牛顿插值

2024-10-16

牛顿插值（精选3篇）

牛顿插值篇1

粉磨系统经常使用某个给定的百分量通过粒径作为生产调控依据, 如:用80%通过的原料入磨粒径 (D80或d80) 来设置磨机的仓长、仓数以及研磨体球径配比, 用95%通过的成品粒径 (D95或d95) 来分析粉磨、分级效率, 评价产品的粒度特性等;一些试验标准和理论公式也常用此来规范数据和方法, 如JC/T734—2005、Bond功指数均设定F80为原料粒径, P80为成品粒径。上述D (d) 、F、P是区别于原料对象的指代符号, 而下标百分数则是粒径取值的基准, 一般按生产需要加以设定。为便于表述, 本文借用Dx表示。

但这个Dx粒径, 无论水筛、干筛、负压筛或是激光粒度仪, 其检测结果往往并不能恰到好处的反映出设定值, 需要通过适当的方式求解产生。以前最常见的求解方法是, 采用粒度方程式对筛析数据进行求值作logx-loglog (100/R) 坐标直线, 其相交于直线的纵坐标累计筛余百分数所对应的横坐标粒径, 即为该Dx的解, 其绘制对数坐标的过程比较麻烦。如果借助牛顿插值法原理进行计算, 则可以省略作图过程, 只需对相关筛析数据进行简单计算即可求得所需的Dx解, 计算简捷方便。

1 logx-loglog (100/R) 坐标求解

logx-loglog (100/R) 坐标通常根据RRS、RRB、GGS等粒度特性方程式绘制, 本文用常用的RRS粒度特性方程式。

式中:

R———累计筛余, %;

x———粒径或筛孔直径, μm;

b———物料细度系数;

n———均匀性系数;

e———自然对数的底, e=2.718 28。

将式 (1) 两次取对数, 即:

表明在这个logx-loglog (100/R) 对数坐标系中, 所测粒度分布呈一直线规律, 其相交于直线的纵坐标筛余百分数与横坐标粒径, 即为该百分数通过的粒径, 表示为Dx粒径。资料[1]根据表1筛析数据绘制的logx-loglog (100/R) 坐标见图1。

由图1可查得, 对应于累计筛余20%即80%通过的粒径大致为D80=140μm, 累计筛余50%即50%通过的粒径约为D50=62μm, 位于纵坐标100/e=36.8%处的特征粒径约为90μm, 按此可查得直线上任意Dx通过粒径。此外, 取直线上间隔较远的两个测点分别对应的横纵坐标值x1、R1和x2、R2, 还可计算式 (1) 中的细度系数b和均匀性系数n:

上述表明, 用RRS式绘制logx-loglog (100/R) 坐标, 求解比较直观, 用直线上任意点的坐标值表示Dx粒径都可以一览无遗。类似的RRB、GGS等粒度特性方程式都具有这一效果特征, 只是数学表达方式和切入点不同, R=100/e的特征粒径即按RRB式推导所得, 而GGS式则对较细的粉体才形成直线规律。但这种按图查值的方法, 由于受坐标刻度宽度的影响, 对于某些处在刻度之间的值将偏于近似, 而且这类logx-loglog (100/R) 坐标系, 用计算机生成似乎相当麻烦, 即使手工绘制所需的对数坐标纸, 现在也一纸难求。本文借此抛砖引玉, 希望有关方法见诸报道。

2 插值法求解

与粒度方程式求解过程相比, 运用牛顿插值法 (Newton Interpolation) 显得简单得多, 只需按设定的Dx, 从筛析数据链中提取两个关联测点的数据进行计算, 即可得到Dx。牛顿插值公式的性质之一可简述为:对称性的差商可以表示为函数值的线性组合。根据这一性质, 取两个对称插值点的差商, 即可对一组筛析数据进行插值计算。具体方法是: (1) 确定Dx用筛余表示为R100-x, 如D80的筛余R100-80=20%; (2) 选择插值点。以累计筛余R介于R100-x之间两个相邻的筛孔直径x1、x2为插值点, 分别与x1、x2对应的累计筛余为R1、R2, 则差商k= (x1-x2) / (R2-R1) ; (3) 建立插值关系式。由此可知, 插点x1比所求的Dx粒径大k (R100-xR1) , x2则较之小k (R2-R100-x) , 利用这两个关系式可得:Dx=x1-k (R100-x-R1) 或Dx=x2+k (R2-R100-x) 。

以表1数据求解D80通过粒径为例, 其累计筛余R100-80=20%两个相邻插值点为R1=16.6%、R2=29.6%, 与之对称的筛孔直径分别为x1=150μm、x2=100μm, 则k= (150-100) / (29.6-16.6) =3.846, 则D80=150-3.846× (20-16.6) =136.9μm。故:表1粒度分布的D80=136.9μm。从图1虚线可看出, 两种方法得到的结果相同。

同样, 引入相应的数据, 可以在筛析范围内计算出任意Dx通过粒径及其有关的特征粒径、细度系数b、均匀性系数n等参数。表1中, D95=258.1μm、D50=62.0μm、D20=20.3μm, 100/e=36.8%, 即D63.2特征粒径为86.3μm。上述计算结果由于不受坐标刻度的宽度影响, 因而精确性更好。

在原料筛析过程中, 只要按不同筛孔直径逐级排列进行筛分, 都可用插值法对筛析结果进行快捷计算。激光粒度仪检测成品粒度, 一般只提供D50中位粒径和D10和D902个极端粒径, 若求其他Dx粒径也可用此方法计算。用某厂挤压粉磨系统实测的水泥成品D50和D90数据进行测定和计算对比表明, 两者误差仅1.76%、0.85%, 见表2。

3 结束语

用插值法求解, 不需计算机或坐标纸生成直线坐标, 其计算过程简单快捷, 生产应用极为方便。需要注意的是, 无论何种方法, 如果其设定的筛孔直径x改变, 必然引起筛余量R改变, 当改变发生于x1或x2两个插值点时, 将影响计算结果, 且随x改变幅度增大影响越大。仍以表1粒度分布为例, 前述的x1=150μm、x2=100μm, D80=136.9μm, 假设由于100μm筛不配套等原因, 将其改用x2=74μm筛, 则D80=140.3μm;而x2=52μm时, D80=141.5μm。虽然筛孔直径x成倍数减小所影响的D80粒径相对微弱, 差率只在2.5%～3.3%之间, 但并非仅限于这个范围。由此可见, 用作颗粒群粒度分布特性的分析, 测点不宜过少, 筛孔直径间隔不宜太大。笔者之见, 用水筛、干筛、负压筛进行筛分析, 相邻两筛的孔径之比不宜超过1.5;而粉磨成品采用的激光粒度检测, 其测点多, 量程宽, 因而更具有计算的准确性。

参考文献

[1]戴少生, 廖中同, 黄有丰, 等.粉体工程及设备[M].北京:中国建材工业出版社, 1994.

牛顿插值篇2

对建筑物进行沉降监测的目的不仅仅是观测其在工程时刻的沉降值, 更为重要的是根据已观测的量值, 通过建立一定的模型来预测其在未来某一时刻的可能沉降值, 进而分析其安全性, 将可能的损失消除在萌芽状态或最大限度地减轻损失[1]。引起建筑物沉降的因素包括基础设计形式、上部荷载、场地工程地质和水文地质条件、基建施工质量等, 包含大量灰色信息, 把受各种因素影响的沉降量视为在一定范围内变化的与时间有关的灰色量, 从其自身的数据列中挖掘有用信息, 建立GM (1, 1) 模型来寻找和揭示建筑物沉降的潜在规律, 对建筑物沉降量做出预测, 是沉降监测有效的途径[2]。

由于GM (1, 1) 预测建模要求采用的数据间隔为等时距的, 而实际工程中的监测数据通常并不是按时间间隔相等进行测量, 所以把不等时间间隔观测所得数据转化为可以在灰色理论中应用的相等时间间隔的拟合数据是利用GM (1, 1) 建模的前提, 实际工程中通常采用线性插值法得到一系列符合要求的等时距数据, 然后利用GM (1, 1) 模型进行预测[3,4,5,6]。线性插值方法虽然简单, 但当所给时间间隔较大的时候, 简单的线性插值会造成模型的失真, 而影响模型的稳定性, 鉴于这种情况, 本文采用牛顿插值法构造等时距数据, 然后采用GM (1, 1) 模型进行预测, 极大提高了预测精度。

1 模型建立

1.1 模型的基本原理

对于原始的非等间隔的观测时间构成的时间序列t= (t1, t2, …tn) , 及其所对应的累计沉降观测值f (t) = (f (t1) , f (t2) , …f (tn) ) , 利用牛顿插值法构造插值多项式, 具体步骤如下:

首先计算函数的各阶均差, 函数f (t) 在ti点的零阶均差为:

$f [t_{i}] = f [t_{i}] (1)$

函数f (t) 在ti及tj点的一阶均差为:

$f [t_{i}, t_{j}] = \frac{f [t_{i}] - f [t_{j}]}{t_{i} - t_{j}} (2)$

函数f (t) 在ti, t2, t3, …, tn点处的n阶均差为:

$f [t_{i}, \dots t_{n}] = \frac{f [t_{2}, \dots, t_{n - 1}] - f [t_{2}, \dots, t_{n}]}{t_{1} - t_{n}} (3)$

带入牛顿插值多项式:

$\begin{array}{l} Ν_{n} (t) = f (t_{1}) + (t - t_{1}) f [t_{1}, t_{2}] + \dots + \\ (t - t_{1}) (t - t_{2}) \dots (t - t_{n - 1}) \\ f [t_{1}, t_{2} ‚ \dots ‚ t_{n}] (4) \end{array}$

在插值计算中, 当次数较高时, 数值常常不稳定, 可以采用分段插值的办法, 以提高插值的准确性[7]。构造出插值多项式后, 根据原始时间序列t的取值, 将其分成等间隔的时间序列t (1) = (t $_{1}^{(1)}$ , t $_{2}^{(1)}$ , …, t $_{m}^{(1)}$ ) , 其中, m的取值应该等于n或者在n值附近, t $_{m}^{(1)}$ -t $_{m - 1}^{(1)}$ =Δt, 将等间距时间序列t (1) 带入牛顿插值公式, 即得到等时距的拟合沉降观测数据序列Nm (t (1) ) :

$Ν_{m} (t^{(1)}) = (Ν (t_{1}^{(1)}), Ν (t_{2}^{(1)}), \dots, Ν (t_{m}^{(1)})) (5)$

为了使最终的预测模型可以直接用于非等时距的时间序列, 这里与普通GM (1, 1) 模型相反, 对 (5) 式进行累减处理, 得到数据序列N $_{m}^{(0)}$ (t) :

$\begin{array}{l} Ν_{m}^{(0)} (t^{(1)}) \\ = (Ν^{(0)} (t_{1}^{(1)}), Ν^{(0)} (t_{2}^{(1)}), \dots Ν^{(0)} (t_{m}^{(1)})) (6) \end{array}$

作Nm (t (1) ) 的紧邻均值生成系列:Z (1) = (Z (1) (2) , Z (1) (3) , …, Z (1) (m) ) , 其中

$\begin{array}{l} Ζ^{(1)} (k) = \frac{1}{2} (Ν (t_{k}^{(1)}) + Ν (t_{k - 1}^{(1)})), \\ k = 2, 3, \dots, m (7) \end{array}$

构造GM (1, 1) 的微分形式方程, 并求微分方程系数a、b, 公式如下:

$\begin{array}{l} \frac{d Ν_{m} (t^{(1)})}{d t} + a Ν_{m} (t^{(1)}) = b \\ \hat{a} = \hat{a} = [a, b]^{Τ} = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y (8) \end{array}$

其中:

$Y = [\begin{array}{l} Ν^{(0)} (t_{2}^{(1)}) \\ Ν^{(0)} (t_{3}^{(1)}) \\ ⋮ \\ Ν^{(0)} (t_{m}^{(1)}) \end{array}], B = [\begin{matrix} - Ζ^{(1)} (2) & 1 \\ - Ζ^{(1)} (3) & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ - Ζ^{(1)} (m) & 1 \end{matrix}] (9)$

将 (8) 解出的系数a、b代入式 (10) 的时间响应式, 解出Nm (t) 的模拟值,

$\begin{array}{l} Ν_{m} (\hat{t}_{1}^{(1)} + k Δ t) = (Ν^{(0)} (t_{1}^{(1)}) - \frac{b}{a}) e^{- a k} + \frac{b}{a}; \\ k = 1, 2, \dots p (10) \end{array}$

(10) 式为等时距的沉降预测模拟的指数方程, 要将其转换为非等时距的沉降预测模拟方程, 采用 (11) 式, 带入t的值即可,

$\hat{f} (t) = (Ν^{(0)} (t_{1}^{(1)}) - \frac{b}{a}) e^{- a t / Δ t} + \frac{b}{a} (11)$

1.2 模型的精度检验

对于最终预测结果的精度检验, 有多种不同的方法, 分别反映了预测数据的某一方面的特性。本文采用平均相对误差和后验差检验两种方法对模型的最终预测结果进行检验。

设在原始的非等间隔时间序列t= (t1, t2, …, tn) 得到的原始观测序列为:

$f (t) = (f (t_{1}), f (t_{2}), \dots f (t_{n}))$

相应的通过模型计算出的模拟序列为:

$\hat{f} (t) = (\hat{f} (t_{1}), \hat{f} (t_{2}), \dots, \hat{f} (t_{n})$

则平均相对误差计算公式如式 (12) 所示,

$Μ R E = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{| f (t_{k}) - \hat{f} (t_{k}) |}{f (t_{k})} (12)$

后验差方法一般是按后验差比值C和小误差概率P两个指标综合评定预测模型的精度, 其具体步骤如下:

首先, 计算残差的绝对值序列e (ti) , 其计算公式如 (13) 所示:

$e (t_{i}) = | f (t_{i}) - \hat{f} (t_{i}) | (i = 1, 2, \dots, n) (13)$

计算出残差后, 接下来分别计算原始数据序列f (t) 的均方差S1和残差绝对值序列e (ti) 的均方差S2, 其计算公式分别如式 (14) 和 (15) 所示,

$\begin{array}{l} S_{1} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (f (t_{i}) - \bar{f (t))}^{2}}{n - 1}}, (14) \\ 其中 ‚ \bar{f (t)} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (f (t_{i})) \\ S_{2} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (e (t_{i}) - \bar{e (t))}^{2}}{n - 1}}, (15) \\ 其中 ‚ \bar{e (t)} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (e (t_{i})) \end{array}$

计算出S1和S2后, 即可计算出后验差比值C,

$C = S_{2} / S_{1} (16)$

最后计算小误差概率p,

$Ρ = {| e (t_{i}) - \bar{e (t)} | < 0.6745 S_{1}} (17)$

若C和P均在规定的范围内, 则可认为所建立的模型精度符合要求, 可以进行预测。否则, 要对残差进行修正, 直到精度符合要求为止。一般地, 将模型的精度分为4级, 分级标准及相应的C与P值见表1。

一个好预测模型, C值越小越好, 一般要求C<0.35, 最大不超过0.65。小误差概率P >0.95, 不得小于0.7。若有一指标在高等级区间, 另一指标在低等级区间, 其预测精度为低等级。

1.3 模型的程序设计

依据以上所述模型的基本原理, 采用C#编程语言开发了该模型, 为了增强模型的可移植性以及方便与其它信息系统集成, 将该模型的核心功能都封装成类文件, 方便客户程序调用。其中难点是公式 (8) 的编程实现, 在本模型中, 设计了一个MatrixClass.cs类文件, 该类主要负责矩阵的创建、矩阵求逆、矩阵转置以及矩阵乘法运算, 以满足公式 (8) 的计算要求。其中调用矩阵类进行计算的核心代码如下:

在上述代码中, 矩阵类的Transpos () 方法Invers () 方法主要是对矩阵求转置和求逆, 它们被封装在MatrixClass矩阵类中, 其中矩阵类中求转置代码如下:

2 工程应用及分析

为检验上述模型在实际工程应用中的可行性, 笔者采用苏州园区新苏村高层动迁小区某建筑物的某沉降观测点6次观测数据作为实验数据, 对该模型进行了验证。观测点实际观测的沉降数据如表2所示。

由表2可以看出, 此观测点观测数据序列为典型的非等时距数据, 取前5次作为牛顿插值数据, 最后1次作为检验数据, 利用编制的模型, 进行检验。由于前5次累积时间间隔为39天, 这里时间间隔Δt分别取8天、9天和10天, 利用牛顿插值进行插值计算, 图1为Δt=8时模型牛顿插值计算界面。

在图1中, 通过输入插值时间值, 可以方便计算出插值结果, 然后将插值结果录入GM (1, 1) 预测的数据序列栏中, 进行预测, 预测等时距的序列预测, 求出参数a、b的值, 然后调用 (11) 式, 转换成非等时距的插值公式, 输入任意时间点, 即可进行非等时距预测, Δt=8时预测界面如图2所示。

通过上述方法, 计算Δt分别为8、9、10的非等距预测结果如表3所示。

对表3中的预测结果进行精度检验, 检验结果如表4所示。

由表4可以看出, 利用牛顿插值将非等时距沉降监测数据转换成拟合的等时距沉降监测数据, 进而建立灰色预测模型, 不同的Δt取值对预测结果会有一定影响, 通过调节Δt的取值, 能够提高模型的预测精度, 可以很容易看出Δt=9时模型精度最佳。在实际工程应用中, 首先确定插值范围和插值点个数, 然后在插值点个数确定的情况下利用Δt去逐次逼近插值的上限, 从而确定出最佳的Δt取值。在表4中, 对Δt依次用三种取值去逼近插值上限, 所得到的平均相对误差均在2%之内, 单项平均相对误差不超过10%, 且后验差检验均在一级精度之内, 说明牛顿插值法的灰色预测模型对于非等时距的沉降数据预测有相当高的准确性, 能够应用于实际的工程实践中。同时, 由于本模型已通过程序实现, 具有良好的应用界面, 操作方便, 很容易与其它行业应用系统集成, 具有重要的推广价值。

3 结论

(1) GM (1, 1) 灰色预测模型仅需少量数据就能进行预测, 在变形监测中有广泛的应用。但实际工程应用中沉降观测数据往往是非等时距的, 不能直接应用GM (1, 1) 模型, 本文利用牛顿插值法将非等时距监测数据拟合成等时距监测数据, 然后利用灰色理论建立了预测模型, 最后的工程实践证明, 该模型具有很高的精度, 能够用于实际工程应用。

(2) 牛顿插值法能够通过调节时间间隔Δt而得到不同的插值序列, 从而建立不同的预测模型, 利用编程实现的模型能够比较不同预测模型的相关精度指标, 从而挑选最佳的插值方式, 比线性插值具有更好的灵活性。

(3) 该模型用于短期预测能够得到很高的精度, 而中长期预测则结果很难保证, 如果要预测未来较长时间内的沉降, 必须采用新增数据对模型加以修正, 在工程应用中必须对此采取高度重视。

参考文献

[1]李日云, 王利, 张双成.灰色预测模型在高层建筑物沉降预测中的应用研究[J].地球科学与环境学报[J], 2005, 27 (1) :84~88.

[2]陈伟清.灰色预测在建筑物沉降变形分析中的应用[J].测绘科学, 2005, 30 (5) :43~46.

[3]秦亚琼, 魏丽敏.不等时距GM (1, 1) 模型预测地基沉降研究[J].武汉理工大学学报 (交通科学与工程版) , 2008, 32 (1) :134~137.

[4]王珏.非等时距GM直接模型在软基沉降预测中的应用研究[J].路基工程报, 2007, (4) :21~23.

[5]郭建湖, 魏丽敏, 何群.灰色GM (1, 1) 模型预测沉降的局限性分析[J].铁道科学与工程学报, 2008, 5 (3) :54~60.

[6]吴清海.基于非等间距模型的建筑物沉降预测方法研究[J].测绘科学, 2008, 33 (3) :59~62.

牛顿插值篇3

凸轮机构在高速包装机械设备中应用广泛, 是一种不可缺少和替代的重要机构。一般情况下, 高速包装机械中凸轮工作廓线的设计多采用解析法, 这样既保证了凸轮的运动特性, 又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析, 因此这就使得在不同工况下, 凸轮设计的解析方程式往往是不相同的。这样虽然能保证凸轮的精度, 但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度, 因为只有建立新的解析方程式才能对凸轮进行修正, 尤其是只需对凸轮局部曲线进行修正时, 也要建立相应的解析方程, 这样就使曲线修正的工作量大增, 工作效率降低。本文利用牛顿插值法, 提出了一种简单、实用的凸轮工作廓线的修正设计方法, 这种方法不必再去考虑原有解析方程的形式, 只需通过对要进行修正的曲线附近的一些离散点的数据进行处理, 就能对现有凸轮工作廓线进行修正, 特别适合凸轮曲线在实际使用中的局部修正设计。

2插值原理

已知两个变量x、y之间的一个离散的函数关系式yi=f (xi) , i=0, 1, 2, …, n, 即给出一个数据表

找到一个函数φ (x) , 使φ (x) ≈f (x) , 而两个函数“近似”的标准可以是达到最小, 也可以是达到最小, 同时必须满足φi=f (xi) , i=0, 1, 2, …, n, 即在给定的点xi上, 两个函数值要完全相等。在这种意义下的“近似”, 就称为插值。

3牛顿插值法的定义

给出一个数据表

求一个n次多项式Pn (x) , 满足插值条件Pn (xi) =f (xi) , i=0, 1, 2, …, n。

由一阶差商的定义

得

再由二阶差商的定义

得

依此类推, 可得

将前n+1作为f (x) 的一个近似, 并记为Nn (x) , 则

这是一个n次多项式, 且满足插值条件Nn (xi) =f (xi) , i=0, 1, 2, …, n, 这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式。

而插值余项则为

显然, 牛顿插值多项式满足递推关系式:

4凸轮曲线修正设计举例

高速包装机上有一凸轮, 其工作廓线共有分A、B、C三段, 在实际的使用中发现A段和C段的行程符合设计要求, 而B段的行程须进行修正设计。

已知凸轮A段曲线数据, 如表1所示。

已知凸轮C段曲线数据, 如表2所示。

篇幅有限, 本文仅以xi=242, 243, 249, 250这4个点的数据用三次牛顿插值法求出B段xi=244, 245, …, 248的数据为例进行说明, 但这样的计算可能导致计算结果的误差较大。实际操作中应使用所有上述给出的数据点进行计算, 这样就能进行更高次的牛顿插值, 从而获得误差较小的计算结果。

首先, 对现有数据进行处理, 根据牛顿插值的定义做差商表, 如表3所示。

再根据牛顿插值法的定义, 用差商表中的数据进行计算:

以此方法算出B段曲线上其他点的数据, 结果见表4。

5结论

用牛顿插值法对凸轮进行修正设计是一种简单、实用的方法, 其优点为:这种方法只须借助凸轮上一些离散的点的数值就能对凸轮曲线进行修正设计, 同时掌握的数据越多, 就越能进行更高次的插值计算, 所得结果的误差也就越小。当然, 插值计算是一种在现有数值的基础上进行的一种估算, 因此牛顿插值只能对凸轮曲线进行局部的修正设计, 而不能对凸轮曲线进行整体设计。

摘要：利用牛顿插值法, 提出了一种简单、实用的凸轮工作廓线的修正设计方法, 只需通过对要进行修正的曲线附近的一些离散点的数据进行处理, 就能实现对凸轮的局部工作廓线进行修正。

关键词：凸轮,曲线,修正,牛顿插值法

参考文献

[1]陈基明.数值计算方法[M].上海:上海大学出版社, 2007.

[2]王慧武, 薛隆泉, 刘荣昌.基于样条函数的配气凸轮曲线设计[J].内燃机工程, 2005, 26 (1) :24-27.

[3]邵世权, 尚久浩, 曹西京.样条函数在凸轮曲线设计中的应用[J].机械科学与技术, 2003 (增刊) :135-136.

[4]黄民毅, 秦小屿, 黄恭彪.样条函数在凸轮机构设计中的应用[J].四川工业学院学报, 1999, 18 (3) :44-46.

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