两端不种？”通过再一次的举例，学生对“植树问题”在生活中的应用有了更为深入的理解。

学生学习“数学模型”的建构与应用，需要经历一个长期的、不断积累经验与不断深化的过程。教师在教学实践中结合数学知识的教学精心培育模型方法，使学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。教师要重视数学模型的应用，引导学生用数学模型来描述身边的自然现象和社会现象。

数学广角植树问题公开课 篇4

2011-2012学年下学期

一、由生活引入新课

三月，暖风习习，春日和煦，我们迎来了一年一度的“植树节”，大家来说说植树节的意义和来历，你参加过植树活动吗？植树不仅能美化环境，改善生态，而且植树中还有很多数学问题。

为了美化我们的环境，同学们决定在路边种植一些樟树，绿化我们的环境。今天这节课，我们就一起来研究“植树问题”。（板书课题：植树问题）(设计意图：精心设计生活情景，联系生活中事例，体会数学知识在日常生活中的广泛应用，让学生在实际操作中初步感受植树问题的特征。)

二、探究新知

1． 创设情境，提出问题。①课件出示图片。

出示题目：这条公路全长1000米，每隔5米种一棵树（两端要种）。一共需要多少棵树苗？ ②理解题意。

问：1.从题目你们知道了什么？（说一说）

2.题目中每隔5米栽一棵是什么意思？

3.题目中有什么地方要提醒大家的吗？（两端要栽）4.一共需要多少棵树苗？（猜一猜）。③反馈答案。

方法一：1000÷5=200（棵）

方法二：1000÷5=200（棵）200 +2=202（棵）方法三：1000÷5=200（棵）200 +1=201（棵）

师：现在出现了三种答案，我们数学不能光靠猜，还需要用事实来验证。谁来说说你有什么办法。(咱们可不可以画图模拟实际种一种？如果从图上一棵一棵种到1000米，数一数，是不是就能知道到底谁的答案是正确的了呢？)现在请大家动手验证你们的猜想对不对。2.简单验证，发现规律。

①画图实际种一种。

课件演示：我们用这条线段表示这条绿化带。“两端要种”，我们从绿化带的这头开始，先在头儿上种上一棵，然后隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，照这样一棵一棵的种下去„„

师：大家看，已经种了多少米？（45米）这么长时间才种了45米，一共要种多少米？（1000米）要一棵一棵一棵一直种到1000米呀？！同学们，你有什么想法？（太累了，太麻烦了，太浪费时间了）

师：老师也有同感，一棵一棵种到1000米确实太麻烦了。其实，像这种比较复杂的问题，在数学上还有一种更好的研究方法，大家想知道吗？这种方法可不是一般的方法。大家听好喽，这种方法就是：遇到比较复杂的问题先想简单的，从简单的问题入手来研究。比如：1000米的路太长了，我们可以先在短距离的路上种一种，看一看。大家想不想用这种方法试一试？ ②画一画，简单验证，发现规律。

a.先种15米，还是每隔5米种一棵，画图种一种，看种了多少棵？比一比，看谁画得快种的好。（板书：3段 4棵）

b.跟上面一样，再种25米看一看，这次你又分了几段，种了几棵？（板书：5段 6棵）

c.任意选择一段距离再种一种，看这次你又分了几段，种了几棵？从中你发现了什么？

（板书： 2段 3棵；7段 8棵；10段 11棵。）d.你发现了什么？

小结：你们真了不起，发现了植树问题中非常重要的一个规律，那就是： 板书：两端要种：棵树=段数+1）③应用规律，解决问题。a.课件出示：前面例题

问：应用这个规律，前面这个问题，能不能解决了？那个答案是正确的？ 1000÷5=200 这里的200指什么？ 200 +1=201 为什么还要+1？ 师：这个“秘方”好不好？

通过简单的例子，发现了规律，应用这个规律解决了这个复杂的问题。以后，再遇到“两端都要种”要求棵树，知道该怎么做了吗？ b.解决实际问题

例1 同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？(学生独立完成。)问：这道题是不是应用植树问题的规律解决的？

师：看来，应用植树问题的规律，不仅仅能解决植树的问题，生活中很多类似的现象也能用植树问题的规律来解决。

小结：刚才，我们应用发现的规律，解决了一个实际问题。我们已经知道，“两端都要种” 要求棵树用段数+1;如果“两端不种”棵树和段数又会有怎样的关系呢？

(设计意图：主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，经历猜想、实验、推理、发现等数学探索的过程，通过不完全归纳法验证自己找到的规律。运用解决问题的规律来解决实际生活中问题，激发学生对数学的求知欲，提高学生学习数学的兴趣。)

三、合作探究，“两端不种”的规律 1． 猜测“两端不种”的规律。

猜测结果是：两端不种：棵树=段数－1 师：到底同学们的猜测是不是正确呢？我们还是用前面学习的方法，举简单的例子画一画，种一种。

要求：每人先独立画一段路种种看；然后4人一组进行交流。你们组发现了什么规律？

2． 独立探究，合作交流。

3． 展示小组研究成果，发现规律，验证前面的猜测。

小结：同学们太了不起了，通过举简单的例子，自己又发现了“两端不种”的规律：棵树=段数-1。如果“两端不种”求棵树，你会做了吗？ 4． 做一做。

①在一条长2000米的路的一侧种树，每隔10米种一棵（两端不种）。一共需要多少棵树苗？（学生独立完成）

②师：同学们注意看，这道题发生了什么变化？ 课件闪烁：将“一侧”改为“两侧”

问：“两侧种树 ”是什么意思？实际要种几行树 ？会做吗？赶紧做一做。小结：今天我们研究了植树问题的两种情况。发现了两端要种：棵树=段数+1；两端不种：棵树=段数—1。以后同学们在做题的时候，一定要注意分清是“两端要种”还是“两端不种”。

（设计意图：结合生活实际运用所发现的规律解决问题，从而促进理解，提高解决问题的能力。）

四、回归生活，实际应用

在我们生活周围存在许多类似的植树问题，请仔细想一想，哪些问题可以用植树问题的方法来解决。（比如：栽花、排队、走楼梯、锯木头等）（说不出来：相信通过下面的练习，你会想到很多类似于植树问题的情况）1．练习：

A、老师从一楼底层去某教室，每走一层楼有24个台阶，共走了48个台阶。你知道老师去了几楼教室？（48÷24+1=3（楼））

B、一根10米长的木头，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共需要多少分钟？（（5-1）×8=32（分钟））（独立解答后反馈，并说出理由）

2．自主练习（任选一题练习）

（1）绿化队要在150米的小路两旁植树（两端都要种），相邻两棵数之间的距离是3米。一共要栽几棵树？150÷3+1=51（棵）51×2=102（棵）（2）在街道两旁安装路灯（两端都安装），每隔50米安装一盏，共安装了20盏。根据这些信息，你能估计条天街的全长吗？ 20÷2=10（盏）50×（10-1）=450（米）

3．发散练习同学们布置教室，挂了7只红灯笼，每两只红灯笼中间再挂了2只黄灯笼，你知道同学们一共挂了几只黄灯笼吗？（7-1）×2=12（只）（设计意图：通过分层练习的设计，满足不同学生的不同学习需求，让每个学生得到最大限度的发展。）

五、全课总结

通过今天的学习，你有哪些收获？

师：通过今天的学习，我们不仅发现了植树问题中两端要种和两端不种的规律，而且还学习了一种研究问题的方法，那就是遇到复杂问题先想简单的。植树中的学问还有很多，有兴趣的同学，课下可以查阅有关的资料继续研究。板书设计： 植树问题（两端都种）

100÷5+1=20+1=21（棵）

100÷4+1=25+1=26（棵）棵数 = 间隔数+ 1=全长÷间隔长+1 100÷2+1=50+1=51（棵）

5×（21-1）=100（米）全长=间隔长×（棵数-1）100÷（21-1）=5（米）间隔长=全长÷（棵数-1）教学反思：

本节课的教学对象是四年级学生，依据新课程要求：教学中要关注学生的学习过程，注重学生的学习体验，尊重学生的个性思维。为了激发学生的兴趣，我在教学过程中以实验法教学为主，同时采用问题解决法的体现“以学生为主体，教师为主导”的原则，在学法上归纳为：

1、由生活引入新课 引起学生的好奇心和求知欲，使学生好学。

2、探究新知 调动学生的积极性，使学生会学，在学习过程中有意培养学生主动探索的能力。

3、运用电脑富足教学和直观教学等多种手段，以活跃课堂气氛，使学生乐学。

从植树问题谈数学建模 篇5

1、了解同一直线上植树问题的三种基本情况，能阐述不同情况下棵数与间隔数的关系，

2、能根据不同情况选择正确方法解决问题。

3、通过摆一摆、画一画、比一比等方法体会在一条直线上植树三种基本情况的联系。

4、在解决实际问题中感受数学的价值。

教学重点：能阐述不同情况下点数与间隔数的关系，

教学难点：能根据不同情况选择正确方法解决问题。

教学准备：图片、小棒、习题

教学过程：

一、初步感知点与间隔数

同学们已经四年级了,在学校里上操,上体育课都少不了要排队,老师要请三位同学到前面按照老师的要求排队。(请三位同学到前面来)

师：面向老师排成一路纵队。相邻两位同学之间间隔1米。

师：排得不错。这路纵队长几米?你是怎么知道的? (生回答)

师讲解：这个同学到最后一个同学的距离叫做队伍的全长(总长);相邻两个同学之间的距离叫做间隔(板书：间隔、强调间的读音是四声);现在3名同学站队有几个间隔;(2个)这三名同学也可以当成三个点(板书：点)。

老师把这几个同学排队的情况抽象成平面图(师板书平面图)，你能看懂吗?这几个点表示什么?点与点之间的是间隔。

师：间隔可以是人与人之间的距离，也可以是人与物，物与物之间的距离……

师：请同学们再数一数在平面图上有几个点?几个间隔呢?想象一下，四个同学排成一队会有几个点，几个间隔?试着像老师这样用线段图来表示。(生试画、展示)

师：如果是5名同学、6名同学以至于更多的同学站队会有几个点，几个间隔?请同学们用桌上的小棒来演示验证一下，摆的越多越好。(老师叫停)

师：数一数，5个同学是几个点，几个间隔?6个呢……

师：在刚才同学的站队及你的整个摆小棒的过程中你有什么发现?(排队人数比间隔多1,间隔比人数少1)

师：请同学们把学具整理一下。

师：在我们教室里也有这样点与间隔的现象存在，请同学们用你智慧的眼睛找一找。

生1：四个桌子间有4个点，3个间隔。

生2：三个窗户间有3个点，2个间隔。

生3：棚上有两盏灯，所以就有2个点，1个间隔。

师：大家都抬头来仔细观察、并且认真数一下，两盏灯之间到底有几个点，几个间隔?(2个点、1个间隔)

师：你认为什么是间隔?(灯与灯之间的距离就是间隔)

师：间隔就是距离，它可以是人与人之间的距离，也可以是人与物，物与物之间的距离……灯与灯之间有距离吗?(有)这就是间隔。灯与墙之间有距离吗?(有)那也是间隔。现在请同学们再数一数现在你看到的是几个点，几个间隔?(2个点、3个间隔)

二、引题。

在现实生活中，我们常常会遇到像同学们站队这样与点和间隔有关的问题，数学家把这类问题统称为植树问题，这节课我们就一起研究和解决一些简单的植树问题。(板书：植树问题)

三、植树问题与同学站队建立联系，找出两端都植树棵数与间隔数的关系

(1)例1 ：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔20米栽一棵(两端要栽)。一共需要栽多少棵树苗?

师：请同学们默读两遍，通过阅读你获得了哪些数学信息?(生说信息)

师：这里说的种树和刚才的排队活动有什么联系?(同学按自己的理解讲解)

教师讲解：这条小路的长100米相当于排队的队伍的总长;每两棵树之间的距离20米相当于相邻两名同学之间的距离;种树的棵数相当于排队的人数。想一想，在这一题中，什么相当于点?什么相当于间隔?

师：请同学们用你桌上的小棒摆一摆，看100米的小路上到底可以栽多少棵树苗?然后将你摆的抽象成平面图在练习本上画出来。(生试摆、试画)(找一生上黑板画线段图，生说是如何想的，可能出现的答案：我是这样表示的。先画一条长的线段表示这条小路，再画出第一个间隔，标出这个间隔的长是20米。)

师：我们可以直接算出什么?列式 100÷20=5

师： 这个5表示什么呢?(有5个间隔，这条小路可以分成20米长的5段)所以5的单位是什么?(个) 完成这道题了吗?(没有)为什么?请同学们在练习本上写出算式。

师：谁来说一说这一题的解题过程。

师：通过摆一摆和画线段图，你发现棵数与间隔数之间的规律吗?(生答：棵数总比间隔数多1)能用一个公式的形式表示它们的关系吗?(板书：棵数=间隔数+1)

师：什么情况下棵数比间隔数多1呢?(师在黑板上画一个两端都不植树的平面图)引导学生得出在两端都植树的情况下。(板书：两端都植树)

过渡小结：刚才，同学们把植树和排队活动联系起来，发现了当两端植树时 棵数=间隔数+1。是不是说只有植树才是植树问题呢?(不是的)对，在我们熟悉的生活中也有植树问题，回忆一下生活中哪些现象属于植树问题。(生说现象)

四、如果两端都不植树(一端植树、一端不植树)棵数与间隔数之间有什么关系

师：动物园里也存在植树问题，请看：

例2：大象馆与猩猩馆相距60米。绿化队要在两馆间的小路一侧植树，间隔的距离是12米。请问准备多少棵树苗合适?

四人小组讨论一下准备多少棵树苗合适，汇报。(60÷12+1=6)

有不同看法吗?

师：公园里的实际情况是这样的，师贴图(先贴大象馆和猩猩馆，再从大象馆开始每隔12米贴一棵树)

师：是不是有上当的感觉?有什么办法让大家不再上这样的当呢?怎样把题目改严谨呢?讨论改题。

生重新做题。讨论一下此时棵数与间隔有什么关系。(板书：棵数=间隔数-1)什么情况下?(两端都不植树)

师：植树问题除了以上两种类型外，还有另外一种，就像这样。看老师把它们抽象出来，(老师板书画线段图)，同桌讨论一下，在这种情况下，棵数与间隔数有什么关系?

汇报。(在一端植树，一端不植树的情况下，棵数=间隔数。)

五、解决实际问题

你能运用刚才的发现解决一些实际问题吗?试一试吧。

1、口答

(1)如果一排树两头都种，有5个间隔，能种( )棵树。

(2)从头至尾栽了10棵树，那么间隔数是( )。

2、在一条30米的小路一侧摆花盆(两端都不摆)，间隔长度是3米，需要多少盆花?

3、彩旗队插旗，每隔6米插一面，共插36面，从第一面到最后一面的距离有多远?

六、小结：

四年级数学下册《植树问题》教案 篇6

教材分析

本册教材的数学广角主要是渗透有关植树问题的思想方法。它通过生活中常见实际问题，让学生发现规律，抽取出植树问题的数学模型，再用来解决简单的实际问题。本课时是本单元的第2课时，是探讨关于一条线段并且两端都不栽的情况。

“两端都不栽”与“两端都栽”的区别是比较明显的，可以借助线段图帮助学生建立两者的表象，再正确建立数学模型。

教学目标

1、建立“树的棵数=间隔数-1”的数学模型;能利用数学模型解决简单的实际问题。

2、在解决问题的过程中发现规律，建立模型，应用模型，建立初步的解决植树问题的思想方法。

3、体会数学模型的生活意义与作用，体验到学习的`喜悦。

学习重点：建立“树的棵数=间隔数-1”的数学模型。

学习难点：“两端都不栽”与“两端都栽”有什么联系与区别。

预设过程

一、复习两端都栽

在一条12路的一侧种树(两端都种)，每2米种一棵，共需种几棵?

1、揭题：植树问题。

2、呈现问题，请学生解决。新课标第一网

3、反馈解法，强调“两端都种”与“间隔数+1”。

二、研究两端都不栽

在一条12路的一侧种树(两端都不种)，每2米种一棵，共需种几棵?

1、提出研究课题：要是两端都不种呢?

2、呈现问题，请学生思考后试解。

3、反馈解法，强调“两端都不种”与“间隔数-1”。

4、比较：“两端都种”与“两端都不种”有什么不同?

三、练习

1、画示意图，完成P118例2，注意“两端都不种”与“两旁都种”。

2、画示意图，完成做一做1，注意“两端都种”与“两旁都种”。

3、画示意图，完成做一做2，发现“锯的次数=段数-1”。

4、完成补充题，知道“四层楼三个间隔”。

从植树问题谈数学建模 篇7

关键词：数学思想 ；优化；教学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）15-320-01

一、创设生活情景导入，渗透一一对应的思想

学生在日常生活中经常会遇到各种各样的问题，只有在生活化的学习情景中，学生才能切实弄明白知识的来龙去脉，理解知识的价值。为了让学生体会一一对应思想，笔者从学生最熟悉的“手”引入课题，如：

师：同学们，在我们的生活中到处都有数学，请伸出右手，大家看到了数字几？（5）

师：“5”表示5个什么？（5个手指）

师：谁还能看到不同的数字？（还有4！）

师：“4”又表示4个什么呢？（表示4个空）这些空在数学上有名字，我们把它们叫做“间隔”。

师：5个手指之间有4个间隔，那么大家思考一下，4个手指之间呢？

最后，引导学生总结出手指数比间隔数多1，反之，间隔数比手指数少1；话锋一转，如果我们把手指换成小树，今天这节课我们就来研究植树问题中（两端都栽）的规律。从学生最熟悉的“手”引入课题，让学生理解“间隔”这个数学概念，化难为易，引发学生兴趣，又让学生感受到数学就在身边，引导学生把数学学习和生活实际结合起来，调动了学生的求知欲望，为“化繁为简”化归思想学习做好铺垫。

二、经历知识产生过程，渗透“化繁为简”的化归思想

在儿童的心灵深处，有一种特别强烈的需要，就是希望自己是一个探索者、发现者、研究者。在教学过程中，教师应该抓住学生的这种心理需求，重视知识的发生、发展和形成过程的教学，让学生在积极、主动参与的过程中，使知识结构很好的内化、重组和建沟。教师要努力挖掘教材内容，创设容易让学生产生“认知冲突”的学习情景，使学生产生强烈的学习欲望，感受“化繁为简”的必要性。如：

师：我们来摆摆看，假设从这边到那边墙壁100米，把一只手伸直看作5米，把前面这几位同学看作小树，我一边摆，你们一边说：“每隔5米栽一棵，好不好。”

生：好。

师：先摆起点。

生：每5米摆一棵。

师：照这样一棵一棵摆下去……很浪费时间？而且也不方便。像这样比较复杂的问题，我们一般把它缩短一点来研究比较好，多少米来研究比较合适呢？你来说.（你呢？）

生2：50米

生3：20米……

师：对，我们可以把100米缩短为10米、15米、20米等来研究比较方便；像这样比较复杂的问题，我们可以先从简单一些的情况入手进行研究，这种方法在数学上叫着“化繁为简”的化归思想

三、在合作交流中，渗透多种思想融合贯通

教与学都要以“做”为中心。贪玩是孩子的天性，在课堂教学中，教师要提供“玩”的机会，让学生在动脑、动手、动口，合作交流中做数学，用画图、猜想、观察、实验、验证等手段发现植树问题两端都栽的规律，获得数学活动经验，将生活中的有关数学现象加以总结与提升，丰富与发展学生的数学活动过程，逐步建构起较为规范化、系统化的数学学科知识。如：探究表

同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵？ （合作探究指导：画一条20厘米长的线段看作小路，每5厘米画一棵数，（两端要栽）将小树画在线段上或用点代替。）

1、同桌合作，先画线段图，在完成探究表格。

2、你发现了什么？和你的同桌交流。

探究表中，每一个小组的研究数据不同，分别是10米、15米、20米。教师选择有代表性的作品进行展示，因为一个规律的得出，需要通过大量的事例证明。在请学生展示作品时，要让学生说说画法和发现。

四、解决实际问题，在应用中强化建摸思想

陶行知说：“教育只有通过生活才能产生作用并真正成为教育。”数学是一门应用非常广泛的学科，小学数学中的许多知识都能在生活中找到原形。作为数学教师，要善于发掘教材中知识的现实原形，引导学生用数学的眼光联系实际去观察、分析、解决生活中的问题，把数学知识的应用价值挖掘出来，让数学回归生活，这样可以激发学生学习数学的积极性和主动性，并获得学以致用的积极情感体验。如：

1、基础题。填空（两端都栽）

7个间隔种（ ）棵数；20个间隔种（ ）棵数；9棵数之间有（ ）个间隔；20棵树之间有（ ）个间隔

2、能力题

（1）同学们在全长100米的小路两边植树 ，每隔5米栽一棵（两端要栽）。 一共需要多少棵树苗？（这道题是把例1中“一边”植树改变为“两边”植树）

（2）5路公共汽车行驶路线全长12km相邻两站之间的路程都是1km。一共设有多少个车站？

3、提升题

园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6m种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？

学生通过运用植树问题的数学模型解决生活中的类似问题，如：基础题、能力题、提升题，使不同层次的学生都得到发展，并让学生体会到数学与实际生活的紧密联系，使学生感受到原来数学就在我们身边，它是我们认识和解决生活实际的有利手段。

让学生亲身经历学习的全过程，在数学活动中丰富他们的经验，在实践活动中运用知识，通过实际问题的解决使他们在探索、在反思、在提升。

参考文献：

从植树问题谈数学建模 篇8

义务教育课程标准实验教科书(人教版)四年级下册第八单元《数学广角》第一课时。

二、说学习目标:

让学生经历将实际问题抽象出植树问题模型的过程，掌握种树棵数与间隔数之间的关系。

会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

3.感悟构建数学模型是解决实际问题的重要方法之一。

三、说学习重点:

让学生发现植树的棵数和间隔数之间的关系，并用发现的规律解决实际问题。

四、说学习方法：

创设情境，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学来源于生活，数学就在我们身边

五、学习过程:

一、初步感知间隔的含义

1导入:我们已经是四年级的学生了,做操,上体育课都少不了要排队,你会不会派队呢?

现在老师请三位同学到前面按照老师的要排队,谁愿意来?

出示要求:1面向老师排成一路纵队

2每两位同学之间相隔一米

告诉学生:第一个同学到最后一个同学的距离叫队伍的长,两个同学之间的距离叫间隔.

提问:这路纵队长几米?你是怎么知道的?如果我们把刚才的三位同学看成三棵树苗的话，那么三棵树苗之间有几个间隔?你能用线段图表示出来吗?师生共同总结得出结论:排队人数比间隔多一,间隔比人数少一

2过度语:其实，这样的数学问题，在我们的生活中，随处可见.

3再次感悟:让学生观察自己的左手，互相说说手指与间隔之间的关系。比如:5个手指之间有几个空格?也就是说，5个手指之间有几个间隔?4个间隔是在几个手指之间?

如果我们把五个手指当成五棵小树苗的话,五棵树苗之间应有几个间隔呢?四个间隔在

几棵树苗之间呢?你能用一个图表示出来吗?

提问找生回答:如果画了8棵树，他们之间有几个间隔?9棵树之间有几个间隔?那你们再想象一下，如果从头到尾有10棵树，他们之间又会有几个间隔呢?那20棵树呢?

仔细观察，你发现植树棵树和间隔数之间有什么规律呢?(自己先想想，再把你的想法和同桌互相交流一下)。

4根据学生的反馈板书:两端要栽时，植树棵数-间隔数+1，间隔数=植树棵树-1。

小结：同学们不仅会观察，而且还能发现其中蕴含的规律，真不错，那就让我们一起进入今天的数学广角运用这些规律来解决生活中的实际问题吧!

二、新授

出示例题:同学们在全长100米的小路一边植树,每隔5米栽一棵(两端要栽),一共需要多少棵树苗?

指导学生读题：

1.从题目你们知道了什么?(说一说)

2.题目中每隔5米栽一棵是什么意思?

3.题目中有什么地方要提醒大家的吗?(两端要栽)

4.一共需要多少棵树苗?你能自己想办法找到问题答案吗?有困难的同学可以借助线段图画一画。

5.交流。

6.反馈。

(1)请你们两人把你们的方法写到黑板上展示给大家看看，好吗?

(2)学生分别说想法。

7.刚才我们要求路的两端都要栽时，得出植树棵数=间隔数+1，间隔数=植树棵树-1。知道了怎样求路的长度。如果知道了棵数与间隔数，你呢感求出路的长度吗?(培养学生的逆向思维)

如果两端都不栽的情况下,棵树与间隔数之间有什么关系呢?

我们还以这道题为例来研究一下:

(1)同学们在全长100米的小路一边植树,每隔5米栽一棵(两端不栽),一共需要多少棵树苗?

(2)分小组交流,也可以借助线段图分析

(3)反馈

(4)展示结果:两端不栽时，植树棵数=间隔数-1，间隔数=植树棵树+1

小结:生活中有许多问题都可以用方法解决,如锯木头,上楼梯,插彩旗,摆花等等

四、联系实际、拓展应用

1一根木头长10米,平均分成5段,每锯一段要8分钟,共要花多长时间?

2王村到李村一共有16根高压电线杆，相邻两根的距离平均是200米。王村到李村大约有多远?

3每隔6米种一棵树,共种了36棵,从第一棵到最后一棵有多远?

4从一层到三层共48个台级,如从一层到六层共多少个台级?

5公路一旁每隔50米有一根电线杆(包括两端)共10根,求路长?

六总结：

通过这节课的学习，你们有什么收获?

今天我们学习的是与间隔有关的数学问题，在数学上我们统称为植树问题，(板书)植树问题不只在植树当中才有，植树只是其中的一个典型，像锯木头,上楼梯,插彩旗,摆花等现象中都含有植树问题。今天我们学习的植树问题仅仅是两端都栽时和两端都不栽时的情况。在以后的学习中，我们还会学到一端栽一端不栽和封闭图形的植树问题。

七反思：

在这节课的教学中，我不但注重了学生动手操作能力的培养，同时也让学生感受到了数学来源于生活，也应用于生活的道理。比如：用排队人数与间隔数的关系抽象出植树问题中棵数与间隔之间的关系，既有趣味性又贴近学生的生活。

教材在编写时，都是给出路的长度，求间隔或棵数，但在练习时，很多题都是给出间隔和棵数，求路的长度。如：王村到李村一共有16根高压电线杆，相邻两根的距离平均是200米。

从植树问题谈数学建模 篇9

湖州市南浔区三长学校

李富强

【摘要】：在植树问题的教学环节中，如何体现数学思想方法的有效渗透，使植树问题与数学思想方法并重？本文拟以《植树问题》的教学案例，阐述在课堂教学中渗透“对应”、“数形结合”、“化归”、“转化”等数学思想方法的一些做法和体会。

【关键词】：植树问题

数学思想

“植树问题”是人教版小学数学四年级下册“数学广角”中的教学内容，其中“理解不封闭直线上（两端都种）植树棵数与间隔数的关系，初步掌握解决植树问题的基本方法”是显性教学内容，一直得到师生的重视，而“植树问题”中作为隐性教学内容的数学思想方法，常常容易被忽视。因此，在植树问题的教学环节中，本人意图体现数学思想方法渗透，使植树问题与数学思想方法并重。本文拟以《植树问题》的教学案例，阐述在课堂教学中渗透“对应”、“数形结合”、“化归”、“转化”等数学思想方法的一些做法和体会。

一、认识“间隔”、渗透“一一对应”思想

植树问题教学中，例1的“两端都种”是重点教学内容，而这一教学内容的关键落脚点在于教师要密切关注学生对“间隔”概念的理解，它是解决植树问题的基础和起点。

1.教学“间隔”

师：请同学们伸出手张开手指，看到了什么？ 生：5个手指，4个空。

师：这4个“空”就是4个“间隔”。3个、2个手指之间各有几个“间隔”？ 师：刚才找手指数和间隔数，你发现了什么？（手指数比间隔数多1，或间隔数比手指数少1。）

2.站队，认识：“一一对应”（请一列学生6人排队）

师：你发现了间隔数与人数有什么关系？ 生：人数比间隔数多1。

师：按顺序数下去，一位学生后对应一个间隔，人数和间隔数是“一一对应”的。最后多出1人，人数就是比间隔数多1。

3.你还能列举出生活中的这种现象吗？

通过学生的亲身体验与感悟，以人人都有的手为素材，从让学生初步感知间隔，感知间隔数与手指数的关系，再延伸到站队，使学生进一步认识了间隔的含义，渗透“人数与间隔”的一一对应思想。

二、建构模型，渗透数形结合思想

数学模型是数学知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学知识应用于实际问题的过程。教学时，我以较小的30米作为全长，便于学生以画线段图的方法建构知识。

1.出示情境

同学们在全长30米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）。一共需要栽多少棵树苗？

师：从题中你获得了哪些数学信息？ 生：（略）

师：30米指的是什么？“每隔5米栽一棵”又是什么意思？

生：30米指全长，“每隔5米栽一棵”就是两棵树之间的间隔是5米。

2.数形结合，建构模型

师：同学们，你们打算怎么来研究这三个量之间的关系？（生思考）

师提示：在线段图上“种一种”，用“∣”表示小树，用“―”表示两棵小树之间的间隔，画一画这条小路上一共可以栽几棵树？你能试着列式解答吗？交流汇报：（画线段图）

根据学生反馈，教师板书： 30÷5=6（个）6+1=7（棵）全长÷间隔间的距离=间隔数

两端都种：间隔数+1=棵数 棵数-1=间隔数

借助直观形象的图形来解决此问题，是学生建构知识的有效中介。根据学生的年龄特征和实际认知水平，利用线段图，化抽象为具体，使学生的思维发展有 2 了有效凭借，同时也使数学思想方法得以有效落实。

三、解决问题，渗透化归思想

化归思想，在小学数学学习过程中比比皆是，运用和掌握这种思想方法本身就成为学生的数学能力之一。植树问题的教学中，化归思想更应该得以充分体现。

1.呈现问题

园林工人在长1000米的路上植树，每隔10米栽一棵（两端都要栽）。一共需要多少棵树苗？

2．引导学生回忆刚才植树问题的解决过程，独立尝试解决。3.交流反馈。

植树问题中化归思想的渗透，主要体现在“把复杂的问题转化为简单问题来研究”这一过程。由“30米小路”植树引入教学探究，发现棵数与间隔数之间的规律，再引导到去解决复杂的植树问题，正是渗透了“化归”数学思想。

四、拓展延伸，渗透转化思想

在让学生探究获得“两端都栽”的植树问题的基础上，教师再引导学生联系生活实际解决问题，深化拓展植树问题，进一步激发学生的探究兴趣。

师：同学们，现实生活中的植树问题还有很多，如安装路灯、锯木头、时钟整点报时、圆形池塘边栽柳树、走楼梯……

利用课件，转化呈现出不同的问题情境，引导学生去深入探究，获得更多的知识建模。

一端栽：棵数=间隔数 两端都不栽：棵数=间隔数-1 封闭图形：棵数=间隔数 方阵：……

植树问题中转化思想的渗透，主要体现在“由解决基本问题的‘线’转化到能解决相关问题的‘面’来研究”，从而不断建构知识模型，培养学生的创新思维能力。

简言之，通过植树问题的教学，在学生分析、理解、运用“对应”、“数形结合”、“化归”、“转化”等数学思想方法的基础上，引导学生懂得：可以把复杂的植树问题，转化为简单的植树问题，逐步发现隐含于不同情境中的规律，充分体验数学思想方法在解决问题的运用。这样的植树问题教学，我觉得更会有效。

作者详细地址：浙江省湖州市南浔区三长学校

邮编：313009