不等关系课件

不等关系课件（精选8篇）

不等关系课件 篇1

数学不等式课件

一、本章的教学目标、要求及在本书的地位和作用

从课标看，方程与不等式是同属“数与代数”领域内统一标题下的两部分内容，它们之间有密切的联系，存在许多可以进行类比的内容。在前面已经学习过有关方程(组)内容的基础上，学生已经对方程有一定的认识。本章教学应充分发挥学习心理学中正向迁移的积极作用，借助已有的对方程的认识，进一步学习不等式及不等式组。

教学目标：

1.了解一元一次不等式及其有关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系，体会不等式(组)是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型。

2.通过观察、对比、归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究一元一次不等式的解法。

3.了解解一元一次不等式的基本目标(使不等式逐步转化为x>a或x

4.了解不等式组及其相关概念，会解有两个一元一次不等式组成的不等式组，并会有数轴确定解集。

5.通过课题学习，以体育比赛问题为载体探究实际问题中的不等关系，进一步体会利用不等式解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。

二、按课标和教材要求，本单元侧重讲练哪些基础知识和基本技能

1、知识与技能：本章教学和学习中应注意打好基础，注重对基础知识和基本技能等进行及时的归纳整理，使学生对基础知识留下深刻印象、对基本技能达到一定的掌握程度。

2、过程与方法：教学中注重对数学思想方法的渗透

(1)有实际问题抽象为不等式(组)这个过程中蕴含的符号化、模型化的思想;

(2)解不等式(组)的过程蕴涵的化规思想。

3、情感、态度和价值观：

(1)认识通过观察、试验、类比可以获得数学结论，体验教学活动充满着探索性和创造性。

(2)通过探索增进学生之间的配合，使学生敢于面对数学活动中的困难，并有克服困难和运用知识解决问题的成功体验，数理学好数学的自信心。

三、分析教材、教法及教学设想

在实际生活中，同类量之间具有一种不相等的关系。这种不相等的关系是大量存在的，是普遍的，本章将从了解表示不相等关系的不等式的意义开始，研究不等式的性质、一元一次不等式和它的解法、一元一次不等式组和它的解法及应用。

1、不等式及其解集(4课时)

(1)不等式、一元一次不等式的概念(可以借助天平演示导入)

①两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏。现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了，这是什么原因?

②一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A地50千米。要在12:00以前驶过A地，车速应该具备什么条件?若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗?

③世纪公园的票价是：每人5元，一次购票满30张可少收1元，某班有27名少先队员去世纪公园进行活动，当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时，爱动脑的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票，但有的同学不明白，明明只有27个人，买30张票，岂不浪费吗?

针对李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢?

合作交流，在学生充分发表自己的意见的基础上，师生共同归纳出不等式、一元一次不等式的概念。这里可添加一组，找出哪些是一元一次不等式?的练习

补充：“≥”和“≤”表示不等式关系的式子也是不等式。

(2)不等式的解集

利用创设情景中的第②题提问：

问题1 要使汽车在12:00以前驶过A地，你认为车速应该为多少呢?

问题2 车速可以是每小时85千米吗?每小时82千米呢?每小时75.1千米呢?每小时74千米呢?

由此导出不等式的解集，并且配合使用教材中128页习题、134页1、2达到应用迁移，巩固提高的目的。

(3)不等式的性质

学生完成课本P129的观察，引出不等式的基本性质，并强调不等式基本性质3，然后，让学生自己举例来验证上述不等式的三条基本性质。配套习题：教材134页4、5、7

在这里可设置问题：在不等式-2<6两边都乘以m后，结论将会怎样?(当字母m的取值不明确时，需对m分情况讨论。);比较等式性质与不等式的基本性质的异同。问这两个问题的目的在于强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质3的理解。

(4)利用不等式的性质解不等式

解题时，要求学生要联想到解一元一次方程的思想方法，并将原题与x>a或x

并向学生提出如下问题：

(1)解一元一次不等式的`步骤是怎样?它与解一元一次方程的步骤有何异同?

(2)解一元一次不等式时，需注意什么?

(3)解一元一次不等式的基本思想是什么?

继而归纳 解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a(或x

注意事项：

l去分母(不等式性质2或3)

注意：①勿漏乘不含分母的项;②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号;③若两边同时乘以一个负数，需注意不等号的方向要改变。

l去括号(去括号法则和分配律)

注意：①勿漏乘括号内的每一项;②括号前面试“-”号，括号内各项要变号。

l移项(不等式性质1)

注意：移项要变号。

l合并(合并法则)

l系数化为1(不等式基本性质2或性质3)

注意：当同乘以一个负数时，不等号的方向要改变。

配套习题：教材130页例1，133页练习1、2

(4)在数轴上表示不等式的解集

当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当不等号为“≤”“≥”时用实心圆圈。

注意：不等号“>”“<”表示不等关系，它们具有方向性，因而不等号两侧不可互相交换，

例如-7<-5，不能写成-5<-7。配套习题：教材134页6

2、实际问题与一元一次不等式(3课时)

依据列方程解应用题的过程，对照不等式应用题的步骤，

第一步：审题，找不等关系;

第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式;

第三步：列不等式;

第四步：解不等式;

第五步：根据实际情况写出答案

本节课所学内容的基础上，教师应提醒学生注意：

依照题设条件列不等式时，要注意认真审题，抓住关键词语将题目所给数量关系转化相应的不等式

弄清求某些一元一次不等式的解集合特殊解的区别与联系

用不等式解应用问题时，必须注意对未知数的限制条件

中考中常见的关于方案设计类的应用题

可由师生共同归纳出以下三种采购方案：

什么情况下，到甲商场购买更优惠?

什么情况下，到乙商场购买更优惠?

什么情况下，两个商场购买收费相同?

3、一元一次不等式组(2课时)

(1)一元一次不等式组概念、解法

通过拼图验证课本第143页中的问题，给出不等式组、不等式组的解集的概念，并分析得出，解不等式组就是求它的解集也就是求不等式组中每一个不等式的解集的公共部分。配合使用教材144页例1 147页的练习练习、习题

通过练习总结如下问题：

a)你是如何确定方程组的解的?(方程组的解即是指同时满足各个方程的解)

b)方程组的解与不等式组的解有什么异同?(无论是方程组还是不等式组，它们的解均是指同时满足各个方程或不等式的解的公共部分，但方程组的解一般只有一组，而不等式组的解一般有很多范围可选择。)

c)不等式组的解的四种情形(a>b)。

若：①当 时，不等式组解集为x>a;②当 时，不等式组解集为b

③当 时，不等式组解集为x

(2)在数轴上表示出一元一次不等式组的解集

(3)一元一次不等式组的应用

注意由不等式组的解确立实际问题的解

4.利用不等关系分析比赛(2课时)

本节课通过欣赏精彩的体育比赛片断探究体育比赛中的不等关系问题，是对不等式应用的一个重要的深化过程。

对比赛分析的过程，可以让学生分组讨论，各抒己见，教师参与个组讨论，及时给与指导。

本次活动教师应重点关注：

(!)学生是否理解题意，并准确挖掘出问题的隐含条件，从而运用不等式描述出问题中的不等关系，得出正确结论;

(2)学生是否积极参加小组讨论，并通过交流及时解决探究中遇到的困难;

(3)学生是否善于发表自己的见解，叙述是否有条理、语言是否准确。

不等关系课件 篇2

解:设甲队胜了x场,则平了(10-x)场,甲队要得分超过22分,则需有

3x+(10-x)>22,

3x-x>22-10,

x>6.

所以,甲队得分超过22分,至少胜了7场.

各种比赛不仅精彩纷呈,而且竞争激烈. 参赛者的比赛成绩往往互相联系,此消彼长. 对于比赛结果的分析,往往需要考虑问题中的不等关系,而这样的分析有时比解不等式更复杂,也更能锻炼同学们的逻辑思维能力.

射击比赛的问题

在一次射击比赛中,某运动员前6次射击共击中52环,如果他要打破89环(10次射击)的纪录,第7次射击不能少于多少环?

【解析】设第7次射击成绩为x环,由于最后三次射击最多共中30环,要破纪录则需有52+x+30>89,

x>89-52-30,

x>7.

所以,第7次射击不能少于8环才有可能破纪录.

思考1:如果第7次射击成绩为8环,最后三次射击中要有几次命中10环才能破纪录?

思考2:如果第7次射击成绩为10环,最后三次射击中是否必须至少有一次命中10环才能破纪录?

篮球比赛的问题

小莹和小亮进行篮球投篮比赛,每人连投12次,投中一次记2分,投空一次记1分,小莹投得18分,小亮要想超过小莹,应至少投中多少次?

【解析】设小亮投中x次,则有(12-x)次投空,小亮要想超过小莹,则需有

2x+12-x>18,

x>18-12,

x>6.

所以,小亮应至少投中7球,才可能超过小莹.

知识竞赛的问题

某校举行环保知识竞赛,共有20道题,采用如下的记分规则:每答对一题记10分,答错或不答扣5分,小军至少要答对几道题,才能使他的得分不少于80分?

【解析】假设答对了x道题,那么答错或不答的题目数是(20-x)道,答对的题目得分是10x,答错或不答的题目扣分是5(20-x),总得分=答对的题目得分-答错或不答的题目扣分. 要想使总得分不少于80分,则答对的题目得分-答错或不答的题目扣分≥80.

解:设答对x道题,答错或不答的题目是20-x,要想使得分不少于80分,则需有

10x-5(20-x)≥80,

10x+5x≥80+100,

x≥12.

不等关系课件 篇3

一、结合具体情境，体会不等多的意义

数量之间既可以相等，也可以不等.在日常生活中我们会发现，相等关系只是一种特殊的数量关系，不等关系才是最普遍的数量关系，比如从自己身边找两名同学，他们的体重一般不会正好完全相同，中午的温度一般比早上的温度高，这些情境中都包含了数量之间的不等关系，在数学中，我们通常用“>”“<”“≠”等符号来表示不等关系，用不等号表示数量关系的式子就称为不等式，使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.例如，按照规定，每100g某种食品中的防腐剂不能超过0.5g.它的意思就是在100g这种食品中，防腐剂的质量小于或等于0.5g.若设100g这种食品中防腐剂的质量为fg，则f≤0.5，所有小于或等于0.5的正数都是该不等式的符合实际问题的解，

生活中的不等关系无处不在，我们要学会用数学的眼光去观察、发现，并尝试用不等式这样的数学语言来描述，反之，对于具体的不等式，我们也可以结合具体情境来体会它所表达的意义.

二、探索不等式的性质，感悟不等关系

我们已经知道，在等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，乘（或除以）同一个数（除数不为0），等式仍成立.那么，不等式是否也有类似的性质呢？我们可以采用数轴法、赋值法、现实情境法等进行探索.在此，我们以数轴法为例来说明.

设有不等式a>b，则a>b在数轴上的几何意义是，表示数a的点在表示数b的点的右侧（如图1，我们只讨论a>b>0的情况，其他情况大家可以类比进行探索）.

在不等式a>b的两边加上（或减去）同一个数，会得到什么样的结果呢？先假设不等式两边加上（或减去）的这个数为c.如果c=0，则数轴上表示a、b的点不动，a±c>6±c；如果c>0，则a+c和b+c就相当于在数轴上将表示a、b的点同时向右平移c个单位长度（如图2），a-C和b-c就相当于在数轴上将表示a、b的点同时向左平移c个单位长度（如图3），从而可以得到a±c>b±c：如果c<0（此时一c是一个正数）.则a+c和b+c分别是a-（-c）和b-（一c）.相当于在数轴上将表示a、b的点同时向左平移一c个单位长度（图略），a-c和b-c分别是a+（一c）和b+（一c），相当于在数轴上将表示a、b的点同时向右平移一c个单位长度（图略），从而可以得到a±c>b±c.于是我们得到不等式的性质1.

性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变，即如果a>b，那么a±c>6±c.

在不等式a>b的两边乘（或除以）同一个数，会得到什么样的结果呢？首先，不等式两边乘（或除以）的这个数不能为0（不能同除以0是因为0不能作除数，为什么不能同乘0

通过以上探究过程我们可以看出，不等式两边加上（或减去）同一个数或式子，乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.这个探索过程蕴涵了类比思想、分类讨论思想和数形结合思想等，同学们要仔细体会这些数学思想，并学会运用它们解决数学问题.

三、建立不等式（组）模型， 解决实际问题

通过以前的学习，我们知道利用方程（组）可以解决实际生活中的相等关系问题，类似地，利用不等式（组）可以解决生活中的不等关系问题.利用不等式（组）解决实际问题，实质上就是从实际情境中抽象出不等关系，建立沟通已知数与未知数的不等式（组），解不等式（组），然后回到实际问题进行检验，得到实际问题的解.具体操作过程见图6.

下面我们借助实例来说明.

例1某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两种机器可供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如表1.经过预算，本次购买机器所用资金不能超过34万元.

（1）按该公司的要求共有几种购买方案？

（2）若该公司购买的6台机器的日生产总量不能少于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？

解析：（1）第一步，根据实际问题寻找不等关系.

结合题意，由“不能超过”可知，购买甲、乙两种机器所用资金小于或等于34万元，从而找到不等关系.

第二步，根据不等关系建立不等式（组）.

设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6-x）台.用含x的代数式表示出购买两种机器所用的资金，根据前面分析所得的不等关系，列出不等式7x+5（6-x）≤34.

第三步，求解不等式（组）.

经过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，解得x≤2.

第四步，根据问题的实际意义检验不等式（组）的解，从而解决实际问题.

根据题意，x表示购买甲种机器的台数，应为自然数，所以x可以取0、1、2.该公司有如下三种购买方案：①不购买甲种机器，购买乙种机器6台；②购买甲种机器1台、乙种机器5台；③购买甲种机器2台、乙种机器4台.

（2）方案①所用资金为5x6=30（万元），新购买机器日生产总量为60x6=360（个）；

方案②所用资金为7x1+5x5=32（万元），新购买机器日生产总量为100×1+60×5=400（个）；

方案③所用资金为7×2+5×4=34（万元），新购买机器日生产总量为100×2+60×4=440（个）.

通过比较可知，选择方案②既能满足日生产总量不少于380个的要求，又相对节约资金，故应选择方案②.

高二数学不等关系及不等式检测题 篇4

一、选择题

1.已知a>b，ac

A.c>0 B.c<0

C.c=0 D.以上均有可能

答案：B

2.下列命题正确的.是( )

A.若a2>b2，则a>b B.若1a>1b，则a

C.若ac>bc，则a>b D.若a

解析：选D.A错，例如(-3)2>22;B错，例如12 >1-3;C错，例如当c=-2，a=-3，b=2时，有ac>bc，但a

3.设a，b∈R，若a-b>0，则下列不等式中正确的是( )

A.b-a>0 B.a3+b3<0

C.b+a<0 D.a2-b2>0

解析：选D.利用赋值法，令a=1，b=0，排除A，B，C.

4.若b<0，a+b>0，则a-b的值( )

A.大于零 B.大于或等于零

C.小于零 D.小于或等于零

解析：选A.∵b<0，∴-b>0，由a+b>0，得a>-b>0.

5.若x>y，m>n，则下列不等式正确的是( )

A.x-m>y-n B.xm>ym

C.xy>ym D.m-y>n-x

解析：选D.将x>y变为-y>-x，将其与m>n左右两边分别相加，即得结论.

6.若x、y、z互不相等且x+y+z=0，则下列说法不正确的为( )

A.必有两数之和为正数

B.必有两数之和为负数

C.必有两数之积为正数

D.必有两数之积为负数

答案：C

二、填空题

7.若a>b>0，则1an________1bn(n∈N，n≥2).(填“>”或“<”)

答案：<

8.设x>1，-1

解析：∵-1

∴y<-y，又x>1，∴y<-y

答案：y<-y

9.已知-π2≤α<β≤π2，则α+β2的取值范围为__________.

解析：∵-π2≤α<β≤π2，

∴-π4≤α2<π4，-π4<β2≤π4.

两式相加，得-π2<α+β2<π2.

答案：(-π2，π2)

三、解答题

10.已知c>a>b>0，求证：ac-a>bc-a.

证明：∵c>a，∴c-a>0，

又∵a>b，∴ac-a>bc-a.

11.已知2

(1)m+2n;(2)m-n;(3)mn;(4)mn.

解：(1)∵3

又∵2

(2)∵3

又∵2

(3)∵2

(4)∵3

由2

12.已知-3

求证：-16<(a-b)c2<0.

证明：∵-3

∴0<-(a-b)<4.又-2

∴1

不等关系课件 篇5

教学目的和要求：

理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点：

对不等式概念的理解 难点：

怎样建立量与量之间的不等关系。

从问题中来，到问题中去。

？

分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为()，圆的面积可以表示

l42l为。

2（1）要使正方形的面积不大于25㎝，就是

22l2l2()25，即25。416（2）要使圆的面积大于100㎝，就是

l＞100，2l2即 ＞100

4828224(cm)，圆的面积为5.1(cm2)，（3）当l=8时，正方形的面积为1644＜5.1，此时圆的面积大。

212212229(cm)，圆的面积为11.5(cm2)，当l=12时，正方形的面积为164 9＜11.5，此时还是圆的面积大。

（4）不论怎样改变l的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即

l2l2＞ 4161.（1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式）

（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s，人离开的速度为4m/s，导火线的长度x（m）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x年其树围才能超过2.4m，则5+3x＞240。

（2）人离开10m以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全：10x＜ 40.2分析巩固练习：

用不等式表示：

解答：（1）a的相反数是-a，正数是比零大的数，所以“a的相反数是正数”就是-a＞0；

22”即是m-2＜； 331111（3）“x的”就是x，“x的与4的和不是正数”就是x+4≤0；

33331（4）“y的一半”不是y,“x的2倍”就是2x，“不小于3”即指大于或等于3，故

21“y的一半与x的2倍的和不小于”就是y+2x≥3。

212.下列各数：，-4，，0，5.2，3其中使不等式x2＞1，成立是

（）

21A．-4，，5.2 B．，5.2，3 C．，0，3 D．，5.2

2（2）“m与2的差”就是m-2，“ 差小于答案：D 3.有理数a，b在数轴上的位置如图1-2所示，所

ab的值（）ab A．＞0 B．＜0 C．＝0 D．≥0 答案：B

定语从句关系复词课件 篇6

1. 关系副词VS关系代词

先来看一看关系副词和我们熟知的关系代词有什么关联。

以where为例，首先问大家一个问题，where是什么意思呢?“哪儿!”你肯定会毫不犹豫的给出这个答案，然后躲到电脑后，偷笑栗子问的问题太弱。其实不然。我们换个问题“Where are you?”翻译成中文是“你哪儿?”还是“你在哪儿?”我想这次应该大家会毫不犹豫的选后者吧!没错，where确切翻译应该是“在哪儿”，所以见到“Where did Tom live?”时，我们的答案是“Tom lived in Beijing.”而非“Tom lived Beijing.”

接下来回到正题，我们通过以下的等式替换来看看关系副词和关系代词的关系吧。首先有两个简单句：

We visited the city center. Tom lived in the city center.

针对这两个简单句我们做两个设计：

1)把他们合并成一个由which引导的定语从句，不难得出是：We visited the city center in which Tom lived.

定语从句中which指代的正是city center，即which=the city center.

2)再针对第二个简单句提一个问题：

Where did Tom live?

因为where是“在哪儿”所以它对应的`答案是“in the city”而非“the city”，即where=in the city

综合以上两点which=the city center，where= in the city center，显而易见where=in which，也就是说，关系副词=介词+关系代词。所以该定语从句可以换种写法就是：We visited the city where Tom lived.因为where在定语从句中指代是地点状语，所以属于关系副词。相应的when指代时间状语、why指代原因状语。

2. 关系副词用法的解题技巧：

见到时间词关系词一定用when吗?未必!做题时切记一个原则：缺什么补什么。试比较以下两道题：

1) The days are gone______ physical strength was all you needed to make a living.(天津)

2) The days ____ I spent in the village were full of adventure.

A. when B. where C. which

第一道虽说是一个经典的高考题，但我们初中听说读写拔高上的不少小学霸都问过我这一道题。首先，必须承认这题比较有难度：从句子结构上看主干即The days are gone (那些日子已经结束了)，后面紧跟的是一个定语从句，用来修饰主语The days的，只是因为定语从句太长放在句首会显得整体头重脚轻，所以放在了句尾和先行词分割开来。然后我们需要做的就是判断先行词在定语从句中所作的成分了。从句主系表齐全，是个相对完成的句子，所以the days只能加上介词在从句中只能做时间状语，所以横线上填when，或者根据我们解决掉的第一个问题填上during which也可以。

再看第二道，从句是I spent in the village，谓语spent缺少宾语，the days正是spent的宾语，所以不能填when，只能填which或that。

总的来说就是：做定语从句题目时，一定要看清从句中缺什么成分，或者看先行词在从句中能做什么成分，只有在做状语时才能够选关系副词。我们再来练一组题目：

1)This is the school _________my grandpa founded.

2)This is the school _________ my grandpa found his love.

第一题从句中founded是及物动词“建立”，缺少了宾语，所以只能填关系代词which或that;第二题从句中found“找到”有自己的宾语，从句主谓宾齐全，所以先行词school只能加上介词充当状语成分，因为school是地点，所以只能填where了。

3. 关于where的特殊用法：

定语从句中where的使用已经不仅仅限于具体的地点，在一些模糊的地点名词后也要使用where，比如：family, point, case, stage, job, society, situation, circumstances等。

看一个题目：

Later in this chapter cases will be introduced to readers____consumer complaints have resulted in changes in the law.(江西)

A. where B. when C. who D. which

本题同样是一道经典的高考题目，首先要能够分析出句子结构，找出先行词。本句和之前见到的一个题目一样，横线后的定语从句本来是修饰cases的，同样因为放前面头重脚轻移到了后面，句子意思是“晚些在这个单元里，有一些由消费者的抱怨引发法律更改的案例会被介绍给读者。”正确答案应该选A，cases相当于一个抽象地点，where在这里等于in the cases(在这些案例中)。

练习：

All the neighbors admire this family___ the parents are treating their child like a friend.

A. why B. where C. which D. whose

综上，我们在学习定语从句中关系副词的用法时一定要注意到以下几点：

1. 关系副词=介词+关系代词

2. 选关系词的宗旨是：看从句缺什么句子成分，缺什么补什么;when指代时间状语，where指代地点状语，why指代原因状语。

不等关系课件 篇7

1 DEA模型介绍

DEA模型是一种评价决策单元相对有效性的非参数分析方法, 主要采用线性规划方法和对偶理论。由CHARNES A., COOPER W.W.和RHODES E.在1978年共同提出[1], 此后对数据包络分析方法进行不断改进, 相继提出C2W型DEA模型、C-D型DEA模型、BC2型DEA模型等, 被广泛地应用于医院、大学、法院、商业农场、城市等不同的行业效率的评价分析, 也应用于不同国家、地区、年度等效率的评价分析。数据包络分析方法具有如下优点:

1) 该方法不需要了解具体的生产函数形式。

2) 该方法计算结果直接表明各决策单元相对效率。

3) 该方法的输入数据不受纲量限制。

4) 该方法能够分析多投入和多输出情况[2,3,4,5,6]。

基于数据包络分析方法, 大量学者在电力行业开展了投入产出效率评价的研究[7,8,9,10,11,12,13,14]。VANINSKY A.采用运营成本和能量损失率作为输入, 容量利用率作为输出, 采用DEA方法分析了1994年至2004年美国电网发电机利用效率[15];CRISWELL D.R.利用数据包络分析方法对比分析了陆地和空间大规模电力系统优越性, 其结论显示月球太阳能发电系统比地球的太阳能、化石能源、核能具有更高效率[16];吴育华, 甘世雄对电力工业效率进行评价, 采用C2R和B2C模型对国内8个电力公司实施测评分析[17]。但是这些数据包络分析方法主要是针对独立的对象之间相对效率的对比, 对具有包含关系的对象之间的相对效率评价研究却很少涉及。

2 DEA数据与效率值映射关系分析

数据包络分析 (DEA) 作为一种“面向数据”的分析方法, 在度量多投入多产出决策单元相对效率时, 具有显著优势。针对原始的分式规划形式, 采用C2变化将其等价为线性规划形式, 则C2R模型线性规划形式为:

式中:Xj为投入量矩阵, Yj为产出量矩阵, ω和μ为投入、产出系数矩阵。

DEA方法的C2R模型线性规划与对偶规划是等价的, 对偶形式为

研究某对象整体相对效率时, 投入量矩阵为X, 产出量矩阵为Y, 相对效率值向量为θ;按照式 (2) 计算第i个决策单元效率值时, 可行解集合可表示为:

经转换可以得到:

式 (4) 中左边存在j=i项, 合并移项得:

两式联立消去λi得

得到投入产出值与效率值可行集合关系。假设包括两大部分, 一部分投入为XS, 产出为YS, 另一部分投入量为XK, 产出量为YK, 且满足

式中:j为第j决策单元数据, j=1…n。

数据组中第i项效率值与XSj/XSi、YSj/YSi成线性比例关系, 假设当j≠i时, XSj、YSj与XKj、YKj按随机线性组合, 第i项数据XSi=Xi/2+ω, YSi=Yi/2-σ, 其中ω、σ为任意大于零的有理数, 而XKi=Xi/2-ω, YKi=Yi/2+σ。

根据式 (6) , θSi=1+∑λj (XSj/XSi-YSj/YSi) ≤θi, 同理, 可以得到θKi≥θi。

于是得到不等式关系:

式中, θs、θK分别为数据XSj、YSj和XK、YKj的DEA效率值。

式 (8) 表明对象整体相对效率值θ位于其构成部分与其余部分相对效率值之间, 但两者不是线性关系, 而是具有映射不等式关系。由此可以认为, 相对效率值对相同投入产出决策单元效率值具有对应映射不等式关系, 并通过效率值大小比较不同范围内电网的投入产出效率水平及其对整体的贡献度。

3 DEA模型构建

构建电网投入产出效率评价模型时, 需要合理选择投入元素和产生元素, 同时也要考虑数据的可获取性和典型代表性。按照投入产出评价相对效率原则, 投入元素应该是为实现电网功能所投入的主要设备和电网运行时消耗的电力能源, 产出元素应该是基于主要设备的投入和电能消耗所实现的电能的传输。电网的主要设备包括输电线路和变电设备, 电网运行消耗指的是电量损耗。电网实现的功能是提供输送的电量。为评价电网的相对效率水平。本文选取年份作为决策单元, 投入元素为电网35 k V及以上电压等级变电容量 (万k VA) 、35 k V及以上电压等级线路长度 (万km) 和综合线损率, 分别记为X1、X2和X3。产出元素为电网供电量 (亿k W·h) 为产出部分, 记为Y1。

4 数据介绍

本文选择全国电网、国网公司经营区电网域和国网公司电网三个主体作为评价分析对象, 其中, 全国电网为中国地域范围内全部电网;国网公司经营区域代表国家电网公司经营区域范围内全部电网;国网公司代表国家电网公司自有资产的电网。三者关系如图1所示, 全国电网包括了国网经营区电网, 国网经营区电网包括国网公司电网。选择全国、国网公司经营区和国网公司作为研究对象, 是由于它们既能反应中国整体电网相对效率, 也能从区域和企业分析各自电网相对效率, 分析对象中某构成部分相对效率在整体中的水平和贡献。

采用1997—2011年电网运行历史数据, 数据来源于《电力统计年鉴》中对电网环节的相关统计[18], 利用DEA方法分析三个对象的电网综合效率。1997—2011年全国、国网经营区和国家电网公司35 k V及以上电压等级变电容量、35 k V及以上电压等级线路长度和电网综合线损率分别如图2、图3、图4所示。中国电网变电容量与线路长度逐年增加、线路损耗率基本成下降趋势, 各年供电量如图5所示, 成上升趋势。

5 映射关系实证分析

利用DEAP 2.0软件计算1997—2011年全国、国网经营区和国网公司投入产出效率DEA值的结果如图6所示。

从图6中可以看到, 1997—2011年间, 中国电网建设与电网功能的投入产出效率处于震荡波动的时期。全国、国网经营区、国网公司电网环节DEA效率值在各年份变化趋势基本相同。1997年, 三者电网DEA效率值为1, 电网运行相对有效;1998—2004年, 全国电网DEA效率值高于国网经营区和国网公司, 国网经营区低于国网公司电网DEA效率值。根据上节结论, 在全国范围内, 国网经营区以外的电网运行效率高于经营区效率, 由于国网公司经营区域分布在三华和西北东北地区, 地域广阔, 区域内平均经济水平低于南方五省, 国网经营区电网效率水平较低, 而在国网经营区范围内, 经营区电网DEA效率值低于国网公司DEA效率值, 虽然国网公司覆盖范围广, 但由于国网公司供电区电网基础较好, 因此, 国网公司电网投入产出效率较高。2005—2007年, 国网公司电网相对效率超过全国和国网经营区域。2008年, 受全球金融危机影响, 导致电网相对效率出现下降幅度较大, 其中国网公司经营区域下降幅度最大, 其次是国网公司, 全国效率下降幅度较小。主要原因在于国网经营区域面积供电面积大, 受到的影响较大, 国网经营区域以外电网地域面积较小, 运行基础和经济环境较好。随着2009—2010年经济回暖以及电网公司调整发展策略, 科学评估发展形势, 电网运行效率逐年提升, 且国网公司DEA效率值提升率最大, 2010年, 其效率值再次超过全国电网, 由此也体现了国网公司较强的电网发展规划和建设运营能力。2011年, 全国DEA效率值均为1。

6 结语

挖掘隐含的不等关系解决问题 篇8

一、 根据实际问题的要求建立不等关系

例1 抗洪抢险，向险段运送物资，共有120千米原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50千米后，后半小时速度多大才能保证及时送到？

【分析】题目中的要求是保证及时送到，所隐含的不等关系是：前半小时和后半小时走的路程之和至少应该是120公里，抓住了这个不等关系就可以建立不等式.

解：设后半小时的速度为x千米/小时，50+12x≥20，

解得x≥140.

答：后半小时速度至少为140千米/小时才能保证及时送到.

同类练习1 一个工程队原定在10天内至少要挖掘600 m↑3的土方. 在前两天共完成了120 m↑3后，接到要求要提前2天完成掘土任务. 问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方？

同类练习2 用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大. 当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的12. 已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2 m，若铁钉总长度为a m，则a的取值范围是______.

二、 含在数学问题中的不等关系

例2 等腰三角形的周长为20，求腰长x的取值范围.

【分析】题目中涉及到的是三角形，因而隐含在题目里不等关系是三角形的两边之和大于第三边. 需要首先利用周长为20这一等量关系将等腰三角形的底边长表示出来，然后利用三角形的两边之和大于第三边列不等式.

解：∵等腰三角形的周长为20，腰长为x，

∴底边长为20-2x，根据题意得：2x>20-2x，

20-2x>0.

解得：5

同类练习3 若周长为1的四边形的四条边长为a、b、c、d且a≥b≥c≥d，求a的取值范围.

三、 实际问题中有“住不满”、“住不下”、“不空不满”、“盈利”、“亏损”等关键词

例3 某校八年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的几辆公共汽车. 如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满. 他们共租了多少辆公共汽车？

【分析】该题中的“不空也不满”就表示了不等关系. 那么如何表示“不空也不满”呢？根据题意分析，“不空也不满”表示最后一辆车坐的人数大于0人且小于30人. 最后一辆车若按0人算，则租的车少一辆，总数比213人少；若按30人算，则总人数大于213人. 所以该题有两个不等关系：30×（租车辆数-1）<213，

30×租车辆数>213.

解：设租x辆车. 根据题意得：30（x-1）<213，

30x>213.

解得：7110

∵x只能取正整数，

∴x=8.

答：他们共租了8辆汽车.

同类练习4 若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍不足8人，问学生有多少人？宿舍有几间？

（要注意题中“不足8人”的隐含意思就是不空也不满，包含的也是两个不等关系，这是分析本类问题时易忽略的问题. ）

同类练习5 如图，函数y=f（x）反映了某公司的销售收入y万元与销售x吨的函数关系，y=g（x）反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系.试问：当销售量为多少时，该公司盈利？

四、 设计方案

例4 在“5·12大地震”灾民安置工作中，某灾民安置点计划用24 000 m↑2的甲种板材和12 000 m↑2的乙种板材搭建A、B两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材. 已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：

板房型号＼&甲种板材＼&乙种板材＼&安置人数＼&A型板房＼&54 m↑2＼&26 m↑2＼&5＼&B型板房＼&78 m↑2＼&41 m↑2＼&8

问：这400间板房最多能安置多少灾民？

【分析】该题中要求能安置多少灾民，需要找到A、B两种板房的数量. 而这些数量既要满足题中共400间的等量关系，又要满足用材量不超过甲类原材总量24 000 m↑2，乙类原材总量12 000 m↑2这些不等关系. 这样若设A型板房x间，由等量关系可以表示B型板房为（400-x）间，由不等关系确定x的取值范围，再由总人数与x之间的函数关系确定x的取值.

解：设A型板房x间，则B型板房为（400-x）间，根据题意知：0≤x≤400，

54x+78（400-x）≤24 000，

26x+41（400-x）≤12 000.

解得：300≤x≤400，

∵安置的总人数为5x+8（400-x）=-3x+3 200，

∴当x取最小值300时，总人数最多为2 300人.

答：这400间板房最多能安置2 300名灾民.

同类练习6 北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台. 从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示（单位元），请你设计一种方案，使武汉、重庆都能得到所需要的仪器，且使运费最低.

＼&武汉＼&重庆＼&北京＼&400＼&800＼&上海＼&300＼&500

（注意该题中要求最低的运费，需要找到有北京、上海运往武汉、重庆的仪器的台数都有哪些可能. 而这些台数既要满足题中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台的等量关系，又要满足由实际意义得到的保证送往重庆、武汉的台数大于等于0，这样若设由北京送往武汉x台，由等量关系可以表示出送往其他各地的台数，由不等关系确定x的取值范围，再由x只能取正整数确定x的取值. ）

总之，实际问题中暗含的不等关系，需要通过结合实际意义分析挖掘出不等关系，列出不等式或不等式组，一般设计方案的问题列出的是不等式组.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）