并联运动学

2024-06-10

并联运动学（共8篇）

并联运动学篇1

摘要：运用空间几何学和矢量代数的方法建立了三自由度Delta型并联机器人机构的简化模型,求解得到并联机器人位置逆解方程,给出了正解的数值解法,结合算例验证了计算公式的正确性;设计了位置逆解的人机界面,通过数值计算,得到了并联机器人的工作空间。

关键词：Delta型机器人,运动学,逆解,工作空间

0 引言

并联机器人在运动学及动力学等方面与串联机器人相比呈现明显的对偶特性。并联机器人具有运动惯量小、刚度大、运动精度高等优点,与串联机器人在结构和性能方面形成互补关系。并联机构定义为运动平台与固定平台之间由两个或两个以上分支相连,机构具有两个或两个以上自由度,驱动器分布在不同的支路上且以并联方式驱动的机构［1］。

由于并联机器人的特殊结构形式,使得并联机器人比串联机器人具有了4 个主要优点。1) 并联机器人没有误差累计,运动精度高; 2) 驱动器靠近机座固定,运动惯量小; 3) 由于系统的构件以并联方式运动,并联机器人的结构刚度更大,并且系统中不存在悬臂梁式负载; 4) 并联机器人的运动学反解相对简单,有利于计算机实时控制。因此,并联机器人在需要高结构刚度、高精度、高运动速度和高可操作性的场合具有广泛的应用前景［2－3］。

并联机器人的运动位置正解问题迄今没有得到真正的解决,目前运动位置正解一般采用数值法,文中在逆解的基础上利用数值法实现正解。并联机器人的工作空间是机器人机构设计的重要指标,工作空间的推导过程十分复杂,设计了并联机器人的运动位置逆解的人机界面,通过数据的计算得到并联机器人的工作空间。

1Delta机器人机构等效运动学模型

图1 是试制的Delta并联机器人。该机器人主要由基础平台( 上平台) 、动平台( 下平台) 、3 个交流伺服电机、3根驱动杆、3 个平行四边形从动支链组成。交流伺服电机与驱动杆的一端固定连接,驱动杆的另一端通过转动副与平行四边形从动支链连接,从动支链由4 个球铰与杆件组成平行四边形闭环,此闭环通过2 个球铰与动平台连接。3 根驱动杆分别在3 个交流伺服电机的驱动下作一定角度的摆动,动平台在直角坐标空间沿x、y、z 3 个方向平移运动,即具有3 个自由度。从动支链的结构决定了动平台没有绕任何轴线旋转的运动特性。

图2 所示是Delta机器人机构等效运动学模型示意图。等边三角形B1B2B3、P1P2P3分别表示基础平台和动平台、支链BiAi( i=1,2,3) 表示驱动杆、支链AiPi( i = 1,2,3) 表示平行四边形从动支链。基础平台、动平台的几何中心到各自的顶点的距离分别为OBi= R、PPi= r( i = 1,2,3) 。基坐标系o-xyz固结于基础平台,坐标系P-x1y1z1固结于动平台。轴z和轴z1分别垂直于基础平台和动平台且向上,轴x和轴x1分别平行于基础平台和动平台的边B1B2与P1P2,轴y和轴y1分别垂直于基础平台和动平台的边B1B2与P1P2。角 θi( i= 1,2,3) 是驱动杆BiAi( i = 1,2,3) 相对基础平台的摆动角。

2 Delta机器人机构运动位置逆解

2. 1 逆解过程

如图3 所示是Delta机器人基础平台示意图,角 αi是OBi( i=1,2,3) 与轴x的夹角,基础平台中的点Bi( i = 1,2,3) 在基坐标系o-xyz中的位置矢量为:

同理,动平台中的点Pi( i= 1,2,3) 在坐标系P-x1y1z1中的位置矢量为:

式中: αi是PPi( i=1,2,3) 与轴x的夹角,。

设驱动杆BiAi的长度为L1,则点Ai在基坐标系o-xyz中的位置矢量为:

设动平台几何中心P在基坐标系o-xyz中的位置矢量为:

则动平台中的点Pi( i=1,2,3) 在基坐标系o-xyz中的位置矢量为:

设支链AiPi的长度为L2,则有:

即:

简化式( 7) ,得到:

式中: a=2L1z1;

由式( 8) 可以得到:

由式( 9) 可以得到:

所以有:

式( 10) 是Delta机器人逆运动位置解。

2. 2 实例分析

已知R=185 mm、r=65 mm、L1= 160 mm、L2= 550 mm。设动平台几何中心P在基坐标系o-xyz中的位置矢量为OP =[0 0 -500]T,单位( mm) 。由式( 10) 计算出的角θi如表1 所示。

设动平台几何中心P在基坐标系o-xyz中的位置矢量分别为OP =[0 20 -520]T、OP =[-17. 320 - 10 - 520]T和OP =[17. 320 -10 -520]T,单位( mm) 。由式( 10) 分别计算出的角 θi如表2、表3 和表4 所示。

OP =[0 0 -500]T表示动平台几何中心P在基坐标系o-xyz中的位置矢量x1= 0、y1= 0,Delta机器人在控制过程中,三个摆动角应该相等,与表1 中的结果 θ1= θ2=θ3相符。

将OP =[0 20 -520]T、OP =[-17. 320 -10 -520]T和OP =[17. 320 - 10 - 520]T分别投影到基础平台上,得到OE1、OE2和OE3的长度相等,如图4 所示。P在基坐标系o-xyz中的位置矢量x1= 0、y1= 20 时,摆动角 θ1和 θ2的角度应该相同的; P在基坐标系o-xyz中的位置矢量x1= -17. 320、y1= -10 时,摆动角 θ2和 θ3的角度应该相同的; P在基坐标系o-xyz中的位置矢量x1= 17. 320、y1= -10 时,摆动角 θ1和 θ3的角度应该相同的。表2、表3 和表4 中的数据给予了验证。

3 Delta机器人机构运动位置正解

Delta机器人机构运动位置正解是给定摆动角 θ1、θ2和 θ3的角度,求解动平台几何中心P在基坐标系o-xyz中的位置矢量［4］。利用式( 7) 可以得到P在基坐标系o-xyz中的位置矢量x1、y1、z1的方程组。表5 是分别输入式( 7) 的三组摆动角 θ1、θ2和 θ3的角度数值,表6 是利用式( 7) 解得的三组P在基坐标系o-xyz中的位置矢量x1、y1、z1的结果,与表2、表3 和表4 是相符的。

4 工作空间

机器人的工作空间反映了机器人的活动范围,是机器人机构设计的重要指标［5］。文中设计了运动位置逆解的人机界面,如图5 所示,在该界面中输入P在基坐标系o-xyz中的位置矢量x1、y1、z1的数值,可以计算出摆动角θ1、θ2和 θ3的角度数值。x1、y1、z1数值设置方法为: 将轴z和轴z1重合,调整基础平台和动平台的几何中心OP为最长,然后将OP分为若干等分即z1取不同的数值。当z1选取其中一个数值时,x1、y1从初值0 向正、负方向递增取值,然后由人机界面计算摆动角。

当设置的x1、y1的数值过大偏离了工作空间时,摆动角栏中会显示报错,如图5 的显示。为此,剔除与摆动角栏中显示报错有关的x1、y1、z1的数值后,可以得到表示并联机器人的工作空间。当z1取值由小变大,工作空间是平行于基础平台关于中心原点O呈球面三角对称空间,如图6 所示。工作空间关于y轴对称,由小变大,随着z1取值增大,工作空间又呈现逐渐减小的趋势。

5 结语

运用空间几何学和矢量代数的方法可以建立三自由度Delta型并联机器人机构的模型并得到并联机器人位置逆解方程,利用逆解方程进行数值法计算,可以实现机器人的正解。

利用运动位置逆解的人机界面计算P在基坐标系o-xyz中的位置矢量x1、y1、z1的数值,舍弃不合理数值,可以得到并联机器人机构的工作空间范围,精确的工作空间是需要通过实际的测试得到。

并联机构的研究篇2

关键词：并联机构少自由度发展现状存在问题发展方向

中图分类号：TP2文献标识码：A文章编号：1007-3973(2010)09-094-02

1、并联机构的研究意义

一个机构产生若干个分支后续机构，或者若干个分支机构汇合于一个后续机构的组合方式称为机构的并联组合。并联机构具有多个臂，各臂具有球窝接头。球窝包括：半球状凹部，其对球状头部的前端部到赤道的范围进行保持；延长部，其平滑地从该半球状凹部连续，并从球状头部的赤道向上述轴部侧延伸。

相对于串联结构来说，并联结构具有以下优点：

(1)I作空间较小；(2)运动惯性小：(3)与串联机构相比，刚度大，结构稳定紧凑，承载能力强；(4)无串联机器人那样的误差累积和放大，所以无累积误差，精度较高；(5)运动链较短，驱动装置可置于定平台(机架)上或接近项平台(机架)的位置，这样运动部分重量轻，速度高，惯性小，动态响应好；(6)完全对称的并联机构具有较好的各向同性。(7)在位置求解上，串联机构正解容易，反解困难，而并联机器人正解困难，反解容易。

因为并联机构在线实时计算时要求计算反解的，这对串联机构十分不利，而并联机构却容易实现，而且在需要高刚度、高精度或者大载荷而无须很大工作空间的领域那得到了很好的发挥，由于这一系列优点，因而扩大了整个机器人的应运行业。

2、国内外并联机构研究的现状与存在的问题

2.1现状

1931年，Gwinneu在其专利中提出了一种基于球面并联机构的娱乐装置；然后Gough在1962年发明了一种基于并联机构的六自由度轮胎检测装置：1965年，德国Stewar首次对Gough发明的这种机构进行了机构学意义上的研究，被命名为Sewart机构。1978在澳大利亚著名机构学教授Hunt 1978年首次提出将六自由度并联机构用于机器人手臂。紧随其后Pham.D.J和MaccaIlion第一次将该机构按操作器设计，成功的将Stewart机构用于装配生产线。标志着真正意义上的并联机器人的诞生，推动了并联机器人的发展，

并联机构由最初的Stewart平台不断发展，到今天已形成了一个庞大的体系。从三，四，五自由度的机器人一直到现在到六自由度的机构，因为很多实际操作任务不需要空间全部六自由度的，而用少自由度的会更便宜，更方便，基于少自由度并联机器人具有的，机构简单，自由度少，应用广泛，类型更多，经济，有巨大的市场需求等优点，它呈现出了很大的前景。

2.2关于少自由度的研究主要有

2.2.1三自由度

像在1983年，Hunt提出的三自由度并联平台机构，它能实现两个自由度的转动和一个自由度的移动，而得到大家的看好，这里S表示球面副，R表示转动副，P表示移动副，Angeles与Gosselin提出了平面和球面三自由度并联机器人，Gosselin等对一种新型的三自由度并联机构的设计和动力学平衡进行了研究；Clavel提出了并联式三自由度移动DELTA机器人：Badeseu研究了3－UPS并联平台机构工作空间的优化问题，Herve在1991年综合出多种有四自由度分支构成的对称三维移动机构；在国内，在1995年，黄真教授在IEEE会议上提出了一种三自由度立方形并联机器人机构，于1996年又提出了数种新型的三自由度角台结构，再1999年，他提出了一种新型的空间三维移动机构－空间3－RRC并联机构，给出了位置反解公式和正解的八次方程

2.2.2四自由度

在1999年,Rolland年提出两种用于物料搬运的四自由度并联机构：Manta与Kamuk。以上两种四自由度并联机构的共同之处是：在于分支中都含有球面四杆机构，以上约束动平台不需要的转动自由度。而我国，在2000年，黄真和赵铁石综合处第一种对称的四自由度4-URU并联机构，可实现三个移动自由度和一个绕z轴的转动自由度。在2001年，Gosselin与Zlatanov提出了一种对称的四自由度并联机构，具有三个转动自由度和一个沿z轴的移动自由度。而且在2001年，金琼等也提出了一些可实现两个转动自由度和两个移动自由度的非对称并联机构。

2.2.3五自由度

在1999年,Park与Lee年提出一种机构复杂的双层五自由度并联机构；ustad提出一种基于两个并联机构的五自由度混合型结构；在2001年，Jin综合出具有三个移动自由度和两个转动自由度的非对称五自由度并联机构；在国内，高峰与2002年通过给六自由度并联机构添加一个五自由度约束分支的方法，综合出两种五自由度并联机构，

2.3存在的问题

最早的研究主要集中在对六自由度的研究上，并联机构的研究已有80的历史了，直到上世纪80年代后，学者开始研究少自由度并联机构，提出了一些新的并联机构构型，从而使并联机构市场化程度得以加大。

现在，国内外关于并联机构的研究主要在动力学，控制动力方面，机构学，运动学，近十年来，从大量关于并联机构研究的文献上可以看出，关于并联机构的研究取得了很大的进步，但大量的研究工作需要进展，主要有以下几个方面：(1)加强并联机构的动力学研究，(2)加强球面并联机构，少自由度机构的研究，尤其是解耦机构的研究，满足市场的实际需要，(3)进一步加强串并联机器人的研究，充分利用串并联机构的优点，实现功能强，特性好，类型广的新型机器人，(4)加强位置正解的研究，使位置正解更加简单，寻求简化精度补偿，工作空间，和奇异外形的方法，(5)进一步研究并联机器人机构的型数综合，需求结构更加合理，适合不同用途的并联机构，使并联机构的运动学和动力学数学模型变得简单，同时考虑深入研究多种约束条件的并联机构优化设计方法。

3、并联机构的展望

基于模块化，开放性的设计思想，在VisualC++6.0下，基于OpenGL开发了具有Windows界面支持的并联机构运动仿真平台，并开发了相应仿真分析软件。结合并联机构结构形式多样化的特点，建立了零件库和并联机构库模块。用户通过调用零件库中已经建立的零件模型，构建并联机构库中的机构。用户也可以通过智能化人机界面，对并联机构的结构参数进行选择和修改。

纳／微米并联微操作机器人技术是综合纳，微米技术和并联机器人技术迅速发展而形成的新研究方向，涉及计算机、自动控制、机器人、精密测量，精密机械等多学科领域。广泛应用于生物医学领域中的微电子装配、精细外科手术、光纤对接微细加工、细胞与基因操作等领域，通过对当前国内外并联微操作机器人的研究状况、产品化应用以及实际应用等方面的发展态势进行详细地回顾，总结纳，微米级并联微操作机器人这一研究方向在柔性铰链设计、运动解耦性、理论分析、承载能力、新材料、驱动，工作空间、实时标定与测量等方面存在的问题，并提出改进意见，以期对该领域未来的创新设计以及发展研究产生一定的核心作用

近年来并联机器人已成为机器人领域研究的热点之一。由于其具有控制复杂，不确定性、高度非线性等特点，理论研究还处在发展阶段，控制精度和实时性都有待提高。而智能控制是一个新兴的学科，是控制领域发展的高级阶段。将智能控制引入并联机器人有助于提高并联机器人的控制性能。总结了智能控制中的模糊控制、神经网络控制以及集成智能控制在并联机器人领域的应用现状，并指出了未来发展方向。

参考文献：

[1]李强，闰洪波，张桂霞，并联机床发展的历史、研究现状与展望[J]，机床电器,2006年03期，

[2]李金泉，丁洪生，付铁，庞思勤；并联机床的历史、现状及展望[J]机床与液压,2003年03期，

[3]储开宇，21世纪新式数控机床——虚拟轴机床[J]，机械工程师,2004年08期

[4]陶学恒，马丽敏，刘彤宴，刘文华，五轴联动并联机床的三维实体建模及运动仿真[J]，机械工程师；2005年09期，

[5]罗建国，一种新型并联机床结构形式[J]，机电工程技术,2003年06期

[6]赵亮；郭建烨；蔡光起，一种3-TPS(RRR)型并联机床伸缩杆的设计[J]，机械制造,2006年03期

[7]储开宇，发展中的新武制造业加工装备-并联机床[J]，煤矿机械,2004年08期

并联运动学篇3

并联机构的研究从提出, 一直是一个研究热点, 比较著名的有Stewart机构, Stewart机构是用作飞行器仿真器的六自由度的并联机构[3]。在国内, 燕山大学黄真教授等于1991 年研制出了我国第一台6 自由度并联机器人[4]。3 自由度并联机器人是少自由度并联机器人研究的主要对象, 在现有的3 自由度并联机器人中, 有著名的DELTA和STAR并联机器人, 3-RPS并联机器人等。

本文提出的3-RSS-1-S并联机构结构简单对称, 刚度大, 且分支中不含移动副, 便于使用维护。该并联机构具备提供纯转动、运动学较简单、可直观预测动平台运动等特点, 本文在分析其自由度性质的基础上, 建立并求解其位姿矩阵方程, 设计出了约束其三条运动支链曲柄相对基座转角的运动学逆解模型;同时给出了针对该机构的运动学正解方程, 为推动此类机构的应用起到了重要作用。

1 机构描述

如图1 所示。该并联机构可称为3-RSS-1-S并联机构 (S代表球铰, R代表转动副) , 它由3 个对称分布的支链和通过机构中心的摆杆构成。A1, A2, A3构成此机构的静平台, 并且绕O点均匀分布, 各点和O点连线, 相互夹角为120°;B1, B2, B3构成动平台, 其分布情况和静平台相同; (A1, C1, B1) , (A2, C2, B2) , (A3, C3, B3) 三组支链分别与动平台和静平台相连, 三组支链长度, 材料完全相同;机构中间摆杆和动平台固连。图1 中, A1, A2, A3点用转动副连接, 其他O, B1, B2, B3, C1, C2, C3各点用球铰链连接。

2 自由度分析

3-RSS-1-S并联机构的自由度可以通过空间机构的自由度计算公式求解[5]。在三维空间中, 如果有n个完全不受约束的构件, 任选其中一个作为参照物, 每个物体都有6 个自由度, 则n个物体相对参照物共有6 (n-1) 个运动自由度;若将以上构件用运动副连接起来, 则他们每个构件就有不同的约束数。所有的运动自由度减去所有的约束数, 就能得到所求空间机构的自由度。

式中:n为构件的个数;ui为各运动副的约束数目; F0为总的自由度数;M为冗余自由度。由图1 得:该机构有3 个转动副, 有7 个球铰, 由于BiCi (i=1, 2, 3) 两端都是球铰, BiCi杆各有一个绕自身转动的冗余自由度, n = 8 , F0= 6 × (8 - 1) - (3 × 5 + 7 × 3) - 3 = 3 。

综上所述, 该机构具有3 个空间自由度, 分别是绕x轴转动, 绕y轴转动, 绕z轴转动。

3 运动学正反解分析

首先建立静坐标系xyz和动坐标系x′y′z′, 由于动平台绕静平台在几何中心O点转动, 为计算方便, 将动坐标系建立在静平台上, 与静坐标系重合, 如图3所示。过静平台几何中心O点和A3点的方向设为x轴的正方向, 过静平台几何中心O点指向动平台几何中心O′点的方向设为z轴的正方向, 根据右手法则确定y轴的正方向。

3.1 运动学反解

设静平台O点到Ai点的距离为R, 动平台O′点到Bi点的距离为r, 动平台中心到静平台中心的距离OO′为h, BiCi杆的长度为Lbc, AiCi杆的长度为Lac。分别可以得到Ai点相对静坐标系的位置坐标, Bi点相对于动坐标系的位置坐标。

AiCi杆在确定平面内转动, 设初始位置AiCi杆和静平台夹角为 θi, 可得到Ci点相对于静坐标系的位置坐标。

通过齐次变换矩阵来描述Bi相对静坐标系的空间位置[6]。然后依次变换可最终推导出末端执行器相对于基坐标系的位姿, 从而建立机器人的运动学方程:

式中:R (x, α) 为动坐标系相对固定坐标系x轴旋转 α 角的旋转矩阵;R (y, β) 为动坐标系相对固定坐标系y轴旋转 β 角的旋转矩阵;R (z, γ) 为动坐标系相对固定坐标系z轴旋转 γ 角的旋转矩阵。则动平台在空间中的姿态Rot表示为:

对于并联机构动平台来说, 每一个位置对应一组确定的 α, β, γ , 故用齐次变换矩阵的方法能表示动平台的运动姿态。由此得到动平台上各点相对静坐标系的位置坐标:

由于BiCi为初始杆长, 不发生变化, 且AiCi杆和静平台的夹角 θi, 则

结合式 (8) 建立方程并化简为:

对于已知定平台姿态 (α, β, γ) , 则式 (9) 可求出3 个驱动支链各曲柄相对基座旋转的角度。

3.2 运动学正解

并联机构的运动学正解一般较其反解要困难得多, 特别是当运动链增加时, 并联机构的运动学正解很难得到封闭解, 这往往会给并联机构的进一步研究带来困难。

由于知道3 个驱动支链各曲柄相对基座旋转的角度, 可得动平台Ci点的坐标, 由式 (4) 可得:

由式 (5) , 式 (6) 可得:

式中:α , β , γ 为正解所要求的未知变量。

由式 (3) 、式 (7) 得到Bi′ 各位置点的坐标如下:

将式 (10) 、式 (12) 代入式 (8) 可得式 (13) ~式 (15) 三个方程:

共有9 个未知数, 再补充6 个约束方程:

由式 (13) ~ 式 (16) 可以最终求解式 (11) 中的未知量。

4 反解控制算法与实例计算

针对式 (8) , 由于sin θ (或者cos θ ) 的周期是2π , 在一个周期内, sin θ (或者cos θ) 可以出现2 次相同值, 所以方程就可能出现2 个相同的解, 或者2 个不同的解, 则反解能得到2 组不同的解。

对于机构而言, 一个解就是一个运动状态, 考虑到实际控制中输入惟一性, 需对方程的根进行选择。常用的方法就是限制机构的运行范围, 设置机械限位, 在两个限位之间的空间内运动, 能满足实际需要的运动状态。在方程的求解中, 常用的方法主要有数值法和解析法[7], 在数值法求解中, 选择合适的求解方法, 对于方程的收敛速度有很大的影响。

本文选择用Newton迭代法计算求解, 计算该并联机构运行空间中其中一个位置流程图, 如图4 所示。

结合表1 所给系数, 应用Newton迭代法算法求解, 当绕z轴不发生转动 (γ = 0) 时, 给定一组确定的角度α 、β 时, 所求的各曲柄的转角 (即电机的转角) 见表2。

(°)

5 结语

本文针对3-RSS-1-S这一新构型, 分析其自由度, 该机构能实现直角坐标内绕三个轴的转动, 并建立其运动学逆解数学模型。应用齐次变换矩阵的方法来描述空间坐标下点的位置, 研究该机构的正反解方法, 这种算法所建立方程的复杂度低, 计算效率高。同时针对一个给定几何参数的3-RSS-1-S并联机构, 进行逆解的求解运算分析。通过实例计算表明:本文所建立算法方程能快速、准确的计算出各曲柄相对基座的转角;由实例分析所得数据可看出, 随着执行机构目标位置的变化, 能实时求解出个各曲柄相对基座转角, 且当2个曲柄转角增大时, 第3个曲柄转角一定减小, 符合实际的运动规律。

参考文献

[1]黄真, 孔令富, 方跃法.并联机器人机构学理论及控制[M].北京:机械工业出版社, 1997.

[2]张宏涛.3-3UPSIS并联机器人运动学分析与仿真[D].无锡:江南大学, 2008.

[3]李琨杰.3-PRS并联结构主轴运动学研究与仿真[D].太原:太原理工大学, 2007.

[4]周国义, 谢明红, 孙友生, 等.6自由度解耦机器人运动学逆解优化的研究[J].机电产品开发与创新, 2009, 22 (5) :21-23.

[5]李禽, 黄茂林, 黄勇刚.基于Matlab的并联机床逆解可视化仿真[J].机械设计与研究, 2006 (z1) :202-204.

[6]张帆.并联机构特性分析与综合研究[D].上海:东华大学, 2008.

[7]陈文家, 陈书宏.一种四自由度并联机构及其运动学建模[J].机械设计, 2001 (11) :6-8.

并联运动学篇4

近年来, 国内外已提出多种实现3T1R (三平移一旋转) 的四自由度并联机构。Pierrot等[1]提出了含球面子链的3T1R四自由度H4并联机构, Rolland[2]提出了两种含球面子链的3T1R并联机构。赵铁石等[3]提出了分支中不含闭环子链的3T1R对称四自由度4-TRT、4-UPU并联机构, 金琼等[4]、杨廷力[5]提出了一系列可实现3T1R的并联机构, 黄真等[6]、李秦川[7]陆续提出了3-RRUR、4-RRRU、4-RPUR型3T1R并联机构, 刘剑敏等[8]也综合出了一些3T1R的四自由度并联机构。这些机构各有特点, 其中不乏性能优良的机构, 然而这些并联机构实现的几乎都是动平台绕垂直于基平台平面的轴线 (Z轴) 转动和三维平移, 而实现动平台绕平行于基平台平面的轴线 (X或Y轴) 转动与三维平移的并联机构至今寥寥无几。

本文以RPTR支链为基础设计了一种能实现动平台绕平行于基平台平面的轴线 (X轴) 转动和三维平移的4-RPTR型并联机构, 这种并联机构是对3T1R四自由度并联机构的补充, 在工业装配机器人、坐标测量机、姿态调节器、并联机床、工作台等领域有广泛的应用前景。

1 4-RPTR并联机构的自由度和输入选择

图1所示的4-RPTR并联机构含4个分支, 每个分支由2个转动副 (R副) 、1个移动副 (P副) 和1个虎克铰 (T副, 相当于2个R副) 组成。各分支靠近基平台的2个R副轴线平行, 且垂直于P副轴线;靠近动平台的2个R副轴线平行, 4个分支呈对角对称分布, 在其中一对呈对角分布的两个分支 (1、3分支) 中, 连接动平台的R副轴线垂直于动平台平面, 连接基平台的R副轴线平行于基平台平面且相互平行;在另外一对呈对角线分布的两个分支 (2、4分支) 中, 连接动平台的R副轴线平行于动平台平面且相互平行, 连接基平台的R副轴线平行于基平台平面, 相互平行且皆垂直于另外两个分支连接基平台的R副轴线。动平台上R副呈正方形分布, 分布圆半径为r。

1.1 自由度分析

假设并联机构的4条运动支链皆处于图2所示的一般位形下, 则这4条支链对动平台均产生一个约束力偶, 共4个约束力偶$ri (i=1, 2, 3, 4) , 其中$r1、$r3垂直于相应支链上与基平台连接的R副轴线, 且垂直于该支链上与动平台连接的R副轴线, 因此$r1、$r3相互平行, 且垂直于X和Z轴, 这样, $r1、$r3可表示为同一形式:

$ $_{1}^{r^{'}}$ = (0, 0, 0, 0, 1, 0) (1)

同样, $r2、$r4垂直于相应支链上与基平台连接的R副轴线, 且垂直于该支链上与动平台连接的R副轴线, 因此$r2、$r4相互平行, 且垂直于X和Y轴, 这样$r2、$r4可表示为同一形式:

$ $_{2}^{r^{'}}$ = (0, 0, 0, 0, 0, 1)

则约束螺旋$ $_{1}^{r^{'}}$ 、$ $_{2}^{r^{'}}$ 的反螺旋——动平台可能的运动螺旋的一组基为

$ $_{1}^{ω}$ = (1, 0, 0, 0, 0, 0) $ $_{2}^{ω}$ = (0, 0, 0, 1, 0, 0)

$ $_{3}^{ω}$ = (0, 0, 0, 0, 1, 0) $ $_{4}^{ω}$ = (0, 0, 0, 0, 0, 1)

由此可知, 当4-RPTR并联机构的4条运动支链皆处于一般位形时, 动平台相对基平台的可能运动为3个平移和1个绕X轴的转动。

下面再通过公式来计算和验证该并联机构的自由度。1997年, 黄真等[9]用反螺旋理论给出了机构的公共约束定义, 同时提出了适合所有空间并联机构的自由度计算公式:

$F = d (n - g - 1) + \sum_{j = 1}^{g} f_{j} + v$ (2)

v=l-k

式中, d为机构的阶数;n为机构中总构件数;g为总运动副数;fj为第j个运动副的相对自由度数;v为除去机构的公共约束后剩余螺旋所构成螺旋系的冗余约束数;l为除去公共约束后剩余的螺旋数;k为除去公共约束后剩余螺旋所构成螺旋系的秩。

由于4-RPTR并联机构动平台没有公共约束, 且被支链施加的4个约束螺旋的秩为2, 因此根据式 (2) 可求得该并联机构的自由度为

F=6× (14-16-1) +20+ (4-2) =4

从而验证了上述机构运动分析的正确性。

1.2 驱动输入选择

由于4-RPTR并联机构是四自由度, 所以应该有4个线性无关的驱动输入。为了降低惯性的影响, 提高负载能力和运行性能, 驱动副应尽量靠近基平台, 因此本文选择靠近基平台的4个P副作为驱动副。在各RPTR支链处于一般位形下, 若刚化驱动副则可得到两个约束螺旋, 如图2所示, 其中$ri为刚化驱动副之前第i条支链的约束力偶, 而$ai为驱动螺旋, $ai与驱动副运动螺旋的互易积不为零, 而与另外4个被动副运动螺旋的互易积为零, 该驱动螺旋是一个力线矢。下面根据主动副判定准则讨论$r1、$r2、$r3、$r4、$a1、$a2、$a3、$a4这8个螺旋的秩。前面已确定4个约束螺旋$r1、$r2、$r3、$r4的秩为2, 即限制了动平台绕Y轴和Z轴的转动, 4个驱动螺旋$a1、$a2、$a3、$a4中任意2个不会同轴, 而其中任意3个螺旋不会共面, 因此任意3个螺旋的秩至少为3。在下面三种情况下降秩:第一种情况 (图3a) 是4个驱动线矢空间汇交于一点, 第二种情况 (图3b) 是这4个驱动线矢垂直于同一条直线, 第三种情况 (图3c) 是这4个驱动线矢空间平行, 而在这三种情况下8个螺旋的秩会小于6。另外还有第四种情况:存在一条平行于X轴的直线与4个驱动线矢皆共面 (平行或相交) , 如图3d所示, 这时8个螺旋的秩也会小于6, 因为此时表明动平台可以绕X轴转动。这样除上面讨论的四种特殊情况以外, 这8个螺旋的秩应该为6, 这说明驱动输入选取是合理的。

2 4-RPTR并联机构的奇异分析

简单地说, 并联机构运动过程中失去或增加自由度的现象都称为奇异。并联机构奇异有三种形式:第一种是约束奇异, 是指当所有支链皆处于一般位形下, 对动平台的约束螺旋降秩;第二种是驱动奇异, 是指驱动螺旋降秩, 并且驱动螺旋和约束螺旋合在一起的秩小于6;第三种是支链奇异, 是指由于支链本身的运动螺旋降秩而导致对动平台产生新的约束螺旋, 而且导致驱动螺旋与驱动副运动螺旋的互易积为零。

2.1 约束奇异分析

前面通过分析得到4条支链对于动平台施加的约束可以用2个力螺旋表示, 即

$ $_{1}^{r^{'}}$ = (0, 0, 0, 0, 1, 0) $ $_{2}^{r^{'}}$ = (0, 0, 0, 0, 0, 1)

因此$ $_{1}^{r'}$ 、$ $_{2}^{r'}$ 的秩为2, 限制了动平台绕Y轴和Z轴的转动, 且不会降秩, 表明4-RPTR并联机构不会产生约束奇异。

2.2 驱动奇异分析

对于驱动力线矢$a1、$a2、$a3、$a4, 经前面分析, 当图3所示的某一情况发生时会降秩, 8个螺旋$r1、$r2、$r3、$r4、$a1、$a2、$a3、$a4的秩就会小于6, 此时并联机构出现驱动奇异。

2.3 支链奇异分析

如图4所示, 当靠近动平台的3个R副轴线处于同一平面上时, 运动支链对于动平台的约束螺旋除约束力偶$ri1外, 又产生一个新的约束力线矢$ri2, 而同时驱动螺旋与驱动副 (P副) 运动螺旋的互易积为零, 此时表明并联机构出现支链奇异。

3 4-RPTR并联机构的约束方程

当并联机构处于中位 (初始位形) 时, 其结构参数如图1所示, 其运动参数如图5、图6所示, 运用多体系统运动学理论得到如下约束方程:

H=s01cosλ2=lsinλ3+s02sinλ4

对于第一支链有

对于第二支链有

对于第三支链有

对于第四支链有

通过以上约束方程, 可以很容易获得并联机构反解——给定 (x, y, z, α) , 求解 (s1, s2, s3, s4) 的解析表达式 (表达式冗长, 未列出) , 然而要获得正解——给定 (s1, s2, s3, s4) , 求解 (x, y, z, α) 的解析表达式却非常困难, 因此本文利用数值方法进行求解。

4 4-RPTR并联机构运动学正反解计算

结构参数 (长度单位mm, 角度单位rad, 下同) 如下:r=200, l=400, λ1=π/6, λ2=π/6, λ3=π/3, λ4=π/3, s01=1200, s02=800。

4.1 反解计算

当并联机构动平台位姿 (x, y, z, α) 由 (-150, 0, 0, 0) 沿X轴平移至 (150, 0, 0, 0) 时, 4个驱动副的伸缩长度 (s1, s2, s3, s4) 变化曲线如图7所示。

当并联机构动平台位姿 (x, y, z, α) 由 (0, -150, 0, 0) 沿Y轴平移至 (0, 150, 0, 0) 时, 4个驱动副的伸缩长度 (s1, s2, s3, s4) 变化曲线如图8所示。

当并联机构动平台位姿 (x, y, z, α) 由 (0, 0, -150, 0) 沿Z轴平移至 (0, 0, 150, 0) 时, 4个驱动副的伸缩长度 (s1, s2, s3, s4) 变化曲线如图9所示。

当并联机构动平台位姿 (x, y, z, α) 由 (0, 0, 0, -π/3) 绕X轴旋转至 (0, 0, 0, π/3) 时, 4个驱动副的伸缩长度 (s1, s2, s3, s4) 变化曲线如图10所示。

4.2 正解计算

由于很难写出正解的解析表达式, 因此本文利用Newton-Raphson方法进行正解数值计算, 即将图7～图10所示的驱动副伸缩长度 (s1, s2, s3, s4) 作为输入, 通过数值求解得到位姿正解 (xd, yd, zd, αd) , 然后将该正解数据与反解中给定的4组位姿插值数据进行比较, 以考察正向求解的正确性和精确性。图11～图14为正解得到的位姿数据与给定的动平台位姿数据比较后的误差曲线。

从上面的数值计算结果可以看出, 反解合理, 正解准确性高, 数据吻合较好, 位置正解误差ex、ey、ez达到10-14m, 姿态正解误差eα达到10-11rad。

5 结语

本文提出了一种4-RPTR型并联机构, 运用螺旋理论论证了该机构可以实现三维平移和绕X轴旋转4个自由度的运动, 并讨论了以4个P副作为驱动输入的合理性, 详细分析了机构的约束奇异、驱动奇异和支链奇异的可能性, 运用多体系统运动学理论建立了机构运动学模型, 讨论了正反解方法, 并对其正确性与准确性进行了数值验证, 从而为其实际应用奠定了理论基础。

参考文献

[1]Pierrot F, Company O.H4:a New Family of4-DOF Parallel Robots[C]//IEEE/ASME International Con-ference on Advanced Intelligent Mechatronics.Atlanta, Georgia.Piscataway:IEEE, 1999:508-513.

[2]Rolland L.The Manta and the Kanuk:Novel4-DOF Parallel Mechanisms for Industrial Handling[C]//ASME Dynamic Systems and Control Division, I MECE’99Conference.Nashville, Tennessee.Fair-field:ASME, 1999:831-844.

[3]赵铁石, 黄真.欠秩空间并联机器人输入选取的理论和应用[J].机械工程学报, 2000, 36 (10) :81-84.

[4]金琼, 杨廷力, 刘安心, 等.基于单开链单元的三平移一转动并联机器人机构型综合[J].解放军理工大学学报, 2001, 2 (3) :15-19.

[5]杨廷力.机器人机构拓扑结构学[M].北京:机械工业出版社, 2003.

[6]Huang Zhen, Li Qinchuan.Type Synthesis of Sym-metrical Lower-mobility Parallel Mechanisms Using Constraint-synthesis Method[J].International Journal of Robotics Research, 2003, 22 (1) :59-79.

[7]李秦川.对称少自由度并联机器人型综合理论及新机型综合[D].秦皇岛:燕山大学, 2003.

[8]刘剑敏.四自由度并联机构的型综合分析及其应用[D].镇江:江苏大学, 2007.

并联运动学篇5

与传统的串联机构相比,并联机构由于具有刚度大、承载能力强、精度高、控制容易等一系列优点而得到广泛应用[1]。并联机构的运动学分析是目前并联机构学中研究的重点,同时也是受力分析、误差分析、工作空间分析、动力分析和机构综合等的基础,在并联机构的研究中占有重要的地位[2]。并联机构的运动学分析主要包括求解机构的输入与输出构件之间的位置、速度甚至加速度之间的关系[3,4]。

机械系统动力学自动分析(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems,ADAMS),是世界上应用最广泛且最具有权威性的机械系统动力学仿真分析软件。利用ADAMS软件能够建立和测试虚拟样机,实现在计算机上仿真分析复杂机械系统的运动学和动力学性能[4,5]。

西班牙Fatronik公司正在开发的Ulyses ZAB三坐标机床即以3-UPS/UP机构为原型[6]。齐明[7]以3-UPS/PU和3-PUS/PU机构为研究对象,对尺度综合、位置正解分析、精度分析与综合等问题进行了分析。本研究以3-UPS/UP型并联机构的运动学分析为例,介绍应用ADAMS软件进行并联机构逆向与正向运动学仿真分析的方法及步骤。

1 应用ADAMS对并联机构进行运动学仿真

3-UPS/UP三自由度并联机构的运动简图如图1所示,它由动平台、定平台、3个UPS驱动分支和1个UP中间约束分支组成。机构的UPS驱动分支为无约束主动分支,对动平台的运动没有约束作用;中间约束分支为恰约束从动分支,具有3个自由度,能够实现两个转动运动和一个移动运动,这也是并联机构动平台能够实现的运动。改变3个UPS驱动分支上伸缩杆的长度,可以实现动平台在空间的位姿变化。

本研究分4个步骤应用ADAMS对3-UPS/UP并联机构进行运动学分析:

(1) 应用三维CAD软件建立机构几何模型并进行格式转换;

(2) 对导入ADAMS的模型添加约束及驱动,建立虚拟样机模型;

(3) 对模型进行逆向运动学仿真,求得并联机构反解;

(4) 利用逆向仿真结果对并联机构进行正向仿真,以得到并联机构运动学正解。

1.1 三维实体建模及数据转换

本模型采用三维CAD软件Inventor进行并联机构几何模型创建,Inventor软件具有强大的建模能力,可以建立比较接近于物理样机的虚拟样机模型,如图2所示。

通过Inventor建立的模型不能直接读入ADAMS,需进行格式的转化。ADAMS/View提供的模型数据交换接口有Parasolid、STEP、IGES、SAT、DXF和DWG等格式。如图3所示,首先将Inventor模型以STEP格式保存,然后在Pro/E中打开_.stp格式的模型文件,选择文件菜单中的另存为子菜单,在出现的对话框中选择Parasolid格式,模型格式即被转换为Parasolid格式,此时可以被ADAMS读入[8]。

1.2 并联机构ADAMS模型

由于本研究只对3-UPS/UP并联机构进行运动学仿真,不涉及各个构件的质量,故在ADAMS/View环境下对重力加速度不进行定义。

对导入ADAMS的几何模型施加约束(如图4所示),限制构件之间的某些相对运动,建立并联机构在ADAMS环境下的虚拟样机模型。3个UPS驱动分支与动平台之间添加虎克铰运动副,与定平台采用球副连接;UP中间约束分支与动平台的运动副为虎克绞;4个分支的可伸缩性由在分支中间添加的移动副来保证。

为保证仿真分析能够顺利进行,在进行下一步仿真分析之前,利用ADAMS/View提供的模型自检功能,检验虚拟样机模型的自由度为3,无冗余约束,建模正确。

1.3 并联机构逆向运动学仿真

对并联机构进行逆向运动学仿真,即求解并联机构运动学反解,就是通过仿真求出动平台按某运动规律运动,以得到各驱动杆伸缩长度的变化规律[9]。

将定平台固定在大地上,选择动平台上质点C作为执行关键点,在该点上加一个三维的点激励Point Motion。在ADAMS中,在模型上定义的激励是将样机中未约束的其他自由度做进一步约束,只不过这种约束是时间的函数。添加的点激励对机构进行3个自由度约束,此时机构的自由度显示为0,具有确定的位形。

在动平台的质点C上施加的三维的点激励函数方程为:

X轴方向:RotX=pi/12·sin(time);

Y轴方向:RotY=pi/12·sin(time);

Z轴方向:TraZ=10·time

设置仿真参数时间t=(pi)s,步长为0.01,然后进行运动学仿真。利用ADAMS提供的对象测量功能,测量3个UPS驱动分支上移动副的位移变化,可得3个驱动分支的伸缩量随时间变化的规律,也就得到了并联机构的运动学反解,如图5所示。

在ADAMS的后处理模块中,利用曲线处理工具中求导命令对图中的驱动杆的位移一时间曲线分别求1阶、2阶导数,就能求出3个驱动分支的速度、加速度曲线,如图6、图7所示。

1.4 并联机构正向运动学仿真

对并联机构进行正向运动学仿真,即求解并联机构运动学正解,就是已知各驱动分支的位移、速度及加速度来求解动平台的运动规律[10]。

ADAMS的仿真数据曲线是由若干离散数据点组成的ADAMS提供的AKISPL命令[11,12],将图5中的3条曲线上的离散数据点分别转化成样条函数spline1、spline2、spline3,将3个样条函数作为驱动函数施加到相对应的3个驱动分支上,3个驱动函数分别为:

motion1:AKISPL(time,0,spline1,0);

motion2:AKISPL(time,0,spIine2,0);

motion3:AKISPL(time,0,spline3,0)。

添加完驱动后,把前面施加的点驱动设置为无效状态,同样对系统模型进行t=(pi)s,步长为0.01的仿真,可以得到运动平台质心C分别绕X轴、Y轴及Z轴的角速度、角加速度随时间的变化规律曲线如图8、图9、图10所示[13,14],即也就得到了并联机构的运动学正解。

2 结束语

利用动力学仿真分析软件ADAMS的仿真分析功能能够很好地完成并联机构的运动学分析。本研究利用ADAMS的仿真功能,对并联机构3-UPS/UP进行了逆向与正向运动学仿真,快速求得求解并联机构的运动学反解与正解,获得了驱动分支伸缩变化量与动平台位姿之间的关系曲线,大大简化了计算过程。同样可将ADAMS软件应用到其它并联机构的运动学分析中,为并联机构的设计分析提供了一种新方法,对并联机构的运动学分析有着重要的意义。

并联运动学篇6

并联机构具有高刚度、高精度和高承载能力等优点而成为人们研究的热点[1]。4-RCRP并联机器人与广泛应用的SCARA串联机器人一样, 可以实现空间的三维移动与绕z轴的转动, 以该机器人为基础可以设计出多种用途的空间并联机器人、并联虚拟轴机床、微动机器人等。

利用虚拟样机可以代替物理样机对产品进行创新设计、测试和评估, 从而缩短开发周期, 降低成本, 改进产品设计品质[2]。为了有效地求解4-RCRP并联机器人运动学问题, 利用虚拟样机技术对其进行运动学建模, 并加以仿真, 以验证其运动学求解的正确性。

1 4-RCRP并联机器人机构简介

4-RCRP并联机器人由4条对称的R-C-R-P链、一个定平台以及一个动平台组成。图1所示。

2 4-RCRP并联机器人的位置分析

机器人的位置分析是求解机构的输入与输出构件之间的位置关系。可由几何关系求解其位置正逆解, 如图2, 定平台特征尺寸OAi’=R (i=1, 2, 3, 4) , 动平台特征尺寸O’Bi’=r, 点O’在O-xyz坐标系的坐标 (x, y, z) 就是动平台的三个移动自由度, 动坐标系O’-x’y’z’相对于定平台坐标系O-xyz的姿态就反映了动平台的姿态, F是动平台的转动自由度, 可以用矩阵[T]表示。各支链坐标系Oi-xiyizi相对于O-xyz姿态可由[Ti]表示。Ai’Ci’=a, Bi’Ci’=Li, Ai’Ei’=li, <OiAi’Ci’=θi, <B1’O’B2’=μ, <A1’m B1’=δ, 移动副轴线Bi Ei与z轴反向所夹的锐角为I, Bi’Ei’与B1’B4’所夹锐角为φ。

点Bi’在坐标系O-xyz下的坐标向量Bi为:

则有:

定平台中AiO=R (i=1, 2, 3, 4) , Ai在O-xyz中坐标为:

Ci、Ei在O-xyz中坐标为:

2.1 4-RCRP并联机器人位置正解

4-RCRP并联机器人的运动学正解可以描述为:己知各驱动转角θi的值, 求动平台的位置和姿态 (x, y, z, F) 。由图2分析可得以下关系式:

由式 (2) —式 (6) 可得机器人正解方程组如下:

式 (7) —式10即为4-RCRP并联机器人正解模型, 它是关于 (x, y, z, F) 的高次线性方程组。

2.2 4-RCRP并联机器人位置逆解

当已知动平台姿态 (x, y, z, F) 求解机构输入θi (Li) (i=1, 2, 3, 4) , 是位置反解。整理式1—式10, 由图2分析可得反解方程组如下:

式 (11) —式 (14) 是关于θ1, θ2, θ3, θ4的一元二次方程组, 即为4-RCRP并联机器人的反解。

3 4-RCRP并联机器人的运动学仿真

在ADAMS中建立4-RCRP并联机器人三维模型, 利用ADAMS提供的约束库施加各种约束限制构件之间的相对运动, 并将各个构件连接成一个机械系统。

该并联机器人的结构参数为:

R=0.8485, r=3202, a=0.35, μ=1.3495, ф=0.5456, φ=0.3488.在动平台中心添加驱动:alpha=0, beta=0, delta=pi/60×sin (0.25×pi×t) +pi/4-atan (0.8) ,

z=0.1×sin (0.25×pi×) t× (1/2) +1.133, 以θ1, θ2, θ3, θ4作为输出, , i=1, 2, 3, 4。运行时间t=8s, 步长为0.02 s。ADAMS仿真结果和计算结果如图3—图6所示。

从图3—图6可以看出θ1, θ2, θ3, θ4理论值所对应的星型线和仿真值所对应的实线基本重合, 从而证明了理论分析的正确性。

4 结论

本文建立了4-RCRP并联机器人数学模型, 求出了该机器人位置的正反解, 仿真结果验证了理论推导的正确性, 为以后的机器人的静、动态特性分析以及动力学分析打下了基础。

参考文献

[1]王波, 刘向东, 韩强, 等.三自由度平面并联机构位姿分析[J].电气技术与自动化, 2011.170-182.

并联运动学篇7

并联机器人的精度是影响其工作质量的重要指标, 鉴于造价昂贵且系统复杂的原因, 目前对并联机构尚难以实施全闭环控制, 因此解决并联机构的精度问题一般有以下两种途径:一是提高零件加工和安装的精度, 以减少机构的结构参数误差, 但这将极大地增加制造成本;二是通过对机器人进行运动学标定, 辨识出其结构参数的误差并对其进行补偿, 以提高其精度, 相对于第一种方法, 这种方法更为经济和实用。

并联机器人运动学标定一般分为以下4个步骤:建立标定模型、测量、参数识别以及误差补偿国内外有许多学者对并联机器人的标定作了广泛而深入的研究, 如Zhuang等[1,2]用电子经纬仪对Stewart机构进行了标定;Maurine等[3]用激光位移传感器标定Delta并联机器人;Besnard等[4]则只利用倾角仪检测末端的姿态来标定并联机器人;Huang等[5]等提出用多种测量仪器, 仅检测末端部分信息识别所有误差参数的方法。近期一些学者还研究利用三坐标测量机标定并联机器人[6,7]。上述研究均采用昂贵检测设备或复杂的测量方法, 不利于方法的推广应用。为此, 一些学者开始研究采用间接测量法确定平台位姿以降低检测成本, 比较典型的是利用球杆仪作为检测工具[8,9,10]对并联机器人进行标定研究。球杆仪虽然价格相对便宜, 但是由于球杆仪需要进行动静磁座的安装, 为了测量足够的数据必须同时应用多个球杆仪。自标定的方法[11]可以避免末端位姿的检测, 但是在设计阶段就需要考虑内部传感器的安装, 其应用范围较窄。

随着并联机器人在工业中的应用日益广泛, 探索一种简单低成本的标定方法是非常必要的。本文提出一种新的标定建模方法, 该方法仅需测量动平台上6个标准球在某一方向的坐标增量, 便可辨识出所有运动学参数的误差, 所需的测量工具只是一个异型游标卡尺。

1 标定模型的建立

以一台六自由度并联运动模拟台为例说明标定模型的建立过程。模拟台的样机如图1所示, 共有6条支链, 呈3-2-1结构正交布置, 图2是其结构简图, 固定坐标系Oxyz ({F}) 建立方式如下:原点O位于机构处于零位姿时上平台几何中心处, x轴正向与B1驱动方向一致, y轴正向与B2驱动方向一致, z轴正向按右手定则确定。移动坐标系O′x′y′z′ ({F′}) 建立在上平台几何中心, 当机构处于零位姿时, 与固定坐标系{F}重合。图2中Ai、Bi为球铰。

机构的运动学方程可以表示为

式中, li为各支链移动副驱动量;Ci为同一支链两球铰中心的距离;x、y、z为上平台的位置参数;Sxi、Syi、Szi表示3个方向共42个模拟台铰链的位置参数和上平台姿态参数。

对式 (1) 两端取全微分, 并整理, 可以得到模拟台运动学参数误差和上平台位姿误差的表达式:

式中, dX为上平台输出的位姿误差;dl为6个驱动器的输入误差;dT1、dT2、dT3为机构铰链点位置参数及同一支链两球铰中心的距离参数的误差向量, 共42个;F、B、D、E为相应的误差系数矩阵。

式 (2) 是按传统方式建立的标定模型, 标定过程中需要检测末端的位姿全集, 然后与理论位姿之差构成上平台的输出位姿残差向量dX。为了避免使用昂贵的测量仪器检测末端6维位姿, 下面对传统的标定模型进行改进, 建立上平台6个标准球在单方向的坐标增量残差与机构的几何参数误差之间的关系。

在没有运动支链的两个侧面和上表面安装6个标准球, 标准球的安装须用仪器确保其位置的准确。安装位置如图3所示, 球心N1、N2到x′O′z′面的距离与球心N3、N4到y′O′z′面的距离均为h, 球心N1、N2到x′O′y′面的距离为e, N4到x′O′y′面的距离为m, 球心N5、N6到x′O′y′面的距离均为k。N1N2=N5N6=2b, N3N4=f, 同时, 球心N1、N2连线记为向量N1N2, 与{F′}系的O′x′轴平行且同向, 同理, N3N4、N5N6分别与O′z′、O′y′轴平行且同向。因此可以用NiNi+1与固定坐标轴夹角的方向余弦代替动坐标轴与固定坐标轴夹角的方向余弦表示上平台的姿态, 该方向余弦阵可表示为

式中, xi、yi、zi (i=1, 2, …, 6) 为6个标准球的位置坐标相对于初始位姿的坐标增量。

R中的9个元素只有3个是独立的, 选定A13、A21、A32这三个元素作为独立元素, 为了说明方便, 将这三个元素包含的6个坐标增量y1、y2、x3、x4、z5、z6分别用q1～q6表示。易知, R中其他6个元素均可由A13、A21、A32这三个元素表示。由于在模拟台工作空间中, 所有球铰的转角范围均为[0°, 45°) , 由文献[12]知, 其他6个元素的表达式唯一, 即方向余弦阵R可由q1～q6这6个坐标增量唯一确定。

同时, 由坐标变换的原理可以得到下式:

由式 (3) 可以看出, x、y、z也是q1～q6的函数。

以x、y、z、q1～q6为变量对式 (3) 中各分式两端进行微分并整理可得

式中, dQ为标准球单方向位置坐标增量的残差;P1为3×6阶误差传递矩阵。

由此, 得到了末端平台输出的位置残差与标准球单方向位置坐标增量残差的关系。下面推导末端平台输出的姿态残差与标准球位置坐标增量残差的关系, 先写出用z-y-x欧拉角表示的坐标变换矩阵R′:

从R′中选取相应元素与R中的A12、A23、A31这三个元素对应相等, 可得

以α、β、γ、q1～q6为变量对式 (5) 两端进行全微分并整理可得

式中, P2为3×6阶误差传递矩阵。

将式 (4) 、式 (6) 两式合写为统一形式:

将式 (7) 代入式 (2) 得到

本文基于运动学正解进行标定, 则认为输入没有误差, 即dl=0, 将式 (8) 整理为

式 (9) 建立了6个标准球单方向坐标增量残差与机构运动学参数误差之间的关系, 在标定过程中只需在同一位姿下测量6个标准球在单方向的位移, 避免了高成本的末端位姿全集的直接测量。

2 测量方案

由式 (9) 可知, 该方法在标定过程中所需测量的数据仅为6个标准球的球心沿单方向的位置坐标增量, 因此只需一般的测距工具即可完成测量。图4为一种测量方案的示意图, 测量工具为一种精度为10μm的异型游标卡尺和三块标准平板。标准平板需利用工具精确安装, 如图4所示, x向平板须保证与定系{F}的yOz平面平行。另外两个平板需分别保证与{F}的xOy平面及xOz平面平行。

异型游标卡尺后端与尺身垂直, 测量时后端与平板紧密接触。前端的半球壳带有磁性, 可以保证与标准球紧密接触, 接触时, 球壳与标准球同球心, 由此可准确测量标准球的球心到标准平板的垂直距离。

测量时, 首先用异型游标卡尺分别测出上平台位于初始位姿下球心N1、N2在y方向, 球心N3、N4在x方向, 球心N5、N6在z方向相对于平板的单方向位置坐标, 然后平台按规划的位姿运动, 在每个位姿下分别测出6个标准球球心相对于初始位姿下在相应方向的坐标增量q1～q6, 与利用理论运动学模型计算得到的名义值相比较, 得到各个位姿下6个标准球的单方向坐标增量残差dQ, 测量足够多的位姿组数, 代入式 (9) 利用最小二乘法便可识别机构的运动学参数误差。

3 模拟标定

为了验证上述标定模型的正确性和参数识别效果, 本节将以数值方式分别采用式 (2) 及式 (9) 的标定模型模拟标定过程。图5给出了基于式 (9) 的模拟标定流程图。

规划一组位姿进行模拟标定, 采用最小二乘法识别机构的参数。42个机构参数的原始误差都在10-4～10-3m中按随机方式给定, 模拟标定的结果如图6、图7所示。理论上两种标定方法都能够很快收敛并能将末端位姿标定到很高的精度。通过两种方法标定前后机构运动学参数的误差对比, 可以看出在不考虑测量工具精度和测量误差的情况下, 两种方法都可以将机构运动学参数误差精确的识别出来。如果考虑测量误差, 并控制在10μm左右, 则通过两种方法标定的效果如表1所示, 通过比较末端平台输出误差6个分量的根均方值发现, 相同的测量误差条件下两种标定建模方法标定效果相似, 改进的标定方法对末端姿态的改善更为明显。

但与传统标定方法相比, 改进的方法避免了高成本的6维位姿检测, 仅需测量6个标准球单方向位置坐标增量就能在理论上达到与传统标定方法同样的精度, 测量方面成本要低得多。

4 游标卡尺测量误差及标准球安装误差对标定结果的影响

游标卡尺的测量误差来源于两个方面, 一是游标卡尺本身存在的零值误差, 二是测量过程中读数产生的随机误差。零值误差是系统误差的一种, 由于在改进的标定模型中使用的是标准球的相对位移量, 因此零值误差可被消除, 不会对标定结果产生影响。测量过程中读数产生的随机误差是任何测量手段都存在的问题, 不可能完全消除, 可以采用多次测量取平均值, 尽量降低随机误差对标定结果的影响。

下面讨论标准球的安装误差对标定结果的影响。如果标准球存在安装误差, 则向量N1N2N3N4、N5N6与{F′}相应的x′、z′、y′三个坐标轴之间就会存在一个夹角。那么, 表示上平台姿态时, NiNi+1与固定坐标轴夹角的方向余弦矩阵R和动坐标轴与固定坐标轴夹角的方向余弦矩阵R′之间就会有偏差, 用矩阵ΔK表示这个偏差矩阵, 三者有下面的关系:

式中, ΔK为标准球安装误差的函数。

同时对式 (3) 及式 (5) 中相应的标准球位置坐标加上误差, 给定误差量的绝对值均为10μm, 利用加入误差的标定模型重新模拟标定过程, 得到图8所示的结果。

如图8所示, 标准球安装的精确度直接影响标定的结果, 标定后机构运动学参数的误差与标准球安装误差基本在同一个数量级。因此, 须借助工具保证标准球的安装精度。由于标准球安装误差为固定值, 可以将其归为测量过程中产生的系统误差。如何通过对模型进行改进, 消除该系统误差以增强这种标定方法的鲁棒性, 将是进一步需要研究的内容。

5 结束语

运动学标定作为一种行之有效的提高并联机器人精度的手段正广泛应用于工程实际中, 为了避免高昂的代价去检测末端位姿全集, 本文提出了一种新的标定建模方法, 建立了6个标准球单方向坐标增量与机构运动学参数误差之间的关系, 因此只需要一把异型游标卡尺检测上平台6个标准球在单一方向的坐标增量便可以识别出全部的42个运动学参数, 标定过程的数值仿真证明了在不考虑测量工具精度及测量误差的前提下, 该方法能够达到与传统的标定方法相似的误差识别效果, 可以将末端位姿标定到很高的精度。

由于标定模型中使用的是标准球的相对位移量, 因此游标卡尺测量中的零值误差可被消除, 但标准球的安装位置误差会影响最终的标定精度, 须在安装时利用工具保证其安装精度。尽管如此, 相对于传统基于末端位姿检测的标定方法, 本文提出的方法简单易行、成本低廉, 鉴于测量工具本身的测量精度所限, 该方法适合于一般精度并联机床的校准工作, 且易于在工程实际中推广。

参考文献

[1]Zhuang H, Yan J, Masory Q.Calibration of StewartPlatform and Other Parallel Manipulator by Minimi-zing Inverse Kinematic Residuals[J].Journal of Ro-botic Systems, 1998, 15 (7) :395-405.

[2]Zhuang H, Roth Z.A Method for Kinematic Calibra-tion of Stewart Platform[C]//ASME Annual Win-ter Meeting.Atlanta, 1991:43-48.

[3]Maurine P, Dombre E.A Calibration Procedure forthe Parallel Robot Delta4[C]//Proceedings of IEEEInter.Conf.on Robotics and Automation.Minneap-olis, MN, 1996:975-980.

[4]Besnard S, Khalil W.Calibration of Parallel RobotUsing Two Inclinometers[C]//Proceedings of IEEEInter.Conf.on Robotics&Automation.Detroit, MI, 1999:1758-1763.

[5]Huang T, Chetwynd D G, Whitehouse D J, et al.AGeneral and Novel Approachfor Parameter Identifi-cation of 6-DOF Parallel Kinematic Machines[J].Mechanism and Machine Theory, 2005, 40:219-239.

[6]Yu Dayong, Sun Xiwei, Wang Yu.Kinematic Cali-bration of Parallel Robots Based on Total LeastSquares Algorithm[C]//Conf.on Mechatronics andAutomation.Harbin, 2007:789-794.

[7]Yu Lingtao, Wang Jian.A Nonel Method on ParallelRobot’s Pose Measuring and Calibration[C]//Conf.on Industrial Electronics and Applications.Harbin, 2007:1292-1296.

[8]Ota H, Shibukawa T, Tooyama T, et al.Forward Ki-nematic Calibration and Gravity Compensation forParallel-mechanism-based Machine Tools[J].IMechE Journal of Multi-body Dynamics, Part K, 2002, 216 (1) :39-49.

[9]Yukio T, Gang S, Hiroaki F.DBB-based KinematicCalibration Method for In-parallel Actuated Mech-anisms Using a Fourier Sries[J].ASME Journal ofMechanical Design, 2004, 126 (5) :856-865.

[10]魏世民, 周晓光, 廖启征.六轴并联机床运动精度的标定研究[J].中国机械工程, 2003, 14 (23) :1981-1985.

[11]Zhuang Hanqi.Self-calibration of Parallel Mecha-nisms with a Case Study on Stewart Platforms Ro-botics and Automation[J].IEEE Transactions onRobotics and Automation, 1997, 13 (3) :387-397.

并联运动学篇8

近年来少自由度并联机构的研究日益成熟, 其中四自由度并联机构的发展最为明显, 四自由度并联机构有1R3T, 2R2T, 3R1T结构类型。

2005年黄真与赵铁石[1]提出了4自由度的4-UPU并联机构, 这4个自由度分别是沿x轴、y轴、z轴的移动与绕z轴转动, 且4-UPU并联机构的四条支链中的万向铰均是垂直于上下平台布置。付勇智[2]在笛卡尔坐标下利用4-UPU构件间的公共向量减少自然坐标的数量, 简化了运动学分析过程。李仕华[3]运用螺旋理论分析了3-UPU并联机构的运动学, 并分析了该机构的运动瞬时性[4]。史巧硕[5]利用方位特征集理论分析了4-UPU并联机构3移动1转动的空间运动原理。季晔[6]在4-UPU并联机构基础上添加约束支链提出了一种2R2T的并联机构, 并对其进行了运动学分析。

以上文献[1-5]中的万向铰均是垂直 (以万向铰的十字铰为平面) 与并联机构上下平台布置, 而文献[6]中的万向铰均是水平布置。所以, 以UPU为支链的支链结构有3种。 (Ⅰ) UPU支链的两端万向铰均垂直布置; (Ⅱ) UPU支链的两端万向铰均水平布置; (Ⅲ) UPU支链的一端万向铰垂直布置, 另一端万向铰水平布置。当上下平台不为正方形时, 根据4-UPU并联机构的结构形式与排列组合原理可以得到4-UPU并联机构有24种不同的结构组成形式。运动螺旋理论分析了其中4种典型机构的自由度, 通过修正的Kutzbach-Grübler公式计算得到它们的自由度在2到5之间变化, 并以3移动1转动的4-UPU并联机构为基础, 分析了该机构的运动学, 并运用Pro/E软件中的MECHANISM模块[7,8,9]对该机构的上平台运动过程进行了模拟仿真, 分析了该机构的运动学特性。

1 4-UPU并联机构的演绎

当选择UPU支链两端万向铰均水平布置, 且4-UPU并联机构均采用 (Ⅱ) 支链模式时, 该机构的具体结构[6]如图1所示, 与上平台相连的万向铰 (U副) 为Ai (i=1, 2…4) ;与下平台相连的万向铰为Bi (i=1, 2…4) 。 (由于4-UPU并联机构结构成熟, 限于篇幅不予详细介绍) , 其中各支链从下平台算起, 与下平台相连的万向铰为第1运动副, 移动副为第2运动副, 与上平台相连的万向铰为第3运动副;oxyz和Qxyz分别是与下平台和上平台固连的坐标系, O点位于下平台的质心, x轴平行于B2B3, y轴平行于B1B2, z轴垂直于下平台向上;P点位于上平台的质心, x轴平行于A2A3, y轴平行于A1A2, z轴垂直与上平台向上。方向如图1所示。其中A1B1, A2B2, A3B3, A4B4分别代表第1条支链至第4条支链 (以下类似) 。

当4-UPU并联机构的4条支链均采用 (Ⅰ) 支链模式时, 该机构的具体结构如图2所示。

当4-UPU并联机构的第1条支链与第2条支链采用 (Ⅰ) 支链模式, 第3条支链与第四条支链采用 (Ⅱ) 支链模式时, 该机构的具体结构如图3所示。

当选择UPU支链两端万向铰均垂直布置, 且4-UPU并联机构均采用 (Ⅰ) 支链模式时, 该机构的具体结构如图4所示。

2 自由度计算

采用修正的Kutznach-Grubler[10-11]公式计算以上4种构型4-UPU机构的自由度:

式中:M———机构自由度数;

d———机构的阶数, d=6-λ;

λ———公共约束数;

n———包括机架的构件数目;

g———运动副的数目;

fi———第i个运动副的自由度;

v———多环并联机构在去除公共约束的因素后的冗余约束的数目, 其中v=t-k;

t———多环并联机构所有支链的反螺旋去除公共约束后的反螺旋数目;

k———多环并联机构所有支链的反螺旋去除公共约束后的反螺旋系的最大无关组;

ξ———机构中存在的局部自由度数。

如图1所示, 4-UPU并联机构中第一条支链的螺旋表示为:

式 (2) 中, p、s、c为第三运动副轴线的方向余弦;n、m、l为支链相应位置决定的参数, 以下类似。通过互易积计算得到一个反螺旋

$r01是一个反螺旋力偶, 它限制上平台绕z轴的转动, 对称布置的4个支链有相同的反螺旋力偶并互相平行方向相同, 每个支链都对上平台提供了一个限制z轴转动的约束螺旋, 构成一个公共约束, 即λ=1, 机构的阶数d=6-λ=5;当去除公共约束后此时的t=0, 显然k=0, 也就是该机构没有冗余约束, 即ν=0。观察整个机构运动副的布置情况, 该机构不存在局部自由度, 即ξ=0。根据式 (1) 计算该机构的自由度数:

如图2所示, 4-UPU并联机构中第一条支链的螺旋表示为:

通过互易积计算得到一个反螺旋

$r01是一个反螺旋力偶, 限制了上平台绕x轴的转动, 其他3条支链拥有相同的反螺旋力偶, 根据Grassmann线几何原理[10], 该机构的4个反螺旋不能构成公共约束, 并且只有2个是独立的。则有d=6, t=4, k=2;根据公式ν=t-k=2;观察整个机构运动副的布置情况, 该机构不存在局部自由度, 即ξ=0。根据式 (1) 计算该机构的自由度数:

如图3所示, 4-UPU并联机构中第一条支链的螺旋表示为:

通过互易积计算得到一个反螺旋

该机构的第三条支链螺旋表示为

通过互易积计算得到一个反螺旋

$r01是一个反螺旋力偶, 限制了上平台绕x轴的转动;$r21也是一个反螺旋力偶, 它限制了上平台绕z轴的转动。根据Grassmann线几何原理[10], 该机构的4个反螺旋不能构成公共约束, 并且有3个是独立的。则有d=6, t=4, k=3;根据公式ν=t-k=1;观察整个机构运动副的布置情况, 此机构不存在局部自由度, 即ξ=0。根据式 (1) 计算该机构的自由度数:

如图4所示, 4-UPU并联机构中第一条支链的螺旋表示为:

通过互易积计算得到该螺旋系没有反螺旋, 则有d=6, t=0, k=0;根据公式ν=t-k=0;观察整个机构运动副的布置情况, 该机构不存在局部自由度, 即ξ=0。根据式 (1) 计算该机构的自由度数

3 运动学分析

3.1 4-UPU并联机构位置分析

如图2所示, B1B2B3B4组成长方形, 其长B1B4=2R1, 宽B1B2=2R2;A1A2A3A4组成的正方形, 其边长为2a。各铰点在各自坐标系中的坐标为:

Ai从坐标系Qxyz到坐标系OXYZ的转化为:

式中, P= (x, y, z, ) T表示Pxyz坐标系在Oxyz坐标系中的位置向量, ρ= (α, β, γ) T表示Pxyz坐标系相对Oxyz坐标系中的姿态向量;Ai相对Pxyz坐标系与Oxyz坐标系的坐标为A'i= (Aix, Aiy, Aiz) T与Ai= (Ai X, Ai Y, Ai Z) T;Bi相Oxyz坐标系的坐标为Bi= (Bi X, Bi Y, Bi Z) T。由于上平台只能绕z轴转动, 所以α=β=0, 所以从Pxyz坐标系到Oxyz坐标系的方向余弦矩阵R为:

当结构参数a、b确定, 若给出上平台位姿参数 (x, y, z, γ) , 则由式 (11) 可求出Ai点在坐标系Oxyz的坐标值。根据在同一坐标系中两点间的距离公式可求得该机构的位置约束方程为:

式中, li为杆长。位置正解是已知结构参数a、b和5个输入杆长 (l1, l2, l3, l4) , 求解上平台的位姿 (x, y, z, γ) 。位置反解是已知结构参数a、b和上平台的位姿 (x, y, z, γ) , 求解杆长li (i=1, 2, 3, 4) 。其中杆长 (l1, l2, l3, l4) 分别对应第一条支链至第四条支链。

3.2 4-UPU并联机构速度分析

4-UPU并联机构的4个移动副作为广义输入记为l=[l1, l2, l3, l4]T;上平台广义输出记为φ=[x, y, z, γ]T;移动副的广义输入速度表示为.l=[l.1, l.2, l.3, l.4]T;上平台广义输出速度表示为.φ=[.x, .y, .z, .γ]T。式 (12) 对时间t求导, 得到速度分析逆解为:

由于det (J) ≠0, 所以该机构的速度正解为:

3.2 4-UPU并联机构加速度分析

4-UPU并联机构移动副的广义输入加速度表示为;上平台广义输出加速度表示为。式 (13) 对时间t求导得:

因为J-1为非奇异矩阵, 则有:

通过式 (15) 、 (16) 可以求得该机构加速度的逆解和正解。

4 运动仿真

设该机构下平台的长为R1=500 mm, 下平台的宽为R2=400 mm, 上平台的边长为a=200 mm。各驱动杆的初始杆长:

初始速度为:

初始加速度为:

首先Pro/E对4-UPU并联机构进行实体造型, 添加伺服电机;其次在Mechanism环境下运行该机构, 使其产生可视化的运动过程并保存其分析结果;最后进行分析测量, 得到测量图形。通过以上步骤仿真后得到的运动曲线如图5。

由图5可知, 在0~40 s的运动过程中, 4-UPU并联机构3个方向上的线位移、线速度与线加速度均呈阶跃式变化, 说明该机构在第10 s、20 s与30 s时, 该机构出现奇异位形, 且该机构在0~10 s时, 其运动学特性相对稳定。

5 结论