线性波理论（精选3篇）
线性波理论 篇1
引言
非线性波动的研究对于解决物理学、化学、生物学和地球物理学中遇到的复杂现象和问题有着极其重要的意义.孤立子理论的建立是非线性波动理论发展中的一项重大成就.在非线性物理许多领域,已经发现一大批非线性演化方程具有孤立子解.孤立子的典型特征是在其传播过程中伴随有能量的集聚,且孤立子间相互作用时表现出犹如粒子弹性碰撞一样的行为.这些特征在流体动力学、光纤通讯、等离子体及生物学等领域已开始获得了一些应用[1].近年来,对于固体结构中的应变孤立波的研究也取得了某些进展[2,3].本文将研究涉及固液耦合作用的埋置于弹性地基内的充液压力管道中非线性波的传播,寻找其孤立波解.
充液管中波的传播一直是一个十分活跃的研究领域,管壁的膨胀性和流体的压缩性可导致压力波沿管的轴向传播.依管的刚度和流体的可压缩性不同,所涉及问题大致可分为两类.如果管壁是刚性的,且流体的压缩性是不可忽略的,这类问题构成了水锤理论的基础,它在化工、核电等工业部门有着重要的作用.如果管壁刚性相对较弱,而流体几乎不可压缩时,这类问题相应于诸如血管中和输油管中脉冲传播的力学模型.本项研究属于后一类问题.充液管中压力波的传播研究至少有两百年的历史,较早的研究只能处理线性问题,如充液弹性薄壁管中波的传播速度和周期波的传播以及预应力管、黏弹性管和变截面管中波的传播问题.20世纪80年代以后,由于非线性科学发展的推动,开始了充液管中的非线性波、特别是孤立波的研究.过去二十多年中,根据所关心的问题不同,考虑不同效应的耦合,采用不同的力学模型,得到了一批有意义的成果.文献[4]是最早研究充液弹性薄管中非线性压力波的文献之一,基于曲面理论,借助张量工具导出了管壁运动方程.另外,特别值得一提的是H.Demiray及其合作者在这一领域发表了大量论文[5,6,7,8],在他们的模型中,大多数是假定管壁中有预加应力.
本文研究埋置于弹性地基内充液压力管道中的非线性波,对模拟地下输运管线或包裹在肌肉内的血管中的血液流动等有潜在的应用背景.本研究中,假设流体为不可压缩理想流体,管外地基反力采用Winkler模型,认为地基每单位面积的反力Pe与管壁的法向位移ω成正比,即Pe=kw.对于管壁的分析,使用了类似于文献[4,9,10]在充液管中压力波的研究中所采用的一个假定,即不计轴向应力的影响.正如文献[4]评述的那样,这个假定对于描述某种现象可能不够充分,然而对血管中脉冲波传播的绝大多数特性均能从这个模型得到合理的解释.另外,还假设管壁是橡胶类材料或软组织材料,在其变形过程中考虑了半径和壁厚的变化,从而导致壁厚运动方程是非线性的.初始时,假定在内压P0的作用下,管壁和流体均处于静止平衡状态;管壁中的动力位移场及流体流速和压力的变化是叠加在这个平衡状态上的微小扰动.在长波近似条件下,流体的压力和速度沿半径方向进行平均,仅沿轴向是变化的,即流体流动是一维的.基于该物理模型,建立其非线性数学模型,并利用约化摄动法求解该模型.
1 控制方程
1.1 管内流体的质量守恒方程
考虑一维流动,管中流体的质量守恒方程为
式中,ρf为流体密度,A为管内横截面积,V为流体轴向流动速度,x和t分别为轴向坐标和时间坐标.若流体是不可压缩的,则式(1)变为
1.2 管内流体的动量守恒方程
考虑沿x方向的流体动量守恒,对于理想流体有
式中,Pi是管内流体压力,Pi和截面积A之间的关系可以是相当复杂的,为了简单起见,引入一个简化假定[9],即认为面积A仅依赖于过剩压力Pi-Pe,即
其中,Pe为管壁外部压力.
1.3 管壁的法向运动方程
为清楚起见,将管壁的状态或构形分为3种情况(如图1).当Pi=0时,从而Pe=0,管处于无应力自然状态,称其为原始构形,此时管的半径和厚度分别记作R0和H0;当内压Pi=P0时,管壁的法向位移为w0,地基反力为Pe=kw0,此时的管半径和厚度分别记作r0和h0,流体速度V=0,这是一个静力平衡状态,称其为中间构形,或参考构形;从t=0时刻开始,系统进入扰动状态,我们称此后时刻t的构形为瞬时构形或现实构形.在瞬时构形中,内压Pi=Pi(x,t),Pi=Pi-P0为内压的扰动,流体速度为V(x,t),管的半径为R,厚度为h,法向挠度为w0+w,w=w(x,t)为从参考构形算起的挠度,地基反力为Pe(x,t)=k(w0+w).对于软组织材料,认为管壁不可压缩,则有R0H0=r0h0=Rh.根据这3种构形,容易得到
以原始构形为基准度量环向应变,于是有
式中,和εθ分别为中间构形和瞬时构形中的环向应变,为中间构形的环向伸长比.相应的环向应力为
Δσθ为从中间构形到现实构形环向应力增量,E为弹性模量.
在图2所示的现实构形中,考虑动力平衡,有
式中,P=Pi,ρω是管壁的密度.利用几何关系(6)和弹性关系(7),经适当整理后,式(8)可写成
式(9)是关于半径R为变量的运动方程.在中间构形上w=0,R=r0,式(9)退化
这正是参考构形的静力平衡方程(Laplace定律).
为了与方程(9)相协调,方程(2)也应变成关于R的方程,为此将A=πR[2]代入方程(2),可得
2 方程的综合及其求解
综合方程(3),(9)和(11),经适当整理可得关于埋置于弹性地基内充液压力管道中非线性波的动力学方程组
其中,第2式中用P代替了Pi.方程(12)是关于3个变量P,V和R的方程组.除了流体的对流项引起的非线性,上式第3个方程表明管壁方程也是非线性的.线性化表明,方程组(12)具有弱弥散性,应用约化摄动法求解.为此,采用以下G-M变换[11]
相应地,有
将式(14)作用于方程组(12),得到
假定方程中的各场量可以表达为如下渐进展开
式中ε为小参数,将式(16)代入到(15),得到关于ε的一阶、二阶方程组.O(ε)阶的方程为
O(ε[2])阶的方程为
对式(17)进行直接积分,取积分常数为零(由于ξ→∞,V1=R1=P1=0),可得
可以看出,一阶摄动得到了R1,P1和V1之间的关系,同时也给出了c0的表达式,要c0为实数,则要求β>0.将式(20)代入到二阶的方程(18),有
其中,.从式(21)中消去P2,R2,V2,得到
其中,.式中左边第1项为非定常项,第2项为非线性项,第3项为弥散项,α为非线性系数,γ为弥散系数.若令u=αU,则可得以下标准形式的KdV方程
u和U只是幅值相差α倍.KdV方程(22)有如下形式的孤立波解
可以看出,波速c与波的幅值有关,这是非线性波的特点.若要求c>0,则γ>0.
3 结论与讨论
(1)本文在长波近似情况下,研究了埋置于弹性地基内充液压力管中非线性波的传播,借助约化摄动法从流固耦合的动力学方程组中得到了KdV方程.结果表明,该流固耦合系统在一定条件下会有孤立波解存在.由于孤立波有许多重要特性,因此得到的结果会在生物医学工程或其它工业部门的相关问题研究中有一定参考价值.
(2)从解的表达式(24)看出,方程(22)中的参数α和γ对孤立波的形成与传播有重要作用.α与波的幅值成反比,波的宽度与γ的平方根成正比.显然,α和γ的值越小,波就会越陡峻(steeping)和峰化(peaking),这些现象应该是孤立波应用的重要指标.另外,波的幅值与波的传播速度成正比,这是非线性波的基本特征.如在G-M变换中取c0>0,则方程(21)中的a>0,从而有γ>0,α和γ同号就要求,进一步分析可得孤立波存在的条件是
在上式令k=0,并利用式(10),可以给出
式(26)为无弹性地基存在时的孤立波存在的条件.分析式(25)可以看出,弹性地基的存在,扩大了式(26)对ω0的要求范围.顺便指出,地基系数k过大,相当于大大增加了管壁的刚度,当其到达一定程度时,流体压缩性便不可略去,此种情况已不是本文研究所关心的问题.
(3)在已有相关研究中,描述管内流体运动的方程基本相同,大都是一维流动,至多再引入流体的黏性.对于描述管壁的模型,类型就比较多.一般认为管壁有软材料制成而不计其弯曲刚度,又考虑到周围基体的轴向束缚,认为轴向位移x=0.本文主要考虑基体法向束缚而引入了弹性地基,对管壁采用了类似于文献[4,9,10]的处理,略去了轴向膜应力作用,而考虑到软材料的特性,通过考虑半径和壁厚的变化引入了非线性.
摘要：研究了埋置于弹性地基内充液压力管道中非线性波的传播.假设管壁是线弹性的,地基反力采用Winkler线性地基模型,管中流体为不可压缩理想流体.假定系统初始处于内压为PO的静力平衡状态,动态的位移场及内压和流速的变化是叠加在静力平衡状态上的扰动.基于质量守恒和动量定理,建立了管壁和流体耦合作用的非线性运动方程组;进而用约化摄动法,在长波近似情况下得到了KdV方程,表征着系统有孤立波解.
关键词：弹性地基,充液圆管,约化摄动法,孤立波
参考文献
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[10] James Lighthill.Waves in Fluids.London:Combridge University Press,1978
[11]刘式适,刘式达,谭本馗编著.非线性大气动力学.北京:国防工业出版社,1996
线性波理论 篇2
一类奇摄动非线性激波问题
Using the method of matched asymptotic expansions,the shock solutions for a class of singularly perturbed nonlinear problems are discussed.The relation of the shock solutions and their boundary conditions is obtained.And the known results are generalized.
作 者：欧阳成 OUYANG Cheng 作者单位：Department of Mathematics,Huzhou Teachers College,Huzhou 313000,China刊 名：数学季刊(英文版) ISTIC PKU英文刊名：CHINESE QUARTERLY JOURNAL OF MATHEMATICS年，卷(期)：23(3)分类号：O175.14关键词：nonlinear problem shock wave boundary layer matching
线性波理论 篇3
有关STLFMCW信号检测的问题, 相关文献有诸多论述。其中, 文献[6]总结了Wigner-ville分布、Choi-Williams分布、正交镜像滤波器组、循环平稳分析、Wigner Hough等方法, 提出了一种FRFT与聚类分析相结合的方法。该方法对于单分量信号处理效果较为理想。当信号分量增多时, FRFT检测器的检测能力下降导致聚类很难实施。文献[7]提出了基于极大chirplet变换 ( MCT) 的FMCW信号检测方法, 可以用于处理STLFMCW信号; 但其处理过程较为繁琐、限制条件较多, 不太适于实际工程应用。文献[8]提出了周期Wigner Hough变换 ( PWHT) 的方法, 通过设计LFMCW匹配函数, 实现在非匹配接收条件下, 对LFMCW信号检测的最优处理; 但该方法计算量很大, 目前没有快速算法。同时, 该方法处理STLFMCW信号时, 由于信号自身函数发生变化, 已经不是最优处理。
针对STLFMCW信号的时频分布结构, 提出了FRFT循环处理 ( CFRFT ) 方法。通过分析STLFM-CW信号在FRFT循环域 ( CFRFD) 的分布特征, 推导STLFMCW信号在CFRFD的尖峰值、坐标位置和峰值处的信噪比公式。CFRFT对STLFMCW信号具有比FRFT更强的检测能力, 具有与周期WignerHough变换处理LFMCW信号时类似的处理效果, 计算流程简单, 可实现低信噪比条件下STLFMCW信号的检测。
1 分数阶傅里叶变换
分数傅里叶变换算子Fa通过实变量a将函数x变换为Xa= Fa ( x) , 定义可以表述为整体积分变换
式 ( 1) 中, a为FRFT的阶数, u为分数阶域 ( FR-FD) , 旋转角 α = a2π, 则FRFT变换核Ka ( u, t) 为
式 ( 2) 中,
Xa ( u) 的逆变换为
由式 ( 3) 可知, 信号x ( t) 可以分解为一组系数为Xa ( u) 的正交Chirp基K－ a ( u, t) 的线性组合。随着变换阶数a从0 连续增长到1, 展示出了信号从时域逐步变化到频域的所有特征。
分数阶傅里叶变换具有一些基本性质, 例如
(1) 线性变换
( 2) Parseval关系 ( 能量守恒定律)
(3) 旋转相加性
2 STLFMCW信号模型
STLFMCW信号的每个调制周期包含绝对值相等的正、负调频率两个LFM信号, 可表示为
式中A为幅度, fc为载频, B为调制带宽, T为调制周期, T = 2tm。本文以2 个调制周期的STLFMCW信号为例进行分析, 其时频分布如图1 所示。
在高斯白噪声背景下, 信号模型可以表示为
式中, w ( t) 是均值为0, 方差为 σ2w的复高斯白噪声, 信号的输入信噪比为SNRin=A2/ σ2w。
3 STLFMCW信号FRFT分析
国内外学者提出了很多种快速近似分数阶傅里叶变换算法［9—11］。实际应用中, 需要处理的是一组原始连续信号经采样后得到的离散观测数据。采用文献[11]提出的二相型算法, 精度高、计算速度更快。量纲归一化处理时, 采用文献[12]中的离散尺度化法。信号的FRFT可以理解为, 信号在以角在时频平面逆时针旋转后的分数阶傅里叶域 ( FRFD) 上的投影［13］。
单分量LFM信号s ( t) = s1 ( t) 在最佳旋转角的FRFD具有最好的能量聚集性。根据FRFT的性质2, 信号s ( t) 的能量在FRFD域坐标 ( a1, u1) 处聚集成尖峰, 如图2、图3 所示。参数设置: 信号载频fc= 10 MHz, 线性调频带宽B = 10MHz, 调制周期T = 8 μs, 采样频率fs= 80 MHz。
由文献[14]可知, 信号s ( t) 在FRFD域坐标 ( a1, u1) 处尖峰值为
式 ( 11) 中,
将式 ( 12) 代入式 ( 11) 中, 由于N ~ 1, 则有
S为归一化因子,
检测器的输出信噪比决定信号检测的性能。检测器在尖峰值处的信噪比定义为
当时, 则输出信噪比, 仅比匹配接收机的输出信噪比SNR=NSNRin低3 d B。4
STLFMCW信号, 根据FRFT性质1,
信号分量s1 ( t) 、s2 ( t) 、s3 ( t) 、s4 ( t) 在FRFD域形成4 个等幅度尖峰坐标分别为 ( a1, u1) 、 ( a2, u2) 、 ( a3, u3) 、 ( a4, u4) , 如图4、图5 所示。尖峰坐标存在以下关系:
可见, STLFMCW信号在阶数为频域附近全部重叠, 存在交叉项, 形成伪峰值, 降低了FRFT的检测性能。
4 STLFMCW信号FRFT循环处理
对于任意能量有限信号x ( t) , 0 ≤ t ≤ Td, 其FRFT循环处理 ( CFRFT) 定义式为
式 ( 22) 中, 为循环处理的周期,
假设STLFMCW信号调制周期数为, 根据FRFT性质2, STLFMCW信号在FRFD满足能量守恒。则易证: 当时, 信号的CFRFT在FRFT循环域 ( CFRFD) 坐标 ( as, us) 处形成尖峰, 即取得最大值
因此, 在CFRFD进行二维峰值搜索即可完成STLFMCW信号的检测与参数估计。由于高斯白噪声的相关函数为冲击函数, 其功率谱函数为常数, 导致高斯白噪声在FRFD接近平坦分布。因此, 信号的CFRFT各分量在做循环处理时, 其方差可以认为是线性叠加。则有, 信号尖峰 ( a1, u1) 坐标处的输出信噪比为
当时, 则输出信噪比, 仅比匹配接收机输出信噪比SNR=PNSNRin低3 d B, 可以看出, 随着STLFMCW信号分量的增加, 其FRFT循环处理检测器可以实现信号在FRFT循环域的准脉冲积累, 依然可以保持与FR-FT检测器对于LFM信号相类似的检测能力。STLFMCW信号的CFRFT如图6、图7所示。
可见, 通过FRFT循环处理, STLFMCW信号在CFRFD形成尖峰, 其检测过程与FRFT检测器相类似。
5 仿真验证
仿真参数条件设置: STLFMCW信号包含2 个调制周期, 调制周期T = 8 μs, 信号载频fc= 10MHz, 线性调频带宽B = 10 MHz, 采样频率fs= 80MHz。利用Monte Carlo方法进行1 000 次计算机仿真实验, 比较FRFT检测器与CFRFT检测器的性能, 获得仿真实验结果。
接收机特性曲线 ( ROC) 可以直观反映接收机的性能。两种检测器的ROC曲线如图8 所示。横轴Pfa代表虚警概率, 纵轴Pd代表检测概率。通过图8 可以看出, SNRin= - 15 d B时信号的CFRFT检测器ROC曲线明显优于SNRin= - 12 d B时信号的FRFT检测器。SNRin= - 18 d B时CFRFT检测器ROC曲线略差于SNRin= - 12 d B时信号的FRFT检测器, 此时, 两种检测器的性能都变得较差, 很难实现信号的有效检测。仿真结果与理论推导相接近。
6 结束语