东华大学数值分析

东华大学数值分析（精选8篇）

东华大学数值分析 篇1

数值分析教学提纲

第一章 误差 有效数字 算法设计若干准则

第二章 拉格朗日插值 牛顿插值 埃尔米特插值 分段插值 三次样条插值 插值余项 插值基函数

第三章 函数空间 正交多项式 最佳平方逼近最佳一致逼近（用切比雪夫）曲线拟合的最小二乘法

第四章 代数精度 牛顿-柯特斯公式 复合求积 龙贝格算法 高斯求积 数值微分

第五章 高斯列主元消元 LU分解 敏度分析 矩阵条件数 第六章 雅可比迭代 G-S迭代 SOR迭代 收敛定理

第七章 二分法 不动点迭代 收敛定理 收敛阶 牛顿法 弦截法

非线性方程组牛顿迭代法 第八章 规范化幂法 反幂法

第九章 欧拉法 后退欧拉法 梯形法 改进欧拉法 局部截断误差与 二阶R-K方法（中点公式，改进欧拉法）

东华大学数值分析 篇2

按照排序的数据规模，可以将排序分为内部排序和外部排序两类[3]。内部排序就是将待排序序列全部加载到内存中一次性排序的过程。外部排序是数据规模超过内存容量而产生的一种多次读取外存数据到内存，分别进行排序后最终整合的排序过程。外部排序本质上是多次内部排序加上多次外存读取的融合，因此，内部排序是排序问题的基础和核心。常用的内部排序算法按照基本思想可以分为插入排序、交换排序、选择排序、归并排序和基数排序等几类，在此选取了常见的7种排序算法，冒泡排序、快速排序、直接插入排序、希尔排序、堆排序和基数排序进行比较分析。

在排序方面的研究和文章已经存在[2,3,4,5]，但是这些研究和数据都是基于C平台和整形数据，而实际应用中Java平台和浮点型数据应用较多。鉴于目前Java计数的广泛应用，在Ja va平台上用7种常用的数值排序算法测试不同规模的整型数据和浮点型数据，为采用何种排序算法提供参考。

1 算法描述和分析

算法描述中的待排记录均用R{R1,R2,R3,R4,R5….Rn}表示，n表示数据规模。

1.1 冒泡排序

1.1.1 基本思想

冒泡排序是一种交换排序算法。基本思想是依次从头到尾依次遍历含有n个元素的待排记录R，比较相邻元素，例如R1,R2，若R1>R2则交换两元素位置。每遍历一次选出最大的元素并且置于排序记录尾位置，为一次冒泡过程。接着排序前n-1个元素序列，进行相同的比较交换过程，选出最大元素置于序列的次尾位置。依次类推，直到待排序列有序位置。通常冒泡排序中会有一个哨兵来记录是否发生了元素交换，当一次遍历中没有发生元素交换时，表明序列已经有序。

1.1.2 时间复杂度

若有n个待排元素，第1次遍历的比较次数为n-1,第二次遍历为n-2,依次类推，第i次为n-i，时间复杂度表示为

冒泡排序的最差时间复杂度为O(f(n))=O(n2)，最优时间复杂度为O(f(n))=O(n)

1.1.3 空间复杂度与稳定性

冒泡排序中只是在元素交换过程中需要一个辅助空间，空间复杂度为O(1)。元素交换只发生在R1>R2的情况下，保持了原序列相同元素的前后位置，所以冒泡排序是一种稳定的排序算法。

1.2 快速排序

1.2.1 基本思想

快速排序是一种交换排序算法。首先任意选取一个数据（通常选用数组的第一个数）作为关键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面的序列Rleft，所有比它大的数都放到它后面序列Rright，这个过程称为一趟快速排序。接着分别对Rleft和Rright进行同样的快速排序，重复相同的操作，直到序列有序为止。

1.2.2 时间复杂度

每次快速排序是将待排序列分成两个规模较小的子序列接着进行快速排序，即二分问题，形似二叉树问题。其时间复杂度是由快速排序的次数和排序规模决定的，也就是二叉树的树高和元素的个数。

根据树结构理论，快速排序的最优，也是平均时间复杂度为O(f(n))=O(nlog2n)，最差时间复杂度为O(f(n))=O(n2)。

1.2.3 空间复杂度和稳定性

每执行一次快速排序都需要一个辅助空间，若采用递归方式实现需要额外的压栈空间，快速排序的空间复杂度即为执行快速排序的次数，为O(nlog2n)。在排序过程中，不能保证原序列中相同元素的前后位置，是不稳定的。

1.3 插入排序

1.3.1 基本思想

插入排序在这里指直接插入排序，直接插入排序是最简单的插入排序算法。基本思想是把待排记录R按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列RinOrder中，直到所有的元素插入完为止，得到一个新的有序序列。

1.3.2 时间复杂度

插入排序的时间主要消耗在查询待排元素Ri的插入位置过程中，一般采用从后向前顺序遍历序列Rin Order，找到插入位置j,顺序移动Rj(Ri>=Rj）后的元素并将Ri插入到原Rj处。时间消耗由排序序列长度n和和待排元素在原序列中的位置i决定，

最差时间复杂度O(n2)，最优时间复杂度O(n2)，平均时间复杂度O(n2)。

1.3.3 空间复杂度和稳定性

插入排序只需要一个辅助空间，并且插入过程保持了原序列相同元素的前后位置。空间复杂度为O(1)，稳定的排序算法。

1.4 希尔排序[6]

1.4.1 基本思想

希尔排序是一种改进的插入排序算法。首先选取一定的增量d(d<n)将待排记录R进行分组，形成若干个类似分组Ri{Ri,Ri+d,….Ri+jd|i+jd<=n}。在每个小分组里面进行直接插入排序，使得分组记录有序。接着逐渐减小d值，重复相同操作，直到增量d为1，待排记录R有序。

1.4.2 时间复杂度

希尔排序时间复杂度和增量的选取有关，一般采用希尔增量，即初次增量选取待排记录的一半，以后每次减半，直到增量为1。选取希尔增量的时间复杂度为O(n2)，希尔排序时间复杂度的下界为O(nlog2n)。

1.4.3 空间复杂度和稳定性

希尔排序只需要一个辅助空间，空间复杂度为O(1)。希尔排序反复执行了多次插入排序，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，所以，插入排序是不稳定的排序。

1.5 堆排序

1.5.1 基本思想

堆排序是一种选择排序算法。堆排序将待排记录R根据元素下标关系看作一棵完全二叉树，并且具有根元素最大或者最小性质，简称大根堆或小根堆。每次排序首先调整大根堆或者小根堆性质，而后交换堆顶R0与最后一个元素Rn(n为待排记录长度，随着排序过程递减)位置，接着在余下待排记录R{R0,…,Rn-1}上进行相同的排序操作，直到只有一个元素R0，排序完成，记录有序。

1.5.2 时间复杂度

堆排序的时间主要消耗在大根堆或小根堆的调整上。堆调整过程是相当于一次完全二叉树的查询过程，整个过程的复杂度为O(nlog2n)。

1.5.3 空间复杂度和稳定性

堆排序过程只需要一个辅助空间用来存放交换过程中的临时变量，但是在交换过程中不能保证原纪录中相同元素的前后位置。空间复杂度为O(1)，算法不稳定。

1.6 归并排序

1.6.1 基本思想

归并排序是一种采用分治思想、建立在归并操作上的有效排序算法。归并操作将已经有序的子序列合并，得到完全有序的序列。通常以每个子序列长度为1开始，两两合并成长度为2的序列，再继续进行归并操作，直到待排记录R完全有序。

1.6.2 时间复杂度

以二路归并为例，每次归并过程都是将两个有序子序列合并为一个有序序列，时间消耗是一个递推的过程。和其他二分递归问题类似，时间复杂度为O(nlog2n)。

1.6.3 空间复杂度和稳定性

归并排序过程需要和待排记录R等大的辅助空间，但是保持了原序列相同元素的前后位置关系。所以，归并排序的空间复杂度为O(n)，稳定的排序算法。

1.7 基数排序

1.7.1 基本思想

基数排序是一种分配式排序算法，也称作桶子法。基数排序根据键值的部分信息（例如数值最高位）将待排记录R分组，而后将分组后的待排记录排序并且按序组合，再按照键值的部分信息（例如数值次高位）分组，继续按序组合。重复相同的过程，直到遍历全部键值信息（例如数值最低位），待排记录R即有序。

1.7.2 时间复杂度

基数排序的时间复杂度和待排记录长度n、采用的键值部分信息（简称关键码d）以及d取值范围r有关，复杂度为O(d(n+r))。空间复

1.7.3 空间复杂度和稳定性

基数排序需要和待排记录R等大的辅助空间来存储原始排序记录，另外仍然需要rd个空间来辅助计数排序的过程。空间复杂度为O(rd+n)，保持了原序列相同元素的顺序，是稳定的排序过程。

2 实验与结果

本实验使用一台装配32位Win7系统，4G内存，core i5CPU的电脑，在Eclipse开发环境下进行。为了验证基本数据类型、数据泛型封装和代码实现（泛型）对算法的影响，实验首先采用正序和逆序的int型序列对算法进行测试，而后调用Java里面的随机函数生成随机待排序列进行实验。

2.1 算法性能测试

为了测试算法实际运行效率实验选取1000-50000间隔为1000的49组正序、逆序、随机的int类型数据进行5轮测试，计算每种算法的时间消耗平均值，绘制得到图1正序序列排序时间消耗图、图2逆序序列排序时间消耗图和图3随机序列排序时间消耗图。

对比3组实验对比折线图，可以看出各个排序算法实际效率和理论分析基本一致。BubbleSort、InsertSort和ShellSort表现出了对序列顺序的敏感性。HeapSort和MergeSort时间消耗比理论要高，甚至在逆序下耗时超过BubbleSort，其原因在于算法实现过程中引入了过多的条件判定操作、分配内存操作以及寻址操作，这些操作增加了算法的复杂度，致使程序本身的复杂度增大。至于HeapSort和BubbleSort效率相当，与序列是随机序列以及HeapSort操作破环了堆的随机性[8]存在关系。

2.2 测试序列数据类型对排序影响

为了观察基本数据类型是否影响算法效率，实验分别选取1000-50000间隔为1000的49组正序、逆序、随机的int、double基本数据类型数据进行5轮测试，计算每种算法的时间消耗平均值，得到表1实验结果。

算法的性能稳定性指的是随着数据规模的改变，时间消耗是否稳定变化，表现为时间消耗折线图的走势是否平滑。根据实验结果显示，BubbleSort、QuickSort和InsertSort性能稳定，其余算法稳定性较差。

基本数据类型影响着排序算法的效率，排序相同规模下的浮点型数据和整形数据，浮点型数据消耗略大于整形数据。

2.3 Java内部封装类对排序算法的影响

为了测试Java内部封装类[9]对排序算法的影响，实验同样进行了5次。每轮实验仍然调用Java随机函数生成50组范围1000-51000间隔为1000的实验数据，类型为Integer、int、Double和double，测试明确指定数据类型的7种排序算法。而后，计算5轮实验时间消耗的平均值，得到表2的实验结果。

根据表2中实验数据，可以看出Java内部的封装数据类型对排序算法存在影响，程度因算法而异。InsertSort和Radix Sort受影响较大，封装数据类型和基本类型时间消耗比例达到了4:1,MergeSort受影响最小，浮点类型封装数据Double排序效率超过了基本数据类型double，产生这种现象的原因和Jav对象的存储机制和内存的分配方式有关。总结起来就一般情况而言，封装数据类型会加大排序算法的开销，时间开销是基本数据类型的1.2到4倍。

2.4 泛型编程方式对排序算法影响

为了测试采用泛型[7]方式编写程序对排序算法效率影响，实验进行了5轮重复测试。每轮实验调用随机函数生成50组范围1000-51000间隔为1000的实验数据，数据类型为Inte ger和Double，测试采用泛型方式和非泛型方式编写的7种排序算法。而后，计算5轮实验时间消耗的平均值，得到表3的实验结果

根据表2的实验结果，可以得到采用泛型编写方式对算法效率存在影响，影响程度依据算法的不同存在差异。Insert Sort和HeapSort影响程度较大，MergeSort基本不受影响，产生这种差距的原因和Java自身的运行机制存在一定的关系。总体来说，采用泛型编程方式会加大排序算法的时间开销，约为非泛型编程的1.5-2.4倍。

3 结果分析

通过以上的实验结果，可以得出如下结论：

(1）排序算法的效率在很大程度上由算法的思想决定。

(2）算法的实际运行效率也依赖于书写代码的复杂度以及采用的基本操作类型等外界因素。

(3）排序算法效率和基本类型有关，排序相同排序规模的浮点型数据比整形数据耗时。

(4）使用Java内部封装类会影响排序算法效率，排序相同规模数据的时间消耗增加0.2-3倍。

(5）采用泛型方式编写程序会增加排序算法的时间消耗，为非泛型方式的1.5-2.4倍。

(6）根据实验数据显示，综合多种因素的影响，QuickSor和ShellSort表现出良好运行效率，符合[8]中的描述。

4 结语

排序算法的效率是由多种因素决定的，本实验验证了排序记录数据类型、数据封装以及代码的编写方式对排序算法的影响。但是影响算法效率的因素还有很多，在选择排序算法时应该综合考虑各种因素，以便做出最合理选择。

摘要：排序是计算机科学领域的一个基本问题。从算法时间复杂度、空间复杂度和稳定性的角度对常见的7种内部数值排序算法进行了理论分析。在Java平台下测试了7种算法的执行效率,指出了算法的执行效率不仅和算法设计思想相关,基本数据类型、数据封装,以及代码实现方式都影响算法的执行效率。同时进行了实验对比数据,为排序算法的选择提供一定的参考。

关键词：内部排序算法,效率,数据类型,数据封装

参考文献

[1]Dongarra J.The top 10 algorithms[J].IEEE Computing in Science&Engineering,2000,2(1):22-23.

[2]江燕,周军,等.内部排序算法的表分析[J].电脑编程计数与维护,2014,12:23-24.

[3]吴伟娜,等.常用排序算法的比较分析[J].电脑知识与技术,2013,03:2416-2147.

[4]张静.常用的排序算法的分析与比较[J].河西学院学报,2010,02:26.

[5]淦艳,等.五种排序算法的性能分析[J].重庆文理学院学报,2016,06:45-50.

[6]杨智明.希尔算法实现与分析[J].软件与开发,2010,02:13-14.

[7]Joshua Bloch.Effective Java[M].北京.机械工业出版社,2009:97-102.

[8]Mark Allen Weiss.数据结构与算法分析:Java语言描述[M].北京.机械工业出版社,2008:77-125,183-219.

噪声扩散过程数值分析 篇3

关键词：噪声扩散 数值模型

1 噪声扩散方式

关于噪声的扩散方式，可以借由信息传播进行描述，因为信息和噪声的上层概念都是消息，二者的传播方式非常相近。

基于非确定信息网络结构的研究，非确定性网络是指个体间通过随机碰撞传递信息。非确定性信息网络刻画了金融系统信息传播的非同时性、异质性。Cont和Bouchaud （2000）提出了基于完全随机碰撞交互的金融系统信息传播模型。该模型的优点是和真实金融系统的情况非常接近，个体无需任何关于整个系统的统计信息就可以进行决策。模型较好地刻画了群体性从众行为从形成、演化、消失的动态规律。应尚军等（2001，2003）[1][2]、杨春霞等（2005）[3]改进了个体间交互的规则，通过多种信息传播模型的构建，刻画了信息传播的途径、速度、范围等动态特征，还模拟了价格泡沫的形成和破灭。

基于特定复杂网络的研究。这类研究的思路是由研究者根据其对金融市场的观察与理解，指定金融系统遵循小世界网络或无标度网络模式，进而探索复杂网络演化特征及其对资产价格的影响。Hein和Schwind （2008）等研究了基于小世界网络的股市信息交互结构，发现了个体数量和信息交互强度的变化将影响价格形成过程。陈彦锟（2010）[4]基于无标度网络建立的信息传播结构，研究了泡沫的形成与崩馈的条件。

此外，林俊波（2005）[5]借用Shannon的无线电信号传递原理模型，界定证券市场的信源、信道和信宿，构建了证券市场信息传递模型，比较全面而抽象地概括了证券市场信息扩散过程。

邓忆瑞（2008）[6]借用物理学中“场”的概念，建立了信息扩散场，基于场论，采用逻辑推理和数学分析相结合的方法，构建并求解信息扩散场的扩散状态模型，将信息扩散机理用“场”语言描述出来，并利用马氏漂移链原理建立信息时空扩散模型，描述了信息扩散的时间扩展规律与空间分布特征，并利用计算机对模型进行了模拟。

宋逢明等（2002）[7]对中国股票市场的收益率与交易量进行大量实证研究的基础上，构造了中国股票市场区别于成熟资本市场的特殊信息传导模型，并验证了模型的适用性，还发现不同类型股票的投资者的构成不同，其信息传导结构也不同。

吴忠群（2011）描述了两种特殊的信息模式，泄漏式和爆炸式。信息以渐次传递方式被个体获知称为“泄漏式”，信息瞬间扩散到每一个系统中每个个体称为“爆炸式”。信息的传播途径也可分为通过媒体披露和通过个人交流。这样，不同传播速度和传播途径交织组合在一起，构成信息传播方式的多样性。

Kosfeld（2004）[8]用数理推导呈现了一个关于谣言对市场影响的模型，为其他关于谣言和资产价格的实证提供理论分析基础。模型中个体通过与周围邻居进行交流产生了谣言传播的可能。推导的结果显示，谣言最终消失，长期均衡价格等于谣言前价格；如果谣言仍存在，会造成与谣言有关资产的价格上升。

林春燕和朱东华（2005）[9]从股市内部信息传播如何影响股价的波动和交易量变化为研究角度，建立常微分方程组描述了在未知情者不具备学习能力的情况下，信息自身传播过程，并预测传播高峰，分析其过程中股票交易量的变化情况。该模型证明了两个定理：一是传播信息的投资者人数先单调增加，然后单调减少并趋于零；而是总有一部分人在信息公布前无法得知内部消息。

2 噪声的扩散过程建模

股市噪声从噪声源产生以后总是要流动的，不存在静止状态的噪声。所谓噪声流动也就是噪声的扩散，而噪声扩散又可称为噪声的传递，是指噪声从噪声源产生以后，经过传递渠道送达给信息的全部活动过程。

股市噪声扩散依据传播速度分类可分为两种特殊形式，泄漏式和爆炸式。泄漏式代表信息是以渐次传递方式被公众获知的，爆炸式代表信息是瞬间扩散到每一个受众的；依据传播途径分类可分为，通过媒体披露以及个人之间交流。不同传播速度和传播途径交织组合在一起，可以构成信息传播方式的多样性。

本章重点研究以“泄漏式”为传播方式和以“个人交流”为传播途径的噪声的扩散过程。此类噪声是以“人”为载体进行传播的。每个传播者只通过周围有限个人渐次将噪声扩散出去。本章将建立模型，研究噪声传播者的变化规律来说明此类股市噪声的扩散特征，可以为控制此类噪声扩散提供一定的理论支持。

2.1 模型基本假设

设投资者集合I，噪声产生时刻t。t时刻后，投资者开始分化成三个种群。第一类投资者在t时刻获知噪声并正在转告他人，称为噪声传播者，记为集合D；第二类投资者在t时刻获知噪声但不转告他人，称为传播终止者，记为集合K；第三类投资者不知晓该噪声，称为不知情者，记为集合U，并且有：

I=D+K+U （2-1）

设t时刻上述三类投资者占总投资者的比例分别用D（t）、K（t）、U（t） 表示，所以有：

D（t）+K（t）+U（t）=1 （2-2）

对模型作出如下假设：

①噪声传播者通过有限个个体交流，逐渐将噪声传播出去；

②变量D（t）、K（t）、U（t）为连续可微变量。

③只有噪声传播者D传播给不知情者U才算有效传播。

假设③说明，噪声从人群D到D、D到K两种传播都是无效的，因为D、K两类人群均已知此噪声。

设噪声传播者平均传播率为常数λ，λ为大于等于1的常数，意味着单位时间内，平均每个噪声传播者有向λ个人传播噪声的传播能力，但只有向人群U传播才是有效传播，故噪声传播者在单位时间内传播噪声的有效能力为：

λU（t）（2-3）

设总体投资者的人数为N，单位时间内传播者传播噪声的有效传播人数为：

λNU（t）D（t）（2-4）

上式也表示噪声传播者D单位时间的增加量，即噪声传播者D增加的速度，可以用它来衡量噪声传播的速度。它是U（t）、D（t）的函数。

④传播者D会转换为传播终止者K，传播终止率正比于噪声传播者数量ND，比例系数为μ，μ为大于0且小于1的常数，所以噪声传播者D单位时间减少量为：

μND（t） （2-5）

A4：不知情者具有学习能力。当股价波动，成交量扩大时，会引起持有或对该股票感兴趣的投资者的关注。当有高于（或低于）均衡价的大笔订单成交时，将引起原本不知情的交易者改变他们对该股票的预期价格，有可能对该股进行买卖。噪声传播者越活跃，不知情者参与的概率越大。

设不知情者参与的概率为P（t），随时间的变化而变化，且与D（t）成正比，为不知情者学习能力参数，为大于0且小于1的常数，则有：

（2-6）

学习能力强的投资者会从交易量的变化中猜测噪声，并加入到传播人群中去，这部分人群的单位时间增加量为：

NP（t）U（t） （2-7）

2.2 噪声传播模型

2.2.1 噪声传播方程

当噪声出现时，系统内种群开始分化。不知情者接收到噪声，变成噪声传播者，将噪声扩散出去；之后噪声传播者不再传播，变成传播终止者。

投资者的角色转换过程是U?D?K，三类投资者数量随时间推移呈现“此消彼长”的特征。三类投资者所占比例的变化速率分别记为D′（t）、K′（t）、U′（t）。建立常微分方程组（2-8）如下：

U′（t）=-λU（t）D（t）-p（t）U（t）

D′（t）=λU（t）D（t）-μD（t）+p（t）U（t）

K′（t）=μD（t）

P（t）=D（t）

U（t）+D（t）+K（t）=1

U0>0，D0>0，K0>0（2-8）

2.2.2 种群的演化特征一

噪声是通过个体交流的方式逐渐在人群中扩散的，所以噪声扩散者应该是逐渐增加的。随着时间的推移，不断有新消息进入系统取代先前的噪声成为决策依据。噪声逐渐沦为过时的消息，传播者没有动力去传播噪声，表现为人群D数量的减少。

所以噪声有如下传播特征一：

噪声传播者的种群人数变化规律有两种可能：或单调减少，或先逐渐增加，达到峰值后逐渐减少。

2.2.3 种群的演化特征二

从现实情况来看，噪声的扩散不会至整个系统。由于信息不对称总是存在，交易者在有关交易信息之数量和质量的拥有上不相等，股市消息不会到达每一个人。也就是说，人群中总有人不知道噪声。

如下传播特征二：

不知情者不会随时间的推移而完全消失。

2.2.4 噪声扩散的峰值

根据噪声传播者的变化规律可知，传播者人数必然会在某一时刻达到峰值。到达峰值的时间与初始传播人数、传播终止率、噪声传播者的传播能力和不知情者的学习能力有关。一般地，初始传播人数越大，噪声传播者的传播能力越强，不知情交易者学习能力越强，峰值就会越大，到达峰值的时间就越早；传播终止率则与峰值成负相关。

3 数值模拟与分析

3.1 分析工具的选择

MATLAB是使用较为广泛的模拟工具，提供了7个求常微分方程数值解的函数：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb。ode45是解决数值解问题的首选方法，将选择ode45进行方程求解。同时，将选择二维画图函数plot进行函数曲线绘制。

3.2 模拟分析

用MATLAB求解微分方程组，并画出D（t）、K（t）、U（t）三个种群人数演化曲线（演化曲线略）。模型中需要赋值的变量有：

①噪声传播者的初始比例D0在0～1内由随机数生成；

②噪声传播者的初始比例D0与未知情者的初始比例U0之和为1；

③传播终止者的初始比例K0为0；

④参数λ大于或等于1的常数；

⑤参数μ、的取值范围是（0，1）。

3.3 结果分析

①初始时刻，系统中噪声传播者为固定值，是整个系统的噪声传播源，其余人群则是不知情者。当噪声产生后，传播者开始传播噪声，不知情者人数逐渐减少。随着噪声的传播，知晓噪声但不传播的传播终止者人数从0开始逐渐增多。噪声传播者的变化规律与传播能力、传播终止率、未知情者学习能力和初始噪声传播人数都有关。

②其他条件不变，初始状态下，系统中知晓并传播噪声的人数越多，传播高峰来的越快，峰值越大。这符合逻辑推理和实际观察。

③其他条件不变，当传播者传播噪声的能力越强，传播高峰来的就越快，峰值就越大，符合逻辑推理和实际观察。

④其他条件不变，当传播终止率越小，峰值越大，但传播高峰时间变化不明显。

⑤其他条件不变，当未知情者学习能力越大，峰值越大，传播高峰时间变化也不明显。

⑥曲线均未涉及当时间足够长时，三类人群的数量特征。但上一章经过理论已经证明，噪声传播者最终会消失，整个系统只有未知情交易者和传播终止者。

参考文献：

[1]应尚军， 魏一鸣， 范英，等. 基于元胞自动机的股票市场复杂性研究——投资者心理与市场行为[J].系统工程理论与实践，2003， （12）：18-24+31.

[2]应尚军，魏一鸣，范英，等.基于元胞自动机的股票市场投资行为模拟[J].系统工程学报，2001（5）：382-388.

[3]杨春霞，王杰，周涛，等.基于自组织逾渗的金融市场模型[J].科学通报，2005（20）：127-131.

[4]陈彦锟.基于无标度网络的信用违约风险传染效应研究[J].统计与决策，2010（2）：20-23.

[5]林俊波.证券市场信息传导机制与信息披露制度研究[D].浙江大学，2005.

[6]邓忆瑞.基于网络维力的信息扩散研究[D].哈尔滨工程大学， 2008.

[7]宋逢明，唐俊.中国股票市场的信息传导与流动性需求[J].经济科学，2002（2）：46-57.

[8]Kosfeld M.Rumours and markets[J].Journal of Mathematical Economics，2005，V41（6）：646-664.

[9]林春燕，朱东华.证券市场信息传播的数学模型研究[J].数学的实践与认识，2005（11）：40-45.

作者简介：

刘芷彤（1992-），女，内蒙古通辽人，大学本科，学士，华北电力大学经济与管理学院。

数值分析课程实验报告 篇4

实验名称 用二分法和迭代法求方程的根

成绩

一、实验目的

掌握利用二分法以及迭代法求方程近似根的方法，并学会运用 matlab 软件编写程序，求解出方程的根，对迭代法二分法进一步认识并灵活运用。

二、实验内容

比较求方程 5 0xx e   的根，要求精确到小数点后的第 4 位 1.在区间[0,1]内用二分法； 2.用迭代法1/5kxkx e，取初值00.25 x .三、算法描述

1、二分法：二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将汗根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{ }来逼近根 x.2、迭代法：迭代法是一种逐次逼近的方法，其步骤是首先给定一个粗糙的初始值，然后用一个迭代公式反复修正这个值，知道满足要求为止。

四、实验步骤1、二分法：

(1)计算 f(x)在区间[0,1]端点处的值 f(0)和 f(1)的值；

(2)计算 f(x)在区间【0,1】的中点(0+1)/2=1/2 处的值 f((a+b)/2)；

（3）如果函数值 f(1/2)=0，则 1/2 是 f（x）=0 的实根，输出根 x，终止；否则继续转（4）继续做检验。由于 f(1/2)≠0，所以继续做检验。

（4）如果函数值 f(0)* f(1/2)<0,则根在区间[0,1/2]内，这时以 1/2 代表 1；否则以 1/2 代表 0；，此时应该用 1/2 代表 1.（5）重复执行(2)(3)(4)步，直到满足题目所要求的精度，算法结束。2、迭代法

(1)提供迭代初值25.00 x；(2)计算迭代值)(0 1x x  ；

(3)检查|0 1x x |，若   | |0 1x x，则以1x代替0x转(2)步继续迭代；当   | |0 1x x时

终止计算，取作为所求结果。

五、程序

（1）二分法程序：

function y=bisection(fx,xa,xb,n,delta)

x=xa;fa=5*x-exp(x);

x=xb;fb=5*x-exp(x);

disp(“[

n

xa

xb

xc

fc

]”);

for i=1:n

xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=5*x-exp(x);

X=[i,xa,xb,xc,fc];

disp(X),if fc==0,end

if fc*fa<0

xb=xc;

else xa=xc;

end

if(xb-xa)

end

（2）迭代法程序：

function y=diedai(fx,x0,n,delta)

disp(“[

k

xk

]”);

for i=1:n

x1=(exp(x0))/5;

X=[i,x1];

disp(X);

if abs(x1-x0)

fprintf(“The procedure was successful”)

return

else

i=i+1;

x0=x1;

end

end

六、实验结果及分析

（1）二分法：

实验结果如下：

[

n

xa

xb

xc

fc

]

1.0000

0

1.0000

0.5000

0.8513

2.0000

0

0.5000

0.2500

--0.0340

3.0000

0.2500

0.5000

0.3750

0.4200

4.0000

0.2500

0.3750

0.3125

0.1957

5.0000

0.2500

0.3125

0.2813

0.0815

6.0000

0.2500

0.2813

0.2656

0.0239

7.0000

0.2500

0.2656

0.2578

--0.0050

8.0000

0.2578

0.2656

0.2617

0.0094

9.0000

0.2578

0.2617

0.2598

0.0022

10.0000

0.2578

0.2598

0.2588

--0.0014

11.0000

0.2588

0.2598

0.2593

0.0004

12.0000

0.2588

0.2593

0.2590

--0.0005

13.0000

0.2590

0.2593

0.2592

--0.0001

14.0000

0.2592

0.2 593

0.2592

0.0002

15.0000

0.2592

0.2592

0.2592

0.0001

依据题目要求的精度，则需做二分十四次，由实验数据知 x=0.2592 即为所求的根

（2）迭代法：

实验结果如下：

大数据与《数值分析》教学实践 篇5

摘 要：联系时代发展，数值分析列为应用统计专业的专业基础课。考虑信息时代与数据时代的特点，对应用统计专业的数值分析课程教学内容进行再梳理，教学模式进行更新。开设专题，突出大数据与数值分析的联系，促使大家共同思考，逐步树立大数据理念。数值分析课程教学的深度改革以及教师与学生间的深度配合，培养创新性人才。通过系统学习和改革措施，取得一系列优秀成果。

关键词：大学教育 数值分析 大数据 专业课

中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）01（b）-0115-02

大型线性方程组，特别是大型稀疏矩阵方程组，为减少计算量、节约内存、充分利用系数矩阵拥有大量零元素的特点，使用迭代法更为合适[1]。插值、拟合、逼近、数值积分与数值微分、范数等无一不是在建构数据关系。

大数据是新事物吗？天气、地震、量子物理、基因、医学等都是大数据所在，借鉴他们的方法有益。过去多用统计类方法，如用抽样调查。这正是应用统计专业人士擅长的。互联网数据挖掘方法论也如此，不同的是：因为人的复杂性，所以更难。既然是关于人的研究就需应用所有研究人的方法梳理大数据。只要懂编程、懂调动数据的人就可以做大数据挖掘的说法显然不准确，因为移动互联网对社会生活的影响本质是时间与空间的解构。

2013年一年产生的全球信息量已经相当于人类文明史当中资料的总和。处在一个数字时代，价值判断主要通过大数据分析，颠覆性的创新以一个不可思议的速度在进行着，每个人必须要去适应。2015年李克强总理曾提出“数据是基础性资源，也是重要生产力”的重要论断，强调中国发展大数据产业空间无限。“海量数据如果能彼此打通，从这中间可以产生出大量的新知识。”中国工程院院士潘云鹤在由中国工程院主办的国际工程科技知识中心2015国际高端研讨会上说，“大数据的出现，表明信息开始独立于人，开始形成单独的空间，今后大数据一定会走向大知识时代。”

必然的时代变化，可怕吗？正视、拥抱？在变化中似乎更能感受到数学专业、尤其是应用统计专业的优点：韧性好、潜力足、回旋空间大。不过，相应的调整与变化也是必须的。数值分析曾经是我校应用统计学专业的选修课程。考虑到信息时代与数据时代的新特点，也在努力地用心地迈向大知识时代，而今数值分析已经成为我校应用统计专业的必修课，一门专业基础课。教学与成长

身为教师，都明白：从改变和提高自己开始，才有成功的教育。与学生们一起经历那一段无可替代的完整的生命体验，自然不是能由碎片讯息和夸张视频可以取代的。因此我们一直都在学习，不断提高教学的本领与技巧，更好地直面生活中众多的选择，并由此观察、体会、领悟全新的生活方式：改变着我们对自身以及人类关系的理解；影响着城市的建造和经济的变革；甚至改变我们成长与成年的方式，也改变着人类老去甚至去世的方式。

尽情地用心做足诗外功夫。尽心尽力地完成教研工作，认真钻研、用心备课、与时俱进，切实把握好重点难点和必要的知识细节，不断改进教案，启发创新思维，开展研究型教学，拓展相关应用的前沿、热点，通过理论分析与数值编程两个手段相结合，拓展研究前沿和实际应用，提供有益的研究信息和潜在思路。精心制作教学课件、算法编程与可视结果，调试正确高效的源程序代码，必要时可以运用多种模式教学、布置大作业。

学生维度方面，发挥主观能动性与学习自主性。不论课堂内外或是线上线下，我们都努力贯彻这样的学习过程：自学（寻疑）、互帮（答疑）、倾听（释疑）、群言（辨疑）、练习（测疑）和反思（质疑）。答疑、释疑和辨疑过程可以出现在同学之间以及师生之间。努力充分开发理解的认识性、道德性、感情性、实践性与创造性及其综合而成的理解的特殊本性，借此更好地提高教育实践的合理性。这样，无论教师还是学生，都处于理解的教育之中，可以更好地理解自己和他人，因而能被别人更好地理解。同时，作为影响其他教育条件更好地发挥作用的关键因素，在其他教育教学条件基本稳定的前提下，更好地发挥多角度理解的作用，从而收获更好的教育教学效果。

习题采用书面撰写与上机编程相配合来完成，布置有关实践应用的大作业，力求考试学术和创新素质的结合与统一。通过教学、科研、动手编写和调试程序，使学生掌握数值算法的构造原理和分析过程，熟悉设计算法的原则和思路，把握已有算法的优缺点、应用面和发展前景，提升知识的融会贯通，能够结合自己的专业和问题来考虑新数值算法的改进与应用。尝试面对科研实际中遇到的问题选择、应用和改进相应的计算方法，从而提升知识应用和思维创新。

每章学习过程中，我们都一起思考相应的数据复杂性、计算复杂性、系统复杂性和学习复杂性等多个方面带来的挑战；同时思考从数值分析出发的相应对策与处理措施。而且，我们开设几个专题，如从数据出发的建模与数值分析、大数据与计算方法的加速处理、大数据中误差的优化及与新方法的生成等等，突出大数据与数值分析的联系，促使大家共同思考，希望因此逐步树立大数据理念，加强目标、模型、数据、技术等多个方面的协同创新。尝试着对数值分析课程教学的深度改革、教师同学生间的深度配合，希望能超越因材施教，也盼望着能接收到超出想象的答案，从而让创新性人才凸现。

整个数值分析课程教学过程中，关注学生的成长过程，更加注意到学生正在寻找自己，构建自己的知识结构，以及他们的变化和发展。若以此为目标进行教改，改革必然会持续进行，一定能帮助学生了解自己，准确定位，为学生必然发生的变化做准备，而非将学生当作已经固定的人才实施因材施教。坚持抓反思、求提升，抓精细、求完美，抓执行、求速度，抓流程、求效果。期望着大家能有超越数据的视野与胸怀。成效

通过系统学习和改革措施，促使教学双方充分发挥“教师的主导作用，学生的主体作用”。教师的教学与科研得到良性发展，促进研究型教学展示，为在新时期培养创新型、复合型、高素质人才做出点滴贡献；学生掌握经典算法和了解了应用前沿，提高数值算法效率和数据分析能力，为利用计算机有效解决科学计算中的问题打好基础；也为更从容地面对世界的柔性、智能、精细发展奠定了基础。

用心投入实践中的好课与好课的实践[2]，发表了一系列相关教学论文。持续开展：数值计算方法及相关课程教学改革的研究与实践；模块化、互衔接的数学类课程群优化的研究与实践；数学教育实验中心运行机制与管理模式的研究与实践；多元化人才培养模式的研究与实践。有如下书籍出版：

《应用数理统计》，机械工业出版社，2008。

《数学物理方程》，科学出版社，2008。

《数据库基础教程》，电子工业出版社，2009。

《基于MINITAB的现代实用统计》，中国人民大学出版社，2009。

《气象统计预报》，气象出版社，2009。

《Numerical Analysis and Computational》，MethodWorld Academic Press，2011。

《数值分析与计算方法》，科学出版社，2012。

《数值计算方法理论与典型例题选讲》，科学出版社，2012。

《Minitab软件入门：最易学实用的统计分析教程》，高等教育出版社，2012。

2012年，这里被确立了教育部专业综合改革试点专业。同年，拥有了中央财政支持地方高校发展――科研平台和专业能力实践基地建设项目，以及多项江苏省及国家级大学生实践创新训练计划项目，如基于地面以及CHAMP卫星数据的地球磁场区域建模研究，基于GPS和实时数据的青奥会期间公共交通调度优化研究，南京市PM2.5监测站分布合理性调查与分析。

2011获年教育部颁发全国大学生数学建模竞赛全国特等奖（高教社杯），全国唯一。2012年摘下全球仅7项的美国大学生数学建模竞赛ICM特等奖。

2015年全国大学生数学建模竞赛获国家一等奖四项、二等奖六项；2015首届中国“互联网+”大学生创新创业大赛金奖；在2015年全国大学生电子设计竞赛中获全国一等奖3项、全国二等奖4项。获奖数量和质量均取得历史性突破，展现了当代大学生的大气、生机和活力。

难怪，世界著名数值分析专家牛津大学教授Floyd N.Trefethen和David.BauIII指出：“如果除了微积分与微分方程之外，还有什么数学领域是数学科学基础的话，那就是数值线性代数。”

参考文献

大断面隧道施工开挖数值模拟分析 篇6

大断面隧道施工开挖时,常采用台阶法和CD法.采用数值计算方法,从位移和受力两方面,对两种开挖方法作了比较分析,揭示隧道结构的位移和力学特性,验证了理论的正确性,可为大断面隧道的`设计与施工提供一定的参考和指导.

作 者：王庆国 贾良 Wang Qingguo Jia Liang  作者单位：陕西铁路工程职业技术学院,陕西渭南,714000 刊 名：石家庄铁路职业技术学院学报 英文刊名：JOURNAL OF SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY 年，卷(期)： 8(2) 分类号：U452 关键词：大断面隧道   台阶法   CD法  

 

加筋路堤的数值模拟分析 篇7

土的抗压性能较好，抗剪性能较差，而且基本无抗拉能力，因而在工程应用上受到很大程度的限制。在土内掺入适量的加强筋，可以改善土的强度和变形特性。土工加筋技术是一种在土工构筑物中或原位土体中埋设抗拉性能较好的材料，而使整个土工系统的强度和稳定性等力学性能得到明显改善的土体加固方法。[1,2,3,4]

国家交通建设中经常会遇到路基高填深挖的问题，对此如果处理不好，将直接影响公路建设的使用品质。以往公路高路堤地段，多采用坝式路堤，但这种结构边坡很缓，填方量大，施工范围广，压实不均匀，工后沉降也难控制。更重要的是在雨季边坡容易坍滑，严重影响行车安全。如果采用加筋路堤，即在堤身每隔一定厚度铺设一层土工积物，则可以减小路堤断面，降低工程造价[5]。

1 计算分析模型[6,7,8,9]

用有限元计算时，设置平面单元模拟边坡土体，杆单元模拟筋材，仅考虑筋材的轴向应力，忽略弯曲应力，土与筋材接触面之间设置接触单元，模拟土与筋材的相互作用，计算简化为平面应变问题。建模分两个阶段，先建立模型求解在重力荷载作用下产生的位移，然后在此基础上施加荷载，导入地应力后求解得到施加荷载后路堤内应力、位移分布情况。假定路堤—地基交界面连续，不允许产生相对滑动。

1.1 模型尺寸确定

参考公路路基设计规范，按照一级公路车道数四车道，设计速度100km/h，路基宽度取一般设计值26m，路基填土高度取3m，边坡坡度取1:1.5。模型中的地基厚度取10m，宽度为55m。模型中对地基底面施加竖向约束，对地基两侧施加水平方向约束。计算荷载取98（考虑了路面部分的净重和交通超载）。在位移分析图形中，坐标系的选取是以地基底面中心为坐标原点，水平向右为X轴正方向，竖直向上为Y轴。位移单位为m，规定位移方向沿坐标轴正方向为正值，沿坐标轴负方向为负值。

1.2 模型参数选定

土体模型选择Mohr-Coulomb模型，在分析软件中只需输入弹性模量、内摩擦角、泊松比、粘聚力和密度5个参数。该模型的计算参数如表1。土工格栅弹性模量1×310MPa，单宽截面积0.0002m2，泊松比为0.3。

2 计算结果与分析

2.1 加筋与不加筋对边坡沉降和侧移的影响

对建立的模型进行编号：模型1-1：在路堤1m高度处铺设一层筋材；模型1-2：在路堤2m高度处铺设一层筋材；通过对坡比1:1.5的路堤计算，分别得出有一层加筋和无加筋情况下坡体内竖向位移云图及等值线图、侧向位移云图及等值线图。

2.2.1 竖向位移分析

由计算结果分析，施加荷载后，无筋路堤的最大竖向位移为68.57mm，模型1-1的最大竖向位移为47.54mm，相比未加筋的情况，竖向最大位移减少了30.7%，模型1-2的最大竖向位移为50.16mm，相比未加筋的情况，减少了26.8%，由此可见，加筋可以显著的减少路堤的竖向沉降，并能起到均匀沉降的作用。模型1-1与模型1-2的计算结果表明，加筋的位置对竖向沉降也有一定的影响。由无筋模型、模型1-1,1-2的位移云图可以发现，路堤中同一水平面上的竖向位移以中间为最大，向两侧逐渐减少，这一沉降差异导致路堤上部两侧土体有了向内移动的趋势。加筋以后，不但减小了最大沉降量，而且使得堤身的沉降均匀。另外，筋材在堤身的位置也对加筋路堤的工作性能有一定的影响，以3m高度的路堤为例，在堤身1m高度处布筋的效果要比在堤身2m的高度处布筋效果要好。因为加筋能够提高土体的整体稳定性，因此，对地基的承载力有一定的要求，在计算结果中发现，加筋后坡脚处地基有一定的隆起。

2.2.2 水平向位移分析

由计算结果分析，施加荷载后，无筋路堤的最大水平向位移为25.68mm，模型1-1的最大竖向位移为17.16mm，相比未加筋的情况，水平向最大位移减少了33.2%，模型1-2的最大水平向位移为19.31mm，相比未加筋的情况，减少了24.8%，由此可见，加筋可以约束土体的侧向位移，提高路堤的整体稳定性。模型1-1与模型1-2的计算结果表明，加筋的位置对约束土体的效果有一定的影响。

由图5可以看出，无筋路堤在路堤顶面，两侧的土体向路堤内部移动；在路堤底部，两侧的土体向路堤外部移动，路堤顶面两侧的土体向内向下的移动使得路堤中下部的侧向压力增大，由于同一水平面上的侧向压力由中间向两侧逐渐减小，加上路堤边坡的临空，这就推动路堤中、下部土体向两侧移动。加筋后路堤顶部的侧向位移接近为0，路堤底部的侧移也有所减少，坡面的水平位移曲线出现有波折，从对应的位置可以发现，位移相对较大的地方都出现在加筋土层的中间部位，而靠近筋材的土体的水平位移相对有所减小，这说明土工格栅加筋材料对其周围的土体起到了很好的束缚作用，使得路堤的整体性提高。

3 结论及建议

通过以上分析可以得出如下结论：(1)在边坡坡角、竖向压力相同时，土工格栅加筋路堤的沉降及侧向位移值比不加筋边坡要小得多；土工格栅加筋路堤边坡相对于不加筋边坡可以很好的提高路堤的整体稳定性；(2)加筋位置的不同对加筋效果有一定的影响。在本文所计算的路基结构中，计算结果表明，相同的加筋密度，加筋位置下移可以提高加筋效果；(3)路堤中同一水平面上的垂直位移以中间为最大，向两侧逐渐减小；而水平位移在路堤中线上为0，向两侧逐渐增大。当前普遍应用的加筋土技术，虽然工程实践发展速度快，但理论研究远滞后于工程实践。目前土工合成材料加筋加固的机理还不十分明确，计算方法还不完善，理论上的滞后严重限制了工程实践水平的提高，土工合成材料加筋机理和理论的研究仍是一个迫切需要解决的课题。[10]

摘要：本文采用非线性有限元方法来分析加筋土坡的位移场,建立了3种计算模型,通过有限元分析,对一般土质地基上土工格栅加筋路堤的工作性能进行了研究,不同布筋方式的土工格栅加筋路堤及不加筋路堤进行了计算与分析,研究了各种工况下路堤整体变形情况以及路堤内位移分布、坡面侧移情况。结果表明:加筋能较大幅度地提高路堤的整体刚度和内部稳定性,对地基均匀性和抗变形能力的要求有所提高;加筋路堤边坡的水平位移随着路堤加筋位置的上移而增大。

关键词：土工合成材料,土工格栅,加筋路堤,数值模拟

参考文献

[1]《土工合成材料工程应用手册》编写委员会.土工合成材料工程应用手册(第二版)[M].北京:中国建筑工业出版社,2000,218-222.

[2]上官云龙,史锋,栾茂田,杨庆.格栅加筋路堤边坡性能的试验研究及有限元分析[J].吉林大学学报(地球科学版),2006(36()增刊):80-84.

[3]朱湘.软土地基格栅加筋路堤结构性能研究[D].南京:东南大学,2002.

[4]杨庆,季大雪,栾茂田,张克.土工格栅加筋路堤边坡结构性能模型试验研究[J].岩土力学,2005,26(8):1243-1245.

[5]余飞.加筋边坡加筋机理及渗流作用下力学响应的数值模拟研究[D].武汉:华中科技大学,2004.

[6]喻泽红,邹银生,王贻荪.土工合成材料加筋边坡稳定性分析中的模量因素[J].岩土工程学报,2004,26(6):787-791.

[7]柏巍,陈灯红,王乾峰.加筋路堤边坡的数值模拟分析[J].灾害与防治工程,2007(1):1-5.

[8]杨有海,苏在朝,夏琼.黄土路堤边坡浅层加筋加固机理分析及工程应用[J].土木工程学报,2005,38(11):84-88.

[9]苗英豪.土工格栅加筋路堤机理研究[D].西安:长安大学,2003.

汽车天窗噪声的数值分析和控制 篇8

随着汽车技术的快速发展和用户对舒适性的追求，很多汽车都配备了天窗，它能够使车内空气有效流通，增加新鲜空气进入，为乘员带来健康、舒适的享受。但是，当汽车以一定速度行驶时，车顶上的气流在天窗开口处变得不稳定，产生了流动分离。在天窗开口前沿处产生的涡团迅速破碎或者撞在开口的后缘处破碎。同时破碎的涡团导致空气产生了压力波动，从而形成了噪声声源。由于天窗噪声的声源离驾驶员的头部很近，产生的脉动压力会使驾驶员感到烦躁不安。研究结果表明，与轿车匀速车内噪声品质相关的主要心理声学参量根据车速的不同而不尽相同［1］。例如，一辆汽车以40 km/h的速度行驶，其天窗所产生的噪声往往会超过100 dB［2］。所以在为乘员提供天窗带来好处的同时，如何减小天窗气动噪声也成为一个重要的问题。

对于天窗噪声的控制，国内外做了很多研究。在20世纪90年代，计算仿真分析刚刚应用到汽车风振噪声中，Ota等［3］即采用结构化网格和基于有限体积法的CFD代码（GOLDE）对二维汽车天窗噪声进行了仿真分析，得到了与实车道路实验相吻合的结果；Karbon［4-6］等采用非结构化网格和基于有限元法的商用CFD软件PAM-FLOW对汽车模型进行了仿真分析，得到的结果与风洞实验结果较为吻合。近年来，很多学者提出通过在天窗前沿进行改进可以有效降低噪声。如An等提出在天窗前部增加腔体［7］和导流板［8］来降低噪声，并取得了很好的效果。 黄磊［9］提出在天窗前部增加网状挡风条可以有效的降低噪声，并且极大的减少了工程开发的复杂度。汪怡平［10］等提出在天窗处安装带有凹槽的导流板以及优化其安装角度，发现监测点处声压级降低了23 dB。康宁［11］等提出将天窗后移及加宽，可以降低监测点处的声压级。

本文在An等提出的在天窗前部增加腔体的方法的基础上，对腔体结构进行改进，并进一步优化车内压力场分布，降低监测点处的声压级。论文首先建立计算和几何模型，随后通过计算汽车天窗改进前后以及与An设计的天窗结构的比较说明本文方法的有效性。

1 理论与模型

1.1 基本控制方程和湍流模型

通常情况下，汽车的车速低于200 km/h，车身周围外部流动空气按不可压流体来处理，汽车外部流场可视为等温、非定常不可压流动。所以在这里采用雷诺时均三维非定常不可压Navier-Stokes（N-S）方程，其一般形式为：

式中：t为时间；ui为速度分量；p为压强；ρ为流体密度；由于此方程引入关联项ρuiuj，需要引入相应的湍流模型来封闭方程，在本文中，采用WALE亚格子模型来进行封闭。

1.2 计算模型的建立和网格的划分

1.2.1 计算模型的建立

本文研究的对象是一款小型带天窗的汽车，在建模的时候忽略后视镜、雨水槽、排气管和门把手等复杂曲面，同时由于汽车底盘对本计算影响不大，因此将汽车底部简化为光滑壁面。模型长L=4 188 mm，宽W=1 505 mm，高H=1 075 mm，天窗厚度为60 mm，天窗大小为 770×380 mm。

1.2.2 计算域的建立

计算域为包围汽车的一个长方体区域，如图1所示。具体尺寸为：车前区域为1 L，车侧围2 W，车上方为3 H，车后方为3 L，车底距地面为170 mm。

1.2.3 网格的划分

网格的划分是整个分析过程中最为重要的一步，因为它的好坏直接关系到仿真分析时所花费的时间以及仿真结果的精确性。由于汽车本身几何模型的特点，在网格划分时选择了四面体网格，它一方面可以很容易捕捉流场几何特征，同时还具有非常好的自适应性。至于网格数量，理论上来说，数量越多，计算出来的结果越精确，但仿真分析时所花费的时间也就越长。所以在控制网格数量时，要保证在可以获得精确结果的前提下，尽量减少网格的数量。因为从某种程度上来说，当网格单元小到一定程度时，再次细化网格对计算结果并不会有太大影响。

本文研究的重点是天窗气动噪声问题，所以天窗附近的网格需要尽量的精细，而远离天窗的地方则不需要过度的细化。因此将整个计算域内的网格分为三个层次，靠近天窗的地方，网格最为精细；整个车身则选择较为精细的网格；最后是计算域网格，单元尺寸可以比前两者略大。最终生成的网格数量在550万左右。

1.3 边界条件

数值仿真是在有限区域内进行的，因此在区域的边界上需要给定边界条件，边界条件的确定需要在数学上满足适定性，在物理上具有明确的意义。汽车在实际行驶时，地面是不存在附面层的，在此采用移动壁面边界条件消除由于数值仿真产生的地面边界层，具体设置见表1。

表1 边界条件

1.4 计算方法

在保证计算准确性和尽量缩短时间的前提下，采用两阶段求解方案。首先进行稳态求解，采用分离解法、SIMPLE方法、二阶迎风格式及标准湍流模型，迭代次数大约500次，然后把稳态求解的结果作为瞬态求解的初始值。瞬态求解使用大涡数值模拟，采用WALE亚格子模型，同时在时间上采用不迭代2阶时间递进加快计算过程，在空间上采用具有很好的收敛性和网格适应性的中心差分方法，以保证足够的精度。由于风振噪声的共振频率在13 Hz左右，即产生的涡流脱落周期是0.08 s。本文中进行瞬态求解的时间步为0.005 s，也就是在一个时间周期内有16个采样点，这可以充分的捕捉风振的谐振频率。

1.5 计算结果仿真分析

本节计算的模型是天窗完全打开且没有安装任何降噪措施做分析的原始模型。接下来所采取的降噪措施是在此车的基础上。

图2是无任何降噪措施下的人耳处声压级频域图，从图中可以明显的看出，汽车的风振发生在13 Hz左右，噪声声压峰值达到了110 dB，长时间的处于这样的一个噪声环境中，容易使驾驶员感到烦躁不安，所以要进行降噪处理。

2 风振噪声的控制

2.1 增加腔体的影响

控制风振噪声的方法主要有两种，一种为主动控制，另外一种为被动控制。主动控制是指利用声波的干涉原理，通过在声场中设置一系列的同频反相振动装置。但是风振噪声的主动控制不仅会增加开发成本，而且在安装过程中也会非常的麻烦，所以目前市场上应用最广泛的是被动控制。被动控制的方法主要有：在天窗前沿安装导流板导走涡流来控制风振噪声、通过调整天窗的开启位置改变车内空腔的固有频率来控制噪声等。本文是在汽车天窗前沿安装一个腔体用来控制天窗噪声。

本文给出的腔体设计示意图与An所设计的腔体对比如图3所示，其中a为本文中的腔体，b为An设计的腔体。该设计的目的是通过腔体挡住一部分气流进入车内来降低噪声。腔体设计尺寸为长80 mm，深度为40 mm，略低于天窗厚度60 mm，曲面与天窗顶部相切且连续。

图4是改进前和改进后监测点处声压级频域图对比图。从图中可以看出改进后的车型风振频率发生在10 Hz，噪声声压峰值达到了104 dB，比原始车型声压峰值降低了6 dB。并且在人耳可听区域内，改进后的车型噪声明显要低于改进前。

进一步对比两者的压力云图，如图5所示。（a）是改进前车型的压力云图，（b）是改进后车型的压力云图。从图5可以看出，改进后的车内压强更接近于车外标准大气压。

2.2 对比分析

本文所设计的腔体参照An等提出的方法，但做出了一定的变化。图6为两种不同腔体以及原始模型的声压级频域对比图。从图6可以看出，在风振噪声方面，本文所采取的腔体产生的风振声压级在104 dB，而An等采用的腔体的风振声压级在105 dB；在人耳可听频域内，本文所使用腔体的监测点处声压级大部分比An等采用的腔体声压级低1～3 dB。由此可以看出，本文所采用的腔体比An等采用的腔体有了一定的改进。

3 结论

本文用大涡数值模拟算法对某汽车模型进行了气动噪声的计算，得出了原始车型风振发生在13 Hz，噪声声压峰值达到了110 dB。然后对汽车天窗进行改进，改进后的天窗风振噪声的声压级峰值降低了6 dB。并且比较两者的压力云图也可以看出，改进后的车内外压强差要小于原始车型。并且通过与An等采用的腔体的对比，本文使用的腔体有进一步的改进。

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