习题变式教学论文

习题变式教学论文（共8篇）

习题变式教学论文 篇1

浅谈数学的研究性学习

内容摘要:研究性学习是基础教育课程改革的一个亮点、热点，是社会变化在教育上的反映，研究性学习课程的开设是社会发展的需要，也是时代发展的需要。本文结合笔者的实践，将数学研究性学习的实践情况进行理性的总结、提炼，希望能够为下一阶段的数学研究性学习的开展起到借鉴作用。关键词：数学 研究性学习认识 探索 实践

当你打开高中数学新教材，可以发现原有的知识体系已被打破，学生的学习内容与社会生活紧密联系，使课堂教学自然地延伸到了社会、生产、生活和科技等现实领域。新颖丰富的学习内容引人入胜，“培养学生主动学习，自主学习、终身学习能力”的现代教育理念展现其间，为更好地实施素质教育，培养创新型人才创造了条件，新教材中的阅读材料和研究性课题为我们开展数学研究性学习起到了一定的启发作用，然而，数学研究性学习应该如何开展，才能更好地实现其课程目标和发挥其课程功能呢？下面结合自己的实践、谈淡一些观点和做法。

一、转变观念，正确认识研究性学习是开展数学研究性学习的基础。

1、弄清概念：什么是研究性学习？

研究性学习广义的理解是泛指学生探究问题的学习。`狭义的理解是指学生在教师指导下，从自然现象、社会和自我生活中选择和确定研究专题，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识和解决问题的学习活动。高中阶段的研究性学习主要指狭义的理解。人们谈论的研究性学习主要有两种指向：一是指研究性学习课程，二是指研究性学习方式。作为一种学习方式的研究性学习，它是渗透于学生学习的所有学科、所有活动之中。作为一种课程，研究性学习课程是为了研究性学习方式的充分展开所提供的相对独立的、有计划的学习机会，也就是在课程计划中规定一定的课时数，以便有利于学生从事“教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定课题进行研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。”

2、分清研究性学习与渗透于传统学科教学的探究性学习的异同。

前面提到：广义上的研究性学习泛指学生探究问题的学习，即探索性学习。但高中阶段的研究性学习主要指狭义理解，因此两者不能等同起来，要看到它们的区别：（1）渗透于传统学科教学的探索性学习基本上局限于课堂之内，并体现于课程教学的某个环节，而研究性学习则远远超出了课堂之外，并且探究的因素贯穿于整个课程实施过程的始终。

（2）渗透于传统学科教学的探索性学习多是让学生通过一定的探索去发现已存在书本或教材中的预知结论，而研究性学习所要探寻的东西在很大程度上却是未知的。

（3）渗透于传统学科教学的探索性学习所要研究的问题一般是已知的、清楚的，而在研究性学习中所要研究的具体问题刚开始时并不十分清楚，问题随着研究的展开逐渐被暴露。

（4）渗透于传统学科教学的探索性学习所要研究的问题多为封闭的学业问题，而研究性学习中所要解决的问题多为开放的现实生活情境中人们所遇到的、所关注的问题。

只有正确地认识学科课程中探索性学习与研究性学习的异同，转变教育教学观念，研究性学习才有更开阔的发展空间。

3、理清研究性学习与接受性学习的关系。

在人类的教育实践中，历来包含着两种不同类型的教育形式：一是通过系统的传授，让学习者“接受”人类已经有的知识；二是通过学生亲身的实践，让学习者“体验”到知识使用的乐趣，自主建构自己的知识体系。如果把与前者相应的教育称之为“传授性教育”，与之相适应的学习方式称之为“接受性学习”的话，那么，我们把与后者相适应的教育称之为“体验性教育”，与之相适应的学习方式称之为“研究性学习”。从一个人的全面发展来看，这两种教育、两种学习方式不可或缺，就象一

个人的两条腿，只有两条腿都健壮，才能走得稳、跑得快。但是，过去由于传统教学观念的影响，存在着过于注重知识传授的倾向，过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象，学生的学习兴趣被忽视，学习主动性被压抑，因而不利于培养学生的创新精神和实践能力。而今强调“研究性学习”的重要性是想找回“研究性学习”在课程中的应有位置，而非贬低“接受性学习”的价值。

应当看到，这两种学习方式各有所长：“研究性学习”在积累直接经验、培养学生的创新精神和实践能力方面有其独到之处；而“接受性学习”在积累间接经验、传递系统的学科知识方面，其效率之高是其他方法无法比拟的。因此，这两种学习方式在学科教学中都是必要的，而且是相辅相成的。

4、研究性学习的基本特点

研究性学习具有开放性、探究性和实践性等基本特征，是教师和学生共同探索求新知的学习过程，是教师和学生围绕问题共同完成研究内容，相互合作的交流的过程。

5、研究性学习中教师的地位、角色的转变（1）从知识的权威者到学生学习的平等参与者。

由于教师“闻道在先”、“术业有专攻”，教师成为了知识的权威。以“教师为中心、课堂为中心、书本为中心”束缚了学生个性的发展。而在研究性学习中学生自主选题、自主研究，在一个开放的学习环境中进行实践活动，教师失去了垄断地位。同时学习的内容的开放性使学生的视野大为拓展，吸纳知识的途径由单一变为多样化，教师也不再是学生唯一的知识来源，也就失去了对学生所要学习知识的权威。

教师以平等的身份主动参与到研究性学习中去是他工作的前提条件。作为参与者，教师要经常深入学生课题组的活动，了解学生的需求，拉近师生之间的距离，让学生认可教师为他们中的一员，愿意无拘无束地一起交谈和讨论，建立一种和谐融洽的关系，同时，教师可以及时了解情况，有的放矢地进行指导，教师从中学到

很多新东西，真正实现教学相长。

（2）从知识的传授者到学生学习的指导者。

教师的传统角色是“传道、授业、解惑”，是科学文化的传授者。但在研究性学习中，教师除在资料信息来源、思路点拨、研究方法等方面进行指导外，还要做好研究性学习的组织协调者，创设轻松的活动环境，帮助学生克服困难，树立信心，保证学生有旺盛的求知欲和持之以恒的积极性。

（3）研究性学习中教师地位、角色的转变还体现在以下几个方面： ① 从“以教材为世界”的执行者到“以世界为教材”的开发者。② 从学科教师到教学与科研并重的教育专家。③ 从教育教学的管理者到新型人际关系的建设者。

6、数学研究性学习的目标：（1）获得亲身参与研究探索的体验，（2）培养提出问题和解决问题的能力，（3）培养收集、分析和利用信息的能力，（4）学会分享与合作，（5）培养科学研究的志趣、态度和社会使命感。

二、课题的选择是数学研究性学习实施的关键

研究性课题的确定至关重要，它直接影响课题研究的成功与否，数学新教材中虽然提供了“课题”，但这并不完全是学生做的“题目”，适合于学生“研究”的题目，不仅要“可能”、“力所能及”，更重要的是对学生的发展有价值，亦即通过学生的“研究”，真正能实现研究性学习的课程目标，并将研究性学习中能获得的知识技能运用于数学学习，使之拓展和加深。而现在我们的学生提出问题的意识普遍较为淡薄，提出问题的能力比较欠缺，甚至我们的老师，在一定程度上也是这样，觉得数学研究性学习很难开展，这里要特别注意，切不可简单地将新教材中提供的课题作为全体学生的研究课题，或者在一些资料中找几道或编几道“应用题”，让学生做做就算完成了任务，错误地将“研究性学习”简单地理解为在教室里用所学的“数学知识”解几道“实际应用题”。

数学研究性学习的课题可以采用“长课题”和“短课题”相结合的形式进行，“长课题”每学期安排2到3个为宜（视备课组教师的人数而定），课题研究的时间长度为一个学期，主要以小组研究的形式进行，课题尽可能在数学学习生活与日常生活、社会生活的交汇点上产生。而“短课题”可理解为专题研究活动课题，也就是在数学教学中，每一单元或每一阶段都确定一个研究专题，“短课题”研究的时间长度一般较短，比较适合个人独立研究。

采用“长课题”和“短课题”相结合的方式，使研究性学习这种学习方式不但运用于研究性学习课程本身，而且运用于数学学习中，研究性学习中所获得的直接经验与数学课程所获得的间接经验，交互作用、相辅相成，更有利于研究性学习与数学学科的应用功能的发挥。

三、研究的过程是整个研究性学习课程实施的重点。

研究性学习强调学生对所学知识、技能的实际运用，注重学习的过程，注重学习的实践与体验，学生在课题的研究过程中，使自身的创新精神和实践能力得以提升。因此，研究的过程是整个研究性学习课程实施的重点。在研究性学习实施过程中，一方面，要给学生保留足够的时间和空间，另一方面，教师要及时了解学生开展研究活动时遇到的困难以及他们的需要，有针对性地进行指导，成为学生研究信息交汇的枢纽，成为交流的组织者和建设者，给学生适时的鼓励和指导，帮助他们建立自信心并进一步提高学习积极性。在数学研究性学习管理上，要做到外松内紧，督促、指导每位同学填写好每一次活动情况记录、活动体会等等,每项工作落实到

位，使学生更深刻地体会、理解开展研究性学习的意义，积极、主动地参与研究，在研究过程中提高自身的综合素质.四、采用有效的评价策略是数学研究性学习顺利进行的保障

数学研究性学习评价策略方面，除了注重学生的自我评价、注重合作的作用等等外，还应该将数学研究性学习的评价整合进数学的课堂教学之中。研究性学习的评价更加注重学习过程，而不仅仅是结果，整个学习过程中学生处于一种积极、活跃、兴奋的状态，从选题到制定研究计划，再到收集资料，最后到结果的呈现，无不渗透着他们的辛勤劳动和积极的思考，由此丰富了学生学习的经验，进而促进学生获取知识和运用知识能力的提高，可见，评价应该围绕学生是否将研究性学习中所获得的获取知识的技能方法运用于数学学习，在数学学习中如何提问、如何收集信息、如何作出假设和解决问题，也就是将数学研究性学习的评价与数学学科的学习进行整合。

五、数学研究性学习实践的初步成效

（一）、研究成果

通过学校图书馆、阅览室搜集有关资料，进行综合分析、研究，取得了以下几个方面的成果：

1、有关预习的方法和技巧方面：

数学预习的最佳时间是晚上的8：00到9：00这一段时间，这时人的记忆力，智力，精力都处在最佳状态，这段时间预习能够取得事半功倍的效果。预习的时间一般在15分钟到30分钟左右。比较理想的两种预习方法是：

第一种（适合大多数中学生）先看书，然后再做练习来检查自己的预习情况，再带着在做习题时遇到的问题来听课。

第二种（适合一些能力较高的同学）：先做习题，在一些从未接触的新知识中，看是否能够根据已学的知识来解决新问题。

2、有关上课的方法与技巧方面：

怎样才能上好一节课呢？通过研究，总结出现以下的技巧： ① 上课前散散步，洗洗脸，以最佳的状态上课，② 积极思考，当老师在讲例题时，就要做到，在脑海中跟着老师一起做，每一步都得自己想通。③ 做好课堂笔记。

3、有关课后复习、小结的方法与技巧方面：（1）利用课间“趋势打铁”.① 整理笔记。

② 回忆上课时老师所提的问题，看自己能否准确回答。

③ 将上课的东西浏览一遍，看看自己还有什么不明白的地方，及时请教老师帮忙，不要积累，立即解决。（2）放学回家“复习巩固”。

① 每天坚持复习当天所学的内容，加深印象。② 做相应的练习题以巩固上课所学的知识。③ 对所学知识系统地小结，具体操作如下：

a、小结的频率：最好就是每周一次，将本周所学的知识进行系统归纳。b、小结的内容：可以把识记知识（如概念、公式等）系统化，也可以对题型作归纳，并附上自己的解题心得和注意事项等。c、小结的形式：图表为宜。

4、有关解题的方法与技巧方面：

课题组的同学结合网上搜集的有关资料，得到一个比较全面的解题步骤——解题四步曲“审、想、解、查”。（1）弄清问题，也就是审题，（2）解题前三想：审题后,就要拟定解题方案,展开“回想、联想、猜想“，初步构想解题思路，确定解题方向。（3）解题表述要规范。

（4）检查、验算不可忽视，做到：

一查“题”（看题目的已知条件是否看错、用错）。二查“理”（推理是否有根据）。三查“数”（数字运算是否正确）。四查“式”（格式是否规范）。五查“解”（是否多解、丢解）。

（二）、学生的素质得到有效发展

数学研究性学习，为学生提供了更广的学习空间和更加灵活的学习形式，使学生的“能力、方法”，“情感、态度”等方面的素质得到了发展。学生经过收集、处理和加工信息资料，综合运用理论和实践知识，使学生的数学基础知识得到巩固，学科素质和实践能力得到提高，同时，增强了自我学习的意识。在课题研究的过程中，学生的个人兴趣、爱好和特长的发挥，激活了学生的创造潜能和学习积极性，培养了学生科学研究的志趣、态度和团体合作精神。【参考文献】

①《基础教育课程改革（解读）》华东师范大学出版社 主编：钟启泉、崔充、张华 ②《教育研究》2001年第6期第66页

③《中学数学教学参考》2001年第9期第20页《“研究性学习”研究综述》 ④《中小学教材教学》2001、5（中学理科）第22页

⑤《教学管理论文集》广州市教育学会、教学管理专业委员会编（2002年）第199页《研究性学习实施过程中若干问题的思考》作者 陈东桢

⑥《课程•教材•教法》2000.11.《研究性学习的特点和课程定位》霍益萍 张人红 ⑦《数学教学》2001年第4期第6页 《高中数学教学中开展研究性学习的尝试》

论文题目：浅谈数学的研究性学习

论文类别：学科教学

学科：数学

作者姓名：王智

出生年月：1978年7月 性别：男 职称：中教三级

务：教师

单位全称：江苏省新沂市高流中学

邮编：221411 联系电话：***

通讯地址；江苏省新沂市高流中学

教龄：三年 职

习题变式教学论文 篇2

关键词：小学数学习题课,思维能力,变式教学

变式教学是一项价值极高的教学途径, 同时也是一种实用的思想方法。数学习题课的变式教学, 是教师针对数学教学领域的例题、习题进行不同的转变, 令学生可以从不同的角度理解所学内容, 并且能够很好地运用所学知识的一项数学教学模式。

1. 变式教学对小学数学教学的作用

(1) 变式教学让学生更理解数学知识。从认知心理学的角度将广义的知识分为陈述性与程序性两种。其中的陈述性知识就是指实际性的知识, 而程序性的知识就包含了对外以及对内办事的程序性的知识。假如想让陈述性的知识变为办事的能力, 就要让其在变式的条件之下, 能够得到一定的联系, 这样就能够让它们在新环境中进行变化。美国心理学家奥苏波尔认为, 要想令新旧知识有意义地相互关联, 就要做到两点:一是知识点间合理的联系, 二是变换另一个形式去检查, 基于以上观点, 可以看出变式教学可以让学习的效率更高。

(2) 变式教学提升学生数学思维能力。思维定势是数学教学过程中, 教师常常提到的一个名词, 事物都有它的两面性:积极性和消极性, 思维定势也不例外。简单地去理解思维定势就是按照一个惯用的思路去思考问题。在惯用思维和问题解决的思路不相同时, 思维就会被框定在一个框架之下, 问题也无法得到解决。但是这一惯用思维和问题解决的思路相同时, 问题就很容易得到解决。教师需要做的就是通过对小学生的变式教学, 提升其数学思维能力, 令小学生的数学思维更加的敏捷、灵活。

2. 小学数学习题课变式教学的方法

(1) 根据知识结构进行变式。在许多小学生的思维里, 数学是枯燥的, 并且在考试的时候又很不容易得分, 因此想要让学生学好数学, 将枯燥的习题进行变式就显得尤为重要。经过变式之后的习题, 能够让知识点之间产生联系, 让学生更容易掌握知识结构的本质。例如, 学习了比这个知识点之后设计习题: () ︰3=6︰9;5︰6=25︰ () ;7︰ () =49︰56……这类习题就是帮助学生掌握分数和除法两种知识点之间的联系。

在学习圆柱体的基本性质后, 学生普遍对圆柱体高的认识还不准确, 这时教师可以在习题课通过实物向学生提出高所在位置的问题, 并通过学生的思考得到正确的认识。例如, 硬币的高在哪里?就是指硬币的厚度。问题的设计不但能够令学生将圆柱体的高牢牢记住, 还能够令圆柱体高的概念更加丰富, 从而让学生加强解决实际问题的思维能力。

(2) 根据习题形式进行变式。实践证明, 要使学生掌握好知识的本质, 除了多练习常见的习题形式外, 变式题型的多样化更能激发学生的感知比较, 增加学生的认识。例如:工厂AB车间共有400名工人, A车间人数占总人数的30%, 再次招工后, A车间人数占总人数的45%, 问再次招工多少人?变式后:工厂AB车间共有400名工人, A车间人数占总人数的30%, 此时从A车间向B车间调一批人后, A车间人数占总人数的25%, 问AB车间现在各有多少人?题目简单令基础差一些的学生也能够产生积极性, 知识点由浅入深, 同时也能激发学生的求知欲。

(3) 合理设计一题多解型题型。例如:从A、B两地相对开出的两辆汽车, 经过5小时后相遇, 其中一辆车速度为55千米每小时, 另一辆车45千米每小时, A、B两地相离多少千米?解法一:先求一辆车行驶距离55×5=275 (km) , 再求另一辆车行驶距离45×5=225 (km) , A、B两地相离275+225=500 (km) ;解法二:先求两辆车每小时行驶多远55+45=100 (km) , 再求A、B两地相离多远100×5=500 (km) ;解法三:先设A、B两地相距X, X÷5=55+45, 最后求得距离X=500 (km) 。此类题型可以检查学生对知识点的掌握程度, 是习题课中常见的一种变式题型。

综上所述, 素质教育的目的是为了培养人才的创造性思维, 而变式教学就是创新思维的体现。小学数学教学不单是让学生了解数学基本常识, 更是要让学生的数学思维得到深入探索, 从不同的教学角度令学生体会求知的全过程, 从而增加学生对知识的渴望, 提高主观能动力。因此习题课的变式训练, 不但能够令学生产生发散性思维, 更能够调动起学生的积极性和主动性, 培养学生对知识大胆创新的探索精神。

参考文献

[1]曹石珠.论课堂教学的体验缺失及其矫正[J].教育科学, 2004 (1) .

初中历史习题教学的“变式”艺术 篇3

一、培养历史思维

在初中历史教学中运用变式艺术，使学生对历史习题的内涵感同身受。例如在史论结合类的习题教学中，教师可以引导学生深入理解历史知识点，这是历史教学的一条最主要、最根本的原则。“史”指给学生举例，以历史现象、历史事件以及历史人物，告知学生这就是“史”。而以马克思主义理论指导对历史进行解析，就是“论”。例在“近代中国资本主义的曲折发展”教学中，就可以从学校图书馆——三弘图书馆的由来引入，采取“变式”艺术，使学生对三弘图书馆有所认知，拉近现实与历史之间的时空距离，有效启发学生的历史思维，激发学生的联想，调动学生的学习积极性。

二、联系生活实际

在历史习题教学中，可以将历史习题与学生日常生活中的常见问题联系在一起。教师可以在教学过程中，引导学生并创设情境，提升学生思维联想能力，以便提高学生思维意识及学习兴趣。结合学生的实际学习情况，将历史习题教学的内容，“变式”为多个具体的历史习题。在实际习题教学中，教师应该强化课程体系结构，使学生能够更加全面地认识历史知识，避免重复教学，培养学生的实践能力。

三、优化教学手段

在教学目标上，不必每课时都一味追求“成绩”教学，但是一定要优化教学手段，结合“变式”艺术，注重学生知识能力、情感价值观的提升。教师可利用趣事逸闻、媒体报道、影视图片，有机导入，以新引旧，通过“变式”引导学生对现实问题历史的思考。课本是最好的资源，不能完全抛开课本去另搞一套。将传统历史习题教学方法与多媒体历史习题教学结合起来，精心设计初中历史习题的教学内容，将历史习题教学转化为文字、声音以及图形等，增强教学直观性。同时也要积极开发课外资源，设计好导学案，适当利用好教学课件。现今的初中历史测试题更加突出学科人文特点和时代性，更加突出学科知识的内在联系和初高中衔接。因此教学中要重视知识的对比与联系（包括联系现实热点），注重指导学习方法，循序渐进，扎实改革，注重实效。

四、采用一题多变

近几年的中考历史考题出现了较多的新材料、新视野与新问题，无疑增加了解题难度。因此，教师应让学生从不变中探究变的规律，从变的现象中发现不变的本质。通过反复的训练，让学生加深对历史特征、历史规律的把握，并培养信息表达、整理的能力。在讲解每一道试题后，教师应对原题进行变式，从多个角度予以延伸、发散，最终拓展学生思维空间。如试题“19世纪60年代，在洋务企业的刺激下，中国沿海地区作坊主开设工厂，并开始雇佣工人生产，由此表明洋务运动的特点”。针对此道题目重點是评价洋务运动，且题目中都提到了工厂、企业，教师可对该题进行“变式”，如下：洋务派举办了上海轮船招商局，经过几年的发展，由最初的3艘轮船扩展为30多艘，且打破了外国轮船公司在中国的垄断地位，这段材料说明了什么？

在初中历史习题教学中，应用“变式”教学方法，可以提升教学效率，提高学生对历史习题的掌握程度，大大提升学生对历史习题学习的积极性，激发学生兴趣，提高历史教学水平。采取“变式”艺术教学方法，优化当前初中历史习题教学方法，可以有效促进初中学生的综合发展，提升教学效率。

作者单位 陕西省神木县大柳塔初级中学

2变式教学论文 篇4

———高一一节二次函数求最值的变式教学课有感

摘要：本文通过引用一节二次函数求最值的变式教学课，着重论述了变式教学对培养学生思维的连贯性，严密性，深刻性，广阔性，变通性，双向性，灵活性，发散性和创造性等方面来阐述变式教学的优越性，优化课堂效率。

关键词：变式教学，培养，思维

变式教学是指教师将数学中各种知识点有效地组合起来，从最简单的命题入手，不断变换问题的条件或者结论或者情景，层层推进，逐渐揭示出问题的本质特征的一种教学方式。在不断的变化中去寻找数学的规律性，使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，从而透过现象，看到本质，这就是人们常讲的“万变不离其宗”。通过变式对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通知识关节，找到解题方法，拓宽解题思路，对于优化课堂效率，提高解题能力，培养思维的连贯性，严密性，深刻性，广阔性，变通性，双向性，灵活性，发散性和创造性等方面都是大有益处的。

引例（1）求f(x)x22x1在R上的最小值

（2）求f(x)x22x1在[2,3]上的最小值（3）求f(x)x22x1在[0,3]上的最小值

本堂课由一个二次函数，在三个不同的区间上求最小值的问题引入，揭露出二次函数求最值的本质，于何处取得最值？关键是图像对称轴与区间的关系的讨论。区间不同，结果也不同，体现出在解决函数问题时，定义域的重要性，即所研究问题的范围。问题串式编题，既有相同之处，又有细微区别，区别之处揭露本质。

一、改变条件加入讨论构造变式，培养思维的严密性和深刻性

变式教学不是为了变式而变式，而是要根据教学与学习的需要，遵循学生的认知规律，在重要处和关键处进行变式，让学生充分领会问题的本质，实现教学目标。

变式一

求f(x)x2x1在[0,a]上的值域

(1)当0

(3)当a>2时,min=0,max=f(a), 值域为[0,a2-2a+1]

变式二

求f(x)x22x1在[a,a+2]上的值域

，当a1时，f(x)[f(a2),f(a)]当1a0时，f(x)[0,f(a)]当0

二、调换参数位置构造变式，培养思维的广阔性和变通性

数学教学中由一个基本问题出发，运用类比，联想等思维方式，可以构造出很多数学问题情境。在类比的变式中，引导学生在变中看到不变的本质，找到解决问题的主思路。

变式三

求f(x)x2kx1在[-1,1]上的最小值m(k)

当k<-1时，m(k)=f(-1)=2+2k当-1k1时，m(k)=f(k)=-k21当k>1时，m(k)=f(1)=2-2k2+2k,k<-1综上：m(k)=-k21,-1k12-2k,k>1

变式四

求f(x)kx2x1在[-1,1]上的最大值M(k)当k=0时，M(k)=f(-1)=3当k>0时，M(k)=f(-1)=k+3

1当k<0时，当<-1时，即-1

k1 当-1<0时，即k-1时，M(k)=f(k)=1-

kkk3k1综上M(k)1

1k1k变式三和变式四将参数从区间的位置转移到解析式处，变成轴变区间定的模型，训练思维的变通性。但是变题的本质仍然没有变，最关键的仍是何处取得最大值或者最小值，仍然是图像的对称轴与区间的关系。变式三和变式四比变式一和变式二在思维上实现了一点跳跃，一个是轴定区间动，一个是轴动区间定，要求学生思维上能灵活变通，善于抓住最本质不变的特征。但是从变式三到变式四，难度上又有稍稍递进，从分类讨论的角度，变式四要比变式三更复杂些，既要讨论二次项系数为零，为正，为负等各种情况，又要讨论各种情况下的对称轴与区间的关系，即在左边，在中间或者在右边，在运算的过程中，根据参数的范围，有时又可以省略掉一些讨论，对于训练学生思维的深刻性、严谨性和变通性大有益处。

二、已知最值反求参数构造变式，培养思维的双向性和灵活性 此变式属于逆向思维的变式，从已知参数求最值，到已知最值反过来求参数的变题训练，可以有效的训练思维的灵活性，防止僵化。但问题的关键仍然是函数在区间上的何处取得最大值，仍是讨论图像对称轴与区间的关系，让学生体会从变种掌握不变的本质。

变式五

已知f(x)kx2x1在[-1,1]上的最大值为，求k的值

252k3k151解法一：在变式四时已解得M(k)1，当M(k)时，得 k

221k1k解法二：经图像的分析，得到最大值取得无非是在区间端点处或者对称轴处

57若f(1),则k,检验得不满足22511若f(1),则k,检验得满足情况 综上得k222 157若f(),则k，检验得不满足k22变式五与变式四是俩逆向思维的变题，在解决变式五中又从一题多解的角度体现了方法的多样性与思维的灵活性。变式五在变式四的基础上进行编排，省去了准备工作阶段的很多重复运算，实现课堂效率的优化。方法一重分类讨论解决二次函数最值的问题，方法二具有一定的巧妙性，是一种特殊法思想，体会树形结合解决问题。分类讨论思想和数形结合思想都是高中阶段需要好好培养的两种思想方法，说明本堂课的内容是丰富饱满的。特殊法思想让学生体验常规之外的灵活多样，训练思维的灵活性。

四、转变函数形式构造变式，培养思维的发散性和创造性

著名数学教育家波利亚曾形象的说：“好问题同某种蘑菇有些相似，它们大多成堆的成长，找到一个后，你应该在周围找一找，很可能附近就有好几个。”掌握上述题型的求解之后，我们还应举一反三，经过适当变化之后，能看出问题考察的知识点本质是什么，将貌似不熟悉的题目化归到我们所熟悉的题型；反之对于我们所熟悉的题型，也能发散出去，编写创造出与其它知识点相联系的变题。

变式六：（1）求f(x)cosx22asinxa的最小值

令tsinx,转化为求函数yt22ata1在[1,1]上的最小值，与变式三同类型。

（2）设a0,若f(x)cosx22asinxb的最大值为0，最小值为-4,求a,b的值

令tsinx,转化为已知函数yt22atb1在[1,1]上的最小值为-4，最大值为1，求a,b的值，与变式五同类型.（3）求f(x)（asinx+cosx）+sinxcosx的最小值

t21令tsinxcosx,t[2,2],转化为求yat在[2,2]上的最小值

22变式六重视培养学生的应用能力和化归的思想，经过变形仍转化为二次函数在区间的何处取得最值的问题。第（3）小题在难度和思维的发散上均达到一个高峰，要求学生既能领会问题的本质，又有较大的创新和变通能力，综合性较强。变式六的类型其实与变式三和变式五同类型，只是结合了三角函数的知识，可以教师给出这些题让学生通过适当换元看出问题的本质，也可以让学生自己编出与上述题类似的变题。

试看我们平常的教学，师生往往陷于题海战术中不能自拔，这种沙里淘金的方式，效果很不理想。变式教学运用各种变式挖掘、延伸、改造，即能运用较少的时间，将所学的知识条理化，系统化，揭露出问题最本质的特征，又能培养学生的思维能力，提高解决问题的应变能力，是一种能大大提高课堂效率为广大学生所接受并喜爱的一种教学方式。减轻学业负担，形成高超数学能力，优化思维品质，变式教学功不可没。

参考文献：

小学数学变式练习教学探究 篇5

摘 要：所谓变式就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性变化，本质属性恒在。变式在小学数学教学中运用十分广泛，可以在概念形成阶段提供，也可以在知识巩固深化阶段以练习的形式呈现。

关键词：变式；变换；解决问题

所谓变式就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性变化，本质属性恒在。变式在小学数学教学中运用十分广泛，可以在概念形成阶段提供，也可以在知识巩固深化阶段以练习的形式呈现。通过变式练习，能使学生排除非本质属性的干扰而看清本质，不仅能深化所学的知识，而且还能培养学生灵活运用所学的知识解决实际问题的能力。那么，教师怎样设计变式练习呢？笔者有以下几点浅见，愿与同仁共研。

一、变换叙述形式

基本题：24的约数有。

变式题：（1）24能被 整除；（2）能被24整除；（3）24是 的倍数。

这三道变式题变换了叙述形式，但其约数的本质“必须整除”始终恒在。通过解答，使学生不只习惯于解答标准叙述形式的题目（基本题），而且能灵活地排除变式的非本质属性的干扰，并能正确地解答题目，从而对约数的概念理解得更加深刻，同时也培养了学生灵活运用知识的能力。又如：

基本题：黄花有5朵，红花比黄花多3朵，红花有多少朵？

变式题：黄花有5朵，黄花比红花少3朵，红花有多少朵？

变式题中的“黄花比红花少3朵”也就是“红花比黄花多3朵”。叙述学生变了，但“求比一个数多几的数”这类应用题（即解决问题）的本质属性不变，其数量关系仍然是“较小数+差数=较大数”，因此用加法计算，这种变式题不仅能有效地克服学生“见多就加，见少就减”，防止学生片面地根据一些固定的词语来选择算法，而且能培养学生认真审题，提高解决问题的能力。

二、变换图形的位置或条件

这类变式题的设计在几何初步知识中经常出现和使用，变式题中多余的条件“7”的设计，可以帮助学生更好地理解三角形面积计算公式，能克服学生乱套公式的坏习惯。

三、变换已知条件的叙述顺序

基本题：红星小学少先队员种树，每排种6棵，种了4排，一共种了多少棵？

变式题：红星小学少先队员种了4排树，每排种6棵，一共种了多少棵？

变式题条件叙述顺序上的变化，使已知条件出现了的数据与列式次序不一致，会使学生错列成4×6=24（棵）或4×6=24（排）的错误，这就要求学生必须认真审题，仔细分析数量关系，只有在明确求“4个6是多少”以后，才会纠正其错误。又如，文字题：

基本题：25与20的和除以它们的差，商是多少？

变式题：25与20的差除它们的和，商是多少？

变式题变换了条件的叙述顺序，旨在考查学生对“除”和“除以”的理解和掌握。

四、变换题目中的已知条件

1.将题目中的某一已知条件隐藏

基本题：把90°角按1∶2分成两个锐角，这两个锐角各是多少度？

变式题：直角三角形两个锐角的度数比是1∶2，这两个锐角的度数各是多少度？

这样设计的变式解决问题，表面上看是只有一个已知条件，如果不认真分析思考，学生的思维就会受阻，错误地认为条件不够，无法进行解答，这样设计旨在使学生从某些词语的背后发现蕴含的另一个已知条件，提高学生解答问题的能力。

2.将题目中的直接条件变换为间接条件

基本题：育才小学三年级有90人，四年级的人数比三年级多6人，三、四年级共有多少人？

变式题：（1）育才小学三年级有2个班，每班45人，四年级的人数比三年级多6人，三、四年级共有多少人？（2）育才小学三年级有90人，比四年级的人数比少6人，三、四年级共有多少人？

用这种方法设计的变式题，在解决问题的教学中经常运用，变式题（1）和（2）与基本题比较，虽然问题不变，但由于条件变换，将一步计算的解决问题扩展成二、三步计算的解决问题，从而使学生能认清复合解决问题的结构特征。

五、变换所求问题

基本题：光明小学五年级有男生120人，女生100人，男生人数是女生人数的几分之几？在学生正确的解答后，教师变换问题：

（1）女生是男生的几分之几？（2）男生比女生多几分之几？（3）女生比男生少几分之几？（4）男、女生人数各占五年级人数的几分之几？

通过解答和比较改变问题的变式题，使学生对“求一个数是另一个数的几分之几”解决问题有较深的认识，从而加深对这类解决问题的理解，培养学生思维的深刻性。

六、变化已知条件和所求条件――问题

基本题：长方形的长6厘米，宽5厘米，它的面积是多少？

变式题：长方形的面积是30厘米，长6厘米，宽是多少？

这种变式题，其解答思维方向是逆向的，经常设计这种练习供学生解答，不仅能深化所学的数学知识，而且还能培养学生的逆向思维能力。

七、变换题目叙述事理

基本题：一项工程，甲独做要8小时完成，乙独做要10小时完成，甲、乙两人合做要多少小时完成？

变式题：从甲地到乙地，客车要8小时，货车要10小时，现两车从甲、乙两地相向而行，几小时相遇？

变式题的叙述事理虽然发生了变化，但其数量关系与基本题相同。通过解答，可以使学生对工程问题的数量关系获得更为广泛的概念和理解。

八、变换数据、运算符号或计算步骤

这种方法的设计常常用于四则混合运算的教学。

基本题：0.32+7-2-0.32

变式题：（1）0.32×7+2×0.32（变换运算符号）；（2）0.32×7+2×0.25（变换数据和运算符号）；（3）0.32×（7+2）×0.25

浅谈高中数学之变式教学 篇6

刘海波、陈燕中 对于所有的高中生来说，要学好数学学科，却不是一件容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧”，当然，多做题肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。

众所周知，数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。变式教学不仅是指问题的变式，而是泛指知识形成过程中的问题设计；基本概念辨析型变式；定理、公式的深化变式，多证变式及变式应用；例题、习题的一题多变、多题归一等。在我看来，高中数学教学中应用变式教学的主要意义在于：

一、利用变式教学创设教学情境，激发学生学习积极性。

高中数学的大部分概念比较抽象，教师在教学中如果直接抛出概 念，学生很难接受。而如果根据概念类型，设计一系列变式，将概念还原到客观实际（如实例、模型或已有经验、题组等）提出问题，为学生创设生动形象的教学情境，就可以大大激发学生学习数学的热情和积极性。

例如：在进行指数函数概念教学时，可以这样进行变式教学：(1)提出问题：我有一张白纸,把它撕成两半，将它们重叠后再撕 一次，重叠后再撕一次„„那么撕扯3次后把所有的纸重叠放置有多少层?5次呢?15次呢?(2)若一张纸厚0．1毫米,那么撕纸15次后把所有的纸重叠放置 有多高?有一人高吗?若撕掉20次呢?(3)你能建立起“纸的张数y与撕纸的次数x”之间的函数关系 式吗？

生活中就存在这样一类函数(如y2x)，从而给出指数函数的概 念。

通过这样一组由特殊到一般的变式题，可以帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系，激发学生的思维，引导学生积极探索。

二、利用变式教学预设“陷阱”，培养学生思维的严谨性。

在学习概念、定理及公式的教学过程中，通过对有关数学概念、定理、公式等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识的引导学生发现变化中的不变，明确并凸显出概念、定理及公式的条件、结论和适用范围、注意事项等关键之处，让学生深入理解概念、定理及公式的本质，从而培养学生严密的逻辑推理能力。

例如：在引入奇偶函数定义之后，为了让学生透彻理解该定义，掌握定义的内涵和外延，特别是搞清楚“定义域关于原点对称”等有关问题，可利用辨析型变式设计下列变式题组织学生讨论。判断下列函数的奇偶性，并说明理由：（1）①f(x),xR，且x0

3x3③f(x),x1,00,1

x3④f(x),x0,

x3x②f(x),x1,00,1

x1x2（2）①f(x)

x1lg1x2x33②f(x)

学生易错为第（2）组：

x1x2①∵f(x)x1x2

∴f(x)(x)2x2f(x)∴f(x)为偶函数 ②∵f(x)lg1x2x33

∴f(x)f(x)且f(x)f(x)∴f(x)为非奇非偶函数

事实上，要先考虑函数的定义域，根据函数的定义域将函数进行化简 后再判断函数的奇偶性。正确解法为：

①由x10得x1（定义域不关于原点对称）∴f(x)为非奇非偶函数

21x0②由得x1,00,1

x330此时，f(x)∴f(x)lg1x2x33lg1x2x

lg1x2xf(x)

∴f(x)为奇函数

这组变式题，通过引发学生头脑中固有思维模式的冲突，使学生加深了对“定义域关于原点对称”的必要性的理解。

教学中，设置反例、错例辨析的变式训练，通过对问题正面、侧 面、反面的分析，使学生发现问题的症结所在，达到去伪存真、由此及彼的目的。

三、利用变式教学深化基础知识，拓展学生的数学思维。

著名的教学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。” 数学教学中，通过对一个基本问题的变式，引导学生运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使其在更深入、更透彻地理解问题的本质的同时拓展了数学思维。

例如：在进行增、减函数的概念教学时，为了让学生熟练掌握增、减函数的定义，需要进行概念深化变式。也就是探求概念的等价形式或变式含义，并探讨等价形式及变式含义的应用，达到透彻理解概念、灵活应用概念的目的。因此要学生注意增、减函数定义的如下两种等价形式：设x1x2a,b，（1）f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数

x1x2（2）x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数 x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数

在形成概念后，不应急于应用概念去解决问题，而应对概念作进一步的探讨，通过辨析型变式和等价深化变式，使学生对概念有更加深刻的理解，让学生既知其然，又知其所以然。

习题变式教学论文 篇7

一、习题变式要能夯实“双基”。

化学习题是促进学生理解基础知识和巩固基本技能的重要途径, 化学基础知识是学生学好基础理论、定律、公式的前提和基础, 也是发展智力和能力, 特别是逻辑思维能力的必要条件。通过习题的变式训练可以使学生加强对知识的理解, 促进知识内化。

例1:现有 (1) CH3COOH; (2) HCl; (3) H2SO4三种溶液, 选择填空:

(1) 当它们pH相同时, 其物质的量浓度关系是___________。

(2) 当它们的物质的量浓度相同时, 其pH的关系是___________。

此题意在考查学生对于电离平衡概念、不同溶液中pH与物质的量浓度的关系等知识的理解。在讲评例1后, 再让学生完成下列4个变式训练, 意图是让学生更好地掌握弱电解质的电离平衡。

变式1:当它们pH相同、体积相同时, 分别加入足量锌, 相同状况下产生气体体积关系为___________。

变式2:当它们pH相同、体积相同时, 同时加入锌, 则开始时反应速率___________, 若产生相同体积的气体 (相同状况) , 所需时间___________。

变式3:中和等体积、等物质的量浓度的烧碱溶液, 需同物质的量浓度的三种酸溶液的体积关系为___________。

变式4:将pH相同的三种酸均稀释10倍后, pH的大小关系为___________。

二、变式要能提高学生的逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。

例2:pH相同的醋酸和盐酸分别用蒸馏水稀释原体积的m倍和n倍, 稀释后两溶液pH仍相同, 则m与n的关系是 ()

A.m=n B.m>n C.m

很多同学面对此题没有思路或思路混乱, 不能快速求解。解析关键步骤是:第一, 二者先稀释相同倍数, 由于醋酸继续电离出H+, 因此前者C (H+) 大于后者C (H+) 。第二, 将醋酸稀释至两者pH相同, 即m>n, 为B答案。

为了进一步巩固此类题目的解题方法和解题思路, 增加以下变式练习:

变式1:pH相同的醋酸和盐酸溶液, 稀释相同倍数后, 前者pH___________后者pH (大于, 小于, 等于) 。

变式2:pH相同的氨水与Ba (OH) 2溶液, 稀释相同倍数后, 前者pH___________后者pH (大于, 小于, 等于) 。

由此总结出此类题型的快速解题方法是:抓住一个本质, 即弱酸或弱碱稀释时电离度增大, 继续电离出H+ (或OH-) , 而强酸强碱则不在继续电离, 稀释相同倍数后弱酸的C (H+) 大于强酸C (H+) 或弱碱的C (OH-) 大于强碱的C (OH-) 。

因此对于同一知识点应多层次、多方位加以解剖分析;同时对所学过的知识进行归纳总结, 提炼升华, 以崭新的面貌展示给学生, 在掌握常规思路和解法的基础上, 启发新思路, 探索巧解、速解, 让学生感到内容新颖, 学有所思, 思有所得。通过变式练习提高学生的逻辑思维能力, 分析问题、解决问题的能力。

三、变式要能激发学生的学习兴趣, 培养学生的探索精神和创新意识, 提高学生的化学素养。

练习是学生复习旧知、巩固新知、强化记忆、检测学习效果的重要手段, 但过于平淡或机械反复的练习, 又会使学生产生厌烦心理, 使学生的思维处于被动和抑制状态, 练习也就达不到预期的效果。变式练习可以不断地变换题目内容、题目形式、提问角度, 使学生思维亢奋, 集中学生的有意注意, 激发学生的学习兴趣。

例3:请完成下列各空:

(1) 0.001mol/LCH3COOH溶液的pH___________3 (填“>”或“<”) ;

(2) pH=a的CH3COOH溶液稀释10倍后所得溶液的pH___________ (a+1) (填“>”或“<”) ;

(3) 0.1mol/LCH3COONa溶液的pH___________7 (填“>”或“<”) 。

变式:设计实验, 证明HA酸是弱电解质。

变式后先引导学生从不同角度设计实验方案, 激发学生的兴趣、发散学生的思维, 开拓解题思路, 既增长了知识, 又培养了创新意识。再引导学生从实验方案的科学性、可行性、简约性等方面进行评价。最后选择实验进行探究, 拟定实验步骤, 观察实验现象, 获得实验结论。通过这一变式调动学生主动参与, 使学生获得充分的学习体验, 培养了学生探究问题的意识, 增强了学生探究问题的能力, 提高了化学素养。

综上所述, 有效的化学习题变式教学要以三维目标为导向, 要以学生为主体, 以提高学生思维能力为宗旨, 要坚持因材施教。有效的习题变式不仅能巩固知识, 形成技能, 而且能完善学生的认知结构, 增强应变能力, 克服思维定势, 还能提高学生发现问题、解决问题的能力, 培养学生灵活多变的思维品质与创新意识。

参考文献

习题变式教学论文 篇8

变式练习

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）08A-0078-02

在初中数学教学中，习题练习不但可以巩固学生的数学学习效果，而且可以教会学生学习方法，训练学生的数学思维，提高学生的解题能力，是习得数学知识必不可少的方式。教师通过习题的变式练习，让学生总结解题规律，寻找新的方法，进一步引导学生掌握解题的方法与技巧，发现数学学习的乐趣，转变学生被动学习的态度，巩固学生的数学知识和技能，提升学生的思维能力。

一、通过多题一解，训练学生思维的深刻性

习题是学生学习数学知识必不可少的一项训练内容，对于巩固数学知识，训练数学技能，锻炼学生的解题能力，培养学生的数学思维具有重要的作用。很多数学习题归属于同一种类型，可以用同一种方法进行解答。教师在组织学生进行习题训练时，可以引导学生发现这些练习题的规律，厘清解题思路，加深学生对数学知识的理解，巩固学习效果，训练学生思维的深刻性。

在学习了相似三角形的知识之后，为了应用相似三角形的知识解决实际问题，教师设计了不同类型的题目进行训练：一是填空题：已知在△ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上的两点，而且△ABC是等边三角形，那么，三条线段BC、CE、BD之间是什么关系（ ）。本题需要把BC分别用AB、AC代替，运用相似三角形的知识，经过化简得到BC2=BD×CE。在学生完成填空题后，教师对这道题进行了变形，给出了一道证明题让学生课后独立完成：已知△ADE中，∠DAE=120°，B、C分别是DE上的两点，而且△ABC是等边三角形，求证：BC2=BD×CE。一些学生在做题时发现，此题与教师讲的填空题只是题型不同，解答的思路是一样的。通过这样的多题一解的变式练习，加深了学生对相似三角形知识的理解。

为了避免学生陷入大量的练习题训练中，提升学生的思维品质，教师在习题变式训练时，应启发学生深入思考，归纳总结多种习题，探寻解决问题的思路和方法，可以让学生学会举一反三，提升学生思维的深度。

二、利用一题多解，提升学生思维的求异性

很多练习题不止只有一种解答方法，学生的思维习惯存在着差异，在思考探寻问题答案时也不可避免地会选择不同的方法。教师在组织学生进行数学习题的变式练习时，可以引导学生从不同的角度思考问题，积极寻找新的突破点，运用不同的方法解答习题，有效地避免了学生思维定势产生的负面影响，防止千篇一律的思维方式，增强学生数学思维的求异性。

已知D、E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。教师要求学生先用自己的方法进行求证。有的学生是利用已知条件中的△ABC和△ADE是等腰三角形这一特点，运用“等腰三角形底边上的三线合一”的性质，求证得到结论；有的学生则是通过三角形全等的判定来证明△ABD≌△ACE，或者证明△ABE≌△ACD，最后得到BD=CE；还有的学生利用等腰三角形是轴对称图形的性质，通过叠合法证明结论。当学生从不同的角度，运用自己的思路进行求证之后，教师鼓励学生换一种角度思考，寻找不同的求证方法。学生们听说还有很多解题方法，纷纷开始动脑思考，通过倒推的方式，探寻不同的解题思路。很快就有学生有了新的发现，并通过比较找到比较简便的方法。通过这种一题多解的方式，让学生的思维变得更加灵活、发散，创新性更强。

在初中数学习题教学中，教师要重视引导学生寻找不同的解题思路，进行一题多解的变式练习，让学生学会从多角度思考问题，从多方面分析问题、解决问题，防止形成思维定势，进而提升思维的发散性，激发创新意识。

三、借助一题多变，发展学生思维的灵活性

数学习题的类型很多，填空题、选择题、问答题、应用题等都是数学学习中常见的题型，解答不同题型的思路、方法也存在差异。教师可以通过不同类型的题目检测学生数学知识的掌握情况和应用情况，在不同的问题情境中，训练学生解答不同类型习题的技巧，促使学生更加灵活地应用数学知识，提升学生的数学思维。

例如，一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？这道题具有一定的代表性，大部分学生也能正确解答。为了训练学生思维的灵活性，教师对例题进行了变式：①一项任务，A单独做20小时完成，B单独做12小时完成。A先单独做4小时，然后B加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？②一项任务，A单独做20小时完成，B单独做12小时完成。A先单独做4小时，然后B加入合作，那么共要多少小时完成此工作的[23]？③一项任务，A单独做20小时完成，A、B合做3小时完成此工作的[25]。现在A先单独做4小时，然后B加入合做2小时后，A因故离开，余下的部分由B单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？这样，在原有例题的基础上，逐步增加变式习题的难度，一步步引导学生解答，既有效地降低了解题的难度，帮助学生顺利解题，也拓展了学生的知识面，让学生在一题多变中提升了数学思维能力。

在数学习题变式练习时，教师要多采取一题多变的方式，变换不同的题型，促使学生灵活地应用不同的解题技巧，训练学生思维的灵活性，让学生学会分析和思考，抓住问题的关键点，体验解答多种数学问题的乐趣。

四、运用一题多问，培养学生思维的创新性

培养学生的创造性思维，是数学教学的重要目标。在初中数学习题变式练习中，教师可以通过设计一题多问的方式，引导学生根据相同的已知条件，变换不同的角度，积极地思考，发现不同的问题点，从多个侧面提出不同的问题，防止学生的思维受到约束，培养学生的创新性思维。

例如，一个宽为2n长为2m的长方形，沿长方形的两条对称轴剪成四个大小相等的长方形，再拼成一个边长为n+m的正方形，求拼成的大正方形中间形成的小正方形的面积是多少？学生们独立思考，结合题目的意思，画出了图形，发现题目要求的小正方形的边长是m-n，所以，很容易就求出了小正方形的面积是（m-n）2。在学生完成了比较简单的第一问的解答之后，教师继续提出问题：写出（m+n）2、（m-n）2、mn三个代数式之间的等量关系。学生们由观察图形发现，（m+n）2-（m-n）2=2m×2n=4mn，他们也比较轻松地列出了正确的等量关系式。接着，在第二问的基础上，教师再次提出问题：运用拼接的方法，画出一个面积是（m+n）（m+2n）=m2+3mn+2n2的几何图形。这一问题相对于前两问的难度加大了，学生们开始动手尝试，最后有部分学生正确地画出了图形。通过这种一题多问的方式，不断增加问题的难度，引导学生不断深入思考，创造性地解答问题，有效地训练了学生的数学思维能力。

由此看来，相同的已知条件，变换不同的问题，是初中数学习题变式练习的重要方式，可以发挥学生的主观能动性，创造性地提出问题、解决问题，突破传统思维的禁锢，体验创造性学习的快乐，增强数学学习的乐趣。

总之，数学习题教学中的变式训练是培养学生数学思维的有效途径，对学生的数学学习大有裨益。教师在组织学生进行初中数学习题教学时，需要结合学生的思维水平和认知特点，精心地设计习题变式，归纳一题多解的方法，厘清解题思路，避免学生产生思维定势，提升学生的思维品质，训练学生数学思维的深度、广度和灵活度，让学生在不同的解题过程中，体验数学习题练习的乐趣，提高数学学习的效果。