中心极限定理论文

2024-10-05

中心极限定理论文（精选10篇）

中心极限定理论文篇1

一、引言

中心极限定理表明大量独立随机变量的和近似服从正态分布，它是正态分布应用的理论依据。设ζ1，ζ2，…ζk，…独立分布且E(ζi)=μ，D(ζi)=σ2，则当k很大时，ηk=Σζi近似服从N (kζ，kσ2)。

概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。1716年前后，A.棣莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，P.S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。

中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。

二、基本原理

1. 数学模型

独立同分布的中心极限定理

设随机变量X1, X2，…，Xn，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E (Xk)=μ，D (Xk)=σ^2>0 (k=1, 2…)，则随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn (x)对于任意x满足

独立同分布函数表达式

正态分布函数表达式

2. 设计过程

为了证明在k很大时，独立同分布近似服从正态分布，可以分别构造独立同分布函数和正态分布函数，将独立同分布的随机点数目取得足够大，然后绘图观察二者的分布拟合程度。

三、仿真结果

分析仿真结果：从单独的一张图来看，正态分布曲线和独立同分布直方图总的来说是较为吻合的，比较两张图形，可以看出下图中二者拟合程度更大，这两张图形所使用的源代码唯一的不同之处在于k的取值，第二张图形中k的取值更大，所以这些可以说明，当k的取值很大时，独立同分布可以近似等同于正态分布。

参考文献

[1]张志涌, 徐彦琴.MATLAB教程——基于6.x版本.北京:北京航空航天大学出版社, 2004.

[2]陈桂明等.MATLAB数理统计 (6.x) .北京:科学出版, 2002.

[3]周品, 赵新芬.MATLAB数学建模与仿真.北京:国防工业出版社, 2009.

中心极限定理论文篇2

独立同分布序列的中心极限定理

定理1设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具

有相同数学期望和

方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。记随机变量的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有

（不证）

其中φ（x）为标准正态分布函数。

由这一定理知道下列结论：的分布

（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和

近似于正态分布N（nμ，nσ2）。我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。

不论X1,X2,…Xn,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Zn近似服从正态分布。

（2）考虑X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的标准化随机变量为数即是上述的Fn（x），因而有由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值态分布

[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。

解设Xi为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则

为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X

100同

分布且相互独立。

近似服从标准正态的分布近似于正，即为上述Yn。因此的分布函

由定理1可知，随机变量分布，故有

[例]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。

解设第i只电器元件的寿命为Xi=（i=1,2,…16）,E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，则

是这16只元件的寿命的总和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：

棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况。

定理2（棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理）设随机变量Zn是n

次独立重复试验中

事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意实数x

其中q=1-p,φ（x）为标准正态分布函数。由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：（1）在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p。又设Zn为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，Zn近似服从正态分布N（np,npq）。

（2）在贝努利试验中，若事件中A发生的概率为p，为n次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大时，近似

服从正态分布

【例】设某单位内部有1000台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？

解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设X为1000台分机中同时使用外线的分机数，则X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50,根据题意，设N为满足条件的最小正整数

由于φ（-7.255）≈0，故有

查标准正态分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

中心极限定理论文篇3

【摘要】首先分析一道数列极限的两种解法，并指出其中一种是错误的，进而指出联系函数极限与数列极限的重要纽带—海涅定理。最后通过实例介绍海涅定理在极限的判断及求解中应用。

【关键词】海涅定理数列极限函数极限

【中图分类号】 O171

一、引例

上述两种方法中都用到了的最小正周期为。初学者可能认为此两种方法都没有是没问题，从而得到两个相互矛盾的结论，但是方法二中最后一步判定极限不存在是错误的，因为误用了函数极限与数列极限的关系—海涅定理。

二、海涅定理及推论

数列极限和函数极限是分别独立定义的，但是两者又是紧密联系的，其联系的纽带就是海涅定理，也称归结原则。

定理（海涅定理）设在内有定义。存在的充分必要条件为：对于任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。

注：该定理对于等情形都成立。

推论1 若存在某个数列，而数列不存在极限，则函数在处也不存在极限。

推论2 若存在两个数列，且与，分别有则函数在也不存在极限。

推论3 函数在内无界等价于存在数列，使得。

如果函数在某一点的极限存在，那么由海涅定理对于收敛于这一点的任何子序列所对应的函数序列必收敛到同一极限，但是一旦函数在某一点的极限不存在，收敛于这一点的子序列对应的函数序列就有可能出现各种性态，甚至也可能是收敛的。比如极限不存在，但是子函数列。引例中的方法二就是典型的一个错误，是没有理论根据的，最后一步作为函数列而言其极限可能是存在的。

三、海涅定理的应用举例

3.1 利用函数性质及海涅定理求数列极限

对于求数列的极限，有时直接求不好求，此时可先求与之对应的函数的极限，比如常见的三角函数的数列极限、带积分的数列极限等。

例1 求极限

解由洛必达法则得所以由海涅定理知原式=1。

3.2 证明函数极限不存在

推论1、推论2为我们证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法。

例 2 证明极限不存在。

解取，符合推论2的条件，故此极限不存在。

3.3 判断函数在某点的可导性

利用海涅定理，可求出函数差、商的极限，从而判断函数在某点的可导性。

例 3 证明函数在原点可导，而在其他

點不可导。

证明因为，即在原点处可导且当时，设有理序列无理序列于是当为非零有理数时

而，由海涅定理可知，在非零有理点不可导；同理可证在无理点处也不可导，因而命题得证。

3.4 利用海涅定理对函数极限的运算法则、判断定理等相关性质的证明

若已知数列极限的运算法则、判断定理等相关性质，则可利用海涅定理将函数转化为数列来证明。我们仅举一例，其它可以类似证明。

例 4 若极限的存在，则此极限唯一。

证明设都是的极限，作数列且，由海涅定理知，由数列极限的唯一性知

四结束语

以上是对海涅定理及应用的一些总结，它给我们提供了在求解数列极限和函数极限问题中一种转换的思想，并指出运用海涅定理时需注意的问题。海涅定理适用范围远不止于此，比如在判断级数的敛散性中的作用等，海涅定理在实变函数和泛函分析中的作用。海涅定理还有许多作用需要我们在工作和学习中挖掘和整理，实现对定理的全面、深刻的理解，以期在求解问题时达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（第四版） [M]. 北京：高等教育出版社， 2010.

[2] 刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义（上，下册）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社， 2003.

[3] 欧阳光中，姚允龙. 数学分析（上，下册）[M]. 上海：复旦大学出版社， 2004.

[4] 鲜思东. Heine定理在极限判别及运算中的应用[J]. 重庆邮电学院学报（自然科学版），2006， 18（1）： 138-140.

中心极限定理教学方法研究篇4

1 教学过程中经常遇到的问题

1.1 学生对于中心极限定理非常茫然, 不知道它是什么意思

在实际问题中, 许多随机现象都是由大量相互独立的随机因素综合影响所产生的, 而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小之极, 人们更加关心的是这些微小的影响造成的总的影响, 也就是大量独立随机变量和的问题, 而中心极限定理则告诉我们, 这些微小影响的总和近似服从正态分布。亦即, 首先将问题转化为大量独立随机变量和, 其次为了使独立随机变量和的极限分布有意义, 对其进行标准化, 从而只需讨论标准化变量的极限分布为标准正态分布, 由此可知独立随机变量和近似服从正态分布。但由于课时不多, 教师往往对这部分讲解的比较快, 就导致学生对此理解不透甚至不理解, 就此产生不知其意的感觉。

1.2 结论的多样性使学生产生学习的恐惧和抵触心理

教材中所给的中心极限相关定理和推论较多, 分别是:

中心极限定理设随机变量X1, X2, …, Xn, …相互独立, 服从同一分布, 且EXi=μ, DXi=σ2 (i=1, 2, …) , 若记Sn=X1+X2+…+Xn, 则对任意实数x, 有

undefined

推论设随机变量X1, X2, …, Xn, …相互独立, 服从同一分布, 且E (X1) =μ, D (X1) =σ2≠0, 则当n充分大时, undefinedXi服从正态分布undefined。

学生对这定理和推论的含义不理解, 且不了解推论其实只是定理的另一种表述, 加上定理的抽象性, 使得他们以为结论多而烦, 产生恐惧和抵触心理。

1.3 学生学习之后不知道如何应用

学生学习中心极限定理时, 对于老师讲解的例题能够理解, 但是真正要自己动手去做一道习题, 就无从下手, 不知道怎么将问题转化为中心极限定理所需的条件。这个主要是由于学生对中心极限定理的理解不透, 搞不清中心极限定理与实际问题之间的联系造成的, 并且有些学生对于中心极限定理在应用方面的理解就是死套定理中的极限表达式, 以为是一种机械行为, 这就导致这些学生在老师讲解定理的思想时不认真听或者不加以领会。

2 中心极限定理教学设计

2.1 由具体到抽象, 通过引例激发学生学习的兴趣

例1 盒中装有100个球, 其中20个编号为0, 30个编号为1, 50个编号为2。随机抽取1个并记取得的球的编号数为X1, 则X1的概率分布图如图1。将取得的球放回盒中, 再取第2个球, 记取得球的编号数为X2, 显然X1和X2独立且有相同的分布, 记S2=X1+X2分布图如图2。将第2个球放回盒中, 再取第3个球, 记取得球的编号数为X3, S3=X1+X2+X3, 分布图如图3。

如果无限的继续往下做, 我们会发现一个非常明显的规律:一个非常不对称的分布, 它的多次独立观察的和的分布逼近正态分布。

例2 某保险公司开办一年人身保险业务, 被保人每年需交付保险费160元, 若一年内发生重大人身事故, 其本人或家属可获得2万元赔金。已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005, 现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少?

由于该例与学生日常生活相关, 学生的学习兴趣一下子就被激发出来。这时可以相应地提出一些问题, 引发学生思考, 比如5000个参保人中的每个人是否发生事故如何去刻画, 能不能用随机变量来描述?此项保险业务的总收益又该如何用变量表示出来, 两变量之间的关系如何?等等。

2.2 引入中心极限定理的思想

经过学生的思考后, 老师应该及时的引入中心极限定理的思想, 然后给出中心极限定理。

由于5000人可以分别看成5000个随机试验, 每个人是否发生重大人身事故都是不确定, 而影响每个人是否发生事故的因素多种多样, 有可能是交通事故、摔伤、被他人打伤等等。而我们要考虑的是5000人对此项保险业务的总收益的影响, 也就是这些因素对此项业务的影响总和。这些影响的总和反映在总收益中其实就是一些随机变量和, 因此只要知道这些随机变量和的分布就可以求出, 总收益在20万元到40万元之间的概率了, 那么怎么求它的分布, 由于变量非常多, 若用卷积公式求解随机变量和的分布, 那将是一件非常麻烦的事情, 那有没有其他的方法解决这个问题呢?有, 那就是中心极限定理。这样就很自然的引入中心极限定理的思想。然后再对中心极限定理思想的一般化进行必要的阐述。

2.3 给出中心极限定理, 并对其含义、作用和变式进行讲解

给出中心极限定理的表述之后, 我们需要对该定理的表述进行必要的解释, 首先将问题转化为大量独立随机变量和, 其次为了使独立随机变量和的极限分布有意义, 对随机变量和进行标准化, 这样只需讨论标准化变量的极限分布为标准正态分布, 由此可知独立随机变量和近似服从正态分布。然后再对其作用和几个变式进行讲解。而由于定理的证明要用到特征函数, 证明过程复杂难懂, 因此可以省略不讲。最后, 应用该定理解决引例提出的问题。

2.4 定理的推论

给出中心极限定理的推论, 并对其进行讲解, 问学生推论和中心极限定理的关系, 然后再进行讲解, 它只是中心极限定理的另一种表述。因此, 只要记住中心极限定理, 那自然就记住了推论。

2.5 给出应用中心极限定理的一般方法和步骤

在给出两个中心极限定理之后, 再选一到两个典型的例题进行仔细讲解, 讲解完之后与学生一起总结应用中心极限定理解决实际问题的一般方法和步骤。

2.6 课堂练习

最后, 在总结完方法步骤之后, 让学生随堂解决一两个类似的相关问题, 检验学生学习情况, 巩固所学知识。到此, 课堂教学基本结束。

摘要：中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理, 衔接着概率论知识与数理统计的相关知识, 既是教学重点又是难点。通过结合学生的基础和知识结构以及该定理讲解中常遇到的问题, 对中心该定理的课堂教学进行探讨, 并给出相应的教学设计。

关键词：中心极限定理,正态分布,教学设计

参考文献

[1]张琳.中心极限定理的优势[J].唐山师范学院学报, 2008, 30 (2) :36-37.

[2]周德华.袁书娟.中心极限定理应用举例[J].中国科技信息, 2009 (16) :46-47.

[3]黄业文.中心极限定理课堂教学漫谈[J].企业家天地, 2008 (8) :196.

第六章第三节中心极限定理篇5

第三节中心极限定理

在对大量随机现象的研究中发现,如果一个量是由大量相互独立的随机因素所造成,而每一个别因素在总影响中所起的作用较小,那么这种量通常都服从或近似服从正态分布.例如测量误差、炮弹的弹着点、人体体重等都服从正态分布,这种现象就是中心极限定理的客观背景.设随机变量X,X,,X,独立

12n同分布,且Xi~N(,)，2(i1,2,)

记YX,(EYn,DYn)，2nni1inn 1 YEYYn Y称为Y的标准DYn*nnnnnn化, 则有Y~N(0,1)

FY*(x)P{Yn*x}(x)

n*n对任意实数x,有

Ynx}

limP{nnnP{Yn limn(x)x*x}limF(x)

nYn*1edt.2t22一般地，有下述结果。定理三(同分布的中心极限定理)设随机变量X,X,,X,独立同分布,且存在有限的数学期望和方差

EX,DX0，12n2ii(i1,2,)

记YX,(EYn,DYn)，2nni1innYEYYn Y称为Y的标DYn*nnnnnn 2 准化, FYn*(x)P{Yx}

n*则对任意实数x,有

Ynx}

limP{nnnP{Yn limn(x)x*x}limF(x)

nYn*1edt.2t22

定理表明,当n充分大时,随机变量Xni1inn近似地服从标准正

ni1i态分布N(0,1).因此,X近似地服从正态分布N(n,n).由此可见,正态分布在概率论中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace定理)

2设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意区间[a,b],成立 limP{annpnnp(1p)b}

ba1edt(b)(a)2t22 证明引人随机变量

1,第i次试验中A发生 X ，0,第i次试验中A不发生i则n次试验中事件A发生的次数

nXXX ，12n12n由于是独立试验,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即

P{X1}p,P{X0}1p,i1,2,,nii于是

EXiip, DXp(1p)

由定理三,即得

limP{nnpnnp(1p)ni1ix}

limP{nXnpnp(1p)x}

x1edt(x), 2t22于是对任意区间[a,b],有

limP{anp(1p)b}

nnnpt22ba1edt(b)(a).2

近似计算公式:

npNnpMnp，NMnp(1p)np(1p)np(1p)nnP{NM}nn

npNnpMnpP{}np(1p)np(1p)np(1p)MnpNnp()().np(1p)np(1p)例1 某计算机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有10个以上的终端在使用的概率.解以X表示使用终端的个数, 引人随机变量 1,第i个终端在使用 X ，0,第i个终端不使用i i1,2,,120 , 则

XXXX ，121202120由于使用与否是独立的,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即 P{X1}p0.05,P{X0}1p,i1,2,,120 1ii于是,所求概率为

P{X10}1P{X10}

Xnp10np1P{}，np(1p)np(1p)由中心极限定理得

P{X10}1P{X10}

Xnp10np1P{}

np(1p)np(1p)10np)

1(np(1p)101200.051()

1200.050.951(1.68)10.95350.0465.例2 现有一大批种子,其中良种占1.现从中任选6000粒,试问在这些61种子中,良种所占的比例与之误差

6小于1%的概率是多少？解设X表示良种个数, 则

1X~B(n,p),n6000,p , 所求概率为 X1P{||0.01}P{|Xnp|n0.01}n6

Xnpn0.01P{||}

np(1p)np(1p)Xnp60000.01P{||}

15np(1p)600066(2.078)(2.078)

2(2.078)120.9810.96.例3 设有30个电子器件D,D,,D,它们的使用情况如下: 1230D损坏,D接着使用;D损坏,D接1223着使用等等.设器件D的使用寿命服从参数0.1(单位:h)的指数分布.令T

为30个器件使用的总时数,问T超过350h的概率是多少？

i1 8 解设Xi为器件D的使用

i寿命,Xi 服从参数0.1(单位:h)

1的指数分布, X,X,,X相互独1230立, TX1X2Xnn30, EX11i0.110 , 2DXi1210.12100, 由中心极限定理得

P{T350}1P{T350}

1P{Tnn350nn} 1(3503003010)1(530)1(0.91)10.8186

0.1814.，例4 某单位设置一电话总机,共有200架电话分机.设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话,假定每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要安装多少条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用.解依题意

设X为同时使用的电话分机个数, 则X~B(n,p),n200,p0.05, 设安装了N条外线, 引人随机变量

1,第i个分机在使用 X ，0,第i个分机不使用i i1,2,,200 , 则

XXXX ，122002200由于使用与否是独立的,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即 1 10 P{X1}p0.05,iP{X0}1p,i1,2,,200, i {XN}保证每个分机都能即时使用, P{XN}0.9 , 0.9P{XN}

XnpNnp} P{np(1p)np(1p)Nnp)

(np(1p)N2000.05()

2000.050.95N10N10()()，3.089.5查标准正态分布表

N10z1.28, 3.080.9N1.283.081013.94, 取 N14, 答: 需要安装14条外线.例5 设随机变量X的概率密度为

xe,x0 f(x)m!，0,x0其中m为正整数，证明

mxmP{0X2(m1)}.m1 证明

xEXxf(x)dxxedx

m!1xedx m!mx0m21x011 (m2)(m1)!m1, m!m!

xEXxf(x)dxxedxm!m222x0

1x m!0m31edx

x

11(m3)(m2)!(m2)(m1), m!m!

DXEX(EX)

222

(m2)(m1)(m1)

m1 , 利用车贝谢不等式,得 P{0X2(m1)}

P{(m1)X(m1)(m1)} P{|X(m1)|(m1)} P{|XEX|(m1)}

DXm111

中心极限定理在管理中的应用篇6

许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素综合影响而形成的, 而其中每个因素在总的影响中所起的作用又是微小的、均匀的, 这种随机变量一般近似服从正态分布。中心极限定理就是用来描述这一随机现象的系列定理。

二、常用的中心极限定理

定理1 (独立同分布中心极限定理) 设X1, X2, ……, Xn, ……相互独立, 服从同一分布, 具有数学期望和方差:

则对任意的X, 有

定理2 (德莫佛——拉普拉斯定理) 在n重贝努里试验中, 事件A在每次试验中出现的概率为p (0

三、中心极限定理在商业管理中的应用

1、水房拥挤问题:

假设西安邮电学院新校区有学生5000人, 只有一个开水房, 由于每天傍晚打开水的人较多, 经常出现同学排长队的现象, 为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查, 发现每个学生在傍晚一般有1%的时间要占用一个水龙头, 现有水龙头45个, 现在总务处遇到的问题是:

(1) 未新装水龙头前, 拥挤的概率是多少?

(2) 至少要装多少个水龙头, 才能以95%以上的概率保证不拥挤?

解: (1) 设同一时刻, 5000个学生中占用水龙头的人数为X, 则

拥挤的概率是

故

即拥挤的概率

故需装62个水龙头。问题的变形:

(3) 至少安装多少个水龙头, 才能以99%以上的概率保证不拥挤?

解:欲求m, 使得

故需要装67个水龙头。

(4) 若条件中已有水龙头数量改为55个, 其余的条件不变, 1, 2两问题结果如何?

(2) 同上。

(5) 若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%, 其余的条件不变, 则 (1) , (2) 两问题结果如何?

解: (1) 设同一时刻, 5000个学生中占用水龙头的人数为X, 则

拥挤的概率达

(2) 欲求m, 使得

故需装90个水龙头。

2、设座问题:

甲、乙两戏院在竞争5 0 0名观众, 假设每个观众完全随意地选择一个戏院, 且观众之间选择戏院是彼此独立的, 问每个戏院至少应该设多少个座才能保证观众因缺少座而离开的概率小于5%.

解:设甲戏院需设m个座, 设

则则选甲戏院的观众数

解得 m ≥ 2 6 9 ，即每个戏院至少应设 269 个座。

四、总结

中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之，恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义。

摘要：中心极限定理是刻画并不服从正态分布的一些独立的随机变量, 但总和近似服从正态分布。本文用实例介绍中心极限定理在管理中的应用。

关键词：中心极限定理,随机变量,正态分布

参考文献

[1]、丁正生.概率论与数理统计简明教程[M].北京:高等教育出版社, 2005:88-94.

经济学中的中心极限定理篇7

一、常用的中心极限定理

在不同的条件和假设下, 有不同的中心极限定理, 在这里, 只介绍两种常见的形式。1.独立同分布下的中心极限定理 (林德贝格-勒维中心极限定理)

设是独立同分布的随机变量序列, 且

则对任意实数x, 有

此定理表明, 当n充分大时, 近似服从标准正态分布, 即

2. 二项分布的正态近似 (棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)

设n重伯努利试验中, 事件B在每次试验中出现的概率均为p (0

则对任意实数x, 有

此定理表明, 当n充分大时, 近似服从标准正态分布, 即同时还应注意, 二项分布是离散的分布, 而正态分布是连续的分布, 因此在用正态分布作为二项分布的近似计算中, 做一些修正可以提高精度, 如a

二、应用实例分析

由于经济学是一个宽泛的学科领域, 为了更好地突出中心极限定理的应用价值, 本文以经济中的一个具体机构进行分析, 也即选择某一酒店宾馆为例。

众所周知, 酒店经营的好坏与酒店的管理者所采取的决策息息相关, 本例主要用中心极限定理来控制酒店中食物的采购数量、食物的质量, 给决策者提供很好的理论支撑。

1. 确定食物的采购数量

某酒店分析以往的数据记录发现, 有个人经常性的来酒店点某一菜品A, 并且他们点该菜品的频率差别不大, 在附近波动。假设在某一时段内, 这个人是否点菜品A是相互独立的, 并且该酒店做该道菜所用的原材料为0.5千克, 那么该酒店应该购买多少原材料才能有99%的把握来满足消费者的需求?

解:用随机变量表示第i个人是否来酒店点菜品A, 则记

则随机变量是相互独立的, 则

服从参数的二项分布, 即

并且由题意可知,

因此,

由二项分布的正态近似可知:

现假设酒店应该具备m千克原材料, 则

也即:

通过查表知,

把代入, 就可以直接计算出m=86.9, 也即是:酒店应该购买86.9千克的原材料才能有99%的把握满足消费者的需求。

从上述计算公式可以看出, 随着时间的推移, 依照酒店记录的数据来计算的值会越来越符合实际, 因此酒店的预测也就会越来越准确。

2. 保证食物的采购质量

现在该酒店准备采购一批名为B的酒, 共瓶, 根据以往的统计资料得出该类酒的次品率为, 为保证酒店的良好声誉, 酒店的工作人员现要对该批酒进行抽样检查, 为了有90%的把握使得检验的该批酒的次品率与真实的次品率的差异不超过5%, 问应该抽检多少瓶?

解:用随机变量表示第i瓶酒是否为次品, 则记

则随机变量是相互独立的, 现假设酒店应该抽检n瓶酒, 则

服从参数的二项分布, 即

并且由题意可知,

因此,

由二项分布的正态近似可知:

也即:,

经查表知

解得,

又因为, , 因此

也即是:酒店应该抽检271瓶酒才能有90%的把握满使得次品率的差异不超过0.05。

三、结语

1. 通过以上的分析, 酒店的管理者就可以依据这些结论进行采购食物, 这样做不仅能够使酒店的运作良好, 还能够为酒店赢得良好的声誉。

2. 通过以上例子说明, 中心极限定理在经济学中有着广泛的应用, 若能够很好的应用它, 则能够给经济的发展插上腾飞的翅膀。

摘要：本文研究了中心极限定理在经济学中的应用。首先介绍了中心极限定理的两种常用的形式, 接着以经济学中的一块具体的领域进行分析说明, 从两个角度来阐述中心极限定理的应用, 即:从商品订购的数量和抽检的数量两方面分析。

中心极限定理论文篇8

19世纪后半叶, 随着数学基础的逐步加强, 俄罗斯开始形成自己的数学学派, 这就是以切比雪夫 (P.L.Chebyshev, 1821-1894) 为首的圣彼得堡概率论学派。该学派的中流砥柱则是马尔可夫 (A.A.Markov, 1856-1922) 和李雅普诺夫 (A.M.Lyapunov, 1857-1918) 。他们师徒互相合作, 分别用矩方法和特征函数法第一次严格证明了中心极限定理, 发展了中心极限定理理论, 奠定了现代概率论的基础。正是圣彼得堡概率论学派把概率论从濒临衰亡境地挽救出来, 并恢复为一门数学学科。

然而, 目前国内外系统研究中心极限定理思想者还较少, 尤其是对圣彼得堡概率论学派的概率思想介绍仅见于一般数学通史著作中, 这无疑是一个缺憾。鉴此本文在解读有关讲义、文集和其他原始相关文献的基础上, 系统探讨了圣彼得堡概率论学派的中心极限定理思想, 力图对其研究过程中概率思想的发展提出更为合理的诠释。

一正态分布和中心极限定理的提出

极限定理源于伯努利试验概型。在伯努利试验中, 若以μn记n次独立试验中随机事件A出现的次数, 则μn/n便是在这n次试验中事件A出现的频率, 故讨论频率μn/n的极限行为是理解概率论中最基本概念——概率所不可缺少的。

为研究μn的极限行为, 可讨论其分布。但由于Eμn=np, Dμn=npq, 对于固定的x来说, P (μn

误差分析是概率论的生长点之一。若把随机变量总和中的每项看作小的“基本误差”, 则中心极限定理就为观察误差中正态分布的发生给出解释。高斯 (C.F.Gauss, 1777-1855) 于1809年在研究测量误差时再次发现了正态分布。

拉普拉斯很快得知高斯的研究成果, 并将其与中心极限定理联系起来。为此, 他在即将发表的一篇文章 (发表于1810年) 上加了一点补充, 指出若误差可看作许多量的叠加, 据中心极限定理, 则误差理应服从正态分布。这是历史上首次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、种种原因产生的元误差叠加而成, 这也是中心极限定理的第一次应用[3]。

二中心极限定理的第一次严格证明和发展

正态分布作为一种统计模型, 在19世纪极为流行, 一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。故需要通过对中心极限定理的研究来阐明其相关理论、适用条件和发展空间。圣彼得堡概率论学派充分认识到中心极限定理的重要性, 率先对其展开了研究。

(一) 母函数法证明中心极限定理

虽切比雪夫仅发表了4篇关于概率论的论文, 但其影响难以估量。正是切比雪夫给门庭冷落的概率论带来了勃勃生机, 其概率思想引发了古典概率论的变革[4]。

切比雪夫对概率论的研究可分为两个阶段: (1) 攻读硕士学位阶段期间, 受布拉斯曼 (N.D.Brashman, 1796-1866) 的影响, 对概率论产生兴趣并写下有关的硕士论文。 (2) 讲授概率论课程阶段切比雪夫深受法国数学家比埃奈梅 (J.Bienaymé, 1796-1878) 和俄罗斯数学界元宿布尼亚科夫斯基 (V.Y.Buniakovsky, 1804-1889) 的影响。布尼亚科夫斯基从1850年到1859年退休一直讲授概率论这门课程。当切比雪夫接替布尼亚科夫斯基讲授概率论时, 再次把研究兴趣聚焦在概率论。关于中心极限定理的证明, 切比雪夫发表于1887年, 但他在讲授概率论时用母函数给出该定理的一个证明。

母函数在19世纪被拉普拉斯引进, 它是概率论中第一个被系统应用的变换法。该方法在整数值随机变量场合很有用, 是特征函数的先导, 由此发展起来的Z变换法已成为解决许多问题的重要方法。母函数最基本的性质是独立随机变量和的母函数等于原母函数的乘积, 这给计算带来了方便。切比雪夫所给证明为[5]:

设随机变量X, Y, Z, …, 取值于xi, yi, zi, …, 的概率分别为pi, qi, ri, …, (i=1, 2, …, n) 。

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利用母函数性质得到

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因B是方差之和, 故为正数且随着随机变量个数的增加而递增。切比雪夫假定积分上限为无穷大, 则有

undefined

进而得到积分定理

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切比雪夫注释到, 为了严格证明, 这里做了一些假设, 因而就会导致产生一些错误。从目前看, 当时的数学工具还不能导出满意的边界值。

(二) 矩方法证明中心极限定理

1.矩方法思想及其发展

比埃奈梅在1833年向巴黎科学院递交的一篇论文中, 将力学中矩的概念作了推广, 并给出现今所谓的切比雪夫不等式。1867年, 切比雪夫将论文“论均值”同时以俄语刊登在《圣彼得堡数理学报》, 和以法语发表在《刘维尔杂志》上。直到发表后, 切比雪夫方知比埃奈梅早已给出了相关证明。刘维尔 (J.Liouville, 1809-1882) 将比埃奈梅的论文刊登在切比雪夫的论文前面, 并给出编者按, 暗示这两篇文章的相互联系。切比雪夫立即意识利用矩方法可解决许多困难的极限估计问题, 并试图应用于中心极限定理的证明。

1874年, 切比雪夫在递交给法国学术会议的论文《关于积分的极限值》 (Sur les valeurs limites des intégrales) 中, 指出矩方法的精髓:

“这个方法以∫undefinedf (x) dx, ∫undefinedxf (x) dx, ∫undefinedx2f (x) dx, …来确定积分值∫undefinedf (x) dx。这里A>a, 且f (x) 是未知函数并假定在积分区间内恒为正值。”[6]

切比雪夫通过连分数收敛于级数的形式分解, 给出积分

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的取值范围及一些不等式, 但没有详细证明。

马尔可夫对切比雪夫的矩问题作了深入研究。在1884年的《某些切比雪夫积分的证明》 (Démonstration de certaines inégalités de M.Tchebycheff) 论文中, 马尔可夫给出了这些不等式的严格证明, 并在同年通过的博士论文第三部分给出了切比雪夫问题的完整解答。后又在1897年的一系列论文中作了进一步的阐述, 其中最为重要的一篇是《关于矩的L问题》 (L-проблема моментов) 。文中他把切比雪夫问题拓广为:

已知 (1) mk=∫baxkf (x) dx (k=0, 1, 2, …, n+1)

(2) 0≤f (x) ≤L (L为常数)

(3) g (x) 为 (a, b) 上的已知实函数

来确定积分∫baf (x) g (x) dx对所有f (x) 的最值。[7]126

这里出现了泛函的雏形。马尔可夫在g (x) 前n+1阶导数存在且在 (a, b) 上不变号的条件下解决了问题。

荷兰数学家斯捷尔吉斯 (Th.J.Stieltjes, 1856-1894) 同时也进行了类似研究, 他给出了与马尔可夫相近的结果。俄罗斯数学界宣称拥有优先权。斯捷尔吉斯声称未见马尔可夫的论文, 也不知切比雪夫所提问题。后马尔可夫与斯捷尔吉斯成为好朋友, 他们频繁交流在矩理论以及有关内插法、构造积分、余项估价和连分数等方面的新成果。

斯捷尔吉斯综述了有关研究结果, 并解决了无穷区间 (0, ∞) 上的矩问题, 给出所要寻找函数的一切整数阶矩的连分数表达式。马尔可夫在1895年发表的《某些连分数收敛性的两个证明》 (Deux démonstrtions de la convergence de certaines fractions continues) 中, 给出了斯捷尔吉斯连分数收敛的充要条件。[8]

2.中心极限定理的切比雪夫矩方法证明

1887年, 切比雪夫的论文《论概率论中的两个定理》 (О двух теоремах относительно вероятностей) 作为圣彼得堡科学院院刊附录而问世, 在1890以法语发表在《数学学报》上。切比雪夫利用矩方法来证明中心极限定理。他的命题很正确, 尽管证明中有些漏洞。切比雪夫注释到, 他没有给出定理的严格证明, 但应用Chebyshev-Hermite多项式的渐进展开可以得到更严密的证明。[9]

设随机变量序列ξ1, ξ2…ξn…, 其均值皆为0, 将其标准化undefined, 相应k阶矩记为mk, 而标准正态分布的k阶矩记为μk。

按照切比雪夫的观点, 要证明中心极限定理, 需要证明

(a) 当n→∞时, 对任意k, 有mk→μk;

(b) 对任意k, 若有mk→μk, 则Fξn (x) →Φ (x) , 这里Φ (x) 为标准正态分布的分布函数[10]。

马尔可夫于1884年证明了切比雪夫所给出的一些不等式, 这无疑加快了切比雪夫的研究。在1886年, 切比雪夫证明若mk=μk, 则有F (x) =Φ (x) 。他认为该条件等价于 (b) , 但马尔可夫不赞同。

1887年, 切比雪夫又证明了 (a) 。最终切比雪夫所给中心极限定理为[11]:

若 (1) u1, u2, …un, …为随机变量列, 且Eui=αundefined=0 (i=1, 2, …)

(2) 设Euundefined=αundefined=0 (i=1, 2, …) , 且对所有k一致有界。则有

undefined

这里把 (b) 转换成了 (2) 。切比雪夫所给的条件是不严密的。他没有说明随机变量必须是相互独立的, 这是沿用了当时的学术研究习惯。他没有考虑到当n→∞时, 表达式 (1/n) ∑undefinedαundefined可能趋于0, 在这种情况下, 结论是错误的。第 (2) 条太苛刻, 它依赖于矩的阶数, 事实上没有必要要求对所有k成立。正是由于这个条件使证明变得相当繁杂。

切比雪夫还提出了估计中心极限定理中有关收敛速度的问题。他猜想:在一定条件下, 有可能依照n-1/2的方幂渐进展开独立随机变量和的分布函数, 这里n为随机变量和的项数。这一猜测被后来的研究所证实。

3.中心极限定理的马尔可夫矩方法证明

马尔可夫认为, 切比雪夫在1887年所给中心极限定理的证明存在某些缺陷。在给圣彼得堡数学学派的另一成员, 喀山大学的瓦西里耶夫 (A.V.Vassilyev, 1853-1929) 的信中, 马尔可夫写道:

“在较长一段时间内, 切比雪夫正在证明的定理被认为是无误的。实际上, 他所给的是一不精确的过程, 之所以没有说其为证明, 因我认为那是一个不严密的证明。定理的由来简洁易懂, 而切比雪夫以初等工具为基础, 把问题变得复杂化了。这样自然有了疑问, 是否二者本质上一致?可否给出严格的证明?你对切比雪夫工作的研究, 加强了我很久以来的愿望, 那就是在简化整个证明过程的同时, 确保切比雪夫分析的精确化。”[7]128

他特别称老师的结果为“切比雪夫正在证明的定理”, 这封信后来以《大数定律和最小二乘法》 (The law of large numbers and the method of ledst squares) 为题发表在1898年的《喀山大学数理学报》上。同年, 马尔可夫在另一论文《论方程undefined的根》 (Sur les racines deundefined中, 尽力精确地陈述并证明了切比雪夫所提出的命题。改进后的方法被人称作切比雪夫-马尔可夫方法。

马尔可夫把切比雪夫原条件:当n→∞时, 对任意k, 有mk→μk改为:

(1) 对任意k, Eξundefined, Eξundefined, …有界; (2) 对所有n, D (ξ1+…+ξn) ≥cn, c>0。

相应计算以多项式 (x1+x2+…+xn) 2的展开式为基础, 以连分数为工具进一步分析了切比雪夫不等式。马尔可夫通过实例验证条件 (2) 是不可忽略的, 但切比雪夫没有注意到这一点[12]。

马尔可夫认为, 需要添加条件, 一个是随机变量序列相互独立, 再者

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即上述极限存在且不为0。他给出一随机变量相互独立的简化表达式

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马尔可夫宣称用上述条件, 可以导出中心极限定理[13]。即若对任意自然数m, 有

undefined

则

undefined

马尔可夫称上述定理是他和切比雪夫共同创立的。他应用狄利克雷不连续因子建立了这个定理, 并承认证明是不严格。

这样, 马尔可夫所给的中心极限定理为[14]:

设相互独立的随机变量序列ξ1, ξ2, …, ξn, …, 记undefined

undefined

对r≥3的所有整数有

undefined

则

undefined

不久, 马尔可夫就将原来的条件

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换成下述不等式

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他还证明, 对独立随机变量序列ξ1, ξ2, …, ξn, …, 若有二阶矩bk, k=1, 2, …, 存在绝对矩Eξundefined≡bundefined, α=3, 4, 5, …, 则使得下式成立

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1908年, 马尔可夫再次扩展了矩方法的应用, 并证明了中心极限定理[14]362。此时, 他把定理的条件换成李雅普诺夫条件:

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至此, 矩方法严格证明中心极限定理获得圆满成功。

(三) 特征函数法证明中心极限定理

李雅普诺夫虽仅发表两篇关于概率论的论文, 但在概率论发展中却具有划时代重要作用。在大学三、四年级时, 李雅普诺夫曾系统地听了切比雪夫的概率论课, 对老师当年在讲到极限定理证明时的一段话有着深刻印象。切比雪夫当时说:

“我们在证明时做了种种假设, 但却未能顾及出由此而产生的误差, 因而结论是不严密的。然而在目前, 我们还无法采用任何令人满意的数学手段来证明这些结论。”[15]

李雅普诺夫不像马尔可夫那样深受切比雪夫的影响, 他有一套独特的思维方法, 被切比雪夫誉为“超越方法”。正是他不同凡响的方法激起马尔可夫“暴风雨般的技巧”。

马尔可夫对中心极限定理的证明要求对任何整数p>2, 独立随机变量序列的p阶矩在一定意义下的平均值Mundefined→0 (n→∞) 。能否找到适当的δ>0 (δ不一定是整数) , 以p=2+δ阶矩的性质来代替马尔可夫的条件呢?这便是李雅普诺夫所考虑的问题。

李雅普诺夫在1900年发表的《概率论的一个定理》 (Sur une proposition de la théorie des probabilités) 论文中指出, 矩方法过于复杂和笨拙, 因而应从一个全新的角度去考察中心极限定理, 并引入了特征函数这一有力工具, 而利用特征函数法来证明中心极限定理, 其证明方法与现在用于素数理论中的方法相类似, 避免了矩方法要求高阶矩存在的苛刻条件[16]。

李雅普诺夫首先将δ取作1, 试图仅用Mundefined→0 (n→∞) 来代替马尔可夫的条件, 但是由于推算中的困难, 他不得不做了某些让步, 另外加上所有随机变量的3阶矩一致有界等条件, 从而部分实现了用3阶矩的存在去代替一切矩存在的拓广。接着, 他又于1901年发表的《概率论极限定理的新形式》 (Nouvelle forme du théorème de probabilité) , 对0<δ≤1的任意δ都证明了中心极限定理。

李雅普诺夫的成功, 其意义不仅在他所证明定理的内容, 更在于证明过程中所创造的一种崭新方法——特征函数法。与矩方法相比, 特征函数法显得更灵活、更具一般性。而且通过特征函数实现了数学方法上的革命, 为中心极限定理的进一步精确化奠定了基础, 为概率论学科的飞跃发展准备了条件。

所谓特征函数方法, 就是对每个随机变量 (或其分布函数) 作傅里叶变换, 得到实变数的复值函数。在此变换下, 相互独立的随机变量和的特征函数等于随机变量特征函数的乘积。这就为研究独立随机变量和的极限分布提供了一个简便有力的工具。因为独立随机变量和的分布是各加项分布的卷积, 而在加项数目趋于无穷的场合, 对卷积作数学处理是比较困难的, 为此切比雪夫和马尔可夫才设法通过矩来考察其一般规律, 所以矩方法所损失的信息过多。特征函数方法则保留了随机变数分布规律的全部信息, 同时提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间一一对应的关系。因而这一方法的引入使独立随机变数和的弱极限理论获得了疾足长进的机会。李雅普诺夫中心极限定理为:

设ξ1, ξ2, …, ξn, …是相互独立的随机变量序列, 且具有有限的数学期望和方差:

E (ξk) =μk, D (ξk) =σundefined≠0, (K=1, 2, …) 记undefined, 若存在正数δ, 使得

(1) dn=E|ξn|2+δ有界;

undefined, 则对于任意x∈ (-∞, +∞) , 随机变量undefined的分布函数Fn (x) 均有:

undefined

上述定理表明, 当n→∞时, Zn服从标准正态分布N (0, 1) 。[17]

定理的条件已接近于充要条件。尽管条件 (2) 类似于切比雪夫和马尔可夫所给条件, 但条件 (1) 比切比雪夫和马尔可夫所给条件要宽松得多, 没有要求3阶及以上矩存在[18]。

在证明中, 李雅普诺夫利用了引理:

设Fn (t) 是随机变量zn的分布函数, 且Ezn=1, Dzn=0。若zn的特征函数E[exp (iθzn) ]在任何关于原点对称的有限区间上一直收敛于正态分布的特征函数undefined, 则对所有t, 有Fn (t) →Φ (t) 。

尽管李雅普诺夫未明确提出上述引理, 但已含有其证明。后林德贝格 (J.W.Lindeberg) 和莱维 (Paul Lévy, 1886-1971) 都深受其启发, 进而给出中心极限定理的更完善发展。林德贝格直率地承认李雅普诺夫的优先权, 并致以感谢。而勒维及其他法国数学家始终未认可俄罗斯数学家的贡献。

深受泊松和柯西的影响, 很早以前李雅普诺夫就引进了特征函数和狄利克雷间断因子。这里他利用特征函数精确描述了中心极限定理的条件, 第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。这是对拉普拉斯和切比雪夫方法的发展。

另外一个从理论和应用上都应当关心的问题是, 仅知道某个概率分布渐近正态分布是不够的, 还必须知道换成正态分布后误差有多大。李亚普诺夫又给出了这个误差的一个上限, 并准确估计出正态分布随机变量和收敛的速度。[19]

后马尔可夫一直追求恢复矩方法的声誉。由于李雅普诺夫放弃了随机变量所有矩存在的条件, 马尔可夫也不得不弃之。但利用矩方法这是最基本的条件, 是无法超越的障碍。

经过8年的努力马尔可夫终于获得成功, 在《论院士李雅普诺夫所建立的概率极限定理》 (Теорема о пределе вероятности для случаевакадемика А.М.Ляпунова ) 一文中, 他创造了一种“截尾术”, 即在适当的地方截断随机变量使其有界, 这样就可以既不改变它们和的极限分布, 又能保证其任意阶矩的存在。这一成果不仅克服了特征函数法过分依赖独立性的弱点, 开辟了通向非独立随机变量研究的道路, 而且突破了特征函数仅适用于弱极限理论范畴的局限, 为强极限理论发展提供了有力的手段。应用这一技术, 马尔可夫一举实现了他多年来精确论证中心极限定理的理想, 其研究成果被收入其《概率演算》的第3版中。马尔可夫和李雅普诺夫关于概率论方法论的竞争, 极大地丰富了本世纪初概率论的内容, 对该学科的现代化产生了深远的影响。今天, “截尾术”与“对称化”、“中心化”成为现代极限理论中的三大技术, 发挥着难以估量的作用。

三结束语

圣彼得堡概率论学派所从事的中心极限定理研究还属于古典极限定理范畴。当时这门学科的基础尚未奠定, 一些重要的理论工具如集合论、测度论也不具备, 甚至概率论本身也隐藏着循环推理的致命内伤, 贝特朗 (J.Bertrand, 1822-1900) 悖论又使几何概型陷入困窘的境地。圣彼得堡概率论学派正是在这荆棘丛生、危机四伏的环境中开出一条新路。他们所完成的方法论基本变革不仅满足于严格证明的要求, 而且能够随时精密地估计试验的结果。切比雪夫引出的一系列概念和研究题材为俄罗斯以及后来苏联的数学家继承和发展。马尔可夫对“矩方法”作了补充, 圆满地解决了随机变量的和按正态收敛的条件问题。李雅普诺夫则发展了特征函数方法, 从而引起中心极限定理研究向现代化方向上的转变。

中心极限定理论文篇9

极限定理(Central Limit Theorem)是概率论中关于随机变量序列及分布渐近于正态分布的一种定理。作为数理统计学及误差分析的理论基础,极限定理提出了大量随机变量积累分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。该定理应用广泛,无论是自然界还是人类生产中,总有不少互相独立的随机因素影响到一些现象,若每一个因素的影响很小时,总体影响可以看成正态分布,而极限定理从数学上证明了这一现象。长期以来,极限定理的相关研究极大地影响到概率论的发展,而新的极限理论也在实际应用过程中不断产生[1,2,3]。在随机环境分枝过程中,若变化环境期望与方差有限时,提出了环境首达时的极限定理及大偏差定理新解。

1 相关定义

设某概率空间为(Ω,f,P) ,某环境空间为(Θ,B),某状态空间为( χ,A),若N = {0,1,2,…},Z+= {1,2,…},当χ = N,χ 的离散 σ 域为A 。当∀θ ∈ Θ,其概率分布列为{pn(θ)} ,而且要满足以下条件:

任意一个 θ∈Θ,其概率母函数如下:

若mθ=f′θ(1),σ2θ=f″θ(1)+f′θ(1)-[f′]θ(1)2,mθ为环境中个体数的分布期望值,σ2θ为环境中个体分布的方差。

定义在(Θ,B) 中取值(Ω,F,P) 随机变量,其变量序列为,在(x,A) 中取值(Ω,F,P) 随机变量,其变量序列为和{Xni,n∈N,i∈Z+},并且满足以下条件:

式中:为随机环境;是其分枝过程。按照该过程,若Z0=1,对于任意的,可以简单记为,对应的期望值为。若环境空间的概率测度为,应满足以下条件:

设条件(A) 如下:当M,m > 1,a,b > 0,对于Q0a.s.θ来说:

设条件(B)如下:当M,m>1,a,b>0,对于Qa.s.来说:

2 定理解析

为证明随机环境分枝过程中的极限定理与偏差定理,首先要对相关定理进行解析,对于任意一个n ∈ N,可做出如下定义:

定理1 满足条件(A) 的情况下,若独立的随机变量序列为,定理如下:

定理2

(1)满足条件(B) 的情况下,若独立的随机变量序列为,偏差定理如下:

(2)当任意的t∈R,EZ1t< +∞,且是独立而相同分布的,log Zn符合偏差定理,式(1)成立,式(1)中:

(3)针对Q,a.s.,有:

对任意的t>0来说,Wn→W,EWt<∞,在此情况下,针对Q,a.s.,有:

(4)若∀t > 1,且是独立的相同分布,且EZ1t< ∞,相对Q, a.s.来说:

式中。

3 定理证明

引理1 设随机变量序列为独立单独分布的,若符合条件(A) ,则有一个随机变量W存在:

证明:使,可以得出:

由于{Fn}n ≥ 1,所以有随机变量W存在,令Wn→ W,由于Zn→ +∞,a.s. 成立,根据文献[4]可知W > 0,a.s. 成立,因此:

引理2 设随机变量X的值是正整数,当EX ≥m > 1,EX2≤a,则p1= P(X = 1),p = p(m,a) < 1,所以p1≤ p 。

证明:当X分布律为{pk,k ≥ 1} ,从EX ≥ m,EX2≤a可知:

则:

设随机变量Y的分布律是,从式(2)和式(3)可知:。由于,所以:

得出下式:

在式(4)中,当p1→1时,其极限是+∞,所以p=p(m,a)<1,p1≤p。

引理3 在满足条件(B) 的情况下,n若有足够大,则Zn≤ Zn＋1,a.s. 。

证明:由于p0(ξk)= 0,a.s. ,因此Zn≤Zn+ 1,a.s. 使:

只需要证明P(A) = 0 。使:

得出。根据引理2 可知,当p< 1 时,令p1(ξn)≤1,a.s. ,有以下等式:

得出:

因此:

引理4 在满足条件(B) 的情况下,当n足够大时,有如下关系式:

因此:

得出:

即:

因此引理4 得到证明。

定理1 证明:根据已被证明的引理4 以及 τn定义,τn→ +∞,a.s. ,当n足够大时:

因此:

根据引理1,使n→ +∞ :

所以:

引理5 针对随机变量X,Y ,有以下等式:

证明:

引理6 在满足条件(B) 的情况下,对于,有,且。

因此:

得出下式:

所以,根据鞅收敛定律:

根据式(5),有关,Q每一处都几乎有界,按照引理5 有:

因此:并且EW2<∞

定理2 证明:

(1)当t∈[0,2] 为固定时,Θ 的构造测度为:

使:

记为为期望值,则独立,且:

由于相对任何一个n ≥ 0 来说,等价于Qn,所以等价于Qn,相对来说,有:

根据引理6,在下有:

所以式(6)有:

t具备任意性,所以相对于任意的t ∈[0,2] ,式(7)成立,有:

当任意t∈R时:

因此log Zn存在大偏差:

式中:。

根据式(8),∀t∈[0,2] :

所以:

对于任意t∈[0,2]c来说,根据式(9):

所以根据式(11),式(13)可知Λ(t)≥Λ2(t),∀t∈R,因此:

根据式(10),式(12),式(14)可以得出式(1),由此步骤(1)得到证明。

因此:

上式两边使n → ∞ 有:

t具备任意性,有:

根据式(15),式(16)可证得步骤(2)。

(3)根据文献[5-6],针对任意t> 1 来说,,所以相对来说,下面的存在独立而相同分布的,针对有以下等式:

所以,根据步骤(2)可以证得步骤(3)。

摘要：极限定理是数理统计学及误差分析的理论基础,在实际应用中,新的极限定理理论解释不断产生,推动了概率论的发展。在随机环境的分枝过程中,当环境变化的期望值以及方差有限时,给出了环境首达时的极限定理及大偏差定理新解。

关键词：极限定理,大偏差定理,随机环境,环境首达

参考文献

[1]BAE J,HWANG C,JUN D.The uniform central limit theorem for the tent map[J].Statistics&Probability Letters,2012,82(5):1021-1027.

[2]ZHU L.Central limit theorem for nonlinear Hawkes processes[J].Journal of Applied Probability,2013,50(3):760-771.

[3]KOUNDOURI P,KOUROGENIS N.On the distribution of crop yields:does the central limit theorem apply?[J].American Journal of Agricultural Economics,2011,93(5):1341-1357.

[4]GIULIANO-ANTONINI R,SZEWCZAK Z S.An almost sure local limit theorem for Markov chains[J].Statistics&Probability Letters,2013,83(2):573-579.

[5]BERCMOES B,LOWEN R,CASTEREN J V.An isometric study of the Lindeberg-Feller central limit theorem via Stein′s method[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2013,405(2):484-498.

中心极限定理论文篇10

关键词：隐马尔科夫模型,强极限定理,鞅差序列

1 引言及定义

近年来, 隐马尔科夫模型在弱相依变量的建模上得到了广泛应用, 是研究发声过程、神经生理学与生物遗传等问题的有力工具。但在实际应用中经常遇到隐藏链为非齐次马氏链的情况, 如动态的图像处理、气候的预测等均需要建立非齐次隐马尔科夫模型来处理。本文的目的是利用杨卫国提出的方法, 研究非齐次隐马尔科夫模型三元泛函的强极限定理, 作为推论, 得到了一个已有的结论。

定义1 设 $S = {1, 2, \dots, Μ}, Τ = {1, 2, \dots, Ν}$ 为两个有限集, ${X_{n}, n \geq 0}$ 与{Yn, n≥0}是概率空间 $(Ω, F, Ρ)$ 上取值于S与T的随机变量序列。假设 ${X_{n}, n \geq 0}$ 是非齐次马氏链, 其初始分布为 $(q (1), q (2), \dots, q (Μ))$ , 它不能被直接观测到, 称为隐藏链; 而能观测到的是{Yn, n≥0}, 称为观测链。他们合起来满足如下条件:

$\begin{array}{l} Ρ (X_{n + 1} = j | X_{n} = i, Y_{n} = y_{n}, X_{n - 1} = x_{n - 1}, \dots, Y_{0} = y_{0}, X_{0} = x_{0}) = Ρ (X_{n + 1} = j | X_{n} = i), \\ Ρ (Y_{n} = l | X_{n} = i, Y_{n - 1} = y_{n - 1}, X_{n - 1} = x_{n - 1}, \dots, Y_{0} = y_{0}, X_{0} = x_{0}) = Ρ (Y_{n} = l | X_{n} = i) 。 \end{array}$

则称{ (Xn, Yn) , n≥0}为一个非齐次隐马尔科夫模型。记

$\begin{array}{l} a_{n + 1} (i, j) = Ρ (X_{n + 1} = j | X_{n} = i), \\ b_{n} (i, l) = Ρ (Y_{n} = l | X_{n} = i) 。 \end{array}$

An= (an (i, j) ) 为非齐次马氏链 ${X_{n}, n \geq 0}$ 的转移概率矩阵。

下面给出两个引理。

引理1[1] 设{Xn, Fn, n≥0}是一个鞅差序列, 则Sn= $\sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ 在集 ${\sum_{k = 1}^{\infty} E [X_{k}^{2} | F_{k - 1}] < \infty}$ 上a.s.收敛。

引理2[2] 设{ (Xn, Yn) , n≥0}是如上定义的非齐次隐马尔科夫模型, fn (x, y, z) 是定义在S×S×T的三元函数列, {Φn (x) , n≥1}是一列定义在R上的非负可测函数, 则

$\begin{array}{l} E [Φ_{k} (f_{k} (X_{k - 1}, X_{k}, Y_{k})) | F_{k - 1}] = \\ E [Φ_{k} (f_{k} (X_{k - 1}, X_{k}, Y_{k})) | X_{k - 1}], k \geq 1 。 \end{array}$

2 主要结果及证明

定理1 设{ (Xn, Yn) , n≥0}是如上定义的非齐次隐马尔科夫模型, 设{an, n≥1}是Fn-1可测的非零随机变量序列, fn (x, y, z) 是定义在S×S×T上的三元函数列, {Φn (x) , n≥1}是一列定义在R+上的非负可测函数。αn≥1, βn≤2, Kn≥1和Mn≥1 (n≥1) 使得x1≤x2时,

$\frac{Φ (x_{1})}{x_{1}^{α_{n}}} \leq Κ_{n} \frac{Φ (x_{2})}{x_{2}^{α_{n}}}$ (1)

$\frac{x_{1}^{β_{n}}}{Φ_{n} (x_{1})} \leq Μ_{n} \frac{x_{2}^{β_{n}}}{Φ_{n} (x_{2})}$ (2)

成立。设

A={ω: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{Κ_{n} E [Φ_{n} [| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |] | F_{n - 1}]}{Φ_{n} (| a_{n} |)} < \infty}$ (3)

B={ω: $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{Μ_{n} E [Φ_{n} [| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |] | F_{n - 1}]}{Φ_{n} (| a_{n} |)} < \infty}$ (4)

则

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{- 1} {f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) - E [f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | X_{n - 1}]}$ (5)

在AB中a.s.收敛。设C={ω: $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty} \cap A B$ , 则

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} a_{n}^{- 1} \sum_{k = 1}^{n} {f_{k} (X_{k - 1}, X_{k}, Y_{k}) - E [f_{k} (X_{k - 1}, X_{k}, \\ Y_{k}) | X_{k - 1}]} = 0 ‚ a . s ., ω \in C (6) \end{array}$

证明设 $n \geq 0, f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) = f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) Ι (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | \leq | a_{n} |)$ , 记 $Ζ_{n} = \frac{Φ_{n} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |)}{Φ_{n} (| a_{n} |)}$ , 由引理2及 $Φ_{n} (| a_{n} |)$ 是Fn-1可测性有

$E [Ζ_{n} | F_{n - 1}] = \frac{E [Φ_{n} (f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n})) | X_{n - 1}]}{Φ_{n} (| a_{n} |)},$

设K为正整数, 记

$\begin{array}{l} A_{k} = {ω : \sum_{n = 1}^{\infty} Κ_{n} E [Ζ_{n} | F_{n - 1}] = \\ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{Κ_{n} E [Φ_{n} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |) | X_{n - 1}]}{Φ_{n} (| a_{n} |)} \leq Κ}, \end{array}$

τk=min{n: $n \geq 1, \sum_{i = 1}^{n + 1} E [Ζ_{i} | F_{i - 1}] > Κ}$ (7)

当式 (7) 右边为空集时, 令τk=∞, 由 $\sum_{i = 1}^{τ_{k} Λ n} Κ_{i} Ζ_{i} = \sum_{i = 1}^{n} Ι (τ_{k} \geq i) Κ_{i} Ζ_{i}, Ι (τ_{k} \geq i)$ 是Fn-1可测的, 有

$\begin{array}{l} E (\sum_{i = 1}^{τ_{k} Λ n} Κ_{i} Ζ_{i}) = E (\sum_{i = 1}^{n} Κ_{i} Ι (τ_{k} \geq i) Ζ_{i}) = \\ E {\sum_{i = 1}^{n} Κ_{i} E [Ι (τ_{k} \geq i) Ζ_{i} | X_{i - 1}]} = E {\sum_{i = 1}^{n} Κ_{i} Ι (τ_{k} \geq i) E [Ζ_{i} | X_{i - 1}]} = E {\sum_{i = 1}^{τ_{k} Λ n} Κ_{i} E [Ζ_{i} | X_{i - 1}]} \leq Κ (8) \end{array}$

由于Ak={τk=∞}, 由式 (8) 有

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} Κ_{i} \int_{A_{k}} Ζ_{i} d Ρ = \sum_{i = 1}^{n} Κ_{i} E [Ι (A_{k}) Ζ_{i}] = \\ E {Ι (A_{k}) \sum_{i = 1}^{n} Κ_{i} Ζ_{i}} = E {Ι (τ_{k} = \infty) \sum_{i = 1}^{n} Κ_{i} Ζ_{i}} = \\ E {Ι (τ_{k} = \infty) \sum_{i = 1}^{τ_{k} Λ n} Κ_{i} Ζ_{i}} \leq E {\sum_{i = 1}^{τ_{k} Λ n} Κ_{i} Ζ_{i}} \leq Κ, \end{array}$

因而, 我们得知

$\sum_{n = 1}^{\infty} Κ_{n} \int_{A_{k}} Ζ_{n} d Ρ \leq k$ (9)

由 (1) 式知, 当 $| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | > | a_{n} (ω) |$ 时有

$\begin{array}{l} \frac{| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |}{| a_{n} (ω) |} \leq \frac{| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |^{α_{n}}}{| a_{n} (ω) |^{α_{n}}} \leq \\ \frac{Κ_{n} Φ_{n} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |)}{Φ_{n} (| a_{n} (ω) |)}, \end{array}$

因而, 由 (3) 式和 (9) 式知

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} Ρ {A_{k} (f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n})) \neq f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n})} = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{A_{k} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | > | a_{n} |)} d Ρ \leq \\ \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{A_{k} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | > | a_{n} |)} \frac{| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |}{| a_{n} |} d Ρ \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{A_{k} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | > | a_{n} |)} Κ_{n} \frac{Φ_{n} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |)}{Φ_{n} (| a_{n} |)} d Ρ \leq \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{A_{k}} Κ_{n} Ζ_{n} d Ρ \leq Κ 。 \end{array}$

于是由Borel-Cantelli引理知, P{ Ak (f*n (Xn-1 , Xn, Yn) ) ≠fn (Xn-1 , Xn, Yn) , i.o.}=0, 则

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) - f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}))}{| a_{n} |}$ (10)

在Ak中a.s.收敛。由于 $A = \underset{k}{\cup} A_{k}$ , 由式 (10) 知

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) - f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}))}{| a_{n} |}$ (11)

在A中a.s.收敛。设

$\frac{Τ_{n} = f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) - E [f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | X_{n - 1}]}{| a_{n} |},$

易知, {Tn, n≥1}是一个鞅差序列。由于

$\begin{array}{l} E [Τ_{n}^{2} | F_{n - 1}] = \\ {\frac{{E [(f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}))^{2} | F_{n - 1}] - E^{2} [f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | F_{n - 1}]}}{a_{n}^{2}}} \\ \leq E [(\frac{f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n})}{a_{n}})^{2} | F_{n - 1}] a . s ., \end{array}$

由式 (2) 知, 当 $| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | \leq | a_{n} |$ 时,

$\begin{array}{l} \frac{f_{n}^{2} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n})}{a_{n}^{2} ♂} \leq \frac{| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |^{β_{n}}}{| a_{n} |} \leq \\ Μ_{n} \frac{Φ_{n} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |)}{Φ_{n} (| a_{n} |)}, \end{array}$

由 (4) 式知

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} E [Τ_{n}^{2} | F_{n - 1}] \leq \sum_{n = 1}^{\infty} E [(\frac{f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n})}{a_{n}})^{2} | F_{n - 1}] \leq \\ \sum_{n = 1}^{\infty} E [(\frac{| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |}{| a_{n} |})^{2} Ι (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | \leq \\ | a_{n} |) | F_{n - 1}] \leq \sum_{n = 1}^{\infty} Μ_{n} E [\frac{Φ_{n} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |)}{Φ_{n} (| a_{n} |)} \times \\ Ι (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | \leq | a_{n} |) | F_{n - 1}] \leq \\ \sum_{n = 1}^{\infty} Μ_{n} E [\frac{Φ_{n} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |)}{Φ_{n} (| a_{n} |)} \leq | a_{n} |) | F_{n - 1}] < \infty a . s ., ω \in B 。 \end{array}$

由引理1知,

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} Τ_{n} = \\ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) - E [f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | X_{n - 1}]}}{| a_{n} |} (12) \end{array}$

在B上a.s.收敛。由于

$\begin{array}{l} | \frac{(E [f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | X_{n - 1}] - E [f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | X_{n - 1}])}{a_{n}} | = \\ | \frac{E [(f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) - f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}))}{a_{n}} | \leq \\ E [\frac{| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) - f_{n}^{*} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |}{| a_{n} |} | X_{n - 1}] = E [\frac{| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |}{| a_{n} |} Ι (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | > \\ | a_{n} |) | X_{n - 1}] \leq Κ_{n} E [Φ_{n} (\frac{| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |}{Φ_{n} (| a_{n} |)} \times \\ Ι (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) | > | a_{n} |) | X_{n - 1}] \leq \\ Κ_{n} \frac{E [Φ_{n} (| f_{n} (X_{n - 1}, X_{n}, Y_{n}) |) | X_{n - 1}]}{Φ_{n} (| a_{n} |)} a . s . (13) \end{array}$

由式 (13) 和式 (3) 知

在A上a.s.收敛。由式 (10) , 式 (12) , 式 (14) 知式 (5) 成立。

由Kronceker 引理知式 (6) 成立。

推论1[2] 设{ (Xn, Yn) , n≥0}是非齐次隐马尔科夫模型, 设{an, n≥0}是Fn-1可测的正的非降随机变量序列, fn (x, y, z) 是定义在S×S×T上的三元非负可测偶函数, 使得 $| x |$ 增加时, $\frac{Ψ_{n} (x)}{x}$ 和 $\frac{Ψ_{n} (x)}{x^{2}}$ 分别是单调增加和单调减少的。记